抽象函数与复合函数

合集下载

专题求函数、抽象函数和复合函数的定义域(可编辑)

求函数、抽象函数和复合函数的定义域注意：定义域必须用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接.【例1】求下列函数的定义域：（1）62+=x y ；（2）2322---=x x x y ；（3）52210++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y ；（4）x y --=113. 解：（1）[-3，+∞）；（2）{x |0≤x 且21-≠x }；（3）{x |5-≠x 且21≠x }；（4）{x |1≤x 且0≠x }1. 抽象函数：没有给出具体解析式的函数.2. 复合函数：如果函数()t f y =的定义域为A ，函数()x g t =的定义域为D ，值域为C ，则当A C ⊆时，称函数()()x g f y =为()t f 和()x g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，()x g t =叫做内层函数，()t f y =叫做外层函数.【例2】已知函数()32+=x x f ，求()2-f ，()3f ，()a f ，()12+a f 的值. 解：()2-f =-1；()3f =9；()32+=a a f ；()52122+=+a a f【例3】已知函数()x f 的定义域为{x |11<<-x }，则函数()12+x f 的定义域为___（-1，0）____.【例4】已知函数()1+x f 的定义域为[-3，1]，则()12-x f 的定义域为___[3-，3]____.【例5】已知()12-x f 的定义域为[-1，3]，则()x f 的定义域为___[-1，8]____.练习：1. 函数()1312+---=x x x f 的定义域为____[21，3]____. 2. 函数()()220+-=x x x f 的定义域为____{x |2->x 且2≠x }____. 3. 函数()()012++=x x f 的定义域为___[-2，+∞）_____. 4.（新课标Ⅱ卷）已知函数()x f 的定义域为（-1，0），则()12+x f 的定义域为（ B ）A.（-1，1）B.（-1，21-）C.（-1，0）D.（21，1）5. 已知函数()x x f =，则()1-x f 的定义域为（ B ）A.（-∞，+∞）B.[1，+∞）C.（-∞，1]D.[0，+∞）6. 已知函数()x f 的定义域为[0，2]，则()()12-=x x f x g 的定义域为___[0，1）____. 7. 已知函数()12-x f 的定义域为[-3，3]，则()x f 的定义域为___[-7，5]____.8.已知函数()x f 的定义域为[-2，1]，则()()()x f x f x g -+=的定义域为___[-1，1]____.9. 已知函数()3+x f 的定义域为[-5，-2]，则()()11-++x f x f 的定义域为___[-1，0]____.10. 设函数()11-=-x x f ，则函数()x f 的定义域为___[0，+∞）_____. 11. 设函数()1-=x x f ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 42的定义域为（ B ） A.[21，4] B.[2，4] C.[1，+∞） D.[41，2] 12. 已知函数()1+x f 的定义域为[0，3]，则()23-x f 的定义域为___[1，34]____.。

高一期中抽象函数知识点

高一期中抽象函数知识点高一期中考试即将来临，作为数学科目的一部分，抽象函数是需要重点掌握的知识点之一。

抽象函数作为高中数学的重要内容，其概念和特点需要认真理解与掌握。

本文将从抽象函数的定义、图象与性质、常见的抽象函数类型等多个方面进行论述，以帮助同学们更好地理解和掌握抽象函数的知识。

一、抽象函数的定义抽象函数是指其中一个函数的自变量包含了另一个函数。

通常，我们把包含有另一个函数的函数称作「外层函数」，而另一个函数称作「内层函数」。

举个例子，f(g(x))中的f(x)就是外层函数，g(x)就是内层函数。

二、抽象函数的图象与性质抽象函数的图象一般来说比较复杂，因为它是内外两个函数共同作用的结果。

要绘制抽象函数的图象，需要先绘制内层函数和外层函数的图象，然后观察两个图象的叠加效果。

在绘制图象时，需要注意变量的定义域和值域范围，以确保图象的正确性。

关于抽象函数的性质，可以通过以下几个方面进行分析：1. 定义域和值域的确定：抽象函数的定义域取决于内外两个函数的定义域，并且需要满足内层函数的值域在外层函数的定义域范围内。

对于值域而言，抽象函数的值域取决于内层函数。

2. 函数的奇偶性：抽象函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，而与内层函数的奇偶性无关。

具体来说，如果外层函数是奇函数，则抽象函数也是奇函数；如果外层函数是偶函数，则抽象函数也是偶函数。

3. 函数的增减性：抽象函数的增减性取决于内外两个函数的增减性。

一般来说，如果外层函数是递增函数，且内层函数的导数存在且大于0，那么抽象函数是递增函数；如果外层函数是递减函数，且内层函数的导数存在且小于0，那么抽象函数是递减函数。

三、常见的抽象函数类型1. 复合函数：复合函数是抽象函数的一种常见类型，它将两个函数进行组合，其中一个函数作为另一个函数的自变量。

例如，f(g(x))就是一种典型的复合函数。

2. 函数的逆运算：在函数的逆运算中，内层函数和外层函数的关系是倒置的。

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高二数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.设函数，则使得成立的的取值范围是 .【答案】.【解析】，即.【考点】分段函数、解不等式.2.已知函数．（1）求证：；（2）解不等式【答案】（1）利用分段函数的三段论来得到结论。

（2）【解析】（1），又当时，，∴（2）当时，；当时，；当时，综合上述，不等式的解集为：【考点】二次不等式点评：主要是考查了绝对值不等式以及二次不等式的求解，属于基础题。

3.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据奇偶函数的定义，为奇函数的有，，但在是增函数，故选B。

【考点】函数的奇偶性、单调性，复合函数的单调性。

点评：简单题，复合函数的单调性遵循“内外层函数，同增异减”。

4.函数f(x)= ，则+ f ( 1 )=【答案】4【解析】，，则+ f ( 1 )=4【考点】分段函数点评：在分段函数中，不管是求出函数值，还是求出自变量，需分清自变量的范围。

5.已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为()A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由于函数f(x)＝，那么当x<0时，则可知x(x+4)=0,x=-4,满足题意，因此可知成立。

同时当，=0，x=0,x=4,有两个零点，综上可知共有3个零点,故选C.【考点】函数的零点点评：解决的关键是对于分段函数的各段的零点分别讨论求解得到结论，属于基础题。

易错点就是忽略了定义域的范围，造成多解。

6.已知函数，，且，当时，是增函数，设，，，则、、的大小顺序是（）。

A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于函数，，且，可知x=2是函数的对称轴，同时当时，是增函数，当x<2是减函数，那么对于∴1＜＜2，＜1，,∴a=f（）＜f（1）=c=f（）＜b=f（），故选B【考点】抽象函数的性质点评：根据题意得到函数的对称轴方程，以及函数的单调性，是解决的关键，属于基础题。

