第五章 频率域方法讲解
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线性系统的频域分析
第五章 线性系统的频域分析频域分析法是应用频率特性研究线性系统的一种经典方法。
它以控制系统的频率特性作为数学模型，以伯德图或其他图表作为分析工具，来研究、分析控制系统的动态性能与稳态性能。
频域分析法由于使用方便，对问题的分析明确，便于掌握，因此和时域分析法一样，在自动控制系统的分析与综合中，获得了广泛的应用。
本章研究频率特性的基本概念、典型环节和控制系统的频率特性曲线、奈奎斯特稳定判据以及开环频域性能分析等内容。
§5-1 频率特性的基本概念一、频率特性的基本概念频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同频率正弦输入信号的响应特性，对于线性系统，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出信号也将是同频率的正弦量，但其幅值和相位都不同与输入量。
下面以RC 电路为例，说明频率特性的基本概念。
图5-1所示的RC 电路，)(t u i 和)(0t u 分别为电路的输入电压和输出电压，电路的微分方程为：)()()(00t u t u dtt du Ti =+ 式中T=RC 为电路的时间常数。
RC 电路的传递函数为11)()(0+=Ts s U s U i （5-1） Rui )t图 5-1 RC 电路当输入电压为正弦函数t U t u i i ωsin )(=，则由式（5-1）可得22011)(11)(ωω+⋅+=+=s U Ts s U Ts s U i i 经拉氏反变换得电容两端的输出电压)sin(11)(122/220T tg t T U e T T U t u iT t i ωωωωω---+++=式中，第一项为输出电压的暂态分量，第二项为稳态分量，当∞→t 时，第一项趋于零，于是)sin(1|)(1220T tg t T U t u i t ωωω-∞→-+=)](sin[)(ωϕωω+=t A U i （5-2）式中：2211)(TA ωω+=，T tgωωϕ1)(--=，分别反映RC 网络在正弦信号作用下，输出稳态分量的幅值和相位的变化，二者皆是输入正弦信号频率ω的函数。
第五章频率法
52 设系统开环传递函数为： [例]设系统开环传递函数为：Gk ( s ) = ，试用 2 ( s + 1)( s + 2 s + 5)
乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为 − 1 ，
− 1 ± j 2都在s左半平面， 都在s左半平面， 所以 。0 P =乃氏图如 右。
第五章
第一步：确定转折频率（惯性和一阶微分环节为1/T、 第一步：确定转折频率（惯性和一阶微分环节为1/T、振 1/T 轴上； 荡和二阶微分环节为ωn) ，标注在ω轴上； 第二步： 确定低频段Bode图位置，包括高度和斜率。 Bode图位置 第二步： 确定低频段Bode图位置，包括高度和斜率。
小于最低转折频率的频率范围为低频段。） （ω小于最低转折频率的频率范围为低频段。）
了 系 具 较 的定 能 快 性 希L 曲 为 使 统 有 好 稳 性 和 速 ， 望 (ω) 线 在 c附 的 率 − 20dB/ dec， 且 尽 能 高 c的 。 并 要 可 提 ω 值 ω 近 斜 为
ω 3.高频段： 3.高频段： ω >10 c 高频段
系统的抗干扰能力由高频段决定。 系统的抗干扰能力由高频段决定。
如下图所示， [例]某Ⅱ型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面 无开环极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 无开环极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：首先画出完整的乃氏 曲线的映射曲线。如右图： 曲线的映射曲线。如右图： 从图上可以看出：映射曲线顺时 从图上可以看出： 针包围( 1,j0)两圈 两圈。 针包围(-1,j0)两圈。因 P = 0 ， 所以 Z = P − N = 0−(−2) = 2 ， 闭环系统是不稳定的。 闭环系统是不稳定的。
5频率域方法
1 − T1 s 1 + T2 s
（T2>T1>0）
A1(ω)=AБайду номын сангаас(ω)=
4. 最小相位系统, 当ω→∞时,相角为(n-m)(-900) 5. 非最小相位因(1)含e-Ts (2)小回环不稳定产生 6. 最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系. 二、闭环系统的频率特性 1. 单位反馈闭环系统的频率响应
1 ) T s + 2ξTs + 1
2 2
L(ω)=20lg|
1 |=-20lg (1 − ω 2T 2 ) 2 + ( 2ξωT ) 2 T ( jω ) + 2ξT ( jω ) + 1
2 2
φ(ω)= -arctg(
2ξωT ) 1 − ω 2T 2
讨论: (1)对数幅频特性 1)低频段 ωT<<1， L(ω)≈ -20lg1=0 db 2)高频段 ωT>>1， L(ω)≈ -20lg( ω 2T 2 )≈ -40lgωT db ωT=1,ω=
§ 5-3
