空间向量的数乘运算PPT课件
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空间向量及其运算课件 课件
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 , C(x, y)是AB的中点，则
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
x
y
x1 y1
2
x2 y2
2
空间向量
空间向量的坐标运算：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 )
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 );
a (x1, y1, z1), R;
空间向量
空间向量的夹角：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) cos a,b a • b
| a || b |
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
垂直与平行：
a (x1, y1, z1),b (x2 , y2 , z2 ) a // b x1 y1 z1 (?)
(4)已知不共线的三点A、B、C，对平面 ABC外的任意一点O，若 OG 1 (OA OB OC) 则G是三角形ABC的重心 3
以上命题中，正确的是__________
已知三棱锥O—ABC中，G为△ABC的重心，OA=a，OB=b， OC=c，试用a , b , c 来表示OG.
(1)若AD是△ABC的中线，则有
平面的向量参数方程：
A, B,C是不共线的三点，P 平面ABC
存在唯一的实数对x, y，使 AP x
AB yAC
存在唯一的实数对x, y,使
OP (1 x y) OA yOC
存在唯一的实数对x, y, z
(x y z 1),使 OP x OA
yOB zOC
空间向量及其运算
• 空间向量的概念、表示、相等关系。 • 空间向量的加法、减法、数乘向量 • 加法交换律 • 加法结合律 • 数乘分配律
空间向量的数乘运算(收藏)
数乘后的模长为零，即得到零向量。
数乘运算与向量方向的关系
总结词
数乘运算不会改变向量的方向。
详细描述
对于任意非零向量$vec{a}$和实数$k$，当$k > 0$时，数 乘后的向量方向与原向量方向相同；当$k < 0$时，数乘后 的向量方向与原向量方向相反。特别地，当$k = 0$时，得 到零向量，没有方向可言。
在线性代数中的应用
矩阵运算
在矩阵运算中，数乘运算是一种基本的操作，它可以用来改 变矩阵的元素值，从而进行矩阵的加法、减法、乘法和转置 等操作。
向量运算
数乘运算可以用来改变向量的长度和方向，从而进行向量的 加法、减法、数乘等基本运算，是线性代数中向量运算的重 要基础。
04
空间向量数乘运算的注意 事项
03
空间向量数乘运算的应用
在物理中的应用
1 2 3
描述速度和加速度的方向变化
在物理中，速度和加速度都是空间向量，通过数 乘运算可以改变这些向量的模长和方向，从而描 述物体运动状态的变化。
解释电磁场中的洛伦兹力
在电磁学中，洛伦兹力是一个空间向量，可以通 过数乘运算来改变其大小和方向，以解释带电粒 子在磁场中的运动。
数乘运算在向量合成与分解中的应用
总结词
数乘运算在向量的合成与分解中具有广泛的应用，它 可以帮助我们更好地理解向量的性质和几何意义一，它在向量的合 成与分解中具有广泛的应用。通过数乘运算，我们可以 改变向量的长度和方向，从而更好地理解和操作向量。 在实际应用中，数乘运算可以帮助我们解决许多与向量 相关的几何问题，例如力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。此外，数乘运算还可以与其他向量运算结合 使用，例如向量的点乘和叉乘，以解决更复杂的几何问 题。
数乘运算与向量方向的关系
总结词
数乘运算不会改变向量的方向。
详细描述
对于任意非零向量$vec{a}$和实数$k$，当$k > 0$时，数 乘后的向量方向与原向量方向相同；当$k < 0$时，数乘后 的向量方向与原向量方向相反。特别地，当$k = 0$时，得 到零向量，没有方向可言。
在线性代数中的应用
矩阵运算
在矩阵运算中，数乘运算是一种基本的操作，它可以用来改 变矩阵的元素值，从而进行矩阵的加法、减法、乘法和转置 等操作。
向量运算
数乘运算可以用来改变向量的长度和方向，从而进行向量的 加法、减法、数乘等基本运算，是线性代数中向量运算的重 要基础。
04
空间向量数乘运算的注意 事项
03
空间向量数乘运算的应用
在物理中的应用
1 2 3
描述速度和加速度的方向变化
在物理中，速度和加速度都是空间向量，通过数 乘运算可以改变这些向量的模长和方向，从而描 述物体运动状态的变化。
