第十八章动态优化模型
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这里 是变动的，不妨用参数形式表示为
寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有
（11）
再对（11）式做如下分析：
（ ）对每一个固定的 ， 都满足欧拉方程，即（11）式右端的第一项积分为零；
（ ）为考察（11）式的第二、第三项，建立 与 之间的关系，因为
对 求导并令 得
即
（12）
( ) 不依赖于 ，即
这时 ，欧拉方程为 ，这个方程以隐函数形式给出 ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。
( ) 不依赖 ，即
欧拉方程为
将上式积分一次，便得首次积分 ，由此可求出 ，积分后得到可能的极值曲线族
( ) 只依赖于 ，即
这时 ，欧拉方程为
由此可设 或 ，如果 ，则得到含有两个参数的直线族 。另外若 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 的直线族 ，它包含于上面含有两个参数的直线族 中，于是，在 情况下，极值曲线必然是直线族。
（1）
容许函数集可表示为
（2）
最简单的一类泛函表为
（3）
被积函数 包含自变量 ，未知函数 及导数 。（1）式是最简泛函。
1.1.2泛函的极值
泛函 在 取得极小值是指，对于任意一个与 接近的 ，都有 。所谓接近，可以用距离 来度量，而距离定义为
泛函的极大值可以类似地定义。 称为泛函的极值函数或极值曲线。
第十八章动态优化模型
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。
§1变分法简介
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。
引理 ， ， ，有
，
则 。
1.2无约束条件的泛函极值
求泛函
（6）
的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线 ，使给定的二阶连续可微函数 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为 。
1.2.1端点固定的情况
设容许曲线 满足边界条件
， （7）
且二次可微。
首先计算（6）式的变分：
（8）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 ，有
，
再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有
因为 的任意性，及 ，所以由基本引理得到著名的欧拉方程
（9）
它是这类最简泛函取极值的必要条件。
（9）式又可记作
（10）
通常这是 的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确定。
1.2.2最简泛函的几种特殊情形
把（12）代入（11）并利用 的任意性，得
（13）
（13）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。
横截条件有两种常见的特殊情况：
（ ）当 是垂直横轴的直线时， 固定， 自由，并称 为自由端点。此时（11）式中 及 的任意性，便得自由端点的横截条件
（Leabharlann Baidu4）
（ ）当 是平行横轴的直线时， 自由， 固定，并称 为平动端点。此时 ，（13）式的横截条件变为
（4）
这是因为当变分存在时，增量
根据 和 的性质有
所以
1.1.4极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
若 在 达到极值（极大或极小），则
（5）
这是因为对任意给定的 ， 是变量 的函数，该函数在 处达到极值。根据函数极值的必要条件知
于是由（4）式直接得到（5）式。
1.1.5.变分法的基本引理
1.1.3泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 在 的增量记为
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
如果 可以表为
其中 为 的线性项，而 是 的高阶项，则 称为泛函在 的变分，记作 。用变动的 代替 ，就有 。
泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数：
1.1变分法的基本概念
1.1.1泛函
设 为一函数集合，若对于每一个函数 有一个实数 与之对应，则称 是对应在 上的泛函，记作 。 称为 的容许函数集。
通俗地说，泛函就是“函数的函数”。
例如对于 平面上过定点 和 的每一条光滑曲线 ，绕 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 的泛函 。由微积分知识不难写出
解将 点取为坐标原点， 轴水平向右， 轴垂直向下， 点为 。根据能量守恒定律，质点在曲线 上任一点处的速度 满足（ 为弧长）
将 代入上式得
于是质点滑行时间应表为 的泛函
端点条件为
最速降线满足欧拉方程，因为
不含自变量 ，所以方程（10）可写作
等价于
作一次积分得
令 则方程化为
又因
积分之，得
由边界条件 ，可知 ，故得
（ ） 只依赖于 和 ，即
这时有 ，故欧拉方程为
此方程具有首次积分为
事实上，注意到 不依赖于 ，于是有
。
例1(最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于1696年提出的。问题的提法是这样的：设 和 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 和 的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 滑行至 时，使所需时间最短。
（15）
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
1.3有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
（16）
寻求最优性能指标（目标函数）
的极值曲线 必满足欧拉方程组
（ ）含高阶导数的泛函
使泛函
取极值且满足固定边界条件
,
的极值曲线 必满足微分方程
（ ）含多元函数的泛函
设 ，使泛函
取极值且在区域 的边界线 上取已知值的极值函数 必满足方程
上式称为奥式方程。
1.2.4端点变动的情况（横截条件）
设容许曲线 在 固定，在另一端点 时不固定，是沿着给定的曲线 上变动。于是端点条件表示为
这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数 可利用另一边界条件 来确定。
例2最小旋转面问题
解因 不包含 ，故有首次积分
化简得
令 ，代入上式，
由于
积分之，得
消去 ，就得到 。
这是悬链线方程。
1.2.3最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
