2.1 初等模型(一)

g ( x j ) = y j ( j = 0 ,1, n ) * * 计算插值， 再用 g(x) 计算插值，即 y ≈ g ( x ).
y1 y0
y
*
x0 x1 x *
xn
线性插值是代数插值中最简单的一种: 给定y = f ( x)的插值条件, 构造函数p1 ( x) 满足条件: 1.p1 ( x)是一个不超过一次的代数多项式 2.p1 ( x0 ) = y0 , p1 ( x1 ) = y1 目的: 构造p1 ( x)来近似代替f ( x).当求某一 点x 的函数值f ( x )时,可用p1 ( x )近似代替.
p 2 ( x ) = y 0l 0 ( x ) + y 1l 1( x ) + y 2l 2 ( x ) () () 称为 Lagrange型二次插 值公式 , 对应的 p 2 ( x ) 称为 Lagrange型二 次插值函数 . ( x x1 )( x x2 ) 其中l 0 ( x ) = ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x x0 )( x x2 ) l 1( x ) = ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l 2( x ) = ( x2 x0 )( x2 x1 ) 并称 l0 ( x ), l1 ( x ), l2 ( x )为二次插值基函数.
系别 学生 比例 比 例 加 惯 例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0 100.0
席的分配 20席的分配 21席的分配 席的分配 10.3 6.3 3.4 20.0 10 6 4 20
人数 （%） 比例 结果 ）
总和 200
对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21
Pn ( x ) =
∑
n
i=0
y i l i ( x ) (3 )
(x x0 )(x xi1)(x xi+1)(x xn ) li (x) = , i = 0,1n (xi x0 )(xi xi1)(xi xi+1)(xi xn )
1, i = j ∵ li ( x j ) = ∴ Pn ( x j ) = y 0, i ≠ j
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 个席位 三系用 值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 按人数比例的整数部分已将 席分配完毕
甲系： 甲系：p1=103, n1=10 乙系： 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系： 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 值方法分配 席和第21席 第20席和第 席 席和第
“公平”分配方 公平” 公平 法 人数 席位
A方 方 B方 方 p1 p2 n1 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 的 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的 虽二者的绝对 不公平度相同 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的 但后者对 的不公平 程度已大大降低! 程度已大大降低!
1032 632 342 = 96.4, Q2 = = 94.5, Q3 = = 96.3 第20席 Q1 = 席 10 ×11 6× 7 3× 4
Q1最大，第20席给甲系 最大， 席
103 2 = 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 = 席 11 × 12
Q值方法 值方法 分配结果
Q3最大，第 最大， 21席给丙系 席 公平吗？ 公平吗？
第二章 初等模型 第一讲 Q值法、插值法、拟合
值法： 一、Q值法：公平的席位分配 值法
问 题
三个系学生共200名（甲系100，乙系 ，丙系 ），代表 名 甲系 ），代表 三个系学生共 ，乙系60，丙系40）， 会议共20席 按比例分配，三个系分别为10， ， 席 会议共 席，按比例分配，三个系分别为 ，6，4席。 席如何分配。 现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 席如何分配 现因学生转系，三系人数为 若增加为21席 又如何分配。 若增加为 席，又如何分配。
甲系11席 乙系6 丙系4 甲系11席，乙系6席，丙系4席 11
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 值方法比 席位分配的理想化准则 已知: 方人数分别为 已知 m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为 。 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为 设理想情况下 方分配的席位分别为n1,n2,… , nm 方分配的席位分别为 (自然应有 1+n2+…+nm=N)， 自然应有n 自然应有 ， ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm ) 的函数， 和 均为整数， 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
应讨论以下几种情况
初始 p1/n1> p2/n2
1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A ） 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算 B(n1+1, n2) ） 应计算r 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算 A(n1, n2+1) ） ， 应计算r 是否会出现？ 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否!