7.已知函数，则 .【答案】2【解析】8.（本题满分12分）已知函数是定义在的增函数，且满足（1）求（2）求满足的x的取值范围.【答案】（1）取得f(1)=0；(2) 且，解得【解析】本题主要考查抽象函数问题，赋值法是解决抽象函数问题的一种很重要的方法，利用函数的单调性去掉函数的对应法则解决函数不等式也是一种常用的方法。

2018-8-5复合函数抽象函数高一版本

复合函数抽象函数1. 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

2. 复合函数的构成：设u =g(x)是A 到B 的函数，y =f(u)是B’到C’上的函数，且B ⊆B′，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么y =f[g (x )]就是A 到C 上的函数。

此函数称为由外函数y =f(x)和内函数u =g(x)复合而成的复合函数。

说明：⑴ 函数f(x)的定义域是指x 的取值范围。

⑵ 复合函数的定义域，就是复合函数y =f[g (x )]中x 的取值范围。

而不是g(x)的取值范围。

⑶ x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为g(x)的值域. ⑷ f[g (x )]与g[f (x )]表示不同的复合函数。

求定义域题目类型及做法：⑴ 已知f(x)的定义域为A ，求f[g (x )]的定义域，其实是已知g(x)的取值范围A ，求x的取值范围。

⑵ 已知f[g (x )]的定义域为B ，求f(x)的定义域，其实质是已知f[g (x )]中的x 的取值范围为B ，求出g(x)的取值范围（值域）。

此范围就是f(x)的定义域。

⑶ 在相同对应法则f 下的变量的范围相同，即f(t)、f[φ(x )]、f[g (x )]三个函数中t,φ(x),g(x)的范围（值域）相同。

⑷ 已知f[g (x )]的定义域，求f[g (x )]的定义域，先由x 的取值范围，求出g(x)的取值范围，即f(x)中的x 的取值范围，再由此确定g(x)的取值范围，进而根据g(x)的取值范围，求出g(x)中x 的取值范围。

题型一求复合函数f[φ(x )]1. 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．2. 已知f (x )=1−x 1+x ( x ∈R,且x ≠−1)，g (x )=x 2−1 (x ∈R ).⑴ 求f(2),g(3)d 的值；⑵ 求f [g (3)]的值及f [g (x )].⑶ 求f(1x )3.设f(x)=2x−1,g(x)=2x+1,求f[f(x)],f[g(x)],g[g(x)],g[f(x)].题型二根据抽象函数求f(x)4.若f(1x )=x1−x，求f(x).5.已知函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=1x，求f(x).6.(1) 已知函数f(x)=x2，求f(x−1).(2) 已知函数f(x−1)=x2，求f(x).7. 已知f(x)是一次函数，且满足3f (x +1)−2f (x −1)=2x +17，求f(x).题型三求复合函数的定义域8. ⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；（3）已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．9. （1）已知函数f(x)的定义域是[0,1]，求f(x 2+1)的定义域；（2）已知函数f(2x −1)的定义域为[0,1),求f (1−3x )的定义域.10.已知函数y=f(x)的定义域是[-2,4]，求g(x)=f(x)+f(−x)的定义域.附：函数值域1.求f(x)=2x−1(x∈(1,2))的值域的值域2.求f(x)=x+1x3.求f(x)=x+2的值域x+14.求f(x)=x2+2x+1的值域5.求f(x)=√2x+1的值域6.求f(x)=√x−1+x的值域。

高中数学抽象函数、复合函数综合练习

C．1或4D．
错解：由2 （x－2y）＝ x＋ y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．
答案：选B
正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x－2y＞0，所以x＞2y．所以x＝y舍掉．只有x＝4y．
。
答案：D
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f（x）＝（x＋1）满足f（x）＞0，则a的取值范围为（）
减 ↘
\
增 ↗
减 ↘
减 ↘
增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
（3）、复合函数的单调性判断步骤：
ⅰ确定函数的定义域；
*
ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：与。
ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；
ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数。
即f的作用范围为，又f对f(x)作用
所以，即中x应满足
即，解得
故函数的定义域为
%
（2）、已知的定义域，求的定义域
思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3.已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
（4）例题演练
例1、求函数的单调区间，并用单调定义给予证明
解：定义域
单调减区间是设则
}
=
∵ ∴
∴ > 又底数
∴ 即
∴ 在上是减函数
同理可证：在上是增函数
［例］2、讨论函数的单调性.

