高数 级数
高数中的级数与收敛性分析
高数中的级数与收敛性分析在高等数学中，级数是由一列实数或复数的无穷项之和表示的数列。
级数与收敛性分析是高数中的重要内容，能够帮助我们理解数学和应用数学的各种问题，并应用于各个科学领域。
首先，我们来了解级数的概念。
一个级数可以表示为：S = a₁ + a₂ + a₃ + ...其中，a₁, a₂, a₃, ...是级数的各项。
级数可以是无穷级数，也可以是有限级数。
如果一个级数有限项之和存在，我们称之为收敛的；否则，我们称之为发散的。
下面，我们将讨论一些常见的级数和它们的收敛性。
1. 等差数列级数：等差数列级数是指一个级数的各项之间存在着相等的差值。
它可以表示为：S = a + (a + d) + (a + 2d) + ...其中，a是首项，d是公差。
等差数列级数的收敛性与公差d有关。
当公差d为0时，等差数列级数是收敛的，其和为首项a；否则，等差数列级数是发散的。
2. 等比数列级数：等比数列级数是指一个级数的各项之间存在着相等的比值。
它可以表示为：S = a + ar + ar² + ...其中，a是首项，r是公比。
等比数列级数的收敛性与公比r有关。
当公比r的绝对值小于1时，等比数列级数是收敛的，其和为a / (1 - r)；否则，等比数列级数是发散的。
3. 调和级数：调和级数是指级数的各项为倒数的数列级数。
它可以表示为：S = 1 + 1/2 + 1/3 + ...调和级数是一个经典的例子，它是发散的。
虽然每一项都是正数，但是这个级数的和是无限的。
4. 绝对收敛与条件收敛：对于一个级数，如果它的各项的绝对值构成的级数是收敛的，我们称之为绝对收敛；如果仅仅级数本身是收敛的，而绝对值构成的级数是发散的，我们称之为条件收敛。
绝对收敛的级数具有良好的性质，它们的项可以重新排列而不改变其和。
而条件收敛的级数则具有不同的性质，项的重新排列可能会改变其和。
5. 收敛判别法：在分析级数的收敛性时，我们可以使用各种收敛判别法来确定级数是否收敛。
高数的三大计算
高数的三大计算
高等数学中涉及的三大计算包括微分、积分和级数求和。
1. 微分：微分是研究函数局部性质的重要工具，它可以求出函数在某一点的导数。
导数可以理解为函数在这一点处的切线斜率。
微分可以用于函数的极值分析、曲线的凹凸性判断、优化问题的求解等。
2. 积分：积分是研究函数整体性质的重要工具，它可以求出函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用于应用物理、工程等领域的面积、体积、质量、电荷、能量等的求解，也可以用于计算概率、统计学中的概率密度和累积分布函数等问题。
3. 级数求和：级数是由一系列无穷多个数相加得到的数列，级数求和就是将这些无穷多个数相加得到的结果。
级数在数学研究和实际应用中都具有重要作用，如 Taylor级数可以拟合函数，在物理学中用于波动问题的求解等。
级数求和的收敛性和敛散性是级数研究中的重要问题，也是在实际应用中需要关注的问题。
高数中的数列与级数的性质及应用
高数中的数列与级数的性质及应用数列和级数是高等数学中的重要概念，其性质以及在实际问题中的应用广泛存在。
本文将介绍数列和级数的定义、性质，以及它们在不同领域中的应用。
一、数列的性质及应用1. 数列的定义与性质数列是由一系列有序数按照一定规律排列而成的集合。
常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
等差数列：在等差数列中，每个数与它前面的数之差都相等。
它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等比数列：在等比数列中，每个数与它前面的数之比都相等。
它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，前两项为1，之后每一项都是前两项之和。
数列的性质包括有界性、单调性、极限等。
根据不同的性质，我们可以对数列进行分类和研究。
2. 数列在实际问题中的应用数列的研究不仅仅停留在理论层面，还广泛应用于实际问题中。
在物理学中，数列的概念可以用于描述各种运动的定量变化。
例如，自由落体运动中物体的高度变化、声音的频率变化等都可以用数列来表示和分析。
在经济学中，数列可以用来描述人口增长、物价涨跌、投资回报等经济现象的变化规律。
通过对数列的研究，可以帮助人们预测未来的趋势和制定相应的政策。
在计算机科学中，数列可以用来描述算法的时间复杂度。
通过对数列的分析，可以帮助程序员评估算法的效率和性能，并进行相应的优化。
二、级数的性质及应用1. 级数的定义与性质级数是数列的和。
形式上，级数可以表示为S = a1 + a2 + a3 + ... + an，其中an是数列的通项。
级数的性质包括收敛性、发散性、部分和等。
通过对级数的研究，我们可以得到级数的和以及判定级数的敛散性。
2. 级数在实际问题中的应用级数在科学和工程领域中有着广泛的应用。
在电路分析中，级数可以用来描述电源的电压和电流的变化规律。
通过对级数的研究，可以获得电路的稳定性和性能。
高数第七章
高数第七章是学习高等数学的重要一环，该章节主要涉及到数列和级数，是数学基础中的重要内容。
在高数课程中，第七章可以说是学习难度较大的一章，需要学生掌握很多的基本概念和重要定理，同时需要进行大量的练习才能够熟练分析各种数列和级数的性质。
