能量法与超静定结构优秀课件
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材料力学第十四章__超静定结构
§14．1 超静定结构概述
整理课件
本节应用能量法求解静不定系统。 应用能量法求解静不定系统，特别是对桁 架、刚架等构成的静不定系统，将更加有效 。 求解静不定问题的关键是建立补充方程。 静不定系统，按其多余约束的情况，可以 分为外力静不定系统和内力静不定系统。
整理课件
支座反力静不定 类型反力静定内力静不定
整理课件
解静不定梁的一般步骤
(4)在求出多余约束反力的基础上，根据静 力平衡条件，解出静不定梁的其它所有支 座反力。 (5)按通常的方法（已知外力求内力、应力 、变形的方法）进行所需的强度和刚度计 算。
整理课件
例：作图示梁的弯矩图 。
整理课件
解：变形协调条件为
A 0
即
MAl2Pl2 10 2 382
A
M10 1
D
P
1
2
(d)
(e)
1 P0 2M E 1 0 M P d I s2 P E 20 2 a (I 1 c
o) s (1 )d P2(a 1 ) 2 E2 I
1102M E102IdsE aI02(1)2d2EaI
上面两式代入 正则方程：
11
X 整理课1件
Pa( 2
)
求出X1后，可得图（C）
解得
MA
3Pl 16
整理课件
3Pl MA 16
11 P
5P
16
整理课件
另解：变形协调条件为
vB 0
即
RBl2
2l Pl2
5l
0
2 386
解得
5P
RB 16
整理课件
5P
5Pl/32
16
3Pl 16
能量法(上课用)
f1 f2
δ1
F2 ∆1
δ2
∆2
不论加载方式如何， 不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为 1 1 ' W = F1 ∆ 1 + F2 ∆ 2 2 2 由能量受恒定律： 由能量受恒定律： W ' 应等于加载时作的总功 W 克拉比隆定理 不论加载方式如何， 不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上 2011-4-24 所作的总功为： 所作的总功为： 1 W = ∑ Fi ∆ i 17 材料力学 2
式中P——广义力(力或力偶)； 广义力(力或力偶 ； 式中 广义力 广义位移( δ——广义位移(线位移或角位移) 广义位移 线位移或角位移)
• 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值， 的过程无关。 的过程无关。
2011-4-24 材料力学 14
广义力与广义位移的相应关系： 广义力与广义位移的相应关系：
能量法与超静定系统/变形能的普遍表达式 能量法与超静定系统 变形能的普遍表达式
•特别注意点： 特别注意点：
广义力， 广义力 力或力偶，或一对力，或一对力偶。 Pi ——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。
δ i ——在所有力共同作用下与广义力 Pi 相对应的沿着力 在所有力共同作用下与广义力
的方向的广义位移。 的方向的广义位移。
2 MnL 1 U = W = mϕ = 2 2GI p
m A ϕ B
2011-4-24 材料力学
圆杆横截面上的扭矩； 式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面上的扭矩 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 圆杆横截面对圆心的极惯性矩 I p ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
6
δ1
F2 ∆1
δ2
∆2
不论加载方式如何， 不论加载方式如何，在卸载过程中弹性体所作的总功均为 1 1 ' W = F1 ∆ 1 + F2 ∆ 2 2 2 由能量受恒定律： 由能量受恒定律： W ' 应等于加载时作的总功 W 克拉比隆定理 不论加载方式如何， 不论加载方式如何，作用在弹性体上的广义载荷在相应位移上 2011-4-24 所作的总功为： 所作的总功为： 1 W = ∑ Fi ∆ i 17 材料力学 2
式中P——广义力(力或力偶)； 广义力(力或力偶 ； 式中 广义力 广义位移( δ——广义位移(线位移或角位移) 广义位移 线位移或角位移)
• 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值，与加载 弹性体的变形能决定于外力和位移的最终值， 的过程无关。 的过程无关。
2011-4-24 材料力学 14
广义力与广义位移的相应关系： 广义力与广义位移的相应关系：
能量法与超静定系统/变形能的普遍表达式 能量法与超静定系统 变形能的普遍表达式
•特别注意点： 特别注意点：
