数值分析历年考题

数值分析A 试题2007.1第一部分：填空题10⨯5 1.设3112A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则A ∞=___________ 2()cond A =___________ 2.将4111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分解成TA LL =，则对角元为正的下三角阵L =___________,请用线性最小二乘拟合方法确定拟合函数()bxf x ae =中的参数：a = ___________b =___________4.方程13cos 2044x x π--=在[0,1]上有 个根，若初值取00.95x =，迭代方法113cos 244k k x x π+=-的收敛阶是5.解方程2210x x -+=的Newton 迭代方法为___________，其收敛阶为___________ 6.设()s x =3232323,[0,1]31,[1,2]ax x x x x x bx x +-+∈--+∈为三次样条函数，则a = ___________b =___________7.要想求积公式：1121()(()f x dx A f f x -≈+⎰的代数精度尽可能高，参数1A = ___________ 2x =___________此时其代数精度为：___________8.用线性多步法2121(0.50.5)n n n n n y y h f f f ++++-=-+来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，该方法的局部截断误差为___________，设,0,f y μμ=〈其绝对稳定性空间是___________9.用线性多步法2121()n n n n n y ay by h f f ++++-+=-来求解初值问题00'(,),(),y f x y y x y ==其中(,)n n n f f x y =，希望该方法的阶尽可能高，那么a =___________ b =___________，此时该方法是几阶的：___________10.已知[1,1]-上的四次legendre 多项式为4241()(35303)8L x x x =-+,求积分1241()()ax bx c L x dx -++=⎰___________其中,,a b c 为常数。

第二部分：解答题（共5题，其中1，2，5题必做，3，4选做一题）1.（14分）已知方程组,Ax b =其中31,32a A b a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）用迭代收敛的充要条件，分别求出是Jacobi 和Gauss-seidel 迭代法收敛的a 的取值范围，并给出这两种迭代法的渐进收敛速度比。

（2）当1, 1.2a ω=-=时，写出SOR 方法迭代矩阵的表达式和SOR 方法计算公式的分量形式，并取初值(0)(0,0)T x=，求(1)(2),x x（3）取1a =-，用迭代公式(1)()()()k k k x x Ax b β+=+-，试求使该迭代方法收敛的β的最大取值范围，最优β=？2（14分）用单步法1[(,)(,(,))]2n n n n n n n n hy y f x y f x h y hf x y +=++++求解初值问题：00'(,),(),y f x y y x y ==（1） 求出局部截断误差1n T +以及局部截断误差主项，该方法是几阶的？ （2） 求绝对稳定性区间。

（写出求解过程）（3） 用该方法解初值问题0',(0)y y y y =-=时，步长h 满足什么条件才能保证方法的绝对稳定性。

3（14分）已知非线性方程组 11221124cos 01408x x x x x x +-=-+=，在矩形域212{|11,02}D x R x x =∈-≤≤≤≤内有解*x 。

提示：cos(0.5)0.8776,sin(0.5)0.4794.==（1） 取初值(0)(0.5,0.5)T x=，用Newton 迭代(1)x 。

（2） 记12(,)Tx x x =，并设122111(cos )4()11()48x x x x x ⎡⎤-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦。

试证明不动点迭代法(1)()k k x x +=Φ在*x 处具有局部收敛性。

4（14分）试构造Gauss 型求积公式：111221()()()(),x f x dx A f x A f x ρ-≈+⎰其中，权函数2().x x ρ=构造步骤如下：（1） 构造区间[1,1]-上权函数为2x 的首项系数为1的二次正交多项式，求出Gauss 点12,x x（2） 写出求积系数12,A A ，并给出求积公式代数精确度的次数 （3） 写出求积公式的余项表达式并化简5（8分）设A 为n 阶非奇异阵，B 是奇异阵，求证()2cond A A B A αα-≥,其中•为矩阵从属范数，α为常数，且0α≠第二份（2004.6）1. 给定二阶RK 基本公式，求相容阶数，判断是否收敛，考虑稳定性后对h 的要求112121()2(,)33(,)55n n n n n n hy y k k k f t y k f t h y hk +=++==++2. 给定一个分段函数，求全函数为1区间[0,2]的最佳二次平方逼近3. 给定对称正定矩阵（3*3），判断SOR 收敛性（ 1.2ω=）、给定初值算一步，估计5次迭代误差4. 给定求积表达式，要求有最大的代数精度，确定参数和代数精度 ()f x 从0积到2 1122()()r f x r f x =+5. 给定两个矩阵1,A A （均为3*3）,将A 变化为三对角阵，用QR 方法对1A 算一步求2A6. （1）设B 奇异，证明11A B AA A--=,其中•为算子范数。

