2008年数学奥林匹克竞赛
2008年全国小学数学奥林匹克竞赛试题
2008年小学数学奥林匹克决赛试题=____________.{1}计算：{2} 计算：76×65-65×54+54×43-43×32+32×21-21×10= 。
{3}自然数N=123456789101112…2008是一个位数。
{4}人们常常喜欢使用自己的生日数码作为密码。
例如，某人的生日是1997年3月24日，他的六位数生日数码就是970324，其中97是出生年号的十位数字和个位数字，老师说：这种数码很容易重复，因为它只占六位数字数码的很小一部分。
那么，如果不计闰年二月的29日，六位数生日数码占六位数码总数的﹪。
{5}小张的家是一个建在10m×10m的正方形地面上的房子，房子正好位于一个40m×40m的正方形草地的正中，他们家喂了一只羊，用15m长的绳子拴在房子一边的中点处，取π=3，那么羊能吃到草的草地面积是平方米。
{6}有两个2位数，它们的乘积是1924，如果它们的和是奇数，那么它们的和= 。
{7}小王和小张玩拼图游戏，他们各用若干个边长为1的等边三角形拼成一个尽可能大的等边三角形，小王有1000个边长为1的等边三角形，但是无论怎样努力，小王拼成的大等边三角形的边长都比小张拼的等边三角形的边长小，那么，小张用的边长为1的等边三角形至少有个。
{8}某工厂甲、乙二车间去年计划完成税利800万元，结果，甲车间超额20﹪完成任务，乙车间超额10﹪完成任务，两车间共完成税利925万元，那么，乙车间去年完成的税利是万元。
{9}一只装了若干水的水桶，我们把它的水倒出一半，然后再加入一升水，这算一次操作，第二次操作是把经过第一次操作的水桶里的水倒出一半，然后再加入一升水，如果经过7次操作后，桶里还有3升水，那么，这只水桶原来有水升。
{10}n正整数，D某个数字，如果n/810=0.9D5=0.9D59D5…，那么n= 。
{11}图一是由19个六边形组成的图形，在六边形内蚂蚁只可以选图二中箭头所指的方向之一爬到相邻的六边形内。
2000之后全国奥数一等奖名单
2000年后，全国赛奥林匹克数学竞赛一等奖的名单如下：
一、2000年：李可欣、罗文卓、黄婷婷、王淑萍、张显辉。
二、2001年：何鹏程、杨敏伟、吴坤志、何晓文。
三、2002年：张鹏涛、李立新、陈辉煌。
四、2003年：张凡芸、金少锋、肖思佳。
五、2004年：李永杰、杨毅、冯欢、陈唯。
六、2005年：范云鹤、张玉玲、蒋昊羽。
七、2006年：吴宏盛、李佳思、沈允斌。
八、2007年：张志勇、朱运清、陈浩。
九、2008年：丁佳慧、肖建伟、罗昊华。
十、2009年：梁子凡、赵宇航、闫雨童。
十一、2010年：王冰荣、唐开俊、陈涛。
十二、2011年：刘伟彬、张英楠、周鹏。
十三、2012年：李钊熙、周安琪、李庆奇。
十四、2013年：谢峻昊、何思源、黄睿民。
十五、2014年：谢瑞琳、沈昌明、刘家麒。
十六、2015年：段江南、吴宇森、黄子正。
十七、2016年：李杰翔、杨弘文、秦坤文。
十八、2017年：谢咏雯、翁子仪、程宇豪。
十九、2018年：林玥君、王伟宇、周宇涵。
二十、2019年：马正航、郑新宇、余嫣然。
这些名字将被永远铭记，他们是中国奥林匹克数学竞赛的佼佼者，也是我们国家科技事业的未来光辉。
他们的成就激励着我们不断努力、拼搏，追求卓越，为建设美丽中国作出贡献。
清华数学天才素材
清华数学天才素材夏天，学霸们如雨后春笋般地冒出来。
在这之前，独领风骚的是北大老师——数学天才韦东奕。
韦东奕有何特别之处，一时间竟红透大街小巷？我想，是“反差”。
混在人群中就没存在感的外貌，谈不上款式的衣着，手上领着一大瓶装满白开水的矿泉水瓶和两三个馒头。
“韦神”的光环来自于他传奇般的人生经历：保送北大，蝉联国际奥数大赛的冠军，教授都跟不上的解题方法——“韦方法”，以及北大老师的身份。
“韦神”红了，北大笑了，在“招生大战”的节骨眼儿。
北大的正面宣传占尽先机，它的老对手清华能坐视不管吗？一位才貌双全的清华副教授刁晗生出现在大家的视野里。
势均力敌，难分伯仲！传统的“天才”当我写下“才貌双全”四个字的时候，感觉自己有点浅薄。
但刁晗生出众外貌与他的才华确实为他赢得了“北大校草”的称号。
刁晗生是一个传统的“天才”，他走过的是常人难以企及的数学奖杯之路。
当普通孩子的家长仅仅要求小学数学考试能上90分的时候，刁晗生已经在“华罗庚金杯”上拿回了一等奖和金牌。
捧着奖杯的小刁晗生似乎没有很开心，但天才的世界我们不懂。
若是韦东奕和刁晗生见面，“韦神”得喊刁晗生一声“师哥”。
韦东奕是在2008年的IMO（IMO：以解题方法和技巧为主要考核内容的高含金量国际数学比赛）上“封神”，而刁晗生是韦东奕的前辈。
2005年的IMO有513名选手，只有16名选手获得了满分，刁晗生就是其中之一。
更巧的是，他们两位在中国数学奥林匹克国家队的教练兼领队都是大名鼎鼎的熊斌教授。
缘分真是早就注定。
05年刁晗生和熊斌教授08年韦东奕和熊斌教授非凡的单纯，非凡的明确——这是天才的智慧最惊人的品质。
韦东奕如斯，刁晗生亦如斯。
当他们获得惊人成就之时，没有“喜大普奔”。
一个淡泊名利，继续白开水加馒头的生活；另一个则是淡定地把奖牌放进了抽屉。
“金牌只是对于多年竞赛生涯的一次较为完美的句号，以后还有更多更长的路要走。
”原来，天才站在巅峰之处，看到的并不是脚下已经收获的成果，而是眺望前方，寻找下一个更美好的目标。
2008年第7届中国女子数学奥林匹克(CGMO)真题及答案_wrapper
n 3n(3n 1) 2 | 3n 1 ． 2
所以， n 为奇数． 又当 n 为奇数时，可将1, 2, 3,, 2n 每两个一组，分成 n 个组，每组两数之和
可以排成一个公差为 1 的等差数列：
1 (n n 1), 3 (n n 1),, n (n 1) ；
xk xk 1
1 x8
k 1
=
x2 x1
1 x18
=7 8
于是，
xk 1
7 8
xk
xk7 ，则当
x1
0 时， xk
0,
k
2．
由
xk 1
xk
xk (xk8
1) ，则当 8
xk8
1 8
0 ，即 xk
1
88 时，有
xk1
xk
0 ，即
xk1 xk , k 1．
而
xk 1
7 8
xk
xk7
88
1 87
A
E F
。
B
P O
。
D
C
【附注】 事实上，当四边形 ABCD 不是菱形时，A、P、Q 三点共线与 B、E、F、D 四 点共圆互为充要条件． 可利用同一法给予说明：取定 E 点，考虑让 F 点沿着直线 AD 运动． 根据相似变换可知，这时 Q 点的轨迹必是一条直线，它经过 P 点（由充分
性保证）． 以下只要说明这条轨迹与直线 AP 不重合即可，即只要论证 A 点不在轨迹
A'
A
E F
P
B
D
Q
C
而当四边形 ABCD 是菱形时，不管 E、F 位置如何，所得到的 P、Q 两点总 位于对角线 AC 上．
2008年全国小学奥林匹克竞赛数学试题
2008年全国小学奥林匹克竞赛数学试题1、计算：2008×0.9998—2007×0.9999= 。
2、一只猴子每天都要吃桃子，如果它每天吃桃子的个数互不相同，那么100个桃子最多可供这只猴子吃天。
3、已知甲乙两数分别是两个三位数、，他们的和是四位数，每个字母代表0～9中的一个数字，且不同的字母代表不同的数字，那么 = 。
4、盒子里放有编号为1到10的十个球，小王先后三次从盒中共取出9个球，如果从第二次开始，每次取出的球的编号之和都是前一次的2倍，那么未取出的球的编号是。
5、一项工程，甲单独做24小时完成，乙单独做36小时完成，现在要求20小时完成，并且两人合作的时间尽可能少，那么甲乙合做。
6、我国著名运动员姚明爬一座山，上山速度为5分/分，下山速度为上山速度的倍，这名运动员上山比下山多用2小时，那么山坡的坡长是米。
7、张丹、王梓、李小双三人共有存款6300元，已知张丹与王梓的存款的比是5：6，李小双的存款占王梓的，那么张丹有存款元。
8、用四舍五入的方法计算三个真分数之和的近似值为 + + =0.98，那么a= ，b= .9、有一本童话书的页码共含有99个数字“9”，那么这本书至少有。
10、如图，一个四边形的面积是52平方米，两条对角线把这个四边形分成四个小三角形，其中两个较小三角形的面积分别为6平方米和7平方米，那么两个较大三角形的面积分别为平方米和平方米。
11、1、2、3、4四个数所组成的四位数字共有24个，将他们从小到大排列起来，第18个数字是。
12、刘翔小时候每天上学步行10分钟以后，跑步2分钟，恰好到校。
有一天他步行6分钟后就开始跑步，结果早到了2分24秒，那么他的跑步速度是步行速度的倍。
2008IMO