（ⅰ）含多个函数的泛函
使泛函
取极值且满足固定边界条件
寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有
（11）
再对（11）式做如下分析：
（ ）对每一个固定的 ， 都满足欧拉方程，即（11）式右端的第一项积分为零；
（ ）为考察（11）式的第二、第三项，建立 与 之间的关系，因为
对 求导并令 得
即
（12）
( ) 不依赖于 ，即
这时 ，欧拉方程为 ，这个方程以隐函数形式给出 ，但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。
( ) 不依赖 ，即
欧拉方程为
将上式积分一次，便得首次积分 ，由此可求出 ，积分后得到可能的极值曲线族
( ) 只依赖于 ，即
这时 ，欧拉方程为
由此可设 或 ，如果 ，则得到含有两个参数的直线族 。另外若 有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数 的直线族 ，它包含于上面含有两个参数的直线族 中，于是，在 情况下，极值曲线必然是直线族。
（1）
容许函数集可表示为
（2）
最简单的一类泛函表为
（3）
被积函数 包含自变量 ，未知函数 及导数 。（1）式是最简泛函。
1.1.2泛函的极值
泛函 在 取得极小值是指，对于任意一个与 接近的 ，都有 。所谓接近，可以用距离 来度量，而距离定义为
泛函的极大值可以类似地定义。 称为泛函的极值函数或极值曲线。
第十八章动态优化模型
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。
§1变分法简介
变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。
引理 ， ， ，有
，
则 。
1.2无约束条件的泛函极值
求泛函
（6）
的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线 ，使给定的二阶连续可微函数 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为 。
1.2.1端点固定的情况
设容许曲线 满足边界条件
， （7）
且二次可微。
首先计算（6）式的变分：
（8）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 ，有
，
再代回到（8）式，并利用泛函取极值的必要条件，有
因为 的任意性，及 ，所以由基本引理得到著名的欧拉方程
（9）
它是这类最简泛函取极值的必要条件。
（9）式又可记作
（10）
通常这是 的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确定。
1.2.2最简泛函的几种特殊情形
把（12）代入（11）并利用 的任意性，得
（13）
（13）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。
横截条件有两种常见的特殊情况：
（ ）当 是垂直横轴的直线时， 固定， 自由，并称 为自由端点。此时（11）式中 及 的任意性，便得自由端点的横截条件
（Leabharlann Baidu4）
（ ）当 是平行横轴的直线时， 自由， 固定，并称 为平动端点。此时 ，（13）式的横截条件变为
（4）
这是因为当变分存在时，增量
根据 和 的性质有
所以
1.1.4极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系：
若 在 达到极值（极大或极小），则
（5）
这是因为对任意给定的 ， 是变量 的函数，该函数在 处达到极值。根据函数极值的必要条件知
于是由（4）式直接得到（5）式。
1.1.5.变分法的基本引理
1.1.3泛函的变分
如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数 在 的增量记为
也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作
如果 可以表为
其中 为 的线性项，而 是 的高阶项，则 称为泛函在 的变分，记作 。用变动的 代替 ，就有 。
泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数 的导数：
1.1变分法的基本概念
1.1.1泛函
设 为一函数集合，若对于每一个函数 有一个实数 与之对应，则称 是对应在 上的泛函，记作 。 称为 的容许函数集。
通俗地说，泛函就是“函数的函数”。
例如对于 平面上过定点 和 的每一条光滑曲线 ，绕 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线 的泛函 。由微积分知识不难写出
解将 点取为坐标原点， 轴水平向右， 轴垂直向下， 点为 。根据能量守恒定律，质点在曲线 上任一点处的速度 满足（ 为弧长）
将 代入上式得
于是质点滑行时间应表为 的泛函
端点条件为
最速降线满足欧拉方程，因为
不含自变量 ，所以方程（10）可写作
等价于
作一次积分得
令 则方程化为
又因
积分之，得
由边界条件 ，可知 ，故得
（ ） 只依赖于 和 ，即
这时有 ，故欧拉方程为
此方程具有首次积分为
事实上，注意到 不依赖于 ，于是有
。
例1(最速降线问题)最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。它是约翰·贝努里（J. Bernoulli）于1696年提出的。问题的提法是这样的：设 和 是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结 和 的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从 滑行至 时，使所需时间最短。
（15）
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
1.3有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
（16）
寻求最优性能指标（目标函数）
的极值曲线 必满足欧拉方程组
（ ）含高阶导数的泛函
使泛函
取极值且满足固定边界条件
,
的极值曲线 必满足微分方程
（ ）含多元函数的泛函
设 ，使泛函
取极值且在区域 的边界线 上取已知值的极值函数 必满足方程
上式称为奥式方程。
1.2.4端点变动的情况（横截条件）
设容许曲线 在 固定，在另一端点 时不固定，是沿着给定的曲线 上变动。于是端点条件表示为
这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数 可利用另一边界条件 来确定。
例2最小旋转面问题
解因 不包含 ，故有首次积分
化简得
令 ，代入上式，
由于
积分之，得
消去 ，就得到 。
这是悬链线方程。
1.2.3最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
（ⅰ）含多个函数的泛函
使泛函
取极值且满足固定边界条件