复合函数及抽象函数的单调性

复合函数的单调性

复合函数的定义：

设y=f(u)定义域A ，u=g(x)值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量

复合函数的单调性

复合函数的单调性由两个函数共同决定；

引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。

引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。

若u=g(x)

y=f(u)

则y=f[g(x)]

规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 “同增异减”

例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．

的单调区间。：求函数例2912

1)(1x x f --=

抽象函数

例1：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)

问：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0)上是增函数，问在 区间(0，+∞）上f(x)是 增函数还是减函数？

例2：设f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)

.2

)3()()4()()()3()()()()2(1)2()1()(2的取值范围求时，满足：上的函数：定义在例x x f x f y f x f y x y f x f xy f f x f R ≤-+<>+==+.

)().()()(,,1)(0)(3上的增函数是求证：有、且对于任意时，上，当定义在：函数例R x f b f a f b a f R b a x f x R x f =+∈>>

例4:

.

]1,2

[

)

(

,2

)1

(

,0

)

(

),

(

)

(

)

(

,

)

(

上的值域

在区间

求

时，

且当

均有

、

对于任意实数

已知函数

-

-

=

-

>

>

+

=

+

x

f

f

x

f

x

y

f

x

f

y

x

f

y

x

x

f

.

,9

)1

(

)3(

.

)

,0(

)

(

)2

.(

)

(

)1(

).

1,0(

)

(

1

,9

)

27

(

,1

)1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

5

3的取值范围

求

且

若

上的单调性，并证明

在

判断

的奇偶性

判断

时

当

且

都有

、

对任意实数

：已知函数

例

a

a

f

a

x

f

x

f

x

f

x

f

f

y

f

x

f

xy

f

y

x

x

f

≤

+

≥

+∞

∈

<

<

=

=

-

=

复合函数的单调性小结

复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：

(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;

(2) 确定函数的定义域；

(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；

(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；

(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。

复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。