解释电磁场中的洛伦兹力
在电磁学中，洛伦兹力是一个空间向量，可以通 过数乘运算来改变其大小和方向，以解释带电粒 子在磁场中的运动。
数乘运算在向量合成与分解中的应用
总结词
数乘运算在向量的合成与分解中具有广泛的应用，它 可以帮助我们更好地理解向量的性质和几何意义一，它在向量的合 成与分解中具有广泛的应用。通过数乘运算，我们可以 改变向量的长度和方向，从而更好地理解和操作向量。 在实际应用中，数乘运算可以帮助我们解决许多与向量 相关的几何问题，例如力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。此外，数乘运算还可以与其他向量运算结合 使用，例如向量的点乘和叉乘，以解决更复杂的几何问 题。
课件1：3.1.2 空间向量的数乘运算（共线与共面向量）
∴EH ∥FG且|EH |＝43|FG |≠|FG |.
又 F 不在直线 EH 上， ∴四边形 EFGH 是梯形．
规律方法 判断向量 a，b 共线的方法有两种： (1)定义法 即证明 a，b 所在基线平行或重合． (2)利用“a＝xb⇒a∥b”判断 a，b 是空间图形中的有向线段，利用空间向量的运算性质， 结合具体图形，化简得出 a＝xb，从而得 a∥b，即 a 与 b 共 线．
存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝ xa＋yb＋zc
.
其中，表达式 xa＋yb＋zc 叫做向量 a，b，c 的线性表
达式或线性组合， a，b，c 叫做空间的一个基底，记 作 {a，b，c} ，a，b，c 都叫做基向量.
互动探究
题型一：共线向量的判定 例 1 如图 3－1－11 所示，已知四边形 ABCD 是空间四边形，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F， G 分别是边 CB，CD 上的点，且C→F＝23C→B，C→G＝23C→D. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
图 3－1－11
【思路探究】 (1)E→H与F→G共线吗？怎样证明？ (2)|E→H|与|F→G|相等吗？ 【自主解答】 ∵E，H 分别是 AB、AD 的中点， ∴A→E＝21A→B，A→H＝12A→D， 则E→H＝A→H－A→E＝12A→D－12A→B＝12B→D ＝21(C→D－C→B)＝12(32C→G－32C→F) ＝43(C→G－C→F)＝34F→G，
(2)由(1)知向量M→A，M→B，M→C共面，三个向量的基线又 过同一点 M，
∴M、A、B、C 四点共面， ∴M 在面 ABC 内．
规律方法 1．空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序 实数对(x，y)，使 MP xMA yMB.满足这个关系式的点 P 都 在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个 关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．
空间向量的数乘运算
练1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的 任一点O，确定在下列条件下，M是否与A，B，C 三点共面：
1 1 1 ( 1 )O M O A O B O C ; 3 3 3 (2 )O M2 O AO BO C .
练2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
1 1 O， , 则x的值为( ) O M x O A ＋ O B ＋ O C 3 3
充要条件是存在实数t,满足等式 若O P O A t A B
P B A
O P O A t a
其中向量 a 叫做直线 的方向向量 . l
a
( 或 A P t A B )
则A、B、P三点共线。
结 论 1 、 若 O Px O A y O B , xy 1 ， A 、 B 、 P 三 点 共 线 .
复习
平面向量基本定理： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
空间中仍然成立 空 间 中 任 意 两 个 不 共 线 向 量 a , b , 那 么 向 量 p
A
1 （ a b) - c 2
B
a
c
b
G
1 （ a b c) 3
D
M C
练习： 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' '
E C
D
B
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
1 1 1 ( 1 )O M O A O B O C ; 3 3 3 (2 )O M2 O AO BO C .
