导体和电介质中的静电场及复习讲义

C=Q/
V
Q
电容用符号 C 表示，单位为法拉，符号为 F ：
1F=1C / 1V
一般来讲，法拉这个单位太大，通常用微法（μF） 或皮法（p F）为单位： 1F=106 μF=1012 p F
电容的量纲为 I 2L -2M -1T4
例：真空中半径为 R 的金属球带电 Q 时，其电势 V 为：
V
Qdr
S
所以SE
ds
0
即： q(内） 0
(b) 空心导体的情况
1）导体空腔内没有其它电荷时，内表面上不会有净电
荷；
证明：取如图高斯面 S :
E
ds
1
S
0
q(内) 0，说明内表面S中
a
电荷的代数和为0 ，那么，会不会有等量异号 S b
电荷分布内表面两端，如 a , b 处的情况呢？
设a , b 处分别有 q和 q，应有电力线相连，
其中：
r叫此电介质的相对介电常数。 r
0
电介质的介电常数： 0 r
对于真空： r 1
E0
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
+－
二、电介质的微观机理
按电荷分布的特点，电介质可以分为两类 ：无极 分子和有极分子。
无极分子包括 H2、He、N2和CH4（甲烷）等。没有外 电场时，分子的正、负电荷中心是重合的。以甲烷为例：
化
在进入外电场前，无极分子的 正、负电荷重心重合，没有电偶极矩。
进入外场后，在电场的作用下，
正、负电荷的中心发生位移，不再重合，
形成电偶极子。
这时极化是电荷中心相对位移的结
E0
果，称为位移极化。
(2) 有极分子的极化
进入外场前有极分子就相当于一个电 偶极子，只是由于热运动而总体排列无序。
进入外场后，分子受到力矩的
0，E 表面表面。E
0
由上可得：处于静电平衡的导体是等势体，其表面是等势面。
二、静电平衡后导体上的电荷分布
1、导体内部的电荷分布
（a）实心导体的情况 —— 导体内部无净电荷，一
切净电荷都分布在导体的外表面上。
证明：在导体中作任意高斯面 S
E
ds
1
S
0
q(内） （E为导体中的总电场）
但导体静电平衡的条件是 E 0
E ds
1
S
0
q(内)
＋σ0 －σ’ ＋σ’ －σ 0
E0
E
其中 :q（内）是曲面内所有电荷的代数和。
E E0 E
d
E
ds
S
q0内
定义电介质的介电常数与电场 强度的乘积为电位移矢量,
即：D E
则有介质时 的高斯定理：
D ds
S
q0（内）
(1) 引入电位移通量后，有介质时的高斯定理可以表述 为：“在任意电场中，通过任意一个闭合曲面的电位移 通量等于该面所包围的自由电荷的代数和”。
空间S中，
对于一个金属
电场为零
导体包围的空间 S ，当
空间外有电荷 Q 时，由
于有导体包围，空间内的
Q
+
电场等于零，避免了空间
外电荷对内部的影响；
－
－－ －
－
++ + +
+ ++
另一方面，如果该空间内
有电荷 q ，由于静电感应，导体内、
外表面将出现等量异号的感应电荷， 但一旦将导体接地，外表面的电荷 将消失，从而避免了空间内电荷对 外部的影响。这就是静电屏蔽原理。
D
2r
，
( R1
r
R2 )
R1
R2
r
E1
D
0 r1
， 2 0 r1r
( R1
r
R)
E2
D
0 r2
， (R r 2 0 r2r
R2 )
§ 7- 4 电容器 电容器的并联和串 联
一、电容器
（1）孤立导体的电容：
孤立导体：一个导体，周围没有其他导体。
孤立导体：当孤立导体带有电荷 Q 时，导体有电势 V
解：由于电场具有球对称性，同时已知自由电荷的分布，所以 用有介质时的高斯定理来计算球外的场强是方便的。
（理1知）：如S D图 所ds示，q过0 P点作与金属球同心的球面S，由高斯定
所以
4r 2 D q0
即 D q0
4r 2 S
++ ++
P
因 D E，所以P点的场强为：
E D q0 q0
dS
q0
4r 2 q0
4 0 r r 2 S
4 0 r r 2
0 r
于是
q0
0 r
1（q
0
0
q）
由此得：
q
（1
1
r
）q0
例2 同轴电缆R1，R2，其间充满电介质 r1，r2 ，分界的半径R。
求：电缆各区域的电场强度.
