九年级数学教案-锐角三角形(1)

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北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教学设计1一. 教材分析《锐角三角函数》是北师大版数学九年级下册第一章第一节的内容。

本节课的主要内容是引导学生通过锐角三角函数的定义，了解正弦、余弦、正切函数的概念，并会进行简单的计算。

这一节内容是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

在教材中，通过大量的实例，让学生感受三角函数在实际问题中的应用，从而培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念有一定的了解。

但是，对于三角函数的定义和应用，可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例，理解三角函数的概念，并能够运用三角函数解决实际问题。

三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握正弦、余弦、正切函数的概念。

2.能够运用三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的概念。

2.难点：运用三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.实例教学：通过实际问题，引导学生理解三角函数的定义和应用。

2.小组讨论：让学生在小组内讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。

3.练习巩固：通过大量的练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六. 教学准备1.教材：北师大版数学九年级下册。

2.课件：相关的教学课件。

3.练习题：相关的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入三角函数的概念。

例如，一个直角三角形，一个锐角为30度，斜边长为1，求这个三角形的两条直角边的长度。

让学生思考，如何解决这个问题。

2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，呈现三角函数的定义和概念。

引导学生理解，三角函数是描述直角三角形中，角度和边长之间关系的一种数学工具。

讲解正弦、余弦、正切函数的定义，并通过动画演示，让学生直观地理解这三个函数的定义。

3.操练（10分钟）让学生进行一些相关的练习题，巩固所学的知识。

教师可以通过多媒体课件，展示解题过程，引导学生正确解题。

24.1锐角的三角函数(第一课时)教案

24.1锐角的三角函数——锐角的正切(第一课时)授课对象: 中学九年级班教学安排:一课时授课教师:一、教学背景分析（一）教材分析：1．教材的地位及作用《锐角的三角函数》是沪科版九年级数学上册第24章第一节的内容。

锐角的三角函数的概念是以前面学习的相似三角形、勾股定理的知识为基础的，本章内容是三角学中最基础的内容，也是今后进一步学习三角学的必要知识准备。

2.教材处理本节教材共分三课时完成，；第一课时是正切概念的建立及其简单应用；第二课时是正弦、余弦概念的建立及其简单应用；第三课时是综合应用。

（二）学情分析：九年级的学生具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。

通过以前的合作学习，具备了一定的合作交流的能力.二、教学目标知识与技能： 1. 理解锐角正切（tanA）、坡度、坡角的意义；2．学会根据定义求锐角的正切值．过程与方法： 1. 经历锐角的正切的探求过程，体会数形结合的思想方法．2．三角函数的学习中，初步体验探索、讨论、论证对学习数学的重要性。

情感态度价值观：1. 在活动中培养学生乐于探究、合作交流的习惯。

2. 感受数学来源于生活又应用于生活，从而激发学生学习数学的兴趣。

三、教学重、难点教学重点：锐角的正切、坡度、坡角的定义。

教学难点：理解Rt△中一个锐角的对边与其邻边比值的对应关系。

四、教学用具多媒体课件（PPT）、几何画板五、教学过程（一）创设情境、导入新课(5分钟)利用多媒体播放“人民英雄纪念碑——民族的自豪”短片，引导学生思考：如何测量出人民英雄纪念碑的高度呢？要求学生自主探究，积极思考，回答测量高度的方法，教师引导学生分析，如直接测量法和相似法的弊端，从而导入新课——锐角的正切。

（板书课题）【设计意图】通过视频的展示，让学生身临其境地感受人民英雄纪念碑的雄伟，激发学生强烈的爱国热情和民族自豪感，同时，通过对纪念碑高度的测量自然地导入今天的教学重点。

体现新课标的要求：在关注学生数学学习水平的同时，关注学生德育教育和情感态度的发展。

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1

北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级下册1.1《锐角三角函数》是学生在初中阶段学习三角函数的起点，起着承前启后的作用。

本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及概念，通过生活中的实例让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材以实例引入，引导学生探究锐角三角函数的定义，并通过自主学习、合作交流的方式，让学生掌握锐角三角函数的基本概念和性质。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念有一定的理解。

但是，对于锐角三角函数的理解还需要通过具体的实例和生活情境来引导学生。

学生在学习过程中，需要通过合作交流、自主探究的方式，掌握锐角三角函数的定义和性质。

此外，学生还需要在学习过程中，培养运用数学知识解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的基本概念和性质。

2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高运用数学知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的合作交流、自主探究能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.教学重点：锐角三角函数的定义及概念。

2.教学难点：锐角三角函数的性质和运用。

五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。

2.自主学习：引导学生通过自主学习，掌握锐角三角函数的定义和性质。

3.合作交流：学生进行合作交流，分享学习心得和解决问题的方法。

4.实践操作：让学生通过实际操作，加深对锐角三角函数的理解。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，辅助讲解和展示。

2.实例素材：收集生活中的实例，用于引导学生感受锐角三角函数的应用。

3.练习题库：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程导入（5分钟）1.利用实例引入：展示一些生活中的实例，如测量国旗的高度、计算房屋的面积等，引导学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用。

九年级数学下册第28章锐角三角函数复习教案人教新课标版教案

第28章锐角三角函数复习教案锐角三角函数（第一课时）教学三维目标：一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。

二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。

三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。

教材分析：1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切教学程序：一．探究活动1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。

2．归纳三角函数定义。

siaA=斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边的对边A A ∠∠3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。

