计数原理教材分析ppt 人教课标版共41页文档
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计数原理(PPT)2-1
基础知识
一、分类计数原理 (加法原理) 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有
m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有
N= m1+m2+… +mn 种不同的方法 二、分步计数原理 (乘法原理)
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
问题1 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽车。
若一天中火车有3列,汽车有2辆。那么一天中乘坐这些 交通工具从温州到杭州有多少种不同的走法?
变式： 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车，还可以乘飞机。若一天中火车有3列,汽车有2辆， 飞机有４架。那么一天中乘坐这些交通工具从温州到 杭州有多少种不同的走法?
N= m1×m2×… ×mnnt/8296.html 适合北方人加盟的面馆
2005年，银河系旋臂的结构被观测到。银河系按哈勃分类应该是一个巨大的棒旋星系SBc（旋臂宽松的棒旋星系），总质量是太阳质量的0.6万亿-3万亿倍，有大约1,000亿颗恒星。 从80年代开始，天文学家怀疑银河系是一个棒旋星系而不是一个普通的旋涡星系。2005年，斯必泽空间望远镜证实了这项怀疑，还确认了在银河核心的棒状结构比预期的还大。 银河的盘面估计直径为9.8万光年，太阳至银河中心的距离大约是2.6万光年，盘面在中心向外凸起。银河的中心有巨大的质量和紧密的结构，因此怀疑它有超大质量黑洞，因为已经有许多星系被相信有超大质量的黑洞在核心。 就像许多典型的星系一样，环绕银河系中心的天体，在轨道上的速度并不由与中心的距离和银河质量的分布来决定。在离开了核心凸起或是在外围，恒星的典型速度在210～240千米/秒之间。因此这些恒星绕行银河的周期只与轨道的长度有关。这与太阳系不同，在太阳系，距离不同就有不同的 轨道速度对应。 银河的棒状结构长约2.7万光年，以44±10度的角度横亘在太阳与银河中心之间，它主要由红色的恒星组成，大多是老年的恒星。被推论与观察到的银河旋臂结构的每一条旋臂都给予一个数字对应（像所有旋涡星系的旋臂），大约可以分出一百段。有四条主要的旋臂起源于银河的核心，包括： 2 and 8 - 三千秒差距臂和英仙座旋臂。3 and 7 - 矩尺座旋臂和天鹅座旋臂（与最近发现的延伸在一起 - 6）。4 and 10 -南十字座旋臂和盾牌座旋臂。 5 and 9 -船底座旋臂和人马座旋臂。还有两个小旋臂或分支，包括：11 -猎户座旋臂（包含太阳和太阳系在内- 12）。最新研究发现银河系可能只有两条主要旋臂——人马座旋臂和矩尺座旋臂，其绝大部分是气体，只有少量恒星点缀其中。 谷德带（本星团）是从猎户臂一端伸展出去的一条亮星集中的带，主要成员是B2～B5型星，也有一些O型星、弥漫星云和几个星协，最靠近的OB星协是天蝎-半人马星协，距离太阳大约400光年。在主要的旋臂外侧是外环或称为麒麟座环，是由天文学家布赖恩·颜尼（Brian Yanny）和韩第·周 ·纽柏格（Heidi Jo Newberg）提出的，是环绕在银河系外由恒星组成的环，其中包括在数十亿年前与其他星系作用诞生的恒星和气体。 银河的盘面被一个球状的银晕包围着，直径25万～40万光年。由于盘面上的气体和尘埃会吸收部分波长的电磁波，所以银晕的组成结构还不清楚。盘面（特别是旋臂）是恒星诞生的活跃区域，但是银晕中没有这些活动，疏散星团也主要出现于盘面上。
计数原理全部课件集ppt完美课件 人教课标版3
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法. 第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法
根据分步计数原理 丙 甲 丙 甲 乙
相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题１就可以叙述为：
1
23 4 3 42 42 3
2 1 34
3 41 41 3
3
1 24 2 41 4 1 2
4
12
3
2 31 31 2
有此可写出所有的三位数： 123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243， 312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
计 数 原 理 全 部课件 集ppt完 美课件 人 教 课标版 3
2、排列数：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中
取出m个元素的排列数。用符号
A
m n
表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联
“系一？个排列”是指：从n 个不同元素中，任取 m
按照一定的顺序排成一列，不是数；
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
（5）20位同学互通一次电话 （6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦 （8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的 射线
（9）有10个车站，共需要多少种车票？
（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
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件。
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2025届高中数学一轮复习课件《计数原理》ppt
高考一轮总复习•数学
第20页
解析：(1)因为学生只能从东门或西门进入校园， 所以 3 名学生进入校园的方式共 23＝ 8(种)．因为教师只可以从南门或北门进入校园， 所以 2 名教师进入校园的方式共有 22＝ 4(种)．所以 2 名教师和 3 名学生进入校园的方式共有 8×4＝32(种)．故选 D．
A．12 种 B．24 种 C．72 种 D．216 种
高考一轮总复习•数学
第15页
(2)设 I＝{1,2,3,4}，A 与 B 是 I 的子集，若 A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．若
将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，
按其中一个子集中元素个数分类23个个；； 4个.
