多元复合函数的导数
7-4 多元复合函数求导
多元复合函数的高阶导数 注意： 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 验证解的问题中经常遇到 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号. 这方面问题的高阶导数求导技巧与常用导数符号 高阶导数求导技巧与常用导数符号
例. 设
f 具有二阶连续偏导数 具有二阶连续偏导数,
所以 例1 . z = sinucos v, u = x y, v = x y , 求 ∂z , ∂z . ∂x ∂y
例
都可微， 设函数 z = f ( u, x , y ), u = ϕ ( x , y ) 都可微，
求复合函数 z = f (ϕ ( x , y ), x , y), u = ϕ ( x , y ) 的偏导数 .
∂z dz ∂u = ⋅ , 有公式(2) 则有公式 ∂ x du ∂x
∂z dz ∂u = ⋅ ∂ y du ∂y
又如 z = f ( u, v , w ) , u = ϕ ( x , y ) , v = ψ ( x , y ), w = τ ( x , y )
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂ v ∂z ∂w , = ⋅ + + ⋅ 则有公式(3) 则有公式 ∂ x ∂u ∂x ∂ v ∂ x ∂w ∂ x
解: dz = d(sin ucos v)
+ sinudcos v
= cos(xy)cos x ( ydx + xdy)
y
= [ y cos( xy ) cos x -yx
y
y −1
sin( xy )sinx ]dx
y
+ [ x cos( xy ) cos x y -x y lnxsin( xy )sinx y ]dy
多元复合函数求导法则
z
z f u f = + . 区别类似 y u y y
把 z = f ( u, x , y ) 中的 u 及 y 看作不 变而对 x 的偏导数
u x y
x y
两者的区别
把复合函数 z = f [ ( x , y ), x , y ] 中的
y 看作不变而对 x 的偏导数
例 3 设 z = uv + sin t ，而 u = e t ， v = cos t ，
dz z du z dv = + dt u dt v dt
z
u v
t
则 证 设 t 有增量 t， u = ( t + t ) ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t ); 由于函数 z = f ( u, v ) 在点
z z z = u + v + o( ρ ), ( ρ = (u)2 + (v)2 ) u v z z u z v o( ρ ) 当 t → 0时， = + + t u t v t t
例5 设 z = e cos v , 而 u = xy , v = x + y ,
u
z z , . 求 x y
解 dz = d ( e cos v ) = e cos vdu + e ( sin v )dv
u
u u
du = d( xy) = ydx + xdy,dv = d( x + y) = dx + dy,
例1 设
而 x = sin t , y = ( t )
z
x
y
t
推广
1.上定理的结论可推广到 1.上定理的结论可推广到 中间变量多于两个的情况: 中间变量多于两个的情况: z = f ( ( t ),ψ ( t ), ω ( t ))
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法则为了简化讲解，假设我们有一个复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个一元函数，f(y)是一个多元函数。
我们希望计算该函数的导数。
下面是多元复合函数求导的三种基本法则。
法则一：链式法则链式法则是求导复合函数最常用的法则。
它可以帮助我们计算f(g(x))的导数。
根据链式法则，导数可以通过链式相乘的方式进行计算。
链式法则的公式为：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)其中f'(y)是f(y)对变量y的导数，g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过链式法则，我们可以将f(g(x))的导数转化为f'(g(x))和g'(x)的乘积。
法则二：导数反函数法则导数反函数法则是求导复合函数的另一种常用法则。
它适用于求导符合函数的反函数的导数。
设y=g(x)是一个可逆函数，且g'(x)≠0，则它的反函数x=g⁻¹(y)的导数可以通过导数的反函数进行计算。
导数反函数法则的公式为：(g⁻¹(y))'=1/(g'(x))其中g'(x)是g(x)对变量x的导数。
通过导数反函数法则，我们可以计算得到反函数的导数。
法则三：隐函数法则隐函数法则适用于求导复合函数中的隐式函数。
隐式函数是一种表示函数关系的方程，它的导数可以通过隐函数法则进行计算。
假设我们有一个隐函数F(x,y)=0，其中y=g(x)是一个表示x与y的关系的函数。
我们可以使用隐函数法则计算y的导数。
隐函数法则的公式为：(dy/dx) = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)其中(∂F/∂x)和(∂F/∂y)分别表示F(x,y)对变量x和y的偏导数。
通过隐函数法则，我们可以计算得到复合函数的导数。
综上所述，链式法则、导数反函数法则和隐函数法则是求导复合函数的三种基本法则。
这些法则能够帮助我们解决复杂的多元函数求导问题，提高计算效率。
多元复合函数的求导法
多元复合函数的求导法在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。
下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。
我们先以二元函数为例：多元复合函数的求导公式链导公式：设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数,那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式：例题：求函数的一阶偏导数解答：令由于而由链导公式可得：其中上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。
在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。
全导数由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数是x的一元函数.这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数.此时的链导公式为:例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求解答：由全导数的链导公式得：将u=cosx，v=sinx代入上式，得：关于全导数的问题全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。
多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。
多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。
二元函数极值的定义如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：f(x,y)≤f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：f(x,y)≥f(x0,y0)成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是：.注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
多元复合函数高阶导数公式
多元复合函数高阶导数公式
多元复合函数高阶导数公式是一种用于求解多元函数高阶导数的公式。
在多元函数中，如果有一个函数f(x1, x2, ..., xn)和一组函数g1(t), g2(t), ..., gm(t)，它们的定义域和值域之间存在一定的关系，那么我们可以通过复合这些函数来得到一个新的函数h(t) = f(g1(t), g2(t), ..., gm(t))。
对于这样的复合函数，我们可以使用链式法则来求它的导数。
具体地，设z = h(t)是一个复合函数，f为原函数，gi为中间函数，那么z的导数可以表示为：
d^kz/dt^k = ∑(i1, i2, ..., ik) (∂^kf/∂g^(i_1)_1∂g^(i_2)_2...∂g^(i_k)_k) * (dg^(i_1)_1/dt^(i_1)) * (dg^(i_2)_2/dt^(i_2)) * ... * (dg^(i_k)_k/dt^(i_k))
其中，∑(i1, i2, ..., ik)表示对所有可能的(i1, i2, ..., ik)求和，∂^kf/∂g^(i_1)_1∂g^(i_2)_2...∂g^(i_k)_k表示f对中间函数g1, g2, ..., gm的一阶、二阶、...、k 阶偏导数的乘积，dg^(i_j)_j/dt^(i_j)表示中间函数gj对t的i_j阶导数。
这个公式的含义是，我们可以将多元复合函数的高阶导数分解为原函数f及其中间函数gi的一阶到k阶偏导数和各中间函数的k阶导数的乘积之和。
这使得我们可以通过递归地应用链式法则，来计算出任意阶的复合函数的导数。
多元复合函数的求导法则
§8. 4 多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dtdz ？设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求xz ∂∂和yz ∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=.又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有dtdt du du =,dtdtdv dv =,代入上式得 dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=,从而dtdvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v vz u uz z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dtdv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v zu z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=,to t t o v z u z dt dv v z dt du u z tz ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ,令∆t →0, 上式两边取极限, 即得 dtdv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.注:)()(0)()()(lim)(lim22220=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du tv u o to t t ρρρ.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dtdw w z dtdv v z dtdu u z dtdz ∂∂+∂∂+∂∂=.上述dtdz 称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有xv v z x u u z xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yv v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则xw w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,yw w z y v v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂xz ？=∂∂yz？提示:xu u z xz ∂∂⋅∂∂=∂∂,dydv v z y u u z yz ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂. (2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂x z ？=∂∂yz ？提示: xf xu u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂,yf yu u f yz ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里xz ∂∂与xf ∂∂是不同的, xz ∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数,xf ∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. yz ∂∂与yf ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 xu u z xz ∂∂⋅∂∂=∂∂,dydv v z y u u z yz ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求xz ∂∂和yz ∂∂.解xv v z x u u z xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],yv v z y u u z yz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]. 例2 设222),,(z y xe z y xf u ++==, 而yx z sin2=. 求xu ∂∂和yu ∂∂.解xzz fxf xu ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂yx zexe z y x z y x sin 222222222⋅+=++++ yx y xe y x x 2422s i n 22)s i n 21(2++++=.yzz fyf yu ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x zeye z y x z y x cos 222222222⋅+=++++yx y xe y y x y 2422s i n 4)c o s s i n (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . 求全导数dtdz . 解tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂==v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t=e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求xw ∂∂及zx w ∂∂∂2.解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ). 引入记号: u v u f f ∂∂='),(1,vu v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等.21f yz f x vv f xuu fxw '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,zf yzf y zf f yz f zzx w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)( 2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''=22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=.注:1211111f xy f zvv f z u u f zf ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f zvv f z u u f zf ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂.例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(yu xu ∂∂+∂∂; (2)2222yu xu∂∂+∂∂.解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, xy arctan=θ.应用复合函数求导法则, 得xu x u xu ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρyux u ∂∂-∂∂=ρθθθρs i nc o s y u u ∂∂-∂∂=,yu yu yu ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρxu y u ∂∂+∂∂=ρθθθρc o s s i n ∂∂+∂∂=u u .两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u .再求二阶偏导数, 得xxu xxu xu ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρc o s )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂=u uρθρθθθρθs i n )s i n c o s (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u22222222s i n c o s s i n 2c o s ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22s i n c o s s i n 2∂∂+∂∂+u u .同理可得2222222222c o s c o s s i n 2s i n ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22c o s c o s s i n 2∂∂+∂∂-u u .两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂uu y u x u ])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=.如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则d y y z d x x z d z ∂∂+∂∂=dyyv v z yu u z dx xv v z xu u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy yv dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dvvz du uz ∂∂+∂∂=.由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分. 解dvv z du uz dz ∂∂+∂∂== e u sin vdu + e u cos v dv= e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .§8. 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dxdy -=.求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F (x , f (x ))≡0, 等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dxdy yF xF ,由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dxdy -=.例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).yx F F dxdy yx -=-=,==x dxdy ;332222221)(y y x y y yx x y y y x y dxy d -=+-=---='--=；1022-==x dxy d .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有zx F F xz -=∂∂,zy F F yz -=∂∂.公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导, 得=∂∂⋅+x z F F z x ,=∂∂⋅+yz F F z y .因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得zx F F x z -=∂∂,zy F F yz -=∂∂.例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求22x z ∂∂.解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,zx z x F F x z zx -=--=-=∂∂2422,3222222)2()2()2()2()2()2()2(z xx z z xx x z xz x x xz -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=,22y x x v +=.事实上, xu -yv =0 ⇒uyx v =⇒1=⋅+u yx x yu⇒22yx y u +=,2222y x x y x yy xv +=+⋅=.如何根据原方程组求u , v 的偏导数？ 隐函数存在定理3 设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式：vG uG v F u F v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有v u v u v x v x G G F F G G F F v x G F J xu -=∂∂-=∂∂),(),(1,v u v u x u x u G G F F G G F F x u G F J xv -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u v y vyG G F F G G F F v y G F J yu -=∂∂-=∂∂),(),(1,vu v u y u yuG G F F G G F F y u G F J yv -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则 偏导数xu ∂∂,x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G xv F x u F F v ux v u x 确定;偏导数yu ∂∂,yv∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求xu ∂∂,xv ∂∂,yu ∂∂和yv ∂∂.解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于xu ∂∂和xv ∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x vx v xu yx v y x u x u ,当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu xu++-=∂∂,22y x xv yu xv +-=∂∂.两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于yu ∂∂和yv ∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y vx y u y u y v y v y ux ,当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22yx yu xv yu+-=∂∂,22yx yv xu yv ++-=∂∂.