对数频率特性
一、 Bode 图及其特点 1． Bode 图的构成 对数幅频 L(ω)=Lm|G(jω)H(jω)|=20lgG(ω)H(ω) 对数相频 φ(ω)=∠ G(jω)H(jω) 半对数坐标纸 2． Bode 图的优点 二、 典型环节的对数坐标图 1. 比例环节(K) L(ω)=20lgK (db)， φ(ω)=0
1 1 ，令-40lgωT=0, 得ω= T T
第 3 页 共 9 页
3)交接频率处
误差修正曲线与ξ有关
5 频率域方法.doc 方法
《自动控制原理》
电子教案
(2)对数相频特性 1 ω= 时,φ(ω)=-90o T 6. 二阶微分环节( T 2 s 2 + 2ξTs + 1 ) L(ω)= 20lg (1 − ω 2T 2 ) 2 + ( 2ξωT ) 2 ，φ(ω)= arctg( 7. 延迟环节( e
番茄花园-五章线系统的频域分析法
二、奈氏判据
闭环稳定
闭环所有极点位于S左半平面
第五章 线性系统的频域分析法
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法， 它反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性 可以间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频 率特性法的突出优点是组成系统的元件及被控对 象的数学模型若不能直接从理论上推出和计算时， 可以通过实验直接求得频率特性来分析系统的品 质。其次，应用频率特性法分析系统可以得出定 性和定量的结论，并且有明显的物理意义。在应 用频率特性法分析系统时，可以利用曲线，图表 及经验公式，因此，用频率特性法分析系统是很 方便的。
j
2
Im [G( j)]
90 Re
0 0
积分环节
微分环节
3、一阶惯性环节
G(s)
1 Ts
1
G(
j
)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 2 2
Im
[G( j)]
0
G( j1)
45
G( j1)
0.707
1
Re
0
1
1
5、对数相频曲线绘制：将各典型环节相角叠 加，用描点法绘制。
例题：系统开环传递函数为
G(s)
K
s(s 1)(0.1s 1)
试绘制系统的对数幅频渐近特性曲线。
解：
交接频率： （1）1=1时： 一阶惯性环节 斜率变化-20dB/dec （2） 2=10时： 一阶惯性环节 斜率变化-20dB/dec 低频段，斜率-20dB/dec， =1，20lgK=20lg20=26dB 过（1，26dB）点 相频特性
第五章频域法-频率特性及其图像2009
jIm[G(jω)]
G(jω) = (1− T ω ) + j2ξTω
2 2
0
1 Re[G(jω)]
矢量的虚部始终为正
Tω<1时，实部为正，矢量在第一象限 时 实部为正， Tω＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上 ＝ 时 实部为零， Tω>1时，实部为负，矢量在第二象限 时 实部为负，
0 ω从0～∞时，矢量的角度从 ~ 90 ~ 180
1 一阶系统⋅ dt s ∫ 1 Φ(s)= 2 2 T s +2ξTs+1 欠阻尼二阶系统
典型环节零极点分布图
G(s)=s G(s)= 1 s
j
积分环节 振荡环节 微分环节 G(s)= Ts+1 1 0 G(s)= Ts+1 惯性环节 一阶微分 G(s)=T2s2+2ξTs+1 1 G(s)= 2 2 T s +2ξTs+1
二、对数频率特性图（Bode图） 对数频率特性图（ 频率特性图 图 1．对数频率特性函数 ．对数频率特性函数
*μ的单位“十倍频程”是度量μ的某两个值的差，不度量μ本身。 当 µ 2 − µ1 = lg ω 2 − lg ω1 = 1 时，说µ 2 比 µ1 高一个十倍频程，或说两者相差一个十倍频程。
G ( j0) = 1∠0
o
G ( j∞ ) = 0∠ − 180
o
1 o G ( jω n ) = G ( j ) = ∠ − 90 令 dA ( ω ) = 0 , 得 2ξ dω 2 1 ωr = ωn 1 − 2ξ A ( ω r ) = A m = 2 2ξ 1 − ξ
1 T
(0<ξ<0.707)
对数幅频特性函数：L(G ( jω )) = lg G ( jω )，或L(G )，L(µ )， 单位：贝尔（B），分贝尔(分贝)(dB)， B = 20dB 1 对数相频特性函数：θ (G ( jω )) = arg G ( jω )，或θ (G )，θ (µ ) µ = lg ω，单位：十倍频程
G(jω) = (1− T ω ) + j2ξTω
2 2
0
1 Re[G(jω)]
矢量的虚部始终为正
Tω<1时，实部为正，矢量在第一象限 时 实部为正， Tω＝1时，实部为零，矢量在正虚轴上 ＝ 时 实部为零， Tω>1时，实部为负，矢量在第二象限 时 实部为负，
0 ω从0～∞时，矢量的角度从 ~ 90 ~ 180
1 一阶系统⋅ dt s ∫ 1 Φ(s)= 2 2 T s +2ξTs+1 欠阻尼二阶系统
典型环节零极点分布图
G(s)=s G(s)= 1 s
j
积分环节 振荡环节 微分环节 G(s)= Ts+1 1 0 G(s)= Ts+1 惯性环节 一阶微分 G(s)=T2s2+2ξTs+1 1 G(s)= 2 2 T s +2ξTs+1
