九年级上册第六章反比例函数复习1

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北师大版九年级上册第六章《反比例函数的应用》复习资料：知识点+例题+课堂练习+反馈提高

反比例函数的应用一、知识要点1.进一步理解掌握反比例函数的意义及反比例函数图象和性质，能根据相关条件确定反比例函数的解析式．2.进一步理解掌握反比例函数与分式和分式方程的关系，以及与一次函数等其它知识相结合，解决与之相关的数学问题.3.熟练运用反比例函数的知识解决相关的实际问题和几何问题.二、典型例题例1.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ=m/V，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（）A.1.4kgB. 5kgC.6.4kgD.7kg某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木块，构筑成一条临时通道．木板对地面的压强p（Pa）是木板面积的s（m2）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求p与s的函数关系式和自变量的取值范围．（2）当木板面积是0.2m2时，压强是多少Pa？（3）结合图象回答：如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大?例 2 .正比例函数y ＝k 1x 的图象与反比例函数y=xk 2的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(3,23).(1)分别写出这两个函数的表达式：(2)你能求出点B 的坐标吗?你是怎样求的?与同伴进行交流如图，正比例函数y1=k1x 的图象与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标菁优网为（1，2）．（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）请你观察图象，写出y1＞y2时，x 的取值范围；（3）在y 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，请你直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．．例3. 面积一定的梯形，其上底长是下底长的21，设下底长x =10 cm 时，高y =6 cm (1)求y 与x 的函数关系式；(2)求当y =5 cm 时，下底长多少？。

北师大版数学九年级上册第六章反比例函数复习教案

突破方法：引导学生通过观察坐标点，分步骤绘制图像，并强调曲线在第二、四象限的单调递增特点。
（2）反比例函数在实际问题中的应用：学生在将反比例函数应用于实际问题中时，往往难以正确设定变量和建立模型。
突破方法：通过典型例题的讲解和练习，引导学生如何从问题中抽象出反比例关系，并建立数学模型。
（3）反比例函数与其他函数的区分：学生容易混淆反比例函数与其他函数的性质和图像。
同学们，今天我们将要复习的是《反比例函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过路程不变，速度与时间成反比的情况？”（如：固定距离，速度越快，所需时间越短）这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索反比例函数的奥秘。
另外，学生在将反比例函数应用于实际问题中时，有时会感到困惑，不知道如何从问题中抽象出反比例关系。针对这个问题，我计划在接下来的教学中，设计更多具有实际背景的问题，引导学生逐步学会如何从问题中提炼出反比例函数模型，提高他们解决实际问题的能力。
在小组讨论环节，我发现学生们积极参与，讨论氛围浓厚，但部分小组在分享成果时，表达不够清晰。为了提高学生的表达能力，我打算在今后的教学中，多给予他们展示和表达的机会，并适时给予指导和鼓励，帮助他们更好地展示比例函数复习教案
一、教学内容
本节课为北师大版数学九年级上册第六章“反比例函数”的复习教案。教学内容主要包括以下几部分：
1.反比例函数的定义与性质：回顾反比例函数的定义，即y=k/x（k为常数，k≠0），以及其性质，如图像关于原点对称、在每个象限内的符号等。
2.反比例函数的图像：复习反比例函数图像的特点，如曲线在第一、三象限单调递减，在第二、四象限单调递增，以及图像与坐标轴无交点等。

北师大版九年级上册第六章《反比例函数》复习资料：知识点+例题

反比例函数一、知识要点反比例函数一般形式：)0(≠=k xky 或1-=kx y k 的符号k>0 k<0图象yO xyO x性质①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

①x 的取值范围是x ≠0， y 的取值范围是y ≠0；②当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。

在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

2、反比例函数解析式的确定3、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P （x,y ）作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，垂足分别是M 、N ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=_______；△POM 或△PON 的面积S=______.二、典型例题例1. 已知y 与x 成反比例关系，x=1时y=2，求该反比例函数解析式。

已知与成反比例，与成正比例，并且当=3时，=5，当=1时，=-1；求与之间的函数关系式.121,y y y y -=x 2y )2(-x x y x y y x例2．如图已知一次函数8+-=xy和反比例函数xky=图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．（1）求实数的取值范围；（2）若ΔAOB的面积S＝24，求k的值．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线xky=与直线)1(+--=kxy在第二象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=23（1）求这两个函数的解析式（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

例3.反比例函数与一次函数的图象有一个交点是（-2，1），求它们的另一个交点的坐标。

xky=mkxy+=。

北师大版九年级数学上册第六章反比例函数(复习小结)

x
a
1 b
的值为______．
【答案】
6 5
【分析】把图象的交点（a，b）分别代入反比例函数 y 5 与一次函数 y x 6，得到a 和b 的两个关 x
系式，就可以求出答案．
【详解】解：把（a，b）分别代入反比例函数 y 5 与一次函数 y x 6，得 x
，，Байду номын сангаасab 5 a b 6
∵四边形 ABCD， ∴ ， DAB 90 ∵ ，， DAF FDA 90 DAF OAB 90 ∴ ， FDA OAB 又∵ DFA BOA 90 ∴△ABO∽△DAF， ∴ ， AO AB OB
DF AD AF
设 D(x，y)，
即45 3 x y y4
解得：x=8，y=10，
将点 Am,n 代入反比例函数 y a 得： a mn 2， x
故选：C．
6．如图，A
是反比例函数 y
4 x＞0的图像上任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 y 6 的图像于点
x
x
B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则平行四边形 ABCD 的面
积为（）
y
BD A
C
Ox
(2) 求一次函数解析式及 m 的值；
解：把A(－4，1 )，B(－1，2)代入 y = kx + b中
2
，得－4k + b = 1 ，
k= 1 ，
2 －k + b =2，
解得
2
b= 5，
2
所以一次函数的解析式为 y = 1 x + 5 . 22
把 B (－1，2)代入y m x
原点
【答案】B

北师大版九年级上册第六章《反比例函数》综合单元复习讲义

教学过程前课回顾1、一般地，形如 y = xk ( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。

注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y = xk （k ≠ 0），（B ）xy = k （k ≠ 0）（C ）y=kx -1（k ≠0） 1、形状：图象是双曲线。

2、位置：（1）当k>0时,双曲线分别位于第________象限内；（2）当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。

3、增减性：（1）当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________；（2）当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。

4、变化趋势：双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性：（1）对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点____________；（2）对于k 取互为相反数的两个反比例函数（如：y = x 6 和y = x6 ）来说，它们是关于x 轴，y 轴___________。

6、(1) 点 M(x,y) 是双曲线上任意一点,则矩形OPMQ 的面积是M P *M Q = ︳x ︱︳y ︱= ︳xy ︱(2) M P= ︳x ︱, O P=︳y ︱；S △MPO =21MP* OP=21︳x ︱︳y ︱ =21︳xy ︱错题重现1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝4x(x >0)的图象与一次函数y ＝kx －k 的图象的交点为A (m ，2)． (1)求一次函数的表达式；(2)设一次函数y ＝kx －k 的图象与y 轴交于点B ，与x 轴交点为C ，若点P 是x 轴上一点，且满足△P AB 的面积是4，直接写出P 点的坐标．知识详解1．图象和性质（1）已知函数是反比例函数，①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m的图象经过（）．A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）．A．B．C．D．2．函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（）．A．正数B．负数C．非正数D．非负数（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（）．A．＜＜B．＜＜C．＜＜D．＜＜（3）下列四个函数中：①；②；③；④．y随x的增大而减小的函数有（）．A．0个B．1个C．2个D．3个（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．3．解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．不能确定（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．4．面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（）．A．B．C．D．第（1）题图第（2）题图（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（）．A．S=1 B．1＜S＜2C．S=2 D．S＞2（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．第（3）题图第（4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x 轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．第（5）题图第（6）题图（6）如图在Rt△ABO中，顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且S△ABO=．①求这两个函数的解析式；②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积．（7）如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P （m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上任意一点，过P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S．①求B点坐标和k的值；②当时，求点P的坐标；③写出S关于m的函数关系式．随堂检测1．如果x 、y 之间的关系是10(0)ax y a -+=≠，那么y 是x 的（）A ．正比例函数B ．反比例函数C ．一次函数D ．二次函数2、已知点(1，a )在反比例函数y =x k (k ≠0)的图象上，其中a =m 2+2(m 为实数)，则这个函数的图象在第_________象限.（）A.一B.二C.一、三D.二、四 3、反比例函数422)1(---=m m x m y ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，则m 的值是（）A.1-B.3 C . 1-或3 D. 24、在双曲线xy 2-=上的点是（） A. (34-，23-) B. (34-，23) C. (1，2) D. (21，1） 5、已知关于x 的函数y ＝k （x +1）和y ＝－k x（k ≠0）它们在同一坐标系中的大致图象是（• ）6．已知反比例函数y ＝xk 的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（） A ．第一、二象限 B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限7．已知：反比例函数xm y 21-=的图象上两点A （x 1，y 1），B （x 2， y 2）当x 1＜0＜x 2时， y 1＜y 2，则m 的取值范围（）A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜21 D ．m ＞21 8、在同一直角坐标平面内，如果直线1y x k =与双曲线2k y x =没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（）(A) 1k 、2k 异号(B) 1k 、2k 同号 (C) 1k >0， 2k <0 (D) 1k <0， 2k >09.如图，过反比例函数y =x2 (x ＞0)图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（）A.S 1＞S 2B.S 1＜S 2C.S 1=S 2D.S 1、S 2的大小关系不能确定10．反比例函数xm y 21-=（m 为常数）当0<x 时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（） A 、0<m B 、21<m C 、21>m D 、21≥m作业设计反比例函数分层教学反思。

上册第六章第6课反比例函数单元复习-北师大版九年级数学全一册课件

（x>0）的图象经过点A，动直线x=t（0<t<8）与
反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N.
角三角形边的关系中，正确的是（ x<-1或0<x<1
第6课反比例函数单元复习
B
）
如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（）
A. 两条直角边成正比例图象位于第一、三象限
如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，正确的是（）（2）设直线AC的表达式为y＝kx+b，
xy=1 750
B.
∴MN＝2-（-1）＝3，∴S ＝ ×3×8＝12. 如图，点C在反比例函数y=
解：（1）∵反比例函数y＝
的图象上，过点C作CD⊥y轴，交y轴负半轴于点D，且△ODC的面积是3.
x<-1或0<x<1
C. 一条直角边与斜边成正比例如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=mx与双曲线y=
把C （1，-6）代入y＝mx，得-6＝m. x＜-1或0＜x＜3
相交于A（-1，a），B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.
∴直线OC的表达式为y＝-6x．
D. 一条直角边与斜边成反比例第六章反比例函数
而增大，则k的值可以是（ A ）
A. 2
B. 0
C. -2
D. 1
4. 对于反比例函数y= （k<0），下列说法正确的是（C） A. 图象经过点（1，-k） B. 图象位于第一、三象限 C. 图象是中心对称图形 D. 当x<0时，y随x的增大而减小
5. 如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，-3），反比例函数y=