另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+0x d v v d x y d u udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdxudy xdv ydu udx vdy ydv xdu .解之得dyy x yu xv dx y x yv xu du 2222+-+++-=,dyy x yv xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=.于是22yx yv xu xu ++-=∂∂,22yx yu xv yu +-=∂∂,22y x xv yu xv +-=∂∂,22y x yv xu yv ++-=∂∂.例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数,又),(),(≠∂∂v u y x .(1)证明方程组 ⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数. 解 (1)将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F ,则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x ,将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x v v y x u u y x v v x x u u x 01.由于J ≠0, 故可解得 vy J xu ∂∂=∂∂1,u y J xv ∂∂-=∂∂1.同理, 可得 vx J yu ∂∂-=∂∂1,ux J yv ∂∂=∂∂1.§8. 6 多元函数微分学的几何应用一. 空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) 这里假定ϕ(t ), ψ(t ), ω(t )都在[α, β]上可导.在曲线Γ上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0, y 0, z 0)及对应于t =t 0+∆t 的邻近一点M (x 0+∆x , y 0+∆y , z 0+∆z ). 作曲线的割线MM 0, 其方程为zz z yy y xx x ∆-=∆-=∆-000,当点M 沿着Γ趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑tz z z ty y y tx x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000,当M →M 0, 即∆t →0时, 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='-.曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)) 就是曲线Γ在点M 0处的一个切向量.法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M 0 处的法平面, 其法平面方程为ϕ'(t 0)(x -x 0)+ψ'(t 0)(y -y 0)+ω'(t 0)(z -z 0)=0.例1 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 因为x t '=1, y t '=2t , z t '=3t 2, 而点(1, 1, 1)所对应的参数t =1, 所以 T =(1, 2, 3). 于是, 切线方程为312111-=-=-z y x ,法平面方程为(x -1)+2(y -1)+3(z -1)=0, 即x +2y +3z =6. 讨论:1. 若曲线Γ的方程为 y =ϕ(x ), z =ψ(x ). 问其切线和法平面方程是什么形式?提示: 曲线方程可看作参数方程: x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 切向量为T =(1, ϕ'(x ), ψ'(x )).2. 若曲线Γ的方程为F (x , y , z )=0,G (x , y , z )=0. 问其切线和法平面方程又是什么形式?提示: 两方程确定了两个隐函数: y =ϕ(x ), z =ψ(x ), 曲线的参数方程为 x =x , y =ϕ(x ), z =ψ(x ),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dzG dx dy G G dx dzF dx dy F F z y x z y x 可解得dxdy 和dxdz .切向量为),,1(dxdz dxdy =T.例2 求曲线x 2+y 2+z 2=6, x +y +z =0在点(1, -2, 1)处的切线及法平面方程. 解 为求切向量, 将所给方程的两边对x 求导数,得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dy dxdz z dxdy y x ,解方程组得zy x z dxdy --=,zy y x dxdz --=. 在点(1, -2, 1)处,=dxdy ,1-=dxdz .从而T =(1, 0, -1). 所求切线方程为110211--=+=-z y x ,法平面方程为(x -1)+0⋅(y +2)-(z -1)=0, 即x -z =0.二. 曲面的切平面与法线设曲面∑的方程为F (x , y , z )=0,M 0(x 0, y 0, z 0)是曲面∑上的一点, 并设函数F (x , y , z )的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面∑上, 通过点M 0任意引一条曲线Γ, 假定曲线Γ的参数方程式为 x =ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t ) ,t =t 0对应于点M 0(x 0, y 0, z 0), 且ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)不全为零. 曲线在点的切向量为 T =(ϕ'(t 0), ψ'(t 0), ω'(t 0)).考虑曲面方程F (x , y , z )=0两端在t =t 0的全导数:F x (x 0, y 0, z 0)ϕ'(t 0)+F y (x 0, y 0, z 0)ψ'(t 0)+F z (x 0, y 0, z 0)ω'(t 0)=0. 引入向量n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)),易见T 与n 是垂直的. 因为曲线Γ是曲面∑上通过点M 0的任意一条曲线, 它们在点M 0的切线都与同一向量n 垂直, 所以曲面上通过点M 0的一切曲线在点M 0的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面∑在点M 0的切平面. 这切平面的方程式是 F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0)+F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0)+F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0)=0.曲面的法线: 通过点M 0(x 0, y 0, z 0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为), ,(), ,(), ,(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-.曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n =(F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)) 就是曲面∑在点M 0处的一个法向量.例3 求球面x 2+y 2+z 2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 解 F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-14, F x =2x , F y =2y , F z =2z ,F x (1, 2, 3)=2, F y (1, 2, 3)=4, F z (1, 2, 3)=6. 法向量为n =(2, 4, 6), 或n =(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x -1)+4(y -2)+6(z -3)=0, 即x +2y +3z -14=0. 法线方程为332211-=-=-z y x .讨论: 若曲面方程为z =f (x , y ) , 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式? 提示: 此时F (x , y , z )=f (x , y )-z . n =(f x (x 0, y 0), f y (x 0, y 0), -1)例4 求旋转抛物面z =x 2+y 2-1在点(2, 1, 4)处的切平面及法线方程. 解 f (x , y )=x 2+y 2-1,n =(f x , f y , -1)=(2x , 2y , -1), n |(2, 1, 4)=(4, 2, -1). 所以在点(2, 1, 4)处的切平面方程为4(x -2)+2(y -1)-(z -4)=0, 即4x +2y -z -6=0. 法线方程为142142--=-=-z y x .§8. 7 方向导数与梯度一、方向导数现在我们来讨论函数z =f (x , y )在一点P 沿某一方向的变化率问题.设l 是xOy 平面上以P 0(x 0, y 0)为始点的一条射线, e l =(cos α, cos β)是与l 同方向的单位向量. 射线l 的参数方程为x =x 0+t cos α, y =y 0+t cos β (t ≥0).设函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的某一邻域U (P 0)内有定义, P (x 0+t cos α, y 0+t cos β)为l 上另一点, 且P ∈U (P 0). 如果函数增量f (x 0+t cos α, y 0+t cos β)-f (x 0, y 0)与P 到P 0的距离|PP 0|=t 的比值ty x f t y t x f ),()c o s ,c o s (0000-++βα当P 沿着l 趋于P 0(即t →t 0+)时的极限存在, 则称此极限为函数f (x , y )在点P 0沿方向l 的方向导数, 记作),(00y x lf ∂∂, 即),(00y x lf ∂∂t y x f t y t x f t ),()c o s ,c o s (lim00000-++=+→βα.从方向导数的定义可知, 方向导数),(00y x lf ∂∂就是函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)处沿方向l 的变化率.方向导数的计算:定理 如果函数z =f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=,其中cos α, cos β是方向l 的方向余弦.简要证明: 设∆x =t cos α, ∆y =t cos β, 则f (x 0+t cos α, y 0+t cos β)-f (x 0, y 0)=f x (x 0, y 0)t cos α+f y (x 0, y 0)t cos β+o (t ). 所以ty x f t y t x f t ),()c o s ,c o s (lim00000-+++→βαϕϕs i n ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=.这就证明了方向导数的存在, 且其值为),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=.提示:),(),(0000y x f y y x x f -∆+∆+))()((),(),(220000y x o y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=.∆x =t cos α, ∆y =t cos β,t y x =∆+∆22)()(.