高中数学.复合函数、抽象函数、函数零点

1、复合函数的性质：对于单调性，有“同步增，异步减”．对于奇偶性，若每层函数均有奇偶性，则有“全奇才奇，有偶则偶”．对于周期性，内层函数为周期函数的复合函数仍为周期函数．2、抽象函数往往有它所对应的具体函数模型，常见的抽象函数模型有： ⑴ 正比例函数：()()()f x y f x f y +=+； ⑵ 指数函数：()()()f x y f x f y +=； ⑶ 对数函数：()()()f xy f x f y =+； ⑷ 幂函数：()()()f xy f x f y =．3、函数的零点⑴ 满足()0f a =的a 叫做函数()f x 的零点，即方程()0f x =的实数根，也即函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标．⑵ 零点定理：若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图象是连续不断的曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即()()0f a f b ⋅<．则在区间(),a b 内，函数()y f x =至少有一个零点．特别的，如果函数在此区间上单调，则函数()y f x =在此区间上有且只有一个零点．⑶ 零点个数的判断通常借助函数图象，零点问题和交点问题往往需要通过互相转化解决．知识梳理知识结构图复合函数、抽象函数、函数零点1、（2007北京理）对于函数①()()lg 21f x x =-+，②()()22f x x =-，③()()cos 2f x x =+，判断如下三个命题的真假：命题甲：()2f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数；命题丙：()()2f x f x +-在(),-∞+∞上是增函数．能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是．A ．①③B ．①②C ．③D ．②【解析】 D2、（2011北京理13）已知函数()()32212x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩，≥，，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．【解析】 ()0,1；1、()213log 54y x x =-+的单调递增区间为（）A ．(),1-∞B ．5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞ 2、设函数()xf x a -=（0a >且1a ≠），()24f =，则（）A ．()()21f f ->-B ．()()12f f ->-C ．()()12f f >D ．()()22f f ->3、已知()()log 2a f x ax =-是[]0,1上的减函数，则a 的值可能为（） A ．12 B ．32C ．2D ．3 4、已知函数()2x f x x =+，()2log g x x x =+，()2log 2h x x =-的零点分别为a 、b 、c ，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5、已知函数()()()2f x x a x b =---（a b <），并且α、β是方程()0f x =的两个根（αβ<），则实数a 、b 、α、β的大小关系是（）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<6、已知函数()22f x x x c =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=（2n ≥，n *∈N ），若函数()n f x x -不存在零点，则c 的取值范围是（） A ．14c <B ．34c ≥C ．94c >D ．94c ≤ 小题热身真题再现7、下列关于函数()()log 1x a f x a =-（0a >且1a ≠）的命题： ① 无论a 取何值，()f x 均为R 上的增函数； ② 无论a 取何值，()f x 的值域均为R ； ③ 无论a 取何值，()f x 一定有零点； ④ 存在某个a ，使得()f x 恰好有两个零点．其中正确的命题个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．38、若单调函数()f x （x ∈R ）满足()()()f x y f x f y +=⋅，则()f x 的值域为（） A ．R B ．()(),00,-∞+∞ C ．()0,+∞ D ．不能确定9、已知函数()2243f x x x -=-+-，设()()()()F x p f f x f x =⋅+，其中p 为负实数．若()F x 在区间(),3-∞-上是减函数，在区间()3,0-上是增函数，则p 的值为（）A ．1-B ．18-C ．116-D ．12-10、已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则关于x 的方程()()20m f x nf x p ++=⎡⎤⎣⎦（实数,,,,,0a b c m n p ≠）的解集不可能是（）A ．{}1,2B ．{}1,4C ．{}1,2,3,4D ．{}1,4,16,641 2 3 4 5 6 7 8 9 10 AABAACCCCD考点：复合函数的定义域与值域【例1】 ⑴函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为，值域为．⑵函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域为，值域为．⑶函数21122log log 2y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为_________，值域为____________．【解析】 ⑴ [)0,+∞，(]0,1；⑵ [11]-，，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；⑶ [)1042⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦，，，[0)+∞，；4.1复合函数经典精讲【例2】 ⑴已知函数()()2lg 21f x ax x =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围．⑵已知函数()()2lg 21f x axx =++的值域为R ，求实数a 的取值范围．【解析】 ⑴ ()1,+∞；⑵[]0,1；【拓1】 ⑴ 已知()32log f x x =+，[]1,9x ∈，求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域．⑵ 设2,1(),1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩≥，()g x 是二次函数，若()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域是[)0,+∞，求函数()g x 的值域．⑶ 设[]2,8x ∈，函数()()21()log log 2a a f x ax a x =⋅的最大值是1，最小值是18-，求a 的值．【解析】 ⑴ []6,13⑵ [)0,+∞． ⑶ 12a =．考点：复合函数的性质初步【例3】 ⑴函数()212log 56y x x =-+的单调增区间为（）A ．52⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，B ．(3)+∞，C ．52⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， D ．(2)-∞，⑵函数2212x x y -++⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间是（）A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],1-∞-C ．[)2,+∞D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦⑶函数421x x y =-+的值域为_______，单调递减区间为________．【解析】 ⑴ D ；⑵ D ；⑶ 3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；(),1-∞-．考点：复合函数的性质综合【例4】 ⑴函数()()212log 23f x x ax =-+，若()f x 在(],1-∞内是增函数，则a 的取值范围为________；若()f x 的单调递增区间是(],1-∞，则a 的取值范围为________． ⑵已知函数()()31axf x a -=≠，若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是． ⑶若函数()()2log 2a f x x x =+（0a >且1a ≠）在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调增区间是．【解析】 ⑴ [12)，；{1}．⑵()(],01,3-∞；⑶1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭考点：抽象函数的函数值问题【例5】 ⑴若奇函数()f x （x ∈R ）满足()21f =，()()()22f x f x f +=+，则()1f = ； ⑵定义在实数R 上的函数()y f x =具有如下性质： ①对任意x ∈R ，都有()()33f x f x =⎡⎤⎣⎦；②对任意12x x ∈R ，，且12x x ≠，都有()()12f x f x ≠．则()()()101f f f -++=________． ⑶已知函数()f x （x ∈R ）满足()12f =，()()()2f x y f x f y xy +=++，则 ()2f = ，()3f = ，()3f -= ．⑷()f x 是定义在(0)+∞，上的增函数，对正实数x 、y 都有()()()f xy f x f y =+成立．则不等式()2log 0f x <的解集为_ ______．【解析】 ⑴12； ⑵ 0；⑶ 6，12，6； ⑷ ()1,2；【拓2】定义在[]0,1上函数()f x 满足：① ()00f =；② ()()11f x f x +-=； ③ ()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；④ 对任意12,x x []0,1∈，若12x x <，则()()12f x f x ≤．则()1f = ，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【追问】12013f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】 ()11f =；1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1132f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；1184f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【追问】112013128f ⎛⎫=⎪⎝⎭． 4.2抽象函数考点：抽象函数的性质【例6】 ⑴若函数()f x （x ∈R ，且0x ≠）对任意的非零实数,x y 满足()()()f xy f x f y =+．求证：()f x 为偶函数．⑵定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：① 对任意x ，y ∈R ，恒有()()()f x y f x f y +=+； ② 当0x >时，()0f x <，且()12f =-．判断函数()f x 的奇偶性，并求函数()f x 在区间[]2,4-上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令1,1x y ==-得(1)(1)(1)f f f -=+-，于是(1)0f =；再令1x y ==-得(1)2(1)0f f =-=，于是(1)0f -=．令1y =-得()()(1)()f x f x f f x -=+-=，又()f x 的定义域关于原点对称．故()f x 为偶函数． ⑵ ()f x 在区间[]2,4-上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【备注】本题可以通过函数原型快速得到答案或得到启发．对于⑴()ln f x x =（x ∈R ）是符合函数的函数原型；对于⑵()2f x x =-（x ∈R ）是符合函数的函数原型．【拓3】函数()f x 的定义域为R ，且()f x 的值不恒为0，又对于任意的实数m ，n ，总有()()22n m f m f n mf nf⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立． ⑴ 求(0)f 的值；⑵ 求证：()0t f t ⋅≥对任意的t ∈R 成立； ⑶ 求所有满足条件的函数()f x ．【解析】 ⑴ (0)0f =；⑵ 对任意t ∈R ，令2m n t ==，得2(2)4()f t t f t =⋅，于是21()(2)04t f t f t ⋅=≥； ⑶ ()f x x =．考点：零点定理【例7】 ⑴函数()237x f x x =+-在区间[02]，上的零点必在下面的区间（）内．Ａ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｂ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｃ．312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，Ｄ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ⑵设函数()32log x f x a x+=-在区间()1,2内有零点，则实数a 的取值范围是（） A ．()31,log 2-- B ．()30,log 2 C ．()3log 2,1 D ．()31,log 4 【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；4.3函数零点考点：函数图象与零点、交点问题【例8】 ⑴方程2log (3)2x x +=的解的情况是（）A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一个正根和一个负根D ．有两个负根⑵已知()2881651x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，≤，，()ln g x x =，则()f x 与()g x 的图象的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4⑶若函数()x f x a x a =--（0a >且1a ≠）有两个零点，则实数a 的取值范围是． ⑷若不等式2log 0a x x -<对102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，恒成立，则实数a 的取值范围是_______．【解析】 ⑴ C ；⑵ C ；⑶ (1,)+∞；⑷ 1116⎡⎫⎪⎢⎣⎭，；考点：复合函数的零点问题【例9】 ⑴已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图象如下所示：-22-22y -11-11Ox-22-22y -11-11Oxf xg x 给出下列四个命题：①方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有6个根 ②方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有3个根 ③方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个根 ④方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有4个根其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）． ⑵设1,11()1,1x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解123,,x x x ，则222123x x x ++等于．【解析】 ⑴ ①③④；⑵ 5；【拓4】已知()2f x x px q =++，关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，求证：p 与q 同时大于0或者p 与q 同时等于0．【解析】关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数根，()f x 的图象只有如图两种情形（分别对应0∆>和0∆=的情形）．进而容易证明命题成立．y=x 2y=x 1x 2x 1 yOx O xy一、选择题 1、设()()23132x x f x k =-+⋅+，当0x >时()f x 恒取正值，则k 的取值范围为（） A ．(),1-∞- B ．(),221-∞- C ．()1,221-- D ．()221,221---【解析】 B ；2、设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00()x y ，，则0x 所在的区间是（）A ．(01)，B ．(12)，C ．(23)，D ．(34)，【解析】 B ；3、关于x 的方程1log (0x aa x a =>且1)a ≠（）A ．仅当1a >时，有唯一解B ．仅当01a <<时，有唯一解C ．有唯一解D ．无解【解析】 C ．4、设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题：①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当00b c =>，时，方程()0f x =只有一个实根； ③函数()y f x =的图象关于点(0)c ，对称； ④方程()0f x =至多有两个实根；其中正确命题的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 C ；二、填空题 5、设函数22()log log (1)f x x x =+-，则()f x 的定义域是_______；()f x 的最大值是_____．【解析】 (0,1)；2-．6、函数22()log (3)log (1)f x x x =++-的值域是___________，单调递增区间为_______．【解析】 (,2]-∞，(3,1)--．课后习题7、若log (2)a y ax =-在[]01，上是x 的减函数，则a 的取值范围是______．【解析】 (12)a ∈，；三、解答题 8、已知定义域为R 的函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=，且()31f >． ⑴求()0f ；⑵求证：()41f -<．【解析】 ⑴ (0)1f =；⑵ 3(3)(2)(1)(1)1f f f f ==>，故(1)1f >，从而24(4)(2)(1)1f f f ==>．令4,4x y ==-得，(4)(4)(0)1f f f -==，故1(4)1(4)f f -=<．命题得证．【备注】()()()f x y f x f y +=的函数原型是指数函数()x f x a =，由(3)1f >知，1a >． 9、函数()2x f x =和()3g x x =的图象的示意图如图所示．设两函数的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，且12x x <．x 1x 2BA C 2C 1yO x⑴ 请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？⑵ 若[]1,1x a a ∈+，[]2,1x b b ∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出a 、b 的值，并说明理由；⑶ 结合函数图象示意图，请把()πf 、()πg 、()2013f 、()2013g 四个数从小到大顺序排列．【解析】 ⑴ 1C 对应函数()3g x x =，2C 对应函数()2x f x =；⑵ 如下表，可得1a =，9b =．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12()f x 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ()g x1 8 27 641252163435127291000 1331 1728()()()() 10、已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=．⑴ 若方程有两根，其中一根在区间()1,0-内，另一根在区间()1,2内，求m 的范围． ⑵ 若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围．【解析】 ⑴5162m -<<-．⑵1122m -<-≤。

