复合函数的单调性典型习题
函数单调性经典题目含解析及答案
答案： (3,)或[3,)
3、已知 f (x) x2 2x 3, g(x) f (5 x2 ) ，试求 g(x) 的单调区间
解析：复合函数的单调性，当复合函数内外层单调区间不同时，以外
层函数为界限。
答案：单调减区间为 (,2), (0,2) ，单调增区间 (2,0), (2,) 4、函数 y 2 在区间[2,4] 上的最大值和最小值
答案：[0, 1]
5
8、已知 f (x) | x a |在 (,1) 上是单调函数，则 a 的取值范围 解析： f (x) | x |是偶函数，可以画图像利用图像平移的特点来判断 答案： (,1] 9、若 y (2k 1)x b 是 R 上的减函数，则 K 的取值范围。 解析：利用一元一次函数的图像 答案： (, 1)
x2 2x 1, x [0,)
解析：利用函数图像法求单调区间及最小值
答案：函数的单调增区间为 (,0), (0,) ，最小值为 f (0) 1
7、函数 f (x) ax2 2(a 1)x 2 在区间 (,4] 为减函数，则 a 的取值范围
解析：利用一元两次函数的开口方向及对称轴或一元一次函数
x
解析：利用函数单调性
答案：20。 20、函数 f (x) 2x2 mx 1在区间[1,4]上是单调函数，则实数 m 的取值
范围
解析：二次函数对称轴与区间关系
答案： m 4或m 16
21、若 f (x) x2 bx c ， f (1) 0, f (3) 0
（1）求 b,c 的值
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
复合函数单调性(专题训练)
复合函数单调性一．选择题1．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．2．函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]3．函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）4．已知函数在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．D．5．设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．6．已知函数f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]7．函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，则k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．[1，2）D．（0，2）8．函数在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．1＜a D．a＜29．若函数有最大值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）10．设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f（x）|在R上为增函数C．y=2﹣f（x）在R上为减函数D．y=﹣[f（x）]3在R上为增函数11．函数f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）12．函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间（）A．（2，3）B．（3，+∞）C．（1，2）和（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（2，3）二．填空题13．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是．14．函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．16．函数f（x）=（x2﹣6x+5）的单调递减区间是．17．已知函数y=log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是．18．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为．19．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f3（x）恒成立，则实数t的取值范围是．20．已知函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是．复合函数单调性一．选择题（共12小题）1．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】利用函数的定义域与函数的单调性排除A、B，C，推出结果即可．【解答】解：令g（x）=lnx﹣1，则g′（x）=＞0，由g'（x）＞0，得x＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以当x=e时，函数g（x）=0，函数f（x）=对任意的x∈（0，e），（e，+∞），有f（x）是减函数，故排除A、B、C，故选：D．2．函数y=（）的单调递增区间是（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，）C．[，+∞）D．[，2]【分析】令t=﹣x2+x+2，则y=（）t，本题即求函数t的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：y=（），令t=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，则y=（）t，本题即求函数t的减区间．再利用二次函数的性质可得t的减区间为[，+∞），故选：C．3．函数f（x）=的单调减区间为（）A．（）B．（）C．D．（1，+∞）【分析】令t=x2﹣x＞0，求得函数的定义域，本题即求t在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得t在定义域内的增区间．【解答】解：令t=x2﹣x＞0，求得x＜0，或x＞1，故函数的定义域为{x|x＜0，或x＞1}，本题即求t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间．利用二次函数的性质可得t在{x|x＜0，或x＞1}内的增区间为（1，+∞），即函数f（x）=的单调减区间为（1，+∞），故选：D．4．已知函数在[1，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．D．【分析】可看出该函数是由t=x2﹣ax+3a和y=log0.5t复合而成的复合函数，这样根据二次函数、对数函数和复合函数的单调性及对数函数的定义域便可建立关于a的不等式组，解出a的取值范围即可．【解答】解：设y=f（x），令x2﹣ax+3a=t，则y=log0.5t单调递减；∵f（x）在[1，+∞）上单调递减；∴t=x2﹣ax+3a在[1，+∞）上单调递增，且满足t＞0；∴；解得，﹣＜a≤2；∴实数a的取值范围是（﹣，2]．故选：D．5．设函数，则使得f（x）≤f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[1，+∞）C．D．【分析】根据题意，分析可得函数f（x）为偶函数且在（0，+∞）上为减函数，进而可以将f（x）≤f（2x﹣1）转化为|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，分析可得f（﹣x）=[1+（﹣x）2]+=（1+x2）+=f（x），则函数f（x）为偶函数，分析易得：f（x）在（0，+∞）上为减函数，若f（x）≤f（2x﹣1），则有f（|x|）≤f（|2x﹣1|），即有|x|≥|2x﹣1|，变形可得x2≥4x2﹣4x+1，解可得：≤x≤1，即x的取值范围是[，1]；故选：C．6．已知函数f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），若f（0）＜0，则此函数的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．[﹣1，1）D．（﹣3，﹣1]【分析】令t=﹣x2+2x﹣3＞0，求得函数的定义域，根据f（0）=log a3＜0，可得0＜a＜1，f（x）=g（t）=log a t，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=﹣x2﹣2x+3＞0，可得﹣3＜x＜1，故函数的定义域为{x|﹣3＜x＜1}．根据f（0）=log a3＜0，可得0＜a＜1，f（x）=g（t）=log a t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的减区间为[﹣1，1），故选：C．7．函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，则k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1）C．[1，2）D．（0，2）【分析】由题意可得1＞k﹣1≥0，且k+1＞1，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵函数y=|log2x|在区间（k﹣1，k+1）内有意义且不单调，可得k﹣1≥0，且1∈（k ﹣1，k+1），∴1＞k﹣1≥0，且k+1＞1．解得1≤k＜2，故选：C．8．函数在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1B．1＜a＜2C．1＜a D．a＜2【分析】利用对数函数的底数，求出a的范围，利用复合函数的单调性求解即可．【解答】解：函数在[0，1]上是减函数，可得a＞0并且a≠1，y=1﹣在[0，1]上是减函数，所以a＞1，并且1，解得a∈（1，2）．故选：B．9．若函数有最大值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（1，2）【分析】由题意可得内层函数t=要有最小正值，且为减函数，可得外层函数y=log a t 为减函数，可知0＜a＜1．再由二次函数t=的判别式小于0求得x的范围，取交集得答案．【解答】解：令t=，要使函数有最大值，则内层函数t=要有最小正值，且为减函数，则外层函数y=log a t为减函数，可知0＜a＜1．要使内层函数t=要有最小正值，则，解得．取交集可得：a的取值范围为（）．故选：B．10．设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（）A．y=在R上为减函数B．y=|f（x）|在R上为增函数C．y=2﹣f（x）在R上为减函数D．