江南十校联考2023年试卷高一数学

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2024年“江南十校”高一年级5月份阶段联考数学试卷答案

2024年“江南十校”高一阶段联考数学参考答案一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C C A B AB二、选择题：本大题共3个题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。

题号9 1011答案BC ABD ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．0四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）OA在OB方向上的投影向量为：21(1(2||OA OBOBOB⋅⋅==．…………5分（2）因为(1)OC OA OBλλ=-+，则()OC OA OB OAλ-=-，即AC ABλ=，又AC与AB有公共点，所以A B C、、三点共线；…………9分222222||(1)2(1)OC OC OA OB OA OBλλλλ==-++-⋅222214(1)44(1)4(1)4(32λλλλλλλ=-++-=-+=-+，当12λ=时，||OC13分16．（15分）【解析】（1）在平面ABCD内取点O，作OG AD⊥交AD于点G，作OH AC⊥交AC于点H，作OI BC⊥交BC于点I，因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE 平面ABCD AD=，所以OG⊥平面ADE，所以OG AE⊥，…………4分同理OH⊥平面ACFE，OI⊥平面BCF，所以OH AE⊥，OH CF⊥，OI CF⊥又OG OH O = ，所以AE ⊥平面ABCD ，同理CF ⊥平面ABCD ，故//AE CF ．…………8分（2）连接,EC AF 交于点P ，则四棱锥-E ABCD 与-F ABCD 的公共部分为四棱锥-P ABCD ，作PQ AC ⊥，则PQ ⊥平面ABCD ，因为2CP CF PE AE ==，所以23PQ CP AE CE ==，即23PQ =，又四边形ABCD 的面积为1()32AB CD AD +⋅=，故-12333P ABCD V =⨯⨯=15分17．（15分）【解析】（1）因为sin sin a cA C=，则2sin 2sin()1sin sin tan A B C a C C C +====+； …………6分（2）由sin sin b c B C =，得：1sin b C=，故111cos 1222tan sin sin tan 2C a b c C C C C +++=+++=++=++ …………10分因为ABC △为锐角三角形，所以π025ππ062C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ32C <<，所以ππ624C <<，tan 12C<<，所以周长的取值范围为(32++． …………15分18．（17分）【解析】（1）在圆1O 上取点1C 使11//CC BB ，则1CC ⊥圆1O ，连接1C E ，因为CE MN ⊥，1CE CC C = ，所以MN ⊥平面1CC E ，则1MN C E ⊥， …………3分因为1111112A C AC O A O C ====，所以1160EA C ∠=︒，又13A E =，则1EC ==，2211cos A EC ∠==，…………5分取MN 中点F ，则1O F MN ⊥，111cos cos EO F A EC ∠=∠=所以111cos O F O E EO F =⋅∠=，则MN ==9分（2）取OA 中点G ，11O A 中点1G ，连接11CG CG GG 、、，则CG AB ⊥，111CG A B ⊥，记平面11A CB 与平面ACB 的公共交线为l ，因为11//AB A B ，AB ⊄平面11A CB ，11A B ⊂平面11A CB ，所以//AB 平面11A CB ，则//AB l ，11//A B l ，所以1G CG ∠即平面11A CB 与平面ACB 的夹角，…14分因为11CG GG ==，所以1tan G CG ∠=，130G CG ∠=︒，即平面11A CB 与平面ACB 的夹角为30︒．…………17分19．（17分）【解析】（1）由2sin a R A =得1sin 2A =，因为ABC △为锐角三角形，所以30A =︒，由题知1130B AC C AB ∠=∠=︒，故1190B AC ∠=︒， …………2分又111211A B C S C =△112B C =，且123AB =，同理1AC =，由2221111AB AC B C +=得2212b c +=，又2222cos306a b c bc =+-︒=，则bc =…………6分1111()()B C C B AC AB AB AC ⋅=-⋅-cos30cos60cos6001bc b =︒-︒-︒+==． …………9分（2）因为2221111112cos(60)B C AB AC AB AC A =+-⋅+︒，即222cos(60)12b c bc A +-+︒=，又2222cos 6a b c bc A =+-=，所以22cos(60)6bc bc A -+︒=，则bc =，则13sin 12tan ABC S bc A A===△， …………13分由2sin a R A =得[3045]A ∈︒︒，，所以tan 1]A ∈，所以ABC S ∈△. …………17分。

2024届江南十校高三联考信息卷数学模拟预测卷一及答案

2024届高三江南十校联考信息卷模拟预测卷一数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．方体的截面，则（）A ．该截面是四边形 B ．1A C ⊥平面1C EF C ．平面11//AB D 平面1C EFD ．该截面与棱1BB 的交点是棱1BB 的一个三等分点5．（本题5分）加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A ．90B ．125C ．180D ．2436．（本题5分）如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，1DC =，点E 是线段AB 上一点，且满足4AE EB =，动点P 在以E 为圆心的半径为1的圆上运动，则DP AC ⋅的最大值为（）7．（本题5分）设锐角ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且1,2c A C ==，则ABC 周长的取值范围为（）二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（本题6分）已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则下列判断正确11．（本题6分）已知曲线()()1:ln 21C f x x =−在点()11,M x y 处的切线与曲线()212:e x C g x −=相切于点()22,N x y ，则下列结论正确的是（）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题13分）已知函数()ln f x a x x =−． (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，求函数()f x 的最大值．16．（本题15分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动.参考答案：【详解】.）。

江南十校2022～2023学年高三数学12月份联考数学【含答案】

江南十校2022～2023学年高三数学12月份联考数学一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）1. （集合的运算）已知集合{}{}1,01,2A B =-=，，集合{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则C 的子集的个数为（）A. 3B. 8C. 7D. 16 2. （含量词命题的否定）命题“**,x x R e R ∀∈∈都有”的否定是（）A ．**,x x R e R ∃∈∉使得B ．**,x x R e R ∃∉∉使得C ．**,x x R e R ∃∈∈使得D ．**,x x R e R ∃∉∈使得3. （充分必要性的判定）若,a b 均为实数，则“a b e e >”是“33a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. （不等式的性质）已知,,,a b c d 为实数，则下列命题正确的是（）A ．若,a b >则11a b< B ．若0,b c a >>>则a ab c <C ．若a b c d >>>，则a c b d ->-D ．若,a b c d >>，则ac bd >5. （复合函数单调性）函数()()20.5log 1f x x =-的单调递减区间是（）A. ()1,+∞B. ()0,+∞C. (),0-∞D. (),1-∞ 6. （奇偶性，分段函数）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x ≤时，()23xf x x a =++，则()2f 的值为（） A.234 B. 274 C. 274- D. 234-7. （值的大小比较）已知sin 53a =，5log 2b =，0.80.5c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b << 8. （函数图象）已知函数()2log +2a x mf x x b=+仅有两个零点，其图象如图所示，则下列判断中正确的是（）A ．10 0a m b >>>B ． 10 0a m b ><<二、多项选择题（共4题，每题5分，共20分）9. （任意角，三角函数定义）下列三角函数值为负数的是（）A.sin186B. tan505C. sin7.6πD. 3tan 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭10. （幂函数性质）下列关于幂函数说法正确的是（）A.图象必过点()1,1B.可能是非奇非偶函数C.在()0,x ∈+∞上一定是单调函数D. 图象不会位于第四象限11. （基本不等式求最值）若实数,m n 满足224n mn +=，其中0n >，则下列说法中正确的是（）A. n 的最大值为2B. m n +的最小值为2C. 2243m n +的最小值为4 D.1132n n m++12. （新函数模型函数性质应用）关于函数()f x = ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在[)0,+∞上先增后减 C. 方程()()=f x m m R ∈根的个数可能为3个 D.函数值中有最小值，也有最大值三、填空题（共4题，每题5分，共20分）13. （函数三要素：解析式）已知函数()22141f x x +=-，则()f x =14. （指对数运算）1321lg8lg 25327-⎛⎫++= ⎪⎝⎭15. （二元最值，指对数运算）设实数2,1,a b e ⎡⎤∈⎣⎦，且22ln ln 12b a -=，则ab的最大值是 16. （一元二次）已知函数()23f x x ax a =++-，若(){}()(){}00x f x x ff x <=<，则实数a 的取值范围是四、解答题（共6题，10+5*12=70分） 17. （10分）（集合的交并补运算）如图，已知全集U R =，集合{}22A x y x x ==-++，{}05B x x x =<>或．(1)集合C 表示图中阴影区域对应的集合，求出集合C ；(2)若集合{}0D x x a =<<，且D C ⊆，求实数a 的取值范围． A B18. （12分）（三角函数的定义与诱导公式）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=．(1)求函数()y fθ=的解析式，并求23f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=，()0,θπ∈，求tan 6πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．19. （12分）（一元二次函数、不等式解法，最值，均值不等式）已知二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）（1）若不等式()0f x ≥的解集为{}05x x x ≤≥或且()14f =-，求函数()f x 在[]1,4x ∈-上的最值；（2）若()00f >且函数()f x 至多仅有一个零点，求()2f b的最小值.20. （12分）(指对数运算，函数性质) 已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（1）当1a =，判断函数在()0+x ∈∞，上的单调性，并说明理由；（2）若函数()f x 为偶函数，求a 的值.21. （12分）（函数的应用，最值，分段函数）2021年11月3日，全国首条无人驾驶跨座式单轨线路——芜湖轨道交通（芜湖单轨）1号线开通初期运营。