练2.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
1 1 O， , 则x的值为( ) O M x O A ＋ O B ＋ O C 3 3
充要条件是存在实数t,满足等式 若O P O A t A B
P B A
O P O A t a
其中向量 a 叫做直线 的方向向量 . l
a
( 或 A P t A B )
则A、B、P三点共线。
结 论 1 、 若 O Px O A y O B , xy 1 ， A 、 B 、 P 三 点 共 线 .
复习
平面向量基本定理： 如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量， 那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有 一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底．
空间中仍然成立 空 间 中 任 意 两 个 不 共 线 向 量 a , b , 那 么 向 量 p
A
1 （ a b) - c 2
B
a
c
b
G
1 （ a b c) 3
D
M C
练习： 在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
( 1 ) AC x ( AB BC CC )
' '
E C
D
B
' ( 2 ) AE AA x AB y AD
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
_空间向量的数乘运算
D A H E B G C
F
在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心， u u u r 1u u u r u u u r u u u r 求证： .+ O M = ( O A + O B O C )
3
O
A M B D
C
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
点P在直线l上
Û
a
A
P
l B
u u u r u u u r r ?O PO At + a u u u r u u u r u u u r O ? O PO A + t A B u u u r u u u r u u u ru u u r ? O P O A + t ( O B O A ) u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1) t O A + t O B
u u u ru u u r u u u r u u u r ? O P O A = x A B + y A C
O
u u u r u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1 -x y ) O A + x O B + y O C
C P
A
B
P在平面 ABC内（四点共面的证明） (2)OP OA x AB y AC (3)OP xOA yOB zOC ( x y z 1）
F
在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心， u u u r 1u u u r u u u r u u u r 求证： .+ O M = ( O A + O B O C )
3
O
A M B D
C
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
3.利用空间向量共线定理和共面定理， 可以解决立体几何中的共点、共线、共 面和平行等问题，这是一种向量方法.
点P在直线l上
Û
a
A
P
l B
u u u r u u u r r ?O PO At + a u u u r u u u r u u u r O ? O PO A + t A B u u u r u u u r u u u ru u u r ? O P O A + t ( O B O A ) u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1) t O A + t O B
u u u ru u u r u u u r u u u r ? O P O A = x A B + y A C
O
u u u r u u u r u u u r u u u r ? O P ( 1 -x y ) O A + x O B + y O C
C P
A
B
P在平面 ABC内（四点共面的证明） (2)OP OA x AB y AC (3)OP xOA yOB zOC ( x y z 1）
空间向量的数乘运算
→ → → 证明】 【证明】 设AB ＝ a，AD＝ b，AA1 ＝ c. ， ， → 2 → 2→ 2 → ∵A1 E＝ 2ED1 ＝ A1 D1 ＝ AD＝ b， ， 3 3 3 → 2→ 2 → 2 → → A1 F＝ FC ＝ A1 C＝ (AC －AA1 ) 3 5 5 2 2 2 2 → → → ＝ (AB ＋AD－AA1 )＝ a＋ b－ c. ＝ ＋ － 5 5 5 5 → → → ∴EF ＝A1 F－A1 E 2 4 2 2 2 ＝ a－ b－ c＝ (a－ b－ c)． － － ＝ － － ． 5 15 5 5 3 2 2 → → → → 又EB ＝EA1 ＋A1 A＋AB ＝－ b－ c＋ a＝ a－ b－ c， － ＋ ＝ － － ， 3 3 → 2→ 所以 ， ， 三点共线． ∴EF ＝ EB .所以 E， F， B 三点共线． 5