抽象函数和复合函数的应用解析版

抽象函数与复合函数的应用①抽象函数的性质(定义域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)②常见抽象函数模型①-一次函数、二次函数、反比例函数③常见抽象函数模型②-指对幂函数、三角函数④复合函数的应用一、必备知识整合一、抽象函数的性质1.周期性：f x +a =f x ⇒T =a ；f x +a =−f x ⇒T =2a ；f x +a =kf x⇒T =2a ；(k 为常数)；f x +a =f x +b ⇒T =a −b 2.对称性：对称轴：f a −x =f a +x 或者f 2a −x =f x ⇒f x 关于x =a 对称；对称中心：f a −x +f a +x =2b 或者f 2a −x +f x =2b ⇒f x 关于a ,b 对称；3.如果f x 同时关于x =a 对称，又关于b ,c 对称，则f x 的周期T =a −b 4.单调性与对称性(或奇偶性)结合解不等式问题①f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2>0；f x 在R 上是奇函数，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >0，则有x 1+x 2<0；②f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 >x 2 (不变号加绝对值)；f x 在R 上是偶函数，且f x 在0,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1 <x 2 (变号加绝对值)；③f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递增⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2>2a ；f x 关于a ,b 对称，且f x 单调递减⇒若解不等式f x 1 +f x 2 >2b ，则有x 1+x 2<2a ；④f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递增⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a >x 2−a (不变号加绝对值)；f x 关于x =a 对称，且f x 在a ,+∞ 单调递减⇒若解不等式f x 1 >f x 2 ，则有x 1−a <x 2−a (不变号加绝对值)；5.常见的特殊函数性质一览①f x =log a 1+mx 2±mx 是奇函数②f x =log ak −x k +x f x =log a k +xk −x(k 为常数)是奇函数③f x =1−a x 1+a x 或者f x =1+a x 1−a x 或者f x =a x +1a x −1或者f x =a x −1a x +1是奇函数④f x =m a x+1关于0,m2 对称⑤f g x 复合函数的奇偶性：有偶为偶，全奇为奇二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：f (x +y )=f (x )f (y )f (x )+f (y )，则f (x )=f (1)x ，x ,f (x ),f (y ),f (x +y )均不为0【一次函数模型】模型1：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )=f (1)x ；模型2：若f (x ±y )=f (x )±f (y )，则f (x )为奇函数；模型3：若f (x +y )=f (x )+f (y )+m ,则f (x )=f 1 +m x -m ；模型4：若f (x -y )=f (x )-f (y )+m ,则f (x )=f 1 -m x +m ；【指数函数模型】模型1：若f (x +y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型2：若f (x -y )=f (x )f (y )，则f (x )=[f (1)]x ；f (x )>0模型3：若f (x +y )=f (x )f (y )m ，则f (x )=f 1 mxm；模型4：若f (x -y )=m f (x )f (y )，则f (x )=m f 1 m x ；【对数函数模型】模型1：若f (x n )=nf (x )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x >0模型2：若f (xy )=f (x )+f (y )，则f (x )=f a log a x a >0且≠1,x ,y >0模型3：若fxy=f(x)-f(y)，则f(x)=f a log a x a>0且≠1,x,y>0模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m，则f(x)=f a +mlog a x-m a>0且≠1,x,y>0模型5：若fxy=f(x)-f(y)+m，则f(x)=f a -mlog a x+m a>0且≠1,x,y>0【幂函数模型】模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1模型2：若fxy=f(x)f(y)，则f x =f a log a x a>0且≠1,y≠0,f y ≠0代入f a 则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx模型2：若f(x)+f(y)=2fx+y2f x-y2f(x)不恒为0，则f(x)=cos wx【正切函数模型】模型：若f(x±y)=f(x)±f(y)1∓f(x)f(y)f(x)f(y)≠1，则f(x)=tan wx模型3：若f(x+y)+f(x-y)=kf(x)f(y)f(x)不恒为0，则f(x)=2kcos wx三、复合函数1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。