y=﹣[f（x）]3在R上为增函数【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、B、D，举出反例分析可得其错误，对于C，结合复合函数的单调性判定方法，分析可得C正确，即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于函数f（x）=x，y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，对于函数f（x）=x，y=|f（x）|=|x|，在R上不是减函数，B错误；对于C，令t=f（x），则y=2﹣f（x）=（）f（x）=（）t，t=f（x）在R上为增函数，y=（）t在R上为减函数，则y=2﹣f（x）在R上为减函数，C正确；对于D，对于函数f（x）=x，y=﹣[f（x）]3=﹣x3，在R上是减函数，D错误；故选：C．11．函数f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（0，2）D．（﹣2，0）【分析】先求出函数的定义域，结合复合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则得，即﹣2＜x＜2，即函数的定义域为（﹣2，2），f（x）=log0.5（2﹣x）+log0.5（2+x）=log0.5（2﹣x）（2+x）=log0.5（4﹣x2），设t=4﹣x2，则y=log0.5t是减函数，要求函数f（x）的单调递增区间，等价为求函数t=4﹣x2，的单调递减区间，∵函数t=4﹣x2，的单调递减区间为[0，2），∴f（x）的单调递增区间为（0，2），故选：C．12．函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间（）A．（2，3）B．（3，+∞）C．（1，2）和（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）和（2，3）【分析】先求得函数的定义域，然后分情况去掉绝对值符号，根据根据复合函数单调性的判断方法及基本函数的单调性可得函数的单调区间．【解答】解：由x﹣2≠0得函数的定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞），当2＜x≤3时，y=﹣log2（x﹣2），单调递减；当x＞3时，y=log2（x﹣2），单调递增；当1≤x＜2时，y=﹣log2（2﹣x），单调递增；当x＜1时，y=log2（2﹣x），单调递减；综上，函数y=|log2|x﹣2||的单调递增区间为：（3，+∞）和（1，2），故选：C．二．填空题（共8小题）13．已知f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【分析】利用指数函数的性质，列出不等式求解即可．【解答】解：f（x）=（a2﹣2a﹣2）x是增函数，可得a2﹣2a﹣2＞1，解得a∈（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．14．函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为（﹣∞，0）（亦可写成（﹣∞，0]）．【分析】利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=|x|﹣1，则y═（）t为减函数，要求函数y=（）|x|﹣1的单调增区间，根据复合函数单调性之间的关系，等价求函数t=|x|﹣1的减区间，∵当x≤0时，函数t=|x|﹣1是减函数，∴函数t=|x|﹣1的单调递减区间为（﹣∞，0），则函数y=（）|x|﹣1的单调增区间为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．15．函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．【分析】先将f（x）化简，注意到x≠0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．16．函数f（x）=（x2﹣6x+5）的单调递减区间是（5，+∞）．【分析】先求出fx）的定义域，在利用复合函数的单调性得出答案．【解答】解：有函数f（x）有意义得x2﹣6x+5＞0，解得x＜1或x＞5．令g（x）=x2﹣6x+5，则g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（5，+∞）上单调递增，∴f（x）=log（x2﹣6x+5）在（﹣∞，1）上单调递增，在（5，+∞）上单调递减．故答案为（5，+∞）17．已知函数y=log a（ax2﹣x）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【分析】先根据复合函数的单调性确定函数g（x）=ax2﹣x的单调性，进而分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．【解答】解：令g（x）=ax2﹣x（a＞0，且a≠1），当a＞1时，g（x）在[2，4]上单调递增，∴∴a＞1当0＜a＜1时，g（x）在[2，4]上单调递减，∴∴a∈∅综上所述：a＞1故答案为：（1，+∞）18．函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数且在（0，+∞）上单调递减，则实数m的值为2．【分析】根据幂函数的系数一定为1可先确定参数m的值，再根据单调性进行排除，可得答案．【解答】解：∵函数y=（m2﹣m﹣1）是幂函数∴可得m2﹣m﹣1=1 解得m=﹣1或2当m=﹣1时，函数为y=x5在区间（0，+∞）上单调递增，不满足题意当m=2时，函数为y=x﹣13在（0，+∞）上单调递减满足条件故答案为：2．19．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．若对任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x+t）≥f3（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【分析】由当x＞0时，f（x）=2x．函数是奇函数，可得当x=0时，f（x）=0，当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足f3（x）=f（3x），再根据不等式f（x+t）≥f3（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，可得x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即可得出答案．【解答】解：当x＞0时，f（x）=2x．∵函数是奇函数∴当x＜0时，f（x）=﹣2﹣x∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足f3（x）=f（3x），∵不不等式f（x+t）≥f3（x）=f（3x）在[t，t+1]恒成立，∴x+t≥3x在[t，t+1]恒成立，即：x≤t在[t，t+1]恒成立，∴t+1≤t解得：t≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]．20．已知函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，则函数f（x2+2x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1] ．【分析】先求出函数f（x）的解析式，确定内外函数的单调性，即可求得函数f（x2+2x）的单调递增区间．【解答】解：∵函数f（x）与函数的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=∴函数f（x）在R上单调递减∵t=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴t=x2+2x在（﹣∞，﹣1]上单调递减∴函数f（x2+2x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1]故答案为：（﹣∞，﹣1]．。
复合函数的单调性(人教A版)(含答案)
复合函数的单调性（人教A版）一、单选题(共8道，每道12分)1.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性2.函数的单调递减区间为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性3.函数的单调递增区间为( )A.(-∞，-2]B.[4，+∞)C.(-∞，-3]D.[-3，+∞)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性4.函数的单调递增区间为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性5.函数的单调递减区间为( )．A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性6.若函数在R上是减函数，则函数的单调递增区间为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性7.若函数的单调递减区间为，则函数( )A.在区间内是减函数B.在区间内是增函数C.在区间内是减函数D.在区间内是减函数答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性8.若函数的单调递减区间为，则函数( )A.在区间（0，1）内是减函数B.在区间内是减函数C.在区间（3，4）内是增函数D.在区间（4，5）内是增函数答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的单调性。
复合函数单调性的求法与含 参数问题
的定义域为，求函数
的定义域 解
，， 故函数
的定义域为 【评注】由的定义域为得，有的同学会误将此的范围当作
的定义域，为了更易分清此非彼，我们可将令成一个整体，即， 先解出的定义域，即为
的定义域。 三、已知复合函数
的定义域，求
的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：
可先由定义域求得
复合函数单调性的求法与含参数问题 若，又，且值域与定义域的交集不空，则函数叫
的复合函数，其中叫外层函数，叫内层函数，简而言之，所谓复 合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型： （一）求复合函数表达式 例１、（1）设 f(x)=2x3 g(x)=x2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是 增函数.