讨论: 函数z =f (x , y )在点P 沿x 轴正向和负向, 沿y 轴正向和负向的方向导数如何? 提示:沿x 轴正向时, cos α=1, cos β=0,xf l f ∂∂=∂∂;沿x 轴负向时, cos α=-1, cos β=0,xf lf ∂∂-=∂∂.例1 求函数z =xe 2y在点P (1, 0)沿从点P (1, 0)到点Q (2, -1)的方向的方向导数. 解 这里方向l 即向量→)1 ,1(-=PQ的方向, 与l 同向的单位向量为)21 ,21(-=l e .因为函数可微分, 且1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz ,22)0,1(2)0,1(==∂∂yxeyz ,所以所求方向导数为22)21(2211)0,1(-=-⋅+⋅=∂∂lz .对于三元函数f (x , y , z )来说, 它在空间一点P 0(x 0, y 0, z 0)沿e l =(cos α , cos β , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂tz y x f t z t y t x f t ),,()c o s ,c o s ,c o s (lim0000000-+++=+→γβα.如果函数f (x , y , z )在点(x 0, y 0, z 0)可微分, 则函数在该点沿着方向e l =(cos α , cosβ , cos γ)的方向导数为),,(000z y x lf ∂∂=f x (x 0, y 0, z 0)cos α+f y (x 0, y 0, z 0)cos β+f z (x 0, y 0, z 0)cos γ.例2求f (x , y , z )=xy +yz +zx 在点(1, 1, 2)沿方向l 的方向导数, 其中l 的方向角分别为60︒, 45︒, 60︒.解 与l 同向的单位向量为e l =(cos60︒, cos 45︒, cos60︒))21 ,22,21(=. 因为函数可微分, 且f x (1, 1, 2)=(y +z )|(1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x +z )|(1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y +x )|(1, 1, 2)=2, 所以)235(21212223213)2,1,1(+=⋅+⋅+⋅=∂∂lf .二. 梯度设函数z =f (x , y )在平面区域D 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0)∈D , 都可确定一个向量 f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j ,这向量称为函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)的梯度, 记作grad f (x 0, y 0), 即 grad f (x 0, y 0)= f x (x 0, y 0)i +f y (x 0, y 0)j . 梯度与方向导数:如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)可微分, e l =(cos α , cos β )是与方向l 同方向的单位向量, 则),(00y x lf ∂∂βαc o s ),(c o s ),(0000y x f y x f y x +=,= grad f (x 0, y 0)⋅e l=| grad f (x 0, y 0)|⋅cos(grad f (x 0, y 0),^ e l ).这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系. 特别, 当向量e l 与grad f (x 0, y 0)的夹角θ=0, 即沿梯度方向时, 方向导数),(00y x lf ∂∂取得最大值, 这个最大值就是梯度的模|grad f (x 0, y 0)|. 这就是说: 函数在一点的梯度是个向量, 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向, 它的模就等于方向导数的最大值. 讨论:lf ∂∂的最大值;结论: 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.我们知道, 一般说来二元函数z =f (x , y )在几何上表示一个曲面, 这曲面被平面z =c (c 是常数)所截得的曲线L 的方程为⎩⎨⎧==cz y x f z ),(.这条曲线L 在xOy 面上的投影是一条平面曲线L *, 它在xOy 平面上的方程为 f (x , y )=c .对于曲线L *上的一切点, 已给函数的函数值都是c , 所以我们称平面曲线L *为函数z =f (x , y )的等值线.若f x , f y 不同时为零, 则等值线f (x , y )=c 上任一点P 0(x 0, y 0)处的一个单位法向量为)),(),,((),(),(10000002002y x f y x f y x f y x f y x y x +=n .这表明梯度grad f (x 0, y 0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同, 而沿这个方向的方向导数nf ∂∂就等于|grad f (x 0, y 0)|, 于是nnf y x f ∂∂=),(00g r a d .这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系.这说是说: 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同, 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线, 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数.梯度概念可以推广到三元函数的情形. 设函数f (x , y , z )在空间区域G 内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P 0(x 0, y 0, z 0)∈G , 都可定出一个向量 f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k ,这向量称为函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度, 记为grad f (x 0, y 0, z 0), 即 grad f (x 0, y 0, z 0)=f x (x 0, y 0, z 0)i +f y (x 0, y 0, z 0)j +f z (x 0, y 0, z 0)k .结论: 三元函数的梯度也是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 如果引进曲面 f (x , y , z )=c为函数的等量面的概念, 则可得函数f (x , y , z )在点P 0(x 0, y 0, z 0)的梯度的方向与过点P 0的等量面 f (x , y , z )=c 在这点的法线的一个方向相同, 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面, 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数.例3 求221y x +grad .解 这里221),(y x y x f +=. 因为222)(2y x xxf +-=∂∂,222)(2y x y yf +-=∂∂,所以221y x +g r a d ji 222222)(2)(2y x y y x x +-+-=.例4 设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 求grad f (1, -1, 2).解 grad f =(f x , f y , f z )=(2x , 2y , 2z ), 于是 grad f (1, -1, 2)=(2, -2, 4).数量场与向量场: 如果对于空间区域G 内的任一点M , 都有一个确定的数量f (M ), 则称在这空间区域G 内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等). 一个数量场可用一个数量函数f (M )来确定, 如果与点M 相对应的是一个向量F (M ), 则称在这空间区域G 内确定了一个向量场(例如力场、速度场等). 一个向量场可用一个向量函数F(M )来确定, 而F (M )=P (M )i +Q (M )j +R (M )k ,其中P (M ), Q (M ), R (M )是点M 的数量函数.利用场的概念, 我们可以说向量函数grad f (M )确定了一个向量场——梯度场, 它是由数量场f (M )产生的. 通常称函数f (M )为这个向量场的势, 而这个向量场又称为势场. 必须注意, 任意一个向量场不一定是势场, 因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例5 试求数量场rm 所产生的梯度场, 其中常数m >0,222z y x r ++=为原点O 与点M (x , y , z)间的距离.解 32)(r mx x r r m r m x -=∂∂-=∂∂,同理 3)(rmy rm y-=∂∂,3)(rmz rm z-=∂∂.从而 )(2k j i r zr y r x r m r m ++-=g r a d .记kj i e rz r y rx r++=, 它是与→OM 同方向的单位向量, 则rr m rm e 2-=grad.上式右端在力学上可解释为, 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M 而质量为l 的质点的引力. 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比, 这引力的方向由点M 指向原点. 因此数量场rm 的势场即梯度场grad rm 称为引力场, 而函数rm 称为引力势.§8.8 多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于(x0,y0)的点(x,y),都有f(x,y)<f(x0,y0)(或f(x,y)>f(x0,y0)),则称函数在点(x0,y0)有极大值(或极小值)f(x0,y0).极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.例1 函数z=3x2+4y2在点(0, 0)处有极小值.当(x,y)=(0, 0)时,z=0,而当(x,y)≠(0, 0)时,z>0.因此z=0是函数的极小值.例2 函数22y-=在点(0, 0)处有极大值.xz+当(x,y)=(0, 0)时,z=0,而当(x,y)≠(0, 0)时,z<0.因此z=0是函数的极大值.例3 函数z=xy在点(0, 0)处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点.以上关于二元函数的极值概念,可推广到n元函数.设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于P0的点P,都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P 0)),则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0).定理1(必要条件)设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值,则有f x(x0,y0)=0,f y(x0,y0)=0.证明不妨设z=f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值.依极大值的定义,对于点(x0,y0)的某邻域内异于(x0,y0)的点(x,y),都有不等式f(x,y)<f(x0,y0).特殊地,在该邻域内取y=y0而x≠x0的点,也应有不等式f(x,y0)<f(x0,y0).这表明一元函数f(x,y0)在x=x0处取得极大值,因而必有f x(x0,y0)=0.类似地可证f y(x0,y0)=0.从几何上看,这时如果曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处有切平面,则切平面z-z0=f x(x0,y0)(x-x0)+ f y(x0,y0)(y-y0)成为平行于xOy坐标面的平面z=z0.