如何进行多项式除以多项式的运算

如何进行多项式除以多项式的运算

多项式除以多项式，一般可用竖式计算，方法与算术中的多位数除法相似,现举例说明如下：

例1 计算)4()209(2

+÷++x x x

规范解法

∴ .5)4()209(2+=+÷++x x x x

解法步骤说明：

（1）先把被除式2092++x x 与除式4+x 分别按字母的降幂排列好．

（2)将被除式2092++x x 的第一项2x 除以除式4+x 的第一项x ，得x x x =÷2，这就是商的第一项．

(3）以商的第一项x 与除式4+x 相乘,得x x 42+，写在2092++x x 的下面。 (４）从2092++x x 减去x x 42+,得差205+x ,写在下面，就是被除式去掉x x 42

+后的一部分。

（5）再用205+x 的第一项x 5除以除式的第一项x ，得55=÷x x ，这是商的第二项，写在第一项x 的后面,写成代数和的形式.

（6)以商式的第二项5与除式4+x 相乘,得205+x ，写在上述的差205+x 的下面．

（7）相减得差0,表示恰好能除尽．

（８）写出运算结果，.5)4()209(2+=+÷++x x x x

例2 计算)52()320796(2245--÷+-+-x x x x x x 。

规范解法

∴ )52()320796(2

245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x ．

注 ①遇到被除式或除式中缺项，用0补位或空出;②余式的次数应低于除式的次数。 另外,以上两例还可用分离系数法求解．如例2．

∴ )52()320796(2

245--÷+-+-x x x x x x 163323-+-=x x x ……………………………余29-x 。

8.什么是综合除法?

由前面的问题4我们知道两个多项式相除可以用竖式进行，但当除式为一次式,而且它的首项系数为１时，情况比较特殊.

如：计算)3()432(3

-÷-+x x x ．

因为除法只对系数进行,和x 无关，于是算式（１）就可以简化成算式（２）．

还可以再简化．方框中的数2、6、21和余式首项系数重复,可以不写．再注意到，因除式的首项系数是1，所以余式的首项系数6、21与商式的系数重复,也可以省略．如果再把代数和中的“+”号省略，除式的首项系数也省略，算式（2)就简化成了算式（3０的形式:

将算式(3)改写成比较好看的形式得算式（4)，再将算式(4）中的除数－3换成它的相反数3，减法就化为了加法，于是得到算式（5)．其中最下面一行前三个数是商式的系数，末尾一个数是余数．

多项式相除的这种算法,叫做综合除法，它适合于除式为一次式，而且一次项系数为1.

例1 用综合除法求123332

34+-+-x x x x 除以1-x 的商式和余式．

规范解法

∴ 商式2223-+-=x x x ，余式＝10. 例2 用综合除法证明9101522

35-+-x x x 能被3+x 整除．

规范证法 这里)3(3--=+x x ，所以综合除法中的除数应是-３．(注意被除式按降幂排列,缺项补０．)

因余数是0,所以910152235-+-x x x 能被3+x 整除。

当除式为一次式,而一次项系数不是1时，需要把它变成1以后才能用综合除法．. 例3 求723-+x x 除以12+x 的商式和余数．

规范解法 把12+x 除以２，化为21+x ，用综合除法．

但是，商式2

322+-≠x x ，这是因为除式除以2,被除式没变,商式扩大了2倍,应当除以2才是所求的商式；余数没有变．

∴ 商式43212+-=x x ,余数4

37-=. 为什么余数不变呢?我们用下面的方法验证一下． 用723-+x x 除以21+x ，得商式2322+-x x ,余数为4

37-，即 ∴ 437232213223-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=-+x x x x x

()4

374321122-⎪⎭⎫ ⎝⎛

+-+=x x x ． 即 323-+x x 除以12+x 的商式43212+-

=x x ，余数仍为4

37-.