首先，我们来了解一下数列的基本概念。
数列就是按照一定规律排列起来的一系列数，这些数一般编号为n，n的取值范围为自然数集。
当我们知道了一个数列的规律，我们就能够计算这个数列的第n项，也就是利用通项公式计算，那么我们就能够得到任意项的值。
在数列中，有一种特殊的数列叫做等差数列。
等差数列是指一个数列中，相邻的两项之间的差值相等的数列。
这个相邻项之间的差值就叫做公差，用d表示。
我们可以通过两个已知项，或者已知项和项数的方法得到一个等差数列的通项公式，这个公式就是: an=a1+(n-1)d。
而等比数列则是指相邻两项的比值相等的数列，这个比值叫做公比，用q表示。
等比数列的通项公式为: an=a1*q^(n-1)。
熟悉了这些基本概念，我们就能够大致了解数列的性质和计算方法了。
接下来，我们来研究一下级数的概念和计算方法。
级数是指一个数列中各项之和，记作S。
如果一个数列收敛，那么我们就能够求出这个级数的和，如果这个数列发散，那么这个级数就没有和。
级数的重要性在于它解决了无穷大和无穷小的概念，从而把数学的范畴扩展到了无穷，进一步拓展了数学的思维。
在级数中，我们可以通过递推公式进行求解，也可以通过求和公式进行求解。
求和公式是一个级数的和的表达式，可以通过它快速的计算出一个级数的和。
序列的求和公式有很多，主要分为以下几种情况:等差数列求和公式：S=n*[a1+an]/2等比数列求和公式：S=a1*[1-q^n]/[1-q]调和级数求和公式：S=1+1/2+1/3+1/4+...+1/n=ln(n)+γ（其中γ是欧拉常数）随着数学领域的不断拓展和进步，数列和级数逐渐成为了很多工科和理科学科的重要研究内容。
高数：级数敛散判别法
则称无穷级数收敛;
S un 级数的和
若
lim
n
Sn
不存在,
则称无穷级数发散 。
n1
rn S Sn
uk
级数的余项。
lim
n
rn
0
无穷级数收敛。
kn1
若un≥0 (n=1, 2, 3, …) , un 正项级数。 Sn是单调增加数列。
n1
正项级数 un 收敛
n1
部分和序列 Sn有界 。
比较判别法
1 n 1
np n1n p dx
n n1
1 xp
dx
1
Sn
1
1 2p
1 3p
1
4p
1
np
1
2nddxx 1 xxpp
231dxxp1pn p11n
dx n1x1p
1 p 1
,
因而 Sn有上界。 由基本定理可知, 当p>1时p级数收敛。
9.2.2 比较判别法
定理2 (比较判别法) 设 un , vn 是两个正项级数, 且
设 un , vn 是两个正项级数, 且存在自然数N,
n1 n1
使当 n>N 时有 un≤kvn (k>0为常数) 成立, 则
(1) 若强级数 vn 收敛 , 则弱级数 un 也收敛 ;
n1
n1
(2) 若弱级数 un 发散 , 则强级数 vn 也发散 。
n1
n1
比较对象
①
p级数
1 np
,
p>1收敛，p<1发散。
证: 因为
1
nn 1
1 n (n 1)
发散 。
1 1 n 1, 2,
高数大一下知识点总结级数
高数大一下知识点总结级数高数是大学数学中的一门重要课程，对于大一学生来说，学好高数才能够为接下来的学习打下坚实的基础。
下面我将对高数大一下的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、级数的概念与性质在高数中，级数是一个非常重要的概念。
级数由一列数相加而得，可以用于近似计算以及描述实际问题。
级数的概念为我们后续学习提供了很多方便。
1.级数的定义级数是指把同一个数列的各个项按照顺序相加得到的和。
级数由无穷个项相加而成，表示为∑(an)。
2.级数的收敛和发散级数的收敛与发散是级数的一个重要性质。
级数是收敛的，当且仅当其部分和数列有极限。
级数是发散的，当其部分和数列趋向于无穷大或无穷小。
3.级数的收敛性判别法在判断一个级数是否收敛时，我们可以使用不同的收敛性判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法、积分判别法等。
这些判别法可以帮助我们快速判断级数的收敛性。
二、常见的级数及其性质在高数中，有很多常见的级数，我们需要了解它们的性质以及求和的方法。
1.等差数列求和等差数列的求和在高中已经学过了，这里只是简单地进行回顾。
等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = (n/2)(a + an)。
2.等比数列求和等比数列的求和也是高中知识。
等比数列的首项为a，公比为q，第n项为an，前n项和为Sn，有公式Sn = a(1-q^n)/(1-q)。
需要注意的是，当|q|<1时，等比数列的和存在有限值。
3.幂级数幂级数是一种特殊的级数，对于形如∑(an*x^n)的级数，我们称之为幂级数。
在实际问题中，幂级数在分析函数的性质和展开函数等方面有着广泛应用。
三、级数的运算在高数中，我们常常需要进行级数的运算，如级数的加减、乘除以及级数与函数的运算等。
1.级数的加减级数的加减比较简单，只需要将级数的对应项相加或相减即可。
若级数∑(an)收敛，则其加减之和∑(an±bn)也收敛。
高数第九章数项级数
n
dx 1 1 1 (1 p1 ) 1 p 1 x p1 n p1
即sn有界,
则P 级数收敛.