4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 归纳结果2. 求下列各式的值（1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)004530cos sia +ta60°-tan30°三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=23,AC=23,求AB 四．小结五．作业课本解直角三角形应用（一）一．教学三维目标 (一)知识目标使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．(二)能力训练点通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．(三)情感目标渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边．三、教学过程 (一)知识回顾1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=ba(2)三边之间关系a 2+b 2=c 2(勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）探究活动1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．3．例题评析例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 2 a=6，解这个三角形．例2在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b= 20 B ∠=350，解这个三角形（精确到0.1）．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．例 3在Rt △ABC 中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形． (三) 巩固练习在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，BAC ∠的平分线AD=43，解此直角三角形。

九年级数学下册电子版教案(人教版)

九年级数学下册电子版教案（人教版）第一章：锐角三角形1.1 锐角三角形的定义和性质理解锐角三角形的定义掌握锐角三角形的性质能够判断一个三角形是否为锐角三角形1.2 锐角三角形的判定学习判定一个三角形为锐角三角形的方法能够运用判定方法解决实际问题第二章：直角三角形2.1 直角三角形的定义和性质理解直角三角形的定义掌握直角三角形的性质能够判断一个三角形是否为直角三角形2.2 直角三角形的应用学习直角三角形在实际问题中的应用能够运用直角三角形的性质解决实际问题第三章：钝角三角形3.1 钝角三角形的定义和性质理解钝角三角形的定义掌握钝角三角形的性质能够判断一个三角形是否为钝角三角形3.2 钝角三角形的应用学习钝角三角形在实际问题中的应用能够运用钝角三角形的性质解决实际问题第四章：等腰三角形4.1 等腰三角形的定义和性质理解等腰三角形的定义掌握等腰三角形的性质能够判断一个三角形是否为等腰三角形4.2 等腰三角形的应用学习等腰三角形在实际问题中的应用能够运用等腰三角形的性质解决实际问题第五章：勾股定理5.1 勾股定理的定义和证明理解勾股定理的定义学习勾股定理的证明方法能够运用勾股定理计算直角三角形的边长5.2 勾股定理的应用学习勾股定理在实际问题中的应用能够运用勾股定理解决实际问题第六章：三角形的内角和6.1 三角形的内角和定理理解三角形内角和定理的内容学会运用内角和定理解决三角形角度问题能够计算任意三角形的内角和6.2 三角形内角和的应用探讨内角和定理在实际问题中的应用能够运用内角和定理解决实际问题第七章：平行四边形7.1 平行四边形的定义和性质理解平行四边形的定义掌握平行四边形的性质能够判断一个四边形是否为平行四边形7.2 平行四边形的判定学习判定一个四边形为平行四边形的方法能够运用判定方法解决实际问题第八章：矩形、菱形和正方形8.1 矩形的性质和判定理解矩形的性质学会判定一个四边形为矩形能够运用矩形的性质解决实际问题8.2 菱形的性质和判定理解菱形的性质学会判定一个四边形为菱形能够运用菱形的性质解决实际问题8.3 正方形的性质和判定理解正方形的性质学会判定一个四边形为正方形能够运用正方形的性质解决实际问题第九章：相似三角形9.1 相似三角形的定义和性质理解相似三角形的定义掌握相似三角形的性质能够判断两个三角形是否相似9.2 相似三角形的判定学习判定两个三角形相似的方法能够运用判定方法解决实际问题9.3 相似三角形的应用探讨相似三角形在实际问题中的应用能够运用相似三角形的性质解决实际问题第十章：解三角形10.1 解三角形的概念和方法理解解三角形的概念学会解三角形的方法能够解任意三角形10.2 解三角形的应用探讨解三角形在实际问题中的应用能够运用解三角形的方法解决实际问题第十一章：概率初步11.1 概率的定义和计算理解概率的定义学会计算简单事件的概率能够运用概率解决实际问题11.2 概率的性质和规则掌握概率的基本性质和规则能够运用概率的性质和规则解决实际问题第十二章：统计初步12.1 统计的概念和图表理解统计的基本概念学会制作和解读统计图表能够运用统计方法解决实际问题12.2 描述性统计和推断性统计学习描述性统计和推断性统计的基本方法能够运用描述性统计和推断性统计解决实际问题第十三章：数据的收集和处理13.1 数据的收集方法学习数据的收集方法能够运用不同的方法收集数据13.2 数据的处理和分析学会对数据进行处理和分析能够运用数据处理和分析的方法解决实际问题第十四章：函数的概念和性质14.1 函数的定义和性质理解函数的定义掌握函数的性质能够判断一个关系是否为函数14.2 函数的图像和解析式学习函数的图像和解析式能够绘制和解读函数的图像第十五章：初等函数的应用15.1 一次函数和二次函数的应用学会应用一次函数和二次函数解决实际问题能够运用一次函数和二次函数的性质解决实际问题15.2 其他初等函数的应用探讨其他初等函数在实际问题中的应用能够运用其他初等函数的性质解决实际问题重点和难点解析本文档涵盖了九年级数学下册（人教版）的全部教学内容，分为前十个章节和后十个章节。

新人教版九年级数学锐角三角函数教案

新人教版九年级数学锐角三角函数教案新人教版九年级数学锐角三角函数教案1一、复习巩固：1、在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，则BC：AC：AB = 。

2、在△ABC中，∠C=90°。

(1)已知∠A=30°，BC=8cm， (2)已知∠A=60°，AC= cm，求：AB与AC的长; 求：AB与BC的长。

二、例题学习：问题1：“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min。

小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光，2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)?拓展延伸：1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m?2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中?思考与探索1：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东60°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离。

概念：仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

问题2：为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为30°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为45°。

若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢?思考与探索(2)：大海中某小岛的周围10km范围内有暗礁。

一艘海轮在该岛的南偏西55°方向的某处，由西向东行驶了20km后到达该岛的南偏西25°方向的另一处。

如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗?三、板演练习1、如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB'的位置时，∠BAB'=30°。