类似地可推得,如果三元函数u=f (x,y,z)在点(x0,y0,z0)具有偏导数,则它在点(x 0, y 0, z 0)具有极值的必要条件为f x (x 0, y 0, z 0)=0, f y (x 0, y 0, z 0)=0, f z (x 0, y 0, z 0)=0.仿照一元函数, 凡是能使f x (x , y )=0, f y (x , y )=0同时成立的点(x 0, y 0)称为函数z =f (x , y )的驻点.从定理1可知, 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点. 但函数的驻点不一定是极值点.例如, 函数z =xy 在点(0, 0)处的两个偏导数都是零, 函数在(0, 0)既不取得极大值也不取得极小值.定理2(充分条件) 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又f x (x 0, y 0)=0, f y (x 0, y 0)=0, 令f xx (x 0, y 0)=A , f xy (x 0, y 0)=B , f yy (x 0, y 0)=C ,则f (x , y )在(x 0, y 0)处是否取得极值的条件如下:(1) AC -B 2>0时具有极值, 且当A <0时有极大值, 当A >0时有极小值; (2) AC -B 2<0时没有极值;(3) AC -B 2=0时可能有极值, 也可能没有极值.在函数f (x , y )的驻点处如果 f xx ⋅ f yy -f xy 2>0, 则函数具有极值, 且当f xx <0时有极大值, 当f xx >0时有极小值.极值的求法: 第一步 解方程组f x (x , y )=0, f y (x , y )=0,求得一切实数解, 即可得一切驻点.第二步 对于每一个驻点(x 0, y 0), 求出二阶偏导数的值A 、B 和C . 第三步 定出AC -B 2的符号, 按定理2的结论判定f (x 0, y 0)是否是极值、是极大值 还是极小值.例4 求函数f (x , y )=x 3-y 3+3x 2+3y 2-9x 的极值. 解解方程组⎩⎨⎧=+-==-+=063),(0963),(22y y y x f x x y x f y x ,求得x =1, -3; y =0, 2. 于是得驻点为(1, 0)、(1, 2)、(-3, 0)、(-3, 2). 再求出二阶偏导数f xx (x , y )=6x +6, f xy (x , y )=0, f yy (x , y )=-6y +6.在点(1, 0)处, AC -B 2=12⋅6>0, 又A >0, 所以函数在(1, 0)处有极小值f (1, 0)=-5; 在点(1, 2)处, AC -B 2=12⋅(-6)<0, 所以f (1, 2)不是极值; 在点(-3, 0)处, AC -B 2=-12⋅6<0, 所以f (-3, 0)不是极值;在点(-3, 2)处, AC -B 2=-12⋅(-6)>0, 又A <0, 所以函数的(-3, 2)处有极大值f (-3, 2)=31.应注意的问题:不是驻点也可能是极值点, 例如, 函数22y x z +-=在点(0, 0)处有极大值, 但(0, 0)不是函数的驻点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.最大值和最小值问题: 如果f (x , y )在有界闭区域D 上连续, 则f (x , y )在D 上必定能取得最大值和最小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D 的内部, 也可能在D 的边界上. 我们假定, 函数在D 上连续、在D 内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D 的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值). 因此, 求最大值和最小值的一般方法是: 将函数f (x , y )在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大的就是最大值, 最小的就是最小值. 在通常遇到的实际问题中, 如果根据问题的性质, 知道函数f (x , y )的最大值(最小值)一定在D 的内部取得, 而函数在D 内只有一个驻点, 那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x , y )在D 上的最大值(最小值).例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取多少时, 才能使用料最省.解 设水箱的长为x m , 宽为y m , 则其高应为xy 8m . 此水箱所用材料的面积为)0 ,0( )88(2)88(2>>++=⋅+⋅+=y x yxxy xyx xy y xy A .令0)8(22=-=xy A x ,)8(22=-=y x A y , 得x =2, y =2.根据题意可知, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域D ={(x ,y )|x >0, y >0}内取得. 因为函数A 在D 内只有一个驻点, 所以 此驻点一定是A 的最小值点, 即当水箱的长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 水箱所用的材料最省.因此A 在D 内的唯一驻点(2, 2)处取得最小值, 即长为2m 、宽为2m 、高为2228=⋅m 时, 所用材料最省.从这个例子还可看出, 在体积一定的长方体中, 以立方体的表面积为最小.例6 有一宽为24cm 的长方形铁板, 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽. 问怎样折法才能使断面的面积最大？解 设折起来的边长为x cm , 倾角为α, 那末梯形断面的下底长为24-2x , 上底长为24-2x ⋅cos α, 高为x ⋅sin α, 所以断面面积ααs i n )224cos 2224(21x x x x A ⋅-++-=,即A =24x ⋅sin α-2x 2sin α+x 2sin α cos α (0<x <12, 0<α≤90︒).可见断面面积A 是x 和α的二元函数, 这就是目标函数, 面求使这函数取得最大值的点(x , α).令A x =24sin α-4x sin α+2x sin α cos α=0,A α=24x cos α-2x 2 cos α+x 2(cos 2α-sin 2α)=0, 由于sin α ≠0, x ≠0, 上述方程组可化为⎩⎨⎧=-+-=+-0)s i n (c o s c o s 2c o s240cos 21222αααααx x x x .解这方程组, 得α=60︒, x =8cm .根据题意可知断面面积的最大值一定存在, 并且在D ={(x , y )|0<x <12, 0<α≤90︒}内取得, 通过计算得知α=90︒时的函数值比α=60︒, x =8(cm)时的函数值为小. 又函数在D 内只有一个驻点, 因此可以断定, 当x =8cm , α=60︒时, 就能使断面的面积最大.二、条件极值 拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值. 例如, 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积问题. 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则体积V =xyz . 又因假定表面积为a 2, 所以自变量x , y , z 还必须满足附加条件2(xy +yz +xz )=a 2.这个问题就是求函数V =xyz 在条件2(xy +yz +xz )=a 2下的最大值问题, 这是一个条件极值问题.对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题. 例如上述问题,由条件2)(2a xz yz xy =++, 解得)(222y x xya z +-=, 于是得V ))(2(22y x xy a xy +-=.只需求V 的无条件极值问题.在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易. 需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法.现在我们来寻求函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下取得极值的必要条件.如果函数z =f (x , y )在(x 0, y 0)取得所求的极值, 那么有 ϕ(x 0, y 0)=0.假定在(x 0, y 0)的某一邻域内f (x , y )与ϕ(x , y )均有连续的一阶偏导数, 而ϕy (x 0, y 0)≠0. 由隐函数存在定理, 由方程ϕ(x , y )=0确定一个连续且具有连续导数的函数y =ψ(x ), 将其代入目标函数z =f (x , y ), 得一元函数 z =f [x , ψ(x )].于是x =x 0是一元函数z =f [x , ψ(x )]的极值点, 由取得极值的必要条件, 有 0),(),(00000=+===x x y x x x dx dy y x f y x f dxdz ,即),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ.从而函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下在(x 0, y 0)取得极值的必要条件是),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ与ϕ(x 0, y 0)=0同时成立.设λϕ-=),(),(0000y x y x f y y , 上述必要条件变为⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(0000000000y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ.拉格朗日乘数法: 要找函数z =f (x , y )在条件ϕ(x , y )=0下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F (x , y )=f (x , y )+λϕ(x , y ) ,其中λ为某一常数. 然后解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+==+=0),(0),(),(),(0),(),(),(y x y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλϕλϕ.由这方程组解出x , y 及λ, 则其中(x , y )就是所要求的可能的极值点. 这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形.至于如何确定所求的点是否是极值点, 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.例7 求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积. 解 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值. 构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(axz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F zy x λλλ,得az y x 66===,这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在, 所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.。
6-5多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z z x z y
v x v y v
y x2 y2
1
x x2 y2
(1)
y x x2 y2 ,
∴
z z
u v
2y x2 y2
2(u v) (u v)2 (u v)2
uv
.