2008年国际数学奥林匹克（第49届IMO ）第一天１．已知H 是锐角三角形ABC 的垂心，以边BC 的中点为圆心，过点H 的圆与直线BC 交于12,A A 两点；以边CA 的中点为圆心，过点H 的圆与直线CA 交于12,B B 两点；以边AB 的中点为圆心，过点H 的圆与直线AB 交于12,C C 两点． 证明：六点121212,,,,,A A B B C C 共圆．（俄罗斯提供） 证明：00,B C 分别是边CA ，AB 的中点．设以边0B 为圆心，过点H 的圆与以0C 为圆心，过点H 的圆的另一个交点为'A ，则00'A H C B ⊥．由于00,B C 分别是边CA ，AB 的中点，所以00C B BC ，从而'A H BC ⊥，于是点'A 在AH 上． 由切割线定理：1212'AC AC AA AH AB AB ⋅=⋅=⋅，所以，1212,,,B B C C 四点共圆．分别作1212,B B C C 的垂直平分线，设它们相交于点O ，则O 是四边形1212B B C C 的外心，且1212OB OB OC OC ===．同理可得，1212OA OA OB OB ===，所以，121212,,,,,A A B B C C 六点都是在以O 为圆心，1OA 为半径的圆上，故六点121212,,,,,A A B B C C 共圆．2．（1）设实数,,x y z 都不等于1，满足1xyz =，求证：()()()2222221111x y z x y z ++≥---．（2）证明：存在无穷多组三元有理数组(),,x y z ，,,x y z 都不等于1，且1xyz =，使得上述不等式等号成立．（奥地利提供）证明：（1）令1x a x =-，1yb y =-，1zc z =-，则1a x a =-，1b y b =-，1c z c =-． 由题设条件1xyz =得()()()111abc a b c =---，即 1ab bc ca a b c ++=++-，()()()()()22222222111 1.a b c a b c ab bc ca a b c a b c a b c ++=++-++=++-++-=++-+≥所以 从而()()()2222221111x y z x y z ++≥---．（2）令()()2221,,,,1k k x y z k k k k ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，k 是正整数，则(),,x y z 是三元有理数组，,,x y z 都不等于1，且对于不同的正整数k ，三元有理数组(),,x y z 是互不影响的．此时()()()222222111x y z x y z ++---()()()()()()2222222222432221111232111k k k kk k k k k k k k k k kk --=++-+-+-+-+-+==-+从而命题得证．3．证明：存在无穷多个正整数n ，使得21n +有一个大于2n 的素因子．（立陶宛提供） 证明：设(20)m ≥是一个整数，p 是()!1m +的一个素因子，则20p m >≥．令整数n 满足02pn <<，且()!mod n m p ≡±． 于是0n p n p <<-<，且()21m od n p ≡-，（1） 故()()2222444mod p n p pn n p -=-+≡-，所以()224p n p -≥-，222p n n n≥≥>+．（2）由（1），（2）便知，命题成立．第二天4．求所有的函数()():0,0,f+∞→+∞，满足对所有的正实数,,,w x y z，wx yz=，都有()()()()()()22222222f w f x w zy zf y f z++=++．（韩国提供）解：令1w x y z====，得()()()211f f=，所以()11f=．对任意0t>，令,1,w t x y z====，得()()()221122f t tf t t++=，去分母整理得()()()()10tf t f t t--=，所以，对每个0t>，()f t t=，或者()1f tt=．（*）若存在(),0,b c∈+∞，使得()f b b≠，()1f cc≠，则由（*）知，,b c都不为1，且()1f bb=，()f c c=．令,,w b x c y z===()2222122c b cbf bc bc++=，所以()()2222c b cf bcb b c+=+．因为()f bc bc=，或者()1f bcbc=．若()f bc bc=，则()2222c b cbcb b c+=+，得4,1b c c b==，矛盾!若()1f bcbc=，则()22221c b cbc b b c+=+，得242,1b c b c==，矛盾!所以，或者()(),0,f x x x=∈+∞，或者()()1,0,f x xx=∈+∞．经检验，()(),0,f x x x=∈+∞，和()()1,0,f x xx=∈+∞都满足要求．5．设n 和k 是正整数，k n ≥，且k n -是一个偶数．2n 盏灯依次编号为1,2,...,2n ，每一盏灯可以“开”和“关”．开始时，所有的灯都是“关”的．对这些灯可进行操作只改变其中的一盏灯的开关状态（即“开”变成“关”，“关”变成“开”），我们考虑长度为k 的操作序列，序列中的第i 项就是第i 次操作是被改变开关状态的那盏灯的编号．设N 是k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的，灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的状态的所有不同的操作序列的个数．设M 是k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的，灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的，但是灯1,,2n n +⋅⋅⋅始终没有被开过的所有不同的操作序列的个数．求比值NM．（法国提供） 解：所求的比值为2k n-．引理：设t 是正整数，如果一个t 元0,1数组()12,,,t a a a ⋅⋅⋅{}()12,,,0,1t a a a ⋅⋅⋅∈其中共有奇数个0，那么称其为“好的”．则好数组共有12t -个．事实上，对于相同的12,,,t a a a ⋅⋅⋅，在t a 取0,1时得到的两个数组中的奇偶性不同，则恰好有一个为“好的”，于是我们可将总共2t个不同的可能数组两两配对，每对数组中仅有t a 不同，则每对恰好有一个好数组，故好数组占总体的一半，即有12t -．引理得证．称k 次操作后灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的，灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的状态的操作序列的全体记为A 类型；k 次操作后使灯1,,n ⋅⋅⋅是“开”的，灯1,,2n n +⋅⋅⋅是“关”的，但是灯1,,2n n+⋅⋅⋅始终没有被开过的操作序列的全体记为B 类型．对于任意一个B 类列b ，将有如下性质的A 类列a 全部与它对应：“a 的各元素在模n 的意义下对应相同”（例如，2,4n k ==时，()2,2,2,1b =可对应如()4,4,2,1a =， ()2,2,2,1a =，()2,4,4,1a =等），那么由于b 是B 类列，其中1,,n ⋅⋅⋅的个数必定为全为奇数，而a 是 A 类列，又要求a 中1,,n ⋅⋅⋅的个数全为奇数，且1,,2n n +⋅⋅⋅的个数全为偶数．于是对于任意的{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，设b 中有i b 个i ，则a 必须且只需满足：对任意{}1,2,,i n ∈⋅⋅⋅，b 中是i 的i b 个元所在的位上在a 中都是i 或者n i +，且i 有奇数个（自然n i +就有偶数个），那么由引理及乘法原理，b 中恰可对应1122i nb k ni --==∏个不同的a ，而每个A 中的元a 均有B 中的一元（唯一的一个元）b （它是把a 的各位变成它除以n 的最小正余数）可以对应它，从而必有2k nA B -=，即2k n N M -=．又易知0M ≠（因为操作列()1,2,,,,,n n n B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈），所以2k n NM-=．6．在凸四边形ABCD 中，BA BC ≠．1ω和2ω分别是ABC 和ADC 的内切圆．假设存在一个圆ω与射线BA 相切（切点不在线段BA 上），与射线BC 相切（切点不在线段BC 上），且与直线AD 和直线CD 都相切． 明：圆1ω和2ω的两条公切线的交点在圆ω上．（俄罗斯提供） 证明：先证两个引理：引理1：设ABCD 是凸四边形，圆ω与射线BA （不包括线段BA ）相切，与射线BC （不包括线段BC ）相切，且与直线AD 和直线CD 都相切．则AB AD CB CD +=+.引理1的证明：设直线AB,BC,CD,DA 分别与圆ω相切于P,Q,R,S ，如图1，则AB AD CB CD +=+()()AB AD DS CB CD DR AB AS CB CR AB AP CB CQ BP BQ⇔++=++⇔+=+⇔+=+⇔=从而引理1得证．引理2：设三个圆：123,,O O O 的半径两两不等，则它们的外位似中心共线．引理2的证明：设3X 是1O 与2O 的外位似中心，2X 是3O 与1O 的外位似中心，1X 是2O 与3O 的外位似中心，i r 是i O （1,2,3i =）的半径，由位似的性质知131232O X rr X O =-，这里13O X 表示有向线段13O X ，如图2所示．同理212313O X rr X O =-，323121O X r r X O =-，所以1332321122313213211O X O X r O X r r r r r X O X O X O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 由梅内劳斯定理知，123,,X X X 三点共线．图 1图 23如图3，设U,V 分别是圆1ω,2ω与AC 的切点． 则222AD AC CD AC AD CDAV +--==+22()2AC CB AB AC CB AB CU -=++-==由引理１所以，ABC 的关于顶点B 的旁切圆3ω与边AC 的切点亦为V ． 因此，2ω与3ω内切于点V ，即V 为2ω与3ω的外位似中心．设K 是1ω与2ω的外位似中心（即两条外公切线的交点），由引理2知，K,V ,B 三点共线． 完全类似可得K,D,U 三点共线．因为BA BC ≠，所以，U V ≠（否则，由AV CU =知，U V =是边AC 的中点，与BA BC≠矛盾）．因此，直线BV 与DU 不重合． 故K BV DU =⋂．于是，只需证明直线BV 与DU 的交点K 在圆ω上． 作圆ω的一条平行于AC 的切线l （靠近边AC 的那条），设l 与圆ω切于点T ．下证：B,V,T 三点共线．如图4，设l 与射线BA,BC 分别交于点11,A C ．则圆ω是11BAC 的关于顶点B 的旁切圆，T 是其与11AC 的切点．而圆3ω是BAC 关于点B 的旁切圆，圆3ω与AC 切于点V ．由11AC AC 知，BAC 与11BAC 以B 为中心位似，而V ,T 分别是对应旁切圆与对应边的切点，因此，V ,T 是这一对位似形中的对应点．而B 是位似中心，故B,V ,T 三点共线． 同理可证D,U,T 三点共线． 从而，命题得证．B图 4。