北师大版数学九年级上册课件：第6章第5课时《反比例函数》单元复习

【例2】如图，A(－4,2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝mx 的图象的两个交点． (1)求m，n的值； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围； (4)求△AOB的面积．
解：(1)把(－4,2)代入y＝mx ，得2＝－m4，则m＝－8. 则反比例函数的解析式是y＝－8x. 把(n，－4)代入y＝－8x，得n＝－－84＝2.
(3)∵m＝2，∴C(4,3)，D(6,2)．设经过点C，D的一次函数的解析式为y＝ax＋b，则
4a＋b＝3 6a＋b＝2
，解得a＝－12 b＝5
.
∴经过C，D两点的一次函数的解析式为y＝－x＋5.
巩固训练
3．(2018柳州)已知反比例函数的解析式为y＝
|a|－2 x
，则a的
取值范围是( C )
(1)求y与x的函数解析式，并求小王家购买的学区房的总价是多少万元；
(2)若计划80个月还清贷款，则每月应还款 0．4 万元．
解：(1)设y与x的函数解析式为y＝xk，把P(160,0.2)代入得0.2 ＝1k60，∴k＝32，∴y与x的函数解析式为y＝3x2，∴小王家购买的学区房的总价是15＋xy＝15＋32＝47(万元).
＝4，函数y1＝kx1(x＞0)的图象经过点A．
(1)直接写出k1的值； (2)设过点C的双曲线的解析式为y2＝kx2，若四边形ACEO是菱形，求k2的值．
解：(1)k1＝12. (2)∵Rt△ABO沿x轴负半轴平移得到△CDE， ∴CD＝AB＝4，AC＝BD，∠CDE＝∠ABO＝90°. 在Rt△ABO中，OA＝ OB2＋AB2＝ 32＋42＝5.
2.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边 AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过AO上的点C，且OOCA＝23，与AB相交于点D，OB＝6，AD＝ 5 2.

九年级数学上册-第六章反比例函数复习课件1-北师大版

当k1k2>0时，正比例函数与反比例函数相交，有两个交点，关于原点对称。当k1k2<0时，正比例函数与反比例函数不相交。
填表分析正比例函数和反比例函数的异同
函数解析式
图象形状
正比例函数 y=kx （ k≠0 ）
直线
反比例函数
y
=
k x
（ k≠0 ）
双曲线
K>0 K<0
位
置
经过一三象限
②反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点。 ③在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|k|。
1.已知点A（-2，y1），B（-1，y2）都在反比例函数 y 的4x 图象上，则y1、y2与
• 它们与坐标轴围成的直角三角形面积等于k 。
2
理一理
函数表达式
图象及象限
正比例函数
反比例函数
y=k1x（k≠0）（特殊的一次函数）y
k2 x
或y
k2x1或x y
k2( k2
0)
y
y
y
y
ox K1＞0
ox k1＜0
0x K2＞0
0x K2＜0
性质
当k1＞0时，y随x的增大而增大；在每一个象限内；当k1＜0时，y随x的增大而减小。当当kk22＞＜00时时，，yy随随xx的的增增大大而而减增小大；。
右用光滑曲线顺次连结，切忌用折
线。③两个分支合起来才是反比
例函数图象。
描点法
列表
描点
连线
强调：

