测量误差及其合成汇总
测量误差的合成和分配
对测量结果可采用正确度，精密度 和准确度三种评价方法。 1．正确度 表示测量结果中系统误差大小程度。 系统误差愈大，正确度愈低；系统误差 愈小，正确度愈高。
2．精密度 表示测量结果中随机误差的大小 程度，也简称为精度。随机误差的大 小可用测量值的标准偏差 x 来衡量, x 越小，测量值越集中，测量的精 密度越高；反之，标准确偏差 x 越 大，测量值越分散，测量精密度越低 。
测量时应兼顾误差大小、测 量的难易程度及其他因素选择 最佳测量方案。
式中 y ——被测量 y 的相对误差； x1——直接测量 x 的绝对误差； 1 x 2——直接测量 x 的绝对误差。 2
同理，当被测量 y 由m个分项合成时, 误差传递公式为
y
i 1
m
f xi xi
(2-21)
(2-22)
y
i 1
m
ln f xi xi
i 式中 x—— 第i个测量分项的测量值； x—— i 直接测量量 x i 的绝对误差。
3．抓住主要误差项进行分配 当分项误差中某项误差特别大时， 就可以不考虑次要分项的误差，或酌情 分给次要分项少量误差比例，确保主要 项的误差小于总合的误差。 若主要误差项有若干项，这时可把 误差在这几个主要误差项中分配，考虑 采用等准确度或等作用分配原则。
2.5
2.5.1
测量结果的描述与处理
测量结果的评价
–12.4344→12.43 –0.69499→0.69 63.73501→63.74 25.3250→25.32
–17.6955→17.70
123.1150→123.12
• 需要注意的是，舍入应一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正确结果为0.69 ，错误做法是： 0.69499→0.6950→0.695→0.70。
大学物理实验—误差及数据处理
误差及数据处理物理实验离不开测量，数据测完后不进行处理，就难以判断实验效果，所以实验数据处理是物理实验非常重要的环节。
这节课我们学习误差及数据处理的知识。
数据处理及误差分析的内容很多，不可能在一两次学习中就完全掌握，因此希望大家首先对其基本内容做初步了解，然后在具体实验中通过实际运用加以掌握。
一、测量与误差1. 测量概念：将待测量与被选作为标准单位的物理量进行比较，其倍数即为物理量的测量值。
测量值：数值+单位。
分类：按方法可分为直接测量和间接测量；按条件可分为等精度测量和非等精度测量。
直接测量：可以用量具或仪表直接读出测量值的测量，如测量长度、时间等。
间接测量：利用直接测量的物理量与待测量之间的已知函数关系，通过计算而得到待测量的结果。
例如，要测量长方体的体积，可先直接测出长方体的长、宽和高的值，然后通过计算得出长方体的体积。
等精度测量：是指在测量条件完全相同（即同一观察者、同一仪器、同一方法和同一环境）情况下的重复测量。
非等精度测量：在测量条件不同（如观察者不同、或仪器改变、或方法改变，或环境变化）的情况下对同一物理量的重复测量。
2.误差真值A：我们把待测物理量的客观真实数值称为真值。
一般来说，真值仅是一个理想的概念。
实际测量中，一般只能根据测量值确定测量的最佳值，通常取多次重复测量的平均值作为最佳值。
误差ε：测量值与真值之间的差异。
误差可用绝对误差表示，也可用相对误差表示。
绝对误差＝测量值－真值，反应了测量值偏离真值的大小和方向。
为了全面评价测量的优劣, 还需考虑被测量本身的大小。
绝对误差有时不能完全体现测量的优劣, 常用“相对误差”来表征测量优劣。
相对误差＝绝对误差/测量的最佳值×100%分类：误差产生的原因是多方面的，根据误差的来源和性质的不同，可将其分为系统误差和随机误差两类。
（1）系统误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，误差的大小和符号保持恒定，或按规律变化，这类误差称为系统误差。
03第三章第2节 随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无 论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标 准差，均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0的情形
2 i i 1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或 者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲 的分量
q
q
（3-35）
2 a ii i 1
q
（3-36）
各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且 他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用 8 的极限误差合成公式
第二节
随机误差的合成
1 2
课外：望远镜的放大率 D f f 已测得物镜主焦 f1 1 19.8 0.2 cm 目镜的主焦距 f2 2 0.800 0.005 cm 求放大率的标准差？ 解：由误差传递公式
由间接测量的显函数模型求得ai f xi 根据实际经验给出 知道影响测量结果的误差因素 知道每个 ai 和 i
yi ai i 而不
2
第二节
则合成标准差
