数值分析历年考题

数值分析A 试题

2007.1

第一部分：填空题10⨯5 1.设3112A ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭

分解成T

A LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________

,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bx

f x ae =中的参数：a = ___________

b =___________

4.方程13

cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法

113

cos 244

k k x x π+=-的收敛阶是

5.解方程2

210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x =

323

2

323,[0,1]31,[1,2]

ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________

b =___________

7.要想求积公式：

1

121

()(()f x dx A f f x -≈+⎰

的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________

8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题

00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设

,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________

9.用线性多步法

2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题

00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a =

___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________

10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241

()(35303)8

L x x x =

-+,求积分1

241

()()ax bx c L x dx -++=⎰

___________其中,,a b c 为常数。

第二部分：解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）

1.（14分）已知方程组,Ax b =其中31,32a A b a ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi 和Gauss-seidel 迭代法收敛的a 的取值范

围，并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比。

（2）当1, 1.2a ω=-=时，写出SOR 方法迭代矩阵的表达式和SOR 方法计算公式的分量形式，并取初值(0)

(0,0)T x

=，求(1)(2),x x

（3）取1a =-，用迭代公式(1)

()()()k k k x x Ax b β+=+-，试求使该迭代方法收敛的β的最

大取值范围，最优β=？

2（14分）用单步法1[(,)(,(,))]2

n n n n n n n n h

y y f x y f x h y hf x y +=+

+++求解初值问题：00'(,),(),y f x y y x y ==

（1） 求出局部截断误差1n T +以及局部截断误差主项，该方法是几阶的？ （2） 求绝对稳定性区间。（写出求解过程）

（3） 用该方法解初值问题0',(0)y y y y =-=时，步长h 满足什么条件才能保证方法的绝

对稳定性。

3（14分）已知非线性方程组 11221124cos 01408x x x x x x +-=-+=，在矩形域

212{|11,02}

D x R x x =∈-≤≤≤≤内

有

解

*

x 。提示：

cos(0.5)0.8776,sin(0.5)0.4794.==

（1） 取初值(0)

(0.5,0.5)T x

=，用Newton 迭代(1)x 。

（2） 记12(,)T

x x x =，并设12211

1(cos )4()11()48x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

。试证明不动点迭代法

(1)()k k x x +=Φ在*x 处具有局部收敛性。

4（14分）试构造Gauss 型求积公式：

1

11221

()()()(),x f x dx A f x A f x ρ-≈+⎰

其中，权函数

2().x x ρ=构造步骤如下：

（1） 构造区间[1,1]-上权函数为2

x 的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss 点

12,x x

（2） 写出求积系数12,A A ，并给出求积公式代数精确度的次数 （3） 写出求积公式的余项表达式并化简

5（8分）设A 为n 阶非奇异阵，B 是奇异阵，求证()

2cond A A B A αα-≥,其中•为

矩阵从属范数，α为常数，且0α≠

第二份（2004.6）

1. 给定二阶RK 基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h 的要求

112121()

2

(,)

33

(,)

55

n n n n n n h

y y k k k f t y k f t h y hk +=++==++

2. 给定一个分段函数，求全函数为1区间[0,2]的最佳二次平方逼近

3. 给定对称正定矩阵（3*3），判断SOR 收敛性（ 1.2ω=）、给定初值算一步，估计5次

迭代误差

4. 给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度 ()f x 从0积到2 1122()()r f x r f x =+

5. 给定两个矩阵1,A A （均为3*3）,将A 变化为三对角阵，用QR 方法对1A 算一步求2A

6. （1）设B 奇异，证明

11A B A

A A

--=

,其中•为算子范数。

（2）证明最佳n 次平方逼近函数奇偶性与()f x 相同