解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则 (1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈-∞，1上是增函数，与u=2-x2具 有相同的增减性，
由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈-∞，-1上是增函 数，
∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是
减函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化
为自变量的取值范围。
三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：
例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+)的单调递增区间是( )
(A).[，π]
（2）已知：f(x)=x2x+3 求：f() f(x+1) （二）求复合函数相关定义域
复合函数单调性(专题训练)
复合函数单调性(专题训练)1.选择题1.函数f(x)的图象大致为（B）。
2.函数y=2x-1的单调递增区间是（B）。
3.函数f(x)=1/x的单调减区间为（D）。
4.已知函数在[1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（A）。
5.设函数f(x)=log2(x-a)+log2(x+a)，则使得f(x)≤f(2x-1)成立的x的取值范围是（A）。
6.已知函数f(x)=loga(3-x)，若f(-2)<f(0)，则此函数的单调递增区间是（C）。
7.函数y=|log2x|在区间(k-1,k+1)内有意义且不单调，则k的取值范围是（D）。
8.函数y=x-1在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是（C）。
9.若函数y=x^2-2x+a有最大值，则a的取值范围为（A）。
10.设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是（B）。
11.函数f(x)=log0.5(2-x)+log0.5(2+x)的单调递增区间是（B）。
12.函数y=|log2|x-2||的单调递增区间为（C）。
2.填空题13.已知f(x)=(a^2-2a-2)x是增函数，则实数a的取值范围是(-∞,-1)或(2,+∞)。
14.函数y=(|x|-1)^-1的单调增区间为(-∞,-1)和(1,∞)。
15.函数f(x)=lg(x^2)的单调递减区间是(0,1)。
16.函数f(x)=(x-1)(x-5)的单调递减区间是(1,5)。
17.已知函数y=loga(ax^2-x)在区间[2,4]上是增函数，则实数a的取值范围是(0.5,1)。
18.函数y=(m^2-m-1)是幂函数且在(1,∞)上单调递减，则实数m的值为(φ-1)，其中φ为黄金比例。
19.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x。
若对任意的x∈[t,t+1]，不等式f(t)f(t+1)<0成立，则t的取值范围是(-∞,0)。
题目：已知函数f(x)与函数g(x)的图像关于直线y=x对称，且f(x+t)≥g^3(x)恒成立，则实数t的取值范围是什么？解答：根据题目条件，可以得到f(x)与g(x)的图像在y=x这条直线上对称，即f(x)在y=x处的函数值等于g(x)在y=x处的函数值。
复合函数的单调性
复合函数的定义：
如果y是u的函数,u又是x的函数，即ｙ=f(ｕ) , ｕ=g(ｘ),那么ｙ关于ｘ的函数ｙ＝ｆ[ｇ(ｘ)］ 叫做函数y=f(ｕ)和u=g(x)的复合函数，u叫做
中间变量，x叫自变量，y叫函数值。
例如、y f (u) u2,
3、对于复合函数y f [g(x)]的单调性，必须考虑y f (u)与
u g(x)的单调性，从而得出y f [g(x)]的单调性。
法
y f (u)
u g(x)
y f [g(x)]
增函数
增函数
增函数
则
增函数 减函数 减函数
减函数 增函数 减函数
减函数
同
减函数
增函数
增
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数； 异
当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是减函数。 减
复合函数y=f(x)+g(x) 与y=f(x)-g(x)单调性:
结论1：若f(x)与g(x)在R上是增函数，则函数y=f(x)+g(x)也是增函数。
结论2：若f(x)与g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x)+g(x)也是减函数。 结论3：若f(x) 在R上是增函数， g(x)在R上是减函数，则函数y=f(x) －g(x)也是增函数 结论4：若f(x) 在R上是减函数， g(x)在R上是增函数，则函数 y=f(x) －g(x)也是减函数
y x2 4x 3在2,3上是减函数。
故函数y x2 4x 3的单调递减区间为2,3。
(问：函数y x2 4x 3的单调递增区间是什么？）
(完整版)复合函数习题及答案
复合函数练习题2f (x )的定义域（）f (x)[0,1]1、已知函数的定义域为，求函数。
析：由已知，x ∈[0,1],故x ∈[-1,1]。
所以所求定义域为[-1,1]2、已知函数f (3-2x)的定义域为[-3,3]，求f (x)的定义域（）析：由已知x 的范围为[-1,1],那么3-2x 的范围为[1,5],从而f (x )的定义域为[1,5]3、已知函数y =f (x +2)的定义域为(-1,0)，求f (|2x -1|)的定义域（）。
2由f (x +2)的定义域可知f (x )的定义域为(1,2),则求f (2x -1)的定义域应满足析：132x -1∈(1,2),解得x ∈(-,1)⋃(1,)224、设f (x )=lg 2+x ⎛x ⎫⎛2⎫，则f ⎪+f ⎪的定义域为（）2-x ⎝2⎭⎝x ⎭A.(-4,0)Y (0,4)B.(-4,-1)Y (1,4)C.(-2,-1)Y (1,2)D.(-4,-2)Y (2,4)2+x 由已知，>0，即(2+x )(2-x )>0,得-2<x <2.那么由题意应有2-x析：⎧-2<x <2-4<x <4⎪⎧2,解得⎨,综上x ∈(-4,-1)⋃(1,4),选B ⎨2⎩x <-1或x >1⎪-2<<2x ⎩5．函数y ＝log 1（x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（）2A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，3）2D ．（3，＋∞）2析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。
对于对数型复合函数，应先求定义域，即x 2-3x +2>0,得定义域为(-∞,1)⋃(2,+∞).1由于外函数是以0<<1为底，故为减函数。
则求y 的减区间，只需要求内函数的增23区间。
内函数为t =x 2-3x +2，其对称轴为x =,在函数y 的定义域内，t 在(2,+∞)上2为增函数，所以选择B6．找出下列函数的单调区间.（1）y =a -x 2+3x +2(a >1)；解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。
。复合函数单调性
复合函数单调性1.若函数ax x ya 2log 在区间3,2上是增函数，则a 的取值范围是2,12.已知函数c bx x xf 2满足x f x f 11，且30f ，当0x 时，比较x b f 与x c f 的大小.3.已知c bx x x f 2，方程0x x f 两实根为1x ，2x 且212x x .（1）求证1x ，2x 是方程x xf f 的两根；（2）若方程x x f f 的另两根为43,x x ，且43x x ，试判断4321,,,x x x x 的大小. 因为c bx x xf 2，21x x x x x x f ，1112121x x x x x x x x x xf f ，令11121x x x x xg ，01x g ，02x g 4.已知f x 为R 上的偶函数，当0x 时，211f xx ，满足12f f a 的实数a 的个数为A ．2B ．4C ．6D ．8；解：方程21x f 有四个解：221当221a f 时，a 有两个值对应；当221a f 时，a 有两个值对应；当221a f 时，a有四个值对应；5.（2005上海）设定义域为R 的函数1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（）A ．0b且0c B ．0b 且0c C ．0b且0c D ．0b 且0c 解：a x f )(，（1）0a ，不同实数解有4个；（2）0a ，不同实数解有3个；（3）0a，没有实数解. 0)()(2c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是方程02c bx x 有两个根，一个等于0，一个大于0。
此时应0b且0c 。
选C 6.（2012浙江名校联考）已知函数x xe x f ，方程R t x f t xf 012有四个实根，则t 的取值范是（）A.,1ee B.e e 1,2C. 2,1e e D.e e 1,。
复合函数的单调性
复合函数的单调性
例1.（1）判断y=单调性。
解：判断函数y 的定义域，易知定义域为R 设u=,y= (将原函数分解为内函数和外函数) 由u==知u 在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， y=为减函数 （分别判断内外函数的单调性） ∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞）
（2）判断32x y -=单调性
小结：求指数型复合函数单调性步骤：
第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x 的限制，然后解不等式，求交集。
第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，
第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间
第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。
练习1.