问这时摆球B'较最低点B升高了多少?2、飞机在一定高度上飞行，先测得正前方某小岛的俯角为30°，飞行10km后，测得该小岛的俯角为60°，求飞机的高度。

九年级数学上册《锐角三角函数》教案、教学设计

3.小组合作题需充分发挥团队协作精神，共同完成任务；
4.作业完成后，请学生认真检查，确保答案的正确性。
4.利用信息技术手段，如动态课件、网络资源等，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣和积极性。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生的学习热情，提高学生的自主学习能力。
2.通过解决实际问题，使学生认识到数学知识在实际生活中的重要作用，增强学生的应用意识。
3.培养学生勇于探索、克服困难的精神，提高学生的自信心和自尊心。
九年级数学上册《锐角三角函数》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.使学生掌握锐角三角函数的定义，理解正弦、余弦、正切函数的概念，并能够运用这些概念进行简单的计算。
2.培养学生运用三角函数解决实际问题的能力，如测量物体的高度、计算角度等。
3.使学生掌握特殊角的三角函数值，并能熟练运用到实际问题中。
（2）运用三角函数解决实际问题，尤其是将实际问题抽象为数学模型，并运用三角函数进行求解；
（3）掌握特殊角的三角函数值，并能灵活运用到实际问题中。
（二）教学设想
1.教学策略：
（1）采用情境教学法，创设实际问题情境，引导学生主动探究锐角三角函数的定义和性质；
（2）运用任务驱动法，设计具有挑战性的任务，让学生在实践中掌握三角函数的计算方法和应用；
（3）了解三角函数在其他学科领域的应用，如物理、工程等。
4.小组合作题：
（1）分组讨论：如何利用三角函数解决实际问题？举例说明；
（2）小组合作完成一份关于锐角三角函数在实际问题中应用的报告。
作业要求：
1.学生需独立完成基础题，提高题和拓展题可根据个人能力选择完成；
2.作业过程中，要求学生注重解题思路和方法的总结，养成良好的学习习惯；

28.1锐角三角形(教案)-九年级下学期数学教材解读(人教版)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解锐角三角形的基本概念。锐角三角形是三个内角都小于90度的三角形。（详细解释概念）。它在几何学中非常重要，因为它的性质和比例关系在解决实际问题中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了锐角三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观与空间想象能力，通过观察和分析锐角三角形的性质，使其能够理解和运用几何图形的特征解决问题。
2.强化学生的逻辑推理与数学论证能力，引导学生通过严密的逻辑推理判定锐角三角形，并能运用已知条件和几何定理进行证明。
3.提升学生的数学运算与数据分析能力，使学生能够熟练运用锐角三角形的特殊角和边长关系进行计算，解决实际问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“锐角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-例如：利用30°-60°-90°三角形的性质，引导学生理解边长比例关系，并能够运用到实际问题中。
-锐角三角形的实际应用：学会将理论知识应用于解决实际问题，如测量角度、计算边长等。
-例如：通过设计实际情境题，让学生运用锐角三角形的性质和比例关系来解决生活中的问题。
2.教学难点
-理解锐角三角形内角和边长的关系：对于部分学生来说，理解内角和与边长之间的相互关系可能存在困难。
- 45°角

初中数学教学课例《锐角三角函数(第1课时)》教学设计及总结反思

度、坡度（坡比）等.3.能够根据直角三角形的边角关
系，用正切进行简单的计算.
在直角三角形中，用一个锐角的对边与邻边的的比
学生学习能来定义正切是合理的.在问题解决的过程中，要渗透数
力分析形结合等数学思想方法，发展学生的几何直观能力和符
号感.由于不同学生对问题的理解是不一样的，教师应
尊重学生间的差异，不要急于否定学生的答案，而要鼓
如下图，小明说，只要测得垂直中心线、塔身中心教学过程
线的长度及塔顶中心点偏离垂直中心线的距离这三个
数据中的任意两个，他就可以计算出塔身倾斜角的大
小.你想知道小明是如何做的吗？那么，我们一起来学
习新知识吧.通过本章的学习，你就会明白小明这样做
的道理.
本课时结合学生身边的数学现象，依据初中学生身
心发展的特点，通过介绍求比萨斜塔的倾斜角入手引入
教育技术实验的方法，借助几何画板，通过几何直观，
帮助学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实存
在着一定的关系，最终探索出直角三角形中，一个锐角
的对边与邻边的比是随锐角的变化而变化的.
1和与现实生活的联系.2.能够用三角函数表示
教学目标直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程
初中数学教学课例《锐角三角函数（第 1 课时）》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《锐角三角函数（第 1 课时）》
称
本课是九年级下册第一章第一节《锐角三角函数》
的第一课时.先由学生基于生活经验直观感受、判断梯
子的倾斜程度，然后通过不易于判断的个例呈现给学
生，引导学生进行简单的演算、比较、推理，教师采用教材分析
新课，激发了学生的求知欲.为了突破教学难点，教学课例研究综

