第数字信号处理讲义--3章_连续时间信号的采样
数字信号处理第三章-2
书第96页 式（3.4.11）下面
连续信号的频谱可以通过对连续信号进行采样并进行 DFT再乘以T的近似方法得到。
对持续时间有限的信号，在满足时域采样定理时，上述方 法不丢失信息。但是直接由分析结果看不到全部频谱特性， 只能看到N个采样点的谱特性，产生“栅栏效应”。
*如何确定延拓的周期L呢？
因为长度为N和M的两个序列的线性卷积是一个长度为 M+N-1的序列，所以： (1)如果L<M+N-1，则线性卷积yl(n) 的周期延拓必有一部分非 零值序列相重叠，从而产生混叠失真，这时循环卷积不等于 线性卷积。 (2)如果L≥M+N-1，则线性卷积yl(n)的周期延拓不会产生混叠 失真，这时循环卷积等于线性卷积。
这些应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据， 或用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换的近似为基础。
这里主要介绍利用DFT计算线性卷积和对信号进行谱 分析等基本应用。
1、用DFT计算线性卷
如果：积y(n) x1(n) x2 (n) L1 x1(m)x2 ((n m)) L RL (n) m0
n
对应着时域的
0 k N 1
周期延拓
该式也表示在区间[0，2]上对x(n)的傅里叶变换的N点等间隔采样。
设: xN (n) IDFT[X (k)], 0 n N 1
下面推导序列xN(n)与原序列x(n)的关系。
IDFT
设 ~x(n) 是xN(n)的周期延拓，其离散傅里叶级数为X~(k)
n0
当 z e时j， 上面两式就变成了x(n)傅里叶变换 的X内(e j )
插函数和内插公式。 X (e j ) N1 X (k) ( 2 k)
数字信号处理 第三章
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0
j K j 2
例：理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence） 令X K e j
xne ，一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
连续时间信号的采样培训
连续时间信号的采样培训一、采样的定义和原理采样是指将连续时间信号在时间上进行离散化，即在一定时间间隔内对信号进行采集。
采样的目的是将连续时间信号转化为离散时间信号，使得信号能够通过计算机等数字设备进行处理和传输。
采样的原理是利用采样定理，即尼奎斯特采样定理，它规定了一个信号必须以至少两倍于信号最高频率的样本率进行采样，才能完全恢复原始信号。
具体而言，如果信号的最高频率为fmax，则采样频率fs必须满足fs≥2fmax。
二、常用的采样方法1. 理想采样理想采样是最简单且最理想的一种采样方法，它假设采样过程中不引入任何失真。
理想采样的原理是在采样时将连续时间信号直接抽取出特定时间点的信号值，并保持不变。
然而，在实际应用中，由于采样器的限制，无法完全遵循理想采样，会引入采样误差。
2. 均匀采样均匀采样是常见的一种采样方法，它使用固定的时间间隔对信号进行采样。
均匀采样能够简化处理过程，适用于需要周期性采样的信号。
然而，如果采样频率不符合尼奎斯特采样定理，会出现采样失真和混叠等问题。
3. 非均匀采样非均匀采样是根据信号的特点选择合适的采样点进行采样，不固定时间间隔进行采样。
非均匀采样能够有效提高采样效率和质量，适用于信号变化很快的情况。
但是，非均匀采样需要更复杂的处理过程，并且对系统时钟要求较高。
三、采样频率的选择采样频率的选择是采样过程中非常重要的一步，它直接影响到信号的重建质量。
通常来说，采样频率应大于信号的最高频率，以避免混叠现象发生。
而为了获得更好的重建结果，采样频率的选择应大于2倍信号最高频率，即要满足尼奎斯特采样定理。
当采样频率与信号频率非常接近时，会出现赫讲限制现象，即信号的高频部分出现大量高频噪声。
因此，采样频率的选择应远大于信号频率，以确保采样的准确性和信号的完整性。
四、采样的相关技术在采样过程中，除了以上讨论的采样方法和采样频率的选择外，还需要考虑一些相关技术，以保证采样的准确性和有效性。