（1）函数y=的单调递增区间为（ ）
A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数y=2(x 3)2+的单调递增区间为____________________
（3）求函数y=232x
x a -++的单调区间
例2.求y=的单调区间
2412x x +⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +12u ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2x 4x +2
(x 2)4+-12u
⎛⎫ ⎪⎝⎭
2112x -⎛⎫ ⎪⎝
⎭
练习2.
求12y ⎛=
⎪⎝⎭
例3.求函数y=的单调区间与值域
练习3.求函数y=的单调区间与值域
21223x x +-+x 11242x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
复合函数练习题附答案
复合函数练习题附答案21、已知函数f的定义域为[0,1]，求函数f的定义域。
析：由已知，x?[0,1],故x?[?1,1]。
所以所求定义域为[?1,1]2、已知函数f的定义域为[?3,3]，求f的定义域析：由已知x的范围为[?1,1],那么3?2x的范围为[1,5],从而f 的定义域为[1,5]3、已知函数y?f的定义域为，求f的定义域。
由f 的定义域可知f的定义域为,则求f的定义域应满足析：132x?1?,解得x??224、设f?x??lg2?x?x??2?，则ff??的定义域为?x?2??x?A. ??4,00,4?B. ??4,?11,4?C. ??2,?11,2?D. ??4,?22,4??x?0，即?0,得?2?x?2.那么由题意应有2?x析：?-2?x??4?x?4??2,解得?,综上x??,选B?2x??1或x?12??2x?5．函数y＝log1的单调递减区间是2A． B．C． D．析：本题考查复合函数的单调性，根据同增异减。
对于对数型复合函数，应先求定义域，即x2?3x?2?0,得定义域为?.由于外函数是以0?1?1为底，故为减函数。
则求y的减区间，只需要求内函数的增23区间。
内函数为t?x2?3x?2，其对称轴为x?,在函数y的定义域内，t在上2为增函数，所以选择B6．找出下列函数的单调区间.y?a?x2?3x?2；解析：此题为指数型复合函数，考查同增异减。
令t??x2?3x?2,则y?at,t??x2?3x?2。
由于a?1,则外函数为增函数，由同增异减可知，t的增区间即为y的增区间。
而内函数t的333,即t在上位增函数，在上位减函数，从而函22233数y的增区间为，减区间为22对称轴为x?y?2x2?2x?3.解：设t??x2?2x?3，则y?2t.因?x2?2x?3?0,得?1?x?3.由?x2?2x?3对称轴为x?1.即内函数t的增区间为[?1,1],减区间为[1,3]。
复合函数的单调性专题含答案
复合函数的单调性专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 函数y =log 13(−x 2+2x +3)的单调增区间是( ) A.(−1, 1]B.(−∞, 1)C.[1, 3)D.(1, +∞)2. 函数y =ln (x 2−3x −4)的单调递减区间是( )A.(−1,1]B.(−∞,−1)C.(−1,4)D.(4,+∞)3. 函数y =log 0.5(2x 2−3x +1)的单调递减区间是 （ ）A.(−∞,34]B.[34,+∞）C.(−∞,12)D.(1,+∞)4. 已知f(x)=ax 2+bx 是定义在[a −1, 2a]上的偶函数，那么y =f(a n +b)的最大值是（ ）A.1B.13C.√33D.4275. 已知函数f(x)=√ax 2−2x −5a +8对任意两个不相等的实数x 1,x 2∈[2, +∞)，都有不等式f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1>0成立，则实数a 的取值范围是( )A.(0,+∞)B.[12,+∞)C.(0,12]D.[12,2] 6. 函数f(x)=lg (6x −x 2)的单调递减区间为（ ）A.(0,6)B.(0,3]C.[3,+∞)D.[3,6)7. 函数f(x)=12x 2−ln x ，则f(x)的单调减区间是( )A.[1, +∞)B.(−∞, −1]C.(0, 1]D.[−1, 1]8. 函数f (x )=ln (x 2−4x −21)的单调递减区间为（ ）A.(−∞,2)B.(−∞,−3)C.(2,+∞)D.(7,+∞)9. 函数f (x )=log 3(x 2+2x −3)的单调递增区间是( )A.[−1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,+∞)D.(3,+∞)10. 函数f(x)=log a(ax−3)在[1, 3]上单调递增，则a的取值范围是( )) D.(3, +∞)A.(1, +∞)B.(0, 1)C.(0, 1311. 已知函数y=log2(ax+2)在(1, 3)上单调递减，则a的取值范围是________．12. 函数f(x)=log a(6−ax)在[0, 2]上为减函数，则a的取值范围是________.13. 函数y=log2(x2+2x−3)的单调递减区间为________．14. 函数y=log3(x2+2x−8)的单调增区间是________.15. 函数y=2x2−2x+3的单调增区间为________．16. 函数y=√−x2+2x+3的单调减区间为________．17. 函数的值域是________，的值域是________.18. 写出函数f(x)=−x2+2|x|的单调递增区间________.19. 已知函数f(x)＝log(x+），a>0．（1）当a＝2时，求函数f(x)在区间[1, +∞)上的值域；（2）若函数f(x)在区间[1, +∞)上是减函数，求a的取值范围．20. 已知幂函数的图象经过点．（1）求函数的解析式；（2）设函数，试判断函数在区间上的单调性，并求函数在区间上的值域．(x2−2ax+3)．21. 已知函数f(x)=log13（1）若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数f(x)在(−∞, 1)上为增函数，求实数a的取值范围．(x2−2ax+3)．22. 已知函数f(x)=log12(1)当a=2时，求f(x)的定义域和单调区间；(2)若f(x)在[1,2]内为单调函数，求实数a的取值范围．23. 已知函数f(x)=ln[ax2+(2a−1)x−2],a∈R.(1)若x=1是函数f(x)的零点，求a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．24. 已知函数f(x)=log a(ax2−x).(1)若a=1，求f(x)的单调区间；2(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围．25.(x2−4x+3)，求f(x)的单调区间；(1)已知函数f(x)=log3(2)若g(x)=2ax2−4x+3的最小值为1，求实数a的值；226. 设函数f(x)=log2(x+m)(m∈R).(1)当m=2时，解不等式f(1)<1；x)x+λ在[−2, 6]上有实数解，求实数λ的取值(2)若m=10，且关于x的方程f(x)=(√2范围.参考答案与试题解析复合函数的单调性专题含答案一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【考点】复合函数的单调性对数函数的单调性与特殊点二次函数的性质【解析】由真数大于0求出函数的定义域，进一步求出内函数在定义域内的减区间，再由复合函数的单调性得答案．【解答】解：由题意可知，−x2+2x+3>0，得−1<x<3．