46.分段函数、复合函数和抽象函数

46．分段函数、复合函数和抽象函数分段函数、复合函数和抽象函数是三类特殊的函数，它们的性质及其应用也是函数中的一个难点．如何攻克？只需回归函数及其性质（单调性、奇偶性）的定义，其中有解决上述问题的宝贝，就看你能不能淘出来．一、分段函数1．定义域、值域例1 已知函数⎩⎨⎧≤≤+<<--=.30,1,02,212x x x x y ，则它的定义域是；值域是 . 分析：把两段的x 的取值范围并起来，即为函数的定义域；分段求出函数值的取值范围，它们的并集就是函数的值域.解：函数的定义域是]3,2(]3,0[)0,2(-=- .因为函数x y 21-=在区间)0,2(-上是减函数，所以此时51<<y ；因为函数12+=x y 在区间]3,0[上是增函数，所以此时101≤≤y .所以函数的值域是]10,1[]10,1[)5,1(= .评注：函数的定义说得清楚：定义域是自变量的取值范围，何为自变量，就是函数中能自主变化的量.值域是函数值的取值集合，故求分段函数的定义域和值域时，要遵循先分后总的原则，把各段自变量和函数值的取值范围并起来.例2 求函数|1||3|+-+=x x y 的值域.分析：通过讨论x 的范围去绝对值符号后，可把此函数转化为分段函数.解：当3-<x 时，2)]1([)3(-=+--+-=x x y ；当13-≤≤-x 时，42)]1([3+=+--+=x x x y ；当1->x 时，2)1(3=+-+=x x y .所以⎪⎩⎪⎨⎧->-≤≤-+-<-=.1 ,2,13 ,42,3 ,2)(x x x x x f ，因为当13-≤≤-x 时，2422≤+≤-x .所以原函数的值域为}22|{}22|{}2{}2{≤≤-=≤≤--y y y y评注：含绝对值的函数一般都需先去掉绝对值符号再解决问题，而去掉绝对值的方法是讨论自变量的范围，这样就把函数转化成了分段函数.2．奇偶性例3 若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=.0,,0,,0,2)(x b x x a x x x f 是奇函数，则=+b a .分析：根据奇函数的定义求出b 的值，根据奇函数的性质求出a 的值，即可求b a +.解：当0<x 时，0>-x ，所以2)(--=-x x f .因为函数)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-，所以b x x x f +=+=2)(，所以2=b .又因为0)0(==a f ，所以2=+b a .评注：根据奇函数的定义，对于定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，这是本题求解的依据.若给定一个分段函数，判断其奇偶性，那就需依据函数奇偶性的定义，全定义域考证.3．单调性例4 设⎩⎨⎧≥<-+=.1,,1,4)13()(2x ax x a x a x f 是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 . 分析：先求出每一段是增函数时a 的取值范围，再求出当1=x 时24)13(ax a x a ≤-+的a 的取值范围.两个范围的交集即为a 的最终取值范围.解：因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧⨯≤-⨯+>>+.141)13(,0,0132a a a a a 解得21≥a . 所以a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21. 淘宝：根据函数单调性的定义，若使函数)(x f 在其定义域上是增函数，只保证答每段都增是不够的，还要保证函数在两端的衔接处也是增的，这一点往往容易被忽视.二、复合函数例5 已知函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是 .分析：函数)78lg(2-+-=x x y 是由函数u y lg =与782-+-=x x u 复合而成的，故它的单调性取决于这两个函数的单调性.因为函数u y lg =是增函数，故若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，只需在0782>-+-=x x u 前提下求出782-+-=x x u 的递增区间，即为函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间，然后通过)1,(+m m 是这个递增区间的子集求m 的取值范围.解：由0782>-+-=x x u ，可得71<<x ，而函数782-+-=x x u 的递增区间为)4,(-∞，∴函数)78lg(2-+-=x x y 的递增区间为)4,1(.若使函数)78lg(2-+-=x x y 在)1,(+m m 上是增函数，须使)4,1()1,(⊆+m m ，只需⎩⎨⎧≤+≥.41,1m m 解得 31≤≤m ，所以m 的取值范围是]3,1[.评注：二重复合函数))((x g f y =的单调性遵循同增异减的规则，解释如下：函数的性质其实都是由对应关系决定的.函数))((x g f y =的自变量是x ，函数值是y ，根据函数单调性的定义，其单调性要看这两个量的变化关联（)(x g 作为中间变量，只起沟通与过渡的作用）.如：若f 和g 同增，则当x 增大时，)(x g 增大，则))((x g f y =也增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =单调递增；而当f 和g 同减时，则当x 增大时，)(x g 减，则))((x g f y =反而增大，即x 增大时，y 也增大，所以))((x g f y =也单调递增.所以得出“同增”的结论，“异减”同样分析，关键是看两端（即x 与y ）变化关联.本例的易错点是范围端点值的取舍不当.例6 （多选题）已知函数)(x f 的定义域为R ，且)1(+x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，则下列说法正确的个数为（）A ．0)7(=fB ．)(x f 的一个周期为8C ．)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(D ．)(x f 图象的一条对称轴为直线2022=x分析：根据的)1(+x f 和)1(-x f 奇偶性，得到两个等式，进而推出函数)(x f 的的对称性和周期性，即可进行判选.解：由)1(+x f 是偶函数，得)1()1(x f x f +=-①，即直线1=x 是)(x f 图象的对称轴；又由)1(-x f 是奇函数，得-=--)1(x f )1(-x f ②，即点)0,1(-是)(x f 图象的对称中心．在①式中，用1-x 代换x ，可得)()2(x f x f =-；在②式中，用1+x 代换x ，可得)()2(x f x f -=--（原则是把其中一边变成)(x f ）．所以)2()2(x f x f ---=-，用2-x 代换x ，可得)()4(x f x f --=-③，所以)()4()8(x f x f x f -=--=-，所以)(x f 的一个周期为8，B 正确．所以0)1()7(=-=f f ，所以A 正确；由③式得相邻两个对称中心之间的距离是4，所以)(x f 图象的一个对称中心为)0,3(，所以C 正确；每隔一个周期对称轴出现一次，而5825212022+⨯=-，所以直线2022=x 不是)(x f 图象的一条对称轴，所以D 错误．综上，选ABC ．评注：函数))((x g f 的自变量是x ，对应关系是两个对应关系g f ,的复合，由函数奇偶性的定义，可知当))((x g f 是偶函数时，应有))(())((x g f x g f =-；当))((x g f 是奇函数时，应有))(())((x g f x g f -=-，即只改变其中自变量的符号.所以当)1(+x f 是偶函数时，应有)1()1(x f x f +=-，而不是)1()1(x f x f +=--，后者说明f 即外层函数是偶函数；当)1(-x f 是奇函数时，应有)1()1(--=--x f x f .三、抽象函数例7 若对于任意实数y x ,，都有)()(2)2(y f x f y x f +=+．（1）求)0(f 的值；（2）判断函数)(x f 的奇偶性．分析：)0(f 可通过赋予y x ,特殊值求解，函数)(x f 的奇偶性可依据函数奇偶性的定义判断，但需灵活地设置变量．解：（1）令0==y x ，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)0(3)0(f f =，所以0)0(=f ．（2）令x y -=，代入)()(2)2(y f x f y x f +=+得)()(2)(x f x f x f -+=，即)()(x f x f -=-，所以函数)(x f 是奇函数．评注：抽象函数是指未给出函数解析式的函数，解答抽象函数问题时，因无具体的函数解析式可用，所以在研究它们的性质时，要以相关性质的定义为“指引”，有的放矢，灵活变换已知条件．例8 已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)0)(()(><+a x f a x f ，则不等式)12()(+>x f x f 的解集为（）A ．}1|{->x xB ．}1|{>x xC ．}1|{-<x xD ．}1|{<x x分析：先由)0)(()(><+a x f a x f 确定函数)(x f y =的单调性，然后把待解不等式转化，即可求出其解集．解：设21x x <，则)0(12>+=a a x x ，所以)()()(112x f a x f x f <+=，所以0)()()()(1121>+-=-a x f x f x f x f ，所以函数)(x f y =在R 上是减函数，所以12+<x x ，解得1->x ．选A ．评注：待解不等式的两端是两个函数值，因而我们考虑先判断函数的单调性，进而运用单调性脱去不等式中抽象的对应关系“f ”，从而化抽象为具体，使不等式获解．。

