专题04 三角函数(原卷版)
专题04 三角函数与相似(解析版)
九年级数学下册解法技巧思维培优专题04 三角函数与相似【典例1】（2019•南岸区校级月考）如图，点A 是双曲线y =k x 上一点，过A 作AB ∥x 轴，交直线y ＝﹣x 于点B ，点D 是x 轴上一点，连接BD 交双曲线于点C ，连接AD ，若BC ：CD ＝3：2，△ABD 的面积为114，tan ∠ABD =95，则k 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣3C ．−34D ．34【点拨】如图作BH ⊥OD 于H ．延长BA 交y 轴于E ．由tan ∠ABD ＝tan ∠BDH =95，设DH ＝5m ，BH ＝9m ，则BH ＝BE ＝9m ，OD ＝4m ，推出C （﹣6m ，185m ），推出A （−125m ，9m ），由△ABD 的面积为114，推出12×335m ×9m =114，可得m 2=554，推出k ＝﹣6m ×185m ＝﹣2； 【解析】解：如图作BH ⊥OD 于H ．延长BA 交y 轴于E ．∵AB ∥DH ，∴∠ABD ＝∠BDH ，∴tan ∠ABD ＝tan ∠BDH =95，设DH ＝5m ，BH ＝9m ，则BH ＝BE ＝9m ，OD ＝4m ，∴C （﹣6m ，185m ），∴A （−125m ，9m ）， ∵△ABD 的面积为114， ∴12×335m ×9m =114， ∴m 2=554，∴k ＝﹣6m ×185m ＝﹣2， 故选：A ．【典例2】（2019•潍坊期末）如图，反比例函数y =2x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y =k x 的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则k ＝ ﹣8 ．【点拨】连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，通过角的计算找出∠AOE ＝∠COF ，结合“∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°”可得出△AOE ∽△COF ，根据相似三角形的性质得出比例式，再由tan ∠CAB ＝2，可得出CF •OF 的值，进而得到k 的值．【解析】解：如图，连接OC ，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥y 轴于点F ，∵由直线AB 与反比例函数y =2x 的对称性可知A 、B 点关于O 点对称，∴AO ＝BO ．又∵AC ＝BC ，∴CO ⊥AB ．∵∠AOE +∠AOF ＝90°，∠AOF +∠COF ＝90°，∴∠AOE ＝∠COF ，又∵∠AEO ＝90°，∠CFO ＝90°，∴△AOE ∽△COF ，∴AE CF =OE OF =AO CO ，∵tan ∠CAB =OC OA=2， ∴CF ＝2AE ，OF ＝2OE ．又∵AE •OE ＝2，CF •OF ＝|k |，∴k ＝±8．∵点C 在第二象限，∴k ＝﹣8，故答案为﹣8．【典例3】（2019•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形的直角顶点与原点O 重合，顶点A ，B 恰好分别落在函数y =−1x （x ＜0），y =4x （x ＞0）的图象上，则tan ∠ABO 的值为 12 ．【点拨】点A ，B 落在函数y =−1x （x ＜0），y =4x （x ＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB 的两条直角边的比，从而得出答案．【解析】解：过点A 、B 分别作AD ⊥x 轴，BE ⊥x 轴，垂足为D 、E ，∵点A 在反比例函数y =−1x （x ＜0）上，点B 在y =4x （x ＞0）上，∴S △AOD =12，S △BOE ＝2，又∵∠AOB ＝90°∴∠AOD ＝∠OBE ，∴△AOD ∽△OBE ，∴（AO OB ）2=S △AOD S △OBE ， ∴AO OB =12，在RtAOB 中，tan ∠ABO =AO OB =12，故答案为12．【典例4】（2019•广州）如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P （﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y=n−3x的图象相交于A，P两点．（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求证：△CPD∽△AEO；（3）求sin∠CDB的值．【点拨】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x 轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．【解析】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，解得：m＝﹣2，∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；将点P（﹣1，2）代入y=n−3x，得：2＝﹣（n﹣3），解得：n ＝1，∴反比例函数解析式为y =−2x ．联立正、反比例函数解析式成方程组，得：{y =−2xy =−2x，解得：{x 1=−1y 1=2，{x 2=1y 2=−2， ∴点A 的坐标为（1，﹣2）．（2）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，∴∠DCP ＝∠BAP ，即∠DCP ＝∠OAE ．