初三数学(第18讲)样本与总体汇总
初 三 数 学（第18讲）
主讲：倪红美（苏州立达中学）
本讲内容：
第25章 样本与总体
§25.1 简单的随机抽样
§25.2 用样本估计总体
教学要求：
1．体会随机抽样是了解总体特性的一种重要的数学方法，抽样是一个关键；
2．体会简单的随机抽样的调查方法的科学性；
3．学会用抽样调查的方法，选取合适的样本进行抽样调查。
4．进一步体会随机抽样是了解总体特性的一种重要的数学方法，抽样是一个关键；
5．学会用科学的随机抽样的方法，选取合适的样本进行抽样调查，学会用样本特性去估计总体特性
6．体会用样本估计总体的思想。
教学内容：
1.简单随机抽样的定义：要使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个体，有一个对每个个体都公平的
方法，那就是用抽签的办法决定哪些个体进入样本。统计学家们称这种理想的方
法为简单的随机抽样。
2.简单的随机抽样的步骤：（1）将所有个体编号；（2）放在一个容器中搅匀；（3）抽签
3.随机性：像（抽签等）这样不能事先预测结果的特性叫做随机性
4.不宜普查的原因：（1）总体中个体数目太大，工作量太大；（2）调查具有破坏性
5.简单随机抽样调查是否合适，主要看是否满足：（1）样本有代表性，（2）样本容量要足够大，
（3）是否对每个个体都公平，每个个体是否都有可能成为调查对象。
6.基于不同的样本，可能会对总体作出不同的估计值，但随着样本容量的增加，有样本得出的特性会接近总体的特性。
7.数学家已经证明，随机抽样方法是科学而且可靠的。
8.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。
9.在用样本特性估计总体特性时，要注意一是样本要有代表性，二是样本容量要足够大。 求平均数的公式：123n x x x x x n +++
+=
典型例题：
例1．以下选取样本方法正确的是( B )．
A．苏州市某调查公司为了解该市高中学生的视力情况，对苏州市的一所省重点中学的学生视力情况进行了调查
B．为了保障人民群众的身体健康，在预防“非典”期间，有关部门加强了市场监管力度，为了解市场上出售的口罩质量情况，随机抽取了本市一些商店中的一定数量的口罩进行检查
C．为调查一个省城镇居民的收入情况，调查了该省的省会城市居民的收入情况
D．陕西省某鞋厂为了解初中生穿鞋的大小尺码，调查了该省某体校学生穿鞋尺码的情况
分析：判断抽样调查选取样本的方法是否合适，主要看抽取的样本在总体中是否具有代表性，抽取样本的数量是否足够大．
例2．下面的几个调查中，适合抽样调查的是( B )．
A．在2003年的“非典”期间，卫生部公布的各省疫情的数据
B．为了了解某品牌的中秋月饼的质量
C．为了了解某校初三年级的学生每天收看焦点访谈节目的人数
D．为了了解某高新技术产业开发区中台商的人数
分析：我们平时接触到的这些数据主要来源于普查与抽样调查．要判斯对一个事件应进行普查还是抽样调查，关键是看对数据要求的精确程度与可行性．
例3．老师布置给每个小组一个任务，用抽样调查的方法估计全班同学的平均身高．坐在教室最前面的小王为了抢速度，立即就近向他周围的三个同学作调查，加上他自己，计算出他们四个人的平均身高后就举手向老师示意已经完成任务了．小王这样的抽样调查合适吗?
分析：因为小王他们四个人坐在教室最前面，所以他们身高的平均数就会小于整个班级的身高平均数，这样的样本就不具有代表性了．由于小王选取的样本不具有代表性，所以小王这样的
抽样调查不合适．】
例4．下列选取样本的方法是否具有代表性?为什么?
(1)为了调查某城市的空气质量状况，每天早晨抽样．
(2)为了调查某个地区的生活水平，了解部分农村家庭的衣食住行情况．
分析：抽样调查要求所抽取的样本要具有真实的代表性，通常考虑的要素有时间、人员、地点及其他人为因素．
解：(1) 每天早晨抽样所得的样本不能真正反映该城市的空气质量状况，因为一般来说，早晨的空气质量稍好些．
(2) 部分农村家庭的衣食住行情况不能代表该地区的生活水平，因为农村家庭的衣食住行情况
和城市家庭的衣食住行情况是有差别的
评注：即使随机抽样，也要考虑抽取的样本是否具有真实的代表性，否则统计调查可能失真，本题(1)中，宜分时段抽取样本，本题(2)中，应调查各类家庭的衣食住行情况．
例5．甲、乙两位同学在玩掷骰子的游戏时：甲同学说：“1，1，1，…啊!真的是l!你只要一直想某个数，就会掷出那个；乙同学说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反
而会掷出那个数．”请你判断以上的说法是否正确，并说明理由．
分析：这两位同学的说法都不正确，因为根据几次实验的经验说明不了什么问题．这两位同学的说法不正确，选取的样本太少．
例6．小明的电动车失窃了，他想知道所在地区每个家庭平均发生过几次电动车夫窃事件．为此，他和同学们一起，调查了全校每个同学所在家庭发生过几次电动车失窃事件．这样的调查合适吗?