随机误差的合成
2 ( a ) i i i 1 q
若各个误差互不相关，即相关系数 ij 0
（3-29）
标准差合成
极限误差合成
1
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
合成标准差表达式:
(a )
i 1 i i
q
2
2 ij ai a j i j
1i j
q
（3-28）
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1 , a2 ,
误差的合成与分配
y 2 2 x f 1 2 x 1 2 2 ... x f n 2 x n 2 2 2 1 n i j x fi x fj x i2j2
y N 2 x f 1 2x 1 N 2 ... x f n 2x n N 2 2 1 n i j x f i x fj x iNjN
y 2 fx 1 2 ,x 2 2 , ,x n 2
y N fx 1 n ,x 2 n , ,x n n
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
函数随机误差为：
f
f
f
y 1 x 1 x 1 1 x 2 x 2 1 ... x n x n 1
f
f
f
y 2 x 1 x 1 2 x 2 x 2 2 ... x n x n 2
sin c o s
可得正弦函数的角度系统误差公式为：
1 f f
f
1n f
c o s( x 1 x 1 x 2 x 2 ... x n x n ) c o si 1 x i x i
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
例3-1 用弓高弦长法间接
测量最大直径 D，直接测得其
量，其相应的随机误差为：
x 1: x 1 1 , x 1 2 ,..., x 1 N x 2 : x 2 1 , x 2 2 ,..., x 2 N
x n : x n 1 , x n 2 ,. . . , x n N
一、函数误差 ➢函数随机误差计算
N 个函数值为： y 1 fx 1 1 ,x 2 1 , ,x n 1
一、函数误差 ➢函数系统误差计算
在间接测量中，函数的形式主要为初等函数，且 一般为多元函数，其表达式为：
yf(x1,x2,...xn)
对于多元函数，其增量可用函数的全微分表示， 则上式的函数增量为：
测量误差的基本知识汇总
测量误差的基本知识在测量工作中，对某量( 如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等 ) 进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:测量真误差 =真值 - 观测值一、误差产生的原因 :1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联二观测误差分类：1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为 30m，经鉴定后，它的实际长度为 30.016m，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m，也就是每量一整尺段就有+0.016m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为 5×(+0.016)=+0.080m。
若用此钢尺丈量结果为 167.213ｍ，则实际长度为：167.213＋167.213×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ) 30系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
误差的合成、分配和传递
在通常情况下，未定系统总误差可以用极限误差的 形式给出误差的最大变化范围，也可用标准差来表示。
按极限误差合成 按标准差合成
三、误差的合成
1)按极限误差合成 a.绝对值合成法： 表达式：
( e1 e2
em ) ei
i 1 m
其中ei为极限误差。当m大于10时，合成误差估计值往 往偏大。一般应用于m小于10。
则有：
i
x f xi ci i xi y y
x
i
i
xi xi
相对误差传递公式
y i x
i 1
n
一、误差的传递
和差函数的误差传递
y x1 x2
c1 f 1 x1
x1 y
c2
f 1 x2
x2 y
1 c1
2 c2
y
1i j
n
对 y
y y
(
i 1
n
x x f )0 i 两边求方差，则得： xi y xi
随机相对误差的传递公式
y
n f 2 xi 2 2 f xi f x j （ ） ( ) 2 [( ） ] [( ） ]i , j i j 0 i x y x y x y i 1 1i j i i j n
2 i 1i j
1 y
x
i 1 2 ij i , j i j
1i j
n
在水文测验误差分析中，常对上式进行简化。假定各直接被测量的相对 标准差相等，再假定各直接被测量之间不存在相关关系，则变量和的相 对标准差传递公式变为： x m 2 1 m 2 灵敏系数平方和 ny xi xi y i 1 y i 1 的方根
测量误差及不确定度分析的基础知识
测量误差及不确定度分析的基础知识物理实验是以测量为基础的。