北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数知识点解析含习题练习

第01讲_反比例函数图象和性质知识图谱反比例函数的概念知识精讲一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三点剖析一．反比例函数反比例函数的概念：形如函数kyx=(k为常数，0k≠)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．二．成反比例关系两个相关联的变量，一个量随着另一个量的增加而减少或一个量随着另一个量的减少而增加，且它们的乘积相同，那么这两个量就成反比例关系．三．易错点1.注意自变量的取值范围2.注意区分反比例函数与成反比例关系北师大版本数学九年级上册第六章反比例函数反比例函数例题1、下列函数中，能表示y 是x 的反比例函数的是（）A.y=12x B.y=11x - C.y=2xD.【答案】A【解析】根据反比例函数的定义判断即可．y=12x 表示y 是x 的反比例函数，A 正确；y=11x -不能表示y 是x 的反比例函数，C 错误；y=2x 是正比例函数，C 错误；不能表示y 是x 的反比例函数，D 错误，故选：A ．例题2、若2(1)zay a x -=+是反比例函数，则a 的取值为（）A.1B.﹣1C.±lD.任意实数【答案】A【解析】∵此函数是反比例函数，∴21021a a +≠⎧⎨-=-⎩，解得a=1．随练1、已知函数y 与1x +成反比例，且当2x =-时，3y =-．（1）求y 与x 的函数关系式；（2）当12x =时，求y 的值．【答案】（1）31y x =+（2）2【解析】该题考查的是反比例函数．（1）设1k y x =+，把()2,3--代入得，3k =，∴31y x =+．（2）把12x =，代入解析式得：2y =．随练2、下面的函数是反比例函数的是（）A.31y x =+B.22y x x=+ C.2xy = D.2y x=【答案】D 【解析】该题考查的是反比例函数定义．反比例函数形如()0ky k x=≠，本题中，A 为一次函数；B 为二次函数；C 为一次函数；D 为反比例函数，故本题选D ．随练3、若函数11m y x -=(m 是常数)是反比例函数，则m =____________，解析式为_____________．【答案】2；1y x=【解析】由反比例函数的定义可知11m -=，所以2m =，1y x=．随练4、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】wy x=；反比例【解析】由题意可得wy x=，是反比例函数．成反比例关系例题1、已知y 与x 成反比例，当3x =时，4y =，那么3y =时，x 的值等于（）A.4B.4- C.3D.3-【答案】A【解析】因为y 与x 成反比例，所以可设k y x =（0k ≠），因为当3x =时，4y =，所以43k =，即12k =，所以12y x =，当3y =时，4x =，故答案为A 选项．例题2、下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）A.小明完成100m 赛跑时，时间t （s ）与他跑步的平均速度v （m ／s ）之间的关系B.菱形的面积为48cm 2，它的两条对角线的长为y （cm ）与x （cm ）的关系C.一个玻璃容器的体积为30L 时，所盛液体的质量m 与所盛液体的密度ρ之间的关系D.压力为600N 时，压强P 与受力面积S 之间的关系【答案】C【解析】暂无解析反比例函数的图象和性质知识精讲一．反比例函数的图像和性质反比例函数的图像：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数k y x =与ky x=-(0k ≠)的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．反比例函数的性质：反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象是双曲线；当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．反比例函数的对称性：反比例函数关于坐标原点中心对称，关于y x =±这两条直线轴对称．二．反比例函数k 的几何意义反比例函数k y x =(k 为常数，0k ≠)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线ky x=上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为k ．三点剖析一．考点：反比例函数的图像和性质，反比例函数k 的几何意义．二．重难点：反比例函数k 的几何意义．三．易错点：1．k 的几何意义求出面积时注意k 的正负；2．反比例函数图像隐藏的对称性．反比例函数的图象和性质例题1、关于反比例函数y=﹣2x，下列说法正确的是（）A.图象过（1，2）点B.图象在第一、三象限C.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小D.当x ＜0时，y 随x 的增大而增大【答案】D【解析】∵k=﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大，图象是轴对称图象，故A 、B 、C 错误．例题2、己知k ＞0，则函数y ＝kx ，ky x=-的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】暂无解析例题3、已知（﹣1，y 1）（﹣2，y 2）（12，y 3）都在反比例函数y=﹣2x的图像上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是_________．【答案】y 3＜y 2＜y 1【解析】∵反比例函数y=﹣2x中，k=﹣2＜0，∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y 随x 的增大而增大．∵﹣2＜﹣1＜0，12＞0，∴点A （﹣2，y 2），B （﹣1，y 1）在第二象限，点C （12，y 3）在第四象限，∴y 3＜y 2＜y 1．例题4、点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在反比例函数y=kx（k ＞0）的图象上，若y 1＜y 2，则a 的范围是____________．【答案】﹣1＜a ＜1【解析】∵k ＞0，∴在图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，①当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的同一支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＞a+1，解得：无解；②当点（a ﹣1，y 1）、（a+1，y 2）在图象的两支上，∵y 1＜y 2，∴a ﹣1＜0，a+1＞0，解得：﹣1＜a ＜1．随练1、对于反比例函数y=kx（k≠0），下列说法正确的是（）A.当k＞0时，y随x增大而增大B.当k＜0时，y随x增大而减小C.当k＞0时，该函数图象在二、四象限D.若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上【答案】D【解析】A、当k＞0时，在每个单调区间内，y随x增大而减小，∴A不正确；B、当k＜0时，在每个单调区间内，y随x增大而增大，∴B不正确；C、当k＞0时，该函数图象在第一、三象限，∴C不正确；D、∵1×2=2=2×1，∴若点（1，2）在该函数图象上，则点（2，1）也必在该函数图象上，即D正确．随练2、反比例函数y=1mx-的图象如图所示，以下结论正确的是（）①常数m＜1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=12m-；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．A.①②③B.①③④C.①②③④D.①④【答案】D【解析】由图象可知，反比例函数1myx-=在一、三象限，则1﹣m＞0，得m＜1，故①正确；由图象可知，反比例函数1myx-=在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误；求不出三角形的面积，故③错误；因为反比例函数的图象关于原点对称，故若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上，故④正确；由上可得，结论正确的是①④，故选D．反比例函数k的几何意义例题1、如图，在平面直角坐标系中，点P是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的一点，分别过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．若四边形OAPB的面积为3，则k的值为（）A.3B.﹣3C.32D.﹣32【答案】A【解析】∵点P 是反比例函数y=kx（x ＞0）图象上的一点，分别过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ．若四边形OAPB 的面积为3，∴矩形OAPB 的面积S=|k|=3，解得k=±3．又∵反比例函数的图象在第一象限，∴k=3．例题2、如图，已知反比例函数ky x=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A ，过A 点作AB ⊥x 轴，垂足为B ．若△AOB的面积为1，则k ＝________．【答案】－2【解析】依据比例系数k 的几何意义可得两个三角形的面积都等于1||12k =，解得k ＝－2．例题3、如图，点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1+S 2=（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】∵点A 、B 是双曲线y=2x上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 2=2+2﹣1×2=2．随练1、如图，在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，有点P 1，P 2，P 3，P 4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3，则S 1+S 2+S 3=．【答案】．【解析】由题意，可知点P 1、P 2、P 3、P 4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S 1=1×（2﹣1）=1，S 2=1×（1﹣）=，S 3=1×（﹣）=，∴S 1+S 2+S 3=1++=．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P 1向x 轴、y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2﹣×1=．随练2、如图，点A 、B 在反比例函数y=kx（k ＞0，x ＞0）的图象上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM=MN=NC ，△AOC 的面积为6，则k 的值为_________．【答案】4【解析】设OM=a ，∵点A 在反比例函数y=k x，∴AM=k a，∵OM=MN=NC ，∴OC=3a ，∴S △AOC =12•OC •AM=12×3a ×k a =32k=6，解得k=4．随练3、如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象都经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．【答案】（1）4;y x yx=-=-；（2）6【解析】（1）根据题意，将点A（2，﹣2）代入y=kx，得：﹣2=2k，解得：k=﹣1，∴正比例函数的解析式为：y=﹣x，将点A（2，﹣2）代入y=，得：﹣2=，解得：m=﹣4；∴反比例函数的解析式为：y=﹣；（2）直线OA：y=﹣x向上平移3个单位后解析式为：y=﹣x+3，则点B的坐标为（0，3），联立两函数解析式，解得：或，∴第四象限内的交点C的坐标为（4，﹣1），∵OA∥BC，∴S△ABC=S△OBC=×BO×x C=×3×4=6．反比例函数的应用知识精讲一．利用反比例函数解决实际生活问题用反比例函数来解决实际问题的步骤：由实验获得数据用描点法画出图象根据所画图象判断函数类型用待定系数法求出函数解析式用实验数据验证三点剖析一．考点：反比例函数的应用．二．重难点：反比例函数的应用．三．易错点：注意自变量取值范围要符合实际意义．利用反比例函数解决实际生活问题例题1、某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C.若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D.当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷【答案】D【解析】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，∴y随x的增大而减小，∴A，B错误，设y=kx（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，∴y=50 x，把y=2代入上式得：x=25，∴C错误，把x=50代入上式得：y=1，∴D正确．例题2、已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是____．【答案】R≥3.6【解析】设反比例函数关系式为：I=k R，把（9，4）代入得：k=4×9=36，∴反比例函数关系式为：I=36 R，当I≤10时，则36R≤10，R≥3.6．例题3、环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y （mg/L ）与时间x （天）的变化规律如图所示，其中线段AB 表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间x 成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y 与时间x 的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ？为什么？【答案】（1）当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．【解析】（1）分情况讨论：①当0≤x ≤3时，设线段AB 对应的函数表达式为y=kx +b ；把A （0，10），B （3，4）代入得b=103k+b=4⎧⎨⎩，解得：k=-2b=10⎧⎨⎩，∴y=﹣2x +10；②当x ＞3时，设y=m x，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=12x；综上所述：当0≤x ≤3时，y=﹣2x +10；当x ＞3时，y=12x；（2）能；理由如下：令y=12x=1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L ．随练1、某工厂现有材料100吨，若平均每天用去x 吨，这批原材料能用y 天，则y 与x 之间的函数关系式为（）A.100y x =B.100y x=C.100100y x=-D.100y x=-【答案】B【解析】由题意可得100y x =，故答案为B 选项．随练2、家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC 发热材料，它的电阻R （k Ω）随温度t （℃）（在一定范围内）变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω．（1）求当10≤t ≤30时，R 和t 之间的关系式；（2）求温度在30℃时电阻R 的值；并求出t ≥30时，R 和t 之间的关系式；（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过6k Ω？【答案】（1）10≤t≤30时，R=；（2）当温度为30℃时，R=2；R=t ﹣6；（3）温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ【解析】（1）∵温度在由室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，∴可设R 和t 之间的关系式为R=，将（10，6）代入上式中得：6=，k=60．故当10≤t ≤30时，R=；（2）将t=30℃代入上式中得：R=，R=2．∴温度在30℃时，电阻R=2（k Ω）．∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加k Ω，∴当t ≥30时，R=2+（t ﹣30）=t ﹣6；（3）把R=6（k Ω），代入R=t ﹣6得，t=45（℃），所以，温度在10℃～45℃时，电阻不超过6kΩ．拓展1、下列函数关系式中，一定是反比例函数的是（）A.32+2y x = B.27y x=-+ C.1k y x += D.2y x =-【答案】D【解析】该题考查的是反比例函数的概念．只有形如()0k y k x=≠的才是反比例函数，故答案选D ．2、函数y=k x的图象经过点（2，3），则k=（）A.2B.3C.6D.﹣6【答案】C【解析】∵函数y=k x 的图象经过点（2，3），∴2k =3，解得k=6．3、当m ＝________时，函数y ＝（m －2）x |m|－3是反比例函数．【答案】－2【解析】暂无解析4、若函数25(2)k y k x -=-（k 为常数）是反比例函数，则k 的值是______，解析式为_______________．【答案】2-；14y x -=-【解析】由反比例函数定义可知251k -=-且20k -≠，所以2k =-，14y x -=-．5、某工人承包运输粮食的总数是w 吨，每天运x 吨，共运了y 天，则y 与x 的关系式为___________，是___________函数．【答案】w y x =；反比例【解析】由题意可得w y x=，是反比例函数．6、如图，已知直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点．若点M 的坐标是（1，2），则点N 的坐标是（） A.（－1，－2）B.（－1，2）C.（1，－2）D.（－2，－1）【答案】A【解析】∵直线y ＝k 1x （k 1≠0）与反比例函数2k y x=（k 2≠0）的图象交于M ，N 两点，∴M ，N 两点关于原点对称，∵点M 的坐标是（1，2），∴点N 的坐标是（－1，－2）．7、函数y=k x 与y=﹣kx 2+k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.【解析】由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y 轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y 轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．8、函数y=ax（a≠0）与y=ax在同一坐标系中的大致图像是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】A、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知a＜0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者相矛盾，故本选项错误；C、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＜0，二者相矛盾，故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知a＞0，由正比例函数的图象可知a＞0，二者一致，故本选项正确．9、如图，在平面直角坐标系中，点P在函数y=6x（x＞0）的图像上．过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，取线段OB的中点C，连结PC并延长交x轴于点D．则△APD的面积为______．