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
中央财经大学
数学分析
例 2 证明级数
n 1
1 是发散的. n( n 1)
证明
1 1 , n( n 1) n 1
un1 N , 当n N时, 有 , un
un1 即 un
(n N )
中央财经大学
数学分析
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
uN 2 ruN 1 ,
uN m r
uN 3 ruN 2 r 2 uN 1 ,
中央财经大学
1 (1) sin ; n n 1
数学分析
5.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
设
n 1
un 1 (常数或 ) n u un 是正项级数,如果 lim n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
证明 当为有限数时, 对 0,
n dx 1 设 p 1, 由图可知 p n1 p n x 1 1 1 sn 1 p p p 2 3 n 2 dx n dx o 1 1 p n1 p x x
y
y
1 ( p 1) xp
1
2
3
4
x
中央财经大学
数学分析
1 1
1 而级数 发散, n 1 n 1
级数
n 1
1 发散. n( n 1)
高数知识汇总之级数
第七章 级数7.1常数项级数的概念与性质7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式12n a a a ++++叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。
级数简记为：1nn a∞=∑，即121nn n aa a a ∞==++++∑部分和：作（常数项）级数12n a a a ++++的前n 项的和121nn n i i S a a a a ==+++=∑，n S 称为级数（1）的前n 项部分和。
当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。
级数收敛与发散： 如果级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞=（有限值），则称无穷级数1nn a∞=∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++。
如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞不存在或为±∞），则称无穷级数1nn a∞=∑发散。
常用级数：（1）等比级数（几何级数）：nn q∞=∑111q q -当时收敛于1q ≥当发散（2）p 级数:11pn n∞=∑ 11p p ≤当时收敛当时发散级数的基本性质： 性质1： 若级数1nn a∞=∑收敛于和S ，则级数1nn Ca∞=∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。
性质2： 若级数1nn a∞=∑和级数1nn b∞=∑分别收敛于和S 、σ，则级数()1nn n ab ∞=±∑也收敛，且其和为S σ±。
注意：如果级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑都发散，则级数()1nn n ab ∞=±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数1nn a∞=∑和1nn b∞=∑中有且只有一个收敛，则()1nn n ab ∞=±∑一定发散。
高数级数求和公式
高数级数求和公式高数中的级数求和公式是非常重要的一部分，通过这些公式我们可以快速计算很多常见级数的和。
在这篇文章中，我将详细介绍几个常见的级数求和公式。
等差级数是指首项为a，公差为d的序列，其求和公式为：Sn=n/2*(2a+(n-1)d)其中，Sn表示前n项的和，a表示首项，d表示公差。
这个公式非常简单且易于理解，可以通过将等差级数化为相同项数的等差数列求和来证明。
等比级数是指首项为a，公比为r的序列，其求和公式为：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)其中，Sn表示前n项的和，a表示首项，r表示公比。
这个公式可以通过将等比级数乘以公比然后减去原等比级数来证明。
幂级数是指以x为自变量的项为x^n的级数，其求和公式为：S(x)=a/(1-x)其中，S(x)表示幂级数的和，a表示首项。
这个公式的证明可以通过对幂级数进行收敛性分析得到。
调和级数是指以倒数为自变量的项为1/n的级数Sn = ln n + γ + 1/2n - 1/12n^2 + 1/120n^4 - ...其中，Sn表示前n项的和，ln表示自然对数，γ表示欧拉常数。
这个公式的证明可以通过泰勒级数展开以及对调和级数进行收敛性分析得到。
泰勒级数是指将函数在其中一点处展开成幂级数，其求和公式为：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+...其中，f(x)表示函数的值，f(a)表示函数在a点的值，f'(a)表示函数在a点的一阶导数，f''(a)表示函数在a点的二阶导数，以此类推。
这个公式可以通过对函数进行泰勒展开得到。
以上是几个常见的级数求和公式，它们在高数中是非常重要的工具，可以帮助我们快速计算很多级数的和。
在实际应用中，我们需要结合具体题目来选择合适的求和公式，并注意对级数的收敛性进行分析。
考研数学高数真题分类—级数
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第九章级数（数一、数三）综述：级数本质上是极限，级数的收敛性也就是极限的收敛性，关于级数的题目往往需要结合微分和积分的知识，因此也可以看做是对它们的综合运用。