数字信号处理06-课件 第三节_1：DFT计算连续时间信号频谱的原理_37
连续非周期信号频谱的DFT分析
女生声音时域波形
男生声音时域波形
x(t) 离散化x[k] 周期化x[k]
DFT
X ( j) 周期化 X (ej ) 离散化X [m]
连续非周期信号频谱的DFT分析
x (t )
抽样
xN[k]
DFT
X [m]
X
(e
jΩ )
1 T
n
X [ j(
nsam
)]
X [m] X (ejΩ )
, m 0, , N 1
2π m
N
X(j
A
X(ej
A/T
X[m]
A/T
sam/N
m
m
sam
sam/2
sam/2
sam
m
连续非周期信号频谱的DFT分析
X(j
A
m
m
sam
i
sam i
N
i
sam (i N)
N
0 i N 2
N i N 1 2
X (ej)
A/T
X[m]
A/T
sam/N
sam
数字信号处 理
Digital Signal Processing
主讲人：陈后金
电子ห้องสมุดไป่ตู้息工程学院
离散傅里叶变换
有限长序列傅里叶分析 离散傅里叶变换的性质 利用DFT计算线性卷积 利用DFT分析信号频谱 利用MATLAB计算DFT
利用DFT分析信号频谱
连续非周期信号频谱的DFT分析 混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 由DFT分析信号频谱的参数选取 由DFT分析信号频谱的应用举
m
N : sam i : i
连续时间信号的抽样课件
02
抽样定理与抽样方法
奈奎斯特抽样定理
定义
奈奎斯特抽样定理指出，当连续 时间信号被抽样时，为了避免混 叠失真，抽样频率必须大于或等
于信号最高频率的两倍。
重要性
奈奎斯特抽样定理是连续时间信号 数字化的基础，它保证了数字信号 能够准确地还原原始信号，避免失 真和误差。
应用
在实际应用中，奈奎斯特抽样定理 常被用于确定ADC（模数转换器） 的抽样频率，以确保数字信号的完 整性和准确性。
连续时间信号的抽样课件
目录
• 连续时间信号与抽样概述 • 抽样定理与抽样方法 • 抽样误差与信号重建 • 抽样在数字通信系统中的应用 • 连续时间信号抽样的性能评估与优化 • 连续时间信号抽样的实验与仿真
01
连续时间信号与抽样 概述
连续时间信号的定义
定义
连续时间信号是指信号在时间上 是连续的，即信号的幅度可以随 时间的连续变化而任意变化。
抽样在通信系统中的重要性
信号传输
在通信系统中，通常只有离散时 间信号能够直接进行数字处理以 及传输，因此连续时间信号必须 经过抽样处理才能得到离散时间
信号。
节省带宽
通过抽样定理，我们可以确定抽 样频率，进而避免不必要的高频
分量，节省传输带宽。
便于数字化处理
离散时间信号更便于进行数字化 处理，如编码、压缩、加密等， 这些处理能增强通信系统的抗干
样本数量，提高重建精度。
迭代重建算法：迭代重建算法 可以通过多次迭代优化信号的 重建结果，逐步减小重建误差
，提高信号的重建精度。
压缩感知技术：压缩感知技术 可以在低于Nyquist采样率的条 件下重建信号，通过利用信号 的稀疏性，实现高精度的信号 重建。
连续时间信号的抽样
的抽样，就会遇到一些特殊问题。
cos
0t
1 2
e e j0t
j0t
( 0 ) ( 0 )
sin
0t
1 2j
e e j0t
j0t
j ( 0 ) ( 0 )
( )
( )
0
0
余弦
( j )
0
正弦
0
( j )
奈奎斯特定理应用于正弦信号
采样周期T
理想重构系统
xa (t)
3 实际抽样
• 用宽度为 的矩形周期脉冲 p(t代) 替冲激串
p(t)
C e jkst k
k
Ck
1 T
0
e jkst dt
T
sin( ks
2
ks
)
j ks
e 2
2
p(t)
A 1
T
T
t
xT (t) X (n1) xT (t t0 ) X (n1)e jn1t0
抽样定理应用于正弦信号时要求： 抽样频率大于信号最高频率的两倍，而不
是大于或等于两倍。
例子
• 对于两不同频率的正弦信号x1(t),x2(t)，如果用同 一抽样频率对其抽样，抽样出的序列可能是一 样的，则我们无法判断它是来源于x1(t)还是x2(t)。
• 例：
