动态优化模型完整版
动态优化模型
第12章 动态优化模型12.2 生产计划的制定工厂根据合同须在某时刻提交一定数量的产品. 制定生产计划时要考虑生产和贮存两种费用. 生产费用通常取决于生产率(单位时间的产量)，生产率越高费用越大; 贮存费用自然由已生产出来的产品数量决定，数量越多费用越大. 问题：寻求最优的生产计划，使完成合同所需的总费用(生产与贮存费用总和)最小.假设 开始生产时刻记为t = 0. 按照合同应在t = T 时提交数量为Q 的产品.到时刻t 时为止的产量记作x(t)，x(t)即为生产计划. 时刻t 时的生产率为)t (x ，故单位时间的生产费用为)t (x的函数，记为))t (x (f ，而单位时间的贮存费用记为g(x(t))，于是从t = 0到t = T 的总费用C(x(t))为 (注：C 为x 的范函而非t 的函数)C(x(t)) =⎰+Tdt ))]t (x (g ))t (x(f [ . (1) 为确定f 和g 的具体形式作如下假设：1. 单位时间内生产率提高一个单位，所需生产费用与这时的生产率成正比.2. 贮存费与贮存量成正比.由假设1有df/d x∝x ，可得 )t (x k ))t (x(f 21 =， (2) k 1是比例系数. 由假设2有g(x(t)) = k 2x(t)， (3)k 2是单位数量产品单位时间的贮存费.建模 将(2)、(3)代入(1)并注意到x 在t = 0, T 的值，可得C(x(t)) =⎰+T221dt )]t (x k )t (xk [ ， (4) x(0) = 0, x(T) = Q. (5)制定最优生产计划归结为在条件(5)下，求x(t)使(4)式中的泛函C(x(t))取得最小值.用变分法求解. 记F(t, x,x ) = k 1x 2 + k 2x ，根据欧拉方程(§7.8, (11), p263)F x (t, x,x ) - )x,x ,t (F dtd x = 0. 可得关于x(t)的二阶微分方程k 2 - 2k 1)t (x= 0， (6) 此微分方程在端点条件(5)下的解为x(t) = t T k 4T k Q k 4t k 4k 1221212-+. (7)x(t)的图形如图. 当x(t)中一次项的系数小于零时，x(t)在t 的初始阶段小于零，如图中的S 2，这与实际情况是不符的. 对生产计划x(t)，显然必须满足x(t) ≥ 0, 0 ≤ t ≤ T, (8)此条件等价于x(t)的两种形式0)0(x≥ ， (9) 由(7)式知这又等价于Q ≥ k 2T 2/(4k 1). (10)但是, 当Q < k 2T 2/(4k 1). (11)时最优生产计划如何确定呢? 采用上图中曲线S2的形式显然是不合理的, 因为x(t)不能小于零. 应延迟开工, 即到t = t 1时才开始生产, 这时生产时间为T - t 1, 应满足Q ≥ k 2(T t 1)2/(4k 1). 计算出的C 与t 1有关, 可再进行优化. 此即右图中时刻t 1和曲线S 3如何确定的问题.解释 考察(6)式, 它可表示为)xd df(dt d ))x k (x d d (dt d k 212 ==, (12) 其中df/d x是单位时间内生产率提高一个单位所需要的生产费用, 经济理论中称为边际成本. 而k 2(单位时间单位数量产品的贮存费)称边际贮存. (12)式表明, 使边际成本的变化率等于边际贮存的生产计划是最优的.12.4 渔船出海这一节继续讨论开发渔业资源的最大经济效益模型，与6.1节的模型不同的是，这里用出海渔船的数量作为控制函数. 实际上，捕鱼业的具体作法是等渔场中鱼量增长到相当大以后，才派出一定数量的渔船进行捕捞．于是我们的控制函数可以取与这种作法相应的特殊形式，从而将本来属于动态优化模型的泛函极值问题简化为普通的函数极值问题. 模型假设1. 渔场鱼量x(t)的自然增长服从Logistic 规律，单位时间捕捞量与渔船数量u(t)和渔场鱼量x(t)成正比，在捕捞条件下满足)x ,u (h )x (f )t (x-= (1) f(x) = rx(1 - x/N) (2) h(u, x) = qu(t)x(t) (3)r, N 同前，q 是每只渔船单位时间(如每天)的捕捞率(相对于x 而言). u(t)视为连续变量，非整数部分理解为在部分时间内进行捕捞. 