【解析】∵PB ⊥y 轴，PA ⊥x 轴，∴S 矩形APBO =|k|=6，在△PBC 与△DOC 中，90PBC COD BC OC PCB OCD ⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△PBC ≌△DOC ，∴S △APD =S 矩形APBO =6．10、如图，点A 是反比例函数图象上y=K X一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC ∥AD ，四边形ABCD 的面积为3，则k=__________．【答案】﹣3【解析】设点A 的坐标为（m ，n ），∵AB ⊥y 轴，CD ⊥y 轴，∴AB ∥CD ，又∵BC ∥AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．S 平行四边形ABCD =AB •OB=﹣m •n=3，∴k=mn=﹣3．11、如图，点A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，过点A 作x 轴的平行线，交反比例函数y 2=k x（x ＞0）的图象于点B ，连接OA 、OB ，若△OAB 的面积为2，则k 的值为___________．【答案】5【解析】延长BA ，与y 轴交于点C ，∵AB ∥x 轴，∴BC ⊥y 轴，∵A 是反比例函数y 1=1x （x ＞0）图象上一点，B 为反比例函数y 2=k x （x ＞0）的图象上的点，∴S △AOC =12，S △BOC =2k ，∵S △AOB =2，即2k ﹣12=2，解得：k=5．12、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=______．【答案】3【解析】连接OB，如图所示：∵四边形OABC是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB的面积=△OBC的面积，∵D、E在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，∴△OAD的面积=△OCE的面积，∴△OBD的面积=△OBE的面积=12四边形ODBE的面积=3，∵BE=2EC，∴△OCE的面积=12△OBE的面积=32，∴k=313、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数myx的图象交于A（2，3）、B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一点，且满足△PAB的面积是5，直接写出OP的长．【答案】（1）y=x+1；y=6x；（2）OP=1．【解析】（1）∵反比例函数y=mx的图象经过点A（2，3），∴m=6．∴反比例函数的解析式是y=6 x，∵B点（﹣3，n）在反比例函数y=6x的图象上，∴n=﹣2，∴B（﹣3，﹣2），∵一次函数y=kx+b的图象经过A（2，3）、B（﹣3，﹣2）两点，∴23 32k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得：11 kb=⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是y=x+1；（2）对于一次函数y=x+1，令x=0求出y=1，即C（0，1），OC=1，根据题意得：S△ABP=12PC×2+12PC×3=5，解得：PC=2，则OP=OC+CP=1+2=3或OP=CP﹣OC=2﹣1=1．14、甲、乙两地间的公路长为300km，一辆汽车从甲地去乙地，汽车在途中的平均速度为(/)v km h，到达时所用的时间为()t h，那么t是v的______函数，v关于t的函数关系式为_____________．【答案】反比例；300 tv =【解析】由题意得300tv=，是反比例函数．15、如图，点A在反比例函数6yx=图象第一象限的分支上，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D，若△OAD与△BCD的面积相等，则点A的横坐标是（）B.2 D.【答案】A【解析】连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于F点，如图：由反比例的性质可知，A 、B 两点关于中心O 对称，即OA ＝OB ，又∵△ACB 为等腰直角三角形，∴CO ⊥AB ，且OC ＝OA ．设直线AB 的解析式为y ＝ax （a ＞0），则OC 的解析式为1y x a=-，设点A （m ，am ），点C （an ，﹣n ），∵OA ＝OC ，即m 2＋（am ）2＝（an ）2＋n 2，解得n ＝±m ，∵A 在第一象限，C 在第三象限，∴n ＝m ＞0，即C （am ，﹣m ）．∵AE ∥x 轴，CE ∥y 轴，∴∠CDF ＝∠CAE ，∠CFD ＝∠CEA ＝90°，∴△CDF ∽△CAE ，∴CF CD CE CA=，又∵△OAD 与△BCD 的面积相等，△OAD 与△BOD 的面积相等，∴S △ABD ＝2S △BCD ，∴2AD CD=，∵AC ＝AD ＋CD ，∴13CF CD CE CA ==，∵点A （m ，am ），点C （am ，﹣m ），∴点E （am ，am ），点F （am ，0），∴0()11()13CF m CE am m a --===--+即a ＝2．∵点A （m ，am ）在反比例函数6y x=的图象上，且a ＝2，∴2m 2＝6，解得m =，∵m ＞0，∴m =，∴点A 所以选A ．16、如图所示，制作一种产品的同时，需要将原材料加热，设该材料温度为y ℃，从加热开始计算的时间为x 分钟，据了解，该材料在加热过程中温度y 与时间x 成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为15℃，加热5分钟使材料温度达到60℃时停止加热．停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y 与时间x 成反比例函数关系．（1）分别求出该材料加热过程中和停止加热后y 与x 之间的函数表达式，并写出x 的取值范围；（2）根据工艺要求，在材料温度不低于30℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？【答案】（1）y=9x+15（05x ≤≤），y=（x≥5）；（2）对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．【解析】（1）设加热过程中一次函数表达式为y=kx+b （k ≠0），∵该函数图象经过点（0，15），（5，60），∴，解得，∴一次函数的表达式为y=9x+15（0≤x ≤5），设加热停止后反比例函数表达式为y=（a ≠0），∵该函数图象经过点（5，60），∴=60，解得：a=300，∴反比例函数表达式为y=（x ≥5）；（2）∵y=9x+15，∴当y=30时，9x+15=30，解得x=，∵y=，∴当y=30时，=30，解得x=10，10﹣=，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟．第02讲_反比例函数的代几综合知识图谱反比例函数的代数综合知识精讲一．反比例函数与方程和不等式如图，双曲线与直线相交，则方程12k k x b x =+的解为交点的横坐标12x x 、；不等式12k k x b x+>的解为120x x x x ><<或．二．反比例函数与一次函数已知反比例函数与一次函数的一个交点，求函数解析式，只要把交点坐标分别代入到两个解析式即可．当反比例函数与正比例函数相交时，交点关于原点对称，即1212,x x y y =-=-．三点剖析一．考点：反比例函数与代数综合二．重难点：反比例函数与代数综合三．易错点：1．注意反比例函数解析式中0k ≠；2．反比例函数与一次函数结合经常会出现要解分式方程的情况，注意分式方程增根的情况；3．利用图像解反比例函数与不等式的问题．与方程，不等式综合例题1、如图，反比例函数y 1=的图象与正比例函数y 2=k 2x 的图象交于点（2，1），则使y 1＞y 2的x 的取值范围是（）A.0＜x ＜2B.x ＞2C.x ＞2或﹣2＜x ＜0D.x ＜﹣2或0＜x ＜2【答案】D 【解析】∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵A （2，1），∴B （﹣2，﹣1），∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜﹣2时函数y 1的图象在y 2的上方，∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜﹣2或0＜x ＜2．故选D ．例题2、已知直线y=x ﹣3与函数2y x =的图象相交于点（a ，b ），则代数式a 2+b 2的值是（）A.13B.11C.7D.5【答案】A【解析】根据题意得b=a ﹣3，b=2a，所以a ﹣b=3，ab=2，所以a 2+b 2=（a ﹣b ）2+2ab=32+2×2=13．故选A ．例题3、求一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的解，除了课本的方法外，我们也可以采用图象的方法：在平面直角坐标系中，画出直线y=x+3和双曲线y=的图象，则两图象交点的横坐标即该方程的解．类似地，我们可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】由x 3﹣x ﹣1=0得：x 3﹣x=1方程两边同时除以x 得：x 2﹣1=，在同一坐标系中作出y=x 2﹣1和y=的图象为：观察图象有一个交点，∴可以判断方程x 3﹣x ﹣1=0的解的个数有1个，随练1、小兰画了一个函数y=1a x -的图像如图，那么关于x 的分式方程1a x -=2的解是（）A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4【答案】A【解析】由图可知当x=3时，y=0，即13a -=0，解得a=3，当31x-=2时，解得x=1．随练2、如图所示，已知A （12，y 1），B （2，y 2）为反比例函数y=1x图象上的两点，动点P （x ，0）在x 轴正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是（）A.（12，0） B.（1，0） C.（32，0） D.（52，0）【答案】D 【解析】∵把A （12，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y=1x 得：y 1=2，y 2=12，∴A （12，2），B （2，12），∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP ﹣BP|＜AB ，∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，PA ﹣PB=AB ，即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大，设直线AB 的解析式是y=kx+b ，把A 、B 的坐标代入得：122122k b k b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：k=﹣1，b=52，∴直线AB 的解析式是y=﹣x+52，当y=0时，x=52，即P （52，0），1、反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t 的取值范围是（）A.t＜B ．t＞C ．t≤D ．t≥【答案】【解析】将y=﹣x+2代入到反比例函数y=中，得：﹣x+2=，整理，得：x 2﹣2x+1﹣6t=0．∵反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，∴，解得：t ＞．与一次函数综合例题1、已知反比例函数k y x=（k≠0）和一次函数y ＝x －6．（1）若一次函数与反比例函数的图象交于点P （2，m ），求m 和k 的值；（2）当k 满足什么条件时，两函数的图象没有交点．【答案】（1）m ＝－4；k ＝－8（2）k ＜－9【解析】（1）把点P （2，m ）代入y ＝x －6，得m ＝－4，所以P （2，－4）．将点P （2，－4）代入反比例函数k y x =，得k ＝－8；（2）根据,6,k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得6k x x =-，∴260x x k --=，∵两图象没有交点，∴()()26410k --⨯⨯-<，即k ＜－9．例题2、如图，在直角坐标系中，直线y ＝mx 与曲线n y x =相交于A （－1，a ），B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1．（1）求m，n的值；（2）求直线AC的解析式．【答案】（1）m＝－2；n＝－2（2）y＝－x＋1【解析】（1）∵直线y＝mx与曲线nyx=相交于A（－1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（－1，2），将A（－1，2）代入y＝mx，nyx=可得m＝－2，n＝－2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A（－1，2）、C（1，0）∴2k bk b-+=⎧⎨+=⎩，解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1．例题3、已知反比例函数5myx-=（m为常数，且m≠5）．（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；（2）若其图象与一次函数y＝－x＋1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．【答案】（1）m＜5（2）－1【解析】（1）∵在反比例函数5myx-=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，∴m－5＜0，解得：m＜5；（2）将y＝3代入y＝－x＋1中，得x＝－2，∴反比例函数5myx-=图象与一次函数y＝－x＋1图象的交点坐标为（－2，3），将（－2，3）代入5myx-=得532m-=-，解得1m=-．随练1、已知点A（﹣2，0），B为直线x=﹣1上一个动点，P为直线AB与双曲线y=1x的交点，且AP=2AB，则满足条件的点P的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】如图，设P（m，1m），B（﹣1，n），直线x=﹣1与x轴交于C，∵A（﹣2，0），∴OA=2，OC=1，∴AC=1，BC∥y轴，∴12 AB ACAP AO==，∴P1，P3在y轴上，这样的点P 不存在，点P 4在AB 之间，不满足AP=2AB ，过P 2作P 2Q ⊥x 轴于Q ，∴P 2Q ∥B 1C ，∴1212AB AC AP AQ ==，∴1122m =--，∴m=﹣4，∴P （﹣4，﹣14），∴满足条件的点P 的个数是1，随练2、图中给出的直线1y k x b =+和反比例函数2k y x=的图像，判断下列结论正确的个数有（）①2k ＞b ＞1k ＞0；②直线1y k x b =+与坐标轴围成的△ABO 的面积是4；③方程组12y k x b k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的解为11x 6y 1=-⎧⎨=-⎩，22x 2y 3=⎧⎨=⎩；④当－6＜x ＜2时，有21k k x b x +>A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】暂无解析随练3、如图，双曲线x m y =与直线b kx y +=相交于点M ，N ，且点M 的坐标为(1，3)，点N 的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x 的方程x m ＝b kx +的解为（）A.1=x B.1=x 或3-=x C.3=x D.1-=x 或3=x 【答案】B【解析】暂无解析随练4、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=m x的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．【答案】（1）y=2x-；y=﹣x ﹣1（2）x ＜﹣2或0＜x ＜1【解析】（1）∵A （﹣2，1）在反比例函数y=m x的图象上，∴1=2m -，解得m=﹣2．∴反比例函数解析式为y=2x-，∵B （1，n ）在反比例函数h 上，∴n=﹣2，∴B 的坐标（1，﹣2），把A （﹣2，1），B （1，﹣2）代入y=kx+b ，得212k k b b -==-++⎧⎨⎩，解得：11b k =--=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣x ﹣1；（2）由图象知：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，一次函数的值大于反比例函数．随练5、如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数y=m x的图象交于点B 、E ．（1）求反比例函数及直线BD 的解析式；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）y=﹣2x ；y=﹣x ﹣1（2）E （﹣2，1）【解析】（1）边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边在AD 在x 轴上，点B 在第四象限，∴A （1，0），D （﹣1，0），B （1，﹣2）．∵反比例函数y=m x 的图象过点B ，∴1m =﹣2，m=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣2x，设直线BD 的解析式为y=kx+b ，∵y=kx+b 的图象过B 、D 点，∴-2-k+b=0k b +=⎧⎨⎩，解得=-1b=-1k ⎧⎨⎩．直线BD 的解析式y=﹣x ﹣1；（2）解方程组2y=-x y=-x 1⎧⎪⎨⎪-⎩，解得-2y=1x =⎧⎨⎩或x=1y=-2⎧⎨⎩，∵B （1，﹣2），∴E （﹣2，1）．随练6、定义运算max{a ，b}：当a≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜b 时，max{a ，b}=b ．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}=____________；（2）已知y 1=1k x 和y 2=k 2x+b 在同一坐标系中的图象如图所示，若max{1k x ，k 2x+b}=1k x，结合图象，直接写出x 的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x ﹣2}的值．【答案】（1）3（2）﹣3≤x ＜0或x≥2（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．【解析】（1）3}=3．故答案为：3；（2）∵max{1k x ，k 2x+b}=1k x，∴1k x≥k 2x+b ，∴从图象可知：x 的取值范围为﹣3≤x ＜0或x≥2；（3）当2x+1≥x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=2x+1，当2x+1＜x ﹣2时，max{2x+1，x ﹣2}=x ﹣2．反比例函数与几何综合知识精讲一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．三点剖析一．反比例函数与三角形综合一般为定点与动点构成特殊三角形情况，利用等腰三角形，直角三角形，等边三角形，等腰直角三角形等固有特殊性质，进行求解，并且注意考虑到多种结论的情况．二．反比例函数与四边形综合四边形与反比例函数的综合问题与三角形部分基本上相同，不同的是涉及到平行四边形等特殊四边形的时候经常会出现两个顶点两个动点的情况需要进行分类讨论．三．反比例函数与面积问题反比例函数涉及到的面积问题一般都为三角形面积和矩形面积问题，对于三角形面积我们可以对三角形进行分割再去求解，对于矩形面积问题，我们要注意k 值的几何意义和正负的讨论．四．易错点：1.涉及到特殊三角形与动点问题时，一般都为多个解，注意不要漏解2.在求三角形和四边形面积用坐标表示线段长度时，注意正负号的问题．与三角形综合例题1、在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P 在反比例函数y=2x 的图象上，若△PAB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（）A.2个B.4个C.5个D.6个【答案】D。

