最优化模型.
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
数学建模～最优化模型(课件)
投资组合优化
在风险和收益之间寻求平衡，通 过优化投资组合实现最大收益。
03
非线性规划模型
非线性规划问题的定义
目标函数
一个或多个非线性函数，表示 要最小化或最大化的目标。
约束条件
决策变量的取值受到某些限制 ，通常以等式或不等式形式给 出。
决策变量
问题中需要求解的未知数，通 常表示为x1, x2, ..., xn。
这是一种常用的求解整数规划问题的算法，通过不断将问题分解为更 小的子问题，并确定问题的下界和上界，逐步逼近最优解。
割平面法
该方法通过添加割平面来限制搜索区域，从而逼近最优解。
迭代改进法
该方法通过不断迭代和改进当前解，逐步逼近最优解。
遗传算法
这是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机 制来寻找最优解。
定义域
决策变量的取值范围，通常是 一个闭区间或开区间。
非线性规划问题的求解方法
梯度法
利用目标函数的梯度信息，通过迭代方法寻 找最优解。
共轭梯度法
结合梯度法和牛顿法的思想，通过迭代方法 寻找最优解。
牛顿法
利用目标函数的二阶导数信息，通过迭代方 法寻找最优解。
信赖域方法
在每次迭代中，通过限制搜索步长来保证求 解的稳定性。
02
线性规划模型
线性规划问题的定义
01
02
03
线性规划问题
在给定一组线性约束条件 下，求一组线性函数的最 大值或最小值的问题。
约束条件
包括资源限制、物理条件 等，通常以等式或不等式 形式给出。
目标函数
需要最大化或最小化的线 性函数，通常表示为决策 变量的线性组合。
线性规划问题的求解方法
数学建模最优化模型
数学建模最优化模型随着科学与技术的不断发展，数学建模已经成为解决复杂实际问题的一种重要方法。
在众多的数学建模方法中，最优化模型是一种常用的方法。
最优化模型的目标是找到最佳解决方案，使得一些目标函数取得最大或最小值。
最优化模型的基本思想是将实际问题抽象为一个数学模型，该模型包含了决策变量、约束条件和目标函数。
决策变量是需要优化的变量，约束条件是对决策变量的限制条件，目标函数是优化的目标。
最优化模型的求解方法可以分为线性规划、非线性规划和整数规划等。
线性规划是最优化模型中最基本的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的右边向量。
线性规划的目标是找到最优的决策变量向量x，使得目标函数的值最大或最小。
非线性规划是最优化模型中更为复杂的一种方法，其数学模型可以表示为：max/min f(x)s.t.g_i(x)<=0,i=1,2,...,mh_i(x)=0,i=1,2,...,p其中，f(x)是目标函数，g_i(x)是不等式约束条件，h_i(x)是等式约束条件。
非线性规划的求解过程通常需要使用迭代的方法，如牛顿法、拟牛顿法等。
整数规划是最优化模型中另一种重要的方法，其数学模型在线性规划的基础上增加了决策变量的整数限制。
max/min c^T xs.t.Ax<=bx>=0x是整数整数规划的求解通常更为困难，需要使用特殊的算法，如分支定界法、割平面法等。
最优化模型在实际问题中有着广泛的应用，如资源调度、生产计划、路线选择、金融投资等。
通过建立数学模型并求解，可以得到最优的决策方案，提高效益和效率。
总结起来，最优化模型是数学建模的重要方法之一、通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，再通过求解方法找到最佳解决方案。
最优化模型包括线性规划、非线性规划和整数规划等方法，应用广泛且效果显著。
多目标最优化模型
缺点
计算复杂度高
求解速度慢
难以找到全局最优 解
对初始解依赖性强
多目标最优化模 型的发展趋势
算法改进
进化算法：如遗传算法、粒子群算法等，在多目标优化问题中表现出色，能够找到多个非支配解。
机器学习算法：如深度学习、强化学习等，在处理大规模、高维度多目标优化问题时具有优势，能 够自动学习和优化目标函数。
金融投资
