优化模型举例

标函数的优化模型。 97年A题：“零件的参数设计”，随机优化模型。 97年B题：“截断切割”，动态优化模型。 98年A题：“投资的收益和风险”，双目标优
化模型。
98年B题：“灾情巡视的最佳路线”，0-1线性
规划模型。
2013-9-6
99年A题：“自动化车床管理”，双参数规划模型。
99年B题：“钻井布局”，非线性混合整数规划模
下的最大值或最小值，其中
x f ( x)
x
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设计变量（决策变量） 目标函数 可行域
min(or max)u f ( x) x
s. t. hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
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2013-9-6
优化模型是中国大学生建模竞赛常见的类型， 占很大的比重。
92 年以来，优化模型有： 94年A题：“逢山开路”设计最短路径。 95年A题：“一个飞行管理问题”，线性规划 和非线性规划模型。 96年A题：“最优捕鱼策略”，以微分方程为
基础的优化模型。
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96年B题：“洗衣节水问题”，以用水量为目
估计为30焦耳。假设捕食者每天不可超过120分钟用于从巢穴
到食物区来回行走，同时每天不可能花80分钟以上搜寻食物。 估计捕食者每天能获得的最大热量值是多少？
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一单位实物 行走时间(分钟) 捕获时间(分钟) 热量(焦耳)
X Y
2 3
2 1
25 30
假设捕食者每天能得到 x 单位的食物 X 和 y 单位的食物 Y ，则每天获得的热量值为

18, 21.5, 12.5, 23, 10.5, 32
1., 0, 0, 0, 3., 0
49.5
这显然不是我们想要的结果。
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利用穷举法，得
点菜 价格（元） 点菜 价格（元）
1,2,3,6
4,2,1,6 4,5,1,2 4,5,1,6 4,5,3,1 1,2,3,5
84
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实例3 点菜问题
我们在餐馆中点菜， 需要包含 某些营养成份，但同时又希望总价 格最低。下表是这个餐馆的部分菜 单，请你提供合理的选菜方案。
价格(元 ) 蛋白质 淀粉 维生素 18 21.5 12.5 23 10.5 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 矿物质 1 1 0 0 0
06年A题：“出版社的资源优化配置”，线性规 划模型。
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（一）优化模型的数学描述
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
u f (x)
和
x ( x1, x2 , x3 ,...,xn )
在约束条件 hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
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发点
收点
B1 X11 X21
B2 X12 X22
…. ….. ….
Bn X1n X2n a1
A1
A2
….. Am
a2
….. am
Xm1
Xm2
…..
Xmn
b1
b2
….
bn
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A1的总费用
A1 ~ B j C11 x11 C12 x12 ... C1n x1n C1 j x1 j
约束条件：
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求解 注：0-1规划问题至今尚无好的算法，目前使
用的算法在很大程度上依赖于穷举法。
下面用Mathematica 软件，求得结果：
Input c={18,21.5,12.5,23.10.5,32} A={{1,0,0,1,0,1},{0,1,0,0,1,0},{1,0,1,0,0,0},{1,1,0,0,0,1}} b= {1,1,1,1} result=LinearProgramming{c,A,b} z=c.result
目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
min u f ( x) x
s. t. hi ( x) 0, i 1,2,...,m.
gi ( x) 0( gi ( x) 0),i 1,2,..., p.
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（2）线性规划（LP） 目标函数和所有的约束条件都是设计 变量的线性函数。