即十位数字最小． 称该数为“驼峰数”．比如 102,546 为“驼峰数”，由数字 1,2,3,4 构成的无重复数字 的“驼峰数”有________个．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：(1)由分步乘法计数原理知，用 0,1，…，9 十个数字组成三位数(可有重复数字) 的个数为 9×10×10＝900，组成没有重复数字的三位数的个数为 9×9×8＝648，则组成有 重复数字的三位数的个数为 900－648＝252.故选 B．
(2)根据题意知，a，b，c 的取值范围都是区间[7,14]中的 8 个整数，故公差 d 的范围是区 间[－3,3]中的整数．①当公差 d＝0 时，有 C18＝8(种)；②当公差 d＝±1 时，b 不取 7 和 14， 有 2×C16＝12(种)；③当公差 d＝±2 时，b 不取 7,8,13,14，有 2×C14＝8(种)；④当公差 d＝±3 时，b 只能取 10 或 11，有 2×C12＝4(种)．综上，共有 8＋12＋8＋4＝32(种)不同的分珠计数 法．
计数原理_1-课件
• [点评] 本题求的是“选垄方法”，而不是 “种植方法”，若求不同种植方法，则A种 第1垄，B种第8垄与A种第8垄，B种第1垄为 不同方法，应有不同种植方法2×6＝12 种．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/3/52021/3/5Fr iday, March 05, 2021
• 由分类加法计数原理知，可以组成的不同 的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．
• [点评] (1)在同一题目中涉及到这两个定 理时，必须搞清是先“分类”，还是先 “分步”，“分类”和“分步”的标准又 是什么．
• (2)该题是先分类，后分步，按自然数的位 数“分类”，按组成数的过程“分步”．
• [点评] 解两个计数原理的综合应用题时， 最容易出现不知道应用哪个原理来解题的 情况，其思维障碍在于没有区分该问题是 “分类”还是“分步”，突破方法在于认 真审题，明确“完成一件事”的含义．具 体应用时灵活性很大，要在做题过程中不 断体会和思考，基本原则是“化繁为 简”．
• 一、选择题
• 1．一个礼堂有4个门，若从一个门进，从 任一门出，共有不同走法
• [答案] 13 42
• 5．在一块并排10垄的田地上，选择2垄分 别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄， 为有利于作物生长，要求A、B两种作物的 间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有 ________种(结果用数字作答)．
• [答案] 6
• [解析] A种第1垄，B可种8、9、10垄有3 种方法，A种第2垄，B可种9、10垄有2种 方法，A种第3垄，B只能种第10垄，∴共 有选垄方法3＋2＋1＝6种．
• [解析] 第一类：“多面手”去参加英语 时，选出只会日语的一人即可，有2种选 法．
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时PPT课件(人教版)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班 学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4 类,从四班学生中选1人,有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一 人任组长.
加法计数原理知共有不同的选法
N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是 对于较复杂应用问题的元素分成互相排挤的几类,逐类解决,用分 类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然 后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
探究二探Leabharlann 三素养形成当堂检测
变式训练2要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶 梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则从一层到三层有多少种不 同的走法? 解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,从教学楼的一层到三层的不同走法有
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.分类加法计数原理的推广 分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中 有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n 类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法. 2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
计数原理-完整版课件
解析： ∵C06＋C16＋C26＋C36＋C46＋C56＋C66＝26＝64， ∴C16＋C26＋C36＋C46＋C56＝64－2＝62. 答案： 62
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
• 7．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学 校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．
• 1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学 书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有( )
• A．22种 B．350种
• C．32种 D．20种
• 解析： 由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22 种．
• 答案： A
• 2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的 坐法种数为( )
两通项相乘得：C6r x3r Ck10x－4k＝C6r C1k0x3r －4k，
令
r 3
－
k 4
＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：
(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．
故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.
答案： 4 246
6．C16＋C26＋C36＋C46＋C56的值为________．
• A．3×3! B．3×(3！)3
• C．(3！)4 D．9!
• 解析： 把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有 (3！)4种．
• 答案： C
• 3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的 三位数的个数为( )
• A．243 B．252
• C．261 D．279
• 解析： 能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无 重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三 位数的个数是900－648＝252.