x1 (t) cos(2 40t), f1 40Hz x2 (t) cos(2 140t), f2 140Hz
A 1
T
T
t
实际抽样
xa (t)
p(t)
xs (t)
冲激串到序列的转 换
x(n) xa (nT )
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设
连续时间信号的抽样及频谱分析-时域抽样信号的频谱__信号与系统课设1 引言随着科学技术的迅猛发展，电子设备和技术向集成化、数字化和高速化方向发展，而在学校特别是大学中，要想紧跟技术的发展，就要不断更新教学和实验设备。
传统仪器下的高校实验教学，已严重滞后于信息时代和工程实际的需要。
仪器设备很大部分陈旧，而先进的数字仪器(如数字存储示波器)价格昂贵不可能大量采购，同时其功能较为单一，与此相对应的是大学学科分类越来越细，每一专业都需要专用的测量仪器，因此仪器设备不能实现资源共享，造成了浪费。
虚拟仪器正是解决这一矛盾的最佳方案。
基于PC 平台的虚拟仪器，可以充分利用学校的微机资源，完成多种仪器功能，可以组合成功能强大的专用测试系统，还可以通过软件进行升级。
在通用计算机平台上，根据测试任务的需要来定义和设计仪器的测试功能，充分利用计算机来实现和扩展传统仪器功能，开发结构简单、操作方便、费用低的虚拟实验仪器，包括数字示波器、频谱分析仪、函数发生器等，既可以减少实验设备资金的投入，又为学生做创新性实验、掌握现代仪器技术提供了条件。
信号的时域分析主要是测量测试信号经滤波处理后的特征值，这些特征值以一个数值表示信号的某些时域特征，是对测试信号最简单直观的时域描述。
将测试信号采集到计算机后，在测试VI 中进行信号特征值处理，并在测试VI 前面板上直观地表示出信号的特征值，可以给测试VI 的使用者提供一个了解测试信号变化的快速途径。
信号的特征值分为幅值特征值、时间特征值和相位特征值。
尽管测量时采集到的信号是一个时域波形，但是由于时域分析工具较少，所以往往把问题转换到频域来处理。
信号的频域分析就是根据信号的频域描述来估计和分析信号的组成和特征量。
频域分析包括频谱分析、功率谱分析、相干函数分析以及频率响应函数分析。
信号在时域被抽样后,他的频谱X(j )是连续信号频谱X(j )的形状以抽样频率为间隔周期重复而得到,在重复过程中幅度被p(t)的傅里叶级数Pn加权。
2.6 连续时间信号的采样
∞
1 π n = ∑ sin( π n + )δ (t − ) n =−∞ 2 8 200
(3) x(n) = xa (t )
t = nT
1 π = sin( π n + ) 2 8 2π 2π N Q = =4= ω0 1/ 2 π k N = 4为最小正整数 ∴ x ( n )的周期为N = 4
∫
而
T t < 2
T ∞ 2 T − 2 n =−∞
δ (t − nT )e − jk Ω t dt ∑
s
，所以只有一个冲激 δ (t ) ，于是
1 Ak = T
∫
又因为有： f (0) = ∫−∞ δ (t ) f (t )dt 则 于是 因此
Ak = 1 − jk Ωst 1 e = T T t =0 1 ∞ jk Ωs t δ T (t ) = ∑ e T k =−∞
称为内插函数。 称为内插函数。
π sin[ (t − kT )] T ϕ k (t ) = π (t − kT ) T
函数值为 1，在其余采样点上，函数值为0。 1，在其余采样点上，函数值为0。 x ϕ k (t ) 说明： a (t ) 等于各 xs (kT )乘上对应的内 说明： 插函数的总和。 插函数的总和。 等于原采样值， 在 t = kT 时，恢复的 xa (t ) 等于原采样值， 而在采样点之间， 而在采样点之间，则是各采样值乘以 ϕk (t ) 的波形伸展叠加而成。 的波形伸展叠加而成。
H ( jΩ ) =
T 0 ｜Ω｜< Ωs
/2
｜Ω｜≥ Ωs / 2
的频谱。 就得到原信号 X a ( jΩ ) 的频谱。
根据模拟系统的频域描述理论， 根据模拟系统的频域描述理论，有
数字信号处理--实验三 时域及频域采样定理