风险管理：多目标最 优化模型用于确定最 优投资组合，降低风 险并最大化收益。
资产配置：模型用于 分配资产，以实现多 个目标，例如最大化 收益和最小化风险。
投资决策：模型帮助 投资者在多个投资机 会中选择最优方案， 以实现多个目标。
绩效评估：模型用于评 估投资组合的绩效，以 便投资者了解其投资组 合是否达到预期目标。
混合算法：将多种算法进行融合，形成新的优化算法，以适应不同类型和规模的多目标优化问题。
代理模型：利用代理模型来近似替代真实的目标函数，从而加速多目标优化问题的求解过程。
应用拓展
人工智能领域的应用
金融领域的应用
物流领域的应用
医疗领域的应用
未来研究方向
算法改进：研究更高效的求解多目标最优化问题的算法 应用拓展：将多目标最优化模型应用于更多领域，如机器学习、数据挖掘等 理论深化：深入研究多目标最优化理论，提高模型的可解释性和可靠性 混合方法：结合多种优化方法，提高多目标最优化模型的性能和适用范围
资源分配
电力调度：多目标最优化模型用于协调不同区域的电力需求和供应，实现电力资源的 合理分配。
金融投资：多目标最优化模型用于确定投资组合，以最小风险实现最大收益，优化金 融资源分配。
最优化模型
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
2、模型
决策变量：设x j为第j天开始休息的人数( j 1, 2,, 7)
目标函数： min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 约束条件： x1 x2 x3 x4 x5 28 x2 x3 x4 x5 x6 15 x3 x4 x5 x6 x7 24 x4 x5 x6 x7 x1 25 x5 x6 x7 x1 x2 19 x6 x7 x1 x2 x3 31 x7 x1 x2 x3 x4 28 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 0, 整数
例（挑选球员问题）某篮球教练要从8名业余队员中 挑选3名队员参加专业球队，使平均身高达到最高。 队员的号码、身高及所擅长的位置如下。要求：中 锋1人；后卫1人；前锋1人，但1号、3号与6号队员 中必须保留1人给业余队。
号码 1 2 3 4 5 6 7 8 身高（米） 1.92 1.91 1.90 1.86 1.85 1.83 1.80 1.79 位置 中锋 中锋 前锋 前锋 前锋 后卫 后卫 后卫 挑选变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
例（选址问题）设有n个市场，第j个市场的位置为(aj,bj)， 对某种货物的需要量为qj, j=1,…,n,现计划建立m个仓库， 第i个仓库的容量为ci,i=1,…,m,试确定仓库的位置，使各 仓库到各市场的运输量与路程乘积之和最小． 解：设第i个仓库的位置为(xi,yi)，运输量为wij.
min n m w ( x a ) 2 ( y b ) 2 i j i j j 1 i 1 ij n s.t. j 1 wij ci i 1, 2, , m m i 1 wij q j j 1, 2, , n wij 0 i 1, 2, , m j 1, 2, , n
最优化问题的数学模型
为凸集．
1,
0 证明： x , y 为超球中的任意两点， 设
则有：
x 1 y
r ???
x 1 y
r r r 1
即点 x 1 y 属于超球
所以超球为凸集．
注： 常见的凸集：空集，整个欧氏空间 超平面： H
T
aR
n
和实数
,
使得： T x a
a y , x D ,
xR a x
n T
即存在超平面 H y 与凸集 D .
严格分离点
注： 点与闭凸集的分离定理。
y.
D
定理
(点与凸集的分离定理)
是非空凸集，x D, 则存在 非零向量 a R n 使成立
DR
n
目标函数
R ( i 1, 2 , , p )
1
• 根据实际问题的不同要求，最优化模型有不同的形式， 但经过适当的变换都可以转换成上述一般形式.
最优化问题的分类
最优化问题
根据约束条件 分类
m in f ( x ), x R .