二、对数频率特性图（Bode图） 对数频率特性图（ 频率特性图 图 1．对数频率特性函数 ．对数频率特性函数
*μ的单位“十倍频程”是度量μ的某两个值的差，不度量μ本身。 当 µ 2 − µ1 = lg ω 2 − lg ω1 = 1 时，说µ 2 比 µ1 高一个十倍频程，或说两者相差一个十倍频程。
G ( j0) = 1∠0
o
G ( j∞ ) = 0∠ − 180
o
1 o G ( jω n ) = G ( j ) = ∠ − 90 令 dA ( ω ) = 0 , 得 2ξ dω 2 1 ωr = ωn 1 − 2ξ A ( ω r ) = A m = 2 2ξ 1 − ξ
1 T
(0<ξ<0.707)
对数幅频特性函数：L(G ( jω )) = lg G ( jω )，或L(G )，L(µ )， 单位：贝尔（B），分贝尔(分贝)(dB)， B = 20dB 1 对数相频特性函数：θ (G ( jω )) = arg G ( jω )，或θ (G )，θ (µ ) µ = lg ω，单位：十倍频程
频率稳定判据(2)
若闭环系统不稳定，则闭环在右半s平面的极点数为 Z=P-2N
其中N为频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数，若
N<0，则为顺时针绕(-1,j0)点的圈数。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
对数频率稳定判据
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
−
(−)
(+)
闭环系统稳定的充分必要条件：
在开环对数幅频 L() 0dB 的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线 () 对 − 线的正、负穿越次数之差 N+ − N− = P 2，其中 P 是开环不稳定极点的个数。
(o ) (−)
闭环系统不稳定 Z = P − 2N = 2
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
(o )
二阶振荡环节在10rad/s处的值为：
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB
2
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
其中N为频率 由 0 变到 + 时，开环幅相特性曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数，若
N<0，则为顺时针绕(-1,j0)点的圈数。
确定开环Nyquist曲线逆时针绕(-1,j0)点的圈数N
j
正穿越次数，N+ : G( j)H(j) 曲线沿 增加的
对数频率稳定判据
j
L = 20lg GH
(−)
(+) -1
1
2
3 0
G(j) H(j)
1
2
3
GH
−
(−)
(+)
闭环系统稳定的充分必要条件：
在开环对数幅频 L() 0dB 的频率范围内，对应的开环对数相频特性曲线 () 对 − 线的正、负穿越次数之差 N+ − N− = P 2，其中 P 是开环不稳定极点的个数。
(o ) (−)
闭环系统不稳定 Z = P − 2N = 2
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB)
解：开环传递函数可以写成如下形式
1
102
G(s) = 3
s s2 +2 10 0.1s +102
(o )
二阶振荡环节在10rad/s处的值为：
20 lg 1 = −20 lg 0.2 = 14dB
2
−20dB/dec
−60dB/dec
(rad/s)
例5-11：已知负反馈系统的开环传递函数 300
G(s) = s(s2 +2s +100) 试用对数频率稳定判据判断闭环稳定性。 L(dB) 解：开环传递函数可以写成如下形式
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
自动控制原理简明版第5章频率法课件
03
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
自动控制原理 第五章 频率法
斜率：-20db/dec （每十倍频程 -20db）
转折频率：1/T 对数相频：
W 0
υ （w） 0 -45° -90°
υ (w) =∠G(jw) =∠[1/ (1+jTw)] = 自动控制原理
tg-1Tw
1/T ∞
蒋大明
惯性环节
1/T处误差最大： 误差 = 实际值 - 近似值 = -20lg (1+T2w2)1/2︱w=1/T - 0
jυ (w)
lg G(jw) = lg A(w) + jυ (w)lg e
= lg A(w) + j0.434υ (w) 两张图：对数幅频特性, 对数相频特性
自动控制原理
蒋大明
对数频率特性
对数幅频特性图 纵坐标：L(w) = 20lg | G(jw) | = 20 lg A(w) 单位：分贝(db)
自动控制原理 蒋大明
幅相频率特性
绘制方法: 1. G(jw) = A(w) e 计算幅值,
jυ (w)
幅角相对简单,
但计算幅角时有时会遇到多值性的问题.
2. G(jw) = P(w) + 计算实部, jQ(w)
虚部相对复杂.