24.3 锐角三角函数华师大版数学九年级上册教案

24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数第1课时锐角三角函数的定义※教学目标※【知识与技能】了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的作用.【情感态度】1.通过学习培养学生的合作意识.2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.【教学重点】锐角三角函数的概念.【教学难点】锐角三角函数的概念的理解.※教学过程※一、情境导入如图（1），图（2）都可以用来测量物体的高度.这两个问题的解决，将涉及直角三角形中的边角关系.直角三角形中，它的边与角有什么关系？通过本节的学习，你就会明白其中的道理，并能应用所学知识解决相关的问题.二、探索新知1.某个角的对边、邻边的概念.在Rt△ABC中，直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另两边直角边为∠A的对边与邻边，分别用a、b表示（如图）.2.做一做.（1）画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°，那么∠A的对边与斜边的比值是多少？量一量、算一算.（2）你画的三角形与你同伴画的三角形全等吗？不全等时，比值有什么关系？和你的同伴交流一下.（3）若∠A=45°、60°时，则∠A对边与斜边之比是多少？结论：在Rt△ABC中，只要一个锐角的大小不变（如∠A=30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值.经过验证，在Rt△ABC中，当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与邻边的比值还是一个固定值，与Rt△ABC的大小无关.说明：观察图中的Rt△AB 1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知Rt△AB1C1Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3.∴==可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的.同样，其对边与斜边，邻边与斜边的比值也是唯一确定的.3.锐角三角形函数的定义∠A的正弦：sinA=∠A的余弦：cosA=∠A的正切：tanA=∠A的正弦、余弦、正切统称为锐角∠A的三角函数.4.知识拓展（1）正弦与余弦三角函数值的取值范围.∵直角三角形中，斜边大于直角边.∴0<sinA<1,0<cosA<1.(2)同角三角函数关系sin2α+cos2α=1;tanα=.(3)互余两角的三角函数值若α、β都是锐角，且α+β=90°,那么：sinα=cosβ,cosα=sinβ.三、巩固练习【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=8.试求出∠A的三个三角函数值.解：AB==17,sinA=,cosA=,tanA=.【练习】1.如图，在Rt△MNP中，∠N=90°，则：∠P的对边是，∠P的邻边是；∠M的对边是，∠M的邻边是.第1题图第2题图2.如图，在Rt△DEC中，∠E=90°，CD=10，DE=6.试求出∠D的三个三角函数值.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.根据下列所给条件，分别求出∠B的三个三角函数值：（1）a=3,b=4;(2)a=5,c=13.答案：1.MN PN PN MN2.由勾股定理,得CE=8,所以sinD=,cosD=,tanD=.3.(1)sinB=,cosB=,tanB=.(2)sinB=,cosB=,tanB=.四、应用拓展【例2】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=,BC=3,求AB、AC的值.解：∵sinA=,∴AB=,∴AC=.【例3】如图，已知α为锐角，sinα=,求cosα、tanα的值.解：方法一：用定义法求解∵sinα=,∴设BC=3x,则AB=5x.由勾股定理，得AC=4x.∴cosα=,tanα=.方法二：用公式求解∵α为锐角，∴cosα==,tanα=.五、归纳小结1.正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中相对其锐角而定义的，其本质是两条线段长度之比，理解好这三个概念是学好本章的关键；2.正弦、余弦、正切实际上都是比值，没有单位，它们只与锐角α的大小有关，与三角形的边长无关；3.对于每一个锐角α的确定的值，它的正弦、余弦和正切都有唯一确定的值与之对应；反之，对于每一个确定的正弦、余弦和正切值，都有唯一的锐角与之对应.※课后作业※1.教材第111页习题24.3第1、2题.2.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=,求的值.第2课时特殊角的三角函数值※教学目标※【知识与技能】1.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.【过程与方法】培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.【情感态度】经历观察、操作、归纳等学习数学过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性，说理过程的严谨性，养成科学的、严谨的学习态度.【教学重点】特殊角的三角函数值.【教学难点】与特殊角的三角函数值有关的计算.※教学过程※一、复习引入在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,AB=2,求∠A、∠B的三个三角函数值.回顾锐角三角函数的定义；直角三角形的性质.二、探索新知在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，如图，试求两个锐角的三个三角函数值.解：在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半.所以，若设30°角所对的直角边为1，即BC=1,则AB=2，由勾股定理得：AC=.由三角函数定义,得sin30°=.cos30°=.tan30°=.同理可得sin60°=,cos60°=,tan60°=.2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B=45°，如图，试求45°角的三角函数值.若设AC=BC=1.则AB=.易得sin45°=,cos45°=,tan45°=1.【例1】求值：sin30°·tan30°+cos60°·tan60°.解：原式=.【例2】在Rt△ABC中，若sinA=,则cos的值是多少？解：由sinA=知A=60°.∴cos=cos30°=.三、巩固练习1.在△ABC中，若cosA=,tanB=，则此三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.用特殊角的三角函数填空：= = ;= = ;1= ;= .3.化简= .4.点M（-sin60°,cos60°）关于x轴对称的点的坐标是.5.求下列各式的值：（1）sin260°+cos260°;(2)2cos60°+2sin30°+4tan45°;(3).6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=，BC=.求∠A的大小.答案：1.A 2.sin60° cos30° sin45° cos45°tan45° tan60° 3. 4.5.(1)1 (2)6 (3)6.∠A=45°四、应用拓展1.你能求出tan15°的值吗？如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至D，使BD=AB，则∠D=15°.设AC=k,则AB=2k,BC=k,所以CD=BC+BD=BC+AB=(2+)k,所以tan15°===2-.2.仿上面的解题方法，易求tan22.5°=-1.※课后作业※1.教材第111页习题24.3的第3题.2.若∠A、∠B是△ABC的两个内角且满足关系式=0,求∠C的度数.3.若α为锐角，且tan2α-(1+)tanα+1=0.求α的度数.2.用计算器求锐角三角函数值※教学目标※【知识与技能】1.会使用计算器求锐角三角函数的值.2.会使用计算器根据锐角三角函数的值求对应的锐角.【过程与方法】在做题、计算的过程中，逐步熟练计算器的使用.【情感态度】经历计算器的使用过程，熟悉其按键顺序.【教学重点】利用计算器求锐角三角函数的值.【教学难点】计算器的按键顺序. ※教学过程※一、复习引入填表：由上表我们可以直接写出30°，45°，60°角的三角函数值及由特殊值写出相应的锐角.对一些非特殊的角，怎样求它的三个三角函数值呢？二、探索新知1.求锐角三角函数值【例1】求sin63°52′41″的值（精确到0.0001）.解：如下方法将角度单位状态设定为“度”：再按下列顺序依次按键：显示结果为0.897859012.∴sin63°52′41″≈0.8979.【例2】求tan19°15′的值（精确到0.0001）.解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,按下列顺序依次按键：显示结果为0.3492156334.∴tan19°15′≈0.3492.2.由锐角三角函数值求锐角.【例3】若tanx=0.7410,求锐角x.（精确到1′）解：在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示出）,按下列顺序依次按键：显示结果为36.53844577.再按键,显示结果为36°32′18.4″.所以x≈36°32′.三、巩固练习1.利用计算器求下列三角函数值：（精确到0.0001）（1）sin24°;(2)cos51°42′20″;(3)tan70°21′.2.已知下列锐角α的各三角函数值，利用计算器求锐角α：（精确到1′）（1）sinα=0.2476;(2)cosα=0.4174;(3)tanα=0.1890.答案：1.（1）0.4067 (2)0.6197 (3)2.8006 2.(1)14°20′(2)65°20′(3)10°42′※课后作业※1.教材第111页习题24.3的第4、5题.2.比较大小.cos25° cos32°,tan29° tan39°.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=29，AC=25，求∠A的度数.。

