数学文卷·2014届湖北省武汉二中高三全真模拟考试(二)0(2014.05)(1)

命题人：高美山
【试卷综析】本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。

明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。

较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。

符合高考命题的趋势和学生的实际。

一、选择题(每小题5分，共50分).
1．已知全集,U R =且{}{}
2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()
U C A B 等于( )
A.[1,4)-
B. (1,4)-
C.(2,3)
D. (2,3]
【知识点】含绝对值的不等式、一元二次不等式的解法，集合的运算。

【答案解析】 D 解析 ：解：由12121213x x x x x ->⇒-<-->⇒<->或或， 所以A={}
|13x x x <->或,所以{}|13U C A x x =-≤≤.
由()()268024024x x x x x -+<⇒--<⇒<<，所以{}|24B x x =<<所以
()
U C A B =(2,3].
【思路点拨】先将集合A 化简得 A={}
|13x x x <->或, 从而得{}|13U C A x x =-≤≤。

再将集合B 化简得{}|24B x x =<<，所以()U C A B =(2,3].
2. 下列说法正确的是( )
A. 若,a R ∈则“
1
1a
<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件
C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤”，则p ⌝是真命题
D. 命题“0,x R ∃∈使得2
0230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 【知识点】充要条件；命题的真假；命题的否定. 【答案解析】 A 解析 ：解：对于选项A: 11a
<解得a>1或a<0, 则“1
1a <”是“1a >”
的必要不充分条件，所以选项A 正确.
对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.
对于选项C ：命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤”，是真命题，则p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.
对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得2
00230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤” 所
以选项D 不正确.
综上：故答案选A. 【思路点拨】对于选项A: 11a
<解得a>1或a<0, 则“1
1a <”是“1a >”的必要不充分条件，
所以选项A 正确.
对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.
对于选项C ：命题:p
“,sin cos x R x x ∀∈+≤”，是真命题，则p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.
对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤” 所
以选项D 不正确.
3.圆2
2
:12,C x y +=上任意一点A 到直线:4325.l x y +=的距离小于2的概率为( )
A.
2
1
B.
3
1 C.
3
2 D.
6
1 【知识点】点到直线的距离公式，几何概型概率求法
【答案解析】D 解析 ：解：因为圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3
的弦长为60，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一，故选D. 【思路点拨】先求圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长
为，它等于半径，所以它所对的圆心角为60，所以圆C 上到直线
:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一.
4.在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，AM ⊥BC 于M ，点N 是△ABC 内部或边上一点， 则 AN AM ⋅的最大值为( ) A.
25
144
B. 25
C.16
D. 9
【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律．
【答案解析】 A 解析 ：解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC 以A 为原点，以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，
则A （0，0），B （3，0），C （0，4），设M （a ，b ） （a ，b ＞0） N （x ，y ）
则由点N 是△ABC 内部或边上一点可得，030443120x y x y ≤≤⎧⎪
≤≤⎨
⎪+-≤⎩
则()(12 34 ||BC AM a AM -＝，
，＝，
，＝
由AM ⊥BC 于M 可知 0AM BC ⋅＝，
12||AM ＝48x AM AN ⋅＝故选 A
【思路点拨】由题意，以AB
AM BC ⋅＝，
12
||AM ＝点可得030x ≤≤⎧⎪
≤⎨
⎩25
AM AN ⋅＝
，从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC ）内最大值问题．
【典型总结】此题是一道综合性较好的试题，以向量的相关知识（向量的垂直、向量的模的坐标表示）为载体，把向量的数量积的问题转化为线性规划的问题.
5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则 9
9
2212,....,2,2a a a 中最大的是( )
A. 9
9
2a
B. 6
6
2a
C. 5
5
2a
D.
1
2a 【知识点】等差数列的前n 项和、通项公式、性质等
【答案解析】C 解析 ：解：由S 9>0，S 10<0，得191100,0a a a a +>+<，从而560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列，所以选C.
【思路点拨】由S 9>0，S 10<0，得560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列.
6. 程序框图如图，如果程序运行的结果为132S =,那么判断框中可填入( )
A.. 11k ≤
B. 11k ≥
C. 10k ≤
D. 10k ≥ 【知识点】当型循环结构的程序框图.
【答案解析】 C 解析 ：解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…， ∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10， ∴判断框的条件是k≤10，故答案选C.
【思路点拨】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．
【典型总结】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k 值．
7．过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一个焦点F 引它到渐进线的垂线，垂足为M ，延
长FM 交y 轴于E ，若2=，则该双曲线离心率为( )
A.3
B.3
C.
2
3
D.
2
6 【知识点】双曲线的渐近线及离心率，向量的有关知识.
【答案解析】B 解析 ：解：由点到直线的距离公式得：FM=b,从而OM=a,又2=
所以ME=
2b ，因为2
OM FM EM =⋅,所以()22221122
a b c a =⋅=-，解得e = 【思路点拨】根据点到直线的距离公式求得：FM=b,从而OM=a,又ME FM 2=
所以ME=
2b ，因为2
OM FM EM =⋅,所以()22221122
a b c a =⋅=-，解得e = 8. 球面上有三个点A 、B 、C ，其中AB ＝18,BC ＝24,AC ＝30，且球心到平面ABC 的距离为
球半径的一半，那么这个球的半径为( )
A.20
B.30
C. 103
D.153
【知识点】球的内接多面体，空间想象能力，计算能力，勾股定理.
【思路点拨】说明三角形ABC 是直角三角形，AC 是斜边，中点为M ，OA=OB=OC 是半径，
求出OM ，利用球半径是球心O 到平面ABC 的距离的2倍，求出半径即可. 9.若ABC ∆为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是( )
A.0cos cos log cos >B A
C B. 0sin cos log cos >B A
C C.0cos sin log sin >B
A
C
D. 0sin sin log sin >B
A
C
【知识点】锐角的三角函数值的取值范围。