历届女子数学奥林匹克试题
目录2002年女子数学奥林匹克 (1)2003年女子数学奥林匹克 (3)2004年女子数学奥林匹克 (5)2005年女子数学奥林匹克 (7)2006年女子数学奥林匹克 (9)2007年女子数学奥林匹克 (11)2008年女子数学奥林匹克 (13)2009年女子数学奥林匹克 (16)2010年女子数学奥林匹克 (19)2011年女子数学奥林匹克 (21)2012年女子数学奥林匹克 (24)2002年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+2002.2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次.（1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数.3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2)4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC.5.设P1，P2，⋯，P n(n≥2)是1，2，⋯，n的任意一个排列.求证：1P1+P2+1P2+P3+⋯+1P n−2+P n−1+1P n−1+P n>n−1n+2.6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x−y.7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半.8.设A1，A2，⋯，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，⋯，A8在该直线上的摄影分别是P1，P2，⋯，P8.如果这8个射影两两不重合，以直线l的方向依次排列为P i1，P i2，⋯，P i8，这样，就得到了1,2，…，8的一个排列i1，i2，⋯，i8（在图1中，此排列为2,1,8,3,7,4,6,5）.设这8个点对平面上所有有向直线作射影后，得到的不同排列的个数为N8=N(A1,A2,⋯88的最大值.图12003年女子数学奥林匹克1. 已知D 是△ABC 的边AB 上的任意一点，E 是边AC 上的任意一点，连结DE ，F 是线段DE 上的任意一点.设AC AA =x ，AA AA =y ，CH CA =z .证明： （1） S △ACH =(1−x )yzS △AAA ，S △AAH =x (1−y )(1−z )S △AAA ;（2） �S △ACH 3+�S △AAH 3≤�S △AAA 3.2. 某班有47个学生，所用教室有6排，每排有8个座位，用(i ,j )表示位于第i 排第j 列的座位.新学期准备调整座位，设某学生原来的座位为(i ,j )，如果调整后的座位为(m ,n )，则称该生作了移动[a ,a ]=[i −m ,j −n ]，并称a +b 为该生的位置数.所有学生的位置数之和记为S .求S 的最大可能值与最小可能值之差.3. 如图1，ABCD 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BB ⊥AA ，AC 与BD 的交点为E ，F 在DA 的延长线上.连结BF ，G 在BA 的延长线上，使得BD ∥BB ，H 在GF 的延长线上，AC ⊥DB .证明：B 、E 、F 、H 四点共圆.图14.（1）证明：存在和为1的5个非负实数a、b、c、d、e，使得将它们任意放置在一个圆周上，总有两个相邻数的乘积不小于19；（2）证明：对于和为1的任意玩个非负实数a、b、c、d、e，总可以将它们适当放置在一个圆周上，且任意相邻两数的乘积均不大于19.5.数列{a n}定义如下：a1=2，a n+1=a n2−a n+1，n=1,2,⋯.证明：1−120032003<1a1+1a2+⋯+1a2003<1.6.给定正整数n(n≥2).求最大的实数λ，使得不等式a n2≥λ(a1+a2+⋯+a n−1)+2a n对任意满足a1<a2⋯<a n的正整数a1，a2，⋯，a n均成立.7.设△ABC的三边长分别为AB=b、BA=a、AA=a，a、b、c互不相等，AD、BE、CF分别为△ABC的三条内角平分线，且DE=DF.证明：（1）a b+c=b c+a+c a+b;（2）∠BAA>90°.8.对于任意正整数n，记n的所有正约数组成的集合为S n.证明：S n中至多有一半元素的个位数为3.2004年女子数学奥林匹克1.如果存在1，2，⋯，n的一个排列a1，a2，⋯，a n，使得k+a k(k=1,2,⋯,n)都是完全平方数，则称n为“好数”.问：在集合{11,13,15,17,19}中，哪些是“好数”，哪些不是“好数”？说明理由.（苏淳供题）2.设a、b、c为正实数.求a+3c a+2b+c+4b a+b+2c−8c a+b+3c的最小值.（李胜宏供题）3.已知钝角△ABC的外接圆半径为1.证明：存在一个斜边长为√2+1的等腰直角三角形覆盖△ABC.（冷岗松供题）4.一副三色纸牌，共有32张，其中红黄蓝每种颜色的牌各10张，编号分别是1，2，⋯，10；另有大小王牌各一张，编号均为0.从这副牌中任取若干张牌，然后按如下规则计算分值：每张编号为k的牌记为2k分.若它们的分值之和为2004，则称这些牌为一个“好牌组”.试求“好牌组”的个数.（陶平生供题）5.设u、v、w为正实数，满足条件u√vv+v√vu+v√uv≥1.试求u+v+v的最小值. （陈永高供题）6.给定锐角△ABC，点O为其外心，直线AO交边BC于点D.动点E、F分别位于边AB、AC上，使得A、E、D、F四点共圆.求证：线段EF在边BC上的投影的长度为定值.（熊斌供题）7.已知p、q为互质的正整数，n为非负整数.问：有多少个不同的整数可以表示为ii+jj的形式，其中i，j为非负整数，且i+j≤n.（李伟固供题）8.将一个3×3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形”.在一个10×11的棋盘上，最多可以放置多少个互不重叠的“十字形”（每个“十字形”恰好盖住棋盘上的5个小方格）？（冯祖明供题）2005年女子数学奥林匹克1.如图1，点P在△ABC的外接圆上，直线CP、AB相交于点E，直线BP、AC相交于点F，边AC的垂直平分线与边AB相交于点J，边AB的垂直平分线与边AC相交于点K.求证：AA2AH=AA⋅AA AA⋅AH.图1（叶中豪供题）2.求方程组�5�x+1x�=12�y+1y�=13(z+1z)xy+yz+zx=1,的所有实数解.（朱华伟供题）3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点、12条棱和6个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？（苏淳供题）4.求出所有的正实数a，使得存在正整数n及n个互不相交的无限整数集合A1，A2，⋯，A n满足A1∪A2∪⋯∪A n=Z，而且对于每个A i中的任意两数b>c，都有a−b≥a i.（袁汉辉供题）5.设正实数x、y满足x3+y3=x−y.求证：x2+4y2<1. （熊斌供题）6.设正整数n(n≥3).如果在平面上有n个格点P1，P2，⋯，P n满足：当�P i P j�为有理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为无理数；当�P i P j�为无理数时，存在P k，使得|P i P k|和�P j P k�均为有理数，那么，称n是“好数”.（1）求最小的好数；（2）问：2005是否为好数（冯祖明供题）7.设m、n是整数，m>n≥2，S=�1，2，⋯，m�，T=�a1，a2，⋯，a n�是S的一个子集.已知T中的任两个数都不能同时整除S中的任何一个数.求证：1a1+1a2+⋯+1a n<m+n m. （张同君供题）8.给定实数a、b(a>a>0)，将长为a、宽为b的矩形放入一个正方形内（包含边界）.问正方形的边至少为多长?（陈永高供题）2006年女子数学奥林匹克1.设a>0，函数f:(0，+∞)→R满足f(a)=1.如果对任意正实数x、y，有f(x)f(y)+f�a x�f�a y�=2f(xy)，求证：f(x)为常数.（朱华伟供题）2.设凸四边形ABCD的对角线交于点O.△OAD、△OBC的外接圆交于点O、M，直线OM分别交△OAB、△OCD的外接圆于点T、S.求证：M是线段TS的中点.（叶中豪供题）3.求证：对i=1，2，3，均有无穷多个正整数n，使得n，n+2，n+28中恰有i个可表示为三个正整数的立方和.