6.1九年级数学上册第六章第一节反比例函数-新北师大版

• 反比例函数一般地,如果两个变量x,y之间的关系可以表示成：
y k k为常数, k 0 的形式,那么称y是x的反比例函数.
x
第19页，共27页。
2014.11
常见题型:根据反比例函数的定义求值
第20页，共27页。
2014.11
中考真题
例 2：（2013 安顺）若 y (a 1) xa2 2 是反比例函数，
• 一次函数与正比例函数之间的关系:
• 正比例函数是特殊的一次函数.
第5页，共27页。
2014.11
回顾与思考
一次函数的图象与性质
• 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,称直线y=kx+b.
当k>0时,
当k<0时,
y
y
b>0
b>0
b=0
o
x
b=0 o
x
b<0
b<0
• y随x的增大而增大;
那么我们称y是x的函数(function),其中x叫自变量,y叫因变量.
• 一次函数若两个变量x,y的关系可以表示成y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的形式,则称y 是做x的一次函数(linear function)(x为自变量,y为因变量).
• 正比例函数特别地,当常数b＝0时,一次函数y=kx+b(k≠0)就成为:y=kx(k是常数 ,k≠0), 称y是x的正比例函数.
y随x的增大而减小.
第6页，共27页。
2014.11
物理与数学
欧姆定律
我们知道,电流I,电阻R,电压U之间满足关系式U=IR.当U=220V 时. (1)你能用含有R的代数式表示I吗?