→ → 的中点．证明： 向量A 别为 BB1 和 A1 D1 的中点．证明： 向量 1 B、B1 C、 → EF 是共面向量． 是共面向量．
【思路点拨】 思路点拨】 利用向量共面的充要条件 或向量共面的定义来证明． 或向量共面的定义来证明．
【证明】 证明】 → → → → 法一： 法一：EF ＝EB ＋BA1 ＋A1 F 1→ 1 → → ＝ B1 B－A1 B＋ A1 D1 2 2 1 → → → BC)－ ＝ (B1 B＋BC )－A1 B 2 1→ → ＝ B1 C－A1 B. 2 → → → 由向量共面的充要条件知， 由向量共面的充要条件知，A1 B、B1 C、EF 是共面向 量．
例如: 例如:
r 3a
r a r −3a
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 显然 空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
r r r r 即：λ(a +b) = λa + λb r r r a （λ + µ）= λa + µa r r λ(µa) = (λµ)a
空间向量及其运算(共22张PPT)
向量场的点乘
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
两个向量场进行点乘运算，得到一个标量场，其 每个标量是原来两个向量场的对应向量的点乘结 果。
向量场的几何意义
向量场表示了空间中某一点受到的力或速度等物理量的分布情况，可以通 过图形表示出来。
向量场的方向表示了该点受到的力的方向或速度的方向，向量的大小表示 了力的大小或速度的大小。
通过观察图形可以直观地了解向量场的分布情况，从而更好地理解物理现 象和问题。
向量的模
向量的模定义为从起点到终点距离的 长度，记作|a|。
向量的模具有以下性质：|a + b| ≤ |a| + |b|，|a - b| ≤ |a| + |b|，|λa| = |λ||a| （λ为实数）。
向量的加法
向量的加法定义为同起点同终点的向量相加，即a + b = b + a（交换律），(λ + μ)a = λa + μa（结合律）。
向量场具有方向性和大小，表 示了空间中某一点受到的力或 速度等物理量的分布情况。
向量场的运算律
1 2 3
向量场的加法
将两个向量场叠加，得到一个新的向量场，其每 个向量是原来两个向量场的对应向量的和。
向量场的数乘
将一个标量与一个向量场中的每个向量相乘，得 到一个新的向量场，其每个向量是原来向量场的 对应向量与该标量的乘积。
向量在其他领域的应用
经济学
在经济学中，例如在市场分析和供需关系中，可以使用向量来表示不同因素之间的关系，通过向量的运算来分析 这些因素之间的关系。
生物学
在生物学中，例如在生态学和生物力学中，可以使用向量来描述生物体的运动、方向和力的作用，通过向量的运 算来分析这些力的作用和影响。
THANKS
空间向量的数乘运算教学课件
②判断向量共线的关键：找到实数λ.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数 λ，使P→A＝λP→B成立. ②对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R). ③对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1).
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判断向量E→F与A→D＋B→C是否共线？ 解 设AC的中点为G，连接EG，FG， ∴G→F＝12A→D，E→G＝12B→C， 又∵G→F，E→G，E→F共面， ∴E→F＝E→G＋G→F＝12B→C＋12A→D＝12(A→D＋B→C)， ∴E→F与A→D＋B→C共线.
问题导学
知识点一 空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一 定义 个 向量 ，称为向量的数乘
λ＞0
λa与向量a的方向_相__同__
几何
λ＜0
λa的长度是a的 λa与向量a的方向相__反__
定义
长度的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律 结合律
λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λb__ λ(μa)＝_(_λ_μ_)a__
＝O→A＋18A→B＋18A→C， ∴O→P－O→A＝18A→B＋18A→C，∴A→P＝18A→B＋18A→C.
由共面的充要条件，知P，A，B，C四点共面.
12345
解析 答案
3.下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是
A.A→B＋B→C＝A→C
B.A→B－B→C＝A→C
√C.A→B＝B→C
解答
②点M是否在平面ABC内？ 解 由①知向量M-→A，M-→B，M-→C共面， 又它们有共同的起点M， 且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面， 即点M在平面ABC内.