学生实验报告开课学院及实验室：电子楼317 2013 年 4 月 8 日N为周期进行周期延拓后的主值区序列，(一) 时域采样定理实验1. 给定模拟信号如下：0()sin()()at a x t Ae t u t -=Ω假设式中A=444.128,250π=a , 2500π=Ωrad/s ，将这些参数代入上式中，对()a x t 进行傅立叶变换，得到()a X j Ω，画出它的幅频特性()~a X jf f，如图3.1所示。
根据该曲线可以选择采样频率。
图3.1()a x t 的幅频特性曲线2. 按照选定的采样频率对模拟信号进行采样，得到时域离散信号()x n ：0()()sin()()anT a x n x nT Ae nT u nT ==Ω这里给定采样频率如下：1s f kHz =，300Hz ，200Hz 。
分别用这些采样频率形成时域离散信号，按顺序分别用1()x n 、2()x n 、3()x n 表示。
选择观测时间50p T ms=。
3. 计算()x n 的傅立叶变换()jwX e ：100()[()]sin()i i n anT jw j ni n X e FT x n Ae nT e ω--===Ω∑ （3.6）式中，1,2,3i =，分别对应三种采样频率的情况123111(,,)1000300200T s T s T s ===。
采样点数用下式计算：pi i T n T =（3.7）（3.6）式中，ω是连续变量。
为用计算机进行数值计算，改用下式计算：100()[()]sin()i k i k n jw anT jw n M i n X e DFT x n Ae nT e --===Ω∑ （3.8）式中，2k kM πω=，0,1,2,3...k =，1M -；64M =。
可以调用MATLAB 函数fft 计算3.8式。
4. 打印三种采样频率的幅度曲线()~k jw kX e w ，0,1,2,3...k =，1M -；64M =。
实验二 连续时间信号的采样及采样定理
实验二 连续时间信号的采样及采样定理一、实验目的1、掌握连续时间信号离散化的方法（即采样），并能利用Matlab 编程加以实现；2、掌握连续时间傅立叶变换、离散时间傅立叶变换的计算机实现方法，能够利用傅立叶变换的方法对连续时间信号、离散时间信号进行频谱的分析；3、熟悉连续时间信号经理想采样前后的频谱变化关系，加深对时域采样定理的理解。
二、实验基本原理与方法采样是连续时间信号数字化处理的第一个关键环节。
对采样过程的研究不仅可以了解采样前后信号时域和频域特性发生的变化以及信号信息不丢失的条件，而且可以加深对傅立叶变换、Z 变换和序列傅立叶变换之间关系的理解。
对一个连续时间信号()a x t 进行理想采样的过程可以用下面的公式来表示： ()()()()()s a T a n x t x t t x t t nT δδ∞=-∞==-∑其中()s x t 为()a x t 的理想采样，()T t δ为周期冲激脉冲。
理想采样信号()s x t 的傅立叶变换()s X j Ω可以表示为：12()() s a k X j X j jk T Tπ∞=-∞Ω=Ω-∑ 上式表明，采样信号的频谱是连续时间信号频谱的周期延拓，其延拓周期为采样角频率。
采样前后信号的频谱示意图参看教材1.6节。
只有满足采样定理时，才不会发生频率混叠失真。
对信号进行频谱分析，从数学上讲就是进行傅立叶变换，对于连续时间信号，变换公式如下：()()j t X j x t e dt +∞-Ω-∞Ω=⎰而对于离散时间信号（序列），变换公式如下：()()j j n n X e x n e ωω∞-=-∞=∑不管是连续时间信号还是离散时间信号，频谱都是关于频率的连续函数（连续谱）。
三、实验内容及步骤1、令连续时间信号1000()t a x t e -=，绘制其在-5ms 到+5ms 之间的波形，时间轴间隔为0.05ms 。
2、参考例程，编程实现()a x t 的傅立叶变换（连续时间傅立叶变换），并绘制其在-2KHz 到+2KHz 之间的幅频图，频率轴频率间隔为8Hz 。
数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答
数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等，实现信号的变换。
1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散时间信号。