本章一直是考试的重点内容，平均每年所占分值在15分左右。
本章的主要知识点有：级数的定义与性质，正项级数的各种判别法，交错级数的莱布尼兹判别法，条件收敛与绝对收敛，幂级数的定义与性质，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数逐项求导定理与逐项积分定理，傅里叶级数。
从总体上讲，本章主要可以分为常数项级数与幂级数两部分。
其中考查的重点在幂级数上，但幂级数的基础是常数项级数。
对于常数项级数，考生需要重点把握它的收敛性的定义以及各种常见的判别法。
考试在级数中的大题一般出在幂级数上，这一部分的内容可以概括为三个问题:幂级数的收敛域的计算，幂级数求和，幂级数展开。
其中，计算幂级数的收敛域最关键的是掌握幂级数的收敛半径的求法与相关的性质。
而幂级数求和与展开，则主要是结合常见函数的幂级数展开，再运用幂级数的逐项求导和逐项积分定理即可。
最后，关于傅里叶级数，考生主要需要掌握傅里叶系数的求法，再了解狄利克雷定理的内容即可。
本章常考的题型有：1.对常数项收敛性的考查，2.幂级数的收敛半径和收敛域，3.幂级数展开，4.幂级数求和，5.常数项级数求和，6.傅里叶级数。
常考题型一：常数项级数的收敛性1.【1996—3 3分】下述各选项正确的是（ ）()A 若21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑都收敛，则21()n n n u v ∞=+∑收敛.()B 若1n n n u v ∞=∑收敛，则21nn u ∞=∑与21nn v ∞=∑都收敛. ()C 若正项级数21nn u ∞=∑发散，则1n u n≥. ()D 若级数21n n u ∞=∑收敛，且(1,2,)n n u v n ≥=，则级数21nn v ∞=∑也收敛. 【小结】：正项级数的判别法最基本的思想是比较判别法，它有很多种具体的表现形式，其中之一是极限审敛法，其内容是 设1nn u∞=∑是正项级数：如果lim 0n n nu l →∞=>，则级数1nn u∞=∑发散；如果lim ,(1)pn n n u l p →∞=<+∞>，则级数1n n u ∞=∑收敛。
专升本高数知识点概述总结
专升本高数知识点概述总结一、数列与级数1. 数列的概念和表示方法2. 数列的分类及常见数列3. 数列的通项公式及性质4. 级数的概念和性质5. 级数的敛散性及判别法6. 级数的常见级数及性质7. 函数极限与无穷小8. 极限的概念和性质9. 极限的求解方法10. 无穷小量与无穷大量11. 函数的连续性12. 函数的连续性及运算13. 函数极值与最值14. 函数求导与微分15. 函数的泰勒展开与应用16. 定积分及其性质17. 定积分的计算方法与应用18. 不定积分及其定义与性质19. 不定积分的计算方法与应用20. 定积分与无穷积分之间的联系二、微分方程1. 微分方程的概念及分类2. 微分方程的解法3. 一阶线性微分方程4. 高阶线性常系数微分方程5. 高阶线性变系数微分方程6. 高阶非齐次线性微分方程7. 常微分方程的应用8. 微分方程的解析解与数值解9. 微分方程在生物和医学领域中的应用10. 微分方程在工程领域中的应用三、多元函数微分学1. 多元函数的定义及表示2. 多元函数的极限与连续性3. 多元函数的偏导数4. 隐函数的偏导数5. 方向导数与梯度6. 多元函数的极值与最值7. 多元函数的泰勒公式及应用8. 多元函数的微分形式9. 多元函数的积分计算10. 重积分的概念及性质11. 重积分的计算方法与应用12. 二重积分与三重积分之间的联系13. 积分中值定理及应用四、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念及运算2. 向量的数量积与向量积3. 空间直线和平面的方程4. 空间曲线和曲面的方程5. 空间向量与向量代数的应用6. 空间几何与向量的几何应用7. 空间几何在物理和工程领域中的应用五、级数求和与数学证明1. 数学归纳法2. 递推数列的通项公式求解与应用3. 数列的数学归纳法证明4. 几何级数与数学证明5. 一元函数的泰勒级数展开与应用6. 麦克劳林级数的应用7. 级数求和的收敛性判别法8. 变步长球壳法与变限积分的应用9. 函数逼近及余项估计10. 数学证明在实际问题中的应用这些是专升本高等数学的主要知识点，通过对这些知识点的深入学习和理解，学生可以掌握高等数学的核心内容，为将来的学习和工作奠定坚实的数学基础。
高数级数
2、任意项级数敛散性的判别程序： 比值法或根值法 un发散 n 1 发散
u
n 1
n
lim un 0
n
?
un 0
u
n 1
n
用正项级 数判别法 收敛
un
0
u 发散
n 1 n
u 绝对收敛
n 1 n
发散
交错级数：莱布尼兹判 别法 收敛 un条件收敛 对un 进行处理；
1 n1 证明：令 v n ( un un ), 显然有0≤vn≤| un |。 2
依正项级数的比较审敛法， 知 v n收敛， 进而知
则级数 un 也收敛。
n 1
n 1
2v 收敛，
n 1 n
n 1
另一方面， un =2 vn－| n |，于是 u un (2v n un ) 2v n un
n 1
比较法 用定义, 性质 发散
u 发散
n 1 n
18
二、典型例题 1 填空
n 1
(1) 若 a n收敛，则 a n 可能收敛也可能发散。
2 n 1
un ( 2) 已知lim 1， v n收敛，则 un n v n 1 n 1 n an 2 绝对收敛 ( 3) 若 a n 收敛，则 。 n 1 n 1 n sin n 1 ( 4) ( ) 发散 。 n 2 n1n n 1 ( 1) (5).级 数 ( p 0)， 当 p 1 时 ， 绝 对收 敛； 当 p n n 1 p 1 时 ， 条 件收 敛 .