安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题含解析

2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟；2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效；3.考生作答时，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置.第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1.下列关系中，正确的是（）A.e ∈RB.{}1,2∅∈C.{}01x x ∉>- D.{}{}200x x x x≤⊆>【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系直接判断即可.【详解】对于A ，e 为无理数，e ∴∈R ，A 正确；对于B ，{}1,2∅⊆，B 错误；对于C ，01>- ，{}01x x ∴∈>-，C 错误；对于D ，由20x >得：0x <或0x >，{}0x x ∴≤不是{}20x x >的子集，D 错误.故选：A.2.设命题p ：x ∀∈R ，()()150x x +->，则命题p 的否定是（）A.x ∃∈R ，()()150x x +->B.x ∃∈R ，()()150x x +-<C.x ∀∈R ，()()150x x +-≤D.x ∃∈R ，()()150x x +-≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：命题p 的否定是：x ∃∈R ，()()150x x +-≤.故选：D.3.“[]1,2x ∀∈-，220x a -≤”恒成立的一个充分不必要条件是（）A.0a ≤B.1a ≤C.3a ≥D.2a ≥【答案】C 【解析】【分析】根据恒成立求解2a ≥，即可根据集合间的关系求解.【详解】若对[]1,2x ∀∈-，220x a -≤恒成立,则()2max2xa ≤，故242a a ≥⇒≥，由于{}3a a ≥是{}2a a ≥的真子集，所以符合题意，选项AB 是既不充分也不必要条件，D 是充要条件，故选：C4.已知实数 a b >， 0c >，则下列不等式一定成立的是（）A. a c b ->B.c ca b > C.a bc c > D.a bc c>【答案】D 【解析】【分析】由不等式性质可知A 错误，利用特殊值代入可得BC 不一定成立，根据不等式性质可证明D 正确.【详解】由题意可知0a b ->，但a b c ->不一定成立，即a c b ->不一定成立，A 错误；不妨取1,2,2a b c =-=-=，此时14c c a b =<=，即c c a b >不一定成立，B 错误；当1c =时，显然a b c c =，此时a b c c >不一定成立，C 错误；由0c >可知10c >，又a b >，所以11a b c c ⋅>⋅，即a b c c>；即D 正确.故选：D5.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC面积为2S ，若123l l =，则12S S =（）A.9B.8C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解.【详解】设OB r =，OA R =，则123l Rl r==，则3R r =∴1212912OAD OBCl R S S l r ==扇扇，故128S S =.故选：B6.函数()344x xx f x -=-的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数()f x 为偶函数，且()10f >，即可求解.【详解】由函数()344x x x f x -=-，可得()()33()4444x x x xx x f x f x ----===--，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C 、D 项；又由()41015f =>，可排除B 项，所以A 符合题意.故选：A.7.已知()121cos60a =-︒，3log 2b =，b c a =，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值，结合对数函数与指数函数的性质即可得解.【详解】因为()1122121cos60122a ⎛⎫=-︒==< ⎪⎝⎭，则322a =>，而33033log 2log 82b <==<，所以01b a <<<，所以1b c a a a =>=，故b a c <<.故选：B.8.已知函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+的解集为（）A.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D.33,42⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40x t =>，结合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根据题意，得到()()21log 221xxf x -+=+-，设()()2log 221xx g x -=+-，得到()g x 为偶函数，求得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，把不等式转化为3131x x -<+-，即可求解.【详解】解法1：由函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+，即为()()()31222log 413log 413x x x x -++-<+-+，可得()()31222log 41log 4123x x x -++<++-，即()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40xt =>，则()3116148t t t +<+，即()()28210t t --<，解得82t <<，即482x<<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.解法2：由函数()()12log 41x f x x -=+-，可得()()()221log 411log 221xxxf x x -+=+--=+-，设()()2log 221xxg x -=+-，则()()()2log 221xx g x g x --=+-=，所以函数()g x 为偶函数，即()1y f x =+为偶函数，可得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，所以不等式()()33f x f x <+，即为3131x x -<+-，可得2296144x x x x -+<++，即281030x x --<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（）A.()()21mf x m m x =--是幂函数，且在()0,∞+单调递减，则1m =-B.()()22log 2f x x x =-的单调递增区间是()1,+∞C.()211f x ax ax =++的定义域为R ，则[]0,4a ∈D.()f x x =+的值域是(],5-∞【答案】AD 【解析】【分析】A 由幂函数及其单调性求参数；B 由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C 根据定义域及二次函数性质求参数范围；D 换元法及二次函数性质求值域.【详解】A ：()f x 是幂函数，则211m m --=，得2m =或1m =-，又()f x 在()0,∞+单减，故1m =-，对；B ：由复合函数单调性有220x x ->且1x ≥，所以单增区间是()2,+∞，错；C ：定义域为R ，则0a =或204Δ40a a a a ≠⎧⇒≤<⎨=-<⎩，错；D ：令0t =，则()22()24155f x y t t t ==-++=--+≤，对.故选：AD10.下列选项中，结果为正数的有（）A.sin1cos1+B.sin2cos2+C.sin3cos3+D.sin4cos4+【答案】AB 【解析】【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.【详解】由π012<<，可得sin10,cos10>>，所以sin1cos10+>，所以A 正确由π3π23π24<<<<，可得sin 20,sin 30,cos 20,cos30>><<且sin 2cos 2,sin 3cos3><，所以sin2cos20+>，sin3cos30+<，所以B 正确，C 错误；由3ππ42<<，可得sin40,cos40<<，所以sin4cos40+<，所以D 错误.故选：AB.11.已知正数a ，b 满足2ab a b =++，则（）A.a b +的最小值为2+B.ab 的最小值为1+C.11a b+1 D.3a b +的最小值为10【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为,a b 为正数，A 项，()()2224802a b ab a b a b a b +⎛⎫=++≤⇒+-+-≥ ⎪⎝⎭2a b ⇒+≥+2a b +≤-，当1a b ==+时取等，故A 正确；B 项，22ab a b =++≥+⇒20ab -≥，1≥1≤-，即(21ab ≥+，当且仅当1a b ==+时取等，故B 错误；C 项，1122111a b ab a b ab ab ab +-+===-≥-=，当且仅当1a b ==+时取等，故C 正确；D 项，()()()()234211313392a b ab a b a b a b +-⎛⎫=++⇒--=⇒--=≤ ⎪⎝⎭，解得310a b +≥（负值舍去），当且仅当4a =，2b =时取等，故D 正确.故选：ACD .12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.53=，[]2.73-=-，则（）A.()[]f x x x =-的值域是[)0,1B.方程[][][]2023xy x y =+有无数组解C.()[]f x x x =是单调函数D.方程[]220x x --=有3个根【答案】ABD 【解析】【分析】根据高斯函数的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，设01t ≤<，则[]x x t =+，则()[][0f x x x t =-=∈,1)，即()f x 的值域为[0,1)，故A 正确．当2023x α=+，2023y β=+，01,01αβ<<<<且1αβ+=时,[]()()()22220232023202320232023202320232023,xy αβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=+++=++=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][][]2202320232023x y αβ=++=，所以[][][]2023xy x y =+，故B 正确；当()0,1x ∈时，此时()0f x =，故C 错误；[]22x x x -=≤22012x x x ⇒--≤⇒-≤≤，当[)[]1,0,1x x ∈-=-，则[]2211x x x -==-⇒=-，当[)[]0,1,0x x ∈=，则[]220x x x -==⇒=，当[)[]1,2,1x x ∈=，则[]221x x x -==⇒=，当2x =时，[]2222x x x -==⇒=，故D 正确，故选：ABD第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，则()21y f x =-的定义域是__________.【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用复合函数定义域求解.【详解】因为函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，即23x ≤≤，所以425x ≤+≤，若求函数()21y f x =-的定义域，则有4215x ≤-≤，解得532x ≤≤，所以()21f x -的定义域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.已知()12xf x +=，则()2log 2024f =______.【答案】1012【解析】【分析】根据题意，令21log 2024x +=，求得x ，代入计算，即可得到结果.【详解】令21log 2024x +=，则22log 20241log 1012x =-=，所以()2log 10122log 202421012f ==故答案为：101215.若21(0)x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则bk的最大值为______.【答案】1-【解析】【分析】构造函数，根据恒成立得到214k b ≤--，14b k k k ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】令()()210f x x kx b k =--->，()210x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则()2min1024k k f x f b ⎛⎫==---≥ ⎪⎝⎭，即得214k b ≤--，故21144k b k k k k +⎛⎫≤-=-+ ⎪⎝⎭，又0k >，故114k k +≥=（当且仅当2k =时取等），所以bk的最大值为1-.故答案为：1-.16.已知()21,0ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若()()220f x af x -+=有六个根，则实数a 的取值范围是______.【答案】()【解析】【分析】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，列出不等式组，即可求解.【详解】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，设函数()22g t t at =-+的零点分别为12,t t ，由图象知，要使得()()220f x af x -+=有六个根，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，则满足()()()2Δ801302620122a g a g a a ⎧=-->⎪=->⎪⎪⎨=-≥⎪⎪<<⎪⎩，解得3a <<，所以实数a的取值范围是().故答案为：().四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知1tan 2α=-，且α为第二象限角（1）求sin α，cos α；（2）求()()sin 3ππsin cos π2ααα-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）cos 5α=-，sin 5α=（2）14-【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，由正切值求正弦值和余弦值；（2）利用诱导公式化简求值.【小问1详解】由sin 1tan cos 2ααα==-得1sin cos 2αα=-，代入22sin cos 1αα+=得24cos 5α=，又α为第二象限角，得25cos 5α==-，sin 5α=【小问2详解】由诱导公式，有()()sin 3πsin sin tan 1πcos cos 2cos 24sin cos π2ααααααααα-====-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.18.已知集合{}24A x x =-≤≤，集合{}2132B x a x a =-≤≤+（1）若2a =，求A B ⋃和()R A B I ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}28A B x x ⋃=-≤≤，(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð（2）45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}38B x x =≤≤，所以{}28A B x x ⋃=-≤≤，{|3B x x =<R ð或}8x >，所以(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð.【小问2详解】当B =∅时，即2132a a ->+，即3a <-，满足A B ⋂=∅；当B ≠∅时，即3a ≥-，由A B ⋂=∅得2143a a ->⎧⎨≥-⎩或3223a a +<-⎧⎨≥-⎩，解得52a >或433a -≤<-；综上，45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .19.已知函数()()3,3x x n f x m n m+=∈+R 是R 上的奇函数（1）求m ，n 的值；（2）判断并证明()f x 在R 上的单调性.【答案】（1）1m =，1n =-（2）()f x 是R 上单调递增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义()()f x f x -=-，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-又()()3113133133x x xx x x f x f x m m m------===-=+++恒成立，所以1m =，即1m =，1n =-【小问2详解】()f x 是R 上的递增函数证明如下：由（1）知，()31213131x x x f x -==-++，在R 上任取1x ，2x ，不妨令12x x >，则()()121222113131x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()12212111332231313131x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，因为12x x >，所以12330x x ->，所以()()120f x f x ->，所以()f x 是R 上单调递增函数20.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()243,0270,2521x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写出单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()()284330,02147030,2521x x x f x x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（2）当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出()f x 的最大值.【小问1详解】由题意可知，()()()284330,022*********,2521x x x f x W x x x x x x ⎧+-≤≤⎪=-=⎨-<≤⎪+⎩，【小问2详解】当02x ≤≤时，()()225698184330842828f x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，对称轴5x 28=，则()f x 在50,28⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,228⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x 的最大值为()2528f =，当25x <≤时，()()14707353075015212121x f x x x x x ⎡⎤=-=-++⎢⎥++⎣⎦750540≤-，当()735152121x x =++，即3x =时取等号，有最大值540元，因为528540<，所以当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元.21.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，（1）求()0f ，并证明()()2F x f x =+为奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调递增函数，且()12f =，解不等式：()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）()02f =-，证明见解析（2）()(),12,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）赋值法求出()02f =-，再由奇偶函数定义证明奇偶性即可；（2）根据抽象函数性质化简，再由单调性脱去“f ”，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】令0x y ==，得()02f =-，()()2F x f x =+定义域为R ，关于原点对称，令y x =-，得()()()02f f x f x =+-+，所以()()40f x f x +-+=,即()()0F x F x +-=，所以()()2F x f x =+是奇函数.【小问2详解】因为()()()221212f x x f x f x x ++-=-+-，所以原不等式等价于()2110f x x -+>，又()12f =，所以()26f =，()310f =，即()()213f x x f -+>，又()f x 是R 上的递增函数，所以213x x -+>，解得2x >或1x <-，原不等式的解集为()(),12,-∞-+∞ .22.若()221(0)f x x ax a =-+>在[],m n 上的值域是[],m n 的子集，则称函数()f x 在[],m n 上是封闭的.（1）若()f x 在[]0,2上是封闭的，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在[]0,t 上是封闭的，求实数t 的最大值.【答案】（1）3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）32【解析】【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在[]0,2上的值域，利用分类讨论思想可得结果；（2）根据新的定义，即求二次函数在[]0,t 上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.【小问1详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当02a <<时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,2f x f f =因为()f x 在[]0,2上是封闭的，则有()()()2012254210f f a f a a ⎧=<⎪=-≤⎨⎪=-+≥⎩，解得314a ≤≤；当2a ≥时，()f x 在[]0,2上为减函数，则有()()0122540f f a ⎧=≤⎪⎨=-≥⎪⎩，解得54a ≤，又2a ≥，故无解；综上，a 的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当0a t <≤时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,f x f f t =因为()f x 在[]0,t 上是封闭的，则有()()()22012110f t f t t at t f a a ⎧=≤⎪=-+≤⎨⎪=-+≥⎩，解得112101t a t t a ≥⎧⎪⎪+≥+⎨⎪<≤⎪⎩，依题意有112t t +-≤，解得3322t -≤≤，所以312t +≤≤，当a t >时，()f x 在[]0,t 上为减函数，则有()()20110f t f t t at ⎧=≤⎪⎨=-+≥⎪⎩，所以122t a tt<≤+，即11t tt<⇒<（舍去）综上，t的最大值是32 +.。