(2)证明空间三点共线的三种思路
对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线. ①存在实数 λ，使P→A＝λP→B成立. ②对空间任一点 O，有O→P＝O→A＋tA→B(t∈R). ③对空间任一点 O，有O→P＝xO→A＋yO→B(x＋y＝1).
跟踪训练1 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F 分别是 AB，CD 的中点，请判断向量E→F与A→D＋B→C是否共线？ 解 设AC的中点为G，连接EG，FG， ∴G→F＝12A→D，E→G＝12B→C， 又∵G→F，E→G，E→F共面， ∴E→F＝E→G＋G→F＝12B→C＋12A→D＝12(A→D＋B→C)， ∴E→F与A→D＋B→C共线.
问题导学
知识点一 空间向量的数乘运算
与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积 λa 仍然是一 定义 个 向量 ，称为向量的数乘
λ＞0
λa与向量a的方向_相__同__
几何
λ＜0
λa的长度是a的 λa与向量a的方向相__反__
定义
长度的|λ|倍
λ＝0
λa＝0，其方向是任意的
运算律
分配律 结合律
λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λb__ λ(μa)＝_(_λ_μ_)a__
＝O→A＋18A→B＋18A→C， ∴O→P－O→A＝18A→B＋18A→C，∴A→P＝18A→B＋18A→C.
由共面的充要条件，知P，A，B，C四点共面.
12345
解析 答案
3.下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是
A.A→B＋B→C＝A→C
B.A→B－B→C＝A→C
√C.A→B＝B→C
解答
②点M是否在平面ABC内？ 解 由①知向量M-→A，M-→B，M-→C共面， 又它们有共同的起点M， 且A，B，C三点不共线， ∴M，A，B，C四点共面， 即点M在平面ABC内.
空间向量的数乘运算
（2）OP xOA yOB其中x y 1
巩固练习2
已知空间中三点 A, B, P共线，O为空间中任意一点，
OP 1 OA xOB,则x 3
2 3
共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
探究2 : (1)对空间任意两个不共线的向量a与b, 如果
p xa yb
AD)
AD1
1 2
AC
D1 A1
C1 B1
AD1 AO OD1
D
C
O
ABBiblioteka 探 究1 :(1)对空间任意两个向量a与b,如果a b
a与b有 什 么 位 置 关 系?
(2)反过来, a与b有什么位置关系时, a b?
b
a 2b
共线
a 3b
知识点二 空间向量共线定理
那么向量p与向量 a, b有什么位置关系?
(2)反过来,向量p与向量a与b有什么位置关系时 ,
p xa yb
共面
知识点三 空间向量共面定理
如果两个向量a, b不共线,那么向量p与向量a, b共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对（x, y）,使
p xa yb
注意： 向量a, b不共线
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1) P, A, B,C四点共面.
小结2
判断空间任意四点P, A, B,C共面方法：
(1)AP xAB yAC
(2)OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
例1 已知A, B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，
kOC kOA. k AC 同理，EF k AB, EH k AD, EF EH k(AB AD)
巩固练习2
已知空间中三点 A, B, P共线，O为空间中任意一点，
OP 1 OA xOB,则x 3
2 3
共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
探究2 : (1)对空间任意两个不共线的向量a与b, 如果
p xa yb
AD)
AD1
1 2
AC
D1 A1
C1 B1
AD1 AO OD1
D
C
O
ABBiblioteka 探 究1 :(1)对空间任意两个向量a与b,如果a b
a与b有 什 么 位 置 关 系?
(2)反过来, a与b有什么位置关系时, a b?
b
a 2b
共线
a 3b
知识点二 空间向量共线定理
那么向量p与向量 a, b有什么位置关系?
(2)反过来,向量p与向量a与b有什么位置关系时 ,
p xa yb
共面
知识点三 空间向量共面定理
如果两个向量a, b不共线,那么向量p与向量a, b共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对（x, y）,使
p xa yb
注意： 向量a, b不共线
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1) P, A, B,C四点共面.
