初等模型

三、模型求解
当x=32时，实际需要支付的门票费 用y=120元；当x=40时，实际需要支付 的门票费用y=120元；当x=50时，实际 需要支付的门票费用y=150元。
拓展思考：
如果门票收费标准为：每人5元，20人以上 （含20人）40人以下（不含40人）的团 体票每人少1元，40人以上（含40人）的 团体票以6折优惠，请建立门票费用的函 数模型，并给出相应的购票策略。
一、模型假设与变量说明
1、假设一个参观团可以购买参观团人数的 门票数； 2、设参观团有x人，实际购买门票费为y 元，按x人购买x张门票费用为z元。
二、模型的分析与建立
若按参观团实际人数购门票，门票费用模型为：
5 x z 60%
x 40 x 40
在实际购买门票时，当x接近40人时，通过粗略 分析可知，按实际人数购买门票的费用可能高 于按40人购买团体票打折门票的费用。
三、模型求解
这里 y1 , y2 均为分段函数 ， 当 n 4000 时 ， 显然
y1 y2 0 ，所以 选择 A 出版社，当 n 4000 时，令 y1 y2 ，即
8% np 2n 60 p 6000 10 % np 3n 400 p 12000
6000 340 p 解之，得 n 2% p 1 4000
即
0.4724 x 0.2295 y,0 x y 60, 0.4724 x 0.2295 y ( x y 60) 0.08,60 x y 100, Z 0.4724 x 0.2295 y 3.2 0.11( x y 100),100 x y 150, 0.4724 x 0.2295 y 8.7 0.16( x y 150),150 x y
这里 x=200.y=100， 因为 x+y=300>150， 所以将 x=200， y=100 代入电费模型中的第 4 个，得 Z=150.13 元。
建议： 由于夜间电价不到白天 电价的一半，所以居民应
尽可能地在 23:00~次日 7:00 时段用电， 如一些耗电较 高的电热水器等可设置在夜间工作。另外，由于用电 越高，电价越高，所以，倡议居民养成节约用电 的好 习惯。
多元函数模型

在实际建模中，有时由于情况复杂，影 响决策变量的因素有多个，这时可以根 据需要建立多元函数模型。
居民电费模型
在中国有些地区，由于电力紧张，政府鼓励“错峰”用电， 四川省电网居民生活电价表（单位：元/kwh）规定“一户 一表”居民生活用电收费标准如下： （1）月用电量在60kwh及以下部分，每日7:00~23:00期间 用电，每千瓦时0.4724元；23:00~次日7:00期间用电， 每千瓦时0.2295元。 （2）月用电量在61kwh至100kwh部分，每千瓦时提高标 准0.08元。 （3）月用电量在100kwh至150kwh部分，每千瓦时提高标 准0.11元。
社会 ” 的口号 。水 、 电 、气 、粮食 等 式 每个家庭 的 必需品 ， 每个家庭 浪费一点 ，全国浪费的数字惊人 。因此 ，有必要了解 每个家庭 的基本
用量 ，制定合理 的 收费方案 ，保障居民 的 基本生活 需要 ，限制铺张浪 费。
排列组合及其他模型
旅游景点的选择模型
家住成都的小张准备暑假带孩子到北京及附近城市去 旅游，成都某旅行社开辟了以下两条旅游线路 线路一 线路二 北京、北戴河、天津 北京、沈阳、哈尔滨
初等模型
预备知识：

初等数学的代数、三角、几何、平面解 析几何和排列组合知识
学习目标：
掌握数学建模的基本方法与步骤； 掌握建立初等模型的方法

学习内容

一、一元函数模型 二、多元函数模型 三、排列组合及其它模型


一元函数模型
理财模型
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的 房屋搬进敬老院。有人向她建议将1百万用去 投资，并将投资回报支付各种保险。经过再三 考虑，她决定用其中的一部分去购买公司债 券，剩余部分存入银行。公司的债券的年回报 率是5.5%，银行的存款年利率是3%。 （1）假设老人购买了x万元的公司债券，试建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望获得45000元的年收入，则她至 少要购买多少公司债券。
二、模型的分析与建立
由以上分析可知，当 x 24 时按实际人数购买门
24 x 40 时选择按 40 人团体票 6 折优惠购 票；当
买门票；当 x 40 时选择团体票 6 折优惠购买门 票。参观团实际需要支付的门票费用模型如下：
5 x源自文库 y 120 60% 5 x 0 x 24 24 x 40 x 40
（4）月用电量在150kwh及以上部分，每千瓦时提高 标准0.16元。 根据以上规定，建立该地区“一户一表”居民用电量与 电费之间的函数关系模型，若某户居民6月份的用电 量为：7:00~23:00期间用了200kwh，23:00~次 日7:00期间用了100kwh，请计算这户居民6月份应 该缴纳的电费。根据所建立的模型为居民提供一个 合理化的用电建议。
一、模型假设与变量说明
1、电表能准确地显示每户居民各时段的月 用电量，且无公摊； 2、假设收费标准按月执行； 3、设Z为“一户一表”居民的月电量，居民 一个月内在时段7:00~23:00期间的用电 量为x，时段23:00~次日7:00的用电量 为y。
二、模型的分析建立与求解
居民的月用电量应为在时段 7:00~23:00 的用电量 x 与 在时段 23:00！次日 7:00 的用电量 y 的总和，当总用 电量超过 60kwh 而未超过 100kwh 时，超过 60kwh 部分的电量，居民需支付额外电费，以此类推。模型 如下：