（袁汉辉供题）4.8个人参加一次聚会.(1)如果其中任何5个人中都有3个人两两认识，求证：可以从中找出4个人两两认识；(2)试问：如果其中任何6个人中都有3个人两两认识，那么是否一定可以找出4个人两两认识？（苏淳供题）5.平面上整点集S=�(a,a)�1≤a,a≤5(a、a∈Z)�，T为平面上一整点集，对S中任一点P，总存在T中不同于P的一点Q，使得线段PQ上除点P、Q外无其它的整点.问T的元素个数最少为多少？（陈永高供题）6.设集合M={1,2,⋯,19}，A={a1,a2,⋯,a k}⊆M.求最小的k，使得对任意的a∈M，存在a i、a j∈A，满足a=a i或a=a i±a j（a i、a j 可以相同）.（李胜宏供题）7.设x i>0(i=1,2,⋯,n),k≥1.求证：∑11+x i n i=1⋅∑x i n i=1≤∑x i k+11+x i n i=1⋅∑1x i k n i=1. （陈伟固供题）8.设p为大于3的质数，求证：存在若干个整数a1,a2,⋯,a t满足条件−p2<a1<a2<⋯<a t<p2，使得乘积p−a1|a1|⋅p−a2|a2|⋅⋯⋅p−a t|a t|是3的某个正整数次幂.（纪春岗供题）2007年女子数学奥林匹克1.设m为正整数，如果存在某个正整数n，使得m可以表示为n和n的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m是“好数”.求证：（1）1,2,⋯,17都是好数；（2）18不是好数.（李胜宏供题）2.设△ABC是锐角三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，线段AD、BE、CF经过△ABC的外心O.已知以下六个比值AC CA、AA AA、AH HA、AH HA、AA AA、AC CA中至少有两个是整数.求证：△ABC是等腰三角形.（冯祖明供题）3.设整数n(n>3)，非负实数a1，a2，⋯，a n满足a1+a2+⋯+a n=2.求a1a22+1+a2a32+1+⋯+a n a12+1的最小值.（朱华伟供题）4.平面内n(n≥3)个点组成集合S，P是此平面内m条直线组成的集合，满足S关于P中每一条直线对称.求证：m≤n，并问等号何时成立？（边红平供题）5.设D是△ABC内的一点，满足∠BAA=∠BAA=30°，∠BBA=60°，E是边BC的中点，F是边AC的三等分点，满足AF=2FC.求证：BD⊥DB.（叶中豪供题）6.已知a、a、b≥0，a+a+b=1.求证：�a+14(a−b)2+√a+√b≤√3（李伟固供题）7.给定绝对值都不大于10的整数a、b、c，三次多项式f(x)=x3+ ax2+ax+b满足条件�f(2+√3)�<0.0001.问：2+√3是否一定是这个多项式的根？（张景中供题）8.n个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局.规定：胜者得1分，负者得0分，平局得0.5分.如果赛后发现任何m个棋手中都有一个棋手胜了其余m-1个棋手，也有一个棋手输给了其余m-1个棋手，就称此赛况具有性质P(m).对给定的m(m≥4)，求n的最小值f(m)，使得对具有性质P(m)的任何赛况，都有所有n名棋手的得分各不相同.（王建伟供题）2008年女子数学奥林匹克1.（1）问能否将集合�1，2，⋯，96�表示为它的32个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等；（2）问能否将集合�1，2，⋯，99�表示为它的33个三元子集的并集，且每个三元子集的元素之和都相等.（刘诗雄供题）2.已知式系数多项式ϕ(x)=ax3+ax2+bx+d有三个正根，且ϕ(0)<0.求证：2a3+9a2d−7aab≤0. （朱华伟供题）3.求最小常数a(a>1)，使得对正方形ABCD内部任一点P，都存在△P AB、△PBC、△PCD、△PDA中的某两个三角形，其面积之比属于区间�a−1，a�.（李伟固供题）4.在凸四边形ABCD的外部分别作正△ABQ、△BCR、△CDS、△DAP，记四边形ABCD的对角线的和为x，四边形PQRS的对角线中点连线的和为y.求y x的最大值.（熊斌供题）5.如图1，已知凸四边形ABCD满足AB=BC，AD=DA，E、F分别是线段AB、AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆，作△DPE顺向相似于△ADC，作△BQF顺向相似于△ABC.求证：A、P、Q三点共线.图1 注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列.（叶中豪 供题）6. 设正数列x 1，x 2，⋯，x n ，⋯满足(8x 2−7x 1)x 17=8及x k+1x k−1−x k 2=x k−18−x k 8(x k x k−1)7(k ≥2).求正实数a ，使得当x 1>a 时，有单调性x 1>x 2>⋯>x n >⋯，当0<x 1<a 时，不具有单调性. （李胜宏 供题）7. 给定一个2008×2008的棋盘，棋盘上每个小方格的颜色均不相同.在棋盘的每一个小方格中填入C 、G 、M 、O 这4个字母中的一个，若棋盘中每一个2×2的小棋盘中都有C 、G 、M 、O 这4个字母，则称这个棋盘为“和谐棋盘”，问有多少种不同的和谐棋盘？（冯祖明 供题）8. 对于正整数n ，令f n =�2n √2008�+[2n √2009].求证：数列f 1,f 2,⋯中有无穷多个奇数和无穷多个偶数（[x ]表示不超过实数x 的最大整数）.（冯祖明 供题）B2009年女子数学奥林匹克1. 求证：方程aab =2009(a +a +b )只有有限组正整数解(a,b,c).（梁应德 供题）2. 如图1，在△ABC 中，∠BAA =90°，点E 在△ABC 的外接圆圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE >EC .连结EC 并延长至点F ，使得∠DAA =∠AAB ，连结BF 交圆Γ于点D ，连结ED ，记△DEF 的外心为O .求证：A 、C 、O 三点共线.图1 （边红平 供题）3. 在平面直角坐标系中，设点集�P 1，P 2，⋯，P 4n+1�=�(x ,y )�x 、y 为整数，|x |≤n ,|y |≤n ,xy =0�，其中，n ∈N +.求(P 1P 2)2+(P 2P 3)2+⋯+(P 4n P 4n+1)2+(P 4n+1P 1)2的最小值.（王新茂 供题）4. 设平面上有n (n ≥4)个点V 1，V 2，⋯，V n ，任意三点不共线，某些点之间连有线段.把标号分别为1，2，⋯，n 的n 枚棋子放置在这n 个点处，每个点处恰有一枚棋子.现对这n 枚棋子进行如下操作：每B次选取若干枚棋子，将它们分别移动到与自己所在点有线段相连的另一个点处；操作后每点处仍恰有一枚棋子，并且没有两枚棋子在操作前后交换位置.若一种连线段的方式使得无论开始时如何放置这n 枚棋子，总能经过有限次操作后，使每个标号为k (k =1,2,⋯,n )的棋子在点V k 处，则称这种连线段的方式为“和谐的”.求在所有和谐的连线段的方式中，线段数目的最小值. （付云皓 供题）5. 设实数xyz 大于或等于1.求证：(x 2−2x +2)(y 2−2y +2)(z 2−2z +2)≤(xyz )2−2xyz +2 （熊 斌 供题）6. 如图2，圆Γ1、Γ2内切于点S ，圆Γ2的弦AB 与圆Γ1切于点C ，M 是弧AB （不含点S ）的中点，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .记圆Γ1的半径为r .求证：AA ⋅AB =2rMN .图2 （叶中豪 供题）7. 在一个10×10的方格表中有一个有4n 个1×1的小方格组成的图形，它既可被n 个“”型的图形覆盖，也可被n 个“”或“”型（可以旋转）的图形覆盖.求正整数n的最小值.（朱华伟供题）8.设a n=n√5−�n√5�.求数列a1，a2，⋯，a2009中的最大项和最小项，其中，[x]表示不超过实数x的最大整数.（王志雄供题）2010年女子数学奥林匹克1. 给定整数n (n ≥3)，设A 1，A 2，⋯，A 2n 是集合�1，2，⋯，n�的两两不同的非空子集，记A 2n+1=A 1.求∑|A i ∩A i+1||A i |⋅|A i+1|2n i=1的最大值.（梁应德 供题）2. 如图1，在△ABC 中，AB =AA ，D 是边BC 的中点，E 是在△ABC 外一点，满足AD ⊥AB ，BD =BB .过线段BE 的中点M 作直线MB ⊥BD ，交△ABD 的外接圆的劣弧AD 于点F .求证：DB ⊥BB .图1 （郑焕 供题）3. 求证：对于每个正整数n ，都存在满足下面三个条件的质数p 和整数m ：（1）i ≡5(mmd 6)；（2）i ∤n ；（3）n ≡m 3(mmd i ).（付云皓 供题） 4. 设实数x 1，x 2，⋯，x n 满足∑x i 2=1(n ≥2)n i=1.求证：∑(1−k ∑ix i 2n i=1)2x k 2k n k=1≤(n−1n+1)2∑x k 2k n k=1，并确定等号成立的条件.（李胜宏供题）5.已知f(x)、g(x)都是定义在R上递增的一次函数，f(x)为整数当且仅当g(x)为整数.证明：对一切x∈R，f(x)−g(x)为整数.（刘诗雄供题）6.如图2，在锐角△ABC中，AB>AA，M为边BC的中点，∠BAA的外角平分线交直线BC于点P.点K、F在直线P A上，使得MB⊥BA，MM⊥PA.