代数不等式的分拆降维方法与机器证明

i=0
G(x, y ) =
Á¹¥
Æ¢ Ú
2 2 g (x, y ) ≥ 0, (x, y ) ∈ R+ ⇐⇒ G(x, y ) ≥ 0, (x, y ) ∈ R+ .
(5)
2 À Ò 2.4 Ñ R+ ¸ ÊÔÞ Õ Ò 2.3 Æ Ø¥ 2 §ÑË (Ø
g (x, y ) Æ G(x, y ) Á¬ Õ Í ÔÊ ¢ Æ ¢ (5) § ¯Ñ Ë Ø )
≥
Â
Ç Ç
Ø
ÑË
)
2.3 (
Á¹¥§¨Í Ñ Ë g(x, y)(Ø
2 ), (x, y ) ∈ R+ , g (x, y ) ≥ 0
¶ ¥
ÚÍ Ú ½Ñ
(3)
f1 = g (x, y ) + g (y, x) ≥ 0 ∧ f2 = g (x, y )g (y, x) ≥ 0, 2.4
2 (x, y ) ∈ R+ .
À
J. Sys. Sci. & Math. Scis. 29(1) (2009, 1), 26–34
à Ê
Ã
·
´²É¿
Î
∗
(
Þ
´
»
·Í ¤
610041)
« « à ٠Φº ¢ Ì ¸ ¦ Î Ù ÆÞ ¨ Ö ¸¦Î Ù Í £ÀÐ Ë ßÁ ßÍ Î ¦ Ù ÖÓ Û ß Maple Ô ± Bidecomp. ÖÓ ¨ ± Π¦
a > 0, b > 0. y= √ 2a + 4b + 2 a2 + 4ab . 2 ψ
º ¾ Ñ Â Õ Æ (4) Í Æ Øß Ì Ç ¥­ À Ò 2.4 Ú Ì ¥ ¦ Í Ò 2.5.
¢ ¥
Ç
2.5
p
g (x, y ) =
i=0 p
ai (xy )i (x − y )2(p−i) , ai xi y p−i .
Sn,m À n Ë m ¼ ¢¨ ± Ƨ ÚÑË ÍÚ¹ Ò ¡ ¢ Ü ( 0 Ü). Ê Ñ Ñ Ë Á Í Ó Ò Ì ¢ Sn,m m m m− 2 m− 2 Ç 2.1 ¼ Bm = {x + y , xy(x + y ), · · · , bm}, Ü (xy ) 2 , bm = (xy ) Bm
m− 1 2 m
É m Ý Ì; (x + y ), É m Ý Ì. Ã
(1)
Â
Ü
2.1
¼
S2,m Í ·¥ D2p = {(x − y )2p , xy (x − y )2(p−1) , · · · , (xy )p }, SBm = D2p , (x + y )D2p ,
Æ
É m = 2p Ý Ì; É m = 2p + 1 Ý Ì .
¥ Í
Ú¹
Ý
SP (F ) = {S (g1 ), P (g1 ), S (g2 ), P (g2 ), · · · , S (gn ), P (gn )}.
ÍÞ Á ª ± Í ÑË
¥ Ì n, Ì SP (n) (g) Ü Í £ ¡ ¯ Í ¢ Ì
SP (n) = SP (SP (n−1) ) = · · · = SP (SP (SP (· · · (SP ) · · ·)).
k (Cp
SBm
Â Ü S2,m Í Æ · ¥ É m = 2p Ý Ì ¢ (p + 1) × (p + 1) Í ½  Õ
⎡ ⎢ ⎢ A2 p = ⎢ ⎢ ⎣
1 1 −C2 p 0 1 ··· ··· 0 0 0 0 2 C2 p 1 −C2(p−1) ··· 0 0
Â Æ Ì)
(2)
p ··· (−1)p C2 p p−1 p−1 · · · (−1) C2(p−1) ··· ··· 1 ··· −C2 ··· 1
· SBm
f1 , f2
Ì
f1 = 11(x − y )4 + 325xy (x − y )2 + 268x2 y 2 , f2 = 10(x − y )8 + 2962xy (x − y )6 + 13442x2y 2 (x − y )4 − 34291x3y 3 (x − y )2 + 17956x4y 4 .