2. 初始时刻渔场鱼量x(0) = N/K, K >> 1 (4)x(0)很小. 在时间0 ≤ t ≤ 内不派渔船出海. t > 以后出海渔船的数量保持常数U ，即u(t)的形式为⎩⎨⎧τ>τ≤≤=t ,U t 0,0)t (u (5) 而, U 为待定参数. 捕捞期间(t > )渔场鱼量x 保持稳定.3. 鱼的出售单价为p ，每只渔船单位时间(天)的费用为c ，通货膨胀率，或称条件(11)下的x(t)折扣因子，为.建模与求解 在假设1, 3下，单位时间的利润(折合到初始时刻)为e -δt (ph - cu)，模型的目标函数应是以u(t)为控制函数的长期效益，即归纳为如下的泛函极值问题.⎰∞δ--=0t dt )]t (cu ))t (x ),t (u (ph [e ))t (u (J⎰∞δ--=0t dt )t (u ]c )t (pqx [e (6)x )t (qu )Nx1(rx )t (x--= (7) 因为假设2给出了控制函数u(t)的形式(5)，所以(6), (7)可转化为函数极值问题. 当0 ≤ t ≤ 时u = 0，x(t)容易由方程(7)在初始条件(4)下解出; 当t > 时u =U ，x(t)要保持在某一常量不变(假设2)，这个常量可由(7)式令0x= 得到. 于是有 ⎪⎩⎪⎨⎧τ>-τ≤≤-+=-t ),rqU 1(N t 0,e )1K (1N )t (x rt (8)由x(t)在t = 时的连续性可以写出rqU1e )1K (11r -=-+τ- 由此解得)]1qUr )(1K ln[(r 1--=τ (9)即u(t)中的两个参数, U 中只有一个是独立的，以下取U 为独立变量，(U)由(9)式确定.将(5), (8)代入(6)式，目标泛函J(u(t))变为U 的函数，记作F(U)，则⎰∞τδ---=dt ]c )rqU1(pqN [Ue )U (F t pqNcb ),b r qU 1(e pqNU )U (=--δ=δτ- (10) 注意到c, p, q, N 的含义，可知无量纲量b 是费用-价格比的下界(因为渔场售量取最大值N). 显然应该有b < 1，否则成本高于售价，渔船不会出海. 并且由(10)式可知，效益F(U)为正值的条件是0b rqU1>--，或记作 q)b 1(r U 0-<< (11) 用微分法求出在条件(11)下F(U)的最大值点U*为]rb 8)r b 1(r b 3[q 4r *U 2δ+δ-+-δ+-=(12) 将(12)的结果代人(9)式即得* =(U*) (13)U*, r*为渔船出海的最佳数量与时刻.模型解释 按照经济学的观点，最优解应该在边际得益恰好等于边际损失时达到，称为边际解释. 为了得到这种解释的表达式，考察单位时间的利润)t (u ]c )t (pqx [))t (u (R -= (14)当t > τ时以(5), (8)代人(14)式得]c rqU1(pqN [U )U (R --= (15) 与(10)式比较可知F(U)又可表为⎰∞τδ-=)U (t dt )U (R e )U (F (16)容易算出)]U ()U (R )U (R [e )U (F )U (τ'-δ'='δτ- 对于最优解U*有F'(U*) = 0，故U*必满足*)U (*)U (R *)U (R τ'-=δ'- (17)由此可对最优解U*作出如下的边际解释:从(9)式知道派出渔船的时刻是渔船数量U 的减函数，多派出一只船(从U 到U+1)短期利润的增加是R(U)[(U) - (U+1)] ≈ -R(U)'(U) (18)而长期效益的减少是δ'-≈+-⎰∞δ-)U (R dt )]1U (R )U (R [e 0t (19) 比较(18), (19)与(17)式可知，派出渔船的最佳数量U*应使短期的边际得益恰好被长期的边际损失所平衡. (即(18)、(19)的左端相等)评注 本节提出的以渔船数量u(t)为控制函数的最大效益模型(6), (7)式，其特点是对u(t)规定了特殊形式(5). 