求证：BC2图2（边红平供题）7.给定正整数n(n≥3).对于1，2，⋯，n的任意一个排列P=(x1,x2,⋯,x n)，若i<j<k，则称x j介于x i和x k之间（如在排列（1,3,2,4）中，3介于1和4之间，4不介于1和2之间）.设集合S={P1,P2,⋯,P m}的每个元素P i(1≤i≤m)中都不介于另外两个数之间.求m的最大值.（冯祖鸣供题）8.试求满足下列条件的大于5的最小奇数a：存在正整数m1、n1、m2、n2，使得a=m12+n12，a2=m22+n22，且m1−n1=m2−n2.（朱华伟供题）2011年女子数学奥林匹克1.求出所有的正整数n，使得关于x，y的方程1x+1y=1n恰有2011组满足x≤y的正整数解(x，y) .（熊斌供题）2.如图1，在四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q，若MB⋅AB=NB⋅AB, BQ⋅BP=AQ⋅AP，求证：PQ垂直于BC.图1（郑焕供题）3.设正数a，a，b，d满足aabd=1，求证：1+1+1+1+9≥25（朱华伟供题）4.有n(n≥3)名乒乓球选手参加循环赛，每两名选手之间恰好比赛一次(比赛无平局).赛后发现，可以将这些选手排成一圈,使得对于任意三名选手A，B，C，若A，B在圈上相邻,则A，B中至少有一人战胜了C，求n的所有可能值.（付云皓供题）5.给定非负实数a，求最小实数f=f(a)，使得对任意复数,Z1,Z2和实数x(0≤x≤1)，若|Z1|≤a|Z1−Z2|，则|Z1−xZ2|≤f|Z1−Z2|.（李胜宏供题）6.是否存在正整数m，n，使得m20+11n是完全平方数？请予以证明.（袁汉辉供题）7.从左到右编号为B1，B2，⋯，B n的n个盒子共装有n个小球，每次可以选择一个盒子B k，进行如下操作：若k=1且B1中至少有1个小球，则可从B1中移1个小球至B2中；若k＝n，且B n中至少有1个小球，则可从B n中移1个小球至B n-1中，若2≤k≤n－1且B k中至少有2个小球，则可从B k中分别移1个小球至B k－1和B k＋1中，求证：无论初始时这些小球如何放置，总能经过有限次操作使得每个盒子中恰有1个小球.（王新茂供题）8. 如图2，已知⊙O 为△ABC 中BC 边上的旁切圆，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，使得BD ∥BA .⊙O 1为△ADE 的内切圆，O 1B 交DO 于点F ,O 1C 交EO 于点G .⊙O 切BC 于点M .⊙O 1切DE 于点N .求证：MN 平分线段FG .图2 （边红平 供题）A2012年女子数学奥林匹克1.设a1,a2,⋯,a n为非负实数，求证：11+a1+a1(1+a1)(1+a2)+⋯+ a1a2⋯a n−1(1+a1)(1+a2)⋯(1+a n)≤1.2.如图1所示，圆O1和O2外切于点T，点A、E在圆O1上，AB切圆O2于点B，ED切圆O2于点D，直线BD、AE交于点P.（1）求证：AB⋅DT=AT⋅DB；（2）求证：∠ATP+∠DTP=180°Array图13.求所有整数对（a,b），使得存在整数d>1，对任意的正整数n，都有d|a n+a n+1.4.在正十三边形的13个顶点上各摆放一枚黑子或者白子，一次操作是指将两枚棋子的位置交换.求证：无论开始时棋子是如何摆放的，总可以至多操作一次，使得各个棋子的颜色关于正十三边形的某一条对称轴是对称的.5.如图2所示，在△ABC中，I为内切圆圆心，D、E分别为AB、AC边上的切点，O为△BIC的外心，求证：∠OBB=∠ODA.图26. 某个国家有n (n ≥3)个城市，每两个城市间都有一条双向航线.这个国家有两个航空公司，每条航线由一家公司经营.一个女数学家从某个城市出发，经过至少两个其它城市，回到出发地.如果无论怎样选择出发城市和路径，都无法只乘坐一家公司的航班，求n 的最大值.7. 有一个无穷项的正整数数列a 1≤a 2≤a 3≤⋯.已知存在正整数k和r ，使得r a r =k +1，求证：存在正整数s ，使得s a s =k .8. 集合{0,1,2,⋯,2012}中有多少个元素k ，使得A 2012k 是2012的倍数.B。
新课程背景下的数学奥林匹克——-2008年全国初中数学竞赛试题分析
２ ０ 年 全国初 中数学竞赛 （ ０８ 浙江赛 区） 初赛 试卷 ， 在考查双基知识 的同时 ， 注重考查 能力 ， 试题有较强 的阶梯性 和 区分
度． 扩大学生在课 内所学 的知识 ， 拓宽解题思路 ， 增强 逻辑推理能力和运用数学 知识解 决实际 问题 的能力 ， 视学生 思维 能 重 力 的发展 以及 良好的思维品质 、 索精神和创造才能的培养． 探
在 ２０ ０ ８年 （ 浙江赛 区） 的复赛 试题 中 ， 量题 目也能查得 出它的出处 与影子． 的出处在高中的书本 中； 的弯转得多 大 有 有
了点 ， 计算量很大 ； 数学 方法丰富多彩 ， 求高多 了． 要 整份试卷 的难度 一下 子就拔 高 了很 多． 样一来 ， 这 高分 可能很 难得 ， 势 必区分度差． 例如第 １ ４题 ， 本可增加一个小题 ： Ａ Ａ 若 Ｅ＝ Ｄ＝口 Ｂ ，Ｅ＝Ｂ Ｃ＝ｂ 试用 口 ｂ表示 Ｅ 一个阶梯 ） 再改变一 下第 １ ， ， Ｆ（ ； ５ 题（ 大纲 中只有“ 恒等式 的证 明” 没有 “ ， 不等式的证明” 也没有一元 二次 不等式 ； ， 更没有 “ 分式 不等 式的证 明” ． ） 虽然 只是
２ ２０ ０ ８年 全 国 复 赛 试 卷 与 浙 江 赛 区初 赛 试 卷 的 比较 分 析
认 真 比较（ 浙江赛 区） 复赛试卷与初赛试卷的差异与变化 ， 如表 ２ ．
表 ２
逻辑 推证
要求 比较适 中
出现 了代数推 证题 （ １ 第 ５题 ） 第 １ ； ４题 是纯 几何 证 明题 ，
维普资讯
２０ ０ ８年第 ６期
历届数学奥林匹克参赛名单
1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。
由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。
1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。
我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。
我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。
2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。
入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。
小学数学奥林匹克竞赛(1989-2008)试题
1989年小学数学奥林匹克竞赛初赛1. 计算：＝。
2. 1到1989这些自然数中的所有数字之和是。
3. 把若干个自然数，2，3，……乘到一起，如果已知这个乘积的最末13位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是。
4. 在1，，，，，…，，中选出若干个数，使它们的和大于3，至少要选个数。
5. 在右边的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字，那么D+G= 。
6. 如图，ABFD和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是平方厘米。
7. 甲乙两包糖的重量比是4：1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲乙两包糖的重量比变为7:5，那么两包糖重量的总和是克。
8. 设1，3，9，27，81，243是六个给定的数，从这六个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数。
如果把它们从小到大依次排列起来是1，3，4，9，12……那么第60个数是。
9. 有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙。
甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上丙，那么甲出发后需用分钟才能追上乙。
10.有一个俱乐部，里面的成员可以分成两类，第一类是老实人，永远说真话；第二类是骗子，永远说假话。
某天俱乐部全体成员围着一张圆桌坐下，每个老实人的两旁都是骗子，每个骗子的两旁都是老实人。
记者问俱乐部成员张三：俱乐部共有多少成员？张三回答：有45人。
李四说：张三是老实人。
那么张三是老实人还是骗子？张三是。
11.某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干4天完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成。
那么这五个小队一起合干需要天才能完成这项工程。
12.把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个和数是。
附小2008年度三年级数学奥林匹克竞赛
附小2008年度三年级数学奥林匹克竞赛姓名：得分：一、填空。
(43分)l、找出下列数的排列规律，在括号里填上合适的数。
(1)2、 7、 12、 17、 ( )、 ( )(2)0、 1、 1、 2、 3、 5、 8、 13、 ( )2、7年前，妈妈的年龄是儿子的6倍，儿子今年12岁，妈妈今年( )岁。