18, 21.5, 12.5, 23, 10.5, 32
1., 0, 0, 0, 1., 0
28.5
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进一步考虑 如果至少点四个不同的菜，结果又如何？
min z 18x1 21.5x2 12.5x3 23x4 10.5x5 32x6
x1 x4 x6 1 x x 1 2 5 x1 x3 1 s.t. x1 x2 x6 1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 4 x1 , x2 ,, x6 0 or 1
城市间的距离都是已知的，要求找出一条每个
城市都只到一次的旅行线路，使其总旅程最短。
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建模 TSP又称为货郎担问题。给这些城市编号。 出发城市为0，拟访问城市分别为1,2,…,n 问题就转化为：
,n} 求一个{1,2,的排序
{i1 , i2 ,, in } 使得
)
最小。
i0 in1 0
s. t.
subject to
“受约束于”之意
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（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件 有约束问题和无约束问题。 2.根据设计变量的性质 静态问题和动态问题。 3.根据目标函数和约束条件表达式的性质
线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
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（1）非线性规划
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n
4. 根据设计变量的允许值
整数规划（0-1规划）和实数规划。
5. 根据变量具有确定值还是随机值
确定规划和随机规划。
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（三）建立优化模型的一般步骤
1.确定设计变量和目标变量； 2.确定目标函数的表达式； 3.寻找约束条件。
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（四）线性规划模型举例
最优捕食策略
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利用mathematica 软件，得
Input c={18,21.5,12.5,23.10.5,32}
A={{1,0,0,1,0,1},{0,1,0,0,1,0},{1,0,1,0,0,0},{1,1,0,0,0,1},{1,1,1,1,1,1}} b= {1,1,1,1,4} result=LinearProgramming{c,A,b} z=c.result
d (i ,i
k 0 k
n
k 1
ik 1 其中 d (ik ,ik为城市 到ik 的距离， 1 )
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TSP的数学规划形式：
min d ij xij
i j
n 表示进入且仅进入城 j 一次; xij 1 i 0 n （P） s.t. xij 1 表示离开且仅离开城 i 一次; j 0 ui u j nxij n 1(1 i,j n,i j ) 保证连通性。 xij 0 or 1
其中 xij (0 i,j n), 表示若该旅行商在访问城 i xij 0 后接着访问城 j ，则令 xij 1 ，否则令
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定理：0-1规划问题(P) 即为旅行商问题。
证明：将 n+1个城市看作顶点，可以作为一个完
全图（即任意两点均有边相连图），{1,2,…,n}
的每一排序对应于图中一个由0点出发经每一顶
min u ci xi
i 1
n
aik xk bi , i 1,2,...,n. s.t. k 1 x 0, i 1,2,...,n. i
n
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（3）二次规划问题
目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
1 n min u f ( x) ci xi bij xi x j 2 i , j 1 i 1 n aij x j bi , i 1,2,...,n. s.t. j 1 x 0.i 1,2,...,n. i
型。
00年B题：“钢管订购和运输”，二次规划模型。
01年B题：“公交车调度”，双目标规划模型。
02年A题：“车灯线光源的优化设计”，规划模型。
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03年B题：“露天矿生产的车辆安排”，非线性 规划模型。 04年B题：“电力市场的输电阻塞管理”，双目 标线性规划模型。 05年B题：“DVD在现租赁”，0-1规划模型。
序号 1 2 3 4 5
菜单 菜肉蛋卷 炒猪肝 色拉 红烧排骨 咖喱土豆
6
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清汤全鸡
32
1
0
0
1
建模 设xi 表示点序号为i 的菜，则 目标函数：
min z 18x1 21.5x2 12.5x3 23x4 10.5x5 32x6
x1 x4 x6 1 x x 1 2 5 s.t. x1 x3 1 x x x 1 1 2 6 x1 , x2 , , x6 0 or 1
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实例2运输问题
设有某物资从m个发点A1,A2,…,Am输送到n个收点B1,B2,…,Bn， 其中每个发点发出量分别为 a1, a2 ,...,am 每个收点输入量分别 为 b1, b2 ,...,bn ，并且满足
m i 1 i
a b
j i
n
j
从发点A到收点B的距离（或单位运费）是已知的，设 为cij (i 1,2,...,m, j 1,2,...,n) 。一个调运方案主要由一组从发 点 Ai 到收点 B j 的输送量 xij 来描述。 问题：寻求一个调运方案，使总运输费用达到最小。
数学建模方法
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建立数学模型的方法
机理分析法 统计分析法 最小二乘法 回归分析法 聚类分析法 系统分析法 层次分析法 模糊数学法 灰色系统法
定性理论法
变分法 差分法 优化法
主成分分析法
马尔科夫预测法
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优化模型

• • • •
优化模型概述 优化模型举例
最优捕食策略 运输问题 点菜问题 旅行商问题
点一次最后回到0点的图。 现在只需证明 一个圈。
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{xij } 是 (P) 的可行解的充分
必要条件 xij 1 对应的边组成完全图中的
运输问题
点菜问题
旅行商问题
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实例1 最优捕食者策略
假设存在一种捕食者，穴居A处，在B和C处有两个食物
源X、Y。捕食者从巢穴A到区域B和C带回一单位的食物所需 的时间估计为2分钟和3分钟。捕食者在区域B平均花2分钟捕 获一单位食物X，而在区域C只花1分钟就捕获一单位食物Y。 一单位X所产生的热量估计为25焦耳，一单位Y所产生的热量
n j 1
A2的总费用
A2 ~ B j C21 x21 C22 x22 ... C2 n x2 n C2 j x2 j
j 1 n
总的费用
f Cij xij
i 1 j 1
m
n
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数学模型
min f Cij xij
i 1 j 1
m
n
n xij ai , i 1,2,...,m. j 1 m s.t. x b , j 1,2,...,n. ij j i 1 xij 0, i 1,2,...,m, j 1,2,...,n 求解：单纯形方法。
94.5 73 83.5 64 62.5
4,5,3,2
4,5,3,6 6,5,1,2 6,5,3,1 6,5,3,2
67.5
78 82 73 76.5
2ห้องสมุดไป่ตู้13-9-6
实例4 旅行商问题(Travelling Saleman Problem）
TSP 某商人由一城市出发，拟去已确定的n个
城市推销产品，最后回到出发城市。设任意两
maxu 25x 30 y 2 x 3 y 120 s.t 2 x y 80 x 0, y 0.
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y 80
图解法
2x+y=80
40
P(30,20)
U=25x+30y o 40 2x+3y=120
60
x
U=25*30+30*20=1350焦耳