复合函数及抽象函数的单调性

复合函数的单调性
复合函数的定义：
设y=f(u)定义域A ，u=g(x)值域为B ，若A B ，则y 关于x 函数的y=f[g(x)]叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量
复合函数的单调性
复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。

引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。

若u=g(x)
y=f(u)
则y=f[g(x)]
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。

“同增异减”
例2. 已知f ( x )=－x2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．
的单调区间。

：求函数例2912
1)(1x x f --=
抽象函数
例1：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a 的取值范围。

问：设f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且在区间（-∞，0)上是增函数，问在 区间(0，+∞）上f(x)是 增函数还是减函数？
例2：设f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，且在区间（-∞，0]上是增函数，又f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),试求a 的取值范围。

.2
)3()()4()()()3()()()()2(1)2()1()(2的取值范围求时，满足：上的函数：定义在例x x f x f y f x f y x y f x f xy f f x f R ≤-+<>+==+.
)().()()(,,1)(0)(3上的增函数是求证：有、且对于任意时，上，当定义在：函数例R x f b f a f b a f R b a x f x R x f =+∈>>
例4:
.
]1,2
[
)
(
,2
)1
(
,0
)
(
),
(
)
(
)
(
,
)
(
上的值域
在区间
求
时，
且当
均有
、
对于任意实数
已知函数
-
-
=
-
>
>
+
=
+
x
f
f
x
f
x
y
f
x
f
y
x
f
y
x
x
f
.
,9
)1
(
)3(
.
)
,0(
)
(
)2
.(
)
(
)1(
).
1,0(
)
(
1
,9
)
27
(
,1
)1
(
)
(
)
(
)
(
)
(
5
3的取值范围
求
且
若
上的单调性，并证明
在
判断
的奇偶性
判断
时
当
且
都有
、
对任意实数
：已知函数
例
a
a
f
a
x
f
x
f
x
f
x
f
f
y
f
x
f
xy
f
y
x
x
f
≤
+
≥
+∞
∈
<
<
=
=
-
=
复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断：
(1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与u=g(x)。

其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层函数;
(2) 确定函数的定义域；
(3) 分别确定分解成的两个函数的单调性；
(4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为增函数；
(5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数y=f[g(x)]为减函数。

复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异减”。