小波奇异值检测

基于连续小波变换的奇异性检测与故障诊断

林京

振动工程学报2000

基于小波变换的奇异性检测方法可以实现对信号局部奇异性的刻画。因此,自该方法提出以来,便获得了广泛的应用。仅在机械故障诊断领域中,它就被用来进行超声无损探伤、柴油机的压力波形识别、纲丝绳断丝检测、切削颤振分析等。从这些应用中可以看到,它们都无一例外地采用二进离散小波变换来做奇异性检测。尽管此时的二进离散只对尺度区间进行,各尺度上信号的时间间隔等于采样间隔,这种小波分解也足以大大缩减了计算量,因此许多研究人员乐于采用。但是,尺度上的二进分割会使奇异性定量过于粗糙,尤其是在低尺度区间的信号,信号中的奇异点往往无法考察,从而出现漏检或定量不准。如果采用连续小波变换,则这些缺陷可迎刃而解。

Lip指数表明了函数f(x)与n次多项式作比较时,其光滑程度是多少。传统的计算Lip指数的计算方法是采用Fourier变换,它只能得到信号整体的Lip指数,所以只能反映信号的全局奇异程度。如果要求得到信号在某点的奇异性,需要借助小波方法来实现。

综合起来，选择小波函数的原则就是在满足能够检测到最大Lip指数值的前提下，选择具有最少消失矩的小波函数。目前比较多的采用墨西哥草帽小波函数和Morlet小波函数。

实际应用中,要根据具体情况选择不同阶的导函数作小波函数。在机械测试信号中，奇异点通常为一些峰值点和突变尖点，这些点的Lip指数总小于1，所以小波函数只具有一阶消失矩即可。

模极大值线的存在要求尺度必需连续变化,当尺度作二进离散后,不存在模极大值线。

尺度区间的二进离散在许多情况下显得过于粗糙,它对Lip指数的定量描述不够精确,采用连续小波变换可以准确对Lip指数作定量计算。

机械状态监测中,信号的突变点往往携带着故障信息,机器运行过程中所产生的撞击、振荡、摩擦、转速突变、结构变形和断裂等都可反映在信号的突变点中,信号突变点的奇异性检测可以有效地揭示机器的故障信息,为机器故障诊断提供有力工具。

用小波做奇异性检测可以对信号的局部奇异程度做定量描述,但目前通用的用二进小波做奇异性检测的定量描述在许多应用场合下仍显得粗糙,不能很好地区分正常点还是异常点。基于连续小波变换的奇异性检测方法可以对局部奇异性做精确的定量描述,具有广泛的应用前景。

基于小波变换多尺度的边缘检测沈阳工业学院学报2003

文献[2]从时频分析的角度对n阶B样条的性质进行了研究,认为三阶中心B样条在边缘提取中滤波特性渐近最优。

令二维函数θ(x,y)=φ(x)φ(y)作为平滑函数,φ是一维平滑函数,取为三阶中心B样条函数,相应二维小波函数有两个,分别为

阈值的选定：搜索在尺度2j+1下的小波变换系数模最大值，设为A，由于噪声产生的小波变换系数模平方随尺度的增大以二进制的速率下降，这使得在尺度2j+1下的小波变换系数模主要由信号控制，但一些较小的模仍可能由尺度2j下的噪声传播而来。设置阈值

将尺度2j下小于阈值T的小波变换系数模置为0，因为这些模由噪声产生的占优。

因为在大尺度下能抑制噪声，可靠地识别边缘；而在小尺度下精确定位，所以由粗到细地进行边缘检测，可得到边缘的真实位置。

基于小波变换模极大值的行波奇异性检测

华东船舶工业学院学报2005

通常的检测白噪声是一个处处奇异的随机分布，它具有负的Lipschitz指数

其小波变换模极大值随尺度2j增大而衰减。

Daubechies小波是最常用的小波基,它有很多很好的性质。Daub4小波和Daub6小波最适合短时、快速的高频暂态信号的检测,而Daub8和Daub10小波更适合于缓慢变化的暂态过程。

基于小波变换奇异信号检测的研究

系统工程与电子技术张小飞2003

通常，用李氏指数(Lipschitz)来描述函数的局部奇异性，李氏指数越大,函数越光滑。函数在一点连续、可微，则在该点的李氏指数为1；在一点可导,而导数有界但不连续时，李氏指数仍为1。如果f(x)在x0李氏指数< 1，则称函数在x0点是奇异的。一个在x0不连续但有界的函数，该点的李氏指数为零。

上述两个定理说明小波变换确实能用来估计函数的局部奇异性，但在很多实际的数值计算中，很难直接运用定理1和定理2的结论来检测函数的局部奇异性和估计李氏指数。因为要在二维相平面上搜索任一点x0在其邻域中|Wf(s,x) |的渐近性质，这需要较大的计算量。而利用小波变换模的局部极大值和函数奇异点之间的关系，同样可以对函数的局部奇异性进行分析，而且运算量较小。

如何选择合适的小波基函数是一大难点。不合适的小波基函数可能会大大降低检测效率。因而,寻找一种更加有效、更加方便、更易实现的检测方法非常必要。检测奇异信号的小波基,可按以下4个条件考虑。

(1)Ψ(t)有紧支集;

(2)Ψ(t)连续可微;

(3)Ψ(t)有N阶消失矩;

(4)Ψ(t)具有对称性。

同时满足条件(1)~(4)的正交小波基是函数奇异性分析的有力工具。

常用检测奇异信号的小波基:θ(t)取高斯函数，φ(1)(t),φ(2)(t)取θ(t)的一、二阶导数。φ(2)(t)就是Marr小波，即

此外,也可使用二次样条小波滤波器和三次样条小波滤波器。

小波基消失矩必须具有足够的阶数,消失矩阶数与李氏指数密切相关。为了有效地检测奇异信号的各种奇异性特征,一定的阶次是必要的。

基于小波的信噪分离方法

涂国勇国防科技大学学报1999

Donoho提出的非线性小波方法从噪声中恢复信号效果最明显。要用非线性小波方法很好地实现信噪分离，关键的问题是如何设计出好的浮动阈值。

信号的性质可以用它的小波系数来刻画,小波系数较大者,携载的信号能量较多,小波系数较小者携载的信号能量较少,因此可用携载能量的多少作为衡量小波系数在信号中的权重大小。引入以信号能量为判据的浮动阈值来作为甄别受到噪声污染的小波系数,将等于和小于阈值的小波系数视为零而舍去,把这些值当作噪声处理掉,仅仅用阈值以上的小波系数来重建原信号,既去掉了大部分噪声，又不致于引起重建结果的明显失真,这就是非线性小波方法用于从噪声中恢复信号的实质。