定积分及其应用练习 带详细答案

题面：
设f（x）= ，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C.
详解：
根据题意作出函数的图象：
根据定积分，得所围成的封闭区域的面积S=
故选C
变式训练二
题面：
已知函数 的图象与x轴所围成图形的面积为（ ）
A．
1/2
B．
1
C．
2
D．
3/2
答案：D.
详解：
由题意图象与x轴所围成图形的面积为
答案： .
详解：
设A(x0,0)，则ωx0＋φ＝ ，∴x0＝ － .
又y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为 ，
∴|AC|＝ ，C .
依题意曲线段 与x轴围成的面积为
S＝－∫ － ＋ － ωcos(ωx＋φ)dx＝2.
∵|AC|＝ ，|yB|＝ω，∴S△ABC＝ .
∴满足条件的概率为 .
变式训练二
题面：
（2012•福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
题二
题面：
如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()．
A． B． C． D．
变式训练一
题面：
函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
答案：4.
详解：
作出 在 上的图象如右
与 轴交于0、 、 ，所
求积
题二
题面：
（作图求积分，四星）求曲线 与曲线 所围成的图形的面积．
交点的横坐标分别为 ， ．
变式训练一
题面：
求曲线 ， 及 所围成的平面图形的面积.
答案： .
详解：
作出 ， 及 的图如右
解方程组 得
解方程组 得
所求面积
答：此平面图形的面积为
变式训练二
题面：
设函数f(x )＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则 f(－x)dx的值等于()
A. B.
C. D.
答案：A.
详解：
由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是 f(－x)dx＝ (x2－x )dx＝ ＝ .
题五
题面：
（化简后求积分，四星）（1）求
A． B． C． D．
答案：
变式训练一
题面：
如图求由两条曲线y＝－x2，y＝－ x2及直线y＝－1所围成的图形的面积．
答案： .
详解：
由 得交点
A(－1，－1)，B(1，－1)．
由 得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．
∴所求面积
S＝2 ＝ .
变式训练二
题面：
例1求在 上，由 轴及正弦曲线 围成的图形的面积.
变式训练二
题面：
求由抛物线 与直线 及 所围成图形的面积.
答案： .
详解：
作出 及 的图形如右：
解方程组 得
解方程组 得
所求图形的面积
题三
题面：
（1）由曲线 ，直线 及 轴所围成的图形的面积为_______．
（2）由曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为_______．
答案：（1） ；（2） ．
变式训练一
.
故选D．
题四
题面：
（导数与积分结合，二星）设函数 的导函数为 ，则 的值等于______．
答案： ．
变式训练一
题面：
设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则 f(－x)dx的值等于()
A. B.
C. D.
答案：A.
详解：
由于f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是∫ f(－x)dx＝∫ (x2－x)dx＝ ＝ .
故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差．
即
.
故答案选A
同类题一
题面：
设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x－2.
(1)求y＝f(x)的表达式；
(2)求y＝f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
答案：
(1)f(x)＝x2－2x＋1.
(2) .
详解：
(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.又f′(x)＝2x－2，
变式训练二
题面：
由直线y＝2x及曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为()
A．2 B．9－2
C. D.
答案：
详解：
注意到直线y＝2x与曲线y＝3－x2的交点A，B的坐标分别是(－3，－6)，(1,2)，因此结合图形可知，由直线y＝2x与曲线y＝3－x2围成的封闭图形的面积为 (3－x2－2x)dx＝ ＝3×1－ ×13－12－ ＝ ，选D.
定积分及其应用Biblioteka 题一题面：求由曲线 与 轴，直线 所围成的平面图形的面积．
答案： ．
变式训练一
题面：
函数f(x)＝ 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()
A. B．2
C．3D．4
答案：D.
详解：
画出分段函数的图象，如图所示，则该图象与x轴所围成的封闭图形的面积为 ×2×2＋∫ 02cosxdx＝2＋2sinx ＝4.
A．
B．
C．
D．
答案：C.
详解：
根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，
而阴影部分由函数y=x与y= 围成，其面积为∫01（ ﹣x）dx=（ ﹣ ）|01= ，
则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为 = ；
故选C．
金题精讲
题一
题面：
（识图求积分，二星）已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为()．
思维拓展
题一
题面：
（几何法求积分，四星）
（1）计算 ， ；（2）求椭圆 的面积．
，转化为圆的面积．
同类题一
题面：
求定积分 的值.
答案： ．
详解：
表示圆x2＋y2＝1在第一、二象限的上半圆的面积．
因为 ，又在x轴上方．
所以 ＝ ．
同类题二
题面：
的值是（ ）
A. B. C. D.
答案：A.
详解：
积分所表示的几何意义是以（1，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，
f′（x）=2x+2.
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
（2）若直线x=－t（0＜t＜1＝把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.
答案：
（1）f（x）=x2+2x+1.
（2） .
（3）t=1－ .
详解：
（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，
又已知f′（x）=2x+2
∴a=1，b=2.
∴f（x）=x2+2x+c
又方程f（x）=0有两个相等实根，
∴判别式Δ=4－4c=0，即c=1.
故f（x）=x2+2x+1.
（2）依题意，有所求面积= .
（3）依题意，有 ，
∴ ，－ t3+t2－t+ = t3－t2+t，2t3－6t2+6t－1=0，
∴2（t－1）3=－1，于是t=1－ .
[解析](1)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)求导得，f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)，把φ＝ 和点 代入得ωcos ＝ 解得ω＝3．
(2)取特殊情况，在(1)的条件下，导函数f′(x)＝3cos ，求得A ，
B ，C ，故△ABC的面积为S△ABC＝ × ×3＝ ，曲线段与x轴所围成的区域的面积S＝－ ＝－sin ＋sin ＝2，所以该点在△ABC内的概率为P＝ ＝ .
题六
题面：
（定积分的运用，三星）函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点．
(1)若φ＝ ，点P的坐标为 ，则ω＝________；
(2)若在曲线段 与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为________．
所以a＝1，b＝－2，即f(x)＝x2－2x＋c.
又方程f(x)＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f(x)＝x2－2x＋1.
(2)依题意，所求面积为
S＝ (x2－2x＋1)dx＝( x3－x2＋x)| ＝ .
同类题二
题面：
设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且
（2）
变式训练一
题面：
与定积分∫ dx相等的是()
A. ∫ sin dxB. ∫ dx
C. D．以上结论都不对
答案：B.
详解：
∵1－cosx＝2sin2 ，
∴∫ dx＝∫ dx
＝ ∫ dx.
变式训练二
题面：
________.
答案： .
详解：
因为 sinx ＝sin ＝ ，所以∫ 0cosxdx＝ .