ÍÅ Ö Ï Ì
Î £ ß È Î ¸ £¸ ÝÌ £ Ì « à ٠ΦŠà ¾ ¨¬ ¢ Ì Ù ¦Ô ½ Ý Î Ì Í £ ÅÏ Î Ì £ Ô ¦³Þ Ó ¦¦ ÖÓ Ù Ú Î£ÈÃ Ý Î Ù ¨ß ¨¦
º È Ä
Åͱ
£Ûº Á ß ÖÓ£º
MR(2000)
¸ ¼
68T15
1
1900 ¢ Hilbert ­ Ñ Í Ñ É Á È Ì ²  µ ¢ Þ Ì ² ¡Í ¡ ª ¹ À ¥ Þ 23 ¡ Ì ² ¢ Ü 17 Â Æ Ä Õ Í¢¾ ¨ ¢ Ì ¯ Ý Ú Í ³ Ý Artin-Schreier ݼ ¡ ¢ Ì Á Ò Ì Í Õ « 1927 ¢ Artin Ò ¡ Í · Ç Þ Hilbert 17 ¥ §¨ ¢Ì ¯ ݼ ¡ ¢ Ì Á Ò Ì Í Õ [1] . ÀÄ Artin Í § °  ª Í¢ ¹ ª ¯ Í [2,3] Á Ò Ì Õ À ¢¶±Â ¯ Á Í ¢¡ Þ Â Ü Í ¶ Ì . É ½ § ¡ ¯ f ¢¬ Hilbert Í Î Æ× f ÝÁÒ Ì Í Õ ¾ ¥Ç ¡ Æ ¦ ¯ ¢ ª Í ¯ ¶± Â¥ ¤ Í Æ Ò Â¨ ¯ Ý ¢ · ¯ Í ¢ · ¯ ° ½ Â Õ ¢ × ½ Í §Â ÆÍ¢¶ ¨ ± Í¥ ¥ ¦ ¡Ø ¨ § ¤ ÍÕÒ (­¤ Í ¡Ë 2 Ä). 1 ÁÑË ( ¾ ¯ ¢¥ Õ) f (x, y ) = 202(y 16 + x16 ) + 471(xy 15 + yx15 ) − 293(x2 y 14 + y 2 x14 ) − 480(x3 y 13 + y 3 x13 ) +1876(x4 y 12 + y 4 x12 ) + 1152(x5 y 11 + y 5 x11 ) − 1824(x6 y 10 + y 6 x10 ) +768(x7 y 9 + y 7 x9 ) + 3072x8 y 8 .
 Øß Ì ¢
Ç
2.6
g (x, y ), ¹ Á 2 (x, y ) ∈ R+ g (x, y ) ≥ 0.
30
£ Ö
³ Ç Í ³
29
2 Ò 2.6 § SP (n) (g) Ü Í £ ¡ ¯ Í ¢ Ì Â Øß Ì ¢Â ° (x, y ) ∈ R+ , 2 g (x, y ) ≥ 0 Ú Í Ú Ñ ¥ Á Ø § ¢ °  ½ Í¢ Ø ¹ Ñ Ë g(x, y) = (2x − y) (n) Î °Á Ì n, Ì SP (g) Ü Í £ ¡ ¯ Í ¢ Ì Â Øß Ì ¥¤ Ê g(x, y) Á Õ ¨ ¢ ¤ ª ± Á ¹ ¥ ´·¥ 2 Ñ Ë g(x, y) Õ ¨ ¢ (x, y) ∈ R+ , g (x, y ) ≥ 0 Ú Í Ú ½ Ñ Â ¢Á (n) Ì n, Ì SP (g) Ü Í £ ¡ ¯ Í ¢ Ì Â Øß Ì ¥ 2 É» ¨Á Ò ¢ Ì Ñ Ë ¯ ° f (x, y ) ≥ 0, (x, y ) ∈ R+ ; É ¨ f (x, y) ≥ 0 Í § ¥ 1) f ÁÒÌÊ Ê ÚÇ¢ ÁÍ ¨¢ Æ ¨ Ý1 ¨ ¥ÌÊÍ ¯ Ý F . 2) µ ° F Ê Ú¹ Ó Ê SP (n)(F ) Ü £ ¡ Ë Í ¢ Ì Â Øß Ì ¥ ¥ Ò¢ ¤ Maple ɸ Ú Þ ° Bidecomp, Ë ¹ ¨ ©¥ ¡ ° Ò Ë R ÍÑ Ë ° ¢ ¹ ½ § Ñ Ë ° g (x, y ) ≥ 0, (x, y ) ∈ R2 , ¥ Ý § ¥ ¦ Û¡ ° (¤ Ê g (x, y ) Í Ì ±Â Ì) 2 i) g (x, y ) ≥ 0, (x, y ) ∈ R+ ; 2 . ii) g (−x, y ) ≥ 0, (x, y ) ∈ R+
2 ¢É (x, y) ∈ R+
f (x, y ) ≥ 0.
*wk.baidu.com
Å · ª2007-04-17.
973
(2004CB318003)
2 Ô R+ = {(x, y )|x ≥ 0, y ≥ 0}. Æ §£ Þ ´ Ò § ¿ × (KJCX-YW-S02) Æ §£ §
1
¾ Ö ©Å Í ±
ÎÛº Á ß ÖÓ Ç º
Ð Ä g(x, y)
Ê
¦ ͳ ¥
g1 (x, y ) ≥ 0 ⇐⇒ f21 = g1 (x, y ) + g1 (y, x) ≥ 0 ∧ f22 = g1 (x, y )g1 (y, x) ≥ 0.