3、有一串彩珠，按2红3绿4黄的顺序依次排列。
第600颗是( )颜色。
4、两袋糖，一袋是84粒，一袋是20粒，每次从多的一袋里拿出8粒糖放到少的一袋里去，拿( )次才能使两袋糖的粒数同样多。
5、一个除法算式，被除数除以除数，得商18余8，则被除数最小可以是( )。
6、把一根钢管锯成5段需要8分钟，如果要锯成20段，需要( )分钟。
7、一个减法算式里，被减数、减数与差三个数的和是30，被减数等于( )。
8、今年妈妈比小刚大24岁，妈妈年龄正好是小刚3倍，妈妈今年( )岁，小刚( )岁。
9、己知☆+☆+△+◎+△=28，☆+△=lO，那◎=( )。
10、甲、乙、丙三人各有一些钱，甲比乙多7元，乙比丙少2元，甲与丙比，( )的钱多。
11、按下图中摆放的规律，推出第70个图形是( )。
O O●●O●O O●●O●OO●●……12小强做一道整数加法题时，错把个位上的7看成1，十位上的9看成6，结果得到的和为136，正确答案是( )。
13、鸡兔同笼，共有8个头，22条腿，有( )只鸡， ( )只兔。
二、数一数。
(6分)(1)、一共有（）条线段（2）、上图一共有（）个正方形。
三、神机妙算：(16分)1、在下列算式中添上适当的运算符号，使等式成立。
(1) 1 2 3 4 5=10 (2) 8 8 8 8 8=72、计算：(1)9+99+999+9999+4 (2)1800—90一176—10—24四、解决问题。
(35分)1、甲、乙、丙三个组共有图书90本。
如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组 5本，结果三个组所有图书刚好相等。
2008中国数学奥林匹克
竞赛之窗2008中国数学奥林匹克第一天1.设锐角△ABC的三边长互不相等,O为其外心,点A′在线段AO的延长线上,使得∠BA′A=∠C A′A.过A′作A′A1⊥AC、A′A2⊥AB,垂足分别为A1、A2,作AH A⊥BC,垂足为H A.记△H A A1A2的外接圆半径为R A,类似地可得RB、R C.求证:1 R A +1R B+1R C=2R,其中,R为△ABC的外接圆半径.(熊 斌 供题)2.给定整数n(n≥3).证明:集合X= {1,2,…,n2-n}能写成两个不相交的非空子集的并,使得每一个子集均不包含n个元素a1,a2,…,a n,a1<a2<…<a n,满足a k≤a k-1+a k+12(k=2,3,…,n-1).(冷岗松 供题)3.给定正整数n,及实数x1≤x2≤…≤x n,y1≥y2≥…≥y n,满足∑n i=1ix i≥∑ni=1iy i.证明:对任意实数α,有∑n i=1x i[iα]≥∑ni=1y i[iα],其中,[β]表示不超过实数β的最大整数.(朱华伟 供题)第二天4.设A是正整数集的无限子集,n(n> 1)是给定的整数.已知对任意一个不整除n 的质数p,集合A中均有无穷多个元素不被p 整除.证明:对任意整数m(m>1),(m,n)= 1,集合A中均存在有限个互不相同的元素,其和S满足S≡1(m od m),且S≡0(m od n).(余红兵 供题)5.求具有如下性质的最小正整数n:将正n边形的每一个顶点任意染上红、黄、蓝三种颜色之一,那么,这n个顶点中一定存在四个同色点,它们是一个等腰梯形的顶点(两条边平行、另两条边不平行且相等的凸四边形称为等腰梯形).(冷岗松 供题)6.试确定所有同时满足q n+2≡3n+2(m od p n),p n+2≡3n+2(m od q n)的三元数组(p,q,n ),其中,p、q为奇质数,n 为大于1的整数.(陈永高 供题)参考答案第一天 1.首先,易知A′、B、O、C四点共圆.图1 事实上,如图1,作△BOC的外接圆,设其与AO交于点P(不同于点A′).则∠B P A=∠BCO=∠CBO=∠CP A.故△P A′C≌△P A′B,得A′B=A′C,从而,AB=AC.矛盾.其次,AA2AA′=cos∠A2AA′=sin C=H A AAC,∠A2AH A=π2-∠B=∠A′AC.所以,△A2AH A∽△A′AC.同理,△A1H A A∽△A′BA.故∠A2H A A=∠AC A′,∠A1H A A=∠ABA′.则∠A 1H A A 2=2π-∠A 2H A A -∠A 1H A A =2π-∠AC A ′-∠ABA ′=∠A +2π2-∠A =π-∠A .所以,R R A=R A 1A 22sin ∠A 1H A A 2=2R sin AA 1A 2=2R sin A AA ′sin A =2RAA ′.而AA ′=AA ″sin ∠AA ′C =AH A sin (90°-∠A )=AH A cos A =2S △ABCa cos A,其中,AA ″⊥A ′C 于点A ″.故1R A =a cos A S △ABC =cos A R sin B ・sin C =1R(1-cot B ・cot C ).同理,1R B=1R(1-cot C ・cot A ),1R C=1R(1-cot A ・cot B ).注意到c ot A ・c ot B +c ot B ・c ot C +c ot C ・c ot A =1.所以,1R A+1R B +1R C=2R.2.定义:S k ={k 2-k +1,…,k 2},T k ={k 2+1,…,k 2+k },k =1,2,…,n -1.令S =∪n -1k =1S k ,T =∪n -1k =1T k .下面证明:S 、T 即为满足题目要求的两个子集.首先,S ∩T = ,且S ∪T =X .其次,如果S 中存在n 个元素a 1,a 2,…,a n ,a 1<a 2<…<a n ,满足a k ≤a k -1+a k +12(k =2,3,…,n -1),则 a k -a k -1≤a k +1-a k .①不妨设a 1∈S i .由于|S n -1|<n ,故i <n -1.于是,a 1,a 2,…,a n 这n 个数中至少有n -|S i |=n -i 个在S i +1∪…∪S n -1中.根据抽屉原理,必有某个S j (i <j <n )中含有其中至少两个数,设最小的一个为a k ,则a k 、a k +1∈S j .而a k -1∈S 1∪…∪S j -1,于是,a k +1-a k ≤|S j |-1=j -1,a k -a k -1≥|T j -1|+1=j .则a k +1-a k <a k -a k -1,与式①矛盾.故S 中不存在n 个元素满足题中假设.同理,T 中也不存在这样的n 个元素.这表明S 、T 即为满足要求的两个子集.3.先证明一个引理.引理 对任意实数α和正整数n ,有∑n -1i =1[i α]≤n -12[n α].引理的证明:只需将[i α]+[(n -i )α]≤[n α]对i =1,2,…,n -1求和即得.回到原题.采用归纳法对n 进行归纳.当n =1时,显然.假设n =k 时,原命题成立,考虑n =k +1.令a i =x i +2kx k +1,b i =y i +2ky k +1(i =1,2,…,k ).显然,a 1≤a 2≤…≤a k ,b 1≥b 2≥…≥b k ,且通过计算知∑ki =1iai=∑ki =1ib i .由归纳假设知∑ki =1a i[i α]≥∑ki =1b i[i α].又x k +1≥y k +1,否则,若x k +1<y k +1,则x 1≤x 2≤…≤x k +1<y k +1≤…≤y 2≤y 1,∑k +1i =1ixi=∑k +1i =1iyi,矛盾.从而,∑k +1i =1x i[i α]-∑ki =1a i[i α]=x k +1[(k +1)α]-2k ∑ki =1[i α]≥y k +1[(k +1)α]-2k∑ki =1[i α]=∑k +1i =1y i[i α]-∑ki =1b i[i α].由此,得∑k +1i =1x i[i α]≥∑k +1i =1y i[i α].由归纳法知原命题对任意正整数n 均成立.第二天4.设p α‖m ,则集合A 中有一个无穷子集A 1,其中的元素都不被p 整除.由抽屉原理知,集合A 1有一个无穷子集A 2,其中的元素恒关于mn 模a ,a 是一个不被p 整除的数.因为(m ,n )=1,所以,p α,mn pα=1.由中国剩余定理,同余方程组x ≡a -1(m od p α),x ≡0m od mnpα①有无穷多个整数解.任取其中一个正整数解x ,并记B p 是A 2中前x 项的集合,则B p 中的元素之和S p ≡ax (m od mn ).再由方程组①可知S p ≡ax ≡1(m od p α),S p ≡0m od mn pα.设m =p α11…p αk k ,并设对每个p i (1≤i ≤k -1)已选出了A 的有限子集B i ,其中,B i <A \B 1∪…∪B i -1,使B i 中的元素和S p i 满足S p i ≡1(m od p αi i ),S p i ≡0m od mnp αi i.②考虑集合B =∪ki =1B i .则B 的元素和S =∑ki =1S i.根据式②,有S ≡1(m od p αi i )(1≤i ≤k ),且S ≡0(m od n ).所以,B 即满足题目要求.5.所求n 的最小值为17.首先证明:n =17时,结论成立.反证法.假设存在一种将正17边形的顶点三染色的方法,使得不存在4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.由于17-13+1=6,故必存在某6个顶点染同一种颜色,不妨设为黄色.将这6个点两两连线,可以得到C 26=15条线段.