广义力， 广义力 力或力偶，或一对力，或一对力偶。 Pi ——广义力，力或力偶，或一对力，或一对力偶。
δ i ——在所有力共同作用下与广义力 Pi 相对应的沿着力 在所有力共同作用下与广义力
的方向的广义位移。 的方向的广义位移。
2 MnL 1 U = W = mϕ = 2 2GI p
m A ϕ B
2011-4-24 材料力学
圆杆横截面上的扭矩； 式中 Mn——圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面上的扭矩 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 圆杆横截面对圆心的极惯性矩 I p ——圆杆横截面对圆心的极惯性矩。
6
超静定结构总论课件
实例分析
赵州桥
中国著名的古代石拱桥，采用弹性连接 超静定结构，具有较好的抗震性能。
VS
金门大桥
美国著名的钢斜拉桥，采用平衡超静定结 构，具有较高的承载能力。
超静定结构的优缺点及应用
优点
稳定性强
超静定结构由于有多余约束，可以提 供额外的稳定性，使得结构在受到外 力作用时不易发生过大变形。
承载能力高
和计算能力，设计过程相对复杂。
维护困难 超静定结构的维护和检修需要专业的 技术和设备支持，维护成本和维护难
度相对较大。
成本高 由于超静定结构的构造复杂，需要更 多的材料和施工成本，因此其成本相 对较高。
延性较差 超静定结构的延性相对较差，在地震 等突然作用下容易发生脆性破坏。
应用领域
桥梁工程
超静定结构在桥梁工程中应用广泛，如连续梁桥、 拱桥等。
THANKS
感谢观看
各杆件间通过弹性连接传递力和变形， 具有较好的抗震性能。
按受力特性分 类
平衡超静定结构
结构在受力状态下能保持平衡状态，如斜拉桥。
稳定超静定结构
结构在受力状态下需要依靠自身稳定性保持平衡，如拱桥。
按材料特性分 类
钢超静定结构
采用钢材制作，具有较高的承载能力和塑性变形能力。
混凝土超静定结构
采用混凝土制作，具有较好的抗压能力和耐久性。
工程应用进展
大型工程应用
超静定结构在大型工程中得到了广泛应用，如大型桥梁、高层建筑 等，其优良的性能和稳定性得到了充分验证。
新型超静定结构体系
随着研究的深入，出现了多种新型超静定结构体系，如预应力超静 定结构、杂交超静定结构等，满足了多样化的工程需求。
跨学科应用
超静定结构在跨学科领域也得到了应用，如生物医学、航天航空等， 展现了广泛的应用前景和发展潜力。
超静定结构PPT课件
MC
A
MC MC
MC
M
(6)作M图
C
MC
X1 =1
M A M A X1 M FA
MC
A
C
MC
第21页/共45页
MA
21
三、三次超静定结构
FC
D
a
A
B
a
正则方程：2111XX11
12 X 22 X
2 2
13 X 3 23 X 3
1F 2F
0 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3F 0
1
8
11
M X M M
1
1
F
B
9ql2 128
3l 8
第11页/共45页
11
例12－2 EI为常数，作梁的弯矩图。
解（1）解除B多余约束，建立相当系统
q
（2）建立正则方程
A
B
C
a
2a
（3）求解
11X1 1F 0
q
1 (1 2a 2a 2 2a) 8a3
11 EI 2
3
3EI
A
n
ij ，而原系统由于 x j ( j 1,n) 与外载荷共同作用对此位移限制为零
j 1
（或已知），故有
11X1 12 X 2 1n X n 1F 0
21 X 1
22 X 2
2n X n
2F
0
n1X1 n2 X 2 nn X n nF 0
根据位移互等定理有： ij ji ij 称为柔度系数，是 X j 1引起的 X i 作用点 X i 方向上的位移；iF 是外载 荷引起的 X i 处的相应位移。正则方程是对应于 n 个多余未知力 X i 的变 形协调条件，是求解静不定问题的补充方程。
第十四章 超静定结构
例：作图示等刚度刚架的弯矩图。
第十四章 超静定结构
1
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第十四章 超静定结构
解：变形协调条件为 ΔBV 0
即
FBy a 2 2
2a 3
FBy a 3
qa 4 6
0
解得
FBy
qa 8
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷 的数值相等，作用点重合而作用方向相反。
第十四章 超静定结构
第十四章 超静定结构
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
对称结构在正对称载荷作用下： 结构的内力及变形是对称的 位于对称轴上的截面的内力 FS 0
ΔD
π/2 M M
0
EI
R d
FR3 EI
π 8
1 π
ΔAB