测量可分为直接测量与间接测量，直接测量指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量，间接测量指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量。
根据测量条件的不同，测量分为等精度测量和非等精度测量。
测量四要素是测量对象，测量方法，测量单位，测量不确定度。
由于测量仪器、测量方法、测量环境、人员的观察力等种种因素的局限，测量是不能无限精确的，测量结果与客观存在的真值之间总是存在一定的差异，即存在测量误差。
因此分析测量中产生的各种误差，尽量消除或减小其影响，并对测量结果中未能消除的误差作出估计，给出测量结果的不确定度就是物理实验和科学实验中必不可少的工作。
为此我们必须了解误差的概念、特性、产生的原因及测量结果的不确定度的概念与估算方法等的有关知识。
误差的定义、分类及其处理方法一.误差的定义：测量结果与被测量的真值（或约定真值）之差叫做误差，记为:被测值的真值是一个理想的概念，一般说来真值是不知道的。
在实际测量中常用准确度高的实际值来作为约定真值，才能计算误差。
二.误差的分类及其处理方法：误差主要分为系统误差和随机误差。
系统误差：（1）定义：在同一被测量的多次测量过程中，绝对值和符号保持恒定或以可预知的方式变化的测量误差的分量。
（2）产生原因：① 仪器本身的缺陷或没按规定条件使用仪器而引起的误差（又称作仪器误差）例：电表的刻度不均匀---示值误差等臂天平的两臂实际不等---机构误差指针式电表使用前没调零---零位误差大气压强计未在标定条件下使用引起的系统误差等②测量所依据的理论公式本身的近似性、或实验条件不能达到理论公式的要求、或测量方法所带来的系统误差（又称作理论误差或方法误差）。
例：单摆运动方程小角度近似解引起的误差、伏安法测电阻时电表内阻引起的测量误差。
(3)分类及处理方法：根据误差的符号、绝对值确定与否分类如下：① 已定系统误差---绝对值和符号已经确定的系统误差分量，如零位误差、大气压强计室温下使用引起的误差、伏安法测电阻时电流表内接或外接引起的误差等；这类误差分量一般都要修正。
电气测试4 2_6测量数据处理 7误差合成与分配
1
2017-02-17
例 2-12
用一块 U m =100V，s＝0.5级电压表进行测量，其示值为 85.35V，试确定有效数字位数。 解：该量程的最大误差为： •
2.6.5 等精密度测量结果的处理步骤
对某一被测量进行等密度测量时，其测量值可能同时含 有随机误差、系统误差和粗大误差。为了合理估算其测 量结果，写出正确的测量报告，必须对测量数据进行分 析和处理。 数据处理的基本步骤如下： ① 用修正值等方法，减小恒值系统误差的影响。 n ② 求算术平均值 x 1 x i n i 1 式中，x 是指可能含有粗差在内的平均值。
i xi x
i 1
i 0
n
若 i 的代数和约等于零，说明 的代数和约等于零 说明 x 的计算是正确的；否则 的计算是正确的 否则 说明计算 x 时有错，要重新计算。 ˆ 。利用贝赛尔公式 ④ 求标准差的估计值
ˆ
1 n 2 i n 1 i 1
9
10
ˆx ⑧ 求算术平均值标准差估计值
3
2.6.2 有效数字的位数
• 所谓有效数字的位数，是指在一个数值中，从第一个非零 的数算起，到最末一位数为止，都叫有效数字的位数。例 如，0.27是两位有效数字；10.30和2.102都是四位有效数 字。 • 可见，数字“0”在一个数值中，可能是有效数字，也可能 不是有效数字。
4
2.6.3 有效数字的运算规则 • 在数据处理中，常需要对一些精度不相等的数进 行四则运算。为了使计算简单准确，可首先将参 加 算的各个数 以精度最差的 个为基准进行 加运算的各个数，以精度最差的一个为基准进行 舍入处理（也可多保留一位欠准数字），计算结 果也按精度最差的那个数为基准作舍入处理（也 可以多保留一位或两位欠准数字）。这样使计算 简便准确。
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
误差的合成与分配全
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其 它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。 研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。 对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算
在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
若在测量过程中，有r个单项已定系统误差，其误差值分别为 V 1 ,
V2,...,Vr，相应的误差传递系数为 a1,a2,...,ar ，则按代数和法合成
的总的已定系统误差为：
r
V a i Vi
i1
在实际测量中，已定系统误差应用修正值去消除。若由于某种 原因未被消除，则应用代数和法合成。一般情况下，最后测量结 果不应含有已定系统误差。
22
二. 未定系统误差
定义： 未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，而 只能或只需估计出其不致超过某一极限范围 e i 的系统误差。