解：内外电缆线密度 ,在介质中做底面半径为r 长为l 的圆柱面，
有
SD dS D 2rl l
沿电力线作积分
b a E dl U ab 0
这与导体
是等势体相矛盾，故内表面不会有净电荷。
2）导体空腔内有其它电荷时，内表面上 会有等量异号的净电荷。（证明同上，略）
q q
2、导体表面电荷面密度与场强的关系
设金属表面的电荷面密度为 σ ，
表面附近的场强为 E ，为求两者
间的关系，做一个底面为△S的圆
3、导体表面电荷面密度与曲率的关系
导体表面曲率越大处电荷面密度越大,例尖端放电现象。
总之，静电平衡后导体上的电荷分布
（a）实心导体的情况
1、导体内部的电荷分布
(b) 空心导体的情况
2、导体表面电荷面密度与场强的关系 E 0
3、导体表面电荷面密度与曲率的关系
导体表面曲率越大处电荷面密度越大
三、静电屏蔽
要特别强调的是，电容器的电容值，仅决定于电容器 的性质，即极板的形状、大小、相互距离以及中间所充的电 介质，与是否带电等无关。
下面我们以求柱形电容器的
电容为例，说明求电容值的一般过程： － +
首先，设电容器的内、
－+
外极板带有电荷 +q 和 -q ，单位
－+
长度上的电荷为 λ=q / l ；
－+
其次，用前面已学过的知识
求出两极板间，半径为 r 处电场的
－+ －+
值：
E q
2 r 2 lr
+－ +－
r +－ l
+－ +－ +－
然后，通过电场的分布求出两极板间的电势差：
U A U B
RB Edr
RA
+－
－－－q
－ －
－
四、有导体存在时静电场的分析和计算
例1 一个不带电的金属球壳的内、外半径分别为 R 1 和 R 2 ，今在中心处放一电量为 q 的金属球（半径为r0），
则金属球壳的内、外表面带电量各为多少？空间各点处
场强如何分布？金属球壳和金属球的电势各为多少？
解 ：（1）根据导体静电平衡条件，设导体
R 40r 2
Q
4 0 R
所以，
真空中导体球的电容为C
Q V
4 0 R
如果我们将地球视为一个导体，其电容值仅为：
4×3.14×8.85×10 -12×6400 ×103≈7 ×10-4F=700
μF
（2）电容器 (孤立导体的情况一般是不存在的) A+
+
若空间中 A、B 两导体相距足够近，
+ +
总带有等量异号的电荷，则称这两块导体组成
+
由于电荷中心重合，可以进行如图简化：
+ －± +
有极分子包括HC l、NH3、 CO和H2O等。没有
外电场时，分子的正负电荷中心也不重合，可以简
+
化为一个电偶极子。
以水分子为例，两个氢离子带正电， 碳离子带负电，正、负电荷总量是相等的，但 中心不重合，可以进行如图的简化。
－＋
(1) 无极分子的极
缚电荷产生的场强的矢量和。
--Q E0 +Q
—+
—+
—+ +
—
E′ —
+
—+
—+
+ —
+
— —+
E E0 E' E0
E E0 r E0
E
§ 7 － 3电介质中的电场 有电介质 时的高斯定理 电位移
一、电介质中的电场 电介质中的电 E E0 E
二场、：有介质时的高斯定理
据真空中的高斯定理，通过闭合 曲面的电通量为：
(2) 电位移矢量 D 是一个辅助物理量，真正有物理意义
几 的是电场强度矢量 E，引入 D 的好处是在高斯定理的表 点 达式中，不出现很难求解的极化电荷； 说 (3) 与电力线的概念一样，我们可以引入电位移线来描述 明：D 矢量场，同时计算通过任意曲面的电位移通量，不过要
注意，D 线与 E 线是不同的；见书P186 图7-22
(4) 电位移的单位是“库仑 每平方米”，符号为：C/m 2 ，（这也就是电荷面密度的单位），其量纲是 I L 2T 。
例1 一金属球体，半径为R，带有电荷q0，埋在均匀“无限大” 的电介质中（介电常数为ε），求： （1）球外任意一点 P的场强；（2）(不讲)与金属球接触处的电介质表面上的
极化电荷。
E
－ 0－
起正电荷 q ，-q 、q 称为感应电荷。
A
感应电荷要建 立起附加电场 E ，导体中的
总则自电由场电为子E将0继续E定 向，移如动果E，0感应E电 荷0增加，，
附加电场加强，直到E0 E 0
，称
－ － － － －
-q
导体达到了静电平衡。