时域抽样的原理是，将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样，每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。
时域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续时间信号为x(t)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Ts（采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs * T，其中T为采样时长。
为Ts。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样点。
5.将N个采样点按照时域顺序排列，即可得到离散时间信号。
1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散频谱信号。
频域抽样的原理是，将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样，每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。
频域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续频谱信号为X(f)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Δf（采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔）。
2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs / Δf，其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。
为Δf。
4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样频率点。
5.将N个采样频率点按照频域顺序排列，即可得到离散频谱信号。
1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本，使得信号的长度变长。
零填充的原理是，通过增加信号的长度，可以在时域和频域上提高信号的分辨率，从而更精确地观察信号的特征。
零填充可以通过以下步骤进行实现：1.假设原始信号为x(n)，长度为N。
2.计算需要填充的长度L，L > 0。
数字信号处理第三章3.1
周期为的周期序列表示成N个正弦序列或复指数序列之和
的形式,只有N个独立分量，这是因为，周期为N的周期序
列虽然无限长，但它实质上只有N个独立信息。
N1 xp
n0
j 2 nm
ne N
1 N
N 1 N 1
Xp
n0 k0
j 2 n(km)
ke N
N 1
Xp
k0
k
1
N
N 1 j 2 n(km) eN
n0
1
N
N 1
2 j n(km)
eN
n0
1 N
j 2 (k m) N
1e N
j 2 (k m)
1e N
1 0
k m km
N1
j 2 nm N 1
xp n e N X p k k m
n0
k 0
N1
j 2 nm
X p m xp n e N
n0
N 1
j 2 nkr0r Nhomakorabea1 N
N 1
W
k 0
k N
nmr
1 N
W N1 knmr N k 0
1 0
r nm r nm
N 1
N 1
x
p
3
n
x
p1m
x
p
r
2
r
n
m
m0
r0
N 1
x
m
p1
x
p
2
n
m
m0
同理
x
p3
n
N 1
x p 2m
x p1 n
m
m0
由于求和仅在一个周期内进行，因此称之为 周期卷积。它与第1章介绍的线性卷积主要区别在 于线性卷积求和区间是从负无穷到正无穷。
数字信号处理_第三章
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) x( L 1) x( L 2) x( L 3) y ( L 1)c