2 ΔD
FR3 EI
π 4
2 π
第十四章 超静定结构
2
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
对称性的利用：
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第十四章 超静定结构
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
11 X1 12 X 2 1n X n Δ1F Δ1
力法的正则方程
21 X1 22 X 2 2n X n Δ2F Δ2
第十四章 超静定结构
1
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
第十四章 超静定结构
解：变形协调条件为 ΔBV 0
即
FBy a 2 2
2a 3
FBy a 3
qa 4 6
0
解得
FBy
qa 8
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反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷 的数值相等，作用点重合而作用方向相反。
第十四章 超静定结构
第十四章 超静定结构
CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY
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对称结构在正对称载荷作用下： 结构的内力及变形是对称的 位于对称轴上的截面的内力 FS 0
ΔD
π/2 M M
0
EI
R d
FR3 EI
π 8
1 π
ΔAB
2 ΔD
FR3 EI
π 4
2 π
第十四章 超静定结构
2
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对称性的利用：
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第十四章 超静定结构
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11 X1 12 X 2 1n X n Δ1F Δ1
力法的正则方程
21 X1 22 X 2 2n X n Δ2F Δ2
14第十四章 超静定结构
例8：已知刚架 的抗弯刚度为E I。 试求支座 B 处的反
力。 解： M ( x1 ) x1
M ( x2 ) a
qx M ( x1 ) 6a
3 0 1
q0 a 2 M ( x2 ) 6
3 a MM 1 a 2 4 a 2 11 dx 0 x1 d x1 0 a d x2 3EI EI EI l
另解：
qa2 X1 q 2a cos45 2 qa , M A 2
例12：已知桁架各杆的拉压刚度为 EA， 求各杆的轴力。
解：
11
i 1 3
3
FNi FNi li EA EA
l 1 cos3 sin 3 EA cos Fl sin 2 EA cos
EAi
7 a 4 2 2 EA
Δ1F
i
FN i FN , i li
Fa 3 2 2 EA
由 11 X1 Δ1F 0 得
解：
例3：图示刚架 EI 为常 量，画出刚架的弯矩图。
解：
7a 3 Fa3 11 , Δ1F 24EI 4 EI
由力法正则方程 11 X1 Δ1F 0 得X 1
6F 7
M图
例4：试求图示平面刚架的支座反力。 已知各杆 EI =常数。
解：
3 1 a 2 2a 4 a 2 11 a a EI 2 3 3EI
一、外力超静定系统 由于外部的多余约束而构成的超静定系统，一般称为
外力超静定系统。 求解外力超静定系统的基本方法，是解除多余约束，
代之以多余约束反力，根据多余约束处的变形协调条件建 立补充方程进行求解。 解除多余约束后得到的静定结构，称为原超静定系统 的相当系统。
超静定结构
目录
§14-1 超静定结构概述 §14-2 变形比较法 能量法
§14-3 用力法解超静定结构
§ 超静定结构概述
一.回顾：
对于超静定问题，在上册的各章节中，已作了一定程度的 研究，如拉压部分的拉压超静定，扭转部分的扭转超静定，弯 曲部分的弯曲超静定等。本章主要研究弯曲超静定梁的三种求 解方法——变形比较法、能量法、力法。
P
B
A
4
4
O
B
X1
a
解: 1. 建立基本静定系如图 (b) 所示。 2. 将静定系分解成图 (c) 和图 (d) 两种情况的叠加。
(a)
P
P
B
1P
B
X1
A
4
O
A
4
A
O
4
X1
O
(b)
(c)
(d)
11
B 1
若 B 点的竖向位移用 Δ1表示, 则:
Δ1 Δ1P Δ1X1 ——（1）
3 EI
f B f B q f B RB
qL4 RB L3 8 EI 3 EI
（3）建立变形协调条件： 因B点实际为一活动铰支座，故 即：