n
无约束最优化问题 约束最优化问题 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 混合约束优化问题
设
a xa x
T T
x D . ( D代 表 D 的 闭 包 )
_ _
定理
(两个凸集的分离定理)
n
x
x
设 D1 , D2 是
且 R 的两个非空凸集， D1 D2 ,
则存在超平面分离 D1 和 D2 , 即存在非零向量 n a R 使得 aT x aT y , x D , y D . 1 2
最优化问题数学模型
最优化问题数学模型在我们的日常生活和各种实际应用中，最优化问题无处不在。
从生产线上的资源分配，到物流运输中的路径规划，从金融投资中的资产配置，到工程设计中的参数选择，都需要找到最优的解决方案，以实现效率最高、成本最低、效益最大等目标。
而数学模型就是帮助我们解决这些最优化问题的有力工具。
那么，什么是最优化问题数学模型呢？简单来说，它是将实际问题转化为数学语言和表达式的一种方式，通过建立数学关系式，来描述问题中的各种约束条件和目标函数，然后运用数学方法和算法求解，找到最优的决策变量取值。
举个简单的例子，假设一家工厂要生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品每件需要消耗 2 个单位的原材料和 3 个小时的工时，生产 B 产品每件需要消耗 3 个单位的原材料和 2 个小时的工时。
工厂共有 100 个单位的原材料和 80 个小时的工时可用，每件 A 产品的利润是 5 元，每件 B 产品的利润是 4 元。
那么，如何安排生产才能使工厂的总利润最大呢？为了建立这个问题的数学模型，我们首先定义决策变量：设生产 A 产品的数量为 x 件，生产 B 产品的数量为 y 件。
然后，我们确定目标函数，即要最大化的总利润：Z ＝ 5x ＋ 4y 。
接下来，考虑约束条件。
原材料的限制可以表示为：2x ＋3y ≤ 100 ；工时的限制可以表示为：3x ＋2y ≤ 80 ；还有非负约束：x ≥ 0 ，y ≥ 0 。
这样，我们就建立了一个简单的最优化问题数学模型。
通过求解这个模型，就可以得到最优的生产方案，即 x 和 y 的取值，使得总利润Z 最大。
最优化问题数学模型的类型多种多样，常见的有线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。
线性规划是最简单也是应用最广泛的一种模型。
它的目标函数和约束条件都是线性的，就像我们上面的例子。
线性规划问题可以通过单纯形法等有效的算法在较短的时间内求解。
非线性规划则是目标函数或约束条件中至少有一个是非线性的。
ppt4-最优化模型
【条件设置】 总成本必须是最小值； 月末库存 = 月初库存 + 本月生产量 – 需求量 月初库存 = 上月末库存 储存成本是每月末库存量之和与单位储存成本 之乘积； 各种生产方式每月的产量必须大于等于0； 每月的库存量不能小于0； 各种生产方式的月生产量不能大于其月生产能 力。
【例】 某移动通讯公司准备在一城市建立发射塔，该 城有4个地区，现有4个建塔位置，每个位置对各 地区的覆盖情况和费用如单元格区域 C2:G7 所示 （其中：1表示能覆盖该区域）。 （ 1 ）假设在每个位置都建塔，计算每个地区被 覆盖的次数和建塔总费用。 （ 2 ）用规划求解工具求解最优建塔位置（必须 确给保覆盖所有地区）和总费用的最小值。【发 射塔规划】
200
销地3 6 5
产地A 产地B
【例】 某农场主拥有两个农场，分别有 80 和 100 亩耕 地。他可用两个农场的全部耕地来种植玉米和小 麦。根据高层需求，他今年的生产指标是玉米 20000千克和小麦50000千克。两个农场的产量及 成本如下所示。该农场主应如何合理安排种植面 积。 【规划求解1】
P103
1、最优化问题分类 ▲根据有无约束条件可以分为： 有约束条件的最优化问题 即在资源限定的情况下求解最佳目标。 无约束条件的最优化问题 即在资源无限的情况下求解最佳目标。 ▲根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的 形式可分为： 线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是线性的。 非线性规划问题 目标函数与约束条件函数都是非线性的。
最优化模型
在生产、经营和管理中，经常遇到求最大值和 最小值的问题，如经济订货量等，这些都属于最 优化问题。 最优化问题是运筹学的一个重要分支，根据其 形式又分为： 数学规划 动态规划 网络规划
一、最优化问题概述 最优化问题就是在给定的条件下寻找最佳方案 的问题。最佳的含义包括两个方面： 在资源给定时寻找最好的目标 在目标确定下使用最少的资源
最优化模型
1. 冰山融化规律
冰山初始半径R 航行t天时半径 冰山初始半径 0，航行 天时半径 R t = R 0 − ∑ rk
t
4π 3 冰山初始体积 V0 = 天时体积 R0 t天时体积 3
k =1
4π 3 Vt = Rt 3
选定u,V 选定 0, 航行 4 π 3 3V 0 V ( u ,V 0 , t ) = 4π − t天时冰山体积 t天时冰山体积 3 9600 400 = 总航行天数 T = 24 u u 到达目的地 时冰山体积
2c1r Q = rT = c2
实际 问题
建 立 模 型
目标函数 可求导） （可求导）
求导数
令导数 等于零
解 方 程
得到最 优解
二 冰山运输
背景
• 波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的 波斯湾地区水资源贫乏， 成本为每立方米0.1英镑 英镑。 成本为每立方米 英镑。 • 专家建议从 专家建议从9600千米远的南极用拖船 千米远的南极用拖船 运送冰山， 运送冰山，取代淡化海水 • 从经济角度研究冰山运输的可行性。 从经济角度研究冰山运输的可行性。
106 10.5 13.5 16.5
107 12.6 16.2 19.8
q1 = c1 ( u + c 2 )(log 10 V + c 3 ), c1 = 0.3, c2 = 6, c3 = −1