1. 未定系统误差的特征及其评定
未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测 量时其值固定不变，因而不具有抵偿性。所以利用算术平均 值法不能减少它对测量结果的影响。这是它与随机误差的重 要差别。
(i )(i )
(i )2 (i )2
(xi , xj )
(xik xi )(x jk x j )
k
(xik xi )2 (x jk x j )2
k
k
（5）理论计算法： 有些误差的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求的。
16
第二节 随机误差的合成
随机误差具有随机性，其取值不可预知，用测量的标准差 或极限误差表征其取值的分散程度。
称重传感器并联组秤原理及其误差合成
称重传感器并联组秤原理及其误差合成中国运载火箭技术研究院第七0二研究所刘九卿【摘要】21世纪已经到来，这将是电子称重技术在高新技术牵引下大发展的年代。
研讨电子称重领域共性的关键技术和基础理论，对称重技术的进步和电子衡器产品的开发有较大促进作用。
为此，本文介绍了最普通又极容易被误解的多个称重传感器并联组秤的输出问题；对称重传感器合成误差有影响的单个称重传感器的各种误差的正确合成问题。
讨论了多个称重传感器系统的误差和单个称重传感器合成误差的关系，并推导出相应的误差计算公式。
【关键词】称重传感器；并联输出；误差；合成误差；误差分布1．概述自从60年代末期全电子衡器问世以来，其重量转换系统通常由多个称重传感器组成，被称重量便分配在这些称重传感器上。
如何将各称重传感器的电桥电路连接起来得到总的输出信号，并把它送至称重显示控制仪表，一般有串联、并联和混联三种输出电路。
全电子衡器问世之初，由于称重显示控制仪表的分辨率和准确度较低，为了得到较精确的测量结果，多采用串联输出电路。
其优点是可以得到较大的输出电压，串联输出是各称重传感器电桥电路输出之和，缺点是增大了称重传感器的输出阻抗，容易引入共模干扰，特别是每个称重传感器一定要有单独的供桥稳压电源，否则完全破坏电桥电路原有的关系，这就增加了整个系统的复杂性，而且要使多个单独的稳压电源做得一样是非常困难的，如果是直流那就更困难了。
随着科学技术的进步，称重显示控制仪表的分辨率和准确度有了较大提高，70年代中期以来，多个称重传感器的电子称重系统基本上告别了串联输出电路，而采用并联输出电路。
它分别将每个称重传感器电桥电路的输入端、输出端并联，将并联后的输出端接至称重显示控制仪表。
并联输出电路只需要一台公共稳压电源给各称重传感器施加供桥电压，即节省设备，简化系统，又提高了称量的可靠性。
并联输出还可以减小总输出阻抗，增强系统抗干扰能力。
但它要求每个称重作者简介：刘九卿（1937～），男（汉族），辽宁省海城市，中国运载火箭技术研究院第702研究所研究员，享受国务院政府特殊津贴专家，在职时从事各型号运载火箭结构强度试验应力分析等工作，现为中国衡器协会技术顾问。
误差原理第三章误差的传递与合成
误差原理第三章误差的传递与合成误差的传递是指在实验过程中，由于不同的测量步骤和计算过程引入误差，这些误差会通过物理关系或者数学计算传递到最终结果中。
在实验中，每一个测量仪器都有其特定的精确度和不确定度。
当我们进行复杂的测量或计算时，这些误差会相互作用并积累，从而影响到最终结果的精确度。
为了定量描述误差的传递，我们需要引入误差传递公式。
对于其中一个物理量x，假设它是由一系列测量结果a、b、c等通过其中一种物理关系或者数学计算得到的，则误差传递公式可以写为：Δx=√((∂x/∂a)²Δa²+(∂x/∂b)²Δb²+(∂x/∂c)²Δc²+...)其中Δx表示x的不确定度，∂x/∂a、∂x/∂b等表示物理关系或者计算公式对于变量a、b的导数，Δa、Δb等表示变量a、b的不确定度。
这个公式表明了误差是通过导数的平方和来传递的。
最大值法是指将每个测量结果的不确定度取最大值，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差独立且不相关的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，我们使用了不同型号的仪器进行多次测量，那么每个测量结果的不确定度可以认为是不相关的，这时可以采用最大值法。
平方和法是指将每个测量结果的不确定度的平方相加并开方，作为最终结果的不确定度。
这种方法适用于误差相互关联的情况。
例如，在实验中测量一些物理量时，多个测量结果的不确定度具有一定的相关性，这时可以采用平方和法。
实际应用中，误差的传递和合成在实验设计和数据处理中起着关键的作用。
在实验设计中，我们可以通过分析物理关系和计算过程，确定哪些因素会对实验结果产生较大的影响，从而优化实验方案以降低不确定度。
在数据处理中，我们可以根据误差的传递公式和合成方法，对实验结果进行误差分析，得到对最终结果的不确定度的估计，以提高实验结果的可靠性和可信度。
总之，误差的传递和合成是误差原理的核心内容，它描述了实验结果的不确定性和误差如何从测量仪器传递到最终的物理量中。
测量误差合成传递
ε = ε1 + ε 2 + K + ε m = ∑ ε i
i =1
由于所得结果是明确大小和方向的数值， 由于所得结果是明确大小和方向的数值 ， 故可直 接在测量结果中修正， 接在测量结果中修正 ， 在一般情况下最后测量结 果不应含有已定系统误差的内容。 果不应含有已定系统误差的内容。