基本计数原理PPT课件
第7页/共40页
学案P46-1
练习 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2 幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,问共 有多少种不同的挂法?
分 左边
两 步
甲
完
成乙
右边 乙 丙 甲 丙
第一步 第二步 3×2
甲
丙
乙
第8页/共40页
例 2．解下列各题： (1) 要从甲、乙、丙 3 名工人中选出 2 名分别上
第一步, m1 = 10; 第二步, m2 = 10; 第三步, m3 = 10. 根据乘法原理, 共可以设置
N = 10×10×10 = 103 种三位数的密码。
首位数字不为0的密码数?首位数字是0的密码数?
第35页/共40页
练习 一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,
6,7,8,9十个数字组成,可以设置多少种三位数的密码( 各位上的数字允许重复)?首位数字不为0的密码数是多 少?首位数字是0的密码数又是多少?
说明 N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要 计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原 理又称加法原理 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分 类标准下进行分类，然后对每类方法计数.
第4页/共40页
问题2：从甲地到乙地，有3条道路，从乙地到丙 地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地共有多少 种不同的走法 ？
日班和晚班，有多少种不同的选法？
(2) 有 4 名学生报名参加数学、物理、化学竞赛， 每人限报一科，有多少种不同的报名方法？
(3) 有 4 名学生争夺数学、物理、化学竞赛的冠军， 你有多少种不同的结果？（每个科目冠军只有 一人）
《计数原理》ppt
326(种)
实例与练习：
5、某校电子八班有男生 26人，女生 20人，若要选男、女生各1人作为学生代 表参加学代会，共有多少种选法？
解：20x26=520（种）
6、两个袋子中分别装有10个红色球 和6个白色球。从中取出一个红色球和一 个白色球，共有多少种方法？
解：10x6=60（种）
分析: 第一步, 由长沙去郴州有3种方法,
第二步, 由郴州去广州有2种方法；
火车2 火车3 火车3
汽车2 汽车1 汽车2
所以 从长沙经郴州到广州共有3 ×2 = 6 种不同的方法。
[ 延伸]：如果小李回家的时候需要转一次车后再
乘飞机，飞机有两个航班（如图），则共有多少种不 同的走法？
重庆
火车1 火车2 火车 3
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
3×3×3×3 =34 = 81
作业：
第122页，习题， 第1、2、4、5题
例2：体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每 位数若是0~9这十个数字中任一个，则每次摇 奖产生的号码有多少种可能？
第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 第七位
10 × 10 ×10 × 10 × 10 × 10 × 10 =10７
法中有 mn 种不同的方法，那么 mn 种不同的方法，那么完成
实例与练习：
5、某校电子八班有男生 26人，女生 20人，若要选男、女生各1人作为学生代 表参加学代会，共有多少种选法？
解：20x26=520（种）
6、两个袋子中分别装有10个红色球 和6个白色球。从中取出一个红色球和一 个白色球，共有多少种方法？
解：10x6=60（种）
分析: 第一步, 由长沙去郴州有3种方法,
第二步, 由郴州去广州有2种方法；
火车2 火车3 火车3
汽车2 汽车1 汽车2
所以 从长沙经郴州到广州共有3 ×2 = 6 种不同的方法。
[ 延伸]：如果小李回家的时候需要转一次车后再
乘飞机，飞机有两个航班（如图），则共有多少种不 同的走法？
重庆
火车1 火车2 火车 3
分析: 从重庆到西昌有2类方法,
火车1 火车2
Ⅰ.乘火车，3种方法;
火车 3
Ⅱ.乘汽车，2种方法; 重庆
汽车1
西昌
汽车2
所以 从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。
［延伸］：
如果重庆到西昌，除了３班火车２班汽车外还有 ２班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？
共有： 3+2+2=7 种
3×3×3×3 =34 = 81
作业：
第122页，习题， 第1、2、4、5题
例2：体育福利彩票的中奖号码有7位数码，每 位数若是0~9这十个数字中任一个，则每次摇 奖产生的号码有多少种可能？
第一位 第二位 第三位 第四位 第五位 第六位 第七位
10 × 10 ×10 × 10 × 10 × 10 × 10 =10７
法中有 mn 种不同的方法，那么 mn 种不同的方法，那么完成
计数原理说课ppt课件
根据分类计数原理, 从A到B共有N=3+1+4=8条 不同的线路可通电。
最新版整理ppt
1 创设学习情景，让学生走进数学，凸显职高数学有效教学的“大众性”. 生活情景，正视差异，促进数学意识的提高.