fB 0
qL4 RB L3 3 0 RB RL 8EI 3EI 8
总结：利用变形比较法解题, 思路较为清晰, 其中的各 基本变形量的求解方法也较为灵活, 是求解静不定 问题的基本方法。
可写成矩阵的形式：
δ21 X 1 δ22 X 2 Δ2P 0
— 所求的正则方程， 解方程即可求出 x1 , x2 。
δ11 δ12 X 1 Δ1P δ δ X Δ 0 21 22 2 2P
§14-1 超静定结构概述 §14-2 变形比较法 能量法
§14-3 用力法解超静定结构
§ 超静定结构概述
一.回顾：
对于超静定问题，在上册的各章节中，已作了一定程度的 研究，如拉压部分的拉压超静定，扭转部分的扭转超静定，弯 曲部分的弯曲超静定等。本章主要研究弯曲超静定梁的三种求 解方法——变形比较法、能量法、力法。
P
B
A
4
4
O
B
X1
a
解: 1. 建立基本静定系如图 (b) 所示。 2. 将静定系分解成图 (c) 和图 (d) 两种情况的叠加。
(a)
P
P
B
1P
B
X1
A
4
O
A
4
A
O
4
X1
O
(b)
(c)
(d)
11
B 1
若 B 点的竖向位移用 Δ1表示, 则:
Δ1 Δ1P Δ1X1 ——（1）
3 EI
f B f B q f B RB
qL4 RB L3 8 EI 3 EI
（3）建立变形协调条件： 因B点实际为一活动铰支座，故 即：
fB 0
qL4 RB L3 3 0 RB RL 8EI 3EI 8
总结：利用变形比较法解题, 思路较为清晰, 其中的各 基本变形量的求解方法也较为灵活, 是求解静不定 问题的基本方法。
可写成矩阵的形式：
δ21 X 1 δ22 X 2 Δ2P 0
— 所求的正则方程， 解方程即可求出 x1 , x2 。
δ11 δ12 X 1 Δ1P δ δ X Δ 0 21 22 2 2P
结构力学 超静定结构总论PPT课件
M1图 MP图
4 例题 已知：EI=常数。
求：连续梁内力。
力法求解： 11X1 1P 0
11
5l 8EI
1P
ql 3 16EI
X1
1P
11
ql2 10
M M1X1 MP
M图
第5页/共63页
位移法求解：
基本结构
M1图 MP图
3i k11 24 i 7
ql 2 ql 2 8 14 F1P
是两种荷载引起的最大弯矩相等。
第38页/共63页
（3）刚架荷载的连续化
■因为荷载的影响主要反映在固端弯矩上，等效的原则 是两种荷载引起的固端弯矩相等。
第39页/共63页
（4）弹性地基梁反力 的离散化
（5）支撑于桩基和浮筒上 的梁的连续化
第40页/共63页
§12-5 支座简图与弹性支撑概 念弹性支撑概念的应用
§12-1 广义基本结构、广义单元和子结构的应用
对超静定结构分析作一综合性的回顾，并作一些补充 第一、对计算方法加以比较和引申。
将力法中静定的基本结构引申到超静定的基本结构； 将位移法中的简单单元引申到复杂单元、子结构。
第二、补充混合型解法——分区混合法。 第三、对超静定结构的力学特征加以归纳和总结 第四、对结构计算简图作进一步讨论 第五、对剪切变形对超静定结构的影响作进一步讨论 第六、补充连续梁最不利荷载分布和内力包络图。
k111 F1P 0
k11
45i 7
F1P
3ql 2 56
1 F1P k11 ql2 120i
M M11 MP
M图
第6页/共63页
§12-2 分区混合法
1分区混合的基本未知量
和基本体系
第11章能量法与超静定
☆第11章能量法与超静定[本章重点]重点掌握单位载荷法或卡氏第二定理。
可求任何结构（刚架、曲杆、桁架等）任一截面处的位移（而要求力的作用点有与所求位移对应的载荷），掌握此方法的关键是能快速、准确地写出各种内力方程并正确积分。
超静定结构是力学、土木、机械等专业多学时材料力学课程的重点和难点。
（1）求解超静定问题。
首先是正确判断结构是否属于超静定，并确定超静定的次数，这是问题的关键；其次要根据结构的特点，选取合理的静定基，以保证受力和变形均与原结构相当，求解过程则相对简单。
（2）由于工程结构中存在大量对称结构，当其承受对称载荷（反对称载荷）或可转化为上述载荷时，利用对称（非对称）的特性可使超静定问题次数降低，使问题大为简化。
[本章难点]难点主要是对虚功原理的介绍，“虚”位移，“虚”功，内力所作虚功相互抵消，平衡力系在刚性虚位移上所作功的总和等于零等比较抽象的概念。
不论多余约束外力或内力，用变形比较法（或力法正则方程）来解，其难点是根据变形协调条件写出多余约束力所表达的补充方程，其余问题即可迎刃而解。
[本章考点]能量法及其在超静定结构中的应用是多学时课程的必考点，且往往是试卷中的难点。
（1）能量法求直杆、曲杆、刚架、桁架某截面的位移或某两截面间的相对位移等。
（2）能量法应用在动载荷中的计算冲击点的静位移stΔ（进而确定动荷系数）中；能量法应用在涉及冲击的超静定问题中。