2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷+答案解析(附后)

2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 设i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量的夹角为，且，则( )A. B. C. D.4. 安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体已知该正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线所成角为( )A. B. C. D.5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种.( )A. 40B. 24C. 20D. 126. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 点是曲线的对称中心B. 点是曲线的对称中心C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的对称轴7. 在三棱锥中，底面ABC，，，则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知，则a，b，c的大小关系为( )A.B. C.D.9. 已知函数，则( )A. 是奇函数B. 的单调递增区间为和C. 的最大值为D.的极值点为10.在平行六面体中，已知，，则( )A. 直线与BD 所成的角为B. 线段的长度为C.直线与所成的角为D. 直线与平面ABCD 所成角的正弦值为11. 已知O 为坐标原点，点，，线段AB 的中点M 在抛物线C ：上，连接OB 并延长，与C 交于点N ，则( )A. C 的准线方程为B. 点B 为线段ON 的中点C. 直线AN 与C 相切D. C 在点M 处的切线与直线ON 平行12. 已知函数和及其导函数和的定义域均为R ，若，，且为偶函数，则( )A. B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于直线对称D.13.的展开式中，常数项为______ 用数字作答14. 已知圆C ：，直线l ：是参数，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为______ .15. 已知直线l 与椭圆交于M ，N 两点，线段MN 中点P 在直线上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点，则椭圆E 的离心率是______ .16. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则m 的取值范围是______ .17. 在平面直角坐标系Oxy 中，锐角、的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 的交点分别为P ，已知点P 的纵坐标为，点Q 的横坐标为求的值；记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.①若，且，求周长的最大值.②若，，且，求的面积.18. 已知在递增数列中，，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.求数列的通项公式；设数列的前n 项和为，证明：19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：如图根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为，“小浪”情况下出海作业的概率为，“中浪”情况下出海作业的概率为，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.20. 如图，四棱锥中，为等腰三角形，，，，证明：；若，点M在线段PB上，，求平面DMC与平面PAD夹角的余弦值.21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点.求双曲线的方程；设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；求的取值范围.22. 已知函数若在定义域上具有唯一单调性，求k的取值范围；当时，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，则，，，，，故选：分别将两个集合中的元素表示出来，再求补集，交集．本题考查集合的运算，考查二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为，所以复数对应的点为在第四象限，故选：利用复数的运算性质化简复数z，求出对应的点的坐标，由此即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的实际意义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知平面向量的夹角为，且，则，则，故选：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，在平面中，连接与DA交于H，则，在平面中，连接与DC交于G，则，则GH为平面与平面ABCD的交线l，且，而在等边中AC与所成的角为，故l与直线所成角为故选：作出平面与平面ABCD的交线l，再求l与直线所成角．本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种，故选：根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．本题考查了排列组合的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：，当，则，此时，则函数关于对称，故A错误，当，则，此时，则函数关于对称，故B错误，当，则，此时，则函数关于对称，故C正确，当，则，此时，则函数关于点对称，故D错误，故选：利用辅助角公式进行化简，然后分别利用对称性进行判断即可．本题主要考查三角函数对称性的判断，根据辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】B【解析】解：在三棱锥中，底面ABC，如图所示：在中，，，利用余弦定理：，解得：，设的外接圆的半径为R，利用正弦定理，解得，过点E作的垂线和AP的垂直平分线交于点O，即点O为三棱锥外接球的球心，设球的半径为r，故；所以故选：首先利用正弦定理和余弦定理求出三棱锥的外接球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，求和三棱锥的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．8.【答案】D【解析】解：，，，，设，，所以在上单调递减，因为，所以，所以，，令，，，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，故选：，，，则，设，，求导分析单调性，即可得出b与a的大小关系；，令，，求导分析单调性，即可得出b与c的大小关系，即可得出答案．本题考查函数的单调性，数的大小，属于基础题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，因为对，，所以是R上的奇函数，故A正确；对于B，由得或，所以的单调递增区间为和，故B正确；对于C，因为时，，所以无最大值，故C错误；对于D，由得，经检验是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点是实数，故D错误，故选：根据奇偶性的定义可判断A；对函数求导，令可得函数的增区间，即可判断B；根据时，，所以无最大值，即可判断C；由得，检验可得为函数的极值点，即可判断本题主要考查了三次函数的性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：在平行六面体中，取，，，，，，，对于A：，，，则，故直线与BD所成的角为，故A正确；对于B：，则，即，故B错误；对于C：，故，即，故直线与所成的角为，故C正确；对于D：在平行六面体中，四边形ABCD是菱形，则，又，，平面，平面，平面，又平面ABCD，则平面平面ABCD，连接AC交BD于点O，过点作于点E，如图所示：平面平面，平面，平面ABCD，直线与平面ABCD所成角为，，则，即，在中，，故D错误，故选：在平行六面体中，取，，，利用空间向量的线性运算，逐一分析选项，即可得出答案．本题考查直线与平面的夹角、异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对A，根据中点公式得，将其代入C：得，则，所以抛物线C：的准线方程为，故A错误；对B，因为，则直线OB的斜率为a，则直线OB的方程为，将其代入C：得，解得或舍去，此时，则，所以B为ON中点，故B正确；对C，C：，即，则，故抛物线C在点N处的切线的斜率为，故切线方程为，令得，所以直线AN为C的切线，故C正确；对D，抛物线C：在处的切线方程的斜率为，而直线ON的斜率为a，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，所以C在点M处的切线与直线ON平行．故选：将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线OB的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线C在点N处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断本题考查了抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，由为偶函数得，即有，则的图象关于直线对称，对两边同时求导得：，令，得，故A正确；对于B，由关于直线对称得，由，得，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；对于C，对两边同时求导得，由，得，则，即，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D，由，得，结合C选项可知，，即，所以，所以4是函数的一个周期，由，得4也是函数的一个周期，由，得，所以，故D错误．故选：根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；由关于直线对称得，结合，即可判断B；根据，两边同时求导得，从而可判断C；先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断本题考查了复合函数的奇偶性、周期性、对数性及复合函数的求导、导数的对称性及奇偶性，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：的展开式的通项公式为，，1，，当，即时，；当时，无解；展开式中的常数项为，故答案为：当前边括号取3时，后边括号取常数项；当前边括号取x时，后边括号取项，无解；由此计算出常数项即可．本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为由直线l：，得，联立，解得直线l过定点，又，点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时直线l被圆C截得的弦长的最小值为故答案为：由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点，求得，再由垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，属中档题．15.【答案】【解析】解：根据题意设MN中点，又，直线的斜率为，又，直线MN的斜率为，设，，则，两式相减可得：，，，椭圆E的离心率，故答案为：根据直线垂直的条件，点差法，方程思想，化归转化思想，即可求解．本题考查椭圆的离心率的求解，点差法的应用，方程思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：设切点为，则，过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，要使方程有三个不等实数根，则，的取值范围是：故答案为：求出函数的导函数，可得函数的最值，即可求得实数m的取值范围．本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键，是中档题．17.【答案】解：因为，是锐角，所以P，Q在第一象限，又因为P，Q在单位圆上，点P的纵坐标为，点Q的横坐标为，所以，所以故选①：由中结论可得，又，，由余弦定理可得，即，，，，当时，等号成立，，即当为等边三角形时，周长最大，最大值为选②：由可知，则，由正弦定理，可得，故，则【解析】先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得，，，，再利用余弦的和差公式即可得解；选①：先结合中条件得到，再利用余弦定理与基本不等式推得，从而得解；选②：先结合中条件求得，再利用正弦定理求得a，b，从而利用三角形面积公式即可得解．本题考查了正余弦定理、三角函数的定义以及基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：在递增数列中，，为函数的两个零点，可得，，公差，则数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，则；证明：，则，因为，所以【解析】令，解方程可得，，再由等差数列的通项公式和数列的恒等式，等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件，该渔船当天出海作业为事件B ，则由题意可知：，，，所以依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，则X 的分布列为：X 0123P所以【解析】根据频率分布直方图计算频率即可估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率；根据全概率公式可求得该渔船在这天出海作业的概率；依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列，根据期望公式求出期望．本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】证明：取AD的中点O，连接OP，OC，如图，因为，则，又，即有，而，于是四边形ABCO为平行四边形，又，则，又，PO，平面POC，所以平面POC，又，因此平面POC，而平面POC，所以；解：因为，，且，AD，平面PAD，则平面PAD，又，则平面PAD，分别以OC，OP，OD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，，又，则，所以，，，，，则，，设平面DMC的法向量为，则，令，得，又平面PAD的一个法向量为，则，所以平面DMC与平面PAD夹角的余弦值为【解析】根据给定条件，取AD的中点O，利用线面垂直的判定证明平面POC即可推理作答；以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由题意可设双曲线：，则，解得，双曲线的方程为；设，，直线AB的方程为，由，消去x得，则，，且，，；设直线AM：，代入双曲线方程并整理得，由于点M为双曲线的左顶点，此方程有一根为，，解得，点A在双曲线的右支上，，解得，即，同理可得，由，，【解析】由题意可设双曲线：，利用，可求b；设，，直线AB的方程为，与双曲线联立方程组可得，，进而计算可得为定值．设直线AM：，代入双曲线方程可得，进而可得，，进而由可得，进而求得的取值范围．本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．22.【答案】解：由题意得的定义域为，，若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，又，；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的k不存在；综上所述：在定义域上单调递增，且，所以k的取值范围为；证明：要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，，原不等式即证，由知在上单调递增，，，又，则，原不等式成立．【解析】求导后若在定义域上单调递增，则恒成立，若在定义域上单调递减，则恒成立，利用恒成立知识即可求解；，再根据的单调性即可得证．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。