小结2
判断空间任意四点P, A, B,C共面方法：
(1)AP xAB yAC
(2)OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
例1 已知A, B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，
kOC kOA. k AC 同理，EF k AB, EH k AD, EF EH k(AB AD)
3.1.2 空间向量的数乘运算
(1)共面，因为OB OC 2OA 3OP 3OA
即(OB OA) (OC OA) 3AP
所以AB AC 3AP,所以AP 1 AB 1 AC 33
又 A B，A C不共线，所以A B，A C，A P共面且有公共点A 从而A, B,C, P四点共面。
例2. 如图，已知平行四边形ABCD，过平
a
b
回顾
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 平面向量中有关结论仍适用于它们.
一、空间向量数乘运算
1.实数 与空间向量 a 的乘积 a仍然
是一个向量.
（1）方向： 当 0
当 0
当 0
时，a与向量 a方向相同； 时时，，aa与是向零量向量a.方向相同；
a
b(b
0)
a // b (b 0)
性质 判定
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA, 所以 OP OA ta
即
OP OA ta
aP
B A
O
(1 t)OA tOB
特别的，当t= 1 时，则有 2
OP 1 (OA OB) 点P为A,B 的中点 2
A、B、P三点共线
AP t AB
OP OA t AB
OP xOA yOB(x y 1)
练习1.对于空间任意一点O，下列命题正
即(OB OA) (OC OA) 3AP
所以AB AC 3AP,所以AP 1 AB 1 AC 33
又 A B，A C不共线，所以A B，A C，A P共面且有公共点A 从而A, B,C, P四点共面。
例2. 如图，已知平行四边形ABCD，过平
a
b
回顾
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题， 平面向量中有关结论仍适用于它们.
一、空间向量数乘运算
1.实数 与空间向量 a 的乘积 a仍然
是一个向量.
（1）方向： 当 0
当 0
当 0
时，a与向量 a方向相同； 时时，，aa与是向零量向量a.方向相同；
a
b(b
0)
a // b (b 0)
性质 判定
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
l
AP OP OA, 所以 OP OA ta
即
OP OA ta
aP
B A
O
(1 t)OA tOB
特别的，当t= 1 时，则有 2
OP 1 (OA OB) 点P为A,B 的中点 2
A、B、P三点共线
AP t AB
OP OA t AB
OP xOA yOB(x y 1)
练习1.对于空间任意一点O，下列命题正
空间向量的数乘运算
O C
D BA OC OD OE c p OB
作 AB // b, BD // a, BC // c
xa yb zc
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
间的一个基底.如： a , b, c
即，P、A、B、C四点共面。
∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP y AB z AC
B、 C 共面. ∴点 P 与 A 、
17
试证明:对于不共线的三点 A 、 B、 C 和平面 ABC 外的 一点 O ,空间一点 P 满足关系式 OP xOA yOB zOC ,则 点 P 在平面 ABC 内的充要条件是 x y z 1 . 证明:⑴充分性 ∵ OP xOA yOB zOC (1 z)OA 可变形为 OP y yOB zOC , ∴ OP OA y(OB OA) z(OC OA) ∴ AP yAB z AC
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。 A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
6
空间向量的加减法
C a
+
b
B
b
O
A
a
OB OA AB CA OA OC
A
D
F
B
E
C
10
共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
选修2-1空间向量的数乘运算2
量,叫做共面向量.
O
a
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
2. 共面向量定理 : 如果两个向量 a 、 b 不共线 , 则向 量 p 与向量 a 、 b 共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
一、 数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样 , 实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量. ⑴当 0 时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0 时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
a
3a
3a
4
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
1 (4) AB AD+ CC1＝AM . 2
6
二、共线向量及其定理
定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)
思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a b , 那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个向量 a , b ( b 0 ),
△BCD 的重心,试用 a 、 b 、 c 表示下列向量:
⑴ DM
1 （ a b) c 2
B M
⑵ AG
A
1 （ a b c) 3
D
G C
11
A a B
9
b
C
p
P
思考 2(课本 P88 思考) B、 C, 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、 满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A 、 B、 C 是否共面?
