2018年江苏省南京市六合区中考数学二模试卷及答案详解

2018年江苏省南京市六合区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）计算4+6÷（﹣2）的结果是（）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
2．（2分）每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（）
A．1.05×105B．1.05×10﹣5C．0.105×10﹣5D．10.5×10﹣4 3．（2分）计算a5•（﹣）2的结果是（）
A．﹣a3B．a3C．a7D．a10
4．（2分）无理数介于整数（）
A．4与5之间B．3与4之间C．2与3之间D．1与2之间5．（2分）二次函数y＝x2+2x﹣m2+1的图象与直线y＝1的公共点个数是（）A．0B．1C．2D．1或2
6．（2分）在如图直角坐标系内，四边形AOBC是边长为2的菱形，E为边OB的中点，连结AE与对角线OC交于点D，且∠BCO＝∠EAO，则点D坐标为（）
A．（，）B．（1，）C．（，）D．（1，）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）﹣2的绝对值是，﹣2的相反数是．
8．（2分）若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是．
9．（2分）分解因式3a2﹣3的结果是．
10．（2分）计算：﹣×＝．
11．（2分）直线y＝x与双曲线y＝在第一象限的交点为（a，1），则k＝．12．（2分）已知方程x2﹣mx﹣3m＝0的两根是x1、x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝．13．（2分）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到，则旋转中心应该是点．
14．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2，以点A为圆心，AD 为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F，则的长为．
15．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，则∠BAD＝度．
16．（2分）如图，一个八边形的八个内角都是135°，连续六条边长依次为6，3，6，4，4，3（如图所示），则这个八边形的周长为．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程组．
18．（7分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝．
19．（8分）为了传承优秀传统文化，市里组织了一次“汉字听写”大赛，我区有1200名初三学生参加区级初赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表：
成绩（分）363738394041424344454647484950人数123367581591112864成绩频数分布表
成绩分组频数频率
35≤x＜3830.03
38≤x＜41a0.12
41≤x＜44200.20
44≤x＜47350.35
47≤x≤5030b
请根据所提供的信息解答下列问题：
（1）样本的中位数是分；
（2）若按成绩分组情况绘制成扇形统计图，则表示47≤x≤50这组的扇形圆心角为°；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）请根据抽样统计结果，估计我区初赛中成绩不低于41分的学生有多少人？
20．（7分）如图，在▱ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF．
（1）求证：△CEB≌△DEF；
（2）若AB＝BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．
21．（8分）有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．
（1）随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是；
（2）随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率．
22．（8分）某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．
（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出件；
（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？
23．（8分）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），操控无人机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）无人机的速度为米/分；
（2）求线段BC所表示的y与x之间函数表达式；
（3）无人机在50米上空持续飞行时间为分．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以边BC为直径作⊙O，交AB于D，DE是⊙O的切线，过点B作DE的垂线，垂足为E．
（1）求证：∠ABC＝∠ABE；
（2）求DE的长．
25．（8分）如图，坡度为1：2的斜坡AP的坡顶有一铁塔BC，在坡底P处测得塔顶B的仰角为53°，在沿斜坡前进5米至A处，测得塔顶B的仰角为63°，已知A、C在同一水平面上．求铁塔BC的高度．
（参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
26．（9分）定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．
（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x ≤3时，y2的最小值．
27．（11分）【重温旧知】圆内接四边形的内角具有特殊的性质．
如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若AB＝BD，∠ABD＝50°，则∠BCD ＝°．
【提出问题】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图2，某数学兴趣小组进行深入研究发现：AB•CD+BC•DA＝AC•BD，请按他们的思路继续完成证明．