这种规定的合理性如何呢? 事实上，如果取消对u(t)的约束，求解泛函极值(6), (7)的话，则u(t)的最优解必然取(5)的形式. u(t)在0 ≤ t ≤ 内取零值是为了让渔场鱼量水平尽快地从初值x(0)达到稳定值x*. 于是，在形如(5)式的最优函数控制下，达到长期最大效益的最佳渔场鱼量水平x(t)如图6所示.经济学上关于最优结果的边际解释，是从正反两方面使短期利益与长期利益取得折衷. 想一想人们在日常活动中对相当广泛的优化问题作决策时的思维过程，不难发现常常就是这类折衷办法的具体体现.作业： p382, 1. αλφ β≤ ≥ ⨯ ∞x*图6 由最优的u(t)控制的x(t)。
动态优化理论
动态优化理论动态优化理论是一种应用于计算机科学和运筹学领域的重要理论。
它主要关注如何根据不断变化的信息和条件，对问题进行最优化的求解。
动态优化理论的应用广泛，从网络优化到资源分配，都能够从中受益。
一、概述动态优化理论是一种通过不断更新和调整解决方案的方法，以适应问题在时间和空间上的动态变化。
它通过分析和比较不同的决策路径，找到在特定条件下获得最优解的策略。
动态优化理论的核心思想是在每个时间步骤或状态下，基于当前信息做出最优的决策，以达到全局最优解。
二、动态规划动态规划是动态优化理论中最常用的方法之一。
它将问题划分为一系列子问题，并通过求解子问题的最优解来获得原始问题的最优解。
动态规划的关键是将问题划分为可重复的子问题，以及定义递推关系式。
通过计算和存储中间结果，可以大大减少计算量和时间复杂度，提高求解效率。
三、贪心算法贪心算法是另一种常用的动态优化方法。
它不同于动态规划，贪心算法每次只考虑局部最优解，而不管全局情况。
贪心算法的基本原理是每一步都选择当前状态下最优解，而不进行回溯和重新计算。
虽然贪心算法可能无法获得全局最优解，但在某些情况下，它可以提供较好的近似解。
四、动态优化的应用动态优化理论在实际问题中有广泛的应用。
例如，它在网络优化中可以用于路由算法的决策过程，根据不同的网络拓扑和实时负载情况，选择最优的路由路径。
另外，动态优化理论也可以应用于资源分配问题，如航空运输中的航班调度和货物装载优化。
五、案例分析为了更好地理解动态优化理论的应用，我们以货物装载优化为例进行分析。
假设有一艘货船需要在给定的货箱数量和总容量限制下，实现最优的货物装载方案。
根据动态优化理论，我们可以分别考虑不同船舱和货箱的组合，计算每种情况下的装载效益，然后选择最优的组合方案。
六、总结动态优化理论是一种重要的优化方法，它通过考虑问题的动态变化和调整，寻找最优解。
动态规划和贪心算法是动态优化理论中常用的方法。
它们在网络优化、资源分配等问题中有广泛的应用。
热力系统动态优化模型
当非调节抽汽位于再热器与凝汽器之间时，
σ i = 0 ；当非调节抽汽位于锅炉与再热器之间时， σ i = σ ( σ 为单位工质流过再热器时的吸热量)。
4 热力系统主参数变化时主循环效率增量 计算方法
热力系统主参数是指主汽压力、温度，再热 压力、温度，排汽压力和加热器端差等。设想主 参数以实际工况为起点经历一个有限的虚变化， 计算虚变化对热力系统主循环热效率的影响。在 计算中，认为虚变化未影响到流量分布矩阵 A−1。 （ 1 ）当主汽压力或温度经历一个虚变化时， 受到影响的变量为从锅炉和再热器的吸热量及位 于锅炉和再热器之间的非调节抽汽焓，对于式(10) 取差分得
e0 A−1 1 ... 0 ... 0 # # # # A−1 = IA−1 = 0 ... 1 ... 0 A−1 = ei A−1 # # # # e A−1 0 ... 0 ... 1 n
ηi =
(5)
式中 ei 表示第 i 个分量为 1、其余分量为 0、维 数为 (n+1)的行向量，也是第 i 能级有单位能量的 广义热量。 从式 (5)右边可以看出：一方面， ei A−1 表示 从 A−1 中取出第 i 行元素所组成的行向量；另一 方面，根据式 (4)， ei A−1 又表示仅第 i 能级有单 位吸热的广义热量 ei 加入热力系统所产生的流 量分布向量。因此， A−1 是由各能级单位吸热所 产生的 流量 分布 向量 逐行 排列 而成的矩 阵， 故 称 A−1 为流量分布矩阵。 3.2 主循环流量分布计算 在热力系统的主循环中，产生流量分布的外