3.1.2空间向量的数乘运算 课件
答案 原式可以变形为 → → → → OP＝(1－y－z)OA＋yOB＋zOC → → → → → → ∴OP－OA＝y(OB－OA)＋z(OC－OA)， → → → 即AP＝yAB＋zAC.∴点 P 与点 A、B、C 共面．
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3.1.2
问题 4 向量共面在几何中有什么应用？
又因为 E、F 分别为 AD、BC 的中点， → → → → 所以EA＝－ED，BF＝－CF → → → → → → → → 所以 2EF＝(EA＋ED)＋(BF＋CF)＋(AB＋DC)＝AB＋ → → 1 → → DC，所以EF＝2(AB＋DC)．
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3.1.2
问题 2 向量共线在几何中有什么应用？
例 2 如图所示， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 → → 中，E 在 A1D1 上，且A1E＝2ED1，F 在对 → 2→ 角线 A1C 上，且A1F＝ FC. 3 求证：E，F，B 三点共线． → → → 证明 设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. → → → 2→ → 2 → → 2→ ∵A1E＝2ED1，A1F＝3FC∴A1E＝3A1D1，A1F＝5A1C. → 2→ 2 ∴A1E＝3AD＝3b， 2 → → → 2 2 2 → 2 → → ∴A1F＝5(AC－AA1)＝5(AB＋AD－AA1)＝5a＋5b－5c.
3.1.2
3.1.2
空间向量的数乘运算
1．掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平 行)向量、共面向量的意义． 2．能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运 用它们证明空间向量的共线和共面问题． 利用空间向量的数乘运算，理解和表示共线向量和 共面向量，充分体现向量的工具性.
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选修2-1 第三章 3.1.2 空间向量的数乘运算
[解析] M、N 分别是 AC、BF 的中点，而 ABCD、ABEF 都是平行四边形， → → → → 1→ → 1→ ∴MN＝MA＋AF＋FN＝2CA＋AF＋2FB.
→ → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1 → → → 1→ ＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → → → → → ∴CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．
新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________ 在平面α内 或_____________. 平行于平面α 同一个平面 的向量叫做共面向量，共面向量所在 平行于____________ 异面 ． 的直线可能相交、平行或________
7.空间任意两个向量总是共面的， 但空间任 意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD，无论怎样平移都不 能使它们在同一平面内．
指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．
如右图，已知四边形 ABCD 是空间 四边形， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， → F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF＝ 2→ → 2 → 3CB，CG＝3CD. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
[证明] ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， → 1→ → 1 → ∴AE＝2AB，AH＝2AD. → 2→ → 2 → ∵CF＝3CB，CG＝3CD， → 3→ → 3 → ∴CB＝2CF，CD＝2CG，
共线向量 温故知新 回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理， 运算律． 思维导航 1 ．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义， 运算律，共线向量定理还成立吗？
→ → → → → 又∵MN＝MC＋CE＋EB＋BN 1 → → → 1→ ＝－2CA＋CE－AF－2FB， 1→ → 1→ 1→ → → 1→ ∴2CA＋AF＋2FB＝－2CA＋CE－AF－2FB. → → → → → → → ∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)． → → → → → → ∴CE＝2MN，∴CE∥MN，即CE与MN共线．
新知导学
6．a∥α是指a所在的直线____________ 在平面α内 或_____________. 平行于平面α 同一个平面 的向量叫做共面向量，共面向量所在 平行于____________ 异面 ． 的直线可能相交、平行或________
7.空间任意两个向量总是共面的， 但空间任 意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长 → → → 方体，向量AB、AC、AD，无论怎样平移都不 能使它们在同一平面内．
指明两向量有公共点，同理证明二直线平行方法类似．
如右图，已知四边形 ABCD 是空间 四边形， E、 H 分别是边 AB、 AD 的中点， → F、G 分别是边 CB、CD 上的点，且CF＝ 2→ → 2 → 3CB，CG＝3CD. 求证：四边形 EFGH 是梯形．
[证明] ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， → 1→ → 1 → ∴AE＝2AB，AH＝2AD. → 2→ → 2 → ∵CF＝3CB，CG＝3CD， → 3→ → 3 → ∴CB＝2CF，CD＝2CG，
共线向量 温故知新 回顾复习平面向量中数乘向量与共线向量的概念与定理， 运算律． 思维导航 1 ．参照平面向量思考，空间向量中，数乘向量的定义， 运算律，共线向量定理还成立吗？
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2020年10月2日
bC
p
p
A aB
8
C
P
A
B
空间一点P位于平面ABC内 存在有序实数对(x，y)，使 O
A PxA By A C
O P O A x A B y A C
20O 20年10P 月2日 O A x ( O B O A ) y ( O C O A 9)
对空间任一点O和不共线三点A、B、C，
共线向量基本定理：
对空间任意两个向量a,b(b0),
a//b存在实数，使得ab.