证明：如图3，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵∠BAE＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝即AB•CD＝AC•BE
【应用迁移】如图4，已知等边△ABC外接圆⊙O，点P为上一点，且PB＝，PC ＝1，求P A的长．
【解决问题】如图5，已知△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现要在△ABC 内找一点P，使点P到A、B、C的距离之和最小，请在图中作出点P．（尺规作图，保留
作图痕迹）
2018年江苏省南京市六合区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）计算4+6÷（﹣2）的结果是（）
A．﹣5B．﹣1C．1D．5
【分析】先计算除法，再计算加法即可得．
【解答】解：4+6÷（﹣2）
＝4+（﹣3）
＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的除法和加法法则．2．（2分）每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（）
A．1.05×105B．1.05×10﹣5C．0.105×10﹣5D．10.5×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000105＝1.05×10﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（2分）计算a5•（﹣）2的结果是（）
A．﹣a3B．a3C．a7D．a10
【分析】首先计算分式的乘方，然后再相乘即可．
【解答】解：原式＝a5•＝a3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘、除、乘方混合运算．运算
顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，即“先乘方，再乘除”．4．（2分）无理数介于整数（）
A．4与5之间B．3与4之间C．2与3之间D．1与2之间
【分析】利用平方根定义估算确定出所求即可．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
5．（2分）二次函数y＝x2+2x﹣m2+1的图象与直线y＝1的公共点个数是（）A．0B．1C．2D．1或2
【分析】根据题意，令x2+2x﹣m2+1＝1，计算下这个方程中△的正负即可解答本题．【解答】解：令x2+2x﹣m2+1＝1，
则x2+2x﹣m2＝0，
∴△＝22﹣4×1×（﹣m2）＝4+4m2＞0，
∴方程x2+2x﹣m2+1＝1有两个不相等的实数根，
∴二次函数y＝x2+2x﹣m2+1的图象与直线y＝1的公共点个数是2个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（2分）在如图直角坐标系内，四边形AOBC是边长为2的菱形，E为边OB的中点，连结AE与对角线OC交于点D，且∠BCO＝∠EAO，则点D坐标为（）
A．（，）B．（1，）C．（，）D．（1，）
【分析】如图，作DH⊥OA于H，利用全等三角形的性质，证明∠AEO＝∠DHO＝90°，由OA＝2OE，推出∠DAO＝∠DOH＝30°，即可解决问题；
【解答】解：如图，作DH⊥OA于H．
∵四边形OACB是菱形，
∴OB＝OA＝2，BC∥OA，
∴∠BCO＝∠COA＝∠OAE，
∴OD＝DA，
∴OH＝AH，
∵OE＝EB，
∴OE＝OH，
∵∠DOE＝∠DOH，OD＝OD，
∴△ODE≌△ODH，
∴∠OED＝90°，
∵OA＝2OE，
∴∠EAO＝∠DOH＝30°，
在Rt△ODH中，OH＝1，∠DOH＝30°，
∴DH＝OH•tan30°＝，
∴D（1，），
故选：D．
【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定，直角三角形30度角的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）﹣2的绝对值是2，﹣2的相反数是2．
【分析】根据相反数和绝对值的定义求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是2，绝对值是2．
故答案为2，2．
【点评】考查了绝对值和相反数．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
相反数规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
8．（2分）若式子1+在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≠﹣2．【分析】分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．
【解答】解：若式子1+在实数范围内有意义，则x+2≠0，即x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2．
【点评】本题主要考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．9．（2分）分解因式3a2﹣3的结果是3（a﹣1）（a+1）．
【分析】首先提取公因式3，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：3a2﹣3＝3（a2﹣1）
＝3（a+1）（a﹣1）．
故答案为：3（a+1）（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
10．（2分）计算：﹣×＝．
【分析】先把化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则运算，然后合并即可．【解答】解：原式＝2﹣
＝2﹣
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
11．（2分）直线y＝x与双曲线y＝在第一象限的交点为（a，1），则k＝2．
【分析】先把（a，1）代入y＝x中求出a得到交点坐标，然后把交点坐标代入y＝中可求出k的值．
【解答】解：把（a，1）代入y＝x得a＝1，解得a＝2，
把（2，1）代入y＝得a＝2×1＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
12．（2分）已知方程x2﹣mx﹣3m＝0的两根是x1、x2，若x1+x2＝1，则x1x2＝﹣3．【分析】根据根与系数的关系结合x1+x2＝1，可求出m的值，再将其代入x1x2＝﹣3m中即可求出结论．