北师大版九年级数学上学期期末单元复习第6章反比例函数含答案

第6章反比例函数一．选择题（共10小题）1．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝x﹣1D．y＝2．今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．3．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（）A．函数图象位于第一、三象限B．函数值y随x的增大而减小C．若A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2D．P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，则△OPQ的面积是定值5．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（﹣2，2），∠ABC＝60°，则k的值是（）A．4 B．6 C．4D．126．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（0，3），点D在x轴的正半轴上．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，则k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．88．如图，在正方形ABCD中，点C（8，5），AB边不动，将正方形向左下方推动变形，使点D落在y轴的点D′处，点C落在点C′处，则经过点C′的反比例函数解析式是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝9．设双曲线y＝（k＞0）与直线y＝x交于A\B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y＝（k＞0）的眸径为6时，k的值为（）A．B．2 C．D．310．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米二．填空题（共7小题）11．已知反比例函数y＝（k﹣1）x，那么k的值是．12．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（3，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、F，连结DF，△DEF与△DBF关于直线DF对称，当点E正好落在边OC上时，则k的值为．13．如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为．14．若反比例函数y＝﹣，当y≤，且y≠0时自变量x的取值范围．15．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＞k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝4，则k1﹣k2的值是．16．如图，△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），AB所在直线的函数关系式是y＝x+6．当反比例函数y＝﹣的图象与△ABC有交点时，k的取值范围是．17．如图，Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝图象上，若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为．三．解答题（共5小题）18．如图，直线y＝2x﹣4分别交坐标轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＞0）于C点，且sin∠COB＝；（1）求双曲线的解析式；（2）若过点B的直线y＝ax+b（a＞0）交y轴于D点，交双曲线于点E，且OD：AD＝1：2，求E点横坐标．19．如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式x+b的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数P的取值范围．20．如图，在所给的直角坐标系（O是坐标原点）中，每个小方格都是边长为1的正方形，直线y＝mx+n与反比例函数y＝的图象的交点A，B均在格点上．（1）请直接写出点A，B的坐标为：；当mx+n≥时，x的取值范围是；（2）将直线AB向右平移3个单位，再向上平移5个单位，在图中画出平移后的直线A′B′，并求出直线A′B′的解析式；（3）若点C在函数y＝的图象上，且△ABC是以AB为底的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OB＝5，OA＝4，动点M 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动，当两个动点运动了x（0＜x＜2.5）秒时，解答下列问题：（1）若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出该函数的解析式；（2）在两个动点运动过程中，当x为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与△OAB 相似？22．冬天即将到来，龙泉某中学的初三学生到某蔬菜生产基地作数学实验．在气温较低时，蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜，经收集数据，该班同学将大棚内温度和时间的关系拟合为一个分段函数，如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）若大棚栽种某种蔬菜，温度低于10℃时会受到伤害．问若栽种这种蔬菜，恒温系统最多可以关闭多少小时就必须再次启动，才能使蔬菜避免受到伤害？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝B．y＝C．y＝x﹣1D．y＝【分析】根据反比例函数的一般形式即可作出判断．【解答】解：A、该函数是常函数，故本选项不符合题意．B、该函数是y与（1﹣x）成反比例函数关系，故本选项不符合题意．C、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．D、该函数不是反比例函数，故本选项不符合题意．故选：C．2．今年，某公司推出一款新手机深受消费者推崇，但价格不菲．为此，某电子商城推出分期付款购买手机的活动，一部售价为9688元的新手机，前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（）A．B．C．D．【分析】直接利用后期每个月分别付相同的数额，进而得出y与x的函数关系式．【解答】解：由题意得y＝，即y＝，故选：D．3．函数y＝﹣ax+a与y＝（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数与一次函数的图象特点解答即可．【解答】解：a＞0时，﹣a＜0，y＝﹣ax+a在一、二、四象限，y＝在一、三象限，无选项符合．a＜0时，﹣a＞0，y＝﹣ax+a在一、三、四象限，y＝（a≠0）在二、四象限，只有D 符合；故选：D．4．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（）A．函数图象位于第一、三象限B．函数值y随x的增大而减小C．若A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是图象上三个点，则y1＜y3＜y2D．P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，则△OPQ的面积是定值【分析】先判断出k2+1的符号，再根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：A、∵k2+1＞0，∴它的图象分布在第一、三象限，故本选项正确；B、∵它的图象分布在第一、三象限，∴在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；C、∵它的图象分布在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1＝﹣1＜0，∴y1＜0，∵x2＝1＞0，x3＝2＞0，∴y2＞y3，∴y1＜y3＜y2故本选项正确；D、∵P为图象上任意一点，过P作PQ⊥y轴于Q，∴△OPQ的面积＝（k2+1）是定值，故本选项正确．故选：B．5．如图，菱形ABCD的两个顶点B，D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（﹣2，2），∠ABC＝60°，则k的值是（）A．4 B．6 C．4D．12【分析】根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点A（﹣2，2），∴OA＝2，∴BO＝＝，∵直线AC的解析式为y＝﹣x，∴直线BD的解析式为y＝x，∴点B的坐标为（2，2），∵点B在反比例函数y＝的图象上，∴，解得，k＝12，故选：D．6．如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（0，3），点D在x轴的正半轴上．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，则k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】作BE⊥y轴于E，根据勾股定理求得OD＝4，然后证明△ABE≌△DAO，可得BE ＝AO＝3，AE＝OD＝4，所以点B坐标为（﹣3，﹣1），把点B代入双曲线y＝可得k的值．【解答】解：作BE⊥y轴于E，∵正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（0，3），∴AD＝5，OA＝3，∴OD＝＝＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠BAE＝90°﹣∠DAO＝∠ADO，∵∠AEB＝∠AOD＝90°，∴△ABE≌△DAO（AAS），∴BE＝AO＝3，AE＝OD＝4，∴OE＝AE﹣OA＝1，∴B（﹣3，﹣1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点B，∴k＝﹣3×（﹣1）＝3，故选：A．7．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，B分别在y轴、x轴上，OA＝2，OB＝1，斜边AC∥x轴．若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过AC的中点D，则k的值为（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设C（x，2）．则D（x，4），由勾股定理得出AB2+BC2＝AC2，列出方程22+12+（x﹣1）2+22＝x2，求出x，得到D点坐标，代入y＝，利用待定系数法求出k．【解答】解：∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，∴A（0，2），∴C、A两点纵坐标相同，都为2，∴可设C（x，2）．∵D为AC中点．∴D（x，2）．∵∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴12+22+（x﹣1）2+22＝x2，解得x＝5，∴D（，2）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点D，∴k＝×2＝5．故选：B．8．如图，在正方形ABCD中，点C（8，5），AB边不动，将正方形向左下方推动变形，使点D落在y轴的点D′处，点C落在点C′处，则经过点C′的反比例函数解析式是（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【分析】由点C（8，5）可知A（3，0），OD'＝4，过点C'作C'M⊥OB，可证△AOD'≌△BMC'（HL），可求C'（5，4），即可求反比例函数解析式；【解答】解：∵正方形ABCD中，点C（8，5），∴A（3，0），AB＝5，∵AD'＝5，∴OD'＝4，过点C'作C'M⊥OB，∵BC'＝AD'，C'M＝OD'，∴△AOD'≌△BMC'（HL），∴MB＝OA＝3，∴C'（5，4），∴y＝；故选：A．9．设双曲线y＝（k＞0）与直线y＝x交于A\B两点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径“，当双曲线y＝（k＞0）的眸径为6时，k的值为（）A．B．2 C．D．3【分析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y＝﹣x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，，∴点A的坐标为（﹣，﹣），点B的坐标为（，）．∵PQ＝6，∴OP＝3，点P的坐标为（﹣，）．根据图形的对称性可知：PP′＝AB＝QQ′，∴点P′的坐标为（﹣+2，+2）．又∵点P′在双曲线y＝上，∴（﹣+2）•（+2）＝k，解得：k＝．故选：A．10．如图，为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，建立如图的坐标系后，其中，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，OA＝5米，进口AB∥OD，且AB＝2米，出口C点距水面的距离CD为1米，则B、C之间的水平距离DE的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【分析】根据矩形的性质得到BE＝OA＝5，AB＝2，求得B（2，5），设双曲线BC的解析式为y＝，得到k＝10，于是得到结论．【解答】解：∵四边形AOEB是矩形，∴BE＝OA＝5，AB＝2，∴B（2，5），设双曲线BC的解析式为y＝，∴k＝10，∴y＝，∵CD为1∴当y＝1时，x＝10，∴DE的长＝10﹣2＝8m，故选：D．二．填空题（共7小题）11．已知反比例函数y＝（k﹣1）x，那么k的值是±2 ．【分析】根据反比例函数的定义解答．【解答】解：依题意得：k2﹣5＝﹣1且k﹣1≠0．解得k＝±2．故答案是：±2．12．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点B的坐标为（3，6），反比例函数y＝（k＞0）的图象分别交边BC、AB于点D、F，连结DF，△DEF与△DBF关于直线DF对称，当点E正好落在边OC上时，则k的值为．【分析】过点F作FG⊥OC，垂足为G．由于四边形OABC是矩形，△DEF与△DBF关于直线DF对称，当点E正好落在边OC上，可得△DGF∽△FAE，然后把D、F两点的坐标用含k的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出CE的长，然后利用勾股定理求出k．【解答】解：过点F作FG⊥OC，垂足为G，如图所示．由题意知D（，6），F（3，），FG＝3．又∵△DEF与△DBF关于直线DF对称，点E在边OC上，∴DE＝DB，∠B＝∠DEF＝90°，∴∠DEC+∠GEF＝90°，∵∠EGF＝∠DCE＝90°，∠GEF+∠EFG＝90°，∴∠DEC＝∠EFG，∴△EGF∽△DCE，∴＝，即＝，解得：CE＝，∵DE2＝DC2+CE2，即（3﹣）2＝（）2+（）2，解得：k＝．故答案为：．13．如图，点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为 6 ．【分析】根据题意可以分别设出点A、点B的坐标，根据点O、A、B在同一条直线上可以得到A、B的坐标之间的关系，由AO＝AC可知点C的横坐标是点A的横坐标的2倍，从而可以得到△ABC的面积．【解答】解：方法一：设点A的坐标为（a，），点B的坐标为（b，），∵点C是x轴上一点，且AO＝AC，∴点C的坐标是（2a，0），设过点O（0，0），A（a，）的直线的解析式为：y＝kx，∴，解得，k＝，又∵点B（b，）在y＝上，∴，解得，或（舍去），∴S△ABC＝S△AOC﹣S△OBC＝＝，故答案为：6．方法二：作BD⊥x轴于点D，作AE⊥x轴于点E，∵点A在为函数y＝（x＞0）图象上一点，AO＝AC，∴△AOC的面积是9，∵点A为函数y＝（x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y＝（x＞0）的图象于点B，∴＝，∴，∴，∴S△ABC＝6，故答案为：6．14．若反比例函数y＝﹣，当y≤，且y≠0时自变量x的取值范围x≤﹣9或x＞0 ．【分析】首先画出图形，进而利用函数图象得出x的取值范围．【解答】解：如图所示：∵反比例函数y＝﹣，当y≤，∴y＝时，则x＝﹣9，故y≤时，x≤﹣9或x＞0．故答案为：x≤﹣9或x＞0．15．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＞k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝4，则k1﹣k2的值是8 ．【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出ab﹣cd＝8，即可得出答案．【解答】解：设A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，∵S△AOB＝4，∴ab﹣cd＝4，∴ab﹣cd＝8，∴k1﹣k2＝8，故答案为：8．16．如图，△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），AB所在直线的函数关系式是y＝x+6．当反比例函数y＝﹣的图象与△ABC有交点时，k的取值范围是4≤k≤．【分析】先求出点A、B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，当反比例函数图象与△ABC相交于点C时k的取值最小，当与线段AB相交时，k能取到最大值，根据直线y＝x+6，设交点为（x，﹣x+6）时k值最大，然后列式利用二次函数的最值问题解答即可得解．【解答】解：∵△ABC在第一象限内，∠C＝90°，BC∥x轴，点C（2，2），∴把x＝2代入y＝x+6得，y＝﹣×2+6＝，把y＝2代入y＝x+6得，﹣x+6＝2，解得x＝6，∴点A、B的坐标分别为A（2，），B（6，2），根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝2×2＝4最小，设反比例函数与线段AB相交于点（x，﹣x+6）时k值最大，则k＝x（﹣x+6）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣）2+，∵2≤x≤6，∴当x＝时，k值最大，此时交点坐标为（，3），因此，k的取值范围是4≤k≤．故答案为：4≤k≤．17．如图，Rt△AOB中，∠OAB＝90°，∠OBA＝30°，顶点A在反比例函数y＝图象上，若Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，则进过点B的反比例函数的解析式为10 ．【分析】分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．设A（a，b），则ab＝﹣4．根据两角对应相等的两三角形相似，得出△OAE∽△ABF，由相似三角形的对应边成比例，则BD、OD都可用含a、b的代数式表示，从而求出B的坐标，进而得出结果．【解答】解：分别过A、B作AE⊥x轴于E，BD⊥y轴交AE于F．设A（a，b）．∵顶点A在反比例函数y＝图象上，∴ab＝﹣4．∵∠OAB＝90°，∠OAE＝90°﹣∠BAF＝∠ABF，∠OEA＝∠BFA＝90°，∴△OAE∽△ABF，∴OA：AB＝OE：AF＝AE：BF，在Rt△AOB中，∠AOAB＝90°，∠OBA＝30°，∴OA：AB＝1：，∴﹣a：AF＝b：BF＝1：，∴AF＝﹣，BF＝b，∵Rt△AOB的面积恰好被y轴平分，∴AC＝BC，∴BD＝DF＝BF＝﹣a，OD＝AE+AF＝b﹣a，∴b＝﹣a，∴A（﹣b，b），B（b，b﹣）∴﹣b•b＝﹣4，∴b2＝，∴k＝b（b﹣）＝b2﹣ab＝10，故答案为：10．三．解答题（共5小题）18．如图，直线y＝2x﹣4分别交坐标轴于A、B两点，交双曲线y＝（x＞0）于C点，且sin∠COB＝；（1）求双曲线的解析式；（2）若过点B的直线y＝ax+b（a＞0）交y轴于D点，交双曲线于点E，且OD：AD＝1：2，求E点横坐标．【分析】（1）根据题意设出点C的坐标，由sin∠COB＝可以求得点C的坐标，进而可以求得双曲线的解析式；（2）根据y＝2x﹣4求得A、B的坐标，OD：AD＝1：2，可知D的坐标，根据待定系数法求得BD的解析式，联立解析式即可求出E横坐标．【解答】解：（1）设点C的坐标是（a，2a﹣4），∵sin∠COB＝，∴tan∠COB＝＝，解得，a＝6，∴点C为（6，8），∵点C在双曲线y＝（x＞0）上，∴k＝6×8＝48，即双曲线的解析式为：y＝；（2）∵直线y＝ax+b（a＞0）交y轴于D点，∴点D的坐标是（0，b），∵直线y＝2x﹣4分别交坐标轴于A、B两点，∴点A的坐标是（0，﹣4），B（2，0），∵OD：AD＝1：2，∴OD＝，∴D（0，﹣），把B（2，0），D（0，﹣）代入y＝ax+b得，解得，∴y＝x﹣，解x﹣＝得x＝1+，x＝1﹣（舍去），∴E的横坐标为1+．19．如图，一次函数y＝x+b与反比例函数y＝的图象交于A（m，3），B（﹣3，n）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式x+b的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数P的取值范围．【分析】（1）把A、B的坐标代入反比例函数解析式求出m＝﹣n，即可得出A（m，3），B （﹣3，﹣m），根据三角形面积求得m、n的值，得到A、B的坐标，代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出答案；（2）根据A、B的横坐标，结合图象即可得出答案；（3）分为两种情况：当点P在第一象限时和当点P在第三象限时，根据坐标和图象即可得出答案．【解答】解：（1）把A（m，3），B（﹣3，n）代入反比例函数y＝得：k＝3m＝﹣3n，即m＝﹣n，则B（﹣3，﹣m），∵A（m，3），B（﹣3，﹣m），S△ABC＝•BC•（x A﹣x B）∴×m×（m+3）＝5，解得：m＝2或m＝﹣5（舍去），∴n＝﹣2，即A（2，3），B（﹣3，﹣2），把A（2，3）代入y＝得：k＝6，即反比例函数的解析式是y＝；把A（2，3）代入y＝x+b得：3＝2+b，解得：b＝1，即一次函数的解析式是y＝x+1；（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），∴不等式x+b的解集是x≤﹣3或0＜x≤2；（3）∵P（p，y1），Q（﹣2，y2）是反比例函数y＝图象上，则点Q（﹣2，y2）在第三象限，∴当点P在第一象限时，总有y1＞y2，此时p＞0；当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是P≤﹣2，即P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．20．如图，在所给的直角坐标系（O是坐标原点）中，每个小方格都是边长为1的正方形，直线y＝mx+n与反比例函数y＝的图象的交点A，B均在格点上．（1）请直接写出点A，B的坐标为：点A（﹣1，﹣4），点B（﹣4，﹣1）；当mx+n ≥时，x的取值范围是x＞﹣4或﹣1＜x＜0 ；（2）将直线AB向右平移3个单位，再向上平移5个单位，在图中画出平移后的直线A′B′，并求出直线A′B′的解析式；（3）若点C在函数y＝的图象上，且△ABC是以AB为底的等腰三角形，请直接写出点C的坐标．【分析】（1）观察图象，可求解；（2）由题意画出图象，由待定系数法可求直线解析式；（3）由待定系数法可求反比例函数解析式，设点C（a，），由等腰三角形的性质和两点距离公式可求a的值，即可求点C坐标．【解答】解：（1）由图象可知：点A（﹣1，﹣4），点B（﹣4，﹣1），当mx+n≥时，x的取值范围是x＞﹣4或﹣1＜x＜0，故答案为：点A（﹣1，﹣4），点B（﹣4，﹣1），x＞﹣4或﹣1＜x＜0；（2）图象如图：∵点A（﹣1，﹣4），点B（﹣4，﹣1），且直线AB向右平移3个单位，再向上平移5个单位，∴点A'（2，1），点B'（﹣1，4）设直线A'B'解析式为：y＝kx+b，∴解得：∴直线A′B′的解析式为：y＝﹣x+3；（3）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，﹣4），∴k＝﹣1×（﹣4）＝4，∴反比例函数的解析式为：y＝，设点C（a，），∵△ABC是以AB为底的等腰三角形，∴CA＝CB，∴（a+1）2+（+4）2＝（a+4）2+（+1）2，∴a＝±2，∴点C（﹣2，﹣2）或（2，2）21．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OB＝5，OA＝4，动点M 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O运动，同时点N从点O出发，以每秒2个单位长度的速度，沿OB向终点B移动，当两个动点运动了x（0＜x＜2.5）秒时，解答下列问题：（1）若点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出该函数的解析式；（2）在两个动点运动过程中，当x为何值时，使得以O，M，N为顶点的三角形与△OAB 相似？【分析】（1）由勾股定理可求点B坐标（4，3），代入解析式可求k的值，即可求函数的解析式；（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵△ABC是直角三角形，且BA⊥x轴于A，OA＝4，OB＝5，∴∴B（4，3），∴将B（4，3）代入得k＝12，∴函数的解析式为：；（2）在两个动点运动过程中，分两种情况：①若∠OMN＝90°，如图1所示，则MN∥AB，此时OM＝4﹣x，ON＝2x，∵∠OMN＝∠OAB，∠NOM＝∠BOA，∴△MON∽△AOB，∴，即：∴；②若∠ONM＝90°，如图2所示，则∠ONM＝∠OAB，此时OM＝4﹣x，ON＝2x，∵∠ONM＝∠OAB，∠MON＝∠BOA，∴△OMN～△OBA，∴即：，∴，综上所述，当或秒时，使得以O，M，N为顶点的三角形与△OAB相似．22．冬天即将到来，龙泉某中学的初三学生到某蔬菜生产基地作数学实验．在气温较低时，蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜，经收集数据，该班同学将大棚内温度和时间的关系拟合为一个分段函数，如图是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）若大棚栽种某种蔬菜，温度低于10℃时会受到伤害．问若栽种这种蔬菜，恒温系统最多可以关闭多少小时就必须再次启动，才能使蔬菜避免受到伤害？【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；（2）代入临界值y＝10即可．【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝k1x+b（k≠0）∵线段AB过点（0，10），（2，14）代入得，得，AB解析式为：y＝2x+10（0≤x＜5）∵B在线段AB上当x＝5时，y＝20∴B坐标为（5，20）∴线段BC的解析式为：y＝20（5≤x＜10）设双曲线CD解析式为：y＝（k2≠0）∵C（10，20）∴k2＝200∴双曲线CD解析式为：y＝（10≤x≤24）∴y关于x的函数解析式为：y＝（2）把y＝10代入y＝中，解得，x＝20∴20﹣10＝10答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．。