令t=−x2+2x+3，∵函数t=−x2+2x+3的对称轴方程为x=1，∴二次函数t=−x2+2x+3在[1, 3)上为减函数，∵函数y =log1t为定义域内的减函数，3∴函数y =log1(−x2+2x+3)的单调增区间是[1, 3)．3故选C.2.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】利用复合函数的单调性的“同增异减”法则求解即可.【解答】解：令t=x2−3x−4，则函数y=ln(x2−3x−4)是由函数y=ln t，t=x2−3x−4复合而成的.又y=ln t是增函数，所以y=ln(x2−3x−4)的单调递减区间是函数t=x2−3x−4的单调递减区间，但需保证t=x2−3x−4>0，可得x<−1或x>4，当x<−1时，t=x2−3x−4单调递减，所以函数y=ln(x2−3x−4)的单调递减区间为(−∞,−1).故选B.3.【答案】D【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 函数y =log 0.5(2x 2−3x +1)，∴ 2x 2−3x +1>0，解得x <12，或x >1，∵ t =2x 2−3x +1是开口向上，对称轴为x =34的抛物线，∴ 由复合函数的性质知函数y =log 0.5(2x 2−3x +1)的单调递减区间是(1, +∞)． 故选D ．4.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质与判断复合函数的单调性【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析a 、b 的值，即可得y =f(a n +b)的解析式，由复合函数单调性的判断方法分析y =f(a n +b)的单调性，据此分析可得答案．【解答】根据题意，f(x)是定义在[a −1, 2a]上的偶函数，则有(a −1)+2a =3a −1=0，则a =13， 同时f(−x)=f(x)，即ax 2+bx =a(−x)2+b(−x)，则有bx =0，必有b =0， 则f(x)=13x 2，其定义域为[−23, 23]， 则y =f(a n +b)=f[(13)n ]，设t =(13)n ，若−23≤(13)n ≤23，则有n ≥−log 323>0， 在区间[−log 323, +∞)上，t >0且为减函数， f(x)=13x 2在区间(0, 23]上为增函数，则y =f[(13)n ]在[−log 323, +∞)上为减函数，其最大值为f(23)=427，5.【答案】D【考点】复合函数的单调性【解析】根据题意，设t =√ax 2−2x −10a +8，则y ＝lg t ，分析可得f(x)在区间[3, +∞)上为增函数，由复合函数的单调性的判断方法分析可得t =√ax 2−2x −10a +8在[3, +∞)上为增函数且t>0恒成立，则有{a0 1a≤39a−6−10a+80，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)在[2,+∞)上单调递增，当a=0时，不符合题意，需要{f(2)=a×22−2×2−5a+6≥0，−−22a≤2，解得12≤a≤2.故选D.6.【答案】D【考点】复合函数的单调性对数函数的图象与性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可得6x−x2>0，即0<x<6，所以函数f(x)的定义域为(0.6) .又函数y=6x−x2在[3,+∞）上单调递减，根据复合函数的单调性可知，函数f(x)=lg(6x−x2)的单调递减区间为[3.6）.故选D．7.【答案】C【考点】复合函数的单调性【解析】求出原函数的定义域，并求导函数，由导函数小于0求得x的范围得答案．【解答】解：由题意，得函数f(x)=12x2−ln x的定义域为(0, +∞)，则f′(x)=x−1x =x2−1x=(x+1)(x−1)x，令f′(x)<0，解得0<x<1，又函数定义域为(0, +∞)，所以函数f(x)=12x2−ln x的单调减区间为(0, 1]．故选C.8.B【考点】复合函数的单调性【解析】先求函数的定义域，再根据复合函数同增异减的性质即可求解 .【解答】解：由题可知，x2−4x−21>0⇒(x−7)(x+3)>0⇒x>7或x<−3，f(x)=ln(x2−4x−21)可看作f(t)=ln t,t=x2−4x−21，则f(t)为增函数，t=x2−4x−21，当x∈(−∞,−3)时，t单调递减，当x∈(7,+∞)时，t单调递增，根据复合函数的增减性，当x∈(−∞,−3)时，f(x)=ln(x2−4x−21)为减函数，故选B .9.【答案】B【考点】复合函数的单调性【解析】暂无【解答】解：由x2+2x−3>0，得x<−3或x>1，则f(x)的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞).设t=x2+2x−3，则t=x2+2x−3在(−∞,−3)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.因为y=log3t在(0,+∞)上单调递增，故f(x)在(1,+∞)上单调递增.故选B.10.【答案】D【考点】对数函数的单调性与特殊点复合函数的单调性【解析】由题意可得可得a>1，且a−3>0，由此求得a的范围．【解答】解：∵函数f(x)=loga(ax−3)在[1, 3]上单调递增，而函数t=ax−3在[1, 3]上单调递增，根据复合函数的单调性可得a>1，且a−3>0，求得a>3.故选D．二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）11.【答案】[−23,0)复合函数的单调性【解析】依题意，一次函数y＝ax+2为减函数，且当x∈(1, 3)时，y＝ax+2>0恒成立，由此可得到a的取值范围．【解答】解：由复合函数的单调性可知，一次函数y=ax+2为减函数，则a<0.当x∈(1, 3)时，y=ax+2>0恒成立，则只需3a+2≥0，即a≥−23，所以−23≤a<0．故答案为：[−23,0).12.【答案】1<a<3【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：设u=6−ax，a>0，由题意得该函数是减函数，且u>0在[0,2]上恒成立，∴{a>1,6−2a>0,∴1<a<3.故答案为：1<a<3.13.【答案】(−∞,−3)【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：函数的定义域为(−∞,−3)∪(1,+∞)，原函数可看作由y=log2t，t=x2+2x−3复合而成，其中函数y=log2t是增函数，而t=x2+2x−3在区间(−∞,−3)上是减函数，所以原函数的单调递减区间为(−∞,−3)．故答案为：(−∞,−3)．14.【答案】【考点】对数函数的单调性与特殊点复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】(x2+2x−8)的定义域为(−∞,−4)∪(2,+∞)．解：由题意，函数y=log3令函数g(x)=x2+2x−8，则函数g(x)在(−∞,−4)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，(x2+2x−8)的单调递减区间为(−∞,−4)．再根据复合函数的单调性，可得函数y=log3单调递增区间为(2,+∞).故答案为：(2,+∞)．15.【答案】[1, +∞)【考点】复合函数的单调性【解析】设t＝x2−2x+3，利用指数函数和一元二次函数的单调性之间的关系即可得到函数的增区间．【解答】设t＝x2−2x+3，则函数的对称轴为x＝1，则函数t＝x2−2x+3在x≥1时，单调递增，在x≤1时函数单调递减，∵函数y＝2t，在R上为增函数，∴根据复合函数的单调性的性质可知，当x≥1时，函数y=2x2−2x+3单调递增，故函数的递增区间为[1, +∞)，16.