高一函数总结复习知识点与题型

高一函数巩固复习第一节函数性质专题一．补充概念解析1.抽象函数：。

2.复合函数：如果函数)(t f y =的定义域为A ，函数)(x g t =的定义域为D ，值域为C ，则A C ⊆时，函数)]([x g f y =为f 与g 在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，)(x g t =叫做内函数，)(t f y =叫做外函数。

3.分离常数法：将形如)0(≠++=a bax dcx y 的函数分离常数，变形过程为。

4.函数图像变换规则：（1）平移变换：（1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到．（2）对称变换：（1）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于y 轴对称；（2）函数()y f x =-的图像与函数()y f x =的图像关于x 轴对称；（3）函数()y f x =--的图像与函数()y f x =的图像关于原点对称；（3）翻折变换:⑴函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分； ⑵函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到．二．题型总结 1. 已知函数)0(1<+=a ax y 在区间]1,∞-（上有意义，求实数a 的取值范围。

2.（1）已知函数)(x f 的定义域为【0，1】，求函数)1(2+x f 的定义域；（2）已知函数)1-2(x f 的定义域为【0，1】，求函数)31(x f -的定义域；（3）已知函数)3(+x f 的定义域为【-5，--2】，求函数)1()1()(-++=x f x f x F 的定义域。

高中数学必修1复习讲座第八讲抽象函数与复合函数

学8高中数学必修1复习讲座第八讲抽象函数与复合函数1 1、函数不等式问题：例1：已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x)在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m)<f (m),求实数m的取值范围例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2 + f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。

练习1、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

2、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。

（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。

3、己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：①当是定义域中的数时，有；②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0。

试问：（1）f（x）的奇偶性如何？说明理由。

（2）在（0，4a）上,f（x）的单调性如何？说明理由。

4. 定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有，且当x>0时，0<f(x)<1。

（1）判断f(x)的单调性；（2）设，，若，试确定a的取值范围。

5．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=⋅（Ⅰ）求)1(f 的值；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并证明；（Ⅲ）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围。

2．复合函数大致图象问题例3函数x xx x e e y e e--+=-的图像大致为( ).例4．函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（）ADy=f(x)oyxy=g(x)oyxoyxoyx oyx oyxA B C D练习1、函数y＝x33x－1的图象大致是()2已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()3已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________．4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x≥2，x－13，x<2.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．5、若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数f(x)的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对(P，Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P，Q)与点对(Q，P)看作同一个“友好点对”)．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x2＋4x＋1，x<0，2e x，x≥0，则f(x)的“友好点对”有________个．习题1．（2014·福建卷）若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是()2．（2014·湖北卷）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33 3．（2014·山东卷）已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0，12B. ⎝⎛⎭⎫12，1 C. (1，2) D. (2，＋∞) 4．（2014·浙江卷）在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( )A B C D5．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )． A ．2对B ．5对C ．6对D ．无数对6．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝⎛⎭⎫0，22，B ⎝⎛⎭⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )．7．函数＝ln 1|2x－3|的大致图象为(如图所示) ()．8．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a的值为________．9．使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围是________．10．讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．11．已知函数f(x)＝x1＋x.(1)画出f(x)的草图；(2)指出f(x)的单调区间．12．已知函数f(x)＝x|m－x|(x∈R)，且f(4)＝0.(1)求实数m的值；(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集；(5)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有三个不相等的实根}．13．设函数f (x )＝x ＋1x (x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．。

