25时间序列分析(2)——【计量经济学】

E[(xt - )(xtk - )]
Var(xt ) Var(xtk ) E[(xt - ) 2 ] E[(xtk - ) 2 ]
k 是无测量单位的。 因为对于一个平稳过程有，Var(xt) = Var(xt + k) = x2，所以自相关系数式可以改写
为，k
=
Cov(xt , xtk x2
)
=
k x2
1.4.1 自协方差函数与自相关函数
在给出自相关函数定义之前先介绍自协方差函数概念。由第 1.1 节知随机过程 {xt} 中的每一个元素 xt，t = 1, 2, … 都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常
数，用表示，即
E(xt) = , t = 1, 2, … 随机过程的取值以为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量。
4 phi=0
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4 50
100
150
200
250
300
（2）AR(p) 过程的自相关函数 用 xt - k , (k 同乘平稳的 p 阶自回归过程
xt = 1 xt -1 + 2 xt -2 +…+ p xt - p + ut 的两侧，得
xt - k xt = 1 xt - k xt -1 + 2 xt - k xt -2 + … + p xt - k xt - p + xt - k ut 对上式两侧分别求期望得
● 因为 k = -k ，自相关函数是以 k = 0 为对称的，所以实际研究中只需给出自相关 函数的正半部分。因为当滞后期 k=0 时，0=1，所以自相关函数通常只观察1, 2, ... 即可。
● 自相关函数是随机变量与其滞后变量的相关系数列，用以考察随机变量与其滞后变 量的相关强度。
● 自相关函数是识别 ARIMA 模型结构的重要工具。
AR(1) 过程不同自回归系数的序列图与自相关函数比较
5 0 -5 -10 -15 -20 -25
phi=1
50
100
150
200
250
300
8 phi=0.8
6 4 2 0 -2 -4 -6
50
100
150
200
250
300
4 phi=0.4
3
2
1
0
-1
-2
-3 50
100
150
200
250
300
k = 1 k -1 + 2 k -2 + … + p k - p ， k 0
上式中对于 k 0，xt - k 发生在 ut 之前，所以 xt - k 与 ut 不相关，有 E(xt - k ut ) = 0。 用 0 分别除上式的两侧得 Yule-Walker 方程
k = 1 k -1 + 2 k -2 + … + p k -p ， k 0
因为 0 = 1。所以有
k = 1k , （k 0）
对于平稳序列有 。所以当 1 为正时，自相关函数按指数衰减至零（过阻尼 情形）。当 1 为负时，自相关函数正负交错地指数衰减至零。
● 因为对于经济时间序列，1 一般为正，所以第一种情形常见。
● 指数衰减至零的表现形式说明随着时间的加长，变量之间的关系变得越来越弱。
自相关函数-截尾特征
1.0
（1）AR(1)过程的自相关函数
0.5
0.0
AR(1) 过程 -0.5
1> > 0
xt = xt-1 + ut , 1
-1.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
已知 E(xt) = 0。用 xt- k 同乘上式两侧
1.0
0.5
xt xt- k = xt-1 xt- k + ut xt- k 0.0
上式两侧同取期望，
-0.5
-1< < 0
k = 1 k -1
-1.0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
其中 E(xt- k ut) = 0（ut 与其 t - k 期及以前各项都不相关）。两侧同除 0 得, k = 1 k -1 = 1 1 k -2 = … = 1k 0
● 那么当得到一个时间序列后，如何判别其是属于何种类型的随机过程（模型） 呢？要依靠自相关函数、偏自相关函数和谱密度函数分析。
1.4 自相关函数及其相关图 自相关函数（包括自协方差函数、偏自相关函数）和谱密度函数是分析时间序列， 建立时间序列模型的两个重要工具。 自相关函数以时间 t 为自变量，属于时域分析。 谱密度函数是以频率 f 为自变量，属于频域分析。（不讲）
● 自回归（AR）过程的自相关函数呈拖尾特征。移动平均（MA）过程的自相关函数 呈截尾特征。
.6
自相关函数-拖尾特征
.5
.4
.3
.2
.1
.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
自相关函数-拖尾特征
.7
自相关函数-截尾特征
.6
.5
.4
.3
.2
.1
.0
1
2
3
4
5
6
7
8
9ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10 11 12 13 14 15
Var(xt) = E[ (xt - E(xt) )2 ] = E[ (xt - )2 ] = x2, t = 1, 2, … x2 用来度量随机过程中变量取值对其均值 的离散程度。
相隔 k 期的两个随机变量 xt 与 xt + k 的协方差，定义为
k = Cov(xt , xt + k ) = E[(xt - ) (xt + k - ) ]
。由于 0 = x2，自相关系数式可表示为
k =
k 0
当 k = 0 时，有 0 = 1。 以滞后期 k 为变量的自相关系数列
k , k = 0, 1, …, K 称为自相关函数（autocorrelation function）。
以滞后期 k 为变量的自相关系数列
k , k = 0, 1, …, K 称为自相关函数（autocorrelation function）。
自协方差序列
k , k = 0, 1, …, K
称作随机过程 {xt} 的自协方差函数。当 k = 0 时，自协方差退化为方差。
0 = Var(xt) = x2
自协方差 k 是有量纲的，它的测量单位与变量的测量单位有关。为消除测量单位，给 出更方便的自相关系数定义，
k = Cov(xt , xtk ) =
Yule-Walker 方程：k = 1 k -1 + 2 k -2 + … + p k -p ， k 0
令 (L) = (1 - 1 L - 2 L2 - … - p Lp）其中 L 为 k 的滞后算子，则上式可表达为 (L) k = 0