若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
该席给A 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给 rA, rB的定义
n 2 ( n 2 + 1)
2 p2
<
n1 ( n 1 + 1 )
设 p n ( x ) = a0 + a1 x + + an x n , 则系数 ai 满足方程组 a0 + a1 x0 + + an x0 n = y 0 n a0 + a1 x1 + + an x1 = y 1 ... a + a x + + a x n = y n n 1 n n 0 ai的系数行列式是 Vandermonde行列式: 1 1 V ( x0 , x1 ,..., xn ) = 1 x0 x1 xn x0 x1 xn
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 不全为整数时， 应满足的准则： 不全为整数时 方向取整； 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ≤ qi方向取整； 方向取整. [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ≥ qi方向取整 1) [qi]– ≤ ni ≤ [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取 i]– , [qi]+ 之一 必取[q 2) ni (N, p1, … , pm ) ≤ ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， 即当总席位增加时， ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） 比例加惯例” ），但不满足 ） 比例加惯例 ）， Q值方法满足 2）, 但可举例说明不满足 1）。 值方法满足 ） ） 令人遗憾！ 令人遗憾！
“公平”分配方 公平” 公平 法
将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 的 = rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2) 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 已分别有n 若增加1席 问应分给A, 还是B 设A, B已分别有 1, n2 席，若增加 席，问应分给 还是 已分别有 即对A不公平 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对 不公平
2 2
... ... ...
x0
n n
x1 = ∏ ( xi x j ) 0≤ j <i≤ n xn
n
2
p n ( x ) = y 0l0 ( x ) + y 1l1 ( x ) + + y nln ( x ) () () 称为 Lagrange型 n次插值公式 , 对应的 p n ( x ) 称为 Lag ra nge型 n次插值函数 .其中 ( x x0 ) ( x xi 1 )( x xi +1 ) ( x xn ) li ( x ) = ( xi x0 ) ( xi xi 1 )( xi xi +1 ) ( xi xn ) (i = 0,1, 2, , n ) 并称 li ( x )(i = 0,1, 2, , n )为 n次插 值基函数 . esp.若 n = 1, 则为 Lagrange型线性插值公式 ; 若 n = 2, 则为 Lagrange型二次插值公式.
几何意义 : 用过( x0 , y0 )和( x1 , y1 )两点的直线y = p1 ( x) 来近似代替曲线y = f ( x). 显然,p1 ( x)存在且唯一.
y = p1 ( x)
Y
y = f ( x)
O
x0
x1
X
二次插值的提法: 给定y = f ( x)的插值条件, 构造函数p2 ( x) 满足条件: 1.p2 ( x)是一个不超过二次的代数多项式 2.p2 ( x0 ) = y0 , p2 ( x1 ) = y1 , p2 ( x2 ) = y2 目的 : 构造p2 ( x)来近似代替f ( x).当求某一 点x 的函数值f ( x )时, 可用p2 ( x )近似代替.
2 p1
该席给A 该席给 否则, 该席给B 否则 该席给
p i2 , i = 1, 2 , 该席给 值较大的一方 定义 Q i = 该席给Q值 ni ( ni + 1)
推广到m方 推广到 方 分配席位
p i2 , i = 1, 2， , m 计算 Q i = ni ( n i + 1)
该席给Q值Leabharlann Baidu大的一方 该席给 值最大的一方
j
误差估计
定理2.3 : 设pn ( x)是过( xi , yi )(i = 0,1,, n) 的n次插值函数,[a, b]是包含x0 , x1 ,, xn的 任一区间, 并设f ( x) ∈ C n [a, b], f ( n +1) ( x)在 [a, b]上存在, 则对任意给定的x ∈ [a, b], 总 存在一点ξ ∈ (a, b), s.t. R( x) = f ( x) pn ( x) f ( n +1) (ξ ) = ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) (n + 1)! 其中ξ 依赖于x.
二、插值及其在数学建模中的应用
question : 什么是插值？ 给定一个函数的函数表, 如何求出任意 点的函数值 ?
x y= f(x)
x0 y0
x1 y1
… …
xn yn
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的) 通过全部节点, 构造一个(相对简单的)函数 y = g ( x), 通过全部节点,即
由直线方程的两点式可得: x x1 x x0 p1 ( x) = y0 + y1 () x0 x1 x1 x0 p1 ( x)称为Lagrange型线性插值函数,()称 为Lagrange型线性插值公式. x x1 x x0 若令l0 ( x) , l1 ( x) ,则 x0 x1 x1 x0 p1 ( x) = l0 ( x) y0 + l1 ( x) y1 即为两个线性函数l0 ( x), l1 ( x)的线性组合. 称l0 ( x), l1 ( x)为一次插值基函数.
二次插值也称作抛物线插值，几何 意义是用抛物线来代替曲线y=f(x),
n次插值的提法是 : 给定y = f ( x)的插值条件, 构造函数pn ( x) 满足条件: 1.pn ( x)是一个不超过n次的代数多项式 2.pn ( xi ) = yi (i = 0,1, 2,, n)
目的 : 构造pn ( x)来近似代替f ( x).当求某一 点x 的函数值f ( x )时, 可用pn ( x )近似代替.