5
由前一式知{S2n}单调增加，由后一式知S2n <u1。
高数级数求和公式
高数级数求和公式1，高等数学级数求和函数：解:由ρ=lim (n→∞) |a(n+1)/an|=lim (n→∞) (n+1)(n+2)/[n(n+1)]=1,r=1/ρ→r=1 易证:当x=±1时,级数都发散. 故:此级数的收敛域为(-1,1). 令s(x)=∑(n:1→∞) n(n+1)x^n 则:∫(上限x,下限0)s(x)dx=∑(n:1→∞) (n+2)x^(n+1) - 2∑(n:1→∞) ...2，高数等比级数求和：所有这几个无穷极数都是一个等比数列,求和式有一个前提:|x|<1; ④首项x^4,公比x^4<1; {n=1→∞}Σx^(4n)=lim{n→∞}{[x^4-x^(4n)*x^4]/(1-x^4)} =x^4/(1-x^4)lim{1-x^(4n)}=x^4/(1-x^4)=首项/(1-公比); ①首项x²/2,公比x²/2;{n=1→∞}Σ2^(2n-1)/2n}...3，高数幂级数的和函数：∑<n=0, ∞>(n+1)^2 x^n = ∑<n=0, ∞>(n+2)(n+1)x^n - ∑<n=0, ∞>(n+1)x^n= [∑<n=0, ∞>x^(n+2)]'' - [∑<n=0, ∞>x^(n+1)]'= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = = 2/(1-x)^3 - 1/(1-x)^2 = (1+x)/(1-x)^3收敛域-1 < x < 14，高等数学幂级数求和：解:分享一种解法,转化成微分方程求解.设S(x)=∑x^(2n)/[(2n)!]=1+x²/2+…+x^(2n)/[(2n)!]+….连续两次由S(x)对x求导,得S''(x)=S(x).∴S''(x)-S(x)=0.其特征方程为,r²-1=0,∴r=±1.其通解为,S(x)=(c1)e^x+(c2)e^(-x).又,S(0)=1、S'(0)=0,∴c1=c2=1/2,∴S(x)=(1/2)[e^x+e^(-x)].5，高等数学级数求和问题：因为n=0,无穷大.故n分为偶数跟奇数. 当n为偶数,则n=2m(m>=0,m为整数)则有1-(-1)^n=0,故求和公式中当n=2m的时候所以的分项都为0. 而当n为奇数的时候,则n=2m-1(m>=1,m为整数)则有1-(-1)^n=2. 故左边求和公式可以简化为只有n为奇数的情况下的分项相加.可得上面的式子.。
高数级数计算公式
高数级数计算公式级数是数学中一个重要的概念，它是指一系列数的和。
在高等数学中，级数的计算是一个重要的内容，它涉及到数列的收敛性、发散性以及级数的求和等问题。
在本文中，我们将介绍高数级数的计算公式，包括常见级数的求和公式以及级数收敛的判定方法。
一、常见级数的求和公式。
1. 等比级数的求和公式。
等比级数是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的级数。
等比级数的求和公式为：S = a / (1 r)。
其中，S表示等比级数的和，a表示级数的首项，r表示公比。
这个公式可以帮助我们快速计算等比级数的和，而不需要逐项相加。
2. 幂级数的求和公式。
幂级数是指一个数列中的每一项都是一个幂函数的系数的级数。
幂级数的求和公式为：S = 1 / (1 x)。
其中，S表示幂级数的和，x表示幂级数的自变量。
这个公式在微积分中有广泛的应用，可以用来计算幂级数的和，从而得到幂函数的积分。
3. 调和级数的求和公式。
调和级数是指一个级数的每一项都是倒数的级数。
调和级数的求和公式为：S = ln(n) + γ。
其中，S表示调和级数的和，n表示级数的项数，γ表示欧拉常数。
这个公式可以帮助我们计算调和级数的和，从而得到一个无穷大的极限值。
二、级数收敛的判定方法。
1. 收敛级数的判定方法。
级数的收敛性是指级数的和是否有限。
在高等数学中，有一些常见的判定方法可以帮助我们判断一个级数是否收敛，包括比较判别法、根值判别法、积分判别法等。
比较判别法是指将待判定的级数与一个已知的级数进行比较，从而判断其收敛性。
如果待判定的级数的绝对值小于一个已知级数的绝对值，且已知级数收敛，则待判定级数也收敛。
根值判别法是指对级数的每一项取绝对值后，求出其极限。
如果极限小于1，则级数收敛；如果极限大于1，则级数发散。
积分判别法是指将级数的每一项进行积分后得到一个函数，然后判断该函数的收敛性。
如果该函数收敛，则级数收敛；如果该函数发散，则级数发散。
2. 发散级数的判定方法。
高数下第十二章级数
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2 ( x) un ( x)
函数项级数旳部分和 sn ( x),
lim
n
sn( x)
s( x)
例 1
求级数
(1)n (
1
)n 的收敛域.