DFTx2 (n) X 2 (k )
二、循环移位性质
1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 x(n) 的圆周移位定义为
y(n) xn mN RN n
(1) 先将x(n)作 周 期 ~ x延 (n) 拓 xnN
~ n mN (2) 延 拓 后 再 进 x (n 行 m移 ) x位
1 e
e
k j 38
sin(k / 2) sin(k / 8)
15 j
0k 7
2kn 16
（2）N 16 时 X (k ) x(n) W
n 0 N 1 nk N
R4 (n)e
n 0
e
n 0
3
kn j2 16
1 e
4k j2 16 k j2 16
~ 周期序列 x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x (n) 0 n N 1 ~ x(n) 其它 0
或
x(n) ~ x (n) RN (n)
x (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 ~
二、DFT的隐含周期性
如：
0
x(n)
n N-1
信号与系统连续时间信号的抽样及重建
05
结论
抽样与重建的重要性和意义
信号的抽样是信号处理中的基础环节， 它涉及到信号的数字化和后续处理，是 实现信号传输、存储和复原的关键步骤。
连续时间信号的抽样及重建对于通信、 雷达、音频处理等领域具有重要意义， 它能够将连续时间信号转换为离散时间 信号，从而实现对信号的准确表示和传
输。
抽样及重建技术对于现代信号处理技术 的发展和应用起到了重要的推动作用， 是实现数字化、网络化、智能化的重要
系统
系统是指由若干相互关联、相互作用的元素组成的集合，具有特定功能或行为。 在信号处理中，系统通常指用来处理、变换或传输信号的物理装置或电路。
抽样与重建的意义
抽样
抽样是指将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。通过 抽样，可以将连续时间信号转换为可以在计算机或数字设备 中处理的离散时间信号。
重建
重建是指将离散时间信号恢复为连续时间信号的过程。在信 号处理中，重建是抽样的逆过程，通过重建可以将离散时间 信号还原为原始的连续时间信号。
THANKS
感谢观看
滤波器法
通过设计适当的滤波器，将离 散时间信号滤波为连续时间信 号。
近似法
对于某些特定类型的信号，可 以利用近似方法简化重建过程
。
04
抽样与重建的应用
在通信系统中的应用
数字信号传输
在通信系统中，连续时间信号通常被转换为数字信号进行传输。抽样是实现这一 转换的关键步骤，它通过对连续时间信号的离散化，将模拟信号转换为数字信号 ，以便于传输和存储。
抽样的数学表示
时域表示
连续时间信号 $f(t)$ 在时域上的抽 样可以表示为 $f(at)$，其中 $a$ 是抽样因子。
频域表示
连续时间信号 $f(t)$ 在频域上的抽 样可以表示为 $F(bu)$，其中 $b$ 是频率偏移因子。
数字信号处理,第二讲连续信号的采样
前置 x(t) 滤波器 y(t)
H(f )
fs=40kHz y(n) 采样器
D/A
y(t)
1.2 连续时间信号的采样
解：(1)5,15,25,30kHz
(2)5,15kHz可以听到
x1(t) 2Acos(10t) 2Bcos(30t)
(3)x2(t) 2Acos(10t) 2(B C) cos(30t) 2D cos(20t) 失真
- -3/4 0 3/4
其中X ( j)为x(t)的频谱，H (e j )为h(n)的频率响应。 a
当采样间隔T
=
1 40
秒时，试画出信号x(n),
y(n)的频谱。
1.2 连续时间信号的采样
解：
Xa( j)
-50
0
50
X ( j /T ) /T a
-5/4
0
5/4
X (e j )
2 -5/4 - -¾
(2)满足fs
2
f
时
h
，
频
谱
不
产
生
混
叠
。
x
1.2 连续时间信号的采样
三.举例
1.设实连续信号中含有频率分别为70Hz和152Hz的正弦
信号，现用 fs 200Hz的抽样率对该信号进行抽样，
并利用DFT近似计算信号的频谱。利用DFT近似计算
出的频谱中，其谱峰将出现在
70，48
Hz.
