高三数学第二轮专题复习系列(4)-- 三角函数

三角函数一、本章知识结构：应用二、高考要求一．理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

二．掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）三．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

四．会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A、ω、 的物理意义。

五．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示角。

三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

(2)对公式要抓住其特点进行记忆。

有的公式运用一些顺口溜进行记忆。

(3) 三角函数是中学阶段研究的一类初等函数。

故对三角函数的性质研究应结合一般函数研究方法进行对比学习。

如定义域、值域、奇偶性、周期性、图象变换等。

通过与函数这一章的对比学习，加深对函数性质的理解。

但又要注意其个性特点，如周期性，通过对三角函数周期性的复习，类比到一般函数的周期性，再结合函数特点的研究类比到抽象函数，形成解决问题的能力。

(4) 由于三角函数是我们研究数学的一门基础工具，近几年高考往往考察知识网络交汇处的知识，故学习本章时应注意本章知识与其它章节知识的联系。

如平面向量、参数方程、换元法、解三角形等。

（2003年高考应用题源于此）5.重视数学思想方法的复习，如前所述本章试题都以选择、填空题形式出现，因此复习中要重视选择、填空题的一些特殊解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法，待定系数法、排除法等.另外对有些具体问题还需要掌握和运用一些基本结论.如：关于对称问题，要利用y ＝sinx 的对称轴为x ＝kπ＋ （k ∈Z ），对称中心为（kπ，0），（k ∈Z ）等基本结论解决问题，同时还要注意对称轴与函数图象的交点的纵坐标特征.在求三角函数值的问题中，要学会用勾股数解题的方法，因为高考试题一般不能查表，给出的数都较特殊，因此主动发现和运用勾股数来解题能起到事半功倍的效果.6.加强三角函数应用意识的训练，1999年高考理科第20题实质是一个三角问题，由于考生对三角函数的概念认识肤浅，不能将以角为自变量的函数迅速与三角函数之间建立联系，造成思维障碍，思路受阻.实际上，三角函数是以角为自变量的函数，也是以实数为自变量的函数，它产生于生产实践，是客观实际的抽象，同时又广泛地应用于客观实际，故应培养实践第一的观点.总之，三角部分的考查保持了内容稳定，难度稳定，题量稳定，题型稳定，考查的重点是三角函数的概念、性质和图象，三角函数的求值问题以及三角变换的方法.7.变为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律. 针对高考中题目看，还要强化变角训练，经常注意收集角间关系的观察分析方法.另外如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练也要加强，这也是高考的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.8.注意对三角形中问题的复习.由于教材的变动，有关三角形中的正、余弦定理.解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，从1996年和1998年的高考试题就可看出，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关.9.在复习中，应立足基本公式，在解题时，注意在条件与结论之间建立联系，在变形过程中不断寻找差异，讲究算理，才能立足基础，发展能力，适应高考.在本章内容中，高考试题主要反映在以下三方面：其一是考查三角函数的性质及图象变换，尤其是三角函数的最大值与最小值、周期。

多数题型为选择题或填空题；其次是三角函数式的恒等变形。

如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等。

除在填空题和选择题出现外，解答题的中档题也经常出现这方面内容。

另外，还要注意利用三角函数解决一些应用问题。

五、典型例题两角和与差的三角函数【例1】 已知3,34πβαππβαπ-<-<-<+<，求βα-2的范围。

解：设βα-2=)()(βαβα-++B A ，（A 、B 为待定的系数），则βα-2=βα)()(B A B A -++比较系数232112⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=+B A B A B A ∴βα-2=)(23)(21βαβα-++从而可得：62πβαπ<-<-【例2】 设},23|{},,10||,35|{Z k k B Z k k k A ∈==∈≤==πββπαα，求B A 的解的终边相同的角的集合。

解：先写出A 与B 的交，再写出终边相同的角的集合。

设B A ∈0α，则B A ∈∈00αα且；所以παπα201023, 35k k ==∴212335k k =，即21109k k =，由于Z k k ∈≤11,10|| ∴10,02±=k ；因此}15,0{π±=B A因此所有与B A 的角的终边相同的角的集合为}Z k ,2k ,2|{∈±==ππγπγγ或k【例3】 已知αβαβαπβπ2222sin 21sin sin 2sin 2sin 346-=-<≤-，试求，的最值。

解：∵4πβ6π<≤-∴-22sin 21<≤β，21sin 02<≤β∴1sin 202<≤β ∵23222sin sin sin βαα=-∴03212≤-<sin sin αα即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-1sin 310sin 1sin 3201sin 2sin 30sin 2sin 322ααααααα或 ∴1αsin 320αsin 31<≤≤<-或y=41)21(sin sin 21)sin 2sin 3(21sin 21sin 22222--=--=-αααααβ 当sin α∈[32，1]时函数y 递增，∴当sina=23时 y min =92-； 当sin α∈(31-，0)时，函数y 递减，∴当sin α=0时，y min =21∴故当)sin 21(sin ,92)sin 21(sin 32sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值。