【答案解析】B 解析 ：解：把A=B=C=3
π
代入各式，只有B 正确. 【思路点拨】特殊值检验法.
10.设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数．①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上值域为[],a b ．如果函
数()f x k =+为闭函数，则k 的取
值范围是( )
A. 1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B. 11,2
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
C. ()1,-+∞
D. (),1-∞
【知识点】函数恒成立问题．
([12124k -+-+⎛⎫ ⎪
⎝⎭＝＝(()22[k k k -+-＝＝故选B ．
11. 函数()()x x x f tan 1lg 162-+-=的定义域是
. 【知识点】定义域；对数函数；正切函数的定义域. 【答案解析】
54,,,42424
πππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⎪ ⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭
解析：解:
2
16x -的定义域为44x -≤≤，又
1tan 0tan 14
x x k x k πππ
->∴<∴<<+
，所以函数的定义域为
54,,,42424πππππ⎡⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⎪ ⎪ ⎪
⎢⎣⎭⎝⎭⎝⎭
【思路点拨】本题可先分别求出对应式子的定义域，对于正切函数的定义域，可给出特殊值，最后求出交集.
12. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所
【知识点】茎叶图；中位数、众数、极差的定义.
【答案解析】46，45，56解析：解：因为有30个数据，所以众数为数据中间两
个数的平均数
4547
462
+=，众数为数据中出现次数最多的数为45，极差为最大值与最小值的差68-12=56.
【思路点拨】分别按特征数的定义求出各特征数的值. 13.
复
数
z 满
足
3z +，设
n
z m z ==min max ，，则
m n ⋅=________.
【知识点】复数的概念；数形结合；复数的模长.
【答案解析】9解析：解：由题可设z a
bi =+
，因为3z +=可得
()
(2
2
33a b ++=又因为z =按数形结合的思想，a,b 相当于以(-a,b 到原点的距离，所以模的最
大值为圆心到原点的距离加半径，最小距离为圆心到原点的距离减半径，圆心到原点的
=
9m m n ====⋅==
【思路点拨】本题主要是考查数形结合思想，利用几何关系，可求出m n ⋅的值.
14.已知函数)2
00,0(1)(cos )(2
π
ϕωϕω<<>>++=，
A x A x f 的最大值为3,)(x f 的图
像与y 轴的交点坐标为)2,0(,其相邻两条对称轴间的距离为2,则
++)2()1(f f ()2014f + =___________.
【知识点】三角函数的图像；周期性；二倍角公式；最值问题.
【答案解析】4027解析：解：根据题意最大值为3所以A=2，又因为图像过()0,2，可得
4
π
ϕ=
，相邻对称轴间的距离为2所以函数的周期为4，依据题意可知函数可化为
()()22cos 12cos 1cos 22
42f x A x x x ππωϕωω⎛⎫⎛
⎫=++=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭()sin 22x ω=-+因为周期为4，所以4
π
ω=
，
()sin 22
f x x π
⎛⎫
∴=-+
⎪⎝⎭
()()()()112,202,312,402f f f f ∴=-+=+=+=+根据周期为4可求得()()()()()123420144027f f f f f ∴+++=
【思路点拨】根据三角函数的图像与性质可求出函数的解析式，再根据函数的周期可得值. 15. 某四棱锥的三视图如图所示， 则最长的一条侧棱的长度是
【知识点】三视图；
【答案解析】29解析：解：根据三视图可知原图为如图，最长棱为AC 所
以，AE=2，EB=2，ED=3，DC=4 所以EC=5 所以
E D
C
B
A
【思路点拨】根据题意可做出原图，根据原图的关系可知最长棱，根据线短的关系可求出AC的值.
16.对于函数b
x
a
ax
x
x
f+
-
+
-
=)
2(
3
1
)
(2
3
，若()
f x有六个不同的单调区间，则a的取值范围为 .
【知识点】带绝对值的函数，考查利用导数研究函数的单调性.
()
2
4420
20
20
a a
a
a
⎧--
⎪
∴⎨
⎪-
⎩
＝＞
＞，
＞
解得1＜a＜2．
故答案为：1＜a＜2．
【思路点拨】由题意可知，f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）有三个不同的单调区间，利用其导函数与x正半轴有两交点即可求得a的取值范围．
17. 古埃及数学中有一个独特现象：除
2
3
用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式。