∵AB ⊥x 轴，∴∠AEO ＝∠CPD ＝90°，∴△CPD ∽△AEO ．（3）解：∵点A 的坐标为（1，﹣2），∴AE ＝2，OE ＝1，AO =2+OE 2=√5．∵△CPD ∽△AEO ，∴∠CDP ＝∠AOE ，∴sin ∠CDB ＝sin ∠AOE =AE AO =5=2√55．【典例5】（2019•肥城市模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO＝2．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点B的坐标；（3）在x轴上是否存在点E，使|AE﹣BE|有最大值？如果存在，请求出点E坐标；若不存在，请说明理由．【点拨】（1）过点A作AD⊥x轴于点D，由点A，C的坐标结合tan∠ACO＝2可求出n的值，进而可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出反比例函数解析式，再根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式；（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点B的坐标；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点E，利用两边之差小于第三边可得出此时|AE ﹣BE|取得最大值，由点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A，B′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当|AE ﹣BE |取得最大值时点E 的坐标．【解析】解：（1）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图1所示．∵点A 的坐标为（n ，6），点C 的坐标为（﹣2，0），∴AD ＝6，CD ＝n +2．又∵tan ∠ACO ＝2，∴AD CD =6n+2=2，∴n ＝1，∴点A 的坐标为（1，6）．∵点A 在反比例函数y =m x (m ≠0)的图象上，∴m ＝1×6＝6，∴反比例函数的解析式为y =6x ．将A （1，6），C （﹣2，0）代入y ＝kx +b ，得：{k +b =6−2k +b =0，解得：{k =2b =4， ∴一次函数的解析式为y ＝2x +4．（2）联立一次函数及反比例函数解析式成方程组，得：{y =2x +4y =6x， 解得：{x 1=−3y 1=−2，{x 2=1y 2=6， ∴点B 的坐标为（﹣3，﹣2）．（3）作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB ′交x 轴于点E ，此时|AE ﹣BE |取得最大值，如图2所示． ∵点B 的坐标为（﹣3，﹣2），∴点B ′的坐标为（﹣3，2）．设直线AB ′的解析式为y ＝ax +c （a ≠0），将A （1，6），B ′（﹣3，2）代入y ＝ax +c ，得：{a +c =6−3a +c =2，解得：{a =1c =5， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x +5．当y ＝0时，x +5＝0，解得：x ＝﹣5，∴在x 轴上存在点E （﹣5，0），使|AE ﹣BE |取最大值．【典例6】（2019•南岸区校级期末）如图，已知一次函数y 1＝k 1x +6与反比例函数y 2=k 2x相交于A 、B ，与x 轴交于点C ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，已知sin ∠DBC =√55，OC ：CD ＝3：1．（1）求y 1和y 2的解析式；（2）连接OA ，OB ，求△AOB 的面积．【点拨】（1）根据平行线的性质得到BD OE =CD OC =13，求出BD ，根据正弦的概念求出CD 、BC ，利用待定系数法求出函数解析式；（2）求出A 、B 的纵坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：（1）y 1＝k 1x +6与y 轴的交点E 的坐标为（0，6）， ∴OE ＝6，∵BD ⊥x 轴，∴OE ∥BD ，∴BD OE =CD OC =13，∴BD ＝2，∵sin ∠DBC =√55，∴设CD =√5x ，则BC ＝5x ，由勾股定理得，（5x ）2＝（√5x ）2+4，解得，x =√55，则CD =√5x ＝1，则BC ＝5x =√5，∴点B 的坐标为（4，﹣2），﹣2＝k 1×4+6， 解得，k 1＝﹣2，则y 1＝﹣2x +6，y 2=−8x ； （2）{y =−8xy =−2x +6，解得，{x 1=−1y 1=8，{x 2=4y 2=−2，则△AOB 的面积=12×3×8+12×3×2＝15．【典例7】（2019•长寿区模拟）已知直线y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，与反比例函数y =ax 交于一象限内的P （12，n ），Q （4，m ）两点，且tan ∠BOP =18．（1）求双曲线和直线AB 的函数表达式； （2）求△OPQ 的面积；（3）当kx +b ＞a x时，请根据图象直接写出x 的取值范围．【点拨】（1）过P 作PC ⊥y 轴于C ，由P （12，n ），得到OC ＝n ，PC =12，根据三角函数的定义得到P（12，4），于是得到反比例函数的解析式为y =2x ，Q （4，12），解方程组即可得到直线的函数表达式为y＝﹣x +92；（2）过Q 作OD ⊥y 轴于D ，于是得到S △POQ ＝S 四边形PCDQ =638； （3）观察图象可得结果．