2004年北京交通大学
j
2 k )
T
(1)对连续信号的频谱Xa( j)进行
尺度变换得Xa( j / T ); (2)频谱的幅度乘常数因子1/T；
(3)将频谱Xa( j / T ) / T位移 2， 4， ，对Xa( j / T ) / T及所有
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图3-6采样内插恢复
3.4连续时间信号的离散时间处理
随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将连续信号转化为离散信号处理。
一、C/D转换
C/D转换
时域分析频域分析
二、D/C转换
D/C转换
D/C变换整个是C/D变换的逆过程
三、连续时间信号的离散化处理
即：
例1：数字微分器
带限微分
例2：半抽样间隔延时
设带限于，要求
3.6利用离散时间信号处理改变采样频率
3.6.1脉冲串采样
3.5离散时间信号的连续时间处理
离散时间信号的连续时间处理
从时域角度看：
从频域角度看：
3.6.2离散信号抽取与内插
抽取——从序列中提取每第N个点上样本的过程。
令
2.内插
抽取又称为减抽样,内插又称为增抽样。
减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。
在采样前加一低通滤波器,以滤除高于2倍采样频率成分,以避免高频成分的干扰。
3.7.2 A/D转换中的量化误差
数字信号不仅在时间上是离散的，而且在取值上也不连续，即数字信号的取值必须为某个规定的最小数量单位的整数倍。
因此，为了将模拟信号转换成数字信号，还必须将采样/保持电路输出的采样值按照某种近似方式归并到相应的离散电平上，也就是将模拟信号在取值上离散化，我们把这个过程称为量化。将量化后的结果（离散电平）用数字代码来表示，称为编码。于单极性模拟信号，一般采用自然二进制编码；对于双极性模拟信号，则通常采用二进制补码。经过编码后得到的代码就是A/D转换器输出的数字量。
本章小结:
本章建立并研究了连续信号现经周期采样而得到的离散时间序列之间的关系.
奈奎斯特定理表明对一个限带信号而言,只要采样的频率相对于连续信号中的最高频率的来说足够高的话,则周期采样信号可以无失真的恢复原信号.
相应于采样频率的变化将使信号在频域频谱重复并重新归一化.
最后研究了在实际处理中要注意的几个实际问题.
量化可以按两种近似方式进行：只舍不入量化方式和有舍有入（四舍五入）量化方式。以3位A/D转换器为例来说明这两种方式，设采样值的变化范围是0～8 V。只舍不入量化方式如图3-8所示。当采样/保持电路输出的电压uS介于两个量化电平之间时，采用取整的方法将其归并为较低的量化电平。
例如，无论uS = 5.9 V还是uS = 5.1 V，都将其归并为5 V的量化电平，输出的编码都为101。可见，采用只舍不入量化方式，最大误差εmax等于量化单位Δ。
在量化过程中，量化结果（离散电平）都是其中一个最小离散电平的整数倍，我们将这个最小离散电平值称为量化单位，记作Δ。它也就是数字量的最低有效位LSB的1所代表的模拟电压值。
由于采样/保持电路输出的信号在取值上是连续的，不可能所有的采样值都恰好为量化单位的整数倍，所以量化前后不可避免地存在着误差，这种误差称为量化误差，用ε表示。
因此，在输出端可以得到原模拟信号
理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个可实现的滤波器来逼近它。
2．由采样信号序列重构带限信号
理想低通滤波器的冲激响应为
由与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为
这里h(t-nT)称为内插函数：
它的波形如图3-5所示，其特点为：在采样点nT上，函数值为1;其余采样点上，函数值都为零。
3-1式
以表示理想采样的输出，以后我们都以下标a表示连续信号（或称模拟信号），如xa(t)；而以它的顶部符号（∧）表示它的理想采样，如。这样我们就可将理想采样表示为
3-2式
代入3-1式得：
3-3式
由于δ(t-nT)只在t=nT时不为零，故
3-4式
2理想采样信号的频谱
我们首先看看通过理想采样后信号频谱发生了什么变化。由于在连续时间信号与系统中已学过，式（1-17）表示时域相乘，则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。所以由式（1-17）可知，若各个信号的傅里叶变换分别表示为:
那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图3-2（c）所示。这时采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。
图3-2时域采样后，频谱的周期延拓
（a）原始限带信号频谱;（b）采样函数频谱;
（c）已采样信号频谱（Ωs>2Ωh）;（d）已采样信号频谱（Ωs<2Ωh）
以上结果的得出是考虑到在|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲δ(t)，其他冲激δ(t-nT)，n≠0都在积分区间之外，且利用了以下关系:
因而
由此得出
由于
所以
3-6式