九年级数学上册第六章反比例函数复习1

则m＝＿＿＿－＿＿2 ＿． m-2≠0，3-m2=－1
3.下列(xiàliè)的数表中分别给出了变量y与x之间的对应关系，
其中是反比例函数关系的是(
). D
A:
x
1
2
31
2
4
y5 8 7 6
x12 3 4 B:
y689 7
x1 2 3 4
C:
y8 5 43
x123 4
D: y 1
11 34
第四页，共二十五页。
的面积等于｜k｜.所得三角形的面积等于｜k｜的一半．
第二十一页，共二十五页。
算一算
某地上年度(niándù)电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4) 元成反比例．又当x＝0.65元时，y＝0.8． (1)求y与x之间的函数关系式；
y k1 x
y
y k2 x
O
y k3 x
x
D. k3 > k1 > k2
第十一页，共二十五页。
6.已知点AA((-x21,,yy11),)B,B(x(2-,y12,)y且2x)1＜0＜x2
都在反比例函数
y
y
k x
4 x
(的k＜图0)象上,则y1
与y2的大小关系(从大到小)为
.
y1 ＞0＞y2
Image
12/11/2021
第二十五页，共二十五页。
则 S 矩 O形＝ A O • P A A m B P • n m k n
y
第十五页，共二十五页。
B
P(m,n)
oA
x
练习 3： (liànxí)

北师大版九年级上册数学第六章反比例函数第一节反比例函数

(k为常数，k
≠
0)的形式，那么称y是x的反
比例函数.
2. 反比例函数的三
；(2)y
=
kx－1；(3)xy
=
k.(其中k为常数，k
≠
0)
感悟新知
知1－讲
特别提醒:
形如y
=
1 x
+1，(x+1)y
=3，y
=
(x+1)－1等都不是
反比例函数.
感悟新知
知1－练
例 1 下列函数：①y = 2x－1；②y = 4x；③xy =8；④y=
感悟新知
知3－练
3-1. 反比例函数y = kx的图象经过点P(3，－4)，则这个反比例函数的表达式为( B )
A．y
=
12 x
B．y
=－
12 x
C．y
=
3 x
D．y
=
4 x
感悟新知
知3－练
3-2. 反比例函数y = 2k－x 2的图象过点(2，1)，则k的值为
(A)
A．2
B．3
C．－2
D．－1
学习目标
第六章反比例函数
6.1 反比例函数
学习目标
1 课时讲解反比例函数的定义
反比例关系与反比例函数的关系求反比例函数表达式
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 反比例函数的定义
知1－讲
1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以
表示成y=
k x
知2－练
感悟新知
(2)当x=－1时,求y的值. 解：把 x＝－1 代入 y＝3x＋4(x－2)，得 y＝－3＋4×(－1－2)＝－15.

北师版九年级数学第六章反比例函数知识归纳与题型突破(十类题型清单)