【解析】解：（1）过P 作PC ⊥y 轴于C ，∵P （12，n ），∴OC ＝n ，PC =12，∵tan ∠BOP =18，∴n ＝4，∴P （12，4），设反比例函数的解析式为y =ax，∴a ＝4，∴反比例函数的解析式为y =2x ，∴Q （4，12），把P （12，4），Q （4，12）代入y ＝kx +b 中得，{4=12k +b12=4k +b， ∴{k =−1b =92， ∴直线的函数表达式为y ＝﹣x +92； （2）过Q 作QD ⊥y 轴于D ，则S △POQ ＝S 四边形PCDQ =12×（12+4）×（4−12）=638；（3）由图象知，当﹣x +92＞2x 时，12＜x ＜4或x ＜0巩固练习1．（2019•永春县校级自主招生）如图，点A 、B 是反比例函数y =k x（k ≠0）图象上的两点，延长线段AB 交y 轴于点C ，且点B 为线段AC 中点，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点E 为线段OD 的三等分点，且OE ＜DE ．连接AE 、BE ，若S △ABE ＝7，则k 的值为（ ）A ．﹣12B ．﹣10C ．﹣9D ．﹣6【点拨】设A （m ，km），C （0，n ），则D （m ，0），E （13m ，0），由AB ＝BC ，推出B （m 2，k m+n 2），根据点B 在y =kx 上，推出m 2•km +n 2=k ，可得mn ＝3k ，连接EC ，OA ．因为AB ＝BC ，推出S △AEC ＝2•S △AEB＝14，根据S △AEC ＝S △AEO +S △ACO ﹣S △ECO ，构建方程即可解决问题； 【解析】解：设A （m ，km），C （0，n ），则D （m ，0），E （13m ，0），∵AB ＝BC ，∴B （m 2，km+n 2），∵点B 在y =kx 上，∴m 2•km +n2=k ， ∴k +mn ＝4k ， ∴mn ＝3k ， 连接EC ，OA ． ∵AB ＝BC ，∴S △AEC ＝2•S △AEB ＝14， ∵S △AEC ＝S △AEO +S △ACO ﹣S △ECO ，∴14=12•（−13m）•km+12•n•（﹣m）−12•（−13m）•n，∴14=−16k−3k2+k2，∴k＝﹣12．故选：A．2．（2019•渭滨区期末）如图，已知点A，B分别是反比例函数y=kx（x＜0），y=1x（x＞0）的图象上的点，且∠AOB＝90°，tan∠BAO=12，则k的值为﹣4．【点拨】首先过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，易得△OBD∽△AOC，又由点A，B分别在反比例函数y=kx（x＜0），y=1x（x＞0）的图象上，即可得S△OBD=12，S△AOC=12|k|，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求出k的值．【解析】解：过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，∴∠ACO＝∠ODB＝90°，∴∠OBD +∠BOD ＝90°， ∵∠AOB ＝90°， ∴∠BOD +∠AOC ＝90°， ∴∠OBD ＝∠AOC ， ∴△OBD ∽△AOC ，又∵∠AOB ＝90°，tan ∠BAO =12， ∴OB AO=12，∴S △BOD S △OAC=14，即12×112|k|=14，解得k ＝±4， 又∵k ＜0， ∴k ＝﹣4， 故答案为﹣4．3．（2019•东城区校级期中）如图，反比例函数y =3x 的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第二象限内有一点C ，满足AC ＝BC ，当点A 运动时，点C 始终在函数y =kx 的图象上运动，tan ∠CAB ＝2，则k ＝ ﹣12 ．【点拨】连接OC ，作CM ⊥x 轴于M ，AN ⊥x 轴于N ，如图，利用反比例函数的性质得OA ＝OB ，根据等腰三角形的性质得OC ⊥AB ，利用正切的定义得到COAO=2，再证明Rt △OCM ∽Rt △OAN ，利用相似的性质得S △COM S △OAN=4，然后根据k 的几何意义求k 的值．【解析】解：连接OC ，作CM ⊥x 轴于M ，AN ⊥x 轴于N ，如图， ∵A 、B 两点为反比例函数与正比例函数的两交点， ∴点A 、点B 关于原点对称， ∴OA ＝OB ， ∵CA ＝CB ， ∴OC ⊥AB ，在Rt △AOC 中，tan ∠CAO =COOA =2，∵∠COM +∠AON ＝90°，∠AON +∠OAN ＝90°， ∴∠COM ＝∠OAN ， ∴Rt △OCM ∽Rt △OAN ，∴S △COM S △OAN=（COAO）2＝4，而S △OAN =12×3=32，∴S △CMO ＝6，∵12|k |＝6， 而k ＜0， ∴k ＝﹣12． 故答案为﹣12．4．（2019•罗湖区期末）如图，在矩形OABC 中，OA ＝3，OC ＝4，分别以OA 、OC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，D 是边CB 上的一个动点（不与C 、B 重合），反比例函数y =kx （k ＞0）的图象经过点D 且与边BA 交于点E ，作直线DE ．（1）当点D 运动到BC 中点时，求k 的值；（2）求BD BE的值；（3）连接DA ，当△DAE 的面积为43时，求k 值．