2020年10月2日
5
若O PxO Ay O B ，则点P、A、B共线的
充要条件是x＋y＝1；
点P在直线l上
a
PB l
存在实数t，使 AP ta A
O PO Ata
O PO A t A B O
O P O A t ( O B O A )
探究：对空间任意两个向量a，b，若 a＝λb，则向量a与b的有什么位置关系？ 反之向量a与b的有什么位置关系时，a＝ λb ？
若a＝λb，则向量a与b共线；反之，当
b＝0时不成立. 2020年10月2日
4
2. 共线向量
对空间两个向量a，b(b≠0)，a//b的充 要条件是什么？
存在实数λ，使a＝λb.
DC
A
B
H E
G
F
12
小结作业
1.向量平行、共面与直线平行、共面是 不同的概念，共线向量通过平移可以移 到同一条直线上，共面向量通过平移可 以移到同一个平面上.
2.空间向量共线定理与平面向量共线定 理是一致的，空间向量共面定理是平面 向量基本定理的拓展，是判断空间向量 是否共面的理论依据.
2020年10月2日
O P ( 1t ) O A t O B 2020年10月2日
6
3. 共面向量
平行于同一平面的向量，叫做共面向量
空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量就不一定共面。
2020年10月2日
7
3. 共面向量
若向量a，b不共线，则向量p与a，b共面 的充要条件是：存在惟一的有序实数对 (x，y)，使p＝xa＋yb.
若O Px O A y O B z O C ，则点P在平 面ABC内的充要条件是 x＋y＋z＝1.
C
P
A
B
O O P O A x ( O B O A ) y ( O C O A )
O P ( 1 x y ) O A x O B y O C 2020年10月2日
10
理论迁移
例1 在空间四边形ABCD中，E、F分别是
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算 3.1.2空间向量的数乘运算
2020年10月2日
1
1. 空间向量的数乘运算
实 数 与 空 间 向 量 a的 乘 积 a
仍 然 是 一 个 向 量 .
（1）大小：|λa|＝|λ|·|a|; （2）方向：λ＞0时同向，
λ＜0时反向，
λ＝0时λa＝0.
2020年10月2日
2
1. 空间向量的数乘运算
（3）运算律：
分 配 律 ： （ a + b ） = a + b
结 合 律 ： （ a ） = a
2020年10月2日
3
2. 共线向量
共线向量: 如果表示空间向量பைடு நூலகம்有向线段所在的直线互 相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． 规
定: o 与任一向量 a 是共线向量.
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
14
AB、CD的中点，求证：向量E F 与B C 、 A D 共面.
A
E
B
D
F C
2020年10月2日
11
例2 已知平行四边形ABCD，从平面AC
外一点O引向量 OEkOA，OFkOB， OGkOC，OHkOD，求证： （1）E、F、G、H 四点共面；
（2）平面AC//平面EG． O
2020年10月2日
13
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