江南十校2022～2023学年度11月份联考

江南十校2022～2023学年度第一学期期中联考高三数学试卷一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1.已知全集{}N 6U x x =∈≤，集合{}1,2,3A =，{}1,3,5B =，则()U A B =（） A.{}1,2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}0,4,6 D.{}0,1,4,5,62.数列{}n a 的通项公式为2n a n kn =+，则“2k ≥-”是“{}n a 为递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件 3.函数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（33x -≤≤，且0x ≠）的图象大致为（） A. B. C. D.4.对任意实数a ，b ，c ，d ，命题：①若a b >，0c ≠，则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >； ③若22ac bc >，则a b >；④若33a b >，则11a b <；其中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3 5.已知1lg 2a =，0.12b =，sin3c =，则（） A.a b c >> B.b c a >> C.b a c >>D.c b a >> 6.已知2sin 55πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A.2125 B.2125- C.1725 D.1725- 7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（）A.63里B.126里C.192里D.228里8.已知函数()()cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，现给出下列四个结论，其中正确的是（） A.函数()f x 的最小正周期为2πB.函数()f x 的最大值为2C.函数()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度；所得图象对应的解析式为()sin 2g x x = 9.已知定义在R 上的函数()2ln ,1,1x x f x x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数()()g x f x mx =+恰有2个零点，则实数m 的取值范围为（）A.(){}1,10,e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B.(){}1,10,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C.{}11,0,1e e ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D.{}()11,01,e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10.设命题0:p x R ∃∈，2000x ax a ++≤.若p 为假命题，则实数a 的取值范围是______.11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，若对任意的n N *∈，n m S ≤恒成立，则实数m 的取值范围是______.12.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列，若4a c +=，则b 边的最小值为______.13.已知函数()5cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭()0ω>在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为______. 14.已知函数()3223x x f x x x -=-++，若正数a 、b 满足()()2110f a f b -+-=，则2a b +=______，22211a b a b+++的最小值为______. 15.已知函数()21,0,0e x x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()g x f x a =-恰有2个零点，则实数a 的值为______，若关于x 的方程()()22210f x f x m -+-=恰有4个不同实数根，则实数m 的取值范围为______.三、解答题（本题共5小题，共75分）16.（本小题满分14分）已知函数()()23sin cos sin 0f x x x x ωωωω=⋅->的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值和函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求函数()f x 图像的对称轴方程和对称中心坐标.17.（本小题满分15分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且22cos b c a C =+.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若3cos 3B =，求()sin 2B A +的值；（Ⅲ）若ABC △43，3a =，求ABC △的周长. 18.（本小题满分15分）已知函数()32f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在1x =-处取得极值. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()1g x f x m =+-恰有两个零点，求实数m 的取值范围.19.（本小题满分15分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，715a =，763S =；数列{}n b 的前n 项和为n T ，()233n n T b n *=-∈N .（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n Q ；（Ⅲ）求证；12ni i i a T =<∑.20.（本小题满分16分）已知函数()e ln xf x a x =-，R a ∈. （Ⅰ）当0a =时，若曲线()y f x =与直线y kx =相切，求k 的值；（Ⅱ）当e a =时，证明：()e f x ≥；（Ⅲ）若对任意()0,x ∈+∞，不等式()()ln 2ln 2f x a x a a ->⋅恒成立，求a 的取值范围。