对于力学、土木、机械等专业多学时课程来讲，超静定结构也常常是课程考试和考研试题的考点，一套试题中的难点大都出自本章。
（3）一般以超静定梁为主，稍深则涉及超静定刚架。
对于较高次超静定结构，常利用对称性使问题简化。
考题大多以一次或可化为一次超静定的问题为主。
（4）超静定问题和冲击问题结合，有时还涉及压杆稳定的复杂的问题。
[本章的习题分类与解题要点]一、本章中的能量法部分的计算题大致分为四类：（1）求各种结构的应变能。
只需正确求出各部分内力，直接求和或积分。
能量法与超静定结构
探讨能量法与其他数值方法（如 有限元法、边界元法等）的结合， 以实现更高效、精确的结构分析。
深入研究能量法的理论基础，完 善和发展能量法的理论体系，提 高其在解决复杂工程问题中的可
靠性和精度。
THANKS
感谢观看
变形协调性
超静定结构的各部分之间 存在变形协调关系，即各 部分之间的相对位移受到 约束。
内力分布
超静定结构的内力分布与 静定结构不同，因为多余 约束的存在导致内力的重 新分布。
超静定结构的分类
按多余约束数分类
可分为一次超静定、二次超静定等。
按结构形式分类
可分为连续梁、刚架、拱等。
04
能量法在超静定结构中的应用
05
案例分析
案例一：某桥梁的超静定结构分析
总结词
桥梁的超静定结构分析
详细描述
利用能量法对某桥梁的超静定结构进行分析，包括确定结构的自由度、建立势能函数和动能函数、求 解平衡方程等步骤，以确定结构的稳定性和安全性。
案例二：某高层建筑的超静定结构优化设计
总结词
高层建筑的超静定结构优化设计
VS
详细描述
能量法在超静定结构优化设计中的应用
尺寸优化
利用能量法对超静定结构的尺寸进行优化，通过调整结构 尺寸参数，使结构的总能量最小化，达到最优设计效果。
形状优化
利用能量法对超静定结构的形状进行优化，通过改变结构的几 何形状，使结构的总能量最小化，达到最优设计效果。
拓扑优化
利用能量法对超静定结构的拓扑进行优化，通过改变结构的支 撑方式和连接方式，使结构的总能量最小化，达到最优设计效 果。
能量法在超静定结构分析中的应用
静力分析
利用能量法对超静定结构进行静 力分析，通过计算结构的应变能 和动能，推导出结构的位移和应 力分布。
第十三章 能量方法和超静定结构
（3）水平方向弯曲变形能
1 1 Pa3 ( Pa)l 5 P 2l 3 （4）垂直方向弯曲变形能 U 3 2 (T t ) CV 2 P ( 3EI 3EI a) 384EI
（5）轴的变形能
3P 2 d 2l 9P 2l 3 U U1 U 2 U 3 32GI p 384EI
3 3Pa3 P a 1 2 EI GI p
A
M ( x3 ) M ( x3 ) T ( x3 ) T ( x3 ) M ( x1 ) M ( x1 ) M ( x2 ) M ( x2 ) dx1 dx2 dx3 dx3 l1 EI l 2 l 3 l 3 P2 EI P2 EI P2 EI P2
B
C
l
P
A l B 1 2
D
解：(1) 在B处作用虚加力Pf，并求出约束反力
2 XA P Pf 2 YA P 2 ND P Pf 2
C
3 D ND
杆件变形能：
N 2l U W 2 EA
N2 U l dx 2 EA
例13-1 求图示杆件的变形能。
解：方法1
l N2 P2 2 P 2l U1 dx dx 2 l 2 EA 0 1 2 E d 2 E d 4
2d d l d 2d P
3l/8 l/4 3l/8
a 0 3 3 a P (a x ) P x a Pa P P1a 3 P2 a 3 ( P P 2 3 1 3 1 x1 1 1P 2 )a 1a x1dx1 0 x3dx3 adx3 ( ) 0 0 EI EI GI p 3EI 2 EI 3EI GI p
2
三、扭转： 变形能：
相关主题
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能量法与超静定结构
§9.1 概述
能量法: 固体力学中，把一个和功、能的概念 有关的理论和方法 统称为能量法
§9.2 应变能 余能
1 功:
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该
力对物体做了功
W Fdu
AB
恒力功:
F
WFP1
变形功: W 1 Fd
F
0
FP
1
在线弹性范围内
轴向拉伸时外力做功
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
V cvc2A l2A nK lnn1 cF o 1 sn1
i
Vc Fi
五 能量法解超静定
1.简单超静定问题及其解法
q
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅
由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称 A
B
为静定问题,相应的结构称为静定结构.