高三文科暑期第4讲复合函数与抽象函数教师版

2
⑵ 函数 y log1 x log1 x 2 的定义域为_________，值域为____________．
2
2
【解析】⑴
1，1
，
1 2
,
1
；
⑵
0
，12
4
，
，
[0
，
)
；
尖子班学案 2
【铺 1】设 f x ln 1 3x 9x a ，若当 x , 0 时， f x 恒有意义，则实数 a 的取值范围为_____．
A． 0
B．1
C． 1 2
D． 1 2
⑵ 若 f (x) 是定义在 (0 ， ) 上的增函数，对正实数 x ，y 都有 f (xy) f (x) f ( y) 成立．则不
等式 f (log2 x) 0 的解集为_______．【解析】⑴ D；
⑵ (1，2) ；
目标班学案 3
【拓 2】已知函数 y f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (3) 0 ，对任意 x R ，都有
y
1 2
x2 x2
的单调递增区间是（
A．
1 ,
1 2
B． , 1
C．2 ,
【解析】D
）
D．
1 2
,
2
尖子班学案 3
【铺 1】已知 [1，3] 是函数 y x2 4ax 的单调递减区间，则实数 a 的取值范围是（）
A．
，1 2
B． ( ，1]
C．
1 2
，3 2
D．
3 2
2
A．
5 2
，
B． (3， )
C．
，5 2
D． ( ，2)
⑵ 函数 y 4x 2x 1 的值域为_______，单调递减区间为________．

2.13-2抽象函数(复合函数)定义域的求法讲义

抽象函数的定义域抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。

复合函数的概念：设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。

总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为。

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析

高三数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析1.已知函数f(x)＝若f(a)＝a，则实数a＝________．【答案】或－1【解析】若a≥0，则1－a＝a，得a＝；若a<0，则＝a，得a＝－1.2.设（Ⅰ）当，解不等式；（Ⅱ）当时，若，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查转化思想和分类讨论思想.第一问，先将代入，解绝对值不等式；第二问，先将代入，得出解析式，将已知条件转化为求最小值问题，将去绝对值转化为分段函数，通过函数图像，求出最小值，所以，再解不等式即可.试题解析：（I）时原不等式等价于即，所以解集为． 5分（II）当时，，令，由图像知：当时，取得最小值,由题意知：，所以实数的取值范围为. 10分【考点】1.解绝对值不等式；2.分段函数图像；3.存在性问题的解法.3.函数，则_______________.【答案】【解析】.【考点】分段函数的解析式4.已知函数若存在，当时，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】作出函数的图象如图所示，由图可知：.选.【考点】1、分段函数；2、不等关系.5.已知函数，那么 .【答案】【解析】.【考点】分段函数.6.已知函数，则 .【答案】【解析】依题意，，所以.【考点】分段函数7.已知函数则的值是 .【答案】【解析】，.【考点】分段函数求值.8.已知函数，则满足方程的所有的的值为 .【答案】0或3【解析】当时，，解得；当时，，解得.综上.【考点】1.分段函数；2.指数、对数函数的求值9.设，则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴.【考点】1、分段函数；2、指数、对数运算.10.若函数，则（）A．B．1C．D．3【答案】A【解析】，，选A.【考点】分段函数的求值.11.已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，,.（1）求的值；（2）判断在上的单调性，并证明；（3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，，则称函数在处连续。

高考抽象函数知识点

高考抽象函数知识点在高考数学考试中，抽象函数是一个重要的知识点。

抽象函数是指一种基于已知函数或关系的新函数或关系，通过对已知函数或关系进行适当的变换和组合得到。

了解抽象函数的概念和相关性质，能够帮助我们更好地理解函数的运算规律和求解问题的方法。

本文将介绍高考中常见的抽象函数知识点，以帮助同学们复习和备考。

一、抽象函数的定义及性质抽象函数的定义：已知函数f(x)，通过对其进行变换得到一个新函数g(x)，则我们称g(x)为f的抽象函数。

常见的抽象函数形式包括：f(ax+b)，f(g(x))，f(x)+g(x)，f(x)g(x)等。

其中，a和b是常数，g(x)是另外一个函数。

抽象函数的性质：1. 抽象函数的定义域和值域：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的定义域为D，那么g(x)的定义域也是D。

同样地，如果f(x)的值域为R，那么g(x)的值域也是R。

2. 抽象函数的奇偶性：对于抽象函数g(x)，如果f(x)是奇函数，那么g(x)也是奇函数；如果f(x)是偶函数，那么g(x)也是偶函数。

3. 抽象函数的图像变换：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的图像关于y轴对称，那么g(x)的图像关于y轴对称；如果f(x)的图像关于x轴对称，那么g(x)的图像关于x轴对称。

二、抽象函数的应用抽象函数在高考数学中有许多应用，下面列举几个典型例子。

1. 抽象函数与复合函数：已知f(x) = x^2，求g(x) = f(2x+1)的解析式。

根据抽象函数的定义，将f(x) = x^2代入g(x) = f(2x+1)中，得到g(x) = (2x+1)^2。

2. 抽象函数与乘积：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求h(x) = f(x)g(x)的解析式。

将f(x)和g(x)代入h(x) = f(x)g(x)中，得到h(x) = x^2 * 3x =3x^3。

3. 抽象函数与复合关系式：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求f(g(2))的值。

函数的值域的7种题型

函数的值域的7种题型函数的值域是函数输出值的集合。

理解函数的值域对于理解函数的性质和行为非常重要。

以下是函数的值域的7种题型：1. 基础题型：给定一个简单的函数，例如 $f(x) = x^2$，求其值域。

这种题型主要考察对基本函数性质的理解。

2. 复合函数：给定一个复合函数，例如 $f(g(x))$，其中 $g(x) = x^2$，求其值域。

这种题型要求理解复合函数的性质，特别是内外函数的值域和定义域关系。

3. 分段函数：给定一个分段函数，例如 $f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x^2, & x < 0 \end{cases}$，求其值域。