【点拨】（1）由OA ，OC 的长度结合矩形的性质可得出BC 的长度及点B 的坐标，根据点D 为边BC 的中点可得出CD 的长度，进而可得出点D 的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值； （2）由OA ，OC 的长度利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点D ，E 的坐标，进而可得出BD ，BE 的长度，二者相比后即可得出BD BE的值；（3）由（2）可得出AE ，BD 的长度，由三角形的面积公式结合S △DAE =43即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值．【解析】解：（1）∵OA ＝3，OC ＝4，四边形OABC 为矩形， ∴BC ＝OA ＝3，点B 的坐标为（3，4）． ∵点D 为边BC 的中点，∴CD =12BC =32， ∴点D 的坐标为（32，4）．又∵点D 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上， ∴k =32×4＝6． （2）∵点D ，E 在反比例函数y =kx （k ＞0）的图象上， ∴点D 的坐标为（k4，4），点E 的坐标为（3，k3）．又∵点B 的坐标为（3，4），∴BD ＝3−k4，BE ＝4−k3，∴BD BE=3−k 44−k 3=34．（3）由（2）可知：AE =k 3，BD ＝3−k4， ∴S △DAE =12AE •BD =12×k3×（3−k4）=43， 整理，得：k 2﹣12k +32＝0， 解得：k 1＝4，k 2＝8，∴当△DAE 的面积为43时，k 的值为4或8．5．（2019•郫都区模拟）如图，直线AB ：y ＝kx +b 与x 轴、y 轴分别相交于点A （1，0）和点B （0，2），以线段AB 为边在第一象限作正方形ABCD ． （1）求直线AB 的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）若双曲线y =kx （k ＞0）与正方形的边CD 始终有一个交点，求k 的取值范围．【点拨】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法可求出直线AB 的解析式；（2）作DF ⊥x 轴于F ，易证△ADF ≌△BAO （AAS ），利用全等三角形的性质可求出点D 的坐标；（3）同（2）可求出点C 的坐标，利用极限值法可求出k 的最大、最小值，此题得解．【解析】解：（1）将A （1，0），B （0，2）代入y ＝kx +b ，得：{k +b =0b =2，解得：{k =−2b =2， ∴直线AB 的解析式为y ＝﹣2x +2．（2）作DF ⊥x 轴于F ，则∠AFD ＝90°，∵正方形ABCD ，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∠BAO +∠DAF ＝90°，∵∠BAO +∠ABO ＝90°，∴∠ABO ＝∠DAF ．在△ADF 和△BAO 中，{∠AFD =∠BOA =90°∠DAF =∠ABO AD =BA，∴△ADF ≌△BAO （AAS ），∴AF ＝BO ＝2，DF ＝AO ＝1，∴点D 的坐标为（3，1）．（3）同（2）可得出点C 的坐标为（2，3）．当双曲线过点D 时，k ＝3×1＝3；当双曲线过点C 时，k ＝2×3＝6，∴当双曲线y =k x （k ＞0）与正方形的边CD 始终有一个交点时，k 的取值范围为3≤k ≤6．6．（2019•沙坪坝区校级二模）如图，一次函数y1＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=kx（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．已知：OA=√10，tan AOC=13，点B的坐标为（32，m）（1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）点M在射线CA上，且MA＝2AC，求△MOB的面积．【点拨】（1）过A作AE⊥x轴于点E，在Rt△AOE中，可根据OA的长求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求反比例函数解析式，进一步可求得B点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，则可求得D点坐标；（2）过M作MF⊥x轴于点F，可证得△MFC∽△AEC，可求得MF的长，代入直线AB解析式可求得M点坐标，进一步可求得△MOB的面积．【解析】解：（1）如图1，过A作AE⊥x轴于E，在Rt △AOE 中，tan ∠AOC =AE OE =13，设AE ＝a ，则OE ＝3a ，∴OA =√AE 2+OE 2=√10a ，∵OA =√10，∴a ＝1，∴AE ＝1，OE ＝3，∴A 点坐标为（﹣3，1），∵反比例函数y 2=k x （k ≠0）的图象过A 点，∴k ＝﹣3，∴反比例函数解析式为y 2=−3x ，∵反比例函数y 2=−3x 的图象过B （32，m ）， ∴32m ＝﹣3，解得m ＝﹣2， ∴B 点坐标为（32，﹣2），设直线AB解析式为y＝nx+b，把A、B两点坐标代入可得{−3n+b=132n+b=−2，解得{n=−23b=−1，∴直线AB的解析式为y=−23x﹣1，令x＝1，可得y＝﹣1，∴D点坐标为（0，﹣1）；（2）由（1）可得AE＝1，∵MA＝2AC，∴CACM =1 3，如图2，过M作MF⊥x轴于点F，则△CAE∽△CMF，∴CACM =AEMF=13，∴MF＝3，即M点的纵坐标为3，代入直线AB解析式可得3=−23x﹣1，解得x＝﹣6，∴M点坐标为（﹣6，3），∴S△MOB=12OD•（x B﹣x M）=12×1×（32+6）=154，即△MOB 的面积为154．7．