将式（3-6）代入式（3-5）可得
根据冲激函数的性质，可得
3-7式
或者
由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率Ωs=2π/T为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期性延拓，如图3-2所示。也就是说，理想采样信号的频谱，是Xa(jΩ)的周期延拓函数，其周期为Ωs，而频谱的幅度则受1/T加权，由于T是常数，所以除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果xa(t)是限带信号，其频谱如图3-2（a）所示，且最高频谱分量Ωh不超过Ωs/2，即
图3-8只舍不入量化方式
图3-9四舍五入量化方式
量化误差是A/D转换的固有误差，只能减小，不能完全消除。减小量化误差的主要措施就是减小量化单位。但是当输入模拟电压的变化范围一定时，量化单位越小就意味着量化电平的个数越多，编码的位数越大，电路也就越复杂。
另外:
D/A转换的误差以及与A/D转换和D/A转换中抽取与内插的应用等也要引起注意.这里从略
3．3由样本重构带限信号
1原理：如果理想采样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率
则采样后不会产生频谱混叠，由式（3-7）知
故将通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特性如图3-4所示。
图3-4采样的恢复
采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱
图3-3说明了在简单余弦信号情况下频谱混叠的情况。在图3-3（a）中，给出该余弦信号
的傅里叶变换Xa(jΩ)。
图（b）是在Ω0<Ωs/2时，的傅里叶变换。图（c）是在Ω0>Ωs/2时，的傅里叶变换。（d）和（e）则分别对应于Ω0<Ωs/2=π/T和Ω0>π/T时低通滤波器输出的傅里叶变换，在没有混叠时（(b)和(d)），恢复出的输出ya(t)为
增抽样虽降低了信息的传输率，但节省了传输频带。
对以T抽样再以N抽取，则相当于对以NT为间隔来抽取。
例：某一离散时间序列，其傅立叶变换如图a所示。现采用抽取、内插等手段对信号进行处理，欲使处理后信号的频谱如图b所示，请给出信号处理过程的系统框图，并画出各处相应的频谱图。
3.7实际应用考虑的问题
3.7.1消除混叠的预滤波
重点：
1．采样的频域表示法，奈奎斯特采样定理；
2．样本重构带限信号；
难点：
1．采样的频域表示法；
2．样本重构带限信号；
3．1周期采样
在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其采样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换，信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的。要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开的结果，高频信号cosΩ0t已经被当作和低频信号cos(Ωs-Ω0)t是一样的东西被冒名顶替了。这个讨论就是奈奎斯特采样定理的基础。
图3-3一个余弦信号采样中的混叠效果
由此得出结论：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（Ωs>2Ωh），这就是奈奎斯特采样定理。即
第3章 连续时间信号的采样
[教学目的]
1．理解周期采样的原理，掌握采样的频域表示法，奈奎斯特采样定理；
2．掌握样本重构带限信号的原理与条件；
3．掌握连续信号转换成离散信号的方法，理想低通滤波器特点，冲激响应的概念；
4．掌握离散时间信号的连续时间处理方法；
5．了解量化误差产生的原因和影响。
[教学重点与难点]
则应满足
3-5式
现在来求S(jΩ)=F［s(t)］。由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即
此级数的基频为采样频率，即:
一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz)，Ωs为角频率，单位为弧度/秒;习惯上都统称为“频率”。它们的区别由符号f及Ω来识别。
根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得
采样器可以看成是一个电子开关，它的工作原理可由图3-1（a）来说明。设开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。如果开关每次闭合的时间为τ秒，那么采样器的输出将是一串周期为T，宽度为τ的脉冲。而脉冲的幅度却是重复着在这段τ时间内信号的幅度。如果以xa(t)代表输入的连续信号，如图3-1（b）所示，以xp(t)表示采样输出信号，它的结构如图3-1（d）所示。显然，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲信号，如图3-1（c）所示，并以p(t)表示，而调制信号就是输入的连续信号。因而有