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
V cK nA n1 l 2 2c F o X sA nco sX A n 1
D
Vc X
0
试计算图示结构的支座反力
Me
C
D
B
a
a
2
2
Me
B
C
D
a
a
X
2
2
A
A
q q
这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为力法
FN
V Vvdxdydz
若整个体积内v 相同 V v V
三
卡氏第一定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
n
V W
i
0
fid
i
i1
V 为最后位移 i 的函数
由于 i 改变了d i，外力功相应改变量为
dWFidi
dV
V i
di
由于 dWdV
Fi
V i
卡氏第一定理 应变能对于构件上某一 位移之变化率，就等于 与该位移相应的荷载。
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积 F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
l
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这 类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
V cvc2A l2A nK lnn1 cF o 1 sn1
§9.3 卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
n Fi
Vc Wc 0 idfi 表明余能为一系列荷载 F i 的函数 i1
由于 F i 改变了 dF i，外力余功相应改变量为
dWc idFi
dVc
Vc Fi
dFi
dVc dWc
i
Vc Fi
余定理
杆件的余能对于杆 件上某一荷载的变 化率就等于与该荷 载相应的位移。
在线弹性范围内 Vc V
i
V Fi
卡氏第二定理
线弹性范围内，杆件 的应变能对于杆件上 某一荷载的变化率， 就等于与该荷载相应 的位移。
试计算图示结构在荷载 F1 作用下C点的竖向位移，结构中两杆的
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.
一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F 垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的 自重不计,求两杆中的内力.
MA 0
FN1a FN 2 2a F 2a 0
1
L1
2
变形协调方程
A
C
B
a
aF
FN1
FN 2
W
1 2
FN
l
扭转时外力做功 弯曲时外力做功
W 1 T
f
2
F
W 1 M
2
统一表示为
W 1 F 2
广义力
广义位移
2 能（应变能或变形能）
根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能V
等于外力在物
体变形过程中所做的功W。
V W Fdu
AB
应变能密度：单位体积内积蓄的应变能
W
1d
0
v
若微元各边分别为 dx,dy,dz dV vdxdydz
长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲 线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
FN
F1
2cos
o
1
于是两杆横截面上的应力为
1
FN A
F1
2Acos
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 A c F 1o n s 1
A
B
C L1
L2
a
aF
2L1 L2
2 FN1L FN 2L E1A1 E2 A2
FN1
1
2F 4E2 A2
E1 A1
FN 2
4
4F E1 A1
E2 A2
试计算图示结构在荷载 F作用下的余能，结构中两斜杆的长度均
例
为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图
所示。求各杆内力。
B
D
C
K1nn1
1
B
X
D
C
A
A
F
o
1
F
解：由结点C的平衡方程，得两斜杆轴力为 FN1FN22FcoXs
于是两杆横截面上的应力为 12FA N2AcF1os
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 F A c X o n s 1
—应变曲线如图所示。
B
D
1
K1nn1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
FN
F1
2cos
o
1
于是两杆横截面上的应力为
1
FN A
F1
2Acos
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 A c F 1o n s 1
§9.1 概述
能量法: 固体力学中，把一个和功、能的概念 有关的理论和方法 统称为能量法
§9.2 应变能 余能
1 功:
力作用于物体，力在其作用方向上发生位移，则该
力对物体做了功
W Fdu
AB
恒力功:
F
WFP1
变形功: W 1 Fd
F
0
FP
1
在线弹性范围内
轴向拉伸时外力做功
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
V cvc2A l2A nK lnn1 cF o 1 sn1
i
Vc Fi
五 能量法解超静定
1.简单超静定问题及其解法
q
未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅
由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称 A
B
为静定问题,相应的结构称为静定结构.