1.1 锐角三角函数第1课时(教案)-北师大版数学九下

第1节锐角三角函数第1课时正切1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.2.理解锐角三角函数(正切、正弦、余弦)的意义,并能够举例说明.3.能够运用tan A,sin A,cos A表示直角三角形中两边的比.4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.【重点】1.理解锐角三角函数的意义.2.能利用三角函数解三角形的边角关系.【难点】能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.【重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.【难点】理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】1.自制4个直角三角形纸板.2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.导入一:课件出示:你知道图中建筑物的名字吗?是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.【引入】应该如何来描述它的倾斜程度呢?学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.[设计意图]创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.导入二:课件出示:四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长(平直的)分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.【问题】四个滑梯中哪个滑梯的高度最高[设计意图]利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.(一)探究新知请同学们看下图,并回答问题.探究一:问题1课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?小组讨论后展示结果:1组:梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.师:哪组还有不同的判定方法?2组:我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.3组:我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB 交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.4组:我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.探究二:问题2课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.问题3课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎么判断的?多给学生思考和讨论的时间.代表发言:AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.教师引导:我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?请继续探究下面的问题.问题4课件出示:在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?教师引导:我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢生讨论后得出:思路1:梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.思路2:梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.师生共同总结:在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB 和EF 的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.做一做:请通过计算说明梯子AB 和EF 哪一个更陡呢?生独立解答,代表展示:∵==,==,<,∴梯子EF 比梯子AB 更陡.[设计意图]通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.[知识拓展]梯子的倾斜程度的判定方法:(1)梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.(2)梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.(二)再探新知课件出示:【想一想】如图所示,小明想通过测量B 1C 1及AC 1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B 2C 2及AC 2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系生很容易得出两个三角形相似.由生说明理由:∵∠B 2AC 2=∠B 1AC 1,∠B 2C 2A =∠B 1C 1A =90°,∴Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2.(2)和有什么关系?由于Rt△AB 1C 1∽Rt△AB 2C 2,所以有=.(3)如果改变B 2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?生先独立思考后分组讨论.生得出结论:改变B 2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.想一想:现在如果改变∠A 的大小,∠A 的对边与邻边的比值会改变吗?生讨论得出:∠A 的大小改变,∠A 的对边与邻边的比值会改变.∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.【总结提升】由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:如图所示,在Rt△ABC 中,如果锐角A 确定,那么∠A 的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A 的正切(tangent ),记作tan A ,即tan A =.当锐角A变化时,tan A的值也随之变化.能力提升:如果∠A+∠B=90°,那么tan A与tan B有什么关系?生讨论得出结论:tan A=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.【议一议】前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tan A有关系吗?学生思考后,统一答案:tan A的值越大,梯子越陡.(反之,梯子越陡,tan A的值越大)[设计意图]此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.[知识拓展]正切的注意事项:(1)tan A是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.(2)tan A没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.(3)tan A不表示“tan”乘以“A”.(4)初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.(教材例1)如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?想一想:要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?生思考后得出:比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.要求学生独立解答,代表展示:解:甲梯中,tanα==.乙梯中,tanβ==.因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.[设计意图]通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.课件出示:如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度(即tanα)就是: i=tanα==.结论:坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),tanα=,即坡度等于坡角的正切.[设计意图]正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.[知识拓展]坡度与坡面的关系:坡度越大,坡面越陡.(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tan A等于()A.B. C. D.解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tan A=.故选B.2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是()A.B.C.D.解析:认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.3.(2014·温州中考)如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tan A的值是.解析:tan A==.故填.4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶(坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AB的长是.解析:在Rt△ABC中,BC=5,tan A=1∶,∴AC=5,∴AB==10(m).故填10m.第1课时(1)正切的定义:tan A=.(2)梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系):tan A的值越大,梯子越陡.(3)坡度(或坡比)的定义:i=tanα=.一、教材作业【必做题】1.教材第4页随堂练习第1,2题.2.教材第4页习题1.1第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tan A的值为()A. B. C. D.2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了()A.500mB.200mC.500mD.1000m3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为m.【能力提升】4.(2015·山西中考)如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是()A.2B.C.D.5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为.6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tan B的值.7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图所示).如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.【拓展探究】8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.【答案与解析】1.D(解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tan A===.故选D.)2.B(解析:设铅直高度为x m,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2x m,由勾股定理得x2+(2x)2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.)3.10(解析:∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.)4.D(解析:如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tan B==.故选D.)5.(解析:如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.)6.解:如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tan△ABCB===.7.解:在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+(2.4AD)2=132,∴AD=±5(负值不合题意,舍去),∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3(m).答:改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.8.解:如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.随堂练习(教材第4页)1.解:能.tan C====.2.解:根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.习题1.1(教材第4页)1.解:∵BC===12,∴tan A==,tan B==.2.解:∵tan A==,BC=3,∴AC=BC=.4.tan A=.学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系),在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.〔解析〕如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.解:如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.∵四边形ABCD为梯形,∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.∴四边形DCFE为矩形.在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4(m).故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16(m).答:路基底部AB的宽为16m.[解题策略]此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形.。