（2）不确定系统误差的合成
若误差符号不确定：
∆y = ±( ∆x1 + ∆x 2
)
相对误差： ∆x1 ⋅ x1 ∆x 2 ⋅ x 2 ∆y ∆x1 ± ∆x 2 = γy = = ± (x1 ± x2 ) ⋅ x1 (x1 ± x2 ) ⋅ x2 y x1 ± x 2 x1 x2 = ⋅ γ x1 ± ⋅ γ x2 x1 ± x 2 x1 ± x 2
1 ∂2 f 1 ∂2 f 1 ∂2 f 2 2 2 (∆x1 ) + (∆x2 ) + K + (∆xn ) + K + 2 2 2 2 ∂x1 2 ∂x 2 2 ∂x n
1．函数误差传递的基本公式 ．
略去高阶项 绝对误差： 绝对误差：
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + K + ∆x n = ∑ ∆xi ∂x1 ∂x 2 ∂x n i =1 ∂xi
∂f 2 ∂f σy = ∂x σ x1 + ∂x 1 2
∂f 2 = ∑ ∂x σ xi = i =1 i
n 2
2
∂f 2 σ x2 + K + ∂x n
部分误差
2
2 σ xn
1．函数误差传递的基本公式 ． 假设间接测量的数学表达式为： 假设间接测量的数学表达式为：
误差的合成与分解1相对测量时需用54255mm的量块组做
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈ 又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
第三章误差的合成与分配
系统误差的合成 一、已定系统误差合成 • 定义： – 误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差 • 表示符号：Δ • 合成方法：按照代数和法进行合成
Δi 为第i个系误差，ai 为其传递系数
在实际测量中，大部分已定系统误差在测量过程中均已 消除，少数未予消除的也只是少数几项，它们按代数和 法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结 果中不再含有已定系统误差。
函数的误差 误差的合成
各个误差互不相关，相关系数 ij 0
合成标准差
(a )
i 1 i i
q
2
当误差传播系数 ai 1 、且各相关系数均可视为0 合成标准差
i 1
q
2 i
随机误差的合成
一、极限误差合成
合成极限误差：
若 ij 0
第三节未定系统误差 和 随机误差的合成
2
2
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差
ij第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
f 第i个直接测得量 xi的误差传播系数 xi
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项
f f f 2 2 2 y xn x1 x2 x1 x2 xn
例3：测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V,测量的 标准差分别为 I 0.5mA, u 0.1 V ，求所耗功率P=UI及 其标准差 p 。 解：所耗功率 P=UI=12.6V×22.5×10-3A=0.2835W 因为
P I 22.5 103 A U P U 12.6V I 且U、I完全线性相关，故相关系数 1 ，所以
f ( i 1,2, ,n) 其中： xi
测量误差的基本知识汇总
测量误差的基本知识在测量工作中，对某量(如某一个角度、某一段距离或某两点间的高差等)进行多次观测，所得的各次观测结果总是存在着差异，这种差异实质上表现为每次测量所得的观测值与该量的真值之间的差值，这种差值称为测量真误差，即:测量真误差=真值-观测值一、误差产生的原因:1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
上述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联二 观测误差分类： 1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，若观测误差的符号及大小保持不变，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
这种误差往往随着观测次数的增加而逐渐积累。
如某钢尺的注记长度为30m ，经鉴定后，它的实际长度为30.016m ，即每量一整尺，就比实际长度量小0.016m ，也就是每量一整尺段就有+0.016m 的系统误差。
这种误差的数值和符号是固定的，误差的大小与距离成正比，若丈量了五个整尺段，则长度误差为5×(+0.016)=+0.080m 。
若用此钢尺丈量结果为167.213ｍ，则实际长度为：167.213＋30213.167×0.0016=167.213＋0.089=167.302(ｍ)系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有： 1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