选定u,V0, 航行第 天燃料消耗 q (英镑 天) 航行第t天燃料消耗 英镑 英镑/天 选定
q (u , V0 , t ) = 24 u ⋅ c1 (u + c2 )[log 10 V (u , V0 , t ) + c3 ] 4π = 7 .2u (u + 6 ) log 10 [ 3
最优化模型与算法
最优化模型与算法
最优化模型和算法是求解优化问题的基本工具，随着人工智能和机器
学习的发展，最优化模型和算法从物理、工程和管理等多个领域被广泛应用。
最优化模型通常是一种特殊的抽象模型，它可以用来把实际问题以数
学模型的形式表示出来，并依据一定的目标函数对这个模型的参数进行优化。
而最优化算法是根据最优化模型寻找最优解的一种算法。
从计算上来讲，最优化模型可分为精确求解和近似求解。
精确求解是
指找到原问题的最优解，它通常采用解析法，比如利用简单x法、线法等
简单算法求解；而近似求解是指通过迭代的过程找到最优解的近似值，它
通常需要采用启发式算法，比如梯度下降法、牛顿法等更复杂的算法求解。
优化过程中，选择合适的算法非常重要。
线性规划若是精确求解，可
以采用简单x法，比如简单的罗伯特－普林斯顿极值法；若是近似求解，
常用的有梯度优化算法、模拟退火算法等。
第6章最优化模型
6.1 概述
※ 经济管理中常见的最优化问题：
怎样安排运货使总运费最小？
怎样组织生产使利润最大？
怎样分配工作使总效率最高？
怎样组织原材料使生产成本最低？
6.1 概述
【例】某公司月生产4种产品，它们所需劳动 时间、原料1、原料2和单位利润如下表所示。
在目标变量中用公式表示目标函数
用另一些单元格代表约束条件
6.1 概述
Excel中可用以下方法进行最优化问题求解： 查表法 利用模拟运算表工具制作决策变量与目标 变量的对照表。
利用规划求解工具 启动Excel中的规划求解工具进行求解。 规划求解工具是最有效和最方便的求解工具 据统计，85%的全球500强企业都使用规 划求解工具。
6.2 求解线性规划问题举例
生产计划优化问题
【例6.1】某公司月生产4种产品，它们所需劳 动时间、各原料需求量和单位利润如下表所示。 要求满足原料可供量和最大销量的限制。 应如何安排这4种产品月生产量，使得该公 司月利润最大？
6.2 求解线性规划问题
首先看懂所给的数据： 生产每件产品所需的劳动时间 该公司可提供的总劳动时间 生产每件产品所需的原料量 可提供的各种原料的总量 生产每件产品获得的单位利润 每种产品的最大销量
敏感性报告 “目标单元格”编辑框中所指定的公 式的微小变化对求解结果都会有一定的影 响。此报告提供关于求解结果对这些微小 变化的敏感性的信息。
含有整数约束条件的模型不能生成该报告
6.3 参数保存与求解报告
6.3 参数保存与求解报告
极限值报告
列出目标单元格和可变单元格以及它
们的数值、上下限和目标值。 含有整数约束条件的模型不能生成该报告
工程数学第二章 最优化模型
敏感性分析 (“LINGO|Range” )
Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 72.00000 24.00000 8.000000 X2 64.00000 8.000000 16.00000 Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MILK 50.00000 10.00000 6.666667 TIME 480.0000 53.33333 80.00000 CPCT 100.0000 INFINITY 40.00000
T
2c1 rc2
2c1r Q rT c2
不允许缺货的存贮模型 • 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？
模型拓展
• • • • 允许缺货 现实条件：生产需要时间； 市场需求不确定 新形势：电子商务物流管理(异地配货)
习题
1. 一鞋店大约每天卖出鞋30双，批发一次货的花费为 300元，每双鞋每天的存储费用为0.1元。 问鞋店多 少天批发一次货，进货量为多少？ 2. 建立不允许缺货的生产销售存贮模型。设生产速率 为常数k，销售速率为常数r，k>r。在每个生产周期 T内，开始的一段时间一边生产一边销售，后来的一 段时间只销售不生产。设每次生产准备费为c1，单位 时间每件产品的贮存费为c2，以总费用最小为目标确 定最有生产周期。讨论k>>r和kr的情况。
多元函数 条件极值
数学建模～最优化模型(课件ppt)
用MATLAB解无约束优化问题 解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题 一元函数无约束优化问题: min f ( x )
x1 ≤ x ≤ x 2
常用格式如下： 常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) ） （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) ） （3）[x，fval]= fminbnd（…） ） ， （ （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） ） ， ， （ （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…） ） ， ， ， （ 其中等式（ ）、（ ）、（5）的右边可选用（ ） ）、（4）、（ 其中等式（3）、（ ）、（ ）的右边可选用（1）或（2） ） 的等式右边. 的等式右边 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法，它要求 函数 的算法基于黄金分割法和二次插值法， 的算法基于黄金分割法和二次插值法 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解. 目标函数必须是连续函数，并可能只给出局部最优解
有约束最优化问题的数学建模
有约束最优化模型一般具有以下形式： 有约束最优化模型一般具有以下形式：
min
x
f (x)
或
max
x
f (x)
st. ...... .