(3)
部作用有锅炉吸热(不包括再热器吸热)和给水泵焓 升，以锅炉单位吸热(不包括再热器吸热)为计量单 位，可将这两种作用写成广义热量形式，即 a BP = [1, " , ∆τ p q0 , " ,0] 式中
基于滚动计划的动态企业资源优化模型
Ｋｅ ｙ ｗｏｒ ｓ： ｎ ｇ ｍ ｅ ｔｓ ｉｎｃ ｎ ｎｇｎ ｅ ｉ ｇ；ｄ ｎ ｍ ｉ ｐ ｉ ｚ ｔｏ ｄ ｌ ｏ ｌ ｇ ｐａ ｎ ｎ ｄ ｍａ ａ ｅ ｎ ｃｅ ｅ ａ ｄ ｅ ｉ ｅ ｒｎ ｙ ａ ｃ ｏ ｔｍｉａｉｎ ｍｏ ｅ ；ｒ ｌｉ ｌｎ ｉ ｇ；ｅ ｔｒ ｒｓ ｅ ｎ ｎ ｅ ｐ ｉｅ ｒ －
第 １ ９卷 第 ３期
２１ ０ ０年 ６月
运 筹 与 管 理
ＯＰＥＲＡＴ ＯＮＳ Ｉ ＲＥＳＥＡＲＣＨ ＡＮＤ ＭＡＮＡＧＥＭＥＮＴ ＳＣＩ ＥＮＣＥ
Ｖｏ ． ９， ． １ １ Ｎｏ ３
Ｊ ｎ． ０１ ｕ ２ ０
基 于滚 动 计划 的动 态企 业 资 源优 化模 型
ｐ ｓ ｄ，ｗｈｉｈ ｉ ａ ａ ｌ ｆｒ ａ ｉ ｐ ｉ ｉｉ ｇ ｔ ｅ ｅ ｔｒ ｒｓ ｅ ｏ ｒ ｅ Ｉｓ ｃ ｒ ｄ ｌ ｓａ ｄ ｎ ｍｉ ｎ ｅｐ ｉｅ ｏｅ ｃ ｓ ｃ ｐ ｂ ｅ ｏ ｅ ｌｔｍｅ ｏ ｔ ｚｎ ｈ ｎ ｅ ｐ ｉｅ ｒ ｓ ｕ ｃ ． ｔ ｏ ｅ ｍｏ ｕｅ ｉ ｙ ａ ｃ ｅ ｔｒ ｒｓ ｍ
ｒ ｓ ｕ ｃ ｐ ｉ ｚ ｔ ｎ ｍ ｏ ｌｂ ｓ ｄ ｏ ｏ ｌ ｇ ｐｌｎ ｉ ｇ Ｔ ｅｈ ｄ ａ ｄ ａ ｖ ｎ ａ ｅ ｏ ｎ ｒ ｄ ｃｉｎ ｏ ｏ ｌ ｇ ｈ ｒ－ ｅ ｏ ｒ ｅ ｏ ｔｍｉａｉ ｄｅ ａ ｅ ｎ ｒ ｌｉ ａ ｎ ｎ ． ｈｅｍ ｔ ｏ ｎ ｄ ａ ｔ ｇ ｆｉｔｏ ｕ ｔｏ ｆｒ ｌｉ ｏ ｉ ｏ ｎ ｎ
动态优化
第四讲：动态优化（连续时间，之一）这里是最自由的课堂。
既无迟到，更无早退一说。
可以大声喧哗，可以戚戚私语。
但起码我们将互相尊重。
第四讲：动态优化（连续时间）明尼苏达大学的学生通常擅长于离散时间模型，而芝加哥大学的学生则倾向于连续时间模型。
当然这也不绝对。
我的论文一般使用连续时间，应为其表达式干净漂亮。
但在和恒甫合作的一篇文章里 (Journal of Monetary Economics, 1998), 我们用的是离散时间。
离散时间的优点是比较直观，而且如果要想将理论联系实际的话，离散时间更方便，因为绝大部分数据是离散的，比如通货膨胀率，经济增长率等都只有monthly or quarterly data.离散时间模型最后将导致一系列差分方程组：比如在吃蛋糕的问题中，我们有：with , .这个差分方程组很好解。
但在一般情形下差分方程看上去会很乱。
当然如果我们只在乎数值解，则离散时间是很合适的。
对理论家而言，连续时间模型可能更方便。
最终要解的是微分方程组。
微分方程看上去比较 neat. 不少同学可能很害怕微分方程，我在这里给大家先打点基础。
让代表关于时间的导数，即：既然号称是张尧庭的学生，我就先从最简单的讲起。
首先，注意到： if , then . Namely, the growth rate of , denoted by , is .那么，微分方程的解是什么呢？答案是：. 注意不要忘掉.请问怎样解 where and are constant?只要注意到上述方程等同于:就知道:另外， 希望大家记住下面的一些有关增长率的公式， 可大大加快你的运算速度。
If , then推论： If , then而且你可以验证： If , then for any parameter .我想我们已经准备的差不多了。
下面讲动态优化（连续时间 and Infinite Horizon ）。
最简单的情形： one control variable (x) and one state variable (z).第一步： 将问题标准化如下with given.这里， 是状态变量，限制条件(4.2)描述 怎样随时间变化。