+
+
－
+
E +++
+
q
2、导体静电平衡的条件
E内
4 r 2 4 0 r r 2
（2）设与金属球接触的电介质表面的极化电荷为-q’，
在球面S内有自由电荷q0及极化电荷-q’，应用真空中的
高斯定理于球面S：
1
E dS
S
0
q
1
(q 0
0
q)
由第一问的结论有： SE dS SEdS
－ －+ + +－
－+－+q-0+q－’++－－
q0
§7-1 静电场中的导体
一、静电感应 导体的静电平衡条件
1、金属导体的特征及静电感应现象
金属导体的特征：有大量的自由电子，无外场时，自由电子的
负电荷与金属离子的正电荷均匀分布，导体呈电中性。
静电感应现象：导体进入外场 E 0 后，自
由电子将在电场力的作用下定向运动，在靠
近A的一端堆积起负电荷- q ，另一端堆积
柱形高斯面，底面与导体表面平行， 下底面在导体内。由高斯定理有：
σ
E
△S
E ds E ds E ds E ds
上底
下底
侧面
ES S 0
所以：E 0
注意：式中的 E 是表面附近的总电场，虽然其大小只与导体
表面该处的电荷面密度有关，但它是由导体表面的电荷，以及
其他电荷共同产生的。
q
V壳
R2 E4 dl
R2 4 0r 2 4 0 R2
设金属球的电势为V球 ，则：
V球
R1 r0
E2
dl
R2
0
dl
R1
R2 E4 dl
R2
R1
R1 qdr q
r0 4 0r 2 4 0 R2
q r0
q (1 1 ) q
4 0 r0 R1 4 0 R2
q 11 1
( )
4 0 r0 R1 R2
EV
电势曲线 电场曲线
0
r0
R1 R2
r
容易看出：电势的变化是连续的，而电场的变化是不连续的
例2见讲稿
§7－2 电介质的极化
一、电介质的极化
1、电介质：就是绝缘体。
特点：（1）内部没有可以自由移动的电荷；
影响，
（2）放入电场中的电介质，要受到电场的
2、电介质对电场的影响: E 同时E也0 影r响电场。
F1
作用而发生偏转，电偶极矩转向外场方
向。所以，这种极化称为转向极化。
F2
总的表现在两种电介质表面出现束缚电荷
束缚电荷（或叫极化电荷）：电场中的电介质表面出现的电荷。不 能自由移动，但也能向 整个空间激发电场。
在外电场中，电介质表面出现束缚电荷的现象，叫电介质的极 化。
因而,空间的合场强=所有自由电荷产生的场强与所有束
作过 r 处
的高斯面S1
S1
E2
ds
q
0
得
E2
q
4 0r 2
在金属球壳内（R1< r < R2时）：电场 E3 0
在金属球壳外（ r > R2时）： 作过 r 处的高斯面 S 2
S 2
E4
ds
Q1
Q2
0
q
q
0
得
q
E4 4 0r 2
（3）设金属球壳的电势为V壳 ，则：
qdr
球壳内表面（R 1 处）所带电量为 Q1 ，则
Q1 + q = 0 得： Q1 = - q
同时，导体球壳外表面（ R 2 处）将感应出
R2 R1
q r0
Q 2 = - Q 1 = q 的电荷。
（2）在金属球内（ r < r 0 时）：电场E1 0
在金属球壳与导体球之间（r0 < r < R1时）：
第七章 静电场中的导体和电介质
§7－1 静电场中的导体
§7－2 电容器 电容器的并联和串联 §7－3 电介质的极化
§7－4 电介质中的电场 电位移
§7－5 电场的能量
有电介质时的高斯定理
Байду номын сангаас
教学要求：
1.掌握导体静电平衡条件，能用该条件分析带电导 体在静电场中的电荷分布；求解有导体存在时场强 与电势的分布问题； 2. 了解电介质的极化机理，了解电位移矢量的物 理意义及有电介质时的高斯定理； 3. 理解电容的定义，能计算简单形状电容器的电 容； 4. 理解带电体相互作用能，计算简单对称情况下 的电场能量。
一个电容器，导体 A、B 称为电容器的两个极
+q
+ +
－ －
B －－ -q
－
板。
常见的电容器，按其极板的形状有： 平行板电容器、球形电容器和柱形电容器等。
当极板带有电荷 q 时，两极板间
有相应的电势差 U A-UB ，定义电容器的
电容值为：
UA
UB
C q UA UB
其中 U A、UB 分别是两个极板的电势。