分析：这样的调查是不合适的，虽然他们调查的人数很多，但是因为排除了所在地区那些没有中学生的家庭，所以他们的调查结果不能推广到所在地区的所有家庭．这样的调查不合适．例7．为了调查江苏省的环境污染情况，分别调查了南京、苏州的环境污染情况，请你根据所学的知识，判断这个抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由．
分析：要判断抽样调查选取样本的方法是否合适，主要看选取的样本是否具有代表性，并要求选取的样本不偏向总体中的某些个体，对每一个个体都有平等的机会．显然，南京、苏州在江苏省
不具有代表性，且这两个城市的工业化程度比较高，故这样选取的样本不合适．评注：抽样的方法是否合适，关键要看你要调查的人或事在总体中是否具有代表性，样本的数量是否足够大．有时仅仅增加样本数量也不一定能够保证调查质量，还要看总体中的每个个体是否
都有成为调查对象的可能性(即样本应是随机的)．
例8．某养鱼专业户为了估计湖里有多少条鱼，先捕上100条做上标记，然后放回到湖里，过一段时间待带标记的鱼完全混合于鱼群后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，湖里大约有多少条鱼?
分析：本题一方面考查了学生由样本估计总体的思想方法和具体做法，另一方面考察了学生应用数学的能力，这也是中考命题的一个重要方向．
设湖里大约有J条鱼，则100：x＝20：200 ∴x＝1000．
答：湖里大约有1000条鱼．
例9．某校生物兴趣小组11人到校外采集植物标本，其中采集到6件的有2人，采集到3件的有4人，采集到4件的有5人，则这个兴趣小组平均每人采集到的标本是( )．
A．3件且4件C。5件D．6件
分析：在解这道题时，同学们最容易犯下面的错误：63413
33
++
=（件）．
实质上是没有正确理解求哪一些数据的平均数．正确的解答：624354
4
11
?+?+?
=（件）
例10.有的同学认为，要了解我们学校500名学生中能够说出父母亲生日的人的比例，可以采取简单的随机抽样的方法进行调查，但是，调查250名学生反而不及调查100名学生好，因为人太多了以后，样本中知道父母亲生日的人的比例反而说不准，你同意吗?为什么?
分析：若采取简单随机抽样的方法进行调查，因为由250名学生组成的样本比由100名学生组成的样本容量大，根据我们观察简单随机抽样过程获得的经验，用容量大的样本作估计一般更可靠些．如果还说服不了对方，可以假设我们学校500名学生中知道父母生日的比例为60％，然后用计算器产生随机数的方法
模拟简单随机抽样过程．分别考察了若干个容量为100和250的样本，比较哪个规模的样本作出的估计更接近60％，相信通过实验获取的数据更有说服力．不同意上述说法．通常情况下，样本越大，样本的估计越接近总体的实际状况．
例11. 最早参加新课程实验的学生2004年将要参加初中毕业会考和中考了，教育部想通过调查的方式了解他们对新课程的意见和建议，必须要向他们每个人做调查吗?
分析：不必，由于这样做会牵涉到太多的学生，需要大量的时间、人力、财力、物力等．可以采取简单随机抽样的方法，先选取一些实验区，再在这些地区对不同类型的学校的学生做比较深入的调查．完全没有必要，用随机抽样的方法来估计．
例12.某地区为筹备召开中学生运动会，指定要从某校初二年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求队员的身高一致，现随机抽取10名初二某班女生体检表(各班女生人数均超过20人)，身高如下(单位：厘米)：165 162 158 157 162 162 154 160 167 155
(1) 求这10名学生的平均身高；
(2) 问该校能否按要求组成花束队，试说明理由．
分析：这是生活中经常遇到的一个应用问题．关键是平均数的计算方法，并用众数来估计全校女生的身高情况，从而使问题得到解决．
解：(1) 这10名学生的平均身高：
165162155
160.2
10
x
+++
==
(2) 由于样本的众数为162厘米，从而可估计一个班级至少有6名女同学的身高为162厘米．从
而可估计全校身高为162厘米的女生数为：6×9=54＞48。所以该校能按要求组成花束队。例13.某饮食店认真统计了一周中各种点心的销售情况，统计结果如下表所示，你认为这样的统计结果对该店的管理人员有用吗?请说明你的理由．
一周中各种点心销售情况统计表
分析：虽然一周中售出多少碗面、多少个包子等有随机性，谁也无法准确预测．但是，这并不是说我们对随机现象就只能听天由命了．在游戏的时候，如果有人说掷出“1”“2”算你赢，
掷出“3”“4”“5”“6”都算对方赢，你一定不会答应的．因为你知道虽然每一次掷出
的结果有随机性，无法预测，但是，按此游戏规则，双方的机会大小不等．商店的销售
情况也是如此，一般都要参考以往的销量来组织进货、安排加工数量，如卖得俏的商品