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax +b （a ≠0）的图象与反比例函数y =k x （k ≠0）的图象交于A 、B 两点，与x 轴交于点C ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，点O 是线段CH 的中点，AC ＝4√5，cos ∠ACH =√55，点B 的坐标为（4，n ）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH 的面积．【点拨】（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC 的长，再利用勾股定理得出AH 的长，即可得出A 点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B 点坐标，即可得出一次函数解析式；（2）利用B 点坐标的纵坐标再利用HC 的长即可得出△BCH 的面积．【解析】解：（1）∵AH ⊥x 轴于点H ，AC ＝4√5，cos ∠ACH =√55， ∴HC AC =√55=4√5， 解得：HC ＝4，∵点O 是线段CH 的中点，∴HO ＝CO ＝2，∴AH =√AC 2−HC 2=8，∴A （﹣2，8），∴反比例函数解析式为：y =−16x ，∴B （4，﹣4），∴设一次函数解析式为：y ＝kx +b ， 则{−2k +b =84k +b =−4， 解得：{k =−2b =4， ∴一次函数解析式为：y ＝﹣2x +4；（2）由（1）得：△BCH 的面积为：12×4×4＝8．。
专题04 全等三角形解答题压轴训练(原卷版)-2020-2021学年八年级数学期末复习压轴题训练
专题04 全等三角形解答题压轴训练（原卷版）解答题（共15小题）1．如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC ＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合．（1）若DE经过点C，DF交AC于点G，求重叠部分（△DCG）的面积；（2）合作交流：“希望”小组受问题（1）的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC 于点G，如图2，求重叠部分（△DGH）的面积．2．如图1，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，CE与BD相交于O，（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠BOC的度数；（3）如图2，若将条件∠BAC＝∠DAE＝90°换成∠BAC＝∠DAE＝60°，其他条件不变，求∠BOC的度数（4）若将∠BAC＝∠DAE＝60°换成∠BAC＝∠DAE＝x°，其他条件仍不变，猜想∠BOC＝．（直接写出答案）3．有一张矩形纸片ABCD，E、F、分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB＝a，AD＝b，BE＝x．（1）求证：AF＝EC；（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE'B'C．①当x：b为何值时，直线E'E经过原矩形的一个顶点？②在直线E'E经过原矩形的一个顶点的情形下，连接BE'，直线BE'与EF是否平行？你若认为平行，请给予证明；你若认为不平行，试探究当a与b有何种数量关系时，它们就垂直？4．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠F AE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．6．如图，已知△ABC中，AB＝6cm，∠B＝∠C，BC＝4cm，点D为AB的中点．若点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？7．已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG．若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC．8．在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，延长DE交BC于点F，连接DC，BE．（1）如图1，当点B，A，E同一直线上时，且∠ABD＝30°，AE＝2，求BC的长．（2）如图2，当F是中点时，求证：AE⊥CE．9．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．10．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的结论下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）11．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论．（2）连接AM，求证：MA平分∠EMF．12．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．13．探究问题1已知：如图1，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE，BF 交于点M，连接DE，DF．若DE＝kDF，则k的值为．拓展问题2已知：如图2，三角形ABC中，CB＝CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC的内部，且∠MAC ＝∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF．求证：DE＝DF．