【答案】[1, 3]【考点】复合函数的单调性【解析】令t=−x2+2x+3≥0，求得函数的定义域为[−1, 3]，本题即求函数t在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间．【解答】解：对于函数y=√−x2+2x+3，令t=−x2+2x+3≥0，求得−1≤x≤3，故函数的定义域为[−1, 3]，y=√t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为[1, 3]，故答案为：[1, 3]．17.【答案】[0．+∞),(∼m．4]【考点】函数的值域及其求法对数函数的值域与最值复合函数的单调性【解析】根据偶次方根为非负数求得f(x)的值域，根据g(x)的定义域和单调性求得g(x)的值域．【解答】对于f(x)=√1−x≥0对任意x≤1成立，故f(x)的值域是[0,+∞)对于g(x)=x−2√1−x+3，由于函数g(x)在(−∞,1]上为增函数，且g(1)=4，故g(x)∈(−∞,4]故填：（1）[0,+∞)；(2)(−∞,1)18.【答案】(−∞,−1),(0,1)【考点】函数的单调性及单调区间复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 8 小题，每题 10 分，共计80分）19.【答案】根据题意，a＝2时(x+），又由x≥5，则x+--＝，则y≤log＝-，则函数f(x)的值域为(−∞，-]；函数f(x)＝log(x+），则y＝log t，若函数f(x)在区间[1, +∞)上是减函数，则t＝x+在[3，即有，解可得，即a的取值范围为（−1．【考点】复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】（1）f(x)=1x(x≠0)（2）增函数，[−3,−1]【考点】复合函数的单调性【解析】（1）设f(x)=x2，再求出a=−1即得解；（2）求出g(x)=1−2x ，易得函数g(x)在区间[12,1]上为增函数，再求函数的值域．【解答】（1）设f(x)=x a，则3a=13=3−1，则a=−1所以f(x)=x−1=1x(x≠0)（2）因为g(x)=(x−2)⋅f(x)=x−2x =1−2x所以函数g(x)在区间[12,1]上为增函数，所以x=1时，g(x)有最大值−1x=12时，g(x)有最小值−3．所以函数g(x)在[12,1]上的值域为[−3,−1]21.【答案】根据题意，函数f(x)=log13(x2−2ax+3)，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，若函数f(x)的值域为R，对于t＝x2−2ax+3，必有△＝(−2a)2−12≥0，解可得：a≥√3或a≤−√3，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，函数y=log13t为减函数，若函数f(x)在(−∞, 1)上为增函数，则函数t＝x2−2ax+3在(−∞, 1)上为减函数，且t＝x2−2ax+3>0在(−∞, 1)上恒成立，即{a≥14−2a≥0，解可得1≤a≤2，即a的取值范围为[1, 2]．【考点】复合函数的单调性【解析】（1）根据题意，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，若函数f(x)的值域为R，结合对数函数的性质分析可得：对于t＝x2−2ax+3，必有△＝(−2a)2−12≥0，解可得a的取值范围，即可得答案；（2）由复合函数以及对数函数、二次函数的性质分析可得{a≥14−2a≥0，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=log13(x2−2ax+3)，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，若函数f(x)的值域为R，对于t＝x2−2ax+3，必有△＝(−2a)2−12≥0，解可得：a≥√3或a≤−√3，设t＝x2−2ax+3，则y=log13t，函数y=log13t为减函数，若函数f(x)在(−∞, 1)上为增函数，则函数t＝x2−2ax+3在(−∞, 1)上为减函数，且t＝x2−2ax+3>0在(−∞, 1)上恒成立，即{a≥14−2a≥0，解可得1≤a≤2，即a的取值范围为[1, 2]．22.【答案】解：(1)令u=x2−2ax+3，y=log12u．当a=2时，u=x2−4x+3，由u>0，得x>3或x<1.故f(x)的定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)．因为y=log12u单调递减，u=x2−4x+3的图象开口向上，所以f(x)=log12(x2−4x+3)的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(3,+∞)．(2)u=x2−2ax+3=(x−a)2+3−a2，①当f(x)在[1,2]内为单调增函数，则{a≥2，4−4a+3>0无解，舍去．②当f(x)在[1,2]内为单调减函数，则{a≤1，1−2a+3>0，得a≤1．综上，a的取值范围是a≤1．【考点】复合函数的单调性已知函数的单调性求参数问题【解析】【解答】解：(1)令u=x2−2ax+3，y=log12u．当a=2时，u=x2−4x+3，由u>0，得x>3或x<1.故f(x)的定义域为(−∞,1)∪(3,+∞)．因为y=log12u单调递减，u=x2−4x+3的图象开口向上，所以f(x)=log12(x2−4x+3)的单调递增区间为(−∞,1)，单调递减区间为(3,+∞)．(2)u=x2−2ax+3=(x−a)2+3−a2，①当f(x)在[1,2]内为单调增函数，则{a≥2，4−4a+3>0无解，舍去．②当f(x)在[1,2]内为单调减函数，则{a≤1，1−2a+3>0，得a≤1．综上，a的取值范围是a≤1．23.【答案】解：(1)要使x=1为函数f(x)的零点，即有f(1)=ln(3a−3)=0，解得a=43.(2)令g(x)=ax2+(2a−1)x−2=(ax−1)(x+2)，①当a=0时，函数f(x)的定义域为(−∞，−2)，f(x)=ln(−x−2)，因为g(x)=−x−2在(−∞，−2)上单调递减，由复合函数的单调性知f(x)在(−∞，−2)上单调递减；②当a≠0时，由g(x)=0解得x1=1a，x2=−2，(i)当−12<a<0时，函数f(x)的定义域为(1a，−2)，因为g (x )在(1a ，12a −1)上单调递增，在(12a −1，−2)上单调递减， 由复合函数的单调性知，f (x )在(1a ，12a −1)上单调递增，在(12a −1，−2)上单调递减； (ii)当a <−12时，函数f (x )的定义域为(−2，1a )，因为g (x )在(−2，12a−1)上单调递增，在(12a −1，1a)上单调递减，由复合函数的单调性知，f (x )在(−2，12a −1)上单调递增，在(12a −1，1a )上单调递减； (iii)当a =−12时，g (x )≤0，不满足题意，f (x )无意义； (iv)当a >0时，函数f (x )的定义域为(−∞，−2)∪(1a ，+∞)，因为g (x )在(−∞，−2)上单调递减，在(1a，+∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )在(−∞，−2)上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增．【考点】利用导数研究函数的单调性 函数的零点 复合函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)要使x =1为函数f (x )的零点， 即有f (1)=ln (3a −3)=0， 解得a =43.