自动控制原理
蒋大明
二、对数频率特性（Bode图）
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形— —对数频率特，也称Bode图。 G(jw) = A(w) e
自动控制原理
蒋大明
一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10
(a )
( )
0o
自动控制理论最新版精品课件第5章 频率法
5-1 频率特性的概念
一、频率特性的基本概念
➢频率响应：系统对正弦输入的稳态响应。
u1 U1 sint
在稳态情况下，输出电压 u2 U2 sinωt
1
•
U2
•
U1
jC
R 1
jC
1
1 j RC
1
1 jT
➢频率特性的定义：
该电路的频率特性
零初始条件的线性系统或环节，在正弦信号作用下， 稳态输出与输入的复数比。
➢与传递函数的关系：
G(j) G(s) s j
•
A() G(j)
U2
•
G( j )
A( )e j ( )
U1
1
1 (T )2
() G(j)
•
•
U 2 U1 arctan(T)
A(ω) 称幅频特性，φ(ω)称相频特性，G(jω) 称为幅相频率 特性。
二、频率特性的求取
➢已知系统的运动方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳
特征点1: n 时
A,
An 1 2
n
2
特征点2: 令
dA d 0
1 0
0.3
0.5 0.707
r
n
谐振频率 r n 1 2 2 0.707
1
2
谐振峰值 Ar 2 1 2
0.5 0.3
0 0.707，出现谐振
0.707 阶跃响应既快又稳，比较理想（也称为“二阶最佳”）
G( j )
1
1
n
2 n2
2
2
2
n
2
j 1
2 n2
2 n
2 2
n
2
第五章 频率域方法
j2n
37
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A ( )
2 n
(
2 n
2 )2
(2 n
)2
1
1
n
2 2
2
2
n
2
( ) arctan
n
2
1
n
38
谐振频率
mn 122
谐振峰值
Am(m) 2
1
1 2
图5－13
39
图5－14 振荡环节的 幅相特性
图5－15 振荡环节的对数 幅频渐进特性
统）。 • 由图5－20看出，一阶不稳定环节的幅频与
惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一
样。相位的绝对值大，故一阶不稳定环节又 称非最小相位环节。
47
九、延迟环节
延迟环节输入输出关系为 ctrt
Gs
Cs Rs
es
A1
Gj
L0
48
49
5－4 系统的开环频率特性
一、开环幅相特性曲线
设系统开环传递函数由若干典型环节串联
58
例5－2 G ( s )1( s 0 2 )0 1 1 0 1 1( 0 .5 s 1 ) s ( s 1 )s (2 )0ss 1 0 .0 s 5 1 五个基本环节 1 10 1 2 s 1 3 s1 1 4 0.05 s 1 5 (0.5s 1)
59
绘制开环系统的波特图
L ( ) 2 0 lgA ( )~ (lg )
对数相频特性:
()~(lg)
25
图5－6 对数坐标刻度图
26
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。
第五章 频域分析法-2007
ω
0
积分环节的极坐标图
G(jω)=1/(jω)ν 类推 G(s)=1/sν L( ) 20 lg (dB) A(ω)=1/ων
( ) 90
对数幅频特性曲线是一条在ω=1处穿过0dB线、斜率为20νdB/dec的直线，每变化十倍频程而变化-20ν分贝；对数相频特 性曲线是一条通过-ν90°且平行于横轴的直线。
5.1 频率特性
1. 频率特性的概念
频率特性与传递函数具有十分相似的形式G(jω)=G(s)|s=jω。
s=p
微分方 程
jω=p
p d dt
传递函 数
系统
频率特 性
s=jω
5.1 频率特性
2. 频率特性的图示方法 1) 极坐标图
极坐标图，=幅相频率特性曲线，=幅相曲线 ，=奈奎斯特曲线 (简称 ) arct anT
1
0 45° ω=1/T ω=0
Re
1 1 当： 0 时，A( )： 1 0 T 2 ( )： 45 90 0
X ( ) 1 (T ) 2 1 Y ( ) T (T ) 2 1
ω
lgω
1 0
2 0.301
3 0.477
4 0.602
5 0.699
6 0.778
7 0.845
8 0.903
9 0.954
10 1
5.2 典型环节的频率特性
2. 积分环节 传递函数：G(s)=1/s
Im Re
频率特性：G(jω)=1/jω A(ω)=1/ω
L( ) 20 lg (dB) ( ) 90
第五章 频域分析法1
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。 频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定， 这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际 意义。
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
则
uos (t) = A ⋅ A(ω)sin[ω t + ϕ(ω)]
(5.2)
结论：
(1) 稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；
(2) 当ω 从 0 向∞变化时，其幅值之比 A(ω) 和相位差ϕ(ω) 也将随之变化，其变化规
律由系统的固有参数 RC 决定； (3) 系统稳态解的幅值之比 A(ω) 是ω 的函数，其比值为
三角函数形式： G( jω) = A(ω)[cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] 。
式中 A(ω) = G( jω) 是幅值比，为ω 的函数，称为幅频特性；
ϕ(ω) = ∠G( jω) 是相位差，为ω 的函数，称为相频特性； U (ω) 是 G( jω) 的实部，为ω 的函数，称为实频特性； V (ω) 是 G( jω) 的虚部，为ω 的函数，称为虚频特性。
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
C( jω) = G( jω)R( jω)
因而，得
G( jω) = C( jω) R( jω)
(5.11)
事实上，当ω 从 0 向∞变化时， G( jω) 将对不同的ω 作出反映，这种反映是由系统自
第五章 频率法解析
安徽工业大学电气信息学院
5-1 频率特性
一、频率特性的基本概念
如一阶RC电路
R
ui
C uo
这是一个惯性环节
G(s) Uo(s)
1 Cs
1
Ui (s)
R
1 Cs
RCs 1
由电路的知识：
当输入电压 u是i 一正弦量时，输出电压 是uo与 同频u率i 的正弦量，但其幅值和相位不同。
安徽工业大学电气信息学院
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
lg