下次多进一些货等等．
解答：这些数据对该店管理人员是有用的，比如，可以大致算出每周需要买多少面粉、黄豆，油等，每天需要买多少肉、蔬菜等．这样一方面能有计划地使用资金，另一方面能使采购的量比较合适，减少浪费；可以了解，顾客最喜欢的是他们的煎包，所以应给做煎包的师傅们以额外的奖励，争取成为该店的特色点心；还可以大致了解每天加工各种花色品种分别需要按排多少人，
以便合理地聘用各类工人。本题的解答只提供了部分内容的分析．事实上，只要言之有理，都是可以接受的。
巩固练习1
1．下面几个调查符合抽样调查要求的是( )．
A．某市教育局为考核某校的一个名教师，对他所带的班级中的学生进行调查
B．某教师想了解班上的学生有多少能够说出父母亲的生日，对全班学生进行了调查
C．春兰集团为了解其产品在消费者中的满意情况，随机抽取了某些消费者的使用情况调查表进行分析
D．为了解某市重点中学在全国的数学竞赛中成绩达到100分的学生人数
2．某饮料厂为了了解其饮料产品的质量，抽取部分饮料进行检查，以下说法中正确的是( )．A．总体是被抽取的饮料的质量B．样本是被抽取的饮料的质量
C．以上的检查是普查D．以上的检查不是抽样调查
3．国家环保局为了了解商店使用环保购物袋的情况，采取了以下几种调
查方案，你认为最合适的是( )．
A．在网上进行在线抽样调查B．随机选取一些商店进行抽样调查
C．调查所有的商店使用购物袋的情况D．对商店的消费者进行调查
4．在很多的娱乐节目中，经常开展根据手机号码抽取幸运观众的活动．你认为这种滚动号码的现场开奖方式对每个热心观众获奖的机会是均等的吗?为什么?
5．某校有6个年级，每个年级有5个班，共有1228名学生，在下述情况中，
如何使用简单的随机抽样方法选取样本?
(1)在全校所有年级中随机抽一个班级；
(2)在全校所有班级中抽取六个班级；
(3)在全校1228名学生中，随机抽取81名学生．
6．某班50名学生的数学期末考试成绩如下(单位：分)：
100 100 100 94 98 100 100 93 100 100
96 100 99 100 100 98 92 93 98 93
96 87 90 100 100 100 90 96 99 100
93 87 99 95 96 96 98 91 90 88
87 90 86 88 81 86 79 69 76 84
(1)请用简单的随机抽样方法，分别选取含有5名学生数学成绩的两个样本和含有15名学生数学成绩
的两个样本；
(2)请你根据以上样本，分别求出各个样本的平均分、标准差．
答案：
1．C 2．B 3．B 4．不均等，因为开奖的时候，启动后要等一会儿才停下来，故最先几个观众是没有机会获奖的。
5．略6．略
巩固练习2
1．已知样本数据为2，一1，0，一3，一2，3，1，则该样本容量为：，样本标准差为。
2．某村共有银行储户110户，存款额在2～3万元之间银行储户的频率是0．2，则该村存款额在2～3万元之间的银行储户有户．
3．大连是一个严重缺水的城市，为鼓励市民珍惜每一滴水，某居委会表扬了100个节约用水的模范户，5月份这100户节约用水的情况如下表：
月份平均每户节约用水吨．
4．某厂家为了了解其维修人员的服务质量和消费者的意见，坚持电话回访每一个接受服务的消费者，这是普查还是抽样调查?
5．为保护环境，某校环保成员小明坚持收集废电池，第一天收集1号电池4节，5号电池5节，总质量为460克；第二天收集1号电池2节，5号电池3节，总质量为240克．
（1）求1号电池和5号电池每节分别重多少克?
（2）校环保小组为估算4月份收集废电池的总质量，他们随意抽取了该月某5天每天收集废电池的数量，如下表，
?
6．某校初三年级某班的身高数据记录如下(单位：米)：
1．50 1．65 1．57 1．59 1．60 1．60 1．62 1．62 1．63 1．63
1．63 1．64 1．64 1．66 1．66 1．66 1．66 1．66 1．66 1．68
1．68 1．68 1．68 1．68 1．69 1．69 1．69 1．69 1．69 1．69
1．69 1．69 1．70 1．70 1．70 1．70 1．70 1．70 1．70 1．7l
1．71 1．72 1．72 １．72 1．73 1．73 1．74 1．75 l．75 1．77
(1)请用简单的随机抽样方法，分别选取含有6名学生身高的两个样本，含有15名学生身高的两个样本；
(2)请分别计算上述每个样本的平均数和标准差；
(3)计算这50名中学生身高的平均数与标准差，
(4)将以上求得的平均数与标准差加以比较，你能得出什么结论?
答案：
１、７，２２、２２３、１．15 4、普查
5、（1）1号电池每节重90克，5号电池每节重20克。
（2）1号废电池的样本平均数是30；5号废电池的样本平均数是50；该月收集废电池的总质量是111千克。
6．略