(2)令g (x )=ax 2+(2a −1)x −2 =(ax −1)(x +2)，①当a =0时，函数f (x )的定义域为(−∞，−2)，f (x )=ln (−x −2)， 因为g (x )=−x −2在(−∞，−2)上单调递减，由复合函数的单调性知f (x )在(−∞，−2)上单调递减； ②当a ≠0时，由g (x )=0解得x 1=1a ，x 2=−2，(i)当−12<a <0时，函数f (x )的定义域为(1a ，−2)，因为g (x )在(1a ，12a −1)上单调递增，在(12a −1，−2)上单调递减， 由复合函数的单调性知，f (x )在(1a ，12a −1)上单调递增，在(12a −1，−2)上单调递减；(ii)当a <−12时，函数f (x )的定义域为(−2，1a )， 因为g (x )在(−2，12a−1)上单调递增，在(12a −1，1a)上单调递减， 由复合函数的单调性知， f (x )在(−2，12a−1)上单调递增，在(12a −1，1a)上单调递减； (iii)当a =−12时，g (x )≤0，不满足题意，f (x )无意义； (iv)当a >0时，函数f (x )的定义域为(−∞，−2)∪(1a ，+∞)， 因为g (x )在(−∞，−2)上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f (x )在(−∞，−2)上单调递减，在(1a ，+∞)上单调递增．24. 【答案】解：(1)当a =12时，易知函数f (x )的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)． 易知y =12x 2−x 在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．故函数f (x )=log a (ax 2−x )=log 12(12x 2−x)在(−∞,0)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减．(2)令g (x )=ax 2−x ，则g (x )图象的对称轴为x =12a ． 又f (x )在[2,4]上是增函数，则①当a >1时， ∴ 12a ≤2，∴ a >1． 又g (x )在[2,4]上恒大于0， ∴ g(2)>0，g(4)>0， ∴ {4a −2>0,16a −4>0,解得a >12，∴ a >1；②当0<a <1时， ∴12a ≥4，∴ 0<a ≤18．又∵ g (x )在[2,4]上恒大于0， ∴ g (2)>0，g (4)>0，∴ {4a −2>0,16a −4>0,解得a >12，与0<a ≤18矛盾．综上所述a >1． 【考点】复合函数的单调性对数函数、指数函数与幂函数的衰减差异已知函数的单调性求参数问题【解析】无无【解答】解：(1)当a=12时，易知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)．易知y=12x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增．故函数f(x)=loga (ax2−x)=log12(12x2−x)在(−∞,0)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减．(2)令g(x)=ax2−x，则g(x)图象的对称轴为x=12a．又f(x)在[2,4]上是增函数，则①当a>1时，∴12a≤2，∴a>1．又g(x)在[2,4]上恒大于0，∴g(2)>0，g(4)>0，∴{4a−2>0,16a−4>0,解得a>12，∴a>1；②当0<a<1时，∴12a ≥4，∴0<a≤18．又∵g(x)在[2,4]上恒大于0，∴g(2)>0，g(4)>0，∴{4a−2>0,16a−4>0,解得a>12，与0<a≤18矛盾．综上所述a>1．25.【答案】解：(1)令u(x)=x2−4x+3，且u>0，所以x<1或x>3.由于u(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)单调递增，而y=log3u为增函数，所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增.即函数f(x)的单调递减区间是(−∞,1)，单调递增区间是(3,+∞) .(2)令u(x)=ax2−4x+3，则f(x)=2u(x)，因为f(x)的最小值为12，所以u(x)的最小值为−1，当a=0时，f(x)无最大值；当a≠0时，有{a>0，3a−4a=−1，解得a=1，所以实数a的值为1.【考点】复合函数的单调性对数函数、指数函数与幂函数的增长差异函数的最值及其几何意义【解析】（1）令u(x)=x2−4x+3，且u>0，∴x<1或x>3，由于u(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)单调递增，而y=log3u为增函数，所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递减区间是(−∞,1)，单调递增区间是(3,+∞) .（2）令u(x)=ax2−4x+3，则f(x)=2u(x)，因为f(x)的最小值为12，所以u(x)的最小值为−1，当a=0时，f(x)，无最大值；当a≠0时，有{a>03a−4a=−1，解得a=1，所以．实数a的值为1 .【解答】解：(1)令u(x)=x2−4x+3，且u>0，所以x<1或x>3.由于u(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)单调递增，而y=log3u为增函数，所以f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增.即函数f(x)的单调递减区间是(−∞,1)，单调递增区间是(3,+∞) .(2)令u(x)=ax2−4x+3，则f(x)=2u(x)，因为f(x)的最小值为12，所以u(x)的最小值为−1，当a=0时，f(x)无最大值；当a≠0时，有{a>0，3a−4a=−1，解得a=1，所以实数a的值为1.26.【答案】解：(1)由题意可知，log2(1x+2)<1，则{1x +2>0，1x+2<2，解得{x <−12或x >0，x <0，故x <−12，则原不等式的解集为(−∞, −12). (2)log 2(x +10)=(√2)x +λ，即λ=log 2(x +10)−(√2)x .设g(x)=log 2(x +10)−(√2)x ，∵ log 2(x +10)在[−2, 6]上单调递增，−(√2)x 也在[−2, 6]上单调递增，∴ 函数g(x)=log 2(x +10)−(√2)x 在[−2, 6]上单调递增.当x =−2时，λmin =1；当x =6时，λmax =318，∴ 关于x 的方程f(x)=(√2)x +λ在[−2, 6]上有实数解的实数λ的取值范围是[1, 318]. 【考点】分式不等式的解法函数的零点与方程根的关系 复合函数的单调性 【解析】(1)取m =2，求解对数不等式log 2(1x +2)<1即可；(2)取m =10，把关于x 的方程f(x)=(√2)x +λ在[−2, 6]上有实数解转化为求函数g(x)=log 2(x +10)−(√2)x 在[−2, 6]上的值域问题.【解答】解：(1)由题意可知，log 2(1x +2)<1，则{1x +2>0，1x+2<2，解得{x <−12或x >0，x <0，故x <−12，则原不等式的解集为(−∞, −12).(2)log 2(x +10)=(√2)x +λ，即λ=log 2(x +10)−(√2)x .设g(x)=log 2(x +10)−(√2)x ，∵ log 2(x +10)在[−2, 6]上单调递增，−(√2)x 也在[−2, 6]上单调递增，∴ 函数g(x)=log 2(x +10)−(√2)x 在[−2, 6]上单调递增.当x =−2时，λmin =1；当x =6时，λmax =318，∴ 关于x 的方程f(x)=(√2)x +λ在[−2, 6]上有实数解的实数λ的取值范围是[1, 318].。