u2 v2
例3 设 z u2v 3uv4 , u et ,v sin t, 求 dz .
情形(1) z f (u,v, w), u (x, y),v (x, y), w (x, y),
则
z
z u z v z w
ux
x u x v x w x z
v
z z u z v z w
wy
y u y v y w y
1. 一个方程的情形
定理6.5.2(隐函数存在定理) 设函数F(x , y) 在点(x0 , y0 ) 的某一 邻域内有连续的偏导数，且 F( x0 , y0 ) 0, Fy( x0 , y0 ) 0, 则方程
F(x , y) = 0 在点 (x0 , y0 )的某一邻域内总能唯一确定一个连续且 有连续导数的函数 y = f (x), 使得 y0 = f ( x0 ), 并且
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy
z
u
u dx x
u y
dy
z v
v x
dx
v y
dy
z du z dv. u v
多元复合函数求导
多元复合函数求导
求多元复合函数的导数是高等数学中的重要内容，在解决实际问题的过程中，求导也起着重要的作用。
让我们一起来看下多元复合函数求导的相关知识，解决多元复合函数求导的问题。
多元复合函数是将不同多元函数按照一定方式链接起来形成的函数式。
它属于高等数学中的复杂函数类型，也是实际问题的体现，在解决实际问题的过程中，求解多元复合函数是重要的任务。
首先，多元复合函数的求导需要使用泰勒公式，它是一个递推公式，用于求多元函数的导数，它可以表达为：f'(x) = f'0(x) +f'1(x) +f'2(x)..。
其中，f'0(x) 为函数的最简项导数，
f'1(x)为函数的一阶项导数，f'2(x)为函数的二阶项导数，以此类推，泰勒公式可以求多元函数的任意阶项导数。
其次，当多元复合函数中只含有一元函数时，可以使用链式法则来求导。
链式法则指的是在求多元复合函数导数的过程中，先求出各函数的导数，再将导数串联起来，即可求出多元复合函数的导数。
最后，还有一类多元复合函数叫做合成函数，它的求导也可以使用链式法则。
因为合成函数的求导也是将不同的函数将层层合成，使用链式法则可以求出它的导数。
总结以上所述，求多元复合函数的导数主要有三种方法，分别是泰勒公式、链式法则和合成函数链式法则。
每种方法都有它自身的特点，在使用时也应该适当利用它们可以找到正确的答案。
这就是关于求多元复合函数导数的知识，希望上述内容能够对您有所帮助。
多元复合函数求导法则和隐函数求导公式
z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x
3多元复合函数与隐函数的求导法则
求 m , m , m
x y z
z z u z v x u x v x
解
m x
m u m v m v u x v x v x
f1 1
f2
y
f3
yz
m m u m v m v
f1 2x
f2 ye xy
z y
f1 2 y
f2 xe xy
例7
设w
f(
x,y yz
)，而 u
x ,v y
y z
，求
w x
, w y
, w z
.
z z u z v x u x v x
解
w w u w v x u x v x
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例11 设z y F ( x2 y2 ), 验证 y z x z x.
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
由链式法则,
z z u z v , x u x v x
z z u z v , y u y v y
代入,
dz
z x
dx
z y
dy中, 得
dz
z u
u x
z v
v x
dx
z y
z u
9-4多元复合函数的求导法则
z
u
v
t
(2) 特别地，z f ( x, y) 而y g( x)
w
x
zy x
(3) z f ( x, y,t) 而x (t), y (t)
z
全导数
偏导数
xt yt
t
第4页，共22页。
例1 设 z uv+ sin t，u=et ,v cos t,求 dz .
dt
ut
解 dz z du z dv z
第12页，共22页。
二、多元复合函数的全微分
1. 四则运算法则
第13页，共22页。
2. 复合运算法则
设函数 z f (u,v)，u ( x, y)，v ( x, y) 均可微， 则复合函数 z f [( x, y)， ( x, y)] 也可微，且有
( z u z v )dx ( z u z v )dy
解
u f f z
x x z x
f1
e
y
f
，
3
x
fu1
y
z
x
y
2u
xy
y
u x
y
f1
e
y
f
3
f12 xe y f13
e
y
f3
e
y
(
f
32
xe
y
f
33
).
f12 xe y f13 e y f3 e y f32 xe2 y f33 .
第10页，共22页。
例5 设 w f ( x y z, xyz)，其中 f 有连续的
解2 令 u x y z， v xyz； 则 w f (u, v)
w x
f u f v u x v x
9.4多元复合函数的求导法则
纯偏导
z 2 z z 2 z f yx ( x , y ) f xy ( x , y ), x y xy y x yx
混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.
17
多元复合函数的求导法则
13
多元复合函数的求导法则
三、全微分形式不变性
设函数z f ( u, v ) 具有连续偏导数, 则有 z z 全微分 dz du dv; u v 当u ( x , y ), v ( x , y )时, 则有全微分 z z dz dx dy , x y z vv v z z zu u u z z vu dx dy dx dy xy y u y v v ux u v xy x z z du dv . u v
u v w
t
z z u z v z z u z v z , . x u x v x y u y v y
u x v y
9
多元复合函数的求导法则
4. z f [u, v, w)], u ( x, y), v ( x, y), w ( x, y)
xy yx
22
多元复合函数的求导法则
多元函数的偏导数常常用于建立某些偏微
分方程. 偏微分方程是描述自然现象、反映自然 规律的一种重要手段. 例如方程
z 2 z a 2 y x 2 (a是常数)称为波动方程, 它可用来描述各类波的 运动. 又如方程 2 2 z z 2 0 2 x y 称为拉普拉斯(laplace)方程, 它在热传导、流体 运动等问题中有着重要的作用.