测量误差、不确定度与数据处理汇总
第2章测量误差、不确定度和数据处理2.1 测量误差与不确定度2.1.1 测量在科学实验中，一切物理量都是通过测量得到的。
所谓测量就是将待测物理量与规定作为标准单位的同类物理量(或称为标准量)通过一定方法进行比较。
测量中的比较倍数即为待测物理量的测量值。
测量可分为两类，一类是用已知的标准单位与待测量直接进行比较，或者从已用标准量校准的仪器仪表上直接读出测量值(例如，用米尺量得物体的长度为0.7300m，用停表测得单摆周期为1.05s，用毫安表读出电流值为12.0mA等)，这类测量称直接测量(或简单测量)；另一类测量，它不能直接把待测量的大小测出来，而是依据该待测量和一个或几个直接测得量的函数关系求出该待测量(例如，测量铜(圆柱体)的密度时，我们首先用游标卡尺或千分尺测出它的高h和直径d，用天平称出它的质量M，然后再通ρ=计算出铜的密度ρ)，我们把这类测量称为间接测量(或称复合过函数关系式h4π/M2d测量)。
一般说，大多数测量都是间接测量、但随着科学技术的发展，很多原来只能以间接测量方式来获得的物理量，现在也可以直接测量了。
例如电功率的测量，现在可用功率表直接测量，又如速度也可用速率表来直接测量等。
测得的数据(即测量值)不同于数学中的一个数值，数据是由数值和单位两部分组成的。
一个数值有了单位，便具有了一种特定的物理意义，这时，它才可以称为一个物理量。
因此，在实验中经测量所得的值(数据)应包括数值和单位，即以上二者缺一不可。
2.1.2 误差任何物质都有自身的特性，反映这些特性的物理量所具有的客观真实数值称为这些物理量的真值。
测量的目的就是要力求得到真值。
但测量总是依据一定的理论和方法，使用一定的仪器，在一定的环境中，由一定的人进行的。
在实验测量过程中，由于受到测量仪器、测量方法、测量条件和测量人员的水平以及种种因素的限制，使测量结果与客观存在的真值不可能完全相同，导致所测得的只能是该物理量的近似值。
误差分析6章函数误差与误差合成
误差分析6章函数误差与误差合成在现实生活中，我们经常需要通过各种方法来测量和估计一些物理量或现象。
然而，由于测量工具的限制性和环境的干扰等原因，我们所获得的测量结果往往会有一定的误差。
因此，误差分析对于准确测量和数据处理是非常重要的。
了解函数误差的传播规律是进行误差分析的关键。
根据误差传播规律，我们可以通过对各个误差的合成和分析，来估计函数误差的大小和分布。
常用的误差合成方法有两种：线性误差合成和非线性误差合成。
线性误差合成是最简单和常用的误差合成方法。
它假设函数误差是一个线性函数，即函数误差与输入变量之间存在线性关系。
在线性误差合成中，我们可以通过计算输入变量的误差对函数输出的影响来估计函数误差的大小和分布。
具体而言，我们可以利用一次导数来估计函数误差的传播规律。
例如，对于一个函数f(x) = ax + b，如果输入变量x的误差为Δx，那么函数输出的误差可以用Δf = aΔx来估计。
非线性误差合成是对于一些非线性函数而言的，它考虑了输入变量之间的相关性和非线性关系。
非线性误差合成方法相对较复杂，需要结合数值方法和统计方法来进行分析。
其中，常用的方法有蒙特卡洛法、雅可比矩阵法和高斯-牛顿法等。
这些方法通过对各个输入变量的误差进行采样和组合，来计算函数输出的误差，并估计函数误差的大小和分布。
误差合成的目的是对函数的误差进行估计和控制。
通过合理选择测量方法、改进数据处理算法以及优化输入变量的选择，可以有效地减小函数误差，提高数据分析的准确性和可靠性。
此外，误差合成还可以帮助我们识别和排除一些异常值和离群点，从而提高数据处理的鲁棒性。
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目录一、测量误差及分类 (2)1.1测量误差概述 (2)1.2 测量误差分类 (2)二、测量误差的合成 (5)2.1 随机误差的合成 (5)2.2 系统误差的合成 (7)2.3 系统误差与随机误差的合成 (11)测量误差及误差合成一、测量误差及分类1.1测量误差概述测量工作中，尽管观测者按照规定的操作要求认真进行观测，但在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论值之间仍存在差异。
例如，对某一三角形的三个内角进行观测，其和不等于180°；又如所测闭合水准路线的高差闭合差不等于零等，这说明观测值中包含有观测误差。
研究观测误差的来源及其规律，采取各种措施消除或减小其误差影响，是测量工作者的一项主要任务。
观测误差产生的原因主要有以下三个方面:1．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力有一定的局限性，在仪器安置、照准、读数等方面都产生误差。
同时观测者的技术水平、工作态度及状态都对测量成果的质量有直接影响。
2．测量仪器每种仪器有一定限度的精密程度，因而观测值的精确度也必然受到一定的限度。
同时仪器本身在设计、制造、安装、校正等方面也存在一定的误差，如钢尺的刻划误差、度盘的偏心等。
3．外界条件观测时所处的外界条件，如温度、湿度、大气折光等因素都会对观测结果产生一定的影响。
外界条件发生变化，观测成果将随之变化。
述三方面的因素是引起观测误差的主要来源，因此把这三方面因素综合起来称为观测条件。