例如
211
5315
=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5 个人，每人
1
2
不够，每人
1
3
余
1
3
，再将这
1
3
分成5份，每人得
1
15
，这样每人分得
11
315
+.形如
2
(5,7,9,11,)
n
n
=的分数的分解：
211211211
,,,,
531574289545
=+=+=+按此规律，则(1)
2
11
=. (2)
2
=
n
.(5,7,9,11,,).
=
n
【知识点】归纳推理.
【答案解析】（1）
11666+，（2）()111122
n n n +++ 解析 ：解：由已知的三个等式
211211211
,,531574289545=+=+=+
得当n=5、7、9时，等号右边第一个分数的分母依次为3、
4、5，第二分数的分母是等号左边分母与等号右边第一分数分母的乘积，由此归纳出结论. 【思路点拨】：由已知的三个等式 211211211
,,531574289545
=+=+=+得，2n 分解成的两
分数的分母与n 的关系. 三、解答题(65分).
18. (12分) 已知函数222π()2sin cos )4f x x x x ⎛⎫=++-
⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，． (1)求5π12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； (2)求()f x 的单调区间；
(3)若不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．
【知识点】降幂公式；二倍角的余弦公式；两角差的正弦公式；三角函数的单调区间；三角函数求值；三角函数的值域；三角不等式恒成立问题. 【答案解析】（1）3 （2）()f x 的单调递增区间为5,412ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
，同理()f x 的单调递减区间为5,122ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
.（3） 14m <<.
解析 ：解：因为222π()2sin cos )4f x x x x ⎛⎫
=++-
⎪⎝⎭
所以化简得：
()=1-cos(2)22sin(2)123f x x x x ππ+=-+，ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，.
（1）5π12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
=52sin()12sin 13632πππ-+=+=. （2）当2222
32k x k π
π
πππ-
≤-
≤+时，即51212k x k ππππ-≤≤+，又因为ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，， 所以()f x 的单调递增区间为5,412ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，同理()f x 的单调递减区间为5,122ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
（3）若不等式()2f x m -<恒成立，即()2m f x >-或()2m f x <+恒成立，也就是
2sin(2)13m x π>--或2sin(2)33m x π<-+恒成立，又因为ππ42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，所以
[]2sin(2)1,23x π-∈，当2sin(2)13m x π>--时，只需满足m 大于2sin(2)13x π
--的最大值1，即1m >；当2s
i n (2)33m x π<-+时，只需满足m 小于2sin(2)33
x π
-+的最小值4，
即4m <，综上所述：实数m 的取值范围是14m <<.
【思路点拨】先把原函数化简为()2sin(2)13
f x x π
=-
+，（1）代入数值进行计算即可，（2）
借助于正弦函数的基本单调区间，再结合其定义域即可求得单调区间；（3）把原不等式转化为2sin(2)13m x π
>-
-或2sin(2)33m x π<-+恒成立的问题，再去求2sin(2)13
x π
--的
最大值和2sin(2)33
x π
-
+的最小值即可.
19.(12分)已知数列{}n a 的奇数项是首项为1公差为d 的等差数列，偶数项是首项为2公比为q 的等比数列.数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足34354,2S a a a a =+=+. (1)求d 和q 的值；
(2)求数列{}n a 的通项公式和前n 项和为n S .
【知识点】等差数列、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式。