一、模型假设与变量说明
1、假设不考虑投资公司债券的风险； 2、假设公司债券的红利与银行的力学系都是按 年支付，且利率固定； 3、假设老人将1百万全部用去购买公司债券或存 入银行，没有闲置； 4、设老人的年收入为I（万元），购买公司的债 券的金额为x万元，则存入银行的金额为100-x 万元，公司债券的年回报率为r1,银行存款的年 回报率为r2。
二、模型的分析与建立
出版社给作者的报酬 y（单位：元）为版税与稿酬和。 出版社 A 给作者的报酬为
6% np,0 n 3000, y1 8%(n 3000) p 2( n 3000) 6% 3000 p, n 3000
即
6% np,0 n 3000, y1 8%np 2n 60 p 6000, n 3000
0.4724 x 0.2295 y,0 x y 60, 0.4724 x 0.2295 y ( x y 60) 0.08,60 x y 100, Z 0.4724 x 0.2295 y 0.08 40 0.11( x y 100),100 x y 150, 0.4724 x 0.2295 y 0.08 40 0.11 50 0.16( x y 150),150 x y
拓展思考
1、 请你给出当地 理的使用建议 2、 电费 、 水费 、 天然气费 等 的 函数模型 ， 并给出 合 。
请根据 你的调查 确定 一个家庭 （ 按人口算 ） 水 、 电 、 天然气 的 最低月用量 ， 你有更好的价格方案吗 ？
中国人口众多
，各种资源十分匮乏
，因此 ，政府提出了 “ 建立节约型
于是，得以下结果 （1） 当销量 n （2） 当销量 n
6000 340 p 2% p 1 时，选择 A 出版社；
6000 340 p 2% p 1 时，选择 A、B 出版社所
得的报酬相同，此时，作者可以在 A、B 两家 出版社之间任选一家； （3） 当销量 n
6000 340 p 2% p 1 时，选择 B 出版社。
出版社 B 给作者的报酬为：
0,0 n 4000 , y2 10 %(n 4000 ) p 3( n 4000 ), n 4000
即
0,0 n 4000 , y2 10 %np 3n 400 p 12000 , n 4000
将问题中的已知数据代入模型，得
I (5. 5% 3%) x 100 3% 2.5% x 3( 0 x 100 )
问题（ 2） 由问题（ 1）建立的模型可以看出，老人的年收入 I 与购买公司债券的金额 x 万元有关。已知年收入I=4.5 万元，要求投资公司债券的金额 x。将年收入 4.5 万 元代入模型，得 4.5=2.5%x+3.解之，得 x=60（万元） 所以如果刘艳红老人希望获得 45000 元的年收 入，则至少要购入 60 万元的公司债券。
拓展思考：
1、如果出版社C提供7%的版税，问作者又 该如何做出选择？ 2、如果出版社D提供版权费10万元，问作 者又该如何选择？ 3、请分析书的定价对作者选择出版社有何 影响？
案例多选：

【参观购票策略模型】某展览馆为鼓励 团体消费，门票收费标准为：每人5 元，40人以上（含40人）的团体票6折优 惠。试建立门票费用模型，简单分析购 票策略，并分别计算当有32名、40 名、50名学生入馆参观时需要支付的门 票费。
一、模型的假设与变量说明



1、假设该书的定价是固定的，与选择的 出版社无关。 2、假设该书的销售量是固定的，即选择 哪家出版社对销售量没有影响； 3、假设出版社的稿酬均按销售数量计； 4、设作者选择A,B两家出版社所得的报 酬分别为y1,y2（单位：元），销售量 为n册，书的定价为p元/本。
二、模型的分析与建立
事实上，按40人（团体票）购买享受6折优惠 的总门票费用为60%*5*40=120元，而这一 门票总费用相当于只购买了24人的门票。因 此当 24 x 40 时，按40人购买团体打折票 的费用低于按实际人数购买门票的费用；当 0 x 24 时，按实际人数购买门票的费用 低于120元，可以按实际人数购买门票。
出版社的稿酬模型
有两家出版社正在竞争一部新作的版权。A出版 社给作者的稿酬为：前3000册提供6%的版 税；超过3000册部分支付8%的版税另加每 本2元的稿酬。B出版社给作者的稿酬为： 前4000册不支付版税，但超过4000部分将支 付10%的版税另加每本3元的稿酬。请问作者 应选择哪一家出版社？

如今，理财已走进千家万户，在花样繁多的理财 产品（如公司债券、银行理财产品、股票、基 金、银行利息、保险、房地产等）中，有的风险 大，投资时间长，收入高；有的风险小，投资时 间短，收入低……如果不考虑投资风险，投资时 间等因素，且预期收益明确，就可以利用初等数 学的方法，建立初等模型，通过计算和比较，在 这些理财产品中做出明智选择，以确保预期收 益。
“薄利多销”、“量大从优”是一个重要的营销手段。一方 面它给顾客带来实惠，另一方面它增加了商家的销售 量。如何确定优惠方案，或打折方案也是一门学问。合 理的优惠方案会刺激消费，大大地增加消费量。达到增 加商家利润的目的，在制定优惠方案时，首先要考虑商 品的属性，是耐用品还是易耗品，是生活必需品还是奢 侈品，不同属性的商品价格对潜在的购买力的影响是不 一样，从而对商品销售的影响也不尽相同。一般来说， 耐用品和奢侈品的价格对市场销售量的影响要弱一些。
二、模型的分析、建立与求解
问题（ 1） 刘艳红老人的年收入 I（单位：万元）为购买公司债 券的红利收入 xr1 与银 行存款的利息收入 (100 x) r2 之 和。因此建立模型如下：
I xr1 (100 x) r2 0 x 100
即
I ( r1 r2 ) x 100 r2