优化模型举例课件
03
非线性规划模型
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
非线性规划模型的定义
非线性规划模型是一种数学优化模型，用于解决具有非线 性约束和目标函数的优化问题。
它通过寻找一组变量的最优组合，使得目标函数达到最小 或最大值，同时满足一系列非线性约束条件。
非线性规划模型的求解方法
ERA
动态规划模型的定义
动态规划模型是一种通过将原问题分 解为相互重叠的子问题，并存储子问 题的解以避免重复计算，从而高效地 解决优化问题的数学方法。
它通常用于处理具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 较小的子问题并存储它们的解，以避 免重复计算，从而提高算法的效率。
动态规划模型的求解方法
投资组合优化
利用非线性规划模型对投 资组合进行优化，实现风 险和收益的平衡。
物流配送优化
通过非线性规划模型优化 物流配送路线和车辆调度 ，降低运输成本和提高效 率。
04
整数规划模型
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
整数规划模型的定义
整数规划模型是数学优化模型的一种，它要求决策变量取整数值，以实现某种最优 目标。
Ford算法。
背包问题
使用动态规划求解0/1背包问题和 完全背包问题等优化问题。
排班问题
使用动态规划求解医生排班问题和 工厂调度问题等资源分配问题。
THANKS
感谢观看
整数规划模型广泛应用于组合优化、生产计划、资源分配、金融投资等领域。
整数规划模型的一般形式为：min/max (c^T x) s.t. (A x <= b) and (x) is integer 。
动态优化Dynamic Optimization 1p1 Lecture 1. Introduction
... 2 ∂ L / ∂x1∂xk k (−1) ∂g1 / ∂x1 ... ∂g m / ∂x1
... ∂ 2 L / ∂x1∂xk ... 2 ... ∂ 2 L / ∂x1 ∂g1 / ∂xk ... ... ... ∂g m / ∂xk
∂g1 / ∂x1 ... ∂g1 / ∂xk 0 ... 0
Necessary
conditions for a point x* to maximize a twice continuously differentiable function f(x): f ′( x* ) = 0 ( F .O.C )
f ′′( x* ) ≤ 0 ( S .O.C )
5
Nonlinear Programming
For
a twice continuously differentiable function f(x1,x2,…,xn) of n variables, necessary conditions for x*=[x*1,x*2,…,x*n] to maximize f(x1,x2,…,xn) is: F.O.C.: f i ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0, i = 1,2,..., n
6
Nonlinear Programming: Example 1
Maximize f ( x, y ) = xy + 9 y − x 2 − y 3 / 12 F.O.C.: f = y − 2 x = 0 x 2 − = + 9 /4=0 x f x y They are satisfied at (1/2 + (37/4)1/2,1 + 371/2) and at (1/2 − (37/4)1/2,1 − 371/2). S.O.C.: f = −2 < 0, f xx xy = 1, f yy = − y / 2 < 0 −2 1 H = 1 − y / 2 = y −1 They are satisfied at the first solution.