由于这些线段的长度只有172=8种可能,于是,必出现如下的两种情形之一.(1)有某三条线段长度相同.注意到3817,不可能出现这三条线段两两有公共顶点的情况.所以,存在两条线段,顶点互不相同.这两条线段的4个顶点即满足题目要求,矛盾.(2)有7对长度相等的线段.由假设,每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点,否则,能找到满足题目要求的4个黄色顶点.再根据抽屉原理,必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点.这四条线段的另4个顶点必然是某个等腰梯形的顶点,矛盾.所以,n =17时,结论成立.再对n ≤16构造出不满足题目要求的染色方法.用A 1,A 2,…,A n 表示正n 边形的顶点(按顺时针方向),M 1、M 2、M 3分别表示三种颜色的顶点集.当n =16时,令M 1={A 5,A 8,A 13,A 14,A 16},M 2={A 3,A 6,A 7,A 11,A 15},M 3={A 1,A 2,A 4,A 9,A 10,A 12}.对于M 1,A 14到另4个顶点的距离互不相同,而另4个点刚好是一个矩形的顶点.类似于M 1,可验证M 2中不存在4个顶点是某个等腰梯形的顶点.对于M 3,其中6个顶点刚好是3条直径的顶点,所以,任意4个顶点要么是某个矩形的4个顶点,要么是某个不等边四边形的4个顶点.当n =15时,令M 1={A 1,A 2,A 3,A 5,A 8},M 2={A 6,A 9,A 13,A 14,A 15},M 3={A 4,A 7,A 10,A 11,A 12},每个M i 中均无4点是等腰梯形的顶点.当n =14时,令M 1={A 1,A 3,A 8,A 10,A 14},M2={A4,A5,A7,A11,A12},M3={A2,A6,A9,A13},每个Mi中均无4点是等腰梯形的顶点.当n=13时,令M1={A5,A6,A7,A10},M2={A1,A8,A11,A12},M3={A2,A3,A4,A9,A13},每个Mi中均无4点的等腰梯形的顶点.在上述情形中去掉顶点A13,染色方式不变,即得到n=12的染色方法;然后,再去掉顶点A12,即得到n=11的染色方法;继续去掉顶点A11,得到n=10的染色方法.当n≤9时,可以使每种颜色的顶点个数小于4,从而,无4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.上面构造的例子表明n≤16不具备题目要求的性质.综上所述,所求的n的最小值为17.6.易见,(3,3,n)(n=2,3,…)均为满足要求的数组.假设(p,q,n)为其他满足要求的一数组,则p≠q,p≠3,q≠3.不妨设q>p≥5.如果n=2,则q2|(p4-34),即q2|(p2-32)(p2+32).由于q不同时整除p2-32和p2+32,故q2|(p2-32)或q2|(p2+32).但0<p2-32<q2,12(p2+32)<p2<q2.矛盾.因此,n≥3.由p n|(q n+2-3n+2),q n|(p n+2-3n+2),知p n|(p n+2+q n+2-3n+2),q n|(p n+2+q n+2-3n+2).又p<q(p、q为质数),故p n q n|(p n+2+q n+2-3n+2).①因此,p n q n≤p n+2+q n+2-3n+2<2q n+2.从而,p n<2q2.由q n|(p n+2-3n+2)及p>3,知q n≤p n+2-3n+2<p n+2.从而,q<p1+2n.结合p n<2q2,有p n<2p2+4n<p3+4n.因此,n<3+4n.故n=3.这样p3|(q5-35),q3|(p5-35),且由55-35=2×11×131,易知p>5.由p3|(q5-35),知p|(q5-35).由费马小定理知p|(q p-1-3p-1).因此,p|(q(5,p-1)-3(5,p-1)).如果(5,p-1)=1,则p|(q-3).由q5-35q-3=q4+q3×3+q2×32+q×33+34≡5×34(m od p),以及p>5,知p8q5-35q-3.因此,p3|(q-3).由q3|(p5-35),知q3≤p5-35<p5=(p3)53<q53.矛盾.所以,(5,p-1)≠1,即5|(p-1).类似可得5|(q-1).由q8(p-3)(因q>p≥7)及q3|(p5-35),知q3p5-35p-3.故q3≤p5-35p-3=p4+p3×3+p2×32+p×33+34.由5|(p-1)及5|(q-1),知p≥11,q≥31.则q3≤p41+3p+3p2+3p3+3p4 <p4・11-3p≤118p4.从而,p>81114q34.故p5+q5-35p3q3<p2q3+q2p3<1q+1183413114<1.这与式①,即p3q3|(p5+q5-35),矛盾.综上,(3,3,n)(n=2,3,…)即为所有满足要求的三元数组.(熊 斌 提供)。
北京市2008年高中各类保送生名单
北京市2008年各类保送生名单一、数学竞赛：2007年全国高中数学联赛(北京赛区一等奖)高磊北大附中陈锐人大附中李黎人大附中王宇前人大附中李源四中姜雾彤十二中黄一潇清华附中任诚五中曾力玮人大附中李光昊人大附中邵世骏人大附中王景行人大附中吴星晔人大附中付桐人大附中赵家璐人大附中王天辰八中王晓翔人大附中胡梦萦人大附中安雨四中窦帅人大附中王其然四中李泰伯人大附中贺行舟五中龚任飞八中居思远二中雷磊人大附中杨道隆北京二中储菁人大附中韩世予人大附中2008中国数学奥林匹克获奖名单(一等奖)张瑞祥人大附中章博宇人大附中林博人大附中(二等奖)李黎人大附中韩世予人大附中杨奔人大附中(三等奖)陈锐人大附中高磊北大附中姜雾彤十二中李源四中二、物理竞赛2007年全国中学生物理竞赛(北京赛区一等奖)王竞千四中马天翼人大附中范烨四中刘硕清华附中王京清华附中李泽昊人大附中杨光宇人大附中安雨四中吴星晔人大附中王正人大附中艾凌青北大附中吴文昊人大附中杜岳恒人大附中尹航四中李江钇十一学校林奕达四中秦思阳十一学校王其然四中王一培北师大二附崔崟北大附中王景行人大附中季诗朋潞河中学佟葆稼四中李驰远四中罗秦川十一学校苏伯尼四中何伟鹏四中郭凯十一学校第二十四届全国中学生物理竞赛决赛获奖名单(一等奖)安雨四中(二等奖)王京清华附中李泽昊人大附中杨光宇人大附中(三等奖)刘硕清华附中三、化学竞赛2007年全国高中学生化学竞赛(北京赛区一等奖)刘天羽人大附中张傲南人大附中王壮绩四中田镭鸣四中何惟人大附中宁润东四中赵熙康八一学校果世恒人大附中安雨四中刘己舟人大附中张霄 101中学容昕 101中学盛志冬 101中学王博 101中学刘征瀛 101中学郑志桐四中王凯音十一学校孙晨十一学校刘禹琦人大附中李博昱北师大实验中学戚子健北师大实验中学林奕达四中陈骥十一学校崔昊天人大附中李蛟 101中学张旭鹏五中吕鑫 101中学管紫轩人大附中聂逸凡四中陈爽四中2007年全国高中学生化学竞赛获奖名单(一等奖)容昕 101中学田雨四中(二等奖)张霄 101中学王博 101中学王凯音十一学校(三等奖)无四、生物竞赛2007年全国中学生生物学联赛(北京赛区一等奖)苏冠通人大附中高桐十一学校刘天羽人大附中边树蕊四中舒畅八一中学张少微十一学校杨天八十中王瑽雯人大附中于佳雯北师大二附宁铄现北大附中王峤十一学校李泽昊人大附中高畅昌平一中丛沛十一学校吴天蛟北师大实验中学陈亚希北京八一中学姜玥祎北师大实验中学苏松乔十三中学徐擎北师大实验中学刘向一十一学校蒋宇北师大实验中学卜杰洵北大附中谢辰十一学校第十六届全国中学生生物学竞赛获奖名单(一等奖)苏松乔十三中(二等奖)无(三等奖)张少微十一学校王瑽雯人大附中五、信息学奥赛2007年全国青少年信息学联赛(北京赛区一等奖)刘超八十中宫恩浩四中马星宇清华附中高亦陶人大附中张小路八一中学2007年全国青少年信息学奥林匹克竞赛获奖名单(一等奖)高亦陶人大附中(二等奖)无(三等奖)宫恩浩四中六、科技创新大赛第22届全国青少年科技创新大赛保送生名单姜亦周北航附中李星野北师大实验中学崔方竹北师大附属中学刘锦程八十中周翯一0一中学唐村一0一中学康博中关村中学王子纯首师大附中姜亦周北航附中李星野北师大实验中学崔方竹北师大附属中学刘锦程八十中康博中关村中学王子纯首师大附中柳茜北师大二附杨静怡牛栏山一中杨奕汇文中学陈佳蕙十三中钱君岩五中徐超一0一中学赵罡景山学校翟大宇人大附中许悦人大附中黄昊一六一中学周天石北师大实验中学七、明天小小科学家第七届“明天小小科学家”奖励活动获奖名单张湜溪北大附中沈苑骄四中黄靖程人大附中赵晓东人大附中杨奕汇文中学段凯忠八一中学王萌人大附中汪泰雨人大附中贺虎人大附中钱君岩五中李梦溪清华附中八、电脑制作全国中小学电脑制作活动获奖者名单夏烨六十五中刘义菡北大附中李烨一中。
2008年全国高中数学联赛及加试新疆赛区成绩
2008年乌鲁木齐地区高中数学竞赛情况通报一、全国第七届女子数学奥林匹克2008女子数学奥林匹克（第七届）于2008年8月13日至18日在广东省中山纪念中学举行。
国内各省会城市和部分计划单列市组队参加；同时还邀请美国、俄罗斯、菲律宾以及我国香港、澳门组队参加。
乌鲁木齐市代表队：领队：曾世威（乌市教研中心）王红（乌市一中）曹湘江（新疆实验中学）队员：李奕菲（乌市一中）黄自睿（乌市一中）王毅彬（新疆实验中学）杨炜（新疆实验中学）新疆生产建设兵团队:领队：孔彩霞（兵团教研室）徐波（兵团二中）队员：郭晔嘉孟夏李灵林晓（以上四位队员均为兵团二中学生）二、第八届中国西部数学奥林匹克第八届中国西部数学奥林匹克于2008年10月31日至11月4日在贵州省贵阳市贵州师大附中举行。