【解答】解：∵方程x2﹣mx﹣3m＝0的两根是x1、x2，
∴x1+x2＝m，x1x2＝﹣3m，
又∵x1+x2＝1，
∴m＝1，
∴x1x2＝﹣3m＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
13．（2分）如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕图中某点顺时针旋转90°得到，则旋转中心应该是M点．
【分析】根据以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°解答即可．
【解答】解：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH．
故答案为：M
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等；
对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的性质．
14．（2分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，AB＝2，以点A为圆心，AD 为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F，则的长为．
【分析】连接AE，根据圆的切线的性质可得AE⊥BC，解Rt△AEB可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用弧长公式就可求出的长度．
【解答】解：连接AE，如图，
∵AD为半径的圆与BC相切于点E，
∴AE⊥BC，AE＝AD＝2．
在Rt△AEB中，
sin∠ABE＝＝＝，
∴∠ABE＝45°．
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABE＝180°，
∴∠DAB＝135°，
∴的长度为＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质、平行线的性质和等腰直角三角形的判定、特殊三角函数值，熟练掌握圆的切线垂直于过切点的半径和同圆的半径相等是关键．
15．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，OD⊥AB于点E，
交⊙O于点D，则∠BAD＝15度．
【分析】根据平行四边形的性质和OC＝OA得出OA＝AB，根据垂径定理求出OA＝2AE，求出∠AOD度数，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，OC＝OA，
∴OA＝AB，
∵OD⊥AB，OD过O，
∴AE＝BE，＝，
即OA＝2AE，
∴∠AOD＝30°，
∴和的度数是30°
∴∠BAD＝15°，
故答案为：15．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定义、平行四边形的性质和判定，能求出∠AOD ＝30°是解此题的关键．
16．（2分）如图，一个八边形的八个内角都是135°，连续六条边长依次为6，3，6，4，4，3（如图所示），则这个八边形的周长为38﹣2．
【分析】双向延长AB、CD、EF、GH得四边形MNPQ，根据八边形的八个内角都是135°，可得出其外角的度数，由此得出四边形MNPQ是长方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH 都是等腰直角三角形．设GH＝x，HA＝y，根据MQ＝NP可得出y的值，同理得出x的
值，进而可得出结论．
【解答】解：如图，双向延长AB、CD、EF、GH得四边形MNPQ，
∵一个八边形的八个内角都是135°，
∴每一个外角等于45°，
∴四边形MNPQ是长方形，BPC、△DQE、△FMG、△ANH都是等腰直角三角形．设GH＝x，HA＝y，
∵MQ＝NP，
∴MF+EF+EQ＝NA+AB+BP，即+4+2＝y+6+，解得y＝4﹣2．同理可得x＝8，
∴该八边形的周长＝6+3+6+4+4+3+8+4﹣2＝38﹣2．
故答案为：38﹣2．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程组．
【分析】根据用加减法解方程组即可．
【解答】解：
①•+‚②×2得：7x＝14
得：x＝2
把x＝2代入①•得：y＝﹣1
∴方程组的解为：．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟记用加减法解方程组的步骤．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟记各种解方程组的方法及解题步骤．18．（7分）先化简，再求值：÷（x﹣），其中x＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
当x＝时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
19．（8分）为了传承优秀传统文化，市里组织了一次“汉字听写”大赛，我区有1200名初三学生参加区级初赛，为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了100名学生的成绩（满分50分），整理得到如下的统计图表：
成绩（分）363738394041424344454647484950人数123367581591112864成绩频数分布表
成绩分组频数频率
35≤x＜3830.03
38≤x＜41a0.12
41≤x＜44200.20
44≤x＜47350.35
47≤x≤5030b
请根据所提供的信息解答下列问题：
（1）样本的中位数是44.5分；
（2）若按成绩分组情况绘制成扇形统计图，则表示47≤x≤50这组的扇形圆心角为108°；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）请根据抽样统计结果，估计我区初赛中成绩不低于41分的学生有多少人？
【分析】（1）根据题意可知中位数是第50个数和51个数的平均数，本题得以解决；（2）用360°乘以47≤x≤50这组人数所占比例可得；
（3）根据表格和随机抽取了100名学生的成绩，可以求得a的值，据此将频数分布直方图补充完整；
（4）根据表格中的数据可以求得该次大赛中成绩不低于41分的学生人数．
【解答】解：（1）∵随机抽取了100名学生的成绩，
∴中位数为：＝44.5，
故答案为：44.5；
（2）表示47≤x≤50这组的扇形圆心角为360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）由表格可得，a＝100×0.12＝12，
补全的频数分布直方图如图所示，
（4）由题意可得，1200×（0.20+0.35+0.30）＝1020（人），