st. ...... .
其中f(x)为目标函数，省略号表示约束式子，可以是 为目标函数，省略号表示约束式子， 其中 为目标函数 等式约束，也可以是不等式约束。 等式约束，也可以是不等式约束。
标准型为： 标准型为：min F ( X ) 命令格式为: 命令格式为 ）；或 （1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ） ） （ （ （2）x= fminunc（fun,X0 ，options）； ） （ ）； 或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （ ） （3）[x，fval]= fminunc（...）； ） ， （ ）； 或[x，fval]= fminsearch（...） ， （ ） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）； ） ， ， （ ）； 或[x，fval，exitflag]= fminsearch ， ， （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）； ） ， ， ， （ ）； 或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...） ， ， ， （ ）
第八讲网络最优化模型【共61张PPT】
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
求解最短路问题实际上就是找一条总长度最短的路 线，对于这样的最短路问题，可以建立0-1整数规划数学
模型求解（如下图）。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
为简化求解过程，可以建立专门的最短路求解模型 ，用计算机求解：可以将图中各条边和每条边是的权数 直接录入到求解模型中，直接得到结果。因此可以称下 图就是一个最短路问题的数学表述模型。
条路，使两点间的总距离为最短。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
例8.1 如下图所示，某人每天从住处S开车到工作地T上
班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（千米），试问 他从家出发到工作地，应选择哪条路线，才能使路上行 驶的总距离最短？
第八讲 网络最优化模型
最短路模型的基本特征
最短路模型
1、在网络中选择一条路，始于发点（源点）,终于收点（目的
条道路及道路维修。工期和所需劳动力见下表。该公司共 有劳动力120人，任一工程在一个月内的劳动力投入不能超 过80人，问公司应如何分配劳动力以完成所有工程，是否能按
期完成？
工程 A．地下通道 B．人行天桥 C．新建道路 D．道路维修
工期和所需劳动力
工期 5～7月 6～7月 5～8月
8月
需要劳动力（人） 100 80 200 80
赵●
(v1)
e1
e3
钱● (v2)
●孙 (v3) e4
●李 (v4)
第八讲 网络最优化模型
基本概念
图
7、 回路 始点和终点重合的路叫做回路。上图中（v3，v5，v6
，v7，v4 ，v3）就是一条回路。
优化模型
MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 +… … +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54 SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 <=1 …… x41+x42+x43+x44 <=1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 …… x14+x24+x34+x44+x54 =1 END INT 20
最优化模型
主讲人
张兴永
1
最优化模型
在数学建模竞赛中，经常会遇到有关最优化问题， 下面介绍几个简单的最优化模型。 最优化模型是在解决实际问题中应用最广泛的模 型之一，它涉及面广、内容丰富，且随着计算机的发 展，解决问题的范围越来越宽。一般地，人们做的任 何一件事情，小的如日常生活、学习工作等，大的如 工农业生产，国防建设及科学研究等，为了达到预先 设想的目的，都要做计划，选择好的方案，进行优化 处理。最优化模型主要有线性规划模型、整数规划模 型、非线性规划模型、动态规划模型等。
这样把多目标规划变成一个目标的线性规划，下 面给出三个单目标优化模型：
24
1、在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样， 若给定风险一个界限a，使最大的一个风险qixi/M≤a， 可找到相应的投资方案。 模型1 固定风险水平，优化收益 目标函数：Q=max (ri pi ) xi i 0 约束条件： q x ≤a
9
问题二 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳 甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6 乙 57”2 1’06” 1’06”4 53” 丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4 丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2 戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
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华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
一、简单优化问题
* p 利润U(p)达到最大值的最优价格 满足：
dU dI dC a bq 2bp 0 dp dp dp
得到：