通过全微分求所有一阶偏导数,比链 导法则求偏导数有时会显得灵活方便.
多元复合函数及其求导法则
（10-1）
1.1 多元复合函数的求导法则
证明 因为 z f (u ，v) 具有连续的偏导数，所以它是可微的，即有
dz z du z dv ． u v
又因为 u (t) 及 v (t) 都可导，因而可微，即有
以此代入 dz 的表达式中得
du du dt ， dv dv dt ，
dt
dt
1.1 多元复合函数的求导法则
例 4 设 u f (x ，y ，z) ex2 y2 z2 ， z x2 sin y ，求 u 和 u ． x y
解 u f f z 2xex2 y2 z2 2zex2 y2 z2 2x sin y 2x(1 2x2 sin2 y)ex2 y2 x4 sin2 y ， x x z x
dz
z u
du dt
dt
z v
dv dt
dt
z u
du dt
z v
dv dt
dt
，
从而
dz z du z dv ． dt u dt v dt
1.1 多元复合函数的求导法则
推广 设 z f (u ，v ，w) ，u (t) ，v (t) ，w (t) ，则 z f [(t) ， (t) ，(t)] 对 t
6x(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 4(3x2 y2 )4x2 y ln(3x2 y2 ) ， z z u z v v uv1 2y uv ln u 2 y u y v y
2 y(4x 2 y)(3x2 y )2 4x2y1 2(3x2 y2 )4x2y ln(3x2 y2 ) ．
解 本例中的变量有函数 z ，中间变量u ，v ，自变量 x，y ，根据链式法则式（10-3），有 z z u z v eu sin v y eu cosv 1 x u x v x eu ( y sin v cos v) exy[ y sin(x y) cos(x y)]， z z u z v eu sin v x eu cos v 1 y u y v y eu (x sin v cos v) exy[x sin(x y) cos(x y)]．
(完整版)3多元复合函数与隐函数的求导法则
z f [φ(t),ψ(t)]
z f (u,v)
u φ(t)
v ψ(t)
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
例 1 设 z eu sin v ，而u xy，v x y 求 z 和z . x y
解 z z u z v eu sin v y eu cos v 1
x y
证
z 0 F ( x2 y2 ) ,
z
1
F ( x2
y2) ,
x
x
y
y
下求 F ( x2 y2 )对x, y的偏导.记u x2 y2,
x u x v x eu ( y sin v cos v)
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cos v 1
eu( x sin v cos v)
例 2 设 z u2 v2 ，而u x y，v x y ，
求 z 和z . x y
解 z z u z v 2u 1 2v 1 4x x u x v x
§3复合函数与隐函数的偏导数
一、多元复合函数的导数(链式法则)
定理：z f [( x, y),( x, y)]
z f (u,v) u ( x, y)
v (x, y)
z z u z v z z u z v x u x v x y u y v y
链式法则如图示 z f [( x, y),( x, y)]
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t
v et u sin t cost
et cos t et sin t cos t
et (cos t sin t ) cos t
例5
多元复合函数的求导
在矩阵运算中，求导可以帮助我们研究矩阵函数的性 质和计算。
特征值和特征向量
通过求导，我们可以研究特征值和特征向量的性质和 变化。
在经济学中的应用
边际分析
在经济学中，求导可以帮助我们研究经济函数的边际效应，如边 际成本、边际收益等。
最优化问题
在寻找经济活动的最优解时，求导可以帮助我们找到最优解的条件。
动态分析
通过求导，我们可以研究经济系统的动态变化和趋势。
06
总结与展望
多元复合函数求导的总结
多元复合函数求导是数学分析中的一 个重要概念，它涉及到函数的复合、 偏导数和全导数等概念。通过对多元 复合函数的求导，可以更好地理解函 数的性质和变化规律，为解决实际问 题提供重要的数学工具。
在实际应用中，多元复合函数求导的 方法和技巧是多种多样的，需要根据 具体问题选择合适的方法。常用的方 法包括链式法则、偏导数法则、全导 数法则等，这些方法在解决实际问题 中具有广泛的应用。
对$z$关于$t$求偏导数
$frac{partial z}{partial t} = frac{partial f}{partial u} cdot frac{partial u}{partial t} + frac{partial f}{partial v} cdot frac{partial v}{partial t} + frac{partial f}{partial w} cdot frac{partial w}{partial t}$
详细描述
商的求导法则是说，如果两个函数的商的导 数，等于被除数导数除以除数导数再乘以除
数。具体地，如果y=f(x)/g(x)，那么 dy/dx=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2。
多元复合函数的求导法则.
例2. u f ( x, y, z ) e
u f 解: x x
x y z
2 2 2
x2 y2 z2
u u , z x sin y, 求 , x y
2
2z e 2 xe 2 2 x 2 y 2 x 4 sin2 y 2 x (1 2 x sin y ) e
都在点(x, y)具有对x和y的偏导数，函数z=f(u, v,
w)在对应点(u, v, w)具有连续偏导数,则复合函数
z=f[(x, y), (x, y), (x, y)]在点(x, y)的两个偏导 数存在, 且可用下列公式计算：
z z u z v z w , x u x v x w x z
z z u z v z w . y u y v y w y
u v w
x
y
解放军理工大学理学院数理系
高等数学
3. 中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形
定理3 若u=(x,y)在点(x,y)可导，v=(y)在点y可 导，函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导， 则复合函数z=f[(x,y), (y)]在点(x,y)可导，且
( x , y )具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 z f ( u, v )
在对应点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y )的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算：
z z u z v z z u z v ， . x u x v x y u y v y
z
以上公式中的导数
u v w
t
dz 称为全导数. dt
多元复合函数的求导62314
dz z dx z dy x y
若 u , v就是 ( z u z v ) dy 自变量,则
u y v y
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) 的全微分为 x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
解: dz d( eu sin v ) eu cos v dv
d (xy)
d (x y)
(yd x xdy) exy[ y sin(x y) cos(x y)]d x
(dx dy)
dy
所以
例1 . z eu sin v, u xy, v x y, 求 z , z . x y
1、一元函数与多元函数复合的情形
（1）z f (u,v), u (t),v (t)
d z z d u z dv d t u d t v d t
z
z u
du
u dt t
( 全导数公式 )
z v dv
（2） z f (u), u (x, y)
v
2ze
x2
y2
z
2
2
x
sin
y
u
y
y
2 x (1 2 x2 sin2 y) ex2 y2 x4 sin 2 y
z
u y
f y
f z z y
2ye
x2
e
x2
y2
z
2
x2
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一、链式法则
定理1 设 u = u(x), v = v(x) 在点 x 处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微.
则复合函数 z = f ( u(x), v(x))在点 x 处 可导.
