高数 级数

《高等数学（下）》自学、复习参考资料Ⅲ

——使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”

授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）

强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！各章复习范围：

第一部分《矢量代数与空间解析几何》

————第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分《多元函数微积分》

————第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）

————第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分《级数论》

————第十一章都要复习

敬告学员——本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。不便之处，敬请原谅！

另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出来。因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。

第十一章 级数

一、常数项级数的概念与性质（了解） 1、无穷级数的概念 设有无穷数列 ,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n u u u

则式子

,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u

称为无穷级数，简称级数。记作

∑∞

=1

n n

u

。即

,

211

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∞

=n n n

u u u u

其中,,,,,21⋅⋅⋅⋅⋅⋅n u u u 叫做级数的项，而n u 叫做级数的一般项或通项，各项都是常数的级数称为常数级数。 例如

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 321， ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 3

1

31313132。 就是常数项级数。 2、级数的收敛与发散 定义 设级数,21

⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 当n 无限增大时，

如果部分和数列

n s 有极限s ，即

s s n n =∞

→lim ， 则称该无穷级数是收敛的，这时极限

s 叫做级数的和，并写成

,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u s

如果数列

n s 的极限不存在，则称该无穷级数发散，这时级数没有和。

3、级数的基本性质

性质1 级数各项同乘以一个不为零的常数后，其敛散性不变。 性质2 收敛级数可以逐项相加或相减。 即设有两个收敛级数

,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u s

,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n v v v δ

则级数

δ

±=⋅⋅⋅+±+⋅⋅⋅+±+±s v u v u v u n n )()()(2211。

性质3 在级数前面加上（或去掉）有限项，其敛散性不变。 （因此我们分析级数的敛散性时可忽略前面的一些项。） 性质4 收敛级数加括号后所成的级数仍然收敛，且和不变。 4、级数收敛的必要条件

重要定理 若级数

∑∞

=1

n n

u

收敛，则当∞→n 时，一般项n u 趋

于零，即

0lim =∞

→n n u 。 所以一般项趋于零是级数收敛的必要条件。换言之，若0lim ≠∞

→n n u ，则级数

∑∞

=1

n n

u

发散。（这是判断一个级数发散常用的方法之一）

二、正项级数及其判敛法 如果级数

,21⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u

的各项都是非负数（即0≥n u ，n=1，2，…），则称这个级数为

正项级数。

1、比较判别法（会用）

设两个正项级数

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

，如果级数

∑∞

=1

n n

v

收敛，且),,2,1(⋅⋅⋅=≤n v u n n 则级数

∑∞

=1

n n

u

也

收敛；如果级数

∑∞

=1

n n

v

发散，且),,2,1(⋅⋅⋅=≥n v u n n 则级数

∑∞

=1

n n

u

也发散。

应熟记的几个级数的敛散性： （1）等比级数（几何级数）

当1

∑∞

=-1

1

n n aq

收敛，且和为q

a

-1；当1≥q 时，

等比级数∑∞

=-1

1n n aq 发散。

（2）调和级数∑

∞

=1

1

n n

是发散的。 （3）P —级数

当1≤P 时，P 级数∑∞

=11n P n 发散；当1>P 时，P 级数∑∞

=1

1

n P n 收敛。

2、比值判敛法（掌握）

定理 设正项级数

∑∞

=1

n n

u

有

ρ=+∞→n

n n u u 1

lim 则当1<ρ

时，级数收敛；当1>ρ时，级数发散；当1=ρ时级

数可能收敛，也可能发散。 三、交错级数及其判敛法 1、级数

,)

1(1

4321⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+--n n u u u u u

其中0>n

u （n=1，2，…）称为交错级数。

2、交错级数判敛法（莱布尼兹判敛法）

如果交错级数),2,1,,0()1(1

1⋅⋅⋅=>-∑

∞

=-n u u n n n n 满足下列条

件：