多元复合函数的求导法则

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例2. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z . x y
解 z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cos v 1
z
exy[ y sin(x y) cos(x y)] u v
z z u z v y u y v y
代入
dt x dt y d t
(2xy3y4)et (x212xy3)cost
(2 etsint 3 sin4t)et (e2 t 1 2 etsin 3t)c o st 解法二，先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e 2 ts in t 3 e ts in 4 t， 所以
d z 2 e 2 ts in t e 2 tc o s t 3 e ts i n 4 t 1 2 e ts i n t c o s t dt
z
dt u dt v dt t
v e t u sin t cos t
uvt
e t (cost sin t) cos t
tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列几个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
求导口诀 : 分段用乘, 分叉用加.
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例5. 设 zfx,y，x(s,t)，y (t) 都具备可微
条件，求复合函数 zf((s,t),(t))的偏导数.
解: 如左图，有 z z x , z z x z d y s x s t x t y d t
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
第四节
第八章
多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
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一元复合函数 y f (u), u (x)
求导法则
dy dy du dx du dx
微分法则 d y f (u) d u f (u)(x) d x
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一、多元复合函数求导的链式法则
定理1. 若函数 u (t), v (t) 在点t 可导, z f (u,v)
如:
z f (u, v)
u
u2v 2 v
2
,
0,
ut, vt
u2 v2 0 u2 v2 0
易知:
z u
(0,0)
fu (0,0) 0 ,
z v
(0,0)
fv (0,0) 0
但不可微（验证），此时复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
在对应点（u, v）可微, 则复合函数 z f ( (t), (t))
在点 t 可导, 且有链法则（见右边的树图）
dz f du f dv dt u dt v dt 证: 设 △t 为t 的增量, 则相应中间变量
z
uv
有增量△u ,△v , 由于 f 可微，所以
tt
z f u f v o ( ) ( (u)2 (v)2 )
x yx y
eu sin v x eu cos v 1
exy[x sin(x y) cos(x y)]
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例3. 求 z(x2y2)xy 的偏导数.
解: 这是一个幂指函数，有了多元函数的链法则，
就不需要用对数求导法了. Qz(x2y2)xy 由 z u v，ux2y2和vxy
复合而成， 于是 zzuzvvuv12xuv lnu y x ux vx
d t 2 u dt v dt
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定理2. 设 z f (u,v) 在对应点可微
u(x,y)， v(x,y)偏导数都存在，
则
z z u z v
x u x v x
z
uv x yx y
z z u z v y u y v y 推广: 设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如,
注意Baidu Nhomakorabea止记号的混淆.
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如, z f (x, y), y (x,t)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x
f y y x
z f y t y t
xy xt
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示 复合函数f ( x, ( x, t ) )固定 t 对 x 求导 x
u v
上式两端同时除以△t ，得到
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z f u f v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t 令 t 0, 则有u 0, v 0,
z
u du , v dv
uv
t dt t dt
o ( ) o( ) (u)2 ( v)2 0 t t
t
t
z
uvw t tt
z f (u,v, w) , u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
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例1. 设 zx2y3xy4， 其中 xet,ysint， 求 d z .
dt
解: 解法一，dz z dx z d y
t
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
dz f du f dv dt u dt v dt
为了与偏导数区别, 称为全 导数，全导数还可以写成:
dz z du z dv dt u dt v dt
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注: 若定理中f (u,v) 在点(u, v) 可微减弱为偏导数存在,
则定理结论不一定成立.
u xyz xt
u f f f
同理可得
(x2y2)xy x
2x2y 2 y2
yln(x2y2)
zvuv12yuvlnux
y
(x2y2)x2 2x yy 22xln(x2y2)
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例4. 设 z uv sin t , u et , v cos t , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du z dv z
f 表示f ( x, y )固定 y 对 x 求导 x
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例6. 设u f ( x , y , z ) , y ( x , t ) , t ( x , z ) ,都有一阶
连续偏导数，求 u 和 u . x z
解: 代入中间变量，得到复合函数
u f( x ,( x ,( x ,z ) ) ,z )