2023江南十校联盟高三第一次模拟考试理数参考答案

NCS20230607项目第一次模拟测试卷理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，13．214．20x y15．216．6时三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解析】（1）因为221n n n a a ka *(N )n ，所以21322243a a ka a a ka ，…………… 2分因为11a ，22a ，464a ，所以3324416a ka a k，则38k ，所以2k ； ………………………………………………… 5分（2）因为2k ，所以2212n n n a a a ，则2112n n n na a a a ， ………………… 6分令1n n nab a ，所以12n n b b ，则{}n b 是等比数列，因为2112a b a ，2q ，所以112n n n b b q ，所以12nn n a a ， …………… 9分则12211231n n n n n n n a a a aa a a a a a(1)12212222212n n n n . …………………………………… 12分 18．【解析】（1）连接AC 交BD 于点F ，连接1C F ，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中11//AA CC，所以四边形11AA C C 为平行四边形，即11//AC AC ， ……………… 2分又因为底面ABCD 为棱形，所以点F 为AC 的中点，点E 为11B D 的中点，即点E 为11A C 的中点，所以1//C E AF，即四边形1AFC E 为平行四边形，所以1//AE C F ， ………… 4分因为1C F 平面1BDC ，所以//AE 平面1BDC ； …………………………………… 6分（2）方法一：取AE 的中点G ,连接EF ,BG ,FG ，在直棱柱1111ABCD A B C D 中1AA 平面ABCD ，所以1AA BD ，又因为AC BD ，所以BD 平面11AA C C ，则BD AE因为在ABD 中，2AB AD BD ，且点F 为BD的中点，所以AF ，又1EF AA，而点G 为AE 的中点，所以FG AE ,所以AE 平面BFG ，即BG AE ，则BGF 为二面角B AE C 的平面角， …………………………9分在等腰直角三角形AEF中，122FG AE ，又112BF BD ,在直角三角形BFG中2BG，所以cos 5FG BGF BG ，即二面角B AE C的余弦值为5. …………………………12分方法二：如图，以FA ，FB ，FE 分别为分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，因为在ABD 中，2AB AD BD ，且点F 为BD 的中点，所以AF，1EF AA ，则A ，(0,1,0)B，(C ,3)E ，因为(AB,(0,BE, 设(,,)m x y z为平面BAE 的法向量，则00m AB m BE,即00y y，得y z x 令1x，则m，平面CAE 的法向量(0,1,0)n FB， ………………………… 10分设二面角11B A C D 为，则cos cos<,5m n m n m n. ………………………… 12分 19. 【解析】（1）函数()y f x 有3个零点，即()0f x 有3个根，也即2e x x b 有3个根，即y b 与2()ex x g x 的图象有三个交点； ……… 2分(2)'()e xx x g x，故'()0g x 解得02x ；故'()0g x 解得0x 或2x ，即()g x 在(,0) 递增，在(0,2)递减，在(2,) 递增.又(0)0g ，24(2)eg ，0,x 时()0g x ；即240eb ； ……………………………………………… 5分（2）即22()e 30e x x a 有解.设21()()2e 3x h x x a ，则1'()2()2e x h x x a ，设1()2()2e x m x x a ，则1'()22e 0x m x 恒成立，故()m x 在R 单调递增，又21(1)2(1)0,()20a m a e m a e ，且存在唯一的0x ，使得01000()'()2()2e 0x m x h x x a ，所以010ex x a ， ……………………………………………… 8分且0x x 时，'()0h x ；0x x 时，'()0h x .即()h x 在0(,)x 递减，在0(,)x 递增，x 时()h x ，x 时()h x ，故要使得()0h x 有解，只需min ()0h x ，故0000012(1)1112min 00()()()2e3e 2e 3(e 3)(e 1)0x x x x x h x h x x a故01e 1x ，解得01x ， …………………………………………………… 10分而010ex a x 在0(,1]x 上单调递增，故112a ,又因为0a ，故a 的取值范围为02a . …………………………………………………… 12分20.【解析】记第i 轮宣传选中的同学是赞成A 款式的事件为i A ，第i 轮宣传选中的同学是赞成B 款式的事件为i B ，（1）记第二轮选到的同学赞成A 款式的概率为2()P A ，因为12211()525P A A， …………………………………… 2分 123159()55050P B A ， …………………………………… 4分则212121919()()()55050P A P A A P B A ； …………………………… 5分（2）经过三轮宣传后赞成A 款式的人数为X 的所有可能取值为5,15,25,35，则12330354042(5)()505050125P X P B B B ，123123123(15)()()()P X P A B B P B A B P B B A20253030153030351039505050505050505050125， 123123123(25)()()()P X P B A A P A B A P A A B301520202520202520295050505050505050501251232025303(35)()50505025P X P A A A …………………………… 9分所以51525351251251252525EX . ………………… 12分21.【解析】（1）根据椭圆的对称性可知，由于23(1,(1,22A A 关于y 轴对称，必同时在椭圆上， ………… 1分若椭圆还经过点1(0,1)A ，则2221x y a，将点2(1,2A 代入，求得2a ，可得椭圆方程为2214x y ； …………………………………… 3分若椭圆还经过点(4,0)A ，可得2415b ，不合题意，舍去.则椭圆方程为2214x y . ……………………………………… 5分（2）方法一：设11223344(,),(,),(,),(,),P x y Q x y M x y N x y 设直线PQ 的方程为x my t ，由于直线PQ 过点53(,22，则有32 5.m t设直线AP 的方程为1144x x y y 联立12211111224448(4)()412044x x y x x y y y y y x y所以222111132221111111212312482025(4)4()4y y y y y x x x x y y ，同理22242325y y y x ，进一步可得12341233.2525y y y y x x …………… 9分直线MN 的斜率为121234121212112234341211223333252525254443432525y y y y y y x x x x x x x y x y x x y y y y y x y x12211221(25)(25)(4)(25)(4)(25)y x y x x x x x 1212(25)()1 1.3()t y y m y y …………………… 12分方法二：因为1133(4,0),(,),(,)A P x y M x y 三点共线，则直线PM 的方程为3131(4)y y y x x x，且将11(,)P x y 代入直线，整理可得3113134()x y x y y y (1) …… 6分由于1133(,),(,)P x y M x y 均在椭圆上，代入可得221122331414x y x y ，所以2222213133222223113144x y y y y x y y y y 将两式相减可得223113311313()()4x y x y x y x y y y ，所以221331131331134()()y y x y x y y y x y x y …………(2) ……………… 8分则(1)(2) 式可得：3313113323525y x y y y y x由(1)(2) 式可得：3313133113339589235525252525y x x y y y y x x x x x直线PB 的斜率为313333133332522252558532252y y x y x x x x，同理直线QB 的斜率为442253y x ， ……………………………… 10分而PA QA k k ，所以334422522533y x y x ，则3344y x y x .那么34341MN y y k x x . ……………………………… 12分方法三：设PA AM ，QA AN，则4101P M A P M A x x x y y y ，4101Q N AQ N A x x x y y y所以4(1)0P M P M x x y y ，4(1)Q N Q N x x y y ，………………… 7分因为,P M 均在椭圆2244x y 上，所以222244(1)44(2)M M P P x y x y …………，由2(1)(2) 得：22224(1)M P x x ，即()()4(1)(1)M P M P x x x x ，又因为4(1)P M x x ，所以1M P x x ，所以532532P M x x，同理可得：532532Q N x x， …………………………………… 9分因为,,P Q B 三点共线，所以33225522P Q P Q y y x x，则53532222P Q P Q P Q Q P y x y x x y y x ，所以53535353535322222222P P Q Q y y y y ，所以3()2P Q y y ，所以MN 的斜率3()2131133()()()222QPP Q M N MNM N y y y y y y k x x.…………………………………………………… 12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.【解析】（1）当π3 时，直线l的参数方程为1123x ty （t 为参数），消去参数t30y ，即直线l30y ． ……………………………… 2分4cos ，24cos ，cos ,sin x y ，224x y x ，则曲线C 的直角坐标方程为2240x y x . ……………………………… 5分（2）将直线l 的参数方程代入到曲线C 的直角坐标方程中得22(1cos )(3sin )4(1cos )t t t ，化简得26(sin cos )140t t ，设A ，B 两点对应的参数为1t ，2t ，则126(sin cos )t t ，1214t t ， ……………………………… 8分因为直线l 过点(1,3)P ，则12||||2AB t t ，解得2sin 23． ……………………………… 10分 23. 【解析】（1）因为0a ，0b ，且a b ab ，111a b又112a b ， ………………………………………… 3分 222111111()22a b a b . 当且仅当2a b 时等号成立． ………………………………………… 5分（2）因为0a ，0b ，且a b ab ，111a b，1a ，1b ，所以|21||31|232M a b a b ， ……………………………… 7分1132(23)(2(23)23b aa b a b a b，当且仅当32b aa b时等号成立，所以M 最小值为3．…………… 10分。