这种题型要求理解分段函数的性质，特别是不同分段的值域。

4. 三角函数：给定一个三角函数，例如 $f(x) = \sin x$，求其值域。

这种题型要求理解三角函数的性质，特别是其周期性和振幅。

5. 指数和对数函数：给定一个指数或对数函数，例如 $f(x) = 2^x$ 或 $f(x) = \log_2 x$，求其值域。

这种题型要求理解指数和对数函数的性质，特别是其单调性和定义域。

6. 抽象函数：给定一个抽象函数，例如 $f(x) = x^2 + 1$，求其值域。

这种题型要求对函数性质有更深入的理解，特别是如何通过函数的性质判断其值域。

7. 实际应用题：给定一个实际问题，例如求一个物理过程的输出范围，或者求解一个经济模型的参数范围。

这种题型要求将实际问题转化为数学模型，并利用数学工具求解值域。

通过解决这些题型，可以加深对函数值域的理解，提高解决实际问题的能力。

复合函数和抽象函数%26方程与零点

复合函数和抽象函数%26方程与零点一、复合函数复合函数是指两个或多个函数相互作用所形成的新函数。

设有函数f(x)和g(x)，则它们的复合函数表示为(g∘f)(x)，读作“g复合f的函数”。

具体而言，对于实数集中的两个函数f(x)和g(x)，如果对于f(x)的定义域中的每一个x，都有g(f(x))，则称g为f的复合函数。

复合函数的定义域是f的定义域，值域是g的值域。

复合函数的计算方法如下：将f(x)的输出作为g(x)的输入。

复合函数的性质如下：1.交换律：不论先进行f函数还是g函数，最终的复合函数结果都是一样的，即(g∘f)(x)=(f∘g)(x)。

2.结合律：函数复合具有结合律，即(h∘(g∘f))(x)=((h∘g)∘f)(x)。

3.存在单位元：单位元函数是指一个函数与它的逆函数复合的结果等于自身，即(f∘f^(-1))(x)=(f^(-1)∘f)(x)=x。

二、抽象函数在数学中，抽象函数是一种无法用具体的数或具体的数学表达式表示的函数。

它们通常用符号和公式表示，而不使用具体的数值。

抽象函数是一种非常常见的数学工具，它通过使用变量和未知数来表示函数的未知属性。

它们通常用来研究一般性质，如函数的奇偶性、周期性、单调性等。

抽象函数的应用非常广泛，尤其在微积分、线性代数和泛函分析等数学领域中发挥着重要作用。

三、复合函数与方程与零点的关系复合函数与方程与零点之间有着密切的关系。

通过复合函数的定义，可以将一些复杂的函数方程转化为简单的代数方程。

具体来说，如果我们要求解一个复合函数的零点，可以先求得被复合的函数的零点，然后将这些零点带入复合函数中进行求解。

举例说明，设有复合函数y = g(f(x))，我们要找到使得y = 0的x 值，可以先求得f(x) = 0的解x1, x2, ...，然后将这些解代入g(x)中求解g(x1), g(x2), ...，如果g(xi) = 0，则xi为复合函数的零点。

另外，复合函数与方程与零点还有一些其他的关系：1.已知方程的解是复合函数的零点。

拓展培优抽象函数与复合函数的定义域

7
类型三已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域 [典例3] 若函数f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，则函数f(x－1)的定义域为 ________． [解析] 由f(2x＋1)的定义域为(－1，2)，得－1<x<2， ∴－1<2x＋1<5，即f(x)的定义域为(－1，5)．由－1<x－1<5，得0<x<6， ∴f(x－1)的定义域为(0，6)． [答案] (0，6)
3
理解抽象函数或复合函数的定义域，应明确以下几点： (1)函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数f(g(x))的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围； (2)f(t)，f(x)，f(φ(x))，f(h(x))四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同； (3)已知f(x)的定义域为A，求f(φ(x))的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的取值范围； (4)已知f(φ(x))的定义域为B，求f(x)的定义域，其实质是已知f(φ(x))中的x 的取值范围为B，求出φ(x)的范围(值域)，此范围就是f(x)的定义域．
5
(2)函数 f(x)的定义域为(0，3)，对于函数 y＝f（xx－＋11），有0x－<x1＋≠10<，3，解得－1<x<2 且 x≠1.因此函数 y＝f（xx－＋11）的定义域为(－1，1)∪(1，2)．
[答案] (1)(－1，12) (2)(－1，1)∪(1，2)
6
类型二已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域 [典例2] 已知函数f(3x－2)的定义域是[－2，0)，则函数f(x)的定义域是 ________；若函数g(x)的定义域是(－2，4]，则g(－2x＋2)的定义域是 ________． [解析] 因为函数f(3x－2)的定义域是[－2，0)，所以x∈[－2，0)，所以 3x－2∈[－8，－2)，所以f(x)的定义域是[－8，－2)；若函数g(x)的定义域是 (－2，4]，所以－2x＋2∈(－2，4]，解得x∈[－1，2)，所以函数g(－2x＋2)的定义域是[－1，2)． [答案] [－8，－2) [－1，2)

复合函数、抽象函数

复合函数抽象函数1、复合函数的构成设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ⊆，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到C 上的函数。

此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的复合函数。

说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。

⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。

⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。

⑷若)(x f 的定义域为'M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(．注意：)(x g 的值域'M M ⊆．2、抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

一、双基训练：1、设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ．2、⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．3、已知函数x x x f +-=1)(,)1(≥x 求)(x f 的值域。

4、求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间5、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.6、已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围.7、已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围．8、已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

抽象函数周期函数复合函数对称性课件

第六讲i一、周期函数（a ）概念：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

（b ）函数周期性的几个重要结论：2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=二、函数对称性（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

复合函数及抽象函数的单调性ppt课件

问：设f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且在区间（-∞，0)上是增函数，问在区间(0，+∞）上f(x)是增函数还是减函数？
例2：设f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又 f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a的取值范围。
(0<a<3)
.
例2：定 R 义上在的 f函 (x)满数足： (1)f(2)1 (2)f(xy)f(x)f(y) (3)xy时 f， (x)f(y) (4)f(x)f(x3)2 求x的取值 . 范围解(3 ： )知 f(x )在由 R 上减 f(4 ) f( ， 2 ) f(2 ) 又 2
•复合函数的单调性
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
证明：在区间(a,b)内任取两个数x1,x2,使a<x1<x2<b,
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数
t=－x2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②
【解题思路】 x∈某区间A
t∈性
g ( x )在A上的单调性
关键是A的端点如何确定？
.
【解】设t =－x2 + 2
.
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数减函数增函数减函数
y=f(u) 增函数减函数减函数增函数
则y=f[g(x)] 增函数增函数减函数减函数