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
(2)
un1 un
(
n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
23
n
有
lim
n
un
0,
但发散.
练习：判别下列级数的敛散性
1. 1 1 1
1
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
2、 1 1 1 1 ；
369
3n
3、(1 2
1) 3
1 (22
1 32
)
(
1 23
1 33
)
1 (2n
1 3n
) ；
4、 1 1 1 1 1 1 .
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
高数中常见的级数研究与其在数学领域的应用
高数中常见的级数研究与其在数学领域的应用在高等数学中，级数是一个重要的概念，是数列求和的推广形式。
在本文中，我将探讨高数中常见的级数及其在数学领域的应用。
首先，我们来了解一下级数的定义。
在数学中，级数是指将一个数列的项按照一定的规则相加得到的无穷数列。
级数通常表示为S_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n，其中a_1, a_2, a_3, ...是数列的项。
若数列的部分和数列S_n在n趋于无穷大时存在有限极限，则称该级数收敛，收敛的极限值为该级数的和；若数列的部分和数列S_n在n趋于无穷大时不存在有限极限，则称该级数发散。
在高等数学中，常见的级数包括等比级数、调和级数、幂级数等。
下面分别介绍这几种级数及其在数学领域的应用。
等比级数是指以固定比例递增或递减的级数。
等比级数的通项公式为a_n = a *r^(n-1)，其中a为首项，r为公比。
当|r|<1时，等比级数收敛，其和可以用求和公式S = a / (1 - r)表示。
等比级数在金融、经济领域中有广泛的应用，比如复利计算、人口增长模型等。
调和级数是指以倒数递增的级数。
调和级数的通项公式为a_n = 1 / n。
调和级数发散，即其部分和无限增大。
调和级数在数学分析中有一些重要的应用，比如证明无穷大与无穷小之间的联系，以及一些数学定理的证明。
幂级数是指以幂函数的形式表示的级数。
幂级数的通项公式通常为a_n = c_n *x^n，其中c_n为系数，x为变量。
幂级数在微积分中起着重要的作用，可以用来表示函数的展开式，进而研究函数的性质。
常见的幂级数包括泰勒级数和势级数。
泰勒级数可以将一个函数在某个点的局部性质用无限多项式展示出来，而势级数则可以用于求解一些物理问题，比如电磁场、电势分布等。
除了上述常见的级数之外，还有一些特殊的级数在数学领域中有广泛的应用。
如利用Fourier级数可以将一个周期性函数展开成三角级数，从而研究函数的周期性和信号处理；利用级数展开可以解决一些微分方程，从而将复杂的微分方程问题转化为级数求和问题；利用级数的收敛性可以证明数学定理，研究函数和数列的性质。
高数第九章数项级数-任意项
x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
中央财经大学
数学分析
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若
u
n 1
n
收敛,则
u
n 1
n
收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
(1)
n 1
n1
1 n 1 n
(1)
n 1
n1
1 ( 1) ln n n 2
n
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( 1) n n 例 5 判别级数 的收敛性. n1 n 2
解
x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
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数学分析
三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
如果(1)级数 bn收敛； (2)数列{an }( n 1,2,)
n 1
为单调、有界的 , an K , 则 anbn收敛.
狄利克雷判别法
n 1
n 1
如果(1)级数 bn的部分和Bn有界, Bn K (n 1,2,)； (2)数列{an }单调趋于0, 则 anbn收敛.