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
V cK nA n1 l 2 2c F o X sA nco sX A n 1
D
Vc X
0
试计算图示结构的支座反力
Me
C
D
B
a
a
2
2
Me
B
C
D
a
a
X
2
2
A
A
q q
这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为力法
FN
V Vvdxdydz
若整个体积内v 相同 V v V
三
卡氏第一定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
n
V W
i
0
fid
i
i1
V 为最后位移 i 的函数
由于 i 改变了d i，外力功相应改变量为
dWFidi
dV
V i
di
由于 dWdV
Fi
V i
卡氏第一定理 应变能对于构件上某一 位移之变化率，就等于 与该位移相应的荷载。
四 余功、余能及卡氏第二定理
Wc
F1 dF
0
与余功相应的能称为余能
Vc V vcdV
vc
1 d
0
Vc
Wc
F1 dF
0
与外力功
W
1 0
Fd之和等于矩形面积 F1 1
线弹性范围内外力功等
F
F
于余功，能等于余能。
F1
F1
o
1
o
1
试计算图示结构在荷载 F1 作用下的余能，结构中两杆的 长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力
l
未知力个数多于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程无法确定全部未知力,这 类问题称为超静定问题或静不定问题,相应的结构称为超静定结构或静不定结构.
所有超静定结构,都是在静定结构上再加一个或几个约束,这些约束对于特定的 工程要求是必要的,但对于保证结构平衡却是多余的,故称为多余约束.
未知力个数与平衡方程数之差,称为超静定次数或静不定次数.
由于轴向拉伸杆内各点应变状态均相同，因此，结构在荷载作用下的余能为
V cvc2A l2A nK lnn1 cF o 1 sn1
§9.3 卡氏第二定理
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
n Fi
Vc Wc 0 idfi 表明余能为一系列荷载 F i 的函数 i1
由于 F i 改变了 dF i，外力余功相应改变量为
dWc idFi
dVc
Vc Fi
dFi
dVc dWc
i
Vc Fi
余定理
杆件的余能对于杆 件上某一荷载的变 化率就等于与该荷 载相应的位移。
在线弹性范围内 Vc V
i
V Fi
卡氏第二定理
线弹性范围内，杆件 的应变能对于杆件上 某一荷载的变化率， 就等于与该荷载相应 的位移。
试计算图示结构在荷载 F1 作用下C点的竖向位移，结构中两杆的
求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.
一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F 垂直杆1,2的抗拉压刚度分别为E1A1,E2A2,若横梁AB的 自重不计,求两杆中的内力.
MA 0
FN1a FN 2 2a F 2a 0
1
L1
2
变形协调方程
A
C
B
a
aF
FN1
FN 2
W
1 2
FN
l
扭转时外力做功 弯曲时外力做功
W 1 T
f
2
F
W 1 M
2
统一表示为
W 1 F 2
广义力
广义位移
2 能（应变能或变形能）
根据能量守恒定律。贮存在物体中的应变能V
等于外力在物
体变形过程中所做的功W。
V W Fdu
AB
应变能密度：单位体积内积蓄的应变能
W
1d
0
v
若微元各边分别为 dx,dy,dz dV vdxdydz
长度均为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲 线如图所示。
B
D
K1nn1 1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
FN
F1
2cos
o
1
于是两杆横截面上的应力为
1
FN A
F1
2Acos
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 A c F 1o n s 1
A
B
C L1
L2
a
aF
2L1 L2
2 FN1L FN 2L E1A1 E2 A2
FN1
1
2F 4E2 A2
E1 A1
FN 2
4
4F E1 A1
E2 A2
试计算图示结构在荷载 F作用下的余能，结构中两斜杆的长度均
例
为 l，横截面面积均为A材料在单轴拉伸时的应力—应变曲线如图
所示。求各杆内力。
B
D
C
K1nn1
1
B
X
D
C
A
A
F
o
1
F
解：由结点C的平衡方程，得两斜杆轴力为 FN1FN22FcoXs
于是两杆横截面上的应力为 12FA N2AcF1os
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 F A c X o n s 1
—应变曲线如图所示。
B
D
1
K1nn1
C
F1
解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
FN
F1
2cos
o
1
于是两杆横截面上的应力为
1
FN A
F1
2Acos
由非线性弹性材料的应力应变关系曲线可得
n
K
余能密度为 v c0 1d0 1 K n d K n 1 n 1 2 A c F 1o n s 1