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
安徽工业大学电气信息学院
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L( ) 20lg A( ) 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20lg A值(标) 注在纵坐标上。
自动控制理论
第五章 频率法
方炜
安徽工业大学 电气信息学院
本章的主要内容
1
频率特性
2
典型环节的频率特性
3
系统开环频率特性的绘制
4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性
5 系统的频率特性及频域性能指标
6
频率特性的实验确定方法
安徽工业大学电气信息学院
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计 的图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率特性法的优点：
➢只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定；
➢由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
➢系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；
➢频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
5-1 频率特性
一、频率特性的基本概念
如一阶RC电路
R
ui
C uo
这是一个惯性环节
G(s) Uo(s)
1 Cs
1
Ui (s)
R
1 Cs
RCs 1
由电路的知识：
当输入电压 u是i 一正弦量时，输出电压 是uo与 同频u率i 的正弦量，但其幅值和相位不同。
安徽工业大学电气信息学院
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
lg
由于 以对数分度，所以零频率线在－∞处。
安徽工业大学电气信息学院
纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以 L( ) 20lg A( ) 表示。其单位为分贝(dB)。直接将 20lg A值(标) 注在纵坐标上。
自动控制理论
第五章 频率法
方炜
安徽工业大学 电气信息学院
本章的主要内容
1
频率特性
2
典型环节的频率特性
3
系统开环频率特性的绘制
4 乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性
5 系统的频率特性及频域性能指标
6
频率特性的实验确定方法
安徽工业大学电气信息学院
频率特性法是又一种对系统进行分析和设计 的图解方法。在工程中得到了广泛应用。
频率特性法的优点：
➢只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判 断闭环系统是否稳定；
➢由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的 时域指标之间存在着一定的对应关系；
➢系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系 起来，可以很方便地对系统进行校正；
➢频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得， 还可以用实验方法求得。
第五章频域分析法—频率法
L( ) 20lg M ( )
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值， 线性均匀分度，单位是度或弧度。
lg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1
采用对数坐标图的优点是：
(1) 可以将幅值的乘除转化为加减。 (2) 可以采用简便方法绘制近似的对数 幅频曲线。 (3) 扩大了研究问题的视野。在一张图 上，既画出频率特性的中、高频段特性， 又能画出其低频特性，而低频特性对分 析、设计控制系统来说是极其重要的。
惯性环节的幅相特性曲线 j
M()
()
0 1 0
1
0 -90
O
3.对数坐标图—伯德图(H.W.Bode)
对数频率特性曲线又称伯德图，包括对数幅频 和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率 ，并按 对数分度，单位是1/s。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函 数值，线性均匀分度，单位是分贝，记作dB。 对数幅频特性定义为
幅相曲线
1
对数幅频特性：
L( ) 20 lg G (j ) 20 lg 20 lg1 20 lg
T 22源自1 T 1 20 lg
T
2
1
对数相频特性： G(j ) arctanT
近似对数幅频特性： 当
1 T
时，T
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76
-78.7 -90
幅频和相频特性曲线
1 1 2T 2 1
第5章 频率法
0
Bode Diagram of G(s)=1/(10s+1)
渐近线 ①
转折频率
精确曲线
渐近线 ②
- 20dB / dec
w = w1 L(w1) -20 lg Tw1
w
=
w 2
= 10w1
j (ω) (0 )
-30 -45 -60
L(w2 ) -20 lg10Tw1 = -20 - 20 lg Tw1
1
10 100 1000 w
实现横坐标非线性压缩， -20
频率越高，越压缩；
频率越低，越展开。
-40
便于在较大频率范围内反映频率特性变化情况。
21
对数幅频曲线：纵坐标按 20 lg | W ( jw) |线性分度的优点：
例：
G1 ( s)
G2 (s)
G3 (s)
G(s) = G1 (s)G2 (s)G3 (s)
因为频率特性与系统的参数和结构有关，故可用研究频率特性的方法， 把系统参数和结构的变化与过渡过程指标联系起来。
5 .当系统在某些频率范围存在严重噪声时，应用频率分析法可设计出能 满意地抑制这些噪声的系统。
6 .频率分析法不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性 系统。
3
5.1 频率特性的基本概念
传递函数
微分方程 系统
s = jw
频率特性
jw = d
dt
11
尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函 数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系 统动态过程的规律性也全寓于其中。频率特性同传递函数一 样，表征系统的运动规律，成为系统频域分析的理论依据。