动态排队优化中的模型建立及求解研究
动态排队优化中的模型建立及求解研究一、模型建立动态排队系统中，需要考虑到排队人数、服务时间、排队规则等多个因素，因此建立一个合适的排队模型至关重要。
下面将介绍几种常见的动态排队模型。
1.离散事件模型离散事件模型是一种常用的动态排队模型，该模型基于事件的发生和处理来模拟排队系统的运行。
事件可以是顾客到达、服务开始、服务完成等，通过事件的发生和处理，可以获得系统中的各项指标，如平均等待时间、平均服务时间等。
2.马尔可夫决策过程模型马尔可夫决策过程模型是一种用于描述动态系统中随机决策的模型。
在排队系统中，可以将顾客的到达和离开视为系统状态的变化，并将服务员决策的过程建模为马尔可夫决策过程。
通过求解该模型，可以获得最优的决策策略，从而优化排队系统的效率和服务质量。
3.非线性规划模型非线性规划模型可以用于建立动态排队系统的优化模型。
该模型通过将排队系统的各项指标作为目标函数，同时考虑排队的约束条件，如服务时间限制、顾客到达规律等，得到一个最优的决策方案。
二、求解方法建立好模型后，需要采用适当的求解方法来求解模型，从而得到最优的排队策略。
1.数值求解方法常用的数值求解方法包括迭代法、模拟退火法、遗传算法等。
这些方法通常基于对模型进行离散化或离散事件模拟，通过遍历空间来寻找最优的排队策略。
2.强化学习方法强化学习是一种通过与环境交互来学习最优决策的方法。
在排队系统中，可以将服务员的决策视为智能体的动作，顾客的到达和离开视为环境的反馈，通过不断与环境交互，智能体可以学习到最优的排队策略。
常用的强化学习方法包括Q-learning、深度强化学习等。
3.模拟仿真方法模拟仿真是一种利用计算机模拟排队系统运行的方法。
通过对排队系统进行建模，并利用随机数生成顾客到达和服务时间，可以模拟大量的排队实验，从而获得排队系统的各项指标。
通过对不同排队策略进行模拟仿真，可以评估不同策略的性能，并得到最优的排队策略。
总之，动态排队优化中的模型建立及求解研究是一个复杂而重要的问题，需要考虑到排队系统的各种特点和约束条件，并采用适当的建模和求解方法来获得最优的排队策略。
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• 对函数施加的闭约束, 如对生产率的限制 Ax(t)B 可能导致古典变分法的失败.
3 国民收入的增长
背景和问题
• 国民经济收入的来源: 扩大再生产的积累 资金, 满足人民生活需要的消费资金 .
• 如何安排积累资金和消费资金的比例， 使国民经济收入得到最快的增长.
I ( x ( t) ,u ( t) ) t2 [ F ( t,x ,u ) ( t) (f( t,x ,u ) x ) ] d t t 1
t2 (H x)dt t1
H ( t ,x ,u ) F ( t ,x ,u ) ( t ) f( t ,x ,u )
欧拉方程
容许函数 x(t)的一个端点固定: x(t1)=x1，另一个端点
在给定曲线 x=(t) 上变动: x(t2)= (t2) (t2可变).