安徽省江南十校2024届高三3月联考数学试卷含答案

2024届安徽省“江南十校”联考数学（答案在最后）姓名__________座位号__________注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}221,10x A x B x x =≥=->∣∣，则A B ⋃=（）A.{}11x x -<< B.{}01x x ≤< C.{}1x x >- D.{}0x x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合并集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}{}{}2210,1011xA x x xB x x x x =≥=≥=->=-<<，所以A B ⋃={}1x x >-，故选：C2.已知复数z 满足()12i 43i z +=+，则z =（）A.2i + B.2i- C.2i 5-+ D.2i 5--【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案.【详解】()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-,所以2i z =+.故选：A.3.已知向量,a b 满足()()1,,3,1a b m a b +=-= .若//a b ，则实数m =（）A.13-B.13C.3D.-3【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，求出,a b的坐标，再利用向量共线的坐标表示计算即得.【详解】由()()1,,3,1a b m a b +=-= ，得11(2,),(1,)22m m a b +-==- ，由//a b，得112022m m -+⋅+=，所以13m =.故选：B4.已知函数π()3sin(2)(||)2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象.若()g x 是偶函数，则ϕ为（）A.π6B.π6-C.π3D.π3-【答案】B 【解析】【分析】利用给定的图象变换求出()g x 的解析式，再利用正弦函数的奇偶性列式计算即得.【详解】依题意，()ππ3sin 263g x f x x ϕ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()g x 是偶函数，得πππ,Z 32k k ϕ-+=+∈，而π||2ϕ<，则π1,6k ϕ=-=-.故选：B5.酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg 为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2m g /m l .假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（）（精确到0.001.参考数据：lg20.3010,lg30.4771≈≈）A.7.963小时B.8.005小时C.8.022小时D.8.105小时【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出指数不等式，根据对数运算法则即可计算.【详解】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg 313lg 213lg 2x +>=--，即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >故选：C.6.已知函数()1ln f x x x=-在点()1,1-处的切线与曲线()212y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为（）A.{}1,9 B.{}0,1,9 C.{}1,9-- D.{}0,1,9--【答案】B 【解析】【分析】求出切线方程，再对a 分0a =和0a ≠讨论即可.【详解】由211()f x x x'=+得(1)2f '=，所以切线方程是2(1)123y x x =--=-，①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点，②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--，即2(3)10ax a x +-+=，由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=，得1a =或9a =，综上:0a =或1a =或9a =.故选：B.7.已知圆22:8120C x y x +-+=，点M .过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,A B ，则||MA MB +的取值范围为（）A.2)-+B.2]+ C.4)-+ D.4]+【答案】D 【解析】【分析】取线段AB 的中点P ，求出点P 的轨迹方程，再利用平面向量数量积的运算律及圆的性质求解即得.【详解】圆22:(4)4C x y -+=的圆心(4,0)C ，半径为2，取线段AB 的中点P ，连接CP ，当P 与圆C 的圆心C 不重合时，CP OP ⊥，点P 在以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧上，当P 与C 重合时，也在此圆弧上，因此点P 的轨迹是以线段OC 为直径的圆在圆C 内的圆弧，圆弧所在圆心为()2,0，方程为22(2)4(34)x y x -+=<≤，显然|||2|M MA MB P += ，过点M 与点(2,0)的直线斜率12k =-，过点M与点3(,的直线斜率23k =-，显然21k k <，即过点M 与点(2,0)的直线与该圆弧相交，因此max ||22MP == ，点M与点的距离为3，则||3MP > ，所以||MA MB +的取值范围为4]+.故选：D8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111,1,1n n n n a S n a b a +=+==+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为（）A.1B.32 C.76D.2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出数列{}1n a +的通项，再利用等比数列前n 项和公式求出n T 即可得解.【详解】数列{}n a 中，11a =，1n n a S n +=+，当2n ≥时，11n n a S n -=+-，两式相减得11n n n a a a +-=+，即121n n a a +=+，整理得112(1)n n a a ++=+，而211112a S a =+=+=，因此数列{}(2)1n a n +≥是首项为3，公比为2的等比数列，2132n n a -+=⨯，11a =不满足上式，则111112b a ==+，当2n ≥时，21132n n b -=⨯，1211111211721232332612n n n T ---=+⨯=+-⨯<-，而111726T b ==<，依题意，76M ≥，所以实数M 的最小值为76.故选：C【点睛】思路点睛：给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1n n n S S a +-=转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上､下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）.图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数（AQI ）箱线图.AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重.则（）A.该地区2023年5月有严重污染天气B.该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中C.该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中D.从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定信息，结合图示，逐项判断即得.【详解】对于A ，图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值，A 正确；对于B ，C ，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中，B 错误，C 正确；对于D ，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月，D 正确.故选：ACD10.已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴.经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于点Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则（）A.2||PQ BF QF=⋅ B.2||PQ BC OQ=⋅C.PF MF = D.FN l⊥【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，得到各线段的长度，从而判断AB ，利用抛物线光学性质，结合抛物线的定义判断CD.【详解】对于AB ，设点(,)P x y ，则(,0)Q x ，y =，则||PQ =,2pBF p QF x ==-，所以2||22pPQ px px BF QF =≠-=⋅，故A 错误；又||2,||BC p OQ x ==，则2||2PQ px BC OQ ==⋅，故B 正确；对于C ，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而||||PF MF =，故C 正确；对于D ，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合||||PF MF =，可得四边形MFPH 为菱形，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥，故D 正确.故选：BCD.11.已知点,,,S A B C均在半径为的球面上，ABC是边长为的等边三角形，SA BC ⊥，SA =，则三棱锥S ABC -的体积可以为（）A.3B.C.D.【答案】BC 【解析】【分析】利用线线垂直构造面面垂直结合三棱锥的外接球特征分类讨论计算即可.【详解】取,BC SA 的中点,D F ，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O，半径R =作⊥EO AD 于E ，连接,,AO AD OF ，易知,,AD BC AS AD A AS AD ⊥⋂=⊂、平面ADS ，因为SA BC ⊥，所以BC ⊥平面ADS ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面ADS ，作⊥SG AD 于G 点，平面ABC ⋂平面ADS AD =，则SG ⊥平面ABC ，故三棱锥S ABC -的体积为211334ABC V S SG AB SG =⋅=⨯⨯⨯= ，由题意可知22,1,32AE AD OA OE OF ===⇒===，即11tan ,tan 23OAE OAF ∠=∠=，若S 在直线AO 的下方，则()111323tan tan 1175123SAD EAO FAO SG -∠=∠-∠====+⨯，若S 在直线AO 的上方，则()1123tan tan 1311123SAD EAO FAO SG +∠=∠+∠====-⨯，综上所述V =或335.故选：BC【点睛】思路点睛：先根据条件得出球心与S 点所在平面垂直于底面ABC ，再根据三棱锥的外接球性质及勾股定理计算夹角,OAE OAF ∠∠，最后分类讨论S 点的位置计算三棱锥的高即可.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从0,2,4,6中任意选1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数.在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为__________.【答案】411【解析】【分析】根据两个计数原理及古典概型计算即可.【详解】根据题意可知：若从0,2,4,6中任意选1个不为0的数字有13C 3=种选法，从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有3！种组法，共333!54⨯⨯=种方法，其中偶数有1233C A 18⨯=个；若从0,2,4,6中选0，再从1,3,5中任意选2个数字有23C 3=种选法，由选出的3个数字组成三位数有12C 2!4⨯=种组法，共13412⨯⨯=种方法，其中偶数有23A 6=个；所以该数为偶数的概率为1864541211P +==+.故答案为：41113.若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023f =__________.【答案】3-【解析】【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可.【详解】由题意可知()f x 关于2x =轴对称，()g x 关于()1,5中心对称，()()()()()()2221022228f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+--=⇒---=-，所以()()8f x g x -=-，故()()()()262f x f x f x f x +-=-=++，所以()()()()2464f x f x f x f x +++=-⇒=+，即4T =是()f x 的一个正周期，则()()()202331f f f ==由()()()()26136f x f x f f -+=-⇒-+=-，且()()13f f -=，则()13f =-，故答案为：3-14.过双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点F 的直线分别在第一､第二象限交E 的两条渐近线于,M N 两点，且OM MN ⊥.若23OM MN ON a +-=，则双曲线E 的离心率为__________.【答案】【解析】【分析】根据渐近线的斜率与倾斜角的关系，结合正切二倍角的公式、正切的定义、勾股定理、双曲线离心率的公式进行求解即可.【详解】由题意可知该双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图所示：令MOF θ∠=，于是有tan b aθ=，由双曲线和两条渐近线的对称性可得：π2MON θ∠=-，因为OM MN ⊥，所以ππππ00π22242MON θθ<∠<⇒<-<⇒<<，即tan 1bb a aθ=>⇒>，在直角三角形MOF 中，设()tan 0,MF bm m MF bm OM am OMaθ===>⇒==，根据勾股定理可得：222222222221MF OM OF b m a m c c m c m +=⇒+=⇒=⇒=，或1m =-舍去，即,MF b OM a ==，在直角三角形MON 中，()222222tan tan π2tan 21bNM NM aba MONb b a OM a a θθ∠=-=-=-===--2222a bNM b a⇒=-，由勾股定理可知：22222222222a b ac ON NM OM a b a b a ⎛⎫=+=+= ⎪--⎝⎭，因为23OM MN ON a +-=，所以()2222222222222226306303a b ac a a b a ab c b a ab a b b a b a +-=⇒-+-=⇒-+-+=--2223230202b bb b a ab a a a ⎛⎫⇒+-=⇒-+=⇒= ⎪⎝⎭，或1b a =舍去，由222222224455b b c a c e a a a a-=⇒=⇒=⇒=⇒=，故答案为：5【点睛】关键点睛：本题的关键是利用二倍角的正切公式、由已知等式化简成为,a b 的齐次方程，进而求出双曲线的离心率.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知,,a b c 分别是ABC 三个内角,,A B C 3sin cos c A a C b c +=+.（1）求A ；（2）若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15 ，30 ，旋转后相交于点D （如图所示），且30DBC ∠= ，求AD .【答案】（1）π3A =（2）63【解析】【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合余弦定理、两角和的正弦公式进行求解即可.【小问1详解】根据正弦定理，由3sin cos 3sin sin cos sin sin c A a C b c C A A C B C+=+⇒+=+()3sin sin cos sin πsin C A A C A C C ⇒+=--+()3sin sin cos sin sin C A A C A C C⇒+=++3sin sin cos sin cos cos sin sin C A A C A C A C C ⇒+=++3sin cos sin sin C A A C C ⇒=+，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，π3sin cos sin sin 3sin cos 12sin 16C A A C C A A A ⎛⎫=+⇒=+⇒-= ⎪⎝⎭π1sin 62A ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，因为因为()0,πA ∈，所以ππ5π,666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此πππ663A A -=⇒=.【小问2详解】由（1）可知π3A =，由题意可知ππ,126ABD ACD ∠=∠=，而π6DBC ∠=，所以πππ5π5ππ7ππ,4341212612ABC ACB BCD ∠=⇒∠=--=⇒∠=+=π7πππ6124BDC ⇒∠=--=，在ABC中，由正弦定理可知：1232632,π5πππ22223sin sin sin 3126422BC AB AC AB ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭在DBC △中，由正弦定理可知：11π7πππ222222sin sin sin 4123422BC BD AC BD ⎛=⇒=⇒=⨯⨯= ⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，在DBA中，由余弦定理可知：AD =.3=16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,2,60PB AB AD PD BAD ∠=====.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）根据余弦定理求出BD =，再利用勾股定理逆定理和面面垂直的判定即可；（2）建立合适的空间之间坐标系，求出相关法向量，根据线面角的空间向量求法即可.【小问1详解】证明:由余弦定理得BD =所以222222,AD AB BD PD PB BD =+=+，因此,AB BD PB BD ⊥⊥，又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB ，所以BD ⊥面PAB ，又因为BD ⊂平面ABCD ，故平面PAB ⊥平面ABCD .【小问2详解】由于,AB BD PB BD ⊥⊥，所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即120PBA ︒∠=，在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，且BF ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，得BF ⊥平面ABCD ，以B 为坐标原点，,,BA BD BF为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则1(0,0,0),(,0,22B D C P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，由于1(,0,22BC BP ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即013022x x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =，则1y z ==，所以n =设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，2533,,3636CE CP PE CP PD ⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，63sin cos ,5CE n CE n CE nθ⋅∴===⋅，因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5.17.某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 即视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数（精确到1）；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱产品均采取不放回地随机抽取方式进行检验，箱与箱之间的检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受该箱产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝该箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受该箱产品，否则拒绝该箱产品.若该箱产品通过检验后生产方获利1000元；该箱产品被拒绝，则亏损89元.求100箱该产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-+≈≤≤，()()220.9545,330.9973.P Z P Z μσμσμσμσ-≤≤+≈-≤≤+≈【答案】（1）约为5件；（2）89330元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正态分布的概率求出这批产品的合格率即可得估计值.（2）利用互斥事件的概率及条件概率公式求出一箱产品通过的概率，再利用二项分布的期望公式及期望的性质计算即得.【小问1详解】分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2)~(0,2X N ，(||4)(22)0.9545P X P X μσμσ≤=-≤≤+≈，因此估计这批产品的合格率为95.45%，样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品.【小问2详解】设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112)(A A A ，因此1121121121))())((((()(|))P A A A P A P A A P A P A P A A =+=+ 59559710010099990=+⨯=，设100箱产品通过检验的箱数为Y ，则893~(100,990Y B ，因此100箱利润1000(89)(100)10898900W Y Y Y =+--=-，所以平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Y E Y =-=-=⨯⨯89330=（元）.18.已知矩形ABCD 中，,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线,HF BC 上的动点,R S 满足(),OR OF CS CF λλλ==∈R.（1）求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；（2）当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q .设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN △面积的最大值.【答案】（1）221(62x y +=不含点(0,；（2）34.【解析】【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用λ表示点,R S ，再求出直线,ER GS 的方程，联立消去参数λ即得.（2）设出直线m 的方程，与点P 的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点K 坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得.【小问1详解】依题意，(()0,,,,E G FC ，设点)(,),(,0),R S P x y R x S y ，由OR OF λ=，得R x =，即,0)R ，由CS CF λ=，得)S y λ=-，即))S λ-，当0λ≠时，直线:ER y x =，直线:GS y x =+，联立消去参数λ得21(3y y x +-=-，即221(0)62x y x +=≠，当0λ=时，得交点P ，满足上述方程，所以直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程:221(62x y +=不含点(0,.【小问2详解】当3λ=-时，点(2,0)R -，过点R 的直线m可设为2(x ty t =-≠，由22236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：22(2)36ty y -+=，即22(3)420t y ty +--=，设1112)(,,)(,M x y N x y ，则12122242,33t y y y y t t -+==++，依题意，2()3,Q y -，直线1221:(3)3y y MQ y y x x --=++，令0y =，得点K 横坐标()212111212333K y x y x y x y y y y -+--=-=--，又111212)2,2(x ty ty y y y =-=-+，则122112211122112121212155(23(2)32352222)Ky y y y y y y ty y ty y y y x y y y y y y y y ++--+----+-=====-----，因此直线MQ 过定点5(,0)2K -，显然1212||11||||24KMN S KR y y y y =-=- ，而12||y y-===，令21(1)n t n=+≥，12y y-==≤=当且仅当2n=，即1t=±取等号，此时4KMNS=，所以KMN△面积的最大值为4.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.19.已知函数()()()e,,xf x x a x a f x=--∈'R是()f x的导函数.（1）证明：()f x'在(),-∞+∞上存在唯一零点x；（2）设函数()()2211e12xg x x ax x x⎛⎫=-+-++⎪⎝⎭.①当e4,2a∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x的单调区间；②当e4,2a∞-⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，讨论函数()g x零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②只一个零点.【解析】【分析】（1）对函数求导，构造()()1e xh x x a-=-+-利用其单调性结合零点存在性定理计算即可证明；（2）①先求导函数，构造()()1e xh x x a-=-+-，利用其单调性及()10h-<，得出1x>-，从而判定单调区间；②利用（1）、①的结论，分类讨论函数的单调性，极大值与0的关系判定零点个数即可.【小问1详解】由题意可知()()1e 1xf x x a +'=--，由()01e 0xf x x a -+'=⇒--=，令()1e xh x x a -=-+-，易知()y h x =在R 上单调递增，又11(1)0e a h a --=-<，若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20ea h a ++=->；若a<0，由于1a a ->-且11()12120e e a ah a a a --⎛⎫-=--=-->⎪⎝⎭；所以在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ，使得()00h x =，即()f x '在(),-∞+∞上存在唯一零点0x ；【小问2详解】①当e 4,2a ∞-⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭时，易知()()()()221e 1x g x x a x a x =+-+--+'()()11e e x xx x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，由（1）知()1e xh x x a -=-+-单调递增，且只存在一个零点0x ，注意到()3e 41e 02h a --=--≤-<，所以01x >-，可得在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，即此时()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，即此时()g x 单调递减；②易知()00g =，即()g x 的一个零点为0x =，（i ）当e 4e,2a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，由上可知()1e 0h a -=--<，即01x >-，此时在区间(),1-∞-和()0,x +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，在()01,x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则=1x -时取得极大值()24e102ea g +--=<，又()()()22252e 59e e 50g a =-->-->，即此时()g x 的零点只一个为0x =；（ii ）当a e =-时，易知01x =-，此时()0g x '≥，则()g x 在R 上单调递增，所以此时()g x 的零点只一个为0x =；（iii ）当e a <-时，易知01x <-，此时在区间()0,x -∞和()1,-+∞上，()0g x '<，()g x 单调递增，在()0,1x -上，()0g x '<，()g x 单调递减，则0x x =时取得极大值()()()002222000000000111e 1e 1e 122xx g x x ax x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++<++-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为01x <-，所以()()2200111111022x x ++>⨯-+-+>，若200e 10x x ++≤，则()02200001e 1e 102xx x x x ⎛⎫++-++<⎪⎝⎭，若200e 10x x ++>，则()02200001e 1e 12xx x x x ⎛⎫++-++⎪⎝⎭()22000011e 11e 2x x x x ⎛⎫<++⨯-++ ⎪⎝⎭()()0220000e 2111e 110222x x x x x --⎛⎫<++⨯-++=< ⎪⎝⎭，所以()00g x <，同上此时()g x 的零点只一个为0x =；综上所述：()g x 的零点只一个为0x =.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.。