即该次大赛中成绩不低于41分的学生有1020人．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．20．（7分）如图，在▱ABCD中，点E是边CD的中点，连接BE并延长，交AD延长线于点F，连接BD、CF．
（1）求证：△CEB≌△DEF；
（2）若AB＝BF，试判断四边形BCFD的形状，并证明．
【分析】（1）根据AAS或ASA即可证明；
（2）首先证明四边形BCFD是平行四边形，再证明CD＝BF即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AF∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF，∠FDC＝∠DCB，
∵点E是CD的中点，
∴BE＝EF，
∴△CEB≌△DEF．
（2）解：结论：四边形BCFD是矩形，
理由：∵△CEB≌△DEF，
∴CE＝DE，
∵BE＝EF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝BF，
∴BF＝CD，
∴▱BCFD为矩形．
【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（8分）有甲、乙两把不同的锁和A、B、C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．
（1）随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是；
（2）随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求出答案；
（2）首先根据题意画树状图，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）因为三把钥匙中只有1把能打开甲锁，
所以随机取出一把钥匙开甲锁，恰好能打开的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
可能出现的结果有6种，并且它们出现的可能性相等，其中恰好能都打开的只有2种，所以恰好打开这两把锁的概率是．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．
（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出450件；
（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？
【分析】（1）直接利用每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件，进而得出当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出的件数；
（2）利用销量×每件利润＝800，进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件，
∴当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出：500﹣10×＝450（件）；
故答案为：450；
（2）设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得
（x﹣2）（500﹣×10）＝800．
整理得：x2﹣10x+24＝0．
解之得：x1＝4，x2＝6．
∵物价局规定，售价不能超过批发价的2.5倍．即2.5×2＝5＜6
∴x2＝6不合题意，舍去，得x＝4．
答：应定价4元/个，才可获得800元的利润．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．23．（8分）某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），操控无人机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）无人机的速度为20米/分；
（2）求线段BC所表示的y与x之间函数表达式；
（3）无人机在50米上空持续飞行时间为4分．
【分析】（1）观察线段DE，根据速度＝路程÷时间，即可求出无人机的速度；
（2）由点B的坐标结合无人机的速度即可求出点C的坐标，根据点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出线段BC所表示的y与x之间函数表达式；
（3）根据点D、E的坐标，利用待定系数法即可求出线段DE所表示的y与x之间函数表达式，将y＝50分别代入线段BC、DE的函数表达式中求出x值，二者做差后即可得出无人机在50米上空持续飞行时间．
【解答】解：（1）60÷（12﹣9）＝20（米/分）．
故答案为：20．
（2）（60﹣40）÷20＝1（分钟），
∴点C的坐标为（5+1，60），即（6，60）．
设线段BC的表达式y＝kx+b（k≠0），
将B（5，40）、C（6，60）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴线段BC的表达式为：y＝20x﹣60（5≤x≤6）．
（3）设线段DE的表达式为y＝mx+n（m≠0），
将D（9，60）、E（12，0）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴线段DE的表达式为y＝﹣20x+240（9≤x≤12）．
当y＝50时，有20x﹣60＝50或﹣20x+240＝50，
解得：x＝或x＝，
∴﹣＝4（分钟）．
故答案为：4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，
解题的关键是：（1）根据速度＝路程÷时间，求出无人机的速度；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（3）利用一次函数图象上点的坐标特征分别求出无人机刚好在50米高度时的时间．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以边BC为直径作⊙O，交AB于D，DE是⊙O的切线，过点B作DE的垂线，垂足为E．
（1）求证：∠ABC＝∠ABE；
（2）求DE的长．
【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DE，证明OD∥BE，根据平行线的性质证明；
（2）连接CD，根据勾股定理求出AB，证明△BDC∽△BCA，求出BD，证明△DEB∽△ACB，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线；
∴OD⊥DE，