浙教版数学九年级下册《1.1 锐角三角函数》教案1

浙教版数学九年级下册《1.1 锐角三角函数》教案1一. 教材分析《1.1 锐角三角函数》是浙教版数学九年级下册的第一节内容。

本节课主要介绍了锐角三角函数的定义及性质，包括正弦、余弦、正切函数。

通过本节课的学习，使学生了解锐角三角函数的概念，理解锐角三角函数的性质，培养学生运用锐角三角函数解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数、相似三角形等知识，具备了一定的函数观念和几何知识。

但对于锐角三角函数的定义和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

三. 教学目标1.了解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义。

2.理解锐角三角函数的性质，能够运用锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义及性质。

2.难点：锐角三角函数的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究锐角三角函数的定义和性质。

2.利用几何画板等软件，直观展示锐角三角函数的图形，帮助学生理解。

3.通过实例和练习，让学生运用锐角三角函数解决实际问题。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.准备几何画板等软件，用于展示图形。

3.准备一些实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾二次函数、相似三角形等知识，为新课的学习做好铺垫。

然后，教师给出一个实际问题，如“在直角三角形中，如何求解一个锐角的正弦、余弦、正切值？”引发学生的思考，进而引入本节课的主题。

呈现（10分钟）教师通过课件或板书，呈现锐角三角函数的定义及性质。

首先，介绍正弦、余弦、正切函数的定义；然后，解释锐角三角函数的性质，如单调性、周期性等。

同时，教师可以通过几何画板展示锐角三角函数的图形，帮助学生直观理解。

操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用所学知识进行解答。

题目包括填空题、选择题、解答题等，涉及锐角三角函数的定义、性质、计算等方面。

第二十八章锐角三角函数第一节(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正弦、余弦、正切的定义及互化公式这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与锐角三角函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量教室内某物体的高度。这个操作将演示锐角三角函数的基本原理。
-锐角三角函数互化公式的推导与应用：学生需要掌握正弦、余弦、正切之间的互化关系，并能灵活应用于解决具体问题。
-实际问题的解决方法：学生应学会将实际问题抽象为锐角三角函数模型，运用所学知识解决问题。
举例解释：
-定义重点：如正弦函数的定义为“直角三角形中，锐角的正弦等于其相邻边与斜边的比值”。
-互化公式：如sin^2θ + cos^2θ = 1，这个公式是解决三角函数问题时常用的基础公式。
4.培养学生的几何直观素养：通过直角三角形的图形分析，使学生能够运用几何直观感知三角函数的变化规律，加深对三角函数几何意义的理解。
5.提高学生的数学运算能力：让学生在计算过程中熟练运用互化公式，解决锐角三角函数相关的计算问题，提高运算的准确性。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-锐角三角函数的定义：这是本节课的核心内容，要求学生理解正弦、余弦、正切三个三角函数的定义，并能记住各自的符号表示。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的热情很高，这让我感到很欣慰。通过亲自动手操作，他们能够更直观地理解锐角三角函数的原理。不过，我也注意到在讨论过程中，有些小组的思路不够清晰，导致讨论成果不够理想。为此，我计划在下一节课中，加强对学生讨论过程的引导，帮助他们理清思路，提高讨论效果。
学生小组讨论环节，我尽量以引导者的身份参与其中，让学生充分发表自己的观点。在这个过程中，我发现学生们对于锐角三角函数在实际生活中的应用有着各种不同的见解，这非常好。但同时，我也发现有些学生在表达自己的观点时，逻辑不够严密，容易跑题。因此，我打算在后续的教学中，加强对学生逻辑思维能力的培养，让他们学会如何有条理地表达自己的观点。