应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系 统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅 立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控 制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它 在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
5第五章__频率法解析
Im
P (0) 1，Q(0) 0
Re
0
0
1 T
1 1 1 1 时：A( ) ， ( ) 45 T T T 2 1 1 1 K P ( ) ，Q( ) T 2 T 2
惯性环节呈低通滤波特性
时：A( ) 0， ( ) 90 P ( ) 0，Q( ) 0
频率特性表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正 弦信号之间的数学关系，是频率域中的数学模型。
频率法
频率特性 G ( j ) 是 的复变函数：
G( j ) A( ) ( ) P ( ) jQ ( )
Ac 稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A( ) | G( j ) | Ar 称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态
0 -1 -2 -3 -4
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
频率法
( ) tg 1T ②相频特性：
作图时先用计算器计算几个特殊点：
T 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
()
T ()
-0.6
2.0 -63.4
频率法
5-1
如一阶RC电路
R
频率特性
一、频率特性的基本概念
这是一个惯性环节
பைடு நூலகம்
ui
C
uo
U o ( s) 1 Cs G( s) U i ( s) R 1 RCs 1 Cs
1
由电路的知识： 当输入电压 ui 是一正弦量时，输出电压 uo 是 与 ui 同频率的正弦量，但其幅值和相位不同。
1 o 称为转折频率或交换频率。 T
P (0) 1，Q(0) 0
Re
0
0
1 T
1 1 1 1 时：A( ) ， ( ) 45 T T T 2 1 1 1 K P ( ) ，Q( ) T 2 T 2
惯性环节呈低通滤波特性
时：A( ) 0， ( ) 90 P ( ) 0，Q( ) 0
频率特性表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正 弦信号之间的数学关系，是频率域中的数学模型。
频率法
频率特性 G ( j ) 是 的复变函数：
G( j ) A( ) ( ) P ( ) jQ ( )
Ac 稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 A( ) | G( j ) | Ar 称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态
0 -1 -2 -3 -4
1 10T 1 5T 1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
频率法
( ) tg 1T ②相频特性：
作图时先用计算器计算几个特殊点：
T 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0
()
T ()
-0.6
2.0 -63.4
频率法
5-1
如一阶RC电路
R
频率特性
一、频率特性的基本概念
这是一个惯性环节
பைடு நூலகம்
ui
C
uo
U o ( s) 1 Cs G( s) U i ( s) R 1 RCs 1 Cs
1
由电路的知识： 当输入电压 ui 是一正弦量时，输出电压 uo 是 与 ui 同频率的正弦量，但其幅值和相位不同。
1 o 称为转折频率或交换频率。 T
《自动化控制原理》第五章频率域方法
对数频率稳定判据
通过对数幅频特性和相频特性曲线来判断系统的稳定性。若 系统开环传递函数的幅频特性曲线在穿越频率处的斜率小于20dB/dec，且相频特性曲线在穿越频率处的相位滞后小于 180°，则闭环系统稳定。
稳定裕度的计算与分析
幅值裕度和相位裕度
幅值裕度是指系统开环幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与实际幅值之差；相位裕度是指 系统开环相频特性曲线在穿越频率处的相位滞后与180°之差。
根据描述系统性能的不同方面，可分为幅值指标、相位指标、稳定性指 标和动态性能指标等。
在控制系统的 频率域分析中 ，用于描述系 统性能的一系 列量化指标。
频率域性能指 标的分类
频率域性能指 标的定义
频率域性能指标的优化设计方法
基于Bode图的优化设计方 法
通过绘制控制系统的Bode图，分析系统的幅 值裕度、相位裕度等性能指标，进而调整系 统参数进行优化设计。
频率域方法与时间域方法的比较
研究对象
时间域方法主要研究系统的时域响应特性，而频率域方法则关注系 统的频域响应特性。
分析方法
时间域方法通过求解微分方程或差分方程来分析系统性能，而频率 域方法则通过傅里叶变换将时域信号转换为频域信号进行分析。
适用场景
时间域方法适用于简单系统和初始条件已知的情况，而频率域方法更 适用于复杂系统和初始条件未知的情况。
控制系统的频率域设计方法
Bode图法
Nyquist图法
利用Bode图进行系统设计的方法，通过调 整系统参数使Bode图满足性能指标要求。
基于Nyquist稳定判据进行系统设计的方法 ，通过绘制Nyquist曲线判断系统的稳定性 。
根轨迹法
校正网络设计
在频率域中分析根轨迹的方法，通过调整 系统参数改变根轨迹的形状，从而满足性 能指标要求。
通过对数幅频特性和相频特性曲线来判断系统的稳定性。若 系统开环传递函数的幅频特性曲线在穿越频率处的斜率小于20dB/dec，且相频特性曲线在穿越频率处的相位滞后小于 180°，则闭环系统稳定。
稳定裕度的计算与分析
幅值裕度和相位裕度
幅值裕度是指系统开环幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与实际幅值之差；相位裕度是指 系统开环相频特性曲线在穿越频率处的相位滞后与180°之差。
根据描述系统性能的不同方面，可分为幅值指标、相位指标、稳定性指 标和动态性能指标等。
在控制系统的 频率域分析中 ，用于描述系 统性能的一系 列量化指标。
频率域性能指 标的分类
频率域性能指 标的定义
频率域性能指标的优化设计方法
基于Bode图的优化设计方 法
通过绘制控制系统的Bode图，分析系统的幅 值裕度、相位裕度等性能指标，进而调整系 统参数进行优化设计。
频率域方法与时间域方法的比较
研究对象
时间域方法主要研究系统的时域响应特性，而频率域方法则关注系 统的频域响应特性。
分析方法
时间域方法通过求解微分方程或差分方程来分析系统性能，而频率 域方法则通过傅里叶变换将时域信号转换为频域信号进行分析。
适用场景
时间域方法适用于简单系统和初始条件已知的情况，而频率域方法更 适用于复杂系统和初始条件未知的情况。
控制系统的频率域设计方法
Bode图法
Nyquist图法