观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。
1.2 测量误差分类观测误差按其对观测成果的影响性质，可分为系统误差和随机误差两种。
（1）系统误差在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号表现出系统性，或按一定的规律变化，那么这类误差称为系统误差。
例如，用一把名义为30m长、而实际长度为30.02m的钢尺丈量距离，每量一尺段就要少量2cm，该2cm误差在数值上和符号上都是固定的，且随着尺段的倍数呈累积性。
系统误差对测量成果影响较大，且一般具有累积性，应尽可能消除或限制到最小程度，其常用的处理方法有：1．检校仪器，把系统误差降低到最小程度。
2．加改正数，在观测结果中加入系统误差改正数，如尺长改正等。
3．采用适当的观测方法，使系统误差相互抵消或减弱，如测水平角时采用盘左、盘右现在每个测回起始方向上改变度盘的配置等。
（2）随机误差在相同的观测条件下作一系列观测，若误差的大小及符号都表现出偶然性，即从单个误差来看，该误差的大小及符号没有规律，但从大量误差的总体来看，具有一定的统计规律，这类误差称为偶然误差或随机误差。
例如用经纬仪测角时，测角误差实际上是许多微小误差项的总和，而每项微小误差随着偶然因素影响不断变化，因而测角误差也表现出随机性。
对同一角度的若干次观测，其值不尽相同，观测结果中不可避免地存在着随机误差的影响。
随机误差是由多种因素综合影响产生的，观测结果中不可避免地存在偶然误差，因而随机误差是误差理论主要研究的对象。
就单个随机误差而言，其大小和符号都没有规律性，呈现出随机性，但就其总体而言却呈现出一定的统计规律性，图1 频率直方图并且是服从正态分布的随机变量。
即在相同观测条件下，大量随机误差分布表现出一定的统计规律性。
图2正态分布曲线1．在一定的观测条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的限值；2．绝对值较小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；3．绝对值相等的正、负误差出现的概率相同；4．同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增加而趋近于零，即[]lim 0x n →∞∆=除上述两类误差之外，还可能发生错误，也称粗差，如读错、记错等。
这主要是由于粗心大意而引起。
一般粗差值大大超过系统误差或偶然误差。
粗差不属于误差范畴，不仅大大影内测量成果的可靠性，甚至造成返工。
因此必须采取适当的方法和措施，杜绝错误发生。
二、测量误差的合成检测系统往往由若干个环节组成，测量过程往往包含有若干个环节，各个环节都存在着误差因素。
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是检测系统或测量过程各个环节一系列误差因素共同影响的综合结果。
各个环节的误差因素称为单项误差。
根据各单项误差来确定测量结果的总误差，这就是误差的合成。
2.1 随机误差的合成随机误差用测量的标准差或极限误差来表征，随机误差的合成分为标准差的合成与极限误差的合成两种情况来讨论。
1．标准差的合成根据对随机变量求标准差的方法，标准差的合成一般采用方和根法，同时要考虑误差传递系数以及各单项误差之间的相关性影响。
设共有q 个单项随机误差，它们的标准差分别为σ1、σ2、…、σq ，其对应的传递系数分别为a 1、a 2、…、a q 。
这些传递系数由测量的具体情况来确定，对间接测量可按公式求得，对直接测量则根据各个误差因素对测量结果的影响情况来确定。
按方和根法合成的总标准差为σ= （2-1） 式中，ρij 为任意两单项随机误差之间的相关系数。
一般情况下，各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有σ= （2-2）当各个单项随机误差传递系数均为1，且各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有σ= （2-3）用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可按式（2-1）或式（2-2）、式（2-3）计算总标准差。
2．极限误差的合成在实际测量中，各个单项随机误差和测量结果的总随机误差也常以极限误差的形式来表示。
用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义。
一般情况下，各个单项随机误差服从的分布不同，各个单项极限误差的置信概率也不同，因而有不同的置信系数。
设各单项极限误差为1,2,,i i i t i q δσ=±= （2-4） 式中，σi 为各单项随机误差的标准差，t i 为各单项极限误差的置信系数。
总极限误差为t δσ=± （2-5） 式中，σ为合成的总标准差，t 为总极限误差的置信系数。
综合式（2-4）、式（2-5）和式（2-1），可得合成的总极限误差为ij j δ=±∑ （2-6） 式中，ρij 为任意两单项随机误差之间的相关系数。
根据已知的各单项极限误差和相应的置信系数，即可按式（2-6）进行极限误差的合成。
但必须注意到，式（2-6）中的各个置信系数，不仅与置信概率有关，而且与随机误差服从的分布有关。