欧拉方程在变动端点的定解条件 x
[F(x)Fx]tt20
• x=(t)垂直于横轴 (t2固定)
.
A
o
x=(t)
. x(t)
B
t2
t
Fx t t2 0
使国民收入 x(t)增长最快的最优积累率是常数 u=a/2b
结果 对于最简模型 x(t)u(abu)x不必解泛函 解释 极值问题, 可以直接得到 u=a/2b时x ( t ) 最大.
4 渔船出海
背景和问题
• 继续讨论开发渔业资源的最大经济效益模型. • 用出海渔船数量表示捕捞强度, 作为控制函数.
2gy
y
满足条件
质点沿曲线y(x)
从A到B的时间
J(y(x)) x1
1 y2 dx
0 2gy
y(0) 0, y(x1) y1
求y(x) 使 J(y(x)) 达到最小.
短 给定曲面上的两个点A, B,
程 线
求曲面上连接A, B的最短曲线.
问 建立坐标系 曲面方程f(x,y,z)=0
y2
c
y
F y F xy F yyy F yyy0
y(1y2)d dx(FyFy)
0
FyFy c
y(1y2)1/c2
xycc11((1t sciontst))c2圆滚线方程 c2=0, c1由y(x1)=y1确定.
横截条件(变动端点问题)
分析与假设
生产任务: t=0开始生产, t=T提供数量为Q的产品.
生产计划(累积产量): x(t) 生产率(单位时间产量): x(t )
生产费用 f (x(t))
贮存费用 g(x(t))
T
总费用 C (x(t))0[f(x(t))g(x(t))]dt
• 生产率提高一个单位的生产费用与生产率成正比
df x d x&
f(x(t))k1x2(t)
• 贮存费用与贮存量成正比 g(x(t))k2x(t)
模型与求解
求x(t) (0, 0tT)使C(x(t))最小.
C (x(t))0 T[k1x2(t)k2x(t)]dt x(0)0,x(T)Q
欧拉方程
Fk1x2(t)k2x(t)
泛函、泛函的变分和极值 自变量t，函数x(t), y(t)
函数、函数的微分和极值
1. 对于t在某域的任一个值, 有y的一个值与之对应, 称y是 t的函数，记作y=f(t)
泛函、泛函的变分和极值
1.对于某函数集合的每一个函 数x(t), 有J的一个值与之对应, 称J是x(t)的泛函, 记作J(x(t))
2 生产计划的制订
问题 • 生产任务是在一定时间内提供一定数量的产品.
• 生产费用随着生产率(单位时间的产量)的增加而变大. • 贮存费用随着已经生产出来的产量的增加而变大. • 生产计划用每一时刻的累积产量表示.
建模目的
寻求最优生产计划, 使完成生产任务所需的总费用 (生产费用与贮存费用之和)最小.
• 从最优控制的角度讨论十分简化的模型.
一般模型
积累率 u(t)=y(t)/x(t)
国民经济收入 x(t)，其中用于积累资金的部分y(t),
求最优积累率使国民收入 x(t)在时间T内增长最快.
国民收入增长率 x(t)f(t,x,u),x(0)x0,max(T x)
对偶等价 x ( t) f( t,x ,u )x ( , 0 ) x 0 ,x ( T ) x 1 ,minJ(u(t))0Tdt
3. 泛函J(x(t))在x0(t)的增量记
作J = J(x0(t)+ x(t))- J(x0(t)),
J的线性主部称泛函的变分,
记作 J(x0(t))
泛函、泛函的变分和极值
函数、函数的微分和极值 泛函、泛函的变分和极值
4. 若函数y在域内t点达到极 4. 若泛函J(x(t))在函数集合内的x(t)
• 当渔场鱼量增长到一定数量后才出海捕捞. • 用特殊形式的控制函数将动态优化问题化为
通过两个古典问题介绍变分法的基本概念, 给出主要结果.