【答案解析】（1）23
d q =⎧⎨=⎩（2）当n 为偶数时n S =2
4n +231n
-，当n 为奇数时
n S =()2
1
21314
n n -++- 解析 ：解：（1）根据题意得：121211222d q
d d q +++=⎧⎨
+++=+⎩
即：4232d q d q +=⎧⎨
=⎩ 解得：2
3
d q =⎧⎨=⎩
（2）由（1）得：2
2,23,n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩是奇数是偶数
所以：当n 为偶数时，其中有2n 个奇数项，2n 个偶数项。

奇数项的和为：2
4
n ，偶数项的和
为：2
31n -。

所以n S =2
4
n +231n
-。

当n 为奇数时，n+1为偶数，n S =11n n S a ++-
=
()()()2
2
12
1
1
2
2
2
113
123
3
14
4
n n n n n +-+-+++--⋅=
+-
【思路点拨】（1）先根据题意得关于q 、d 的方程组4232d q d q +=⎧⎨=⎩ 解得：2
3d q =⎧⎨=⎩
（2）再由数列{}n a 的奇数项是首项为1公差为d 的等差数列，偶数项是首项为2公比为q 的等
比数列得：2
2,23,n n n n a n -⎧⎪
=⎨⎪⋅⎩是奇数是偶数
由于通项公式与n 的奇、偶性有关，所以分n 是奇数、偶数求前n 项和.n 为偶数时，其中有2n 个奇数项，2n 个偶数项。