m m m
lim S 2 m 1 lim S 2 m , 故数列 {Sn } 的极限存在， 所以 m m
所以交错级数 ( 1)
n 1
n 1
un 收敛．
高数中的级数与收敛性研究
高数中的级数与收敛性研究级数是数学中的一个重要概念，对于高等数学的学习而言，掌握级数的性质和收敛性是至关重要的。
在本文中，我将探讨级数的概念、性质以及收敛性的研究。
一、级数的概念在高等数学中，级数是由无穷多个数相加（或相减）而得到的数列之和。
如果一个数列的部分和数列存在极限，那么我们称这个级数是收敛的；反之，如果部分和数列不存在极限，那么我们称这个级数是发散的。
二、级数的性质1. 无穷级数与数列的关系：级数的部分和数列是由原数列的前 n 项求和得到的。
2. 级数的收敛与发散：级数可以收敛，也可以发散。
如果级数收敛，那么其部分和数列存在有限的极限；如果级数发散，那么其部分和数列的极限不存在或为无穷大。
3. 级数的必要条件：级数收敛的必要条件是其通项趋于零。
也就是说，如果级数收敛，那么级数的通项必须满足极限值为零的条件。
4. 级数的比较性质：级数之间的比较是级数研究中的一个重要工具。
通过比较级数的大小关系，我们可以判断其收敛性。
常见的比较包括比较级数的绝对值大小、比较阶数以及比较通项的大小等。
5. 级数的性质操作：级数的性质操作可以帮助我们进行级数求和的计算。
常见的性质操作包括级数的加法、常数乘法、级数的同项合并等。
三、级数的收敛性研究1. 收敛级数的判别法：为了判断一个级数是否收敛，我们需要应用不同的判别法。
常见的判别法包括比值判别法、根值判别法、积分判别法、林数判别法、柯西判别法以及奇偶判别法等。
这些方法根据级数通项的特点进行判定，为我们提供了多种判断级数收敛性的工具。
2. 绝对收敛和条件收敛：级数的绝对收敛和条件收敛是级数研究中的两个重要概念。
如果一个级数的绝对值级数收敛，那么我们称该级数是绝对收敛的；如果一个级数本身收敛但其绝对值级数发散，那么我们称该级数是条件收敛的。
绝对收敛级数具有更强的收敛性，而条件收敛级数则更加复杂。
3. 动态调整收敛性：通过对级数中的项进行调整和变换，我们可以改变级数的收敛性。
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《高等数学（下）》自学、复习参考资料Ⅲ——使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！各章复习范围：第一部分《矢量代数与空间解析几何》————第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分《多元函数微积分》————第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）————第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分《级数论》————第十一章都要复习敬告学员——本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。
不便之处，敬请原谅！另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出来。
因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。
第十一章 级数一、常数项级数的概念与性质（了解） 1、无穷级数的概念 设有无穷数列 ,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n u u u则式子,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u称为无穷级数，简称级数。
记作∑∞=1n nu。
即,211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∞=n n nu u u u其中,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n u u u 叫做级数的项，而n u 叫做级数的一般项或通项，各项都是常数的级数称为常数级数。
例如⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 321， ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 3131313132。
就是常数项级数。
2、级数的收敛与发散 定义 设级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 当n 无限增大时，如果部分和数列n s 有极限s ，即s s n n =∞→lim ， 则称该无穷级数是收敛的，这时极限s 叫做级数的和，并写成,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u s如果数列n s 的极限不存在，则称该无穷级数发散，这时级数没有和。
3、级数的基本性质性质1 级数各项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变。
性质2 收敛级数可以逐项相加或相减。
即设有两个收敛级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u s,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n v v v δ则级数δ±=⋅⋅⋅+±+⋅⋅⋅+±+±s v u v u v u n n )()()(2211。
性质3 在级数前面加上（或去掉）有限项，其敛散性不变。
（因此我们分析级数的敛散性时可忽略前面的一些项。
） 性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变。
4、级数收敛的必要条件重要定理 若级数∑∞=1n nu收敛，则当∞→n 时，一般项n u 趋于零，即0lim =∞→n n u 。
所以一般项趋于零是级数收敛的必要条件。
换言之，若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散。
（这是判断一个级数发散常用的方法之一）二、正项级数及其判敛法 如果级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u的各项都是非负数（即0≥n u ，n=1，2，…），则称这个级数为正项级数。
1、比较判别法（会用）设两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，如果级数∑∞=1n nv收敛，且),,2,1(⋅⋅⋅=≤n v u n n 则级数∑∞=1n nu也收敛；如果级数∑∞=1n nv发散，且),,2,1(⋅⋅⋅=≥n v u n n 则级数∑∞=1n nu也发散。