安徽江南十校2024年高三数学试题联合模拟考试试题

安徽江南十校2024年高三数学试题联合模拟考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-2．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，又称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的，如图（1）），类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图（2）所示的图形，它是由6个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形，设A F F A 2'''=，若在大正六边形中随机取一点，则此点取自小正六边形的概率为（）A ．21313 B ．413C ．277D ．473．函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．4．已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，若()//2c a b +，则λ=（） A ．2-B ．1-C ．12-D ．125．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（）A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+6．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合()UB A =( )A ．{}1,2,6B ．{}1,3,6C ．{}1,6D ．{}68．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（）A ．12B ．14C ．13D ．239．已知α，β是两平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则不正确命题是（） A ．若m ⊥α，n //α，则m ⊥n B ．若m //α，n //α，则m //n C ．若l ⊥α，l //β，则α⊥βD ．若α//β，l ⊄β，且l //α，则l //β10．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（）． A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -11．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一部分，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为1P ，取自非阴影部分的概率为2P ，则（）A ．12P P <B ．12P P >C ．12P P =D ．大小关系不能确定12．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A ．(722+πB ．(1022+πC ．(1042+πD ．(1142+π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年浙江省宁波市“十校”高一数学第一学期期末复习检测试题含解析

3、B
【解析】根据函数图像易得 A
2
，T
，求得
，再将点
7 12
,
2
代入即可求得
得值.
【详解】解：由图可知 A 2 ，
T 7 ，则T 2 ，所以 2 ，
4 12 3 4
所以 f x 2 sin 2x ，
将
7 12
,
2
代入得
2
sin
7 6
2，
所以 7 3 2k , k Z ，
域也为 A？若存在，求出 m，n 的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 f x loga x （ a 0 且 a 1）的图象过点 9, 2 . （1）求函数 f x 的解析式；（2）解不等式 f 3x 1 f x 5 .
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A
2 13 13
， cos
3 13 13
．因为
f
x
A. 1, 2
B. 0,1
C. (1,0)
D. (2, 1)
7．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，则
（）
A.
B.
C.
D.
8．设 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列正确的是（）
A.若 a b ， a ，则 b / /
B.若 a / / ，，则 / /
C.若 a ，，则 a / /
又
tan
C
tan
A
B
tan
A
B
tan A tan B 1 tan A tan B
1，且

安徽省“江南十校”2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

安徽省“江南十校”2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（） A ．22B ．21-C ．2D ．12．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]3．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( ) A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥ B ．x R ∀∈，sin 1x ≥ C ．0x R ∃∈，0sin 1x > D ．x R ∀∈，sin 1x >4．函数24y x =-的定义域为A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =（）A ．{}12x x <≤B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<5．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.356．已知函数()22cos sin 4f x x x π⎛⎫=++⎪⎝⎭，则()f x 的最小值为( ) A ．212+B ．12C ．212-D ．214-7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（）A ．413B ．21313C ．926D ．313268．已知函数()()1xe a axf x e ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()()0f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的a 的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．39．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且3SD ．22S ，且23S10．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（）A ．16B ．12C ．8D ．611．已知函数()eln mxf x m x =-，当0x >时，()0f x >恒成立，则m 的取值范围为（）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．[1,)+∞D ．(,e)-∞12．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省江南十校2025届高中毕业班第一次模拟(数学试题理)试卷

安徽省江南十校2025届高中毕业班第一次模拟（数学试题理）试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k 的值是( ) A ．1B ．-3C ．1或53D ．-3或1732．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（）AB ．2C ．4D ．3．复数z 满足()11z i -=-，则复数z 等于（） A ．1i -B ．1i +C ．2D ．-24．将函数f (x )=sin 3x 3x +1的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g (x )的图象，给出下列关于g (x )的结论： ①它的图象关于直线x =59π对称； ②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称；④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（） A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④5．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（）A B C ．4- D ．26．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|lg(1)B x y x ==-，则A B =（）A ．{2}B ．{1,0}-C ．{}1-D ．{1,0,1}-7．复数5i12i+的虚部是 ( )A ．iB ．i -C ．1D ．1-8．若双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线与圆()2222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（） A．)+∞B ．[)2,+∞C．(D ．(]1,29．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知3ln 3,log ,log a b e c e π===，则下列关系正确的是（） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<11．下列命题为真命题的个数是（）（其中π，e 为无理数）32>；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．312．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽“江南十校”高三数学模拟考试试卷

某某“江南十校”高三数学模拟考试试卷本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共55分）一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。