· SBm
f21 , f22
Ì
f21 = 17966(x − y )4 + 40535xy (x − y )2 + 158x2 y 2 , f22 = 179560(x − y )8 + 54279242xy (x − y )6 + 460576802x2y 2 (x − y )4 +1349944x3y 3 (x − y )2 + 6241x4 y 4 . f21 ≥ 0, f22 ≥ 0. ­ g (x, y ) ≥ 0 Ì ¥ 2.1 Ñ Ë g(x, y) ¹ ¥ Û¡ ³ 1) f1 = g (x, y ) + g (y, x), f2 = g (x, y )g (y, x); 2) f1 , f2 · SBm ¢ Ä ² ((x − y)2 , xy)− > (x, y), Ý S (g), P (g). ¼ SP (g) = {S (g), P (g)} Ý Ñ Ë g Í Ú¹ ¥ SP Ý Ø 2 Ü ÍÑ Ë g(x, y), Á
m− 1 2
28
£ Ö
³ Ç Í ³
29
Â
2 0, (x, y ) ∈ R+ .
Í¢À ¦ Å ¡ Ñ ¢ Ü Ý D2p ÜË Í ª Æ ¢­ g(x, y) Ü Ý (x + y)D2p ÜË Í ª Æ ¥¾ (x + y)D2p  ª S2,m Í Æ · ¥ Ò 2.1 Á ¹ ¥ Æ Ø¡ ¥ g (x, y ) · SBm ¥ Í ¹ Â Ø ß Ì ¢ g(x, y) Ç 2.2 Ñ Ë
¨
27
¤ Ê f (x, y) ¬ Àݹ ¥
f (x, y ) = 202(x − y )16 + 3703xy (x − y )14 + 27309x2 y 2 (x − y )12 + 103375x3y 3 (x − y )10 +213484x4y 4 (x − y )8 + 148031x6y 6 (x − y )4 + 47315x7y 7 (x − y )2 + 6816y 8x8 .
Ä Â ¨ ± Á f1 ≥ 0, Ç f2 Í ¢ Ì Ü Á ß ¢ Ì ¢° Ú Ì Ò 2.5 Ñ »
g1 (x, y )
f2 ≥ 0,
Ê ³ ¥ ¥À
f2 ≥ 0 ⇐⇒ g1 (x, y ) = 10x4 + 2962x3y + 13442x2y 2 − 34291xy 3 + 17956y 4 ≥ 0.
2 Ä Â ¨ ± Á (x, y) ∈ R+ f (x, y ) ≥ 0. ¡ ÕÒÍ · ½  ¨ Ñ Ë Ë Â ¨ ± ØßÍ¥½ §« ¡ Ë Øß ¢Ó ¢ ÕÒ Ç
ª ¢ª ß Ç Í · ¢· Ü Å Ý § Õ · ¥ Í Øߥ Ø ¢ ¥ ¦ ¿Ä Ü Ê¥
2
°ÌÂ Ï
¹ ½µ³
Æ
¨
ÌÍ Û¡ ¯ Ú Ú¹ ¥Ø ¹
SP (g ) = {S (g ) = 11x2 + 325yx + 268y 2, P (g ) = 10x4 + 2962x3y + 13442x2y 2 − 34291xy 3 + 17956y 4}.
Æ 2.2 Ñ Ë
Ú¹
Ú¹
د
¼
ÑË
ͼ
F = { g1 , g2 , · · · , gn }
T T D2 p = A2p B2p .
Í¢À Ò 2.1 Ñ ¼ D2p  ª S2,m Í Æ · ¥ m m m− 2 É m = 2p + 1 Ý Ì ¢× ¤ Ê x + y , xy(x + ym−2 ), · · · , (xy) (x + y) (x,y ) x+y ¥À Ò 2.1 Ñ ´ ÑË g (x, y ) x+y ¥Ã gx +y
§
°
(5)
¥¥
Ú¥
g (x, y ) = 10x4 − 8x3 y − 158x2 y 2 + 289xy 3 + y 4
1
2 É (x, y) ∈ R+
¾ Ö ©Å Í ±
g (x, y ) ≥ 0.
ÎÛº Á ß ÖÓ Ç º
¨
29
g (x, y ) ≥ 0 ⇐⇒ f1 = g (x, y ) + g (y, x) ≥ 0 ∧ f2 = g (x, y )g (y, x) ≥ 0.
¥¦Í
ψ
¢ ¥
ψ: (x, y ) −→ ((x − y )2 , xy ),
2 2 R+ −→ R+ ,
×
§ ¢ ´ ¤ ÍØß Ì
(a, b),
Õ Æ
(4)
a = (x − y )2 ,
b = xy.
Ø Á Æ Øß Ç ¥ ¹ a, b Á ¡ Â 0, Å ¡ ¨ ± Ú ¥¥
x= , √ 2a + 4b + 2 a2 + 4ab 2b
⎤ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎦
Ü Àѯ Ï
A2p
D2p = [(x − y )2p , xy (x − y )2(p−1) , · · · , (xy )p ];
Ò ¨ ± Á (T À Ï Í ¥ Ù) Â
B2p = [x2p + y 2p , xy (x2(p−1) + y 2(p−1) ), · · · , (xy )p ].