（2）证明最佳n 次平方逼近函数奇偶性与()f x 相同第三份，韩老师2002.1 1. 单步法122(,)3(,(,))433n n n n n n n n h h h y y f t y f t y f t y +=++++ （1）1,n T +收敛阶 （2）绝对稳定区间（3）对052,1,y y y '=-+=在0.2,0.5,1h =时讨论数值扰动的稳定性 2.（1）2xe-的(1*2)pade 逼近（2）012(()()())I A f x f x f x =++确定012,,,A x x x ，判断代数精度，是否高斯 3. 给定()F x (1) 11(),(1,1,1)4T k k x x F x x *+=-=,证明局部收敛 （2） 给定0x ，用牛顿算两步 4. ,Ax b A =含未知数a （1）求a ，使TLL 存在 （2）给定a ，用cholesky 算L（3）给定a ，判断,jaccobi gauss siedel -是否收敛 （4）给定a ，SOR 算一步 5. 给定A（1）househoulder 算p ，1A pAp = （2）givens 对1A 做QR （3）算一步QR 迭代，得到2A6. 1B <,证明I B -可逆，并证明11I B B-<-第四份，郑老师2006年 填空：1. 3.1425926是π的几位有效数字2.3()1f x x x =+-，求均差[1,1,1],[0,1,2,3],[0,1,2,3,4]f f f3. simpson 公式得代数精度是几阶4. cot New es -积分系数k C 的和是多少5. 1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求12(),,,()A A A cond A ρ∞ 6. [1,1]-，求2()f x x =的最佳一次平方逼近，最佳一次一致逼近 7. 拉格朗日插值基函数，01,,n x x x 是相异节点，求10()nn k k l x x +∑简答：1. 高斯积分，120121()()()()x f x dx Af x Bf x Af x -=++⎰，使代数精度最高，求012,,,,A B x x x2. 1210223,31302A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，用LU 分解求解Ax b =3. 201021,111householder ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦变换成准上三角阵，用givens 变换，第一种原点位移QR 分解求一步，求2A4. 证明严格对角占优矩阵A 可逆，且11min()ii ij i jAa a -∞≠<-∑除第一份是完整试卷外，其余皆为回忆版，可能有错误之处，大家凑合看，抓住要点即可。

2002年12月30晚7:20-9:20B卷一.(1)函数f(x)=|x|在[-1,1]上积分，求在空间span{1,x2}和span{x,x^3}上权函数p(x)=1的最佳平方逼近函数，并说明(2)对f(x)在[-1,1]上积分,求A0,A1,A2,x0,x2,使得A0*f(x0)+A1*f(0)+A2*f(x2)对求积公式有最高的代数精度，并求代数精度二.A=[201;02-1;1-11](1)求householder变换矩阵P，使得A1=PAP为三对角矩阵(2)用Givens变换，对A1进行QR分解；(3)若用QR方法求A1特征值，迭代一步，求A2，并证明A2和A相似三.线性二步法y(n+2)=y(n)+h*(fn-fn+2)fi=f(ti,yi)(1)求局部截断误差及主部，方法是几阶收敛(2)用根条件判断收敛性(3)绝对收敛域四.A为对称正定矩阵，最大特征值和最小特征值分别是λ1和λn,迭代X(k+1)=(I-w*A)*X(k)+w*b求w的范围，使迭代法收敛，并求w'使收敛速度最快。

五.非线性方程组F(x)=[x1^2-10*x1+x2^2+8;x1*x2^2+x1-10*x2+8]'=0令G(x)=[1/10*(x1^2+x2^2+8)1/10*(x1*x2^2+x1+8)](1)若0<x1,x2<3/2,用x=G(x)迭代，证明G(x)在D中存在唯一的不动点；(2)判断G(x)是否收敛？(3)写出牛顿迭代法的公式，并且取初值x0=(0.5,0.5)T,求出x1六.A，B为n*n阶矩阵，A非奇异，||A-B||<1/||A^(-1)||证明：(1)B非奇异(2)||B^(-1)||<=||A^(-1)||/(1-||A^(-1)||*||A-B||)(3)||A^(-1)-B^(-1)||<=||A^(-1)||^2*||A-B||/(1-||A^(-1)||*||A-B||)1.三点高斯－勒让得积分公式最佳平方逼近，f(x)=|x|，(-1,1)分别在span{1,x^2}和span{x,x^3}中求2.书上P236第31题第2小问原题，只是没告诉α的范围，要你求3.书上P257原题加了两问，证明收敛，再算一步4.householder变换Givens做QR分解5.Y(n+2)=Y(n)+h(fn+f(n+2))求局部TE，相容，根条件，绝对稳定区间6.定理1.12和推论，以及P167式3.4的应用||A-B||<1/||inv(A)||要证B可逆,||inv(B)||<=||inv(A)||/(1-||A-B||*||inv(A)||)||inv(A)-inv(B)||<=(||inv(A)||)^2*||A-B||/(1-||A-B||*||inv(A)||)填空：1A=[1,1/2;1/2,1/3]求||A||2和cond2（A）2J，GS迭代有关3f(x)=x^2+3x+2,在－2，－1，0，1，2五点确定得拉格朗日多项式插值多项式4一个稳定得算法计算一个良态得问题是否一定稳定（大致）计算1F(x)=....(1)证明x(k+1)=x(k)-1/4F'(x)收敛到其解x*=[1,1,1]'(2)用牛顿法在给定初值x0＝[...]'下计算两步2显式和隐式欧拉法得局部截断误差和阶数，写出梯形法，及其阶数.....3A=[4,1,1;1,1,1;1,1,2];b=[...]'(1)housholder变换求A得QR变换(2)用QR变换结果计算Ax=b证明已知Ax=b,A(x+deltaX)=b+deltaB证明||deltaX||/||x||<=cond(A)*||deltaB||/||b||1.（1）求f(x)=|x|,区间[-1，1]上权函数为ρ(x)=1，在span{1,x2}上的最佳平方逼近（2）[0，1]上权函数为ρ(x)=1，求积分公式Af(0)+Bf(x1)+Cf(1)的参数使得代数精度尽可能高2。