利用Bode图进行系统设计的方法，通过调 整系统参数使Bode图满足性能指标要求。
基于Nyquist稳定判据进行系统设计的方法 ，通过绘制Nyquist曲线判断系统的稳定性 。
根轨迹法
校正网络设计
在频率域中分析根轨迹的方法，通过调整 系统参数改变根轨迹的形状，从而满足性 能指标要求。
第五章 频域响应法
第五章 频域响应法5-1 频率特性一． 频率特性的基本概念1. 所谓频率特性，即在零初始条件下，系统输入在正弦信号的控制下，其稳态输出C(t) 的被控制量信号的幅值A(ω)和相角ψ（ω）随r(t)信号的角频率ω变化的规律，记为G(j ω)。
G(j ω)=G(S)| s=j ω C(j ω) C(s)G(j ω)== R(j ω) R(s)| s=j ωb 0(j ω) m +b 1(j ω) 1+m +……+b 1-m (j ω)+b m G(j ω)=( j ω) n +a 1(j ω) 1-n +……a 1-n (j ω)+a n2、G(j ω)的数模表达式有两种标准式: （1）Nyquist 标准式：G(j ω)=︱G(j ω)︱e)(jw G j ∠=u(ω)+jv(ω)其中A(j ω)= ︱G(j ω)︱称为幅频特性，是ω的偶函数。
ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为相频特性，是ω的奇函数。
u(ω)=Re [G(j ω)]为实部； v(ω)=Im [G(j ω)]为虚部。
（2）Bode 表达式：L (ω)=20lg [A(j ω) ] 称为对数幅频，ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为对数相频。
二． 频率特性的图解表示法在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发研究。
现以RC 网络为例。
如图5-2。
其频率特性为G(j ω)=)(11jw T +（T=RC ）。
A(ω)= G(j ω)=2)(11TW +；ψ(ω)=-arctg(T ω)1.极坐标图----Nyquist图当ω=0→∞变化时,A(ω)和φ(ω)随ω而变,以A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端点在s平面上形成的轨迹,称Nyquist曲线（幅相频率特性曲线）简称幅相曲线即Nyquist图，是频率响应法中常用的一种曲线。
2、对数坐标图----Bode图对数频率特性曲线又称Bode曲线，包括对数幅频和对数相频两条曲线。
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22
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
5
返回子目录
输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2
将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )
2 n 2 ( n 2 ) 2 (2 n ) 2
1
2 1 2 n n 2 2
7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定 性关系。
8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的 概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与 比较。
4
5－ 1
频率特性
一、控制系统在正弦信号作用下的 稳态输出
输入信号： 其拉氏变换式
r (t ) Ar sin t
A R( s) 2 2 s
16
5－2 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G ( j ) K K e
幅频特性 相频特性 对数幅相特性
j 0
A( ) K
( ) 0
L( ) 20 lg K
17
返回子目录
图5－5 比例环节的频率特性曲线
18
二、积分环节
传递函数 幅相特性
1 G (s) s
第五章
频率域方法
1
第5章
基本要求 5－1 频率特性
频域分析法
5－2 典型环节的频率特性 5－3 系统的开环频率特性 5－4 频率稳定判据 5－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 5－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
返回主目录
2
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性 曲线及对数频率特性曲线。
24
图5－9 惯性环节的对数频率特性曲线
25
四、振荡环节（二阶系统）
传递函数
G( s ) 2 2 s 2 n s n
2 n
2 n
频率特性 G ( j ) 2 ( j ) 2 2 n j n
2 ( n 2 ) j 2 n
26
8
二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下， 输出的稳态分量与输入的复数比，称为系 统的频率特性（即为幅相频率特性，简 称复相特性）。
频率特性表达式为
(s) |s j ( j) | ( j) | e
j ( j )
9
例子
以RC网络为例
• 其传递函数
1 G(s) Ts 1
Ar (e
j [ t ( j ) ] 2
e
j [ t ( j ) ] 2
Ac sin(t )
（5－6）
7
• 式中
Ac ( j ) Ar
( j )
从式（5－6）看出，线性定常系统， 在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输 入同频率的正弦信号。
对数相频特性:
( ) ~ (lg )
14
图5－4 对数坐标刻度图
15
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 –在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程的长度都是相等的。 –为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
G( j ) G( s) s j 1 Tj 1
频率特性
G ( j ) G ( s) s j 1 Tj 1
1 (T ) 1
2
e
j tan1 (T )
10
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )e ， :0 A( ) ~ 为系统的幅频特性。 ( ) ~ 为系统的相频特性。
3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对 数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅 频特性曲线求开环传递函数的方法。
3
返回子目录
5. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其 它们的应用。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