且
dzzduzdv dx udx vdx
(公式也称为 链式法则)
u
x
zcovsuuvu1, v
u 1. x
故 z vuln vco vusyuu v 1co vus x y(xy)xylnx(y)coxs(y)xy xy(xy)xy1coxs(y)xy
z x(xy)xylnx(y)coxs(y)xy y
xy(xy)xy1coxs(y)xy
例3.
设 z f(x 2 y 2 ,x)其 y , f C 中 1 ,求 z, z. x y
uf1 (u,v,w )vf2 (u,v,w )w f3 (u,v,w ) k(fu,v,w )
即 x f 1 ( x , y , z ) y f 2 ( x , y , z ) z f 3 ( x , y , z ) k ( x , y , z ) f
例7. 设 z =f (u, v), f C1, 而 u = xcosy, v = x siny.
2 xse 2(x c 2 ln x)1se 2(x c 2 ln x) x
若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y))是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?
x
x
左边 z表 的 示在y看 表作 达 ,而 常 式 x求 对 数 中 偏 . x
而右 z 边 z,是 的 x将 yv,xyw 都看, 作 x u
对 u (也就是 x)求偏导. 两者不同.
例. 设 z = f (x, xy) = x + xy, 记 u = x, v = xy,
有 z = u + v . 则z 1y. x
zzuzv y u y v y
(只须将定理1中导数符号改为偏导符号)
2, 公式 1可推广到中间变量多于2个的情形. 如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y),
则 zzuzvzw x ux vx wx
zzuzvzw y uy vy wy
注意到当 x 0时, u , v 趋于0. 从而
lim0(
x0
u2v2)lim 0( u2 v2)
x
x 0 u2 v2
u2 v2 x
lx i00 m ( u u 2 2 v v 2 2) u x 2 x v 2 = 0
无穷小乘有界量
故
dzzduzdv dx udx vdx
F1Fdy0. x x dx
3. 若 z = f (u, v) , u = u (x, y), v = v (x, y), 则 z 通过 u, v 成为 x, y 的二元复合函数. f1 fu (u ,v )f2 , fv (u ,v )还 u ,v 的 是 ,函数 从而是 x, y 的二元复合函数.
如 f(xy,x,y ysixn ). 32
2 .本,有 例 z 中 z zy z. x u v w
因 ux,故常可将 z写 右成 边 z. 的 u x
从而
zzzyz x x v w
移项 ,则似可抵 z.消这是否对? 为什么? x
xzu z vzyw z xzvzyw z
左边z的 与右边 z在 的概念上是 . 不同
x y
解: 引进3个中间变量. 记 u = x, v = xy, w = x+y.
则 z = f (u, v, w). 有
x zf1 u xf2 x vf3 w xf1 f2 yf3 yzf1 u yf2 y vf3 w y
f1 0 f2 x f3 1 xf2f3
注
1. 在这一类问题中为何引进中间变量?
注意到求 z 就是将 y固定, x
把z f (u(x, y), v(x, y))作为一元 函数求导.
由上述公式. 有
1,若 z = f (u, v) , u = u(x, y), v = v(x, y))满足定 理条件. 则复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y))的偏导数为
zzuzv x ux vx
z = f (u (x, y), v (x, y))
由链式法则, zzuzv, x ux vx
zzuzv, y u y v y 代入, dzzdxzdy中 ,得
x y
d z u z u x v z x v d x u z u y v z y v d y
z z u z v 0 ( u 2 v 2 ) u v
同除以 x 0, 得 z z u z v0 ( u 2 v2) x u x v x x
令 x 0, 得 d z zd u zd v li0 m ( u 2 v 2 ) d x ud x vd x x 0 x
故, z2xF, x u
z 12yF.
y
u
从而 y z x z y(2xF )x(12yF )
x y
u
u
2xyFx2xyF
u
u
=x
例6. 若f (x, y, z) 恒满足关系式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z).
则称它为 k 次 齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足
dx
解: (1) z = tg (x2 +lnx)
z' = sec2(x2+lnx) (2 x 1 ) x
(2) z sec2(uv), du 2 x.
u
dx
z sec2(uv), dv 1 .
v
dx x
故 dzzduzdv dx udx vdx
2xse2(u cv)1se2(u cv) x
且已 z 知 coy,szxsiyn.求 z,z.
x
y
uv
其x中 0.
解: 这是关于链式公式的逆问题. 链式公式
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
由于
ucoys, x vsiny, x
uxsiny. y vxcoys. y
且已 x zc知 oy, sy zxsiyn . 代入链式公式, 得,
即 xf1 (u,v,w )yf2 (u,v,w )zf3 (u,v,w ) kk t1f(x,y,z)
同乘以 t, 得
(t)x f1 (u ,v ,w ) (t)y f2 (u ,v ,w ) (t)z f3 (u ,v ,w ) ktkf(x ,y ,z)
由 f ( t , t x , t 条 y ) z t k f ( x , y , z ) 件 及 u , t , v x t , w y t , 得 z
zcoy szsiyncoys
u
v
z( xsiy )n z(xcy o ) s xsiyn
u
v
系数行列式
coys siny
D xsiny
xcoys = x 0
从而
z D1 x1 u D x
cosy cosy
z D2 xsiny xsiny 0 0
v D
x
D
注
1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以
x f 1 ( x , y , z ) y f 2 ( x , y , z ) z f 3 ( x , y , z ) k ( x , y , z ) f
证: 等式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z). 两边对 t 求偏导.
右边对 t 求偏导
(tk f(x,y,z))kkt1f(x,y,z). t
4.若 z = f (u, v), u = u (x, y), v = v (x, y), x = x
(r, ), y = y (r, ) .
问z, z 的公式如?何
r
易见z 是 r, 的复合函数. 因此 zzuzv r ur vr
又因u, v 都是 r, 的复合函数.
因此
r z u z u x x r u y y r v z x v x r y v y r z u x z u y z v x z v y u x r u y r v x r v y r
证: 只要证
li m z zli m u zli m v, x 0 x u x 0 x v x 0 x
从而 z 只 z u 要 z v 0 ( 证 x )即 . 可 u v
给 x 以改变量x, 因u, v 是x的函数, 可 得u, v 的改变量u, v. 又因 z 是 u, v 的函数, 进而得到z. 因 z = f (u, v)在 (u, v)可微.
二、全微分的形式不变性
设 z = f (u, v)可微, 当 u, v 为自变量时, 有
dzzduzdv u v
若 u, v 不是自变量, 而是中间变量, 是 否仍有这一形式?
设 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 则
z = f (u (x, y), v (x, y)), dzzdxzdy x y
z u d x u d y z vd x vd y u x y v x y
zduzdv u v
即, 不论u, v是自变量还是中间变量, z = f (u, v) 的全微分的形式不变.
用同样的方法, 可将该公式推广到中间变量 为3个, 4个, …等情形.
比如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x), 满足定理条件. 则