2 活化学习内容，让学生爱上数学，凸显职高数学有效教学的“趣味性”.
动画形式，探索新知，促进思维过程的形成. 3 提供实践空间，让学生会用数学，凸显职高数学有效教学的“应用性”
[设计意图]： 动画激发兴趣，培养学生提炼数学信息的能力。
学生在情境中发现问题、引起思考、自我建构。
13
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创设情境 动脑思考 模拟场景 理论升华 运用知识 目标检测 兴趣导入 探索新知 解决问题 整体建构 专业实践 反思评价
(约10分钟)
师生
引领 思考 分析 概括
播放 观察 图片 提炼
体验情景法
迁移法
教法 学法
总结提升法
引导启发式
实物演示教学
实践探究法题·探究·发展”模式
10
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5分钟
目标检测
7分钟 专业实践
3分钟 整体建构
16分钟 解决问题
10分钟 探索新知
4分钟
创设情境
45分钟
教学流程
发展提升 深化原理 提炼方法 体验原理 形成原理 提出问题
竞赛抢答方式， 调动学习热情。
18
最新版整理ppt
创设情境 动脑思考 模拟场景 理论升华 运用知识 目标检测 兴趣导入 探索新知 解决问题 整体建构 专业实践 反思评价
(约3分钟)
师生
提出 系统 问题 梳理
分类完成 加法原理 互相独立 不重不漏
计数问题? 如何解决计数问题?
高中数学选修第一章计数原理全章复习与小结教学课件人教版ppt课件
A33 6(种)
涂色问题
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色等,结果 又怎样呢？
涂色问题
例、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个 部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分 栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的 栽种方法有______种.（以数字作答）
C42C
2 2
A22
A22
问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，
分配方案共有多少种？
C
61C
52C
3 3
+C
4 6
C
C 1 1
21
A22
+
C
62C
42C
2 2
A33
A33
多个分给少个时，采用先分组再分配的策 略
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多 少种分法?
数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.
C
m n
组合数公式：
C
m n
nn 1n 2n m 1
m!
n!
m!n m !
其中： n, m N * , 并 且m n.
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺 序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什 么”.
(2)证明：310 39 C110 38 C120 37 C130 36 C140 35 C150
涂色问题
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同 颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂 不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色等,结果 又怎样呢？
涂色问题
例、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个 部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分 栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的 栽种方法有______种.（以数字作答）
C42C
2 2
A22
A22
问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，
分配方案共有多少种？
C
61C
52C
3 3
+C
4 6
C
C 1 1
21
A22
+
C
62C
42C
2 2
A33
A33
多个分给少个时，采用先分组再分配的策 略
练习： (1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多 少种分法?
数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.
C
m n
组合数公式：
C
m n
nn 1n 2n m 1
m!
n!
m!n m !
其中： n, m N * , 并 且m n.
判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺 序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什 么”.
(2)证明：310 39 C110 38 C120 37 C130 36 C140 35 C150
计数原理全部课件集ppt(排列等14份) 人教课标版8
m1 n m1 n m n
C . C .
m1 n2
m n 1
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
c n 1 c n c n
m
m
m 1
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数． 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
例１
( 1)
计算：
C C;
m n m 1 n
m
m
m 1
证明 : C C
n ! n ! m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]! n !(nm1 )n !m (nm1m )n ! m !(nm1 )! m !(n1m )! (n 1)! m C n 1. m ![(n 1) m]!
9 9 9 9
3
2
C
(2 )
3 100
100 99 98 161700 32 1
3 2
9 8. 2 CCC 8
3
2 ( ) 56 C C C C C
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
例2 求证: m m 1 m m 1 ( 1 ) ; C C C C n 1 n n 1 n 1
解：（1） ⑶
C 56
3 8
⑵
C 21
C . C .
m1 n2
m n 1
一、等分组与不等分组问题
例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
c n 1 c n c n
m
m
m 1
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标 较大的相同的一个组合数． 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
例１
( 1)
计算：
C C;
m n m 1 n
m
m
m 1
证明 : C C
n ! n ! m ! ( n m )! ( m 1 )! [ n ( m 1 )]! n !(nm1 )n !m (nm1m )n ! m !(nm1 )! m !(n1m )! (n 1)! m C n 1. m ![(n 1) m]!
9 9 9 9
3
2
C
(2 )
3 100
100 99 98 161700 32 1
3 2
9 8. 2 CCC 8
3
2 ( ) 56 C C C C C
3 8 3 8 2 8 2 8 3 8
例2 求证: m m 1 m m 1 ( 1 ) ; C C C C n 1 n n 1 n 1
解：（1） ⑶
C 56
3 8
⑵
C 21