q a p 2 2b
*
最优价格一部分是成本的一半，另一部分与“绝对需求” 成正比，与市场需求对价格的敏感系数成反比。
一、简单优化问题
3、模型求解及其结果分析
需求函数是售价的减函数，通常是根据实际销售
情况定出。现在，假设它是线性函数，即
x f ( p) a bp, a, b 0
其中， a--代表这种产品免费供应（p=0）时的社会需求
量，也称为绝对需求量；
幅度。它反映市场需求对价格的敏感程度。
dx b 表示价格上涨一个单位时销售量下降的 dp
（3） 由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30 元，是否应改变生产计划？
二、模型分析 生产计划就是每天生产多少A1和多少A2，获利润最大。或 者是每天用多少桶牛奶生产A1和用多少桶牛奶生产A2，获 利润最大。
当技术参数、价值系数为常数时，此为线性规划模型。
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二、数学规划模型
四、模型的建立
目标：设每天收入z元。则 z 24 3x1 16 4 x2
约束条件：
原料限制
劳动时间限制
x1 x2 50
12x1 8x2 480
设备能力限制
3x1 100
决策变量的非负性 x1 , x2 0
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二、数学规划模型
综上可得： max z 72x 8 x 480 1 2 s.t 3x1 100 x1 , x2 0
max z cT x Ax b s.t. x LB (1)
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二、数学规划模型
三、模型的假设 1、每天用
x1 桶牛奶生产A1，x2 桶牛奶生产A2；x1 , x2
可以是任意的实数。
2、劳动时间、设备能力、利润均为与产量无关常数。
即技术参数、价值系数为常数
3、生产的产品全能售出。
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二、数学规划模型
附加问题的讨论： 附加问题（1）和（2）是要不要扩大生产？这取决于
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二、数学规划模型
案例2：奶制品的生产计划
一、问题的提出
一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，参数见表：
A1
原料奶(桶) 劳动时间（h） 设备甲能力（kg） 设备乙能力(kg) 1 12 3 0
A2
1 8 0 4
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二、数学规划模型
五、模型求解及结果分析
[X,z]=LINPROG(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB) 用于解：
min f'*x subject to: A*x <= b Aeq*x = beq. LB <= X <= UB. f=[-72;-64];A=[1 1;12 8;3 0];b=[50;480;100]; [x,z]=linprog(f,A,b,[],[],[0;0],[]) x = 20.0000, 30.0000; z =-3.3600e+003 即按每天用20桶牛奶生产A1，用30桶牛奶生产A2，获最大 收益：z=3360元。
最优化模型概述
最大值或最小值 数学规划：线性规划（整数规划、0-1规划、目 标规划等），非线性规划 动态规划
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一、简单优化问题
案例1：产销平衡下的某种产品的最优价格,即使工厂利润最
大的价格。
1、模型假设 （1）售量为x，并与产量相等； （2）每件产品售价为p。在竞争市场的环境中售量x依赖于 价格p, 即 x f ( p) ，f 称为需求函数； （3）每件产品成本为q，产量x与成本q无关。
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要
点
爱因斯坦的一句名言：
想象力比知识更重要！因为 知识是有限的，而想象力包括世 界的一切，是知识的源泉。
最优优化模型
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资源
50 480 100 inf
根据市场需求，生产的A1,A2产品全部能售出，且每千克A1 产品获利24元，每千克A2产品获利16元。试为该厂订一个 生产计划，使每天获利最大。并进一步讨论以下问题：
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二、数学规划模型
（1） 若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资？若 投资，每天最多购买多少桶牛奶？ （2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工 人的工资最多是每小时几元？
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一、简单优化问题
a q 2 最大利润： U ( p ) b( ) 2b 2
*
边界收入：
dI a 2bp* bq dp dC bq dp
边界支出：
当边界支出等于边界收入时利润最大---经济学著名定理！
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一、简单优化问题
2、模型建立
总收入：I(p)=px
总支出：C(p)=qx 利 润：U= I(p)- C(p)= (p- q)x=(p-q)f(p) 数学模型为：
max U(p)
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