速 给定竖直平面内不在一条垂直线上的两个点A, B,
降 线 问
求连接A, B的光滑曲线，使质 点在重力作用下沿该曲线以最
.A
题 短时间从A滑到B (摩擦力不计).
.B
若沿直线段AB下滑, 路径虽短, 但速度增长慢;
若沿陡峭曲线下滑, 虽路径加长，但速度增长很快.
求解 f u ( t , x , u ) 0 u(abu)x ( a 2 b u ) x 0
x(t) f (t, x,u )
x(t) u (a bu ) x
x (0 ) x0, x (T ) x1
x (0) x0, x (T ) x1
u(t)2 a b,x(t)x0e4 ab 2t,T4 ab 2lnx x1 0
• x=(t)平行于横轴 [FxFx] tt20
包含多个未知函数泛函的欧拉方程
J (x (t),u (t))t2F (t,x (t),x (t),u (t),u (t))d t t1
欧拉方程 Fxd dtFx 0, F ud dtF u 0
泛函的条件极值 J(u(t))t2F(t,x(t),u(t))dt t1
速 建立坐标系xOy, A(0,0), B(x1,y1), 曲线AB ~y=y(x)
降 线
曲线弧长
ds 1 y2dx
.O A
x
问 质点在曲线y(x)上的速度ds/dt
题 能量守恒
1 m(ds)2 mgy 2 dt
y=y(x)
.B
m~质点质量， g~重力加速度 dt 1 y2 dx
欧拉方程 两个任意常数由 x(t1)x1, x(t2)x2确定
固定端点条件下的泛函
用欧拉方程解速降线问题
求y(x) 使
J(y(x)) x1 0
1 y2 dx
2gy
达到最小
,
且
y(0)0,y(x1)y1
欧拉方程
F(y, y) 1 y2 y
F x F tx F x x x F x x x 01y2
国民收入相对增长率 x(t)/ x(t)
假设 • 积累率u较小时 x(t)/ x(t)随u的增加而增加
~积累资金扩大再生产的促进作用.
• 随着u的变大 x(t)/ x(t)的增加变慢.
• u增加到一定程度后 x(t)/ x(t)反而减小 ~消费资金太少对国民收入的制约作用.
描述以上假设的最简模型
J(x(t)x(t))00
欧拉方程(最简泛函极值的必要条件)
最简泛函
J(x(t))t2F(t,x(t),x(t))dt t1
F具有二阶连续偏导数，x(t)为二阶可微函数
J(x(t))在x(t)达到极值的必要条件: x(t)满足二阶微分方程
Fx
d dt
Fx&
0
F x F tx F x x x F x x x 0
Hamilton函数
(H
x)x
d dt
(H
x)x
0
H (t) 0 x
(t) H x
H
(H
x)u
d dt
(H
x)u
0
H 0 u
0 u x f (t, x,u )
由方程组和端点条件解出最优控制u(t)和最优轨线x(t).
动态优化模型 （完整版）
静态优化问题
优化目标是数值 最优策略是数值
动态优化问题
优化目标是数值 最优策略是函数
• 函数对应的数值称为泛函(函数的函数). • 连续动态过程的优化归结为求泛函的极值. • 求泛函极值的常用方法: 变分法、最优控制论. • 离散动态过程的优化 ~ 动态规划模型.
1 速降线与短程线
泛函条件极值
(t) fx (t, x , u )
哈密顿函数
fu (t, x,u ) 0
H1f(t,x,u) x ( t ) f ( t , x , u )
x (0 ) x0, x (T ) x1
求解最优控制函数u(t)和最优状态x(t).
简化模型 讨论函数f的具体、简化形式
求u(t)U (容许集合) 使J(u(t))在条件 x (t)f(t,x(t)u ,(t) 下达到极值, 且x(t)X (容许集合)
最优控制问题: u(t)~控制函数, x(t)~状态函数(轨线).
泛函的条件极值 用拉格朗日乘子化为无条件极值
J(u(t))t2F(t,x(t),u(t))dt x (t)f(t,x (t),u (t)) t1
生产费用 f(x(t))k1x2(t)
df dx
~ 边际成本
贮存费用 g(x(t))k2x(t)