【例4】 求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tg 60tg 110cos 40cos 2解：()()25cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 2310cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒+︒=︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒+︒=︒︒+︒+︒=·原式【例5】 已知2π＜β＜α＜4π3,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________. 解法一：∵2π＜β＜α＜4π3,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4π3, ∴sin(α－β)=.54)βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+=-- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--【例6】 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.【例7】 设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a aa ∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.【例8】 求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.解：原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=，原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=，所以，原式＝１．【例9】 已知54βsin αcos ,53βcos αsin =+=+，求βαsin cos 的值． 解1：令γ2πβ-=，则原题等价于： 已知54γcos αcos ,53γsin αsin =+=+，求γcos αcos 的值． 两式分别和差化积并相除得：432γαtan=+，所以 ()2572γαtan 12γαtan 1γαcos 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+. 分别将已知两式平方并求和得：()21γαcos -=-,所以，()()()10011γαcos γαcos 21γcos αcos -=-++=. 解2：由54βsin αcos ,53βcos αsin =+=+平方相加得：()21βαsin -=+． 上述两式平方相减得：()257βαsin 2α2cos β2cos -=-+-． 将上式前两项和差化积，得：()()()257βαsin 2βαsin βαsin 2-=-+-+， 结合()21βαsin -=+，可解得：()257βαsin -=-． 所以，()()()βαsin βαsin 21βsin αcos --+=10011-=． 【例10】 已知函数()x x m x f cos sin 2-=在区间⎪⎭⎫⎝⎛2π,0上单调递减，试求实数m 的取值范围．解：已知条件实际上给出了一个在区间⎪⎭⎫⎝⎛2π,0上恒成立的不等式．任取∈21,x x ⎪⎭⎫⎝⎛2π,0，且21x x <，则不等式()()21x f x f >恒成立，即>-11cos sin 2x x m 22cos sin 2x x m -恒成立． 化简得()()2112sin 2cos cos x x x x m ->- 由2π021<<<x x 可知：0cos cos 12<-x x ， 所以()1221cos cos sin 2x x x x m --<上式恒成立的条件为：()上的最小值，在区间⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<2π0cos cos sin 21221x x x x m . 由于()2sin2cos 22sin 2sin 22cos 2sin4cos cos sin 22121212121211221x x x x x x x x x x x x x x x x +-=-+--=-- 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2sin 2cos 2cos 221212121xx x x x x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2tan 2tan 2tan 2tan 122121x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛+=且当2π021<<<x x 时，4π2,2021<<x x ，所以 12tan ,2tan 021<<x x ,从而 02tan 12tan 12tan 2tan 2tan 2tan1212121>⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x , 有 22tan2tan 2tan 2tan 122121>+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x , 故m 的取值范围为]2,(-∞.【例11】 ,27,3=nC t C B A c b ABC =c a a 的对边，已知、、分别为角、、中，△ .,233的值求的面积为又△△b a S ABC ABC +=解：∵ A+B+C=π，①°得由°.222)27(60cos 2,2760,3=-+==∴=ab b a c C tgC ②°得由 .23360sin 21,233==ab S ABC ⎪⎩⎪⎨⎧==-+④③由①、②得方程组6,44922ab ab b a ,4121)(32=++b a 得×④③211=+b a ∴【例12】 在∆ABC 中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，设b c a 2=+，求2ctg 2ctg CA·的值 解：由条件，2b a c =+，依据正弦定理，得()()2cos 2sin 22cos 2sin4sin sin sin 2sin sin 2sin 22CA C A C A C A CA C A C A RB R -+=+++=++=·在02sin ≠+∆CA ABC 中，∴2cos 22cosC A C A +=- 2sin 2sin 22cos 2cos 22sin 2sin 2cos 2cosC A C A C A C A -=+ ∴2cos 2cos 2sin 2sin 3CA C A = ∴32sin2sin 2cos 2cos=C A C A ； 即32C ctg 2A ctg = 三角函数的图象与性质【例1】 试确定下列函数的定义域⑴1sin 1log 2-=xy ；⑵)1cos 2lg(sin )4(--=x xx tg y π解：⑴要使函数有意义，只须满足条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠>≥-0sin 0sin 101sin 1log x x x 解得：},2652|{},622|{Z k k x k x Z k k x k x ∈+<≤+∈+≤<πππππππ ⑵要使函数有意义，只须满足条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠<≠≥-11-2cosx 001)-lg(2cosx 0sin )4(x x tg 有意义π 解得},322|{Z k k x k x ∈+<<πππ 【例2】 求函数x xxx x x y 2sin 2cos cos 3cos sin 3sin 233++=的最小值解：∵sin sin cos cos 3333x x x x +()()()()[]()()[]()()x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x 2cos 4cos 12cos 214cos 2cos 2cos 214cos sin cos 2cos cos sin 21cos 4cos 2cos sin 4cos 2cos 21cos cos 3cos sin sin 3sin 322222222=+=+=-++=++-=+= ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=42sin 22sin 2cos 2sin 2cos 2cos 23πx x x x x xy 当2142sin --=⎪⎭⎫⎝⎛+最小值时，y x π 【例3】 已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。