1 G ( j ) e
j
2
相频特性是一常值
2
19
图5－6 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
20
对数频率特性
图5－7
21
三、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
1 G(s) Ts 1
1 1 j tan1 T G( j ) e Tj 1 (T )2 1
图5－8 惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线
23
对数频率特性
L 20lg A 1 T 2 2 1
2 2
20lg T 1
G tan1 T
当 当
T 1,
L 0
T 1,
L 20lg T
5
返回子目录
输出
Ci B D C ( s) s j s j i 1 s si
n
拉氏反变换得 c(t )
C e
i 1 i
n
si t
( De Be
j t
jt
)
ct (t ) cs (t )
其中
Ar D (s) 2 ( s j ) s j 2 s j [ ( j ) ] Ar ( j ) 2 ( j ) Ar e 2j 2
6
同理
B
cs (t )
( j )
2
Ar e
j [ ( j ) ] 2
将B、D代入（5－5）则
( j )
2
( j ) Ar cos( t ( j ) ) 2 ( j) Ar sin(t ( j))
11
G( j ) G( j ) G( j ) j ( ) =
图5－2
RC网络的幅频特
性和相频特性
12
图5－3 RC网络 的频率特性曲线又称伯德（Bode)图，包 括对数幅频和对数相频两条曲线
对数幅频特性：
L( ) 20lg A( ) ~ (lg )
2 n
1.幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )
2 n 2 ( n 2 ) 2 (2 n ) 2
1
2 1 2 n n 2 2
7. 理解闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的定 性关系。
8. 理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的 概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与 比较。
4
5－ 1
频率特性
一、控制系统在正弦信号作用下的 稳态输出
输入信号： 其拉氏变换式
r (t ) Ar sin t
A R( s) 2 2 s
16
5－2 典型环节的频率特性
一、比例环节（放大环节）
G ( j ) K K e
幅频特性 相频特性 对数幅相特性
j 0
A( ) K
( ) 0
L( ) 20 lg K
17
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图5－5 比例环节的频率特性曲线
18
二、积分环节
传递函数 幅相特性
1 G (s) s
第五章
频率域方法
1
第5章
基本要求 5－1 频率特性
频域分析法
5－2 典型环节的频率特性 5－3 系统的开环频率特性 5－4 频率稳定判据 5－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 5－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
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2
基本要求
1. 正确理解频率特性的概念。
2. 熟练掌握典型环节的频率特性，熟记其幅相特性 曲线及对数频率特性曲线。
24
图5－9 惯性环节的对数频率特性曲线
25
四、振荡环节（二阶系统）
传递函数
G( s ) 2 2 s 2 n s n
2 n
2 n
频率特性 G ( j ) 2 ( j ) 2 2 n j n
2 ( n 2 ) j 2 n
26
8
二、频率特性的定义
线性定常系统，在正弦信号作用下， 输出的稳态分量与输入的复数比，称为系 统的频率特性（即为幅相频率特性，简 称复相特性）。
频率特性表达式为
(s) |s j ( j) | ( j) | e
j ( j )
9
例子
以RC网络为例
• 其传递函数
1 G(s) Ts 1
Ar (e
j [ t ( j ) ] 2
e
j [ t ( j ) ] 2
Ac sin(t )
（5－6）
7
• 式中
Ac ( j ) Ar
( j )
从式（5－6）看出，线性定常系统， 在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输 入同频率的正弦信号。
对数相频特性:
( ) ~ (lg )
14
图5－4 对数坐标刻度图
15
注意
–纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的； 横坐标按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的 值，是不均匀的。 ——这种坐标系称为半对数坐标系。 –在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为十 倍频程(dec)，如1-10，5-50，而轴上所有十倍频 程的长度都是相等的。 –为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率的概念， 即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量。
G( j ) G( s) s j 1 Tj 1
频率特性
G ( j ) G ( s) s j 1 Tj 1
1 (T ) 1
2
e
j tan1 (T )
10
三、频率特性的几种表示方法
1、幅频特性、相频特性、幅相特性
A( )e ， :0 A( ) ~ 为系统的幅频特性。 ( ) ~ 为系统的相频特性。
3. 熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对 数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。
4. 熟练掌握由具有最小相位性质的系统开环对数幅 频特性曲线求开环传递函数的方法。
3
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5. 熟练掌握乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据及其 它们的应用。
6. 熟练掌握稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。
1 G ( j ) e
j
2
相频特性是一常值
2
19
图5－6 积分环节的幅频、相频、幅相特性曲线
20
对数频率特性
图5－7
21
三、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
1 G(s) Ts 1
1 1 j tan1 T G( j ) e Tj 1 (T )2 1