对于服从相同分布的随机误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同；对于服从不同分布的随机误差，即使选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同。
由此可知，式（2-6）中的各个单项极限误差的置信系数，一般来说并不相同。
合成的总极限误差的置信系数t ，一般来说与各个单项极限误差的置信系数也不相同。
当单项随机误差的数目q 较多时，合成的总极限误差接近于正态分布，因此合成的总极限误差的置信系数t 可按正态分布来确定。
当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个单项极限误差与总极限误差选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同，即t 1＝t 2＝…＝t q ＝t ，式（2-6）可简化为δ= （2-7） 一般情况下，各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，式（2-7）可简化为δ= （2-8）当各个单项随机误差传递系数均为1，且各个单项随机误差互不相关，相关系数ρij ＝0，则有δ= （2-9）式（2-8）和式（2-9）均具有十分简单的形式，由于在实际测量中各个单项随机误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且它们之间常是互不相关或近似不相关，因此式（2-8）和式（2-9）均是较为广泛应用的极限误差合成公式。
在实际应用时，应注意式（2-8）和式（2-9）的使用条件。
2.2 系统误差的合成系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已定系统误差和未定系统误差。
由于这两种系统误差的特征不同，其合成方法也不相同。
1．已定系统误差的合成已定系统误差是指误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差。
对于已定系统误差，在处理测量结果时可根据各单项系统误差和其传递系数，按代数和法合成。
在测量过程中，若有r 个单项已定系统误差，其误差值分别为△1，△2，…，△r ，相应的误差传递系数为a 1，a 2，…，a r ，则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为1ri i i a =∆=∆∑ （2-10）在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因末予消除的已定误差也只是有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，因此，最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。
2．未定系统误差的合成（1）未定系统误差的特征及其评定未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必花费过多精力去掌握，而只需估计出其不致超过某一极限范围±e i 的系统误差。
也就是说，在一定条件下客观存在的某一系统误差，一定是落在所估计的误差区间（－e i ，e i ）内的一个取值。
当测量条件改变时，该系统误差又是误差区间（－e i ，e i ）内的另一个取值。
而当测量条件在某一范围内多次改变时，未定系统误差也随之改变，其相应的取值在误差区间（－e i ，e i ）内服从某一概率分布。
对于某一单项未定系统误差,其概率分布取决于该误差源变化时所引起的系统误差的变化规律。
理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较难求得。
目前对未定系统误差的概率分布，均是根据测量实际情况的分析与判断来确定的，并采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理。
但这两种假设,在理论上与实践上往往缺乏根据，因此对未定系统误差的概率分布尚属有待于作进一步研究的问题。
未定系统误差的极限范围±e i 称为未定系统误差的误差限。
对于某一单项未定系统误差的误差限，是根据该误差源具体情况的分析与判断而做出估计的，其估计结果是否符合实际，往往取决于对误差源具体情况的掌握程度以及测量人员的经验和判断能力。
未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响，这是它与随机误差的重要差别。
但当测量条件改变时，由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并且服从一定的概率分布，这些特征均与随机误差相同，因而评定它对测量结果的影响也应与随机误差相同，即采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。
现以质量的标准器具──砝码为例来说明未定系统误差的特征及其评定。
在质量计量中，砝码的质量误差将直接带入测量结果。
为了减小这项误差的影响，应对砝码质量进行检定，以便给出其修正值。
由于不可避免地存在砝码质量的检定误差，经修正后的砝码质量误差虽已大为减小，但仍有一定误差，因而影响质量的计量结果。