复合函数的单调性
复合函数的单调性一、复合函数的概念如果y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f(g(x))叫作函数y=f(u)和u=g(x)的无机函数，其中u就是中间变量，自变量为x函数值为y。
例如：函数y=2x就是由y=2u和u=x+1无机而设立。
二、复合函数单调性判定方法：在复合函数y=f(g(x))中，若u=g(x)在区间[a,b]上是单调增（减）函数，y=f(u)在区间[g(a),g(b)]上（或在区间[g(b),g(a)]上）是单调增（减）函数，那么复合函数y=f(g(x))在区间[a,b]上一定是单调函数，它的增减性如下表：规律：同增异减至三、基本初等函数的单调性、1一次函数y=kx+b（k≠0）的单调区间就是。
2.反比例函数y=(k≠0)的单调区间是。
x3．二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的单调区间就是4、指数函数y=a（a＞0，a≠1）的单调区间就是。
5、对数函数y=logax（a＞0，a≠1）的单调区间就是。
基准1谋以下函数的单调区间：y=log4(x－4x+3)例2求下列复合函数的单调区间：y=log1(2x－x)7-6x-x基准3谋y=的单调区间.()x-2x-1谋y=2的单调区间求下列复合函数的单调区间.1.y=log3(x－2x);2.y=log2(x－3x+2)；3.y=-x+5x-6,4.y=0.7;1x+3()3-x35.y=2;6.y=,12log(4x-x)logxπ7.y=3；8.y=；x-6x；10.y=72x-x；9.y=函数的基本性质一、典型选择题1．在区间上以增函数的就是（）a．b．c．d．（考点：基本初等函数单调性）2是单调函数时，的取值范围（）c．（考点：二次函数单调性）3．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在a．最大值b．最小值c．没最大值d．没最小值（考点：函数最值）4．函数a．偶函数b．奇函数c．不具备奇偶函数d．与（考点：函数奇偶性）5．函数a．都是增函数，若（考点：抽象化函数单调性）6．函数a．的递增区间是（）（考点：无机函数单调性）7．函数在实数集上是增函数，则（）a．b．c．d．（考点：函数单调性）8．定义在r上的偶函数a．c．，满足用户b．d．上为递增，则（）（考点：函数奇偶、单调性综合）9．未知（）a．c．（考点：抽象函数单调性）二、典型填空题1．函数在r上以奇函数，且在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（考点：利用函数奇偶性谋解析式）2．函数，单调递减区间为，最大值和最小值的情况为.（考点：函数单调性，最值）三、典型答疑题1．（12分后）未知（考点：复合函数单调区间求法）得单调递增区间.2．（12分）已知，，求.（考点：函数奇偶性，数学整体赋值的思想）。
高一必修一复合函数的单调性
在 ,2上是增函数。
,1上是增函数。 y x 2 4 x 5在5,上是减函数，在
小结
（1）掌握复合函数单调性的判断方法.
函数的单调区间首先要求函数的定义域.
小结
（一）函数单调性解题应用.
1、已知单调性，求参数范围。(有时候需要讨论)
增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
例2.求函数y x 4 x 3的单调递减区间 .
2
解： x 4 x 3 0，即x 4 x 3 0， 1,3. 1 x 3，即函数的定义域为
2 2
令u x2 4x 3，故y u，
y u是定义域内是的单调递 增函数 .
复合函数的单调性
思考
例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 是 为什么？
x1 , x2 D, 且x1 x2 f ( x)在区间D上是增函数，g ( x)在区间D上是增函数 f ( x1 ) f ( x2 ), g ( x1 ) g ( x2 ) F ( x1 ) F ( x2 ) [ f ( x1 ) g ( x1 )] [ f ( x2 ) g ( x2 )]
2、利用函数单调性求函数的值域或最值。 3、利用单调性求解不等式。(重在转化问题)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复合函数的单调性练习题
山东 王宪华
._____________,)21(.1322减区间为的增区间为-+-=x x y
._____________,2.2822减区间为的增区间为++-=x x y
._______________,)32(log .322减区间为的增区间为--=x x y
.______________,)82-(log 4.22减区间为的增区间为++=x x y
的取值范围上是减函数，求在且a a a ax y a ]1,0[)1,0)(2(log 5.≠>+-=
.
3-13-)(,)(log )(6.25.0的取值范围求）上是增函数，，在（且的值域为a x f R a ax x x f --=
参考答案
]
1,(:),,1[:.1-∞+∞减区间为增区间为
]4,1[:]1,2[.2，减区间为增区间为：- )
1,(:),,3(:.3--∞+∞减区间为增区间为
)4,1[:],1,2(:.4减区间为增区间为- 21:)2)(1()
2......(..................................................1),0(log .
]2,0[)2(log ,
0,]2,0[2]2,0[,2s log ]1,0[),1(log )
1........(..........2021,
]1,0[2,0.]1,0[)2(log ,02],1,0[]1,0[)1,0)(2(log 5min <<>∴+∞=∴+-=>+-=∈+-==∈+-=<⇒>+•-=∴+-=∴>+-=>+-=∈∀∴≠>+-=a a a t y ax y s ax s x ax s y x ax y a a s ax s a ax y ax s x a a ax y a a a a a a 的取值范围为式可知由上是增函数
在知由复合函数的单调性可上是减函数在且上是减函数在而的复合函数，与是上是减函数在上且递减在且上是减函数
在且解
)1...(..................................................04,
)(log )(6.2225.0≥+=∆∴--=∴--=a a a ax x s R a ax x x f 可以取到所有正实数
的值域为解
上是增函数在且上是增函数，
，在)31,3()(log )()
2.(....................0),31,3()3-13-()(log )(25.0225.0----=>--=--∈∀∴--=a ax x x f a ax x s x a ax x x f
0)31()31()2()3........(. (312)
:)31,3(:)31,3()(log ),0(log )31,3(,log )
31,3(),(log )(2225.05.025.02≥--•--⇔-≥--∴----=∴----=+∞=--∈--==--∈--=a a a a ax x s a ax x y s y x a ax x s s y x a ax x x f a 且由二次函数的图象可知上是减函数
在知由复合函数的单调性可上是增函数在是减函数，在而的复合函数
与是
200)31()31(312
04)
3)(2)(1(22≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--•---≥--≥+∴a a a a a a a 解得：同时满足综上可知。