∵BE⊥DE，
∴OD∥BE，
∴∠EBD＝∠ODB，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∴∠ABC＝∠ABE；
（2）连接CD，
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵⊙O的半径，
∴∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△BDC∽△BCA．
∴，即，
∴BD＝，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，∠ABC＝∠ABE，
∴△DEB∽△ACB．
∴，即
∴DE＝．
【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25．（8分）如图，坡度为1：2的斜坡AP的坡顶有一铁塔BC，在坡底P处测得塔顶B的仰角为53°，在沿斜坡前进5米至A处，测得塔顶B的仰角为63°，已知A、C在同一水平面上．求铁塔BC的高度．
（参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈2，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈）
【分析】作AD⊥PQ，垂足为D，延长BC交PQ于E．设BC＝x，想办法构建方程即可解决问题；
【解答】解：作AD⊥PQ，垂足为D，延长BC交PQ于E．
在Rt△APD中AP＝5，坡度为1：2
得AD＝5，PD＝10，
在矩形ADEC中，CE＝AD＝5，AC＝DE
设BC的高度为x m
在Rt△ACB中，tan63°＝
∴AC＝x，
在Rt△ACB中，tan53°＝
∴PE＝，
∴﹣x＝10，
解得x＝25
答：铁塔BC的高度约为25米．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
26．（9分）定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．
（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是y＝（x﹣2）2+3；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x
≤3时，y2的最小值．
【分析】（1）根据“反簇二次函数”定义写出所求即可；
（2）把A坐标代入y1，求出m的值，进而表示出y1+y2，根据y1+y2与y1互为“反簇二次函数”，求出a，b，c的值，确定出y2，写出满足题意的范围即可．
【解答】解：（1）y＝（x﹣2）2+3；
故答案为：y＝（x﹣2）2+3；
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2﹣2m+m+1＝1，
解得：m＝2，
∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，
∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”，
∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣3，
∴，
解得：，
∴函数y2的表达式为：y2＝﹣4x2+10x﹣6，
当0≤x≤3时，y2的最小值为0．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数的最值，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
27．（11分）【重温旧知】圆内接四边形的内角具有特殊的性质．
如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若AB＝BD，∠ABD＝50°，则∠BCD＝115°．
【提出问题】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图2，某数学兴趣小组进行深入研究发现：AB•CD+BC•DA＝AC•BD，请按他们的思路继续完成证明．
证明：如图3，作∠BAE＝∠CAD，交BD于点E．
∵∠BAE＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝即AB•CD＝AC•BE
【应用迁移】如图4，已知等边△ABC外接圆⊙O，点P为上一点，且PB＝，PC ＝1，求P A的长．
【解决问题】如图5，已知△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现要在△ABC 内找一点P，使点P到A、B、C的距离之和最小，请在图中作出点P．（尺规作图，保留
作图痕迹）
【分析】【重温旧知】根据等腰三角形的性质，以及圆内接四边形对角互补求出所求即可；【提出问题】所得等式两边加上AD•BC，右边变形后即可得证；
【应用迁移】由上题的结论，根据三角形ABC为等边三角形，可得AB＝AC＝BC，代入化简即可求出P A的长；
【解决问题】如图，以BC为边长在△ABC的外部，作出△BCD的外接圆，连接AD，交圆于点P，点P即为所求
【解答】解：【重温旧知】（1）∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD，
∵∠ABD＝50°．
∴∠BAD＝（180°﹣∠ABD）＝65°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∵∠BAD+∠BCD＝180°
∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝115°；
故答案为：115；
【提出问题】（2）证明：如图3，
∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，
又∵∠ACB＝∠ADB，
∴△ABC∽△AED，
∴＝，即AD•BC＝AC•DE，
∴AB•CD+AD•BC＝AC•BE+AC•DE，
∴AB•CD+BC•DA＝AC•BD；
【应用迁移】由上题可知PB•AC+PC•AB＝P A•BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴（PB+PC）•BC＝P A•BC，
∴PB+PC＝P A，
则P A＝+1；
【解决问题】如图，以BC为边长在△ABC的外部作等边△BCD，作出△BCD的外接圆，连接AD，交圆于点P，点P即为所求．
理由：连接PB，PC，则由上述可知PB+PC＝PD，P A+PB+PC＝P A+PD≥AD，当A，P，D三点共线时，有最短值．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．。