新疆队:领队：赵一军（乌市第八中学）李瑞瑜（新疆实验中学）队员：张皓晨（铜牌乌市八中）王飞翔（铜牌新疆实验中学）朱生龙（铜牌乌市高级中学）王明明（新疆实验中学）新疆生产建设兵团队:领队：封江勇（兵团二中）队员：宋少鹏（银牌）贠帆（铜牌）宋少栋艾平（以上四位队员均为兵团二中学生）三、2008年全国高中数学联赛及加试2008年全国高中数学联赛及加试于10月12日在兵团二中举行，乌鲁木齐赛区由兵团二中成功举办，在此致谢。
我市1786名高三、高二学生参赛，其中385位同学分获全疆一、二、三等及鼓励奖（见下表）。
获一等奖学生的指导教师获中国数学会颁发的优秀教练员证书；获二、三等奖学生的指导教师获新疆数学会颁发的优秀教练员证书（不累计计算，按最高荣誉证书颁发）。
获奖证书在2008年12月18日全市高三教师教研会上颁发。
一等奖（18名）二等奖（61名）三等奖（134名）鼓励奖（172名）乌鲁木齐市教研中心乌鲁木齐市数学学会2008年12月8日。
历届北方数学奥林匹克试题
目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民 供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平 供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张 雷 供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1） 求证：AD +CF =DF ；（2） 设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君 供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张 利 供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金 供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨 贾应红 供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏 供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒 供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平 供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。
2008第5届中国东南数学奥林匹克试题及答案
第五届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2008年7月27日上午8：00－12：00) 福建龙岩1. 已知集合{}1,2,3,,3S n = ，n 是正整数，T 是S 的子集，满足：对任意的,,x y z T ∈ (其中x 、y 、z 可以相同) 都有x y z T ++∉，求所有这种集合T 的元素个数的最大值。
2. 设数列{}n a 满足：111,2(12),1,2,3,n n n a a a n n +==+⋅+= 。
试求通项n a 的表达式。
3. 在△ABC 中，BC >AB ，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，如图，CP 垂直BD ，垂足为P ，AQ 垂直BP ，Q 为垂足。
M 是AC 中点，E 是BC 中点。
若△PQM 的外接圆O 与AC 的另一个交点为H ，求证: O 、H 、E 、M 四点共圆。
4. 设正整数,2m n ≥，对于任一个n 元整数集{}12,,,n A a a a = ，取每一对不同的数i ja a 、()j i >，作差j i a a -，把这2n C 个差按从小到大顺序排成一个数列，称这个数列为集合A 的“衍生数列”，记为A 。
衍生数列A 中能被m 整除的数的个数记为()A m 。
证明：对于任一正整数2m ≥，n 元整数集{}12,,,n A a a a = 及集合{}1,2,,B n = 所对应的“衍生数列”A 及B ，满足不等式()()A m B m ≥．第二天(2008年7月28日上午8：00－12：00) 福建龙岩5. 求出最大的正实数λ，使得对于满足2221x y z ++=的任何实数x 、y 、z 成立不等式：2xy yz λ+≤。
6. 如图，ABC ∆的内切圆I 分别切BC 、AC 于点M 、N ，点E 、F 分别为边AB 、AC 的中点，D 是直线EF 与BI 的交点。
证明：M 、N 、D 三点共线。
CADA7. 杰克(Jack)船长与他的海盗们掠夺到6个珍宝箱123456,,,,,A A A A A A ，其中i A 内有金币i a 枚，i =1、2、3、4、5、6，诸i a 互不相等。
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答
国际数学奥林匹克竞赛试题及解答国际数学奥林匹克竞赛（International Mathematical Olympiad，简称IMO）是世界范围内最高水平的数学竞赛之一。
每年有来自各个国家和地区的优秀学生参加，他们在这场激烈的竞赛中展示他们的数学才能。
以下将介绍一些历年IMO试题，并为您提供解答。
2008年IMO试题：1. 证明方程 x^2 + y^2 + z^2 = 2008x + 2009y + 2010z 只有有限多个整数解。
解答：我们可以将方程改写为 (x-1004)^2 + (y-1004.5)^2 + (z-1005)^2 = 2.5^2 + 3.5^2 + 5^2。
因此，方程的解可看作是(1004, 1004.5, 1005)平移后和(2.5, 3.5, 5)放缩后的结果。
由于放缩的倍数是有限的，因此方程只有有限多个整数解。
2012年IMO试题：2. 设 a_1, a_2, ..., a_n 是 n 个正整数的序列，并且满足 a_i * a_{i+1} = a_n + a_{n-i} 对于所有的1 ≤ i ≤ n-1。
证明：n 是一个完全平方数。
解答：考虑给定的方程 a_i * a_{i+1} = a_n + a_{n-i}，将其展开后整理得到a_i * (a_{i+1} - a_{n-i}) = a_n - a_{n-i}。
根据方程左右两边为整数，我们可以得到 a_{i+1} - a_{n-i} 是 a_i 的一个因子。
由于 a_1, a_2, ..., a_n 都是正整数，所以 a_{i+1} - a_{n-i} 的取值范围有限。
当 i = 1 时，我们可以推导出 a_2 - a_{n-1} 是 a_1 的因子。
同理，对于 i = 2, ..., n-1，我们可以推导出 a_{i+1} - a_{n-i} 也是a_1 的因子。
因此，a_1 的所有因子均出现在 a_2 - a_{n-1} 中。
2008年全国高中数学联赛试题及答案
2008年全国高中数学联赛受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。
中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。
2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。
答卷时间为100分钟。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。
答卷时问为120分钟。
一 试一、选择题（每小题6分，共36分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。
（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3) 3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。
（A ）24181 （B ）26681 （C ）27481（D ） 6702434．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为 （ ）。
（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3 （C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 35．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。
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2008年数学奥林匹克竞赛
2008年数学奥林匹克竞赛，即第49届国际数学奥林匹克竞赛（IMO 2008），于2008年7月10日至22日在西班牙马德里举行。
来自103个国家及地区的549名学生参加了这次比赛。
在这次比赛中，中国队以217分获得团体总分第一名，其中两名队员牟晓生和韦东奕获得了满分（共3个满分）。
韦东奕更是在比赛中用纯代数的方法，只用2个小时就解出了一道难度最大的平面几何题。
此外，俄罗斯队和美国队分别取得团体第二和第三的成绩。
韩国、伊朗和泰国也取得了较好的成绩。
国际数学奥林匹克竞赛每年选在不同的国家和地区举行，是为全球高中学生举办的世界最高水平的数学赛事。
自1986年以来，中国队已累计14次获得国际奥林匹克数学竞赛团体总分第一名。