奇数项的和为：2
4
n ，偶数项
的和为：2
31n -。

所以n S =2
4
n +231n
-。

当n 为奇数时，n+1为偶数，n S =11n n S a ++-
=
()()()2
2
12
1
1
2
2
2
113
123
3
14
4
n n n n n +-+-+++--⋅=
+-.
20.(12分)在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，2,11==AA AB ，D 为1
AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，⊥CO 侧面11A ABB ． (1)证明：1AB BC ⊥;
(2)若OA OC =，求点1B 到平面ABC 的距离．
【知识点】棱锥的体积;线面垂直的判定与性质;面面垂直的判定;空间想象能力与运算能力. 【答案解析】(1)略（2
解析：证明：(1)
得
1
BD AB
===,
1
AOD BOB
∆≅
∆
11
11
23
AO DO AD
OD BD AO
OB OB BB
∴===∴===
222
1111
,
AO OD AD AB BD AB CO
+=∴⊥⊥∴⊥
又CO侧面ABB A又BD与CO交
于O点，
1
CBD
AB
∴⊥面又
1
BC CBD BC AB
⊂∴⊥
面
(2)
OC OA
==
222
2
3
AC OA OC AC
=+=∴=
OB=
=
1
BC==又AB=1
，
22221
cos,sin sin
232
ABC
BC AB AC
CBA CBA S AB BC CBA
AB BC
+-
∠==∠==⨯⨯∠
⋅
6
=
1111
11
3318
B AB
C ABC B C ABB ABB
V S h V S OC
--
===⨯
=
15
B
h
∴=
【思路点拨】（I）利用△AOD∽△B1OB，可求得OA、OD的长，根据勾股定理可证AB1⊥BD，可证AB1⊥平面CBD ，从而可证线线垂直；
（II）由（1）知OC为三棱锥C-ABA1的高，底面
1
ABB为直角三角形，利用
三棱锥的换底性求得三棱锥的体积，最后求出高即
1
B到平面ABC的距离. 21..(15分)已知函数
2
2
21
()
1
ax a
f x
x
+-
=
+
，其中a∈R．
(1)当1
a=时，求曲线()
y f x
=在原点处的切线方程；
(2)求)
(x
f的单调区间；
(3)若)
(x
f在[)20，上存在最大值和最小值，求a的取值范围．
【知识点】导数的几何意义;导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用.
【答案解析】（1）2x-y=0,(2)略（3）a的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]
解析：解：（I ）当a=1时()()()()()
222112,211x x x
f x f x x x +-'=
=-++由()02f '=得曲线y=f （x ）在原点处的切线方程是2x-y=0 （II ）对函数求导可得()()()
()
(
)2
221,01x a ax f x a f x x -+-''=
=⇒=
+
故f （x ）的单调减区间是（-∞，-a ），1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ；单调增区间是1,a a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭③当a ＜0时，f
（x ）与()f x '的情况如下： 所以f （x ）的单调增区间是1,
a ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭；单调减区间是()1,,,a a a ⎛⎫---+∞ ⎪⎝⎭
. （Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a=0时不合题意． …（10分） 当a ＞0时，由（Ⅱ）得，f （x ）在10,
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减， 所以f （x ）在（0，+∞）上存在最大值2
10f a a ⎛⎫=>
⎪⎝⎭
设x 0为f （x ）的零点，易知2
012a x a
-=且01x a <
从而x ＞x 0时，f （x ）＞0；x ＜x 0时，f （x ）＜0．
若f （x ）在[0，+∞）上存在最小值，必有f （0）≤0，解得-1≤a ≤1．
所以a ＞0时，若f （x ）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a 的取值范围是（0，1]． 当a ＜0时，由（Ⅱ）得，f （x ）在（0，-a ）单调递减，在（-a ，+∞）单调递增， 所以f （x ）在（0，+∞）上存在最小值f （-a ）=-1．
若f （x ）在[0，+∞）上存在最大值，必有f （0）≥0，解得a ≥1，或a ≤-1．
所以a ＜0时，若f （x ）在[0，+∞）上存在最大值和最小值，a 的取值范围是(],1-∞-综上，a 的取值范围是（-∞，-1]∪（0，1]．
【思路点拨】（Ⅰ）当a=1时，先对函数求导，然后求出 ()f x '，即取消在原点的切线斜率，可求得曲线y=f （x ）在原点处的切线方程
（Ⅱ）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间
（III ）由（Ⅱ）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a 的范围
22.(14分)已知12,F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，其左准线与x 轴相交于点
N ，并且满足121122,||2F F NF F F ==，设A 、B 是上半椭圆上满足NA NB λ=的两点，其中
11[,]53
λ∈.
(1)求此椭圆的方程；
(2)求直线AB 的斜率的取值范围.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；利用导数研究函数的单调性；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
62
）由于2,||2F F NF F F ==, ∵
NA NB λ=,
24k k ⎛⎧-⎪⎨⎪⎫ ⎪⎩
⎝⎭＝又由NA NB λ=，得
2
欲求椭圆方程，利用已知2,||2F F NF F F ==。