北师大版数学九年级下册1 锐角三角函数教案与反思

工欲善其事，必先利其器。

《论语·卫灵公》原创不容易，【关注】店铺，不迷路！1 锐角三角函数第1课时正切教学目标一、基本目标1．理解正切(tan A)的意义及与现实生活的联系．2．运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算．3．从实践中引导学生学会观察、思考，探索发现客观事物中存在的数学规律．二、重难点目标【教学重点】理解正切的意义．【教学难点】会根据已知条件计算某个角的正切值．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P2～P4的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．如图，在Rt△ABC中，∠A的对边与邻边的比值是∠A的正切，记作tan A＝∠A的对边∠A的邻边.2．正切经常用来描述山坡的坡度．坡面的铅垂高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)．3．如图，下面四个梯子最陡的是( B )4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，AB＝13，求tan A、tan B的值．解：tan A＝BCAC＝512，tan B＝ACBC＝125.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图是甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？【互动探索】(引发学生思考)分别求出tanα、tanβ的值→比较大小，值越大，扶梯就越陡．【解答】甲梯中，tanα＝5132－52＝512，乙梯中，tanβ＝68＝34.∵tanβ＞tanα，∴乙梯更陡．【互动总结】(学生总结，老师点评)tan A的值越大，梯子越陡．活动2 巩固练习(学生独学)1．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值( C )A．扩大为原来的两倍B．缩小为原来的1 2C．不变D．不能确定2．在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，AB＝5，则tan A的值是( C )A．23B．35C．34D．453．在正方形网格中，△ABC在网格中的位置如图，则tan B的值为2.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan ∠ABD的值．【互动探】设AC＝BC＝2a，根据勾股定理可求得AB＝22a，再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，最后根据正切的定义，可得答案．【解答】如题图，过点D作DE⊥AB于点E.设AC＝BC＝2a.根据勾股定理，得AB＝22a.∵D为AC中点，∴AD＝12AC＝a.∵∠A＝∠ABC＝45°，DE⊥B，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2a 2，∴BE＝AB－AE＝，∴tan∠ABD＝DEBE＝22a32a2＝13.【互动总结】(学生总结，老师点评)求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不直角三角形内时，可作助线构造直角三角形进行解答．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．梯子的倾斜程度与tan A的关系(∠A和tan A之间的关系)．2．如图，tan A＝∠A的对边∠A的邻边.练习设计请完成本课时对应练习！第2课时正弦与余弦教学目标一、基本目标1．理解弦与余弦的意义，根据边长求出锐角的正弦值和余弦值，准确分清三种函数值的求法．2．经历探索直角三角形中边角关系的过程，进一步理解当锐角度数一定，其对边、邻边、斜边三边比值也一定．能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算．二、重难点目标【教学重点】理解正弦与余弦的意义．【教学难点】会用正弦、余弦正确地进行计算．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P5～P6的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．如图，在Rt△ABC中．(1)∠A的对边与斜边的比值是∠A的正弦，记作sin A＝∠A的对边斜边；(2)∠A的邻边与斜边的比值是∠A的余弦，记作cos A＝∠A的邻边斜边.2．锐角A的正弦、余弦和正切叫做∠A的三角函数．3．sin A的值越大，梯子越陡；cos A的值越小，梯子越陡．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，AC＝12，求sin A、cos A.解：sin A＝BCAB＝513，cos A＝ACAB＝1213.环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sin A＝0.6，求BC的长．【互动探索】(引发学生思考)根据正弦的意义，有sin A＝BCAC，代入数据即可求出BC的值．【解答】在Rt△ABC中，∵sin A＝BCAC，即BC200＝0.6，∴BC＝200×0.6＝120.【互动总结】(学生总结，老师点评)在直角三角形中，已知正弦、余弦或正切，需要先找出对应的边角关系，再代入数据进行求解．【例2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝1213，求cos A、sin B、tan B的值．【互动探索】(引发学生思考)画出直角三角形草图→由sin A＝1213，表示出三角形各边长→得出AC长→由三角函数定义解题．【解答】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，sin A＝1213＝BCAB，∴设AB＝13x，BC＝12x，∴由勾股定理，得AC＝AB2－BC2＝13x2－12x2＝5x，∴cos A＝ACAB＝513，sin B＝ACAB＝513，tan B＝ACBC＝512.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据sin A＝1213能得到BC与AB的关系，进而通过设未知数，根据勾股定理求出AC，最后根据正弦、余弦、正切的定义求解．活动2 巩固练习(学生独学)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝13，那么sin B的值是( A )A．223B．2 2C．24D．32．在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是( A )A．55B．510C．255D．123．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值．解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，∴ACAB＝ANAM＝34.设AC＝3x，AB＝4x.由勾股定理，得BC＝AB2－AC2＝7x，∴在Rt△ABC中，cos B＝BCAB＝7x4x＝74.活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据三角函数定义尝试说明：(1)sin2A＋cos2A＝1；(2)sin A＝cos B；(3)tan A＝sin A cos A.【互动探索】用定义表示出sin A、cos A、cos B、tan A→计算等式的左边与右边→得出结论．【证明】(1)由勾股定理，得a2＋b2＝c2，∴sin2A＋cos2A＝a2c2＋b2c2＝c2c2＝1.(2)∵sin A＝ac，cos B＝ac，∴sin A＝cos B.(3)∵tan A＝ab，sin Acos A＝aacaabca＝ab，∴tan A＝sin A cos A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．题目中的三个结论应熟记．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)sin A＝∠A的对边斜边，cos A＝∠A的邻边斜边.练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

(完整word版)苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案

课题7.1正切(1) 自主空间学习目标知识与技能:1.理解正切的概念, 能通过画图求出一个角的正切的近似值。

能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。

过程与方法:1.经历探索表示物体倾斜程度, 形成正切的概念的过程, 练就创造性解决问题的能力。

1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。

学习重点理解并掌握正切的含义, 会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

学习难点计算一个锐角的正切值的方法。

教学流程预习导航观察回答: 如图某体育馆, 为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。

下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？图（1）图（2）[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形答: 图的台阶更陡, 理由合作探究一、新知探究:1.思考与探索一:除了用台阶的倾斜角度大小外, 还可以如何描述台阶的倾斜程度呢？可通过测量BC与AC的长度,再算出它们的比, 来说明台阶的倾斜程度。

（思考: BC与AC长度的比与台阶的倾斜程度有何关系？）答: _________________. 讨论: 你还可以用其它什么方法？能说出你的理由吗？答: ________________________. 2.思考与探索二:（1）如图, 一般地, 如果锐角A的大小已确定,我们可以作出无数个相似的RtAB1C1, RtAB2C2, RtAB3C3……, 那么有: Rt△AB1C1∽_____∽____……根据相似三角形的性质,得: ＝_________＝_________＝……（2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定, 那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。

3.正切的定义如图, 在Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。

我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______, 记作______。

即: tanA ＝________＝__________（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看.4．思考: 当锐角α越来越大时, α的正切值有什么变化？二. 例题分析:例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm, 一个台阶的高度为15cm, 求楼梯倾斜角的正切值。