请将答案填在答题卡相应的位置。

1．若z ⋅（，则复数z 对应的点在复平面内的 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合M={y ∣y=x 2-2}，N ={x ∣y= x 2-2}，则有A ．M N =B ．R MC N= ∅C ． R NC M= ∅D ．NM3．已知a 、b 均为非零向量，命题p ：a b ⋅＞0，命题q ：a 与b 的夹角为锐角，则p 是q 成立的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知直二面角l αβ--，直线a α⊂，直线b β⊂，且a 、b 与l 均不垂直，那么 A ．a 与b 可以垂直，但不可以平行 B ．a 与b 可以垂直，也可以平行 C ．a 与b 不可以垂直，也不可以平行D ．a 与b 不可以垂直，但可以平行5．将函数y=sin(6)4x π+的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是A ．（2π，0） B ．（4π，0） C ．（9π，0）D ．（16π，0）6．如果x 、y 满足不等式组 1235x y x y ⎧≤≤⎪≥⎨⎪+≤⎩，那么目标函数z=x-y 的最小值是A ．-1B ．-3C ．-4D ．-97．设定义域为R 的函数()f x 、()g x 都有反函数，且(1)f x -和g -1(2)x -的图像关于直线y x =对称，若(5)2007g =，则(4)f =A ．2006B ．2007C ．2008D ．20098．设P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，则以线段2PF 为直径的圆与以双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是A ．内切B ．外切C ．内切或外切D ．不相切9．我们把球外一点与球面上一动点之间距离的最小值，叫做该点到球面的距离。

安徽省县中联盟(江南十校)2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

安徽省县中联盟（江南十校）2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()2i z z =+⋅（其中i 是虚数单位），则z =（）A ．1BC ．D ．22．函数ππtan 42y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅u u u r u u u r u u u r 的值为（）A ．-4B ．4C ．-8D ．83．已知某圆台体积为52π，其上下底面圆半径分别为2和5，则其母线长为（） A ．103 B ．4 C ．5 D ．2534．在ABC V 中，60,75a A B ︒︒==，则ABC V 中最小的边长为（）A ．2BCD 5．已知向量,a b r r 满足2,1a b ==r r ，22a b a b +=⋅r r r r ，则向量,a b r r 的夹角为（） A ．0 B ．2π3 C ．0或π3 D ．0或2π3 6．学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下:取正方形ABCD 边AB 的中点M ，沿MC 、MD 折叠，将MA 、MB 用胶水粘起来，使得点A 、B 重合于点E ，这样就做成了一个簸箕E MCD -，如果这个簸箕的容量为3，则原正方形铁皮的边长是多少（）A ．12cmB ．24cmC ．D ．7．如图，ABC V 是边长为2的正三角形，直线,,AD BE CF 围成一个正三角形DEF ，且2DF FA =u u u r u u u r ，则AB EF ⋅=u u u r u u u r （）A ．813-B ．813C ．1213-D ．12138．已知正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1BD 垂直于平面α，直线l 与平面α所成角为60︒，在正方体1111ABCD A B C D -绕体对角线1BD 旋转的过程中，记BC 与直线l 所成的最小角为θ，则cos θ=（）A B C D二、多选题9．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A ．(0,0),(1,2)a b ==r rB ．(0,1),(2,0)a b ==-r rC ．(1,2),(1,2)a b =-=r rD ．13(2,3),,24a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭r r 10．已知复数123,,z z z ，下列叙述中错误的是（）A ．若12z z >，则1323z z z z +>+B ．若1223z z z z ⋅=⋅，则13z z =C ．若2212z z =，则12=z zD ．若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==11．正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA D ==为棱11B C 的中点，P 为线段1A D (不包括端点)上一动点，,M N 分别为棱,AB AC 上靠近点A 的三等分点，过BC 作三棱柱111ABC A B C -的截面α，使得α垂直于AP 且交AP 于点E ，下列结论正确的是（）A ．11//BC 截面αB ．存在点P 使得平面1//A MN 截面αC ．当12A P =时，截面αD ．三棱锥E ABC -三、填空题12．已知关于x 的实系数二次方程20x bx c ++=的一根为1i -(其中i 是虚数单位)，则b c +=．13．已知在ABC V 中，2AB BC =，D 为AC 中点，且60CBD ︒∠=，则BD =．14．在棱长为4的正四面体-P ABC 中，3PD DA =u u u r u u u r ，过点D 作平行于平面ABC 的平面与棱PB 、PC 分别交于点E 、F ，过点D 作平行于平面PBC 的平面与棱AB 、AC 分别交于点G 、H ，记12O O 、分别为三棱锥P DEF A DGH --、的外接球球心，则12O O =．四、解答题15．已知在平面直角坐标系中，()(()()22,0,,1OA OB OC OA OB λλλλ===-+≠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为坐标原点．(1)求OA u u u r 在OB u u u r 方向上的投影向量;(2)证明：、、A B C 三点共线，并求OC u u u r 的最小值．16．几何体ABCDEF 中，平面ADE 、平面BCF 和平面ACFE 均与平面ABCD 垂直，且1AB AE ==，2AD DC CF ===，//AB CD ，AB AD ⊥．(1)证明://AE CF ;(2)求四棱锥E ABCD -与四棱锥F ABCD -公共部分的体积．17．锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且π,26B c ==．(1)证明:1tan a C =(2)求ABC V 的周长的取值范围．18．如图，圆柱1OO 的高为1，底面半径长为2，它的一个轴截面为11AA B B ，点C 为底面圆O 的圆周上一点，且2AC =．(1)已知点E 是底面圆1O 的直径11A B 上靠近1B 的一个四等分点，若经过点E 在底面圆1O 上作一条直线与CE 垂直且与圆1O 交于M 、N 两点，求线段MN 的长;(2)求平面11ACB 与平面ACB 的夹角．19．已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形;我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角形．在锐角ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为,a b c 、、且a =ABC V 的边BC CA AB 、、分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为111A B C 、、，且111A B C △的面积R 为ABC V 的外接圆半径．(1)若R =11B C C B ⋅u u u r u u u r ;(2)若R ∈，求ABC V 面积的取值范围．。

安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 已知双曲线，其左右焦点分别为，，点P 是双曲线右支上的一点，点I为的内心（内切圆的圆心），，若，，则的内切圆的半径为（）A．B．C．D．2. 已知函数()，若集合含有个元素，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3. 函数恒过定点A．B．C．D．4. 已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．5. 在各项均为正数且递增的等比数列中，，则（）A ．96B ．192C ．384D ．7686. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断的是（）A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．丁的方差最大不正确7. 设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（）A ．该正方体的棱长为2B．该正方体的体对角线长为C．空心球的内球半径为D．空心球的外球表面积为8. 函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是（）安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题(高频考点版)安徽省“江南十校”2023届高三下学期3月一模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A．B．函数的单调递减区间为，C ．函数在区间上单调递增D ．直线是函数的一条对称轴9. 已知多项式，则__________，___________．10. 已知，，若，则______.11.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__________.12. 已知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．13. 因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”．(1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数．(2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域；(3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围．14. （1）如图（1），在圆O 的内接四边形ABCD 中，，，，求四边形ABCD 的面积．（2）如图（2），设圆O 的内接四边形的边长分别为a ，b ，c ，d ，试证明其面积为．15. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求的取值范围；（2）若是方程的两个根，且，求的值.16.设函数是定义在R 上的减函数，且对任意的，都有，已知.（1）求证：是奇函数；（2）解不等式.。

安徽省江南十校2022年高一上数学期末经典模拟试题含解析

18、（1） ;（2）单调增区间为；单调减区间为 .
【解析】（1）先化简得函数f(x)＝ sin ，解不等式2x－＝kπ＋ (k∈Z)即得函数y＝f(x)图象的对称轴方程.(2)先求函数的单调递增区间为 (k∈Z)，再给k取值，得到函数f(x)在上的单调性.
【详解】(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝ sin ，且T＝π，∴ω＝2.于是，f(x)＝ sin .令2x－＝kπ＋ (k∈Z)，得x＝＋ (k∈Z)，故函数f(x)的对称轴方程为x＝＋ (k∈Z).
A.若，，则
B.若，，则
C.若，则
D.若，则
7．下列各角中，与角1560°终边相同的角是（）
A.180°B.-240°
C.-120°D.60°
8．设，，，则
A. B.
C. D.
9．已知角终边经过点，若，则（）
A. B.
C. D.
10．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（）
∴ 是直线与平面所成的角.在中，
∴ ，即求直线与平面的正切值为 .
点睛：立体几何是高中数学重点内容之一，也是高考重点考查的考点和热点．这类问题的设置目的是考查空间线面的位置关系及角度距离的计算．求解本题第一问时，直接依据题设运用线面平行的判定定理进行分析推证；求解第二问，充分借助题设条件先证明线面垂直，再运用线面垂直的性质定理从而使得问题获证；求解第三问时，先运用线面角的定义找出线面角，再运用解三角形求其正切值使得问题获解
【详解】因为 .
故选：D.
3、C
【解析】由题意可知，集合为集合的子集，求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果.
【详解】，

安徽省池州市江南中学2023届高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，方程无解；
当时，，则等价于，所以，因此，即，所以，因此，即，则符合；
所以x的取值范围是 .
故答案为： .
16、
【解析】由图可知，
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）2，
（2）或
（3）存在，
【解析】（1）由三角恒等变换化简函数，再根据正弦函数性质可求得答案；
综上，若，则实数t的取值范围为 .
【小问2详解】
解：由“ ”是“ ”的必要不充分条件，则集合，
若，即，解得，
若，即，即，则必有，解得，
综上可得, ，
综上所述，当“ ”是“ ”的必要不充分条件时，即为所求
22、（1）答案见解析
故四边形为菱形，所以平分，
由
得，又与有公共点，
故三点共线，
所以点在的角平分线上，故动点的轨迹经过的内心.
故选：A.
6、D
【解析】设出未知数，根据题意列出方程即可解出.
【详解】设束上等稻禾是斗，束中等稻禾是斗，束下等稻禾是斗，
则由题可得，解得，
所以束上等稻禾是斗.
【详解】若，则，所以“ ”是“ ”的充分条件；
若，则或，所以“ ”不是“ ”的必要条件；
因此，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B
【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
2、C
【解析】计算，代入函数，计算即得结果.
【详解】由，得 .
故选：C.
3、A
【解析】计算出，结合可求得的值.