解线性方程组的迭代法收敛速度

实验六 解线性方程组的迭代法收敛速度.

一、实验内容

(1)选取不同的初始向量)0(x ,在给定的迭代误差要求下,用雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代法法求解,观察得到的序列是否收敛？若收敛,记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.

(2)用SOR 迭代法求上述方程组的解,松弛系数ω取1<ω<2的不同值,在给定的迭代误差要求下.记录迭代次数,分析计算结果并得出你的结论.

二、方法步骤

雅克比迭代法：

（1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，x (0)=(x 1(0),x 2(0)

,…,x n (0))T ，容许误差ε，最大容许迭代次数N.

（2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i

(0). （3）置k=1.

（4）对i=1,2,3,…,n,置

y i =1a ii (b i

−∑a ij x j n

j=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i −x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）.

（6）若kk,y i ==>x i (i =1,2,…,n),转（4），否则，输出失败信息，停机。

高斯-塞德尔迭代法

（1）输入A =(a ij )n×n ,b =(b 1,b 2,…,b n )T ，维数n ，，x (0)=(x 1(

0),x 2(0),…,x n (0))T ，容许

误差ε，最大容许迭代次数N.

（2）对i=1,2,3,…,n,置x i =x i (0)

.y i =x i .

（3）置k=1.

（4）对i=1,2,3,…,n,置

y i =1ii (b i

−∑a ij x j n

j=1,j≠i ) （5）若max 1≤i≤≥n ‖y i −x i ‖<ε输出y i (i =1,2,3,…,n),停机，否则转（6）.

（6）若kk,y i ==>x i (i =1,2,…,n),转（4），否则，输出失败信息，

停机。

三、实验结果

讨论的数据为:

④ A=ones(20,20)-diag(5*ones(20,1),0);

b=ones(20,1);wuch=1e-6;

（1）雅可比迭代法

谱半径为：p = 15.0000

收敛情况：发散

高斯-赛德尔迭代法

谱半径为：p = 15.0000

收敛情况：发散

（2）SOR迭代法

谱半径为：p = 15.0000

收敛情况：发散

迭代次数：100

ans = 1.0e+275 *

-0.0045

-0.0062

-0.0085

-0.0117

-0.0161

-0.0221

-0.0303

-0.0417

-0.0572

-0.0786

-0.1080

-0.1484

-0.2038

-0.2800

-0.3846

-0.5284

-0.7259

-0.9972

-1.3699

-1.8820

结论：当谱半径大于1时，雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、SOR迭代法均为发散的。