应熟记的几个级数的敛散性： （1）等比级数（几何级数）当1<q 时，等比级数∑∞=-11n n aq收敛，且和为qa-1；当1≥q 时，等比级数∑∞=-11n n aq 发散。
（2）调和级数∑∞=11n n是发散的。
（3）P —级数当1≤P 时，P 级数∑∞=11n P n 发散；当1>P 时，P 级数∑∞=11n P n 收敛。
2、比值判敛法（掌握）定理 设正项级数∑∞=1n nu有ρ=+∞→nn n u u 1lim 则当1<ρ时，级数收敛；当1>ρ时，级数发散；当1=ρ时级数可能收敛，也可能发散。
三、交错级数及其判敛法 1、级数,)1(14321⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+--n n u u u u u其中0>nu （n=1，2，…）称为交错级数。
2、交错级数判敛法（莱布尼兹判敛法）如果交错级数),2,1,,0()1(11⋅⋅⋅=>-∑∞=-n u u n n n n 满足下列条件：（1）),2,1(1⋅⋅⋅=≥+n u u n n ；（2）0lim =∞→n n u 。
则交错级数),2,1,,0()1(11⋅⋅⋅=>-∑∞=-n u u n n n n 收敛，且它的和1u s≤，其余项nr 的绝对值1+≤n n u r四、任意项级数、绝对收敛和条件收敛（了解） 既有正项，又有负项的级数,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u称为任意项级数。
定理2 如果正项级数∑∞=1n n u 收敛，则任意项级数∑∞=1n nu也收敛。
定义 若正项级数∑∞=1n n u 收敛，则称任意项级数∑∞=1n nu为绝对收敛；若任意项级数∑∞=1n nu收敛，而正项级数∑∞=1n n u 发散，则称任意项级数∑∞=1n nu为条件收敛。
注意：（1）交错级数是任意项级数；（2）绝对收敛和条件收敛是对任意项级数来说的； （3）正项级数不存在绝对收敛和条件收敛。
判定数项级数敛散性的方法：方法一：级数∑∞=1n nu的前n 项和n s 的极限，即n n s ∞→lim 存在，则级数∑∞=1n nu收敛，否则级数发散。
如：（1）∑∞=+1)1(1n n n111)111()4131()3121()211()1(1431321211+-=+-++-+-+-=+++⨯+⨯+⨯=n n n n n s n 1)111(lim lim =+-=∞→∞→n s n n n ∴该级数收敛且和S = 1。
（2）∑∞=+1)11ln(n n)1ln()134232ln(1ln34ln 23ln 2ln +=+⨯⨯⨯⨯=+++++=n nn n n s n ∞=+=→∞→∞)1(lim lim n s n n n∴该级数发散。
方法二：（步骤）（一）、首先考察n u ，如果01≠∑∞=n nu，则级数发散；（二）、如果01=∑∞=n nu，则级数敛散性不定，根据级数的不同类型，采用不同的判敛方法 ； 1、正项级数：比值法、比较法； 2、交错级数：用莱布尼兹判敛法；3、任意项级数：先判定由它的各项取绝对值后所得的正项级数的敛散性。
如果正项级数是收敛的，则原任意项级数绝对收敛；如果正项级数发散，则原任意项级数可能是条件收敛，也可能发散。
方法三：用级数的定义和性质判定级数的敛散性。
例1 判定下列级数的敛散性：（1） ++++114835221 解： 级数的通项为：13-=n nu n03113lim lim ≠=-=∞→∞→n n u n n n ∴该级数发散。
（2）∑∞=-12)12(1n n n解：此级数为正项级数。
∵1211212lim 2112)12(2)12(1lim lim 11<=+-=-⋅+=∞→+∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n∴该级数收敛。
（3）∑∞=1!2n nn解：此级数为正项级数。
∵1012lim 2!)!1(2lim lim 11<=+=⋅+=∞→+∞→+∞→n n n u u n n n n nn n∴该级数收敛。
（4）∑∞=1!n n nn a n （0>a ，e a ≠）解：此级数为正项级数。
1)11(lim 1)1(lim 1!)!1()1(lim lim 111≠=+=+=⋅++=∞→∞→++∞→+∞→ae n a n n a n n a n a n u u n n n n n n n n n n n n n ∴1）当1<a e，即e a >时，级数收敛； 2）当1>ae，即e a <时，级数发散。
（5）∑∞=+111n n n解：此级数为正项级数。
分析：因为∵ 112)1(1lim lim 1+⋅++=→∞+→∞n n n n u u n nn n121)11(11lim =+++=∞→nn nn∴不能用比值法判敛。
但∵231111nnn n n u n =<+=又∵P 级数∑∞=131n n 是收敛的，∴∑∞=+111n n n 收敛。
（6）∑∞=++1211n n n解：∵nn n n n n u n +=+++>++=112111122 又 +++=+∑∞=413121111n n是少了第一项的调和级数，所以是发散的，∴原级数∑∞=++1211n n n是发散的。
例2 讨论级数∑∞=--111)1(n p n n （P>0）的敛散性。
解： ∵∑∑∞=∞=-=-11111)1(n p n pn nn 当1>p 时，∑∞=11n pn收敛，∴级数∑∞=--111)1(n p n n 绝对收敛；而当10≤<p 时，∑∞=11n pn 发散，又∑∞=--111)1(n p n n 是交错级数，用布莱尼兹判别法：∵ 1）1)1(11+=+>=n p p n u n n u ； 2）01lim lim ==∞→∞→p n n n nu 。
∴∑∞=--111)1(n p n n 收敛。
综上所述，级数∑∞=--111)1(n p n n （P>0）1）当1>p 时，绝对收敛；2）当10≤<p 时，条件收敛。
重要说明：级数∑∞=--111)1(n p n n 的敛散性大家要熟记，正项级数的判敛法是重要的考试内容。
五、幂级数（掌握） 1、如果级数,)()()(21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++x u x u x u n的各项都有是定义在某区间上的函数，则称该级数为函数项级数。
函数项级数的全体收敛点称为它的收敛域。
2、形如,2210⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n n x a x a x a a称为x 的幂级数。
3、幂级数的敛散性（1）根据等比级数可得幂级数∑∞=0n n x 的收敛域是（-1，1）。
（2）幂级数收敛半径的求法； 设幂级数,2210⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nn x a x a x a a如果相邻两项的系数1,+n n a a 有ρ=+∞→nn n a a 1lim 则1）当0≠ρ时，幂级数在)1,1(ρρ-内绝对收敛，在端点ρ1±=x 处的敛散性需另行判定。
ρ1称为收敛半径，记为R ，即ρ1=R 。