第六章反比例函数知识归纳与题型突破（十类题型清单）01思维导图02知识速记一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k <，二、四象限0k >，一、三象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xky =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线x ky =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.03题型归纳题型一反比例函数的概念及应用例题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．3x y =B ．321y x =+C ．k y x=D ．134y x -=巩固训练2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（）A ．被除数（不为零）一定，除数与商B ．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量C ．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间3．下列函数表达式中，表示y 是x 的反比例函数的有（）（1）4x y =；（2）34y x=；（3）3xy -=；（4）1y 3x -=-；（5）21y x =+；（6）52y x =+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各点在反比例函数2y x=图象上的是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,3D ．()1,2--5．已知关于x 的反比例函数()32m y m x -=-，则m 的值为．6．如果2212n n n n y x+++=是反比例函数，那么n 的值是．题型二反比例函数的图像与性质例题7．关于反比例函数6y x=，下列说法不正确．．的是（）A ．函数图像分别位于第一、三象限B ．函数图像经过点()3,2--C ．函数图像过()()23A m B n -，、，，则m n >D ．函数图像关于原点成中心对称巩固训练8．如图是三个反比例函数11k y x=，22ky x =，33k y x =在x 轴上方的图象，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k >>B ．231k k k >>C ．132k k k >>D ．312k k k >>9．关于反比例函数4y x=-，下列说法正确的是（）A ．函数图像经过点()2,2B ．函数图像位于第一、三象限C ．函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y >-10．若点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y 是反比例函数2y x=-图像上的三个点，则下列结论正确的是（）A ．132y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>题型三根据图像或性质求参数范围例题11．反比例函数2y x=的图象上有一点(),P m n ，当1n ≥-，则m 的取值范围是．巩固训练12．若反比例函数13ky x-=的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于每一象限内的反比例函数3m y x+=图像，y 的值都随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是．14．若反比例函数2221(21)kk y k x --=-的图象位于第二、四象限，则k 的值（）A ．0B ．0或1C ．0或2D ．4题型四参数范围、图像与性质的相互判断例题15．在同一坐标系中，函数ky x=和2y kx =-+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．巩固训练16．一次函数=−1与反比例函数()0ky k x=≠在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．17．已知反比例函数21k y x+=，则下列说法正确的是（）A ．函数图像分布在第二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．如果两点()11,y -，()22,y 都在图像上，则12y y >D ．图像关于原点中心对称18．在函数21m y x+=-(m 为常数)的图象上有三个点1(1)y -，，2(2)y -，，3(3)y ，，则函数值123、、y y y 的大小关系是()．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<题型五反比例函数与方程、不等式例题19．如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象与反比例函数my x=（m 为常数，且0m ≠）的图象交于A 、B 两点．则关于x 的方程mkx b x+=的解为．巩固训练20．如图，已知一次函数=B +与反比例函数．ky x=的图象交于()()3,11,3A B --，两点．观察图象可知，不等式kmx n x+>的解集是．21．已知一次函数2y x =-+与反比例函数ky x=在同一坐标系内的图象没有交点，则k 的取值范围为．题型六k 的几何意义例题22．如图，过双曲线上任意一点P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形PMON 的面积为8，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．8D ．8-巩固训练23．如图，反比例函数()40y x x-=>的图像上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．824．如图，在平面直角坐标系中，AOC △的边OA 在y 轴上，点C 在第一象限内，点B 为AC 的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过B ，C 两点．若AOC △的面积是6，则k 的值为．25．函数1(0)y x x =>与8(0)y x x=>的图象如图所示，点C 是y 轴上的任意一点．直线AB 平行于y 轴，分别与两个函数图象交于点A 、B ，连接AC BC 、．当AB 从左向右平移时，ABC V 的面积是．26．如图，点A B ，是反比例函数()0ky x x=>图像上的点，点,C D 分别在x 轴，y 轴正半轴上．若四边形ABCD 为菱形，BD x ∥轴，6ABCD S =菱形，则k 的值（）A ．3B ．6C ．12D ．24题型七反比例函数的代数应用例题27．已知点1()2P a b -，与点2)1(2Pa b +-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，()A ．若0k >，则202a b ><<，B ．若0k >，则12a b <->，C ．若0k <，则22a b <>，D ．若0k <，则1202a b -<<<<，巩固训练28．已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，123x x x <<，则下列结论一定成立的是（）A ．若130x x <，则23y y <B ．若230x x <，则130y y >C ．若130x x >，则23y y >D ．若230x x >，则130y y >题型八反比例函数的实际应用例题29．验光师检测发现近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，y 关于x 的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）度．A ．150B ．200C ．250D ．300巩固训练30．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度()m/s v 是载重后总质量(kg)m 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量60kg m =时，它的最快移动速度6m/s v =；当其载重后总质量90kg m =时，它的最快移动速度=v m/s ．31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p （kPa ）是气体体积V （ml ）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（）A ．这一函数的表达式为6000p V=B ．当气体体积为40ml 时，气体的压强值为150kPaC ．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小D ．若注射器内气体的压强不能超过400kPa ，则其体积V 不能超过15ml 题型九最值问题、其他问题例题32．已知函数1k y x =，()20ky k x=->，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则a 的值为．巩固训练33．反比例函数1k y x =，()220ky k x =-≠，当a x b ≤≤（b ，a 为常数，且0b a >>）时，1y 的最小值为m ，2y 的最大值为n ，则mn的值为（）A ．2-B ．12-C ．12-或2-D ．2b a-34．在同一坐标系中，若正比例函数1y k x =与反比例函数2k y x=的图象没有交点，则1k 与2k 的关系，下面四种表述：①120k k +≤；②120k k <；③1212||k k k k +<-；④121k k k +<或122k k k +<．正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个题型十解答综合题例题35．已知y 与2x +成反比例，且当5x =时，y =-6，求：(1)y 与x 之间的函数关系式；(2)当5y =时，x 的值．巩固训练36．如图，函数()120y x x =≥与2(0)ay x x=>的图象交于点()1,A b ，直线2x =与函数12,y y 的图象分别交于B ，C 两点．(1)求a 和b 的值；(2)求BC 的长度；(3)根据图象写出120y y >>时x 的取值范围（不需说明理由）．37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强(kPa)p 与气体的体积()3m V 成反比例．当气体的体积30.8m V =时，气球内气体的压强112.5kPa p =．(1)当气体的体积为31m 时，它的压强是多少？(2)当气球内气体的压强大于150kPa 时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？38．如图，已知()4,A n -，()2,4B -是反比例函数ky x=的图象和一次函数y ax b =+的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB V 的面积；(3)根据图象直接写出不等式0k ax b x+-<的解集．39．已知一次函数y ax b =+与反比例函数y =kx的图象交于()()3,2,6A n B --，两点．(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；②求AOB 的面积．(2)在x 轴的负半轴上，是否存在点P ，使得PAO 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．40．已知：如图，直线4y kx =+与函数()0,0my x m x=>>的图像交于A ，B 两点，且与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)若直线4y kx =+与直线2y x =--平行，且AOD △面积为2，求m 的值；(2)若COD △的面积是AOB V倍，过A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，AE 与BF 交于H 点．①求:AH OD 的值；②求k 与m 之间的函数关系式．(3)若点P 坐标为2,0，在（2）的条件下，是否存在k ，m ，使得APB △为直角三角形，且90APB ∠=︒，若存在，求出k ，m 的值；若不存在，请说明理由．第六章反比例函数知识归纳与题型突破（十类题型清单）01思维导图02知识速记一、反比例函数的概念一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点：在ky x=中，自变量x 的取值范围是，k y x=()可以写成()的形式，也可以写成的形式.二、反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数()0ky k x=≠的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．要点：观察反比例函数的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．①)0(≠=k x ky 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线；②)0(≠=k x ky 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；③xky x k y -==和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.注：正比例函数x k y 1=与反比例函数xk y 2=，当021<⋅k k 时，两图象没有交点；当021>⋅k k 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称.2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.（2）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位置0k >，一、三象限；0k <，二、四象限0k >，一、三象限0k <，二、四象限增减性0k >，y 随x 的增大而增大0k <，y 随x 的增大而减小0k >，在每个象限，y 随x 的增大而减小0k <，在每个象限，y 随x 的增大而增大（4）反比例函数y＝中k 的意义①过双曲线xky =(k ≠0)上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k .②过双曲线x ky =(k ≠0)上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k .四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.03题型归纳题型一反比例函数的概念及应用例题1．下列函数中，y 是x 的反比例函数的是（）A ．3x y =B ．321y x =C ．k y x=D ．134y x -=2．下列问题中的两个变量是成反比例的是（）A ．被除数（不为零）一定，除数与商B ．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量C ．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间D ．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系．3．下列函数表达式中，表示y 是x 的反比例函数的有（）（1）4x y =；（2）34y x=；（3）3xy -=；（4）1y 3x -=-；（5）21y x =+；（6）52y x =+A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下列各点在反比例函数y x=图象上的是（）A ．()1,2-B ．()2,1-C ．()1,3D ．()1,2--5．已知关于x 的反比例函数()32m y m x -=-，则m 的值为．6．如果2212nn n n y +++=是反比例函数，那么n 的值是．例题7．关于反比例函数6y x=，下列说法不正确．．的是（）A ．函数图像分别位于第一、三象限B ．函数图像经过点()3,2--C ．函数图像过()()23A m B n -，、，，则m n >D ．函数图像关于原点成中心对称8．如图是三个反比例函数11k y x=，22ky x =，33k y x =在x 轴上方的图象，则1k ，2k ，3k 的大小关系为（）A ．123k k k >>B ．231k k k >>C ．132k k k >>D ．312k k k >>【答案】C9．关于反比例函数y x=-，下列说法正确的是（）A ．函数图像经过点()2,2B ．函数图像位于第一、三象限C ．函数值y 随着x 的增大而增大D ．当1x >时，4y >-【答案】D【分析】根据反比例函数的图象及其性质即可求解．【解析】A 、点()2,2不在它的图象上，不符合题意；B 、它的图象在第二、四象限，不符合题意；C 、在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不符合题意；D 、当1x >时，4y >-，正确，符合题意；故选：D ．【点睛】此题考查了反比函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．10．若点()11,A y -，()22,B y ，()33,C y 是反比例函数2y x=-图像上的三个点，则下列结论正确的是（）A ．132y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >>【答案】A【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，结合反比例函数的增减性，进而判断在同一象限内的点B 和点C 的纵坐标例题11．反比例函数2y x =的图象上有一点(),P m n ，当1n ≥-，则m 的取值范围是．12．若反比例函数13k y x -=的图象不经过第一象限，则k 的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，对于每一象限内的反比例函数y x +=图像，y 的值都随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是．14．若反比例函数2221(21)kk y k x --=-的图象位于第二、四象限，则k 的值（）A ．0B ．0或1C ．0或2D ．4故选：A ．题型四参数范围、图像与性质的相互判断例题15．在同一坐标系中，函数k y x =和2y kx =-+的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．16．一次函数=−1与反比例函数()0k y k x=≠在同一直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．17．已知反比例函数1k y x+=，则下列说法正确的是（）A ．函数图像分布在第二、四象限B ．y 随x 的增大而减小C ．如果两点()11,y -，()22,y 都在图像上，则12y y >D ．图像关于原点中心对称18．在函数y x+=-(m 为常数)的图象上有三个点1(1)y -，，2(2)y -，，3(3)y ，，则函数值123、、y y y 的大小关系是()．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y <<例题19．如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象与反比例函数m y x =（m 为常数，且0m ≠）的图象交于A 、B 两点．则关于x 的方程m kx b x +=的解为．【答案】1-和2【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键；根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可；【解析】解：观察函数图象可知：点A 的横坐标为1-，点B 的横坐标为2，20．如图，已知一次函数=B +与反比例函数．k y x =的图象交于()()3,11,3A B --，两点．观察图象可知，不等式k mx n x +>的解集是．21．已知一次函数2y x =-+与反比例函数k y x =在同一坐标系内的图象没有交点，则k 的取值范围为．解得：1k >．故答案为：1k >．题型六k 的几何意义例题22．如图，过双曲线上任意一点P 分别作x 轴，y 轴的垂线PM ，PN ，交x 轴、y 轴于点M 、N ，所得矩形PMON 的面积为8，则k 的值是（）A ．4B ．4-C ．8D ．8-23．如图，反比例函数()40y x x-=>的图像上有一点P ，PA x ⊥轴于点A ，点B 在y 轴上，则PAB 的面积为（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ，并根据面积关系得出方程是解题的关键．设s ，则4xy =-，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解析】解：设s ，∵点P 在反比例函数()40y x x-=>的图象上，∴4xy =-．∵PA x ⊥轴，∴11142222PAB S PA OA xy =⨯⨯==⨯= ．故选：B ．24．如图，在平面直角坐标系中，AOC △的边OA 在y 轴上，点C 在第一象限内，点B 为AC 的中点，反比例函数()0ky x x =>的图象经过B ，C 两点．若AOC △的面积是6，则k 的值为．【答案】4【分析】过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，由点B 为AC 的中点，推出C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得直线BC 的解析式，得到A 点坐标，根据AOC △的面积是6，列式计算即可求解．∴BD CE ∥，∴ABD ACE ∽，∴BD AB CE AC=，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，∵点B 为AC 的中点，25．函数1(0)y x x =>与8(0)y x x=>的图象如图所示，点C 是y 轴上的任意一点．直线AB 平行于y 轴，分别与两个函数图象交于点A 、B ，连接AC BC 、．当AB 从左向右平移时，ABC V 的面积是．【点睛】此题考查了反比例函数的OP BP AP 、、的长度，难度一般．26．如图，点A B ，是反比例函数()0ky x x=>图像上的点，点,C D 分别在x 轴，y 轴正半轴上．若四边形ABCD为菱形，BD x ∥轴，6ABCD S =菱形，则k 的值（）A ．3B ．6C ．12D ．24AC BD ∴⊥，OA OC =，6ABCD S = 菱形，∴11222AC BD OC BD ⨯⨯=⨯⨯=6OC BD ∴⨯=，BD x ∥轴，BE x ⊥轴，题型七反比例函数的代数应用例题27．已知点1()2P a b -，与点2)1(2Pa b +-，在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，()A ．若0k >，则202a b ><<，B ．若0k >，则12a b <->，C ．若0k <，则22a b <>，D ．若0k <，则1202a b -<<<<，∴020b b >⎧⎨-<⎩，∴02<<b ，故选项D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．巩固训练28．已知点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y 在反比例函数()0ky k x=>的图象上，123x x x <<，则下列结论一定成立的是（）A ．若130x x <，则23y y <B ．若230x x <，则130y y >C ．若130x x >，则23y y >D ．若230x x >，则130y y >故选C ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是掌握当比例系数0k >时，函数图象在第一、三象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当比例系数0k <时，函数图象在第二、四象限内，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大．题型八反比例函数的实际应用例题29．验光师检测发现近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，y 关于x 的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（）度．A ．150B ．200C ．250D ．30030．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度()m/s v 是载重后总质量(kg)m 的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量60kg m =时，它的最快移动速度6m/s v =；当其载重后总质量90kg m =时，它的最快移动速度=v m/s ．31．为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温度不变时，注射器里的气体的压强p （kPa ）是气体体积V （ml ）的反比例函数，其图像如图所示．则下列说法中错误的是（）A ．这一函数的表达式为6000p V=B ．当气体体积为40ml 时，气体的压强值为150kPaC ．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体积增大而减小D ．若注射器内气体的压强不能超过400kPa ，则其体积V 不能超过15ml 【答案】D例题32．已知函数1k y x =，()20ky k x=->，当13x ≤≤时，函数1y 的最大值为a ，函数2y 的最小值为4a -，则a 的值为．33．反比例函数1k y x =，()220ky k x=-≠，当a x b ≤≤（b ，a 为常数，且0b a >>）时，1y 的最小值为m ，2y 的最大值为n ，则mn的值为（）A ．2-B ．12-C ．12-或2-D ．2b a-34．在同一坐标系中，若正比例函数1y k x =与反比例函数2y x=的图象没有交点，则1k 与2k 的关系，下面四种表述：①120k k +≤；②120k k <；③1212||k k k k +<-；④121k k k +<或122k k k +<．正确的有()A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据题意得出1k 和2k 异号，再分别判断各项即可．例题35．已知y与2x=时，y=-6，求：x+成反比例，且当5(1)y与x之间的函数关系式；y=时，x的值．(2)当536．如图，函数()120y x x =≥与2(0)ay x x=>的图象交于点()1,A b ，直线2x =与函数12,y y 的图象分别交于B ，C 两点．(1)求a 和b 的值；(2)求BC 的长度；(3)根据图象写出120y y >>时x 的取值范围（不需说明理由）．当2x =时，21,y =∴点C 的纵坐标为1．413BC ∴=-=．（3）解：当120y y >>时x 的取值范围是1x >．37．某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强(kPa)p 与气体的体积()3m V 成反比例．当气体的体积30.8m V =时，气球内气体的压强112.5kPa p =．(1)当气体的体积为31m 时，它的压强是多少？(2)当气球内气体的压强大于150kPa 时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？38．如图，已知()4,A n -，()2,4B -是反比例函数k y x=的图象和一次函数y ax b =+的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求AOB V 的面积；(3)根据图象直接写出不等式0k ax b x+-<的解集．39．已知一次函数y ax b =+与反比例函数y =x的图象交于()()3,2,6A n B --，两点．(1)①求一次函数和反比例函数的表达式；②求AOB 的面积．(2)在x 轴的负半轴上，是否存在点P ，使得PAO 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．由022x =--得1x =-；40．已知：如图，直线4y kx =+与函数()0,0m y x m x=>>的图像交于A ，B 两点，且与x ，y 轴分别交于C ，D 两点．(1)若直线4y kx =+与直线2y x =--平行，且AOD △面积为2，求m 的值；(2)若COD △的面积是AOB V倍，过A 作AE x ⊥轴于E ，过B 作BF y ⊥轴于F ，AE 与BF 交于H 点．①求:AH OD 的值；②求k 与m 之间的函数关系式．(3)若点P 坐标为2,0，在（2）的条件下，是否存在k ，m ，使得APB △为直角三角形，且90APB ∠=︒，若存在，求出k ，m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)3m =①设1,1，2,2（其中∵2COD AOB S S = ，∴()2COD AOC BOC S S S =- ，∴111222OC OD OC y ⎛⋅=⋅-若90APB ∠=︒，则90APE BPN ∠+∠=︒，∵90APE PAE ∠+∠=︒，∴EAP BPN ∠=∠，∵90AEP PNB ∠=∠=︒，相似比计算线段的长．。