九年级数学初三下册：1 锐角三角函数第1课时正切与坡度教案

7. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝ 5 cm，tanB＝2，则 AC＝
_____2____cm. 8. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，CD 是 AB 1
上的高，则 tan∠BCD 的值是______2______．
三、解答题 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，求tanA，tanB的值．
【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点(2，1)，则tanα的值是______12___．
3. 如图，点 A(t，4)在第一象限，OA 与 x 轴所夹的锐角为α ，tanα ＝43，则 t 的值为_____3________.
知识点二：坡度
【典例导引】【例 4】 (泰州中考)小明沿着坡度 i 为 1∶ 3的直路向上走了 50 m，则小明沿垂直方向升高了____2_5_______m．
2. 坡度(或坡比)的概念：如图②，坡面的___铅__直_____高度 h 和__水__平___
宽度 l 的比称为坡度(或坡比)，记作 i，有 i＝hl ＝___ta_n_α____．坡度 i 越大，坡角α 越____大____，坡面越____陡_____．
知识点一：正切
【典例导引】【例 1】在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则 tanA 的值为( B )
解：设 BC＝a，则 AB＝3a，AC＝2 2a，∴
tanA＝ABCC＝2
a＝ 2a
42，tanB＝ABCC＝2
a2a＝2
2
10. 如图，方方和圆圆分别将两根木棒AB，CD斜靠在墙上，其中AB＝ 10 cm，CD＝6 cm，BE＝6 cm，DE＝2 cm.你能判断谁的木棒更陡吗？并说明理由．

九年级数学下册1锐角三角函数第1课时正切教案新版北师大版

正切教学目标【知识与技能】1.了解锐角三角函数的概念,能够正确应用tanA表示直角三角形中两边的比.2.理解坡度的概念,并能够计算坡面的坡度.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,体会数学在解决实际问题中的应用.【情感、态度与价值观】1.通过学习培养学生的合作意识.2.通过探究提高学生学习数学的兴趣.重点难点【重点】锐角三角函数的概念,坡比的概念.【难点】锐角三角函数概念的理解.教学过程一、创设情境,导入新知师:高架桥的起始一段有倾斜的部分,这个坡面的坡度或者说倾斜程度是怎样度量的呢?学生思考.二、共同探究,获取新知1.正切的概念.教师多媒体课件出示:在下图中,有两个直角三角形,直角边AC与A1C1表示水平面,斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面,坡面AB和A1B1哪个更陡?你是怎样判断的?生:A1B1更陡.师:你是怎样判断的呢?生甲:这两个中同样是100的一段,对应的高度A1B1上升得多.生乙:(2)倾斜得厉害.教师多媒体课件出示:师:这个图里,你能判断坡面AB和A1B1哪个更陡吗?学生观察后回答:A1B1更陡.师:为什么?生:……教师多媒体课件出示:如图,在锐角A的一边上任取一点B,自点B向另一边作垂线,垂足为C,得到Rt△ABC;再任取一点B1,自点B1向另一边作垂线,垂足为C1,得到另一个Rt△AB1C1……这样,我们可以得到无数个直角三角形,这些直角三角形都相似.在这些直角三角形中,锐角A的对边与邻边之比、、……究竟有怎样的关系?教师读题后学生思考.生:锐角A的这些对边与邻边之比都是相等的.师:对,在这些直角三角形中,当锐角A的大小确定后,无论直角三角形的大小怎样变化,∠A的对边与邻边的比值总是一个定值.教师边操作边讲解:在这个直角三角形ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即tanA===.2.坡度、坡角的概念.教师边作图边讲解:正切经常用来描述坡面的坡度.坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作i,即i=,坡度通常写成h∶l的形式.坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角),记作α,于是有i==tanα.你能得到坡度与坡角之间的关系吗?生:能.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.师:很好!三、举例应用,巩固新知教师多媒体课件出示:【例1】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,求tanA和tanB.tanA===.师:你能计算出∠A和∠B的正切吗?学生思考后回答:能.师:怎样计算?教师找一生回答.生:tanA==,tanB==师:你回答得很好!现在请同学们看课本第114页练习的第3题.学生读题后,教师找两生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.解:AC===≈199.64,∴引桥的坡度为:tan∠BAC===≈0.06.四、练习新知1.师:下面让我们一起来看几道习题.教师板书习题:(1)为测量如图所示的上山坡道的倾斜度,小明测得数据如图所示,则该坡道倾斜角α的正切值是( )A. B.4 C. D.【答案】C(2)晓敏由地面沿坡度i=1∶2的坡面向上前进了10 m,此时她距离地面的高度为( )A.5 mB.4 mC.2 mD. m【答案】C(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,则tanA的值为 .【答案】(4)在△ABC中,∠C=90°,BC=6,tanA=,则AC的长是 .【答案】9五、课堂小结师:本节课你又学习了什么内容?学生回答.师 :你还有什么疑问?学生提问,教师解答.教学反思本节课采用问题引入法,从教材探究性问题梯子的倾斜度入手,让学生主动参与学习活动.用特殊值探究锐角的三角函数时,学生们表现得非常积极,从作图、找边角、计算各个方面进行探究,学生发现:特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出,然后探究:三角函数与直角三角形的边、角有什么关系?三角函数与三角形的形状有关系吗?整节课都在紧张而愉快的气氛中进行.学生非常活跃,大部分人都能积极动脑、积极参与.教学中,我一直比较关注学生的情感态度,对那此积极动脑、热情参与的同学都给予了鼓励和表扬,促使学生的情感和兴趣始终保持最佳状态,从而保证教学活动的有效性.。