江阴高中高三数学专题复习⑴分类与整合的思想 (1)

江阴高中高三数学专题复习⑴ 分类与整合的思想2013.3

【知识归纳】

所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略. 有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置． 1．分类讨论是一种重要的数学思想方法，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： (1)由数学概念引起的分类讨论，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．

(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等． (3)由数学运算引起的分类讨论，如除法运算中除数不为零、偶次方根为非负、对数运算中真数和底数的要求等．

(4)由图形的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限、点、线、面的位置关系等． (5)由参数的变化引起的分类讨论，如含参数的方程不等式等．

⑹较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的．

2．分类方法：（1）概念和性质是分类的依据；（2）按区域（定义域或值域）进行分类是基本方法；（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口；（4）二分法是分类讨论的利器（5）层次分明是分类讨论的基本要求；

3．简化和避免分类讨论的优化策略：（1）直接回避．如运用反证法、求补法、消参法等方法有时可以避开烦琐讨论；（2）变更主元．如分离参数、变参置换，构造以讨论对象为变量的函数得便感形式解题时可避开讨论；（3）合理运算．如利用函数奇偶性、变量的对称轮换以及公式的合理选用等有时可以简化甚至避开讨论；（4）数形结合．利用函数图象、几何图形的直观性和对称特点有时可以简化甚至避开讨论．

【基础演练】

1. 已知集合A ＝{1.3.

m ，B ＝{1，m} ，A

B ＝A ，则m= ．

2. 已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为 ．

3.

已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

2x ＋a ，x ＜1，

－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．

4. 若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10

5

，则m 的值是________．

5. 一个均匀的正四面体上分别有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b ，

c . 若方程x 2－bx －c ＝0至少有一根x ∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率是 ．

6. 已知平面单位向量a ，b ，c 夹角两两相等，则|a ＋b ＋c |＝________. 【考点例析】

例题1（南京市、盐城市2013届高三期末）对于定义在区间D 上的函数()f x , 若任给0x D ∈, 均有

0()f x D ∈, 则称函数()f x 在区间D 上封闭.

（1）试判断()1f x x =-在区间[2,1]-上是否封闭, 并说明理由；

（2）若函数3()1

x a

g x x +=+在区间[3,10]上封闭, 求实数a 的取值范围；

（3）若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭, 求,a b 的值.

例题2 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }是首项为1，公比为b 的等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .

变式题：三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后，变成一个等比数列，则此等比数列的公比是 ．

例题3 已知函数f (x )＝1

2

ax 2－2x sin 2α和函数g (x )＝ln x ，记F (x )＝f (x )＋g (x )．

(1)当α＝π

3

时，若f (x )在[1,2]上的最大值是f (2)，求实数a 的取值范围；

(2)当a ＝1时，判断F (x )在其定义域内是否有极值，并予以证明；

(3)对任意的α∈⎝⎛⎭⎫

π6，23π，若F (x )在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数a 的取值范围．

例题4 已知动直线l 与椭圆C: 22

132

x y +=交于P ()11,x y 、

Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆=62,其中O 为坐标原点.

（Ⅰ）证明2212x x +和22

12y y +均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；

【方法技巧】

分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种重要的解题策略，它可以将整体化为局部，将复杂问题化为单一问题，以便于“各个击破”．但要注意克服思维定势，处理好“分”与“合”，“局部”与“整体”之间的辨证统一关系，充分挖掘求解问题中潜在的特殊性与简单性，尽可能地简化或避免分类讨论．简化分类讨论的常用策略通常有：消去参数、整体换元、反客为主、补集分析、整体变形、借助图解．

江阴高中高三数学作业（分类与整合思想） 姓名 ．

一、填空题

1. 不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4< 0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．

2. 在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.

3. 设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．

4. 正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．

5. 设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.

6.

7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝9

2，则a 1的值为__________．

8. 若函数y ＝mx 2＋x ＋5在[－2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是__________． 9. 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围为__________． 10.

12. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2.若曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲

线C 的离心率等于________． 13. 函数

f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，对于任意的

x ∈[－2,2]总有f (x )≥0成立，则a 的取值范围是 ．

二、解答题

14. 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数．

(1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围；

(2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；

(3)设函数g (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

f ′(x )，f (x )≥f ′(x )

f (x )，f (x )

g (x )在x ∈[2,4]时的最小值．

15. 已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦

⎤0，π

2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．

16. 已知椭圆C 的离心率e ＝

2

2

，一条准线方程为x ＝4，P 为准线上一动点，直线PF 1、PF 2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F 1F 2为直径的圆O 交于点M 、N . (1)求椭圆的标准方程；

(2)探究是否存在一定点恒在直线MN 上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由．

17. 已知函数f (x )＝|ax 2－2x ＋1|,0≤x ≤4.

(1)a <0时，求f (x )≥1

2

的解集；

(2)求f (x )的最大值．