推广问题3如图3，若将上面问题2中的条件“CB＝CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论．14．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSS B．SAS C．AAS D．HL（2）求得AD的取值范围是．A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．15．如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC＝∠BAC．（1）求证：∠ABD＝∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC＝DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？。
高中数学三角函数与解三角形真题(原卷版)
专题04 高中数学三角函数与解三角形真题1．对任意闭区间I ，用表示函数y =sinx 在I 上的最大值.若正数a 满足，则a 的值为 .2．已知x 、y 满足.则的取值范围是___________。
3．设函数.若对任意实数a ，均有 ，则k 的最小值为________. 4．若tan cos αα=，则41cos sin αα+=__________． 5．设为正实数.若存在，使得，则的取值范围是______. 6．在中，已知，则______.7．设的内角的对边分别为，且满足.则______.8．满足的所有正整数的和是______.9．若，则的取值范围为______. 10．已知函数的最小值为.则实数的取值范围是________.11．在△ABC 中，BC =a ，CA =b ，AB =c .若b 是a 与c 的等比中项，且sinA 是sin (B -A )与sinC 的等差中项，求cosB 的值.12．已知函数，其中，，且.(1)若对任意，都有，求的取值范围. (2)若，且存在，使，求的取值范围.1．已知，得，所以___ __2．在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.3．设满足，则x的取值范围为________.4．计算的值为________.5．函数的值域是________.6．如图，在△ABD中，点C在AD上，，AB=CD=1．则AC=____．7．若边长为6的正△ABC的三个顶点到平面α的距离分别为1，2，3，则△ABC的重心G到平面α的距离为_______．8．函数的所有零点之和等于________．9．在△ABC中，，则________．10．设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则________. 11．设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则________. 12．设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则________. 13．函数的所有零点之和等于__________.14．设.则________.15．函数的最小正周期=_________.16．函数的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.17．已知△ABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、成等比数列，则___________.18．如图，在△ABD中，点C在AD上，，AB=CD=1．则AC=____．19．若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______. 20．设的重心，若，则的最大值为______.21．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c.命题，且b+c=2a；命题为正三角形.则命题P是命题q的()条件.A．充分必要B．充分但不必要C．必要但不充分D．既不充分又不必要22．设A、B、C为抛物线上不同的点，R为△ABC外接圆的半径．求R的取值范围．23．在非等腰中，的对边分别为a、b、c，且满足.(1)求的大小； (2)若，求面积的取值范围.24．设x y 、均为非零实数，且满足sin cos 955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-. (Ⅰ)求y x的值； (Ⅱ)在ABC ∆中，若tan y C x=，求sin 22cos A B +的最大值. 25．【2016年吉林预赛】在中，a 、b 、c 分别为的对边，，且. 求(1)； (2)的最大值.。
2023年新高考数学创新题型微专题04 三角函数(新定义)(解析版)
专题04 三角函数（新定义）一、单选题1．（2023秋·山东临沂·高一统考期末）我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为2π3，则角θ的正弦值为（ ） A．2B ．12C ．12−D． 【答案】D【分析】根据面度数的定义，可求得角θ的弧度数，继而求得答案. 【详解】设角θ所在的扇形的半径为r ，则2212π23r r θ=， 所以4π3θ=，所以4ππsin sin sin 33θ==−=， 故选：D ．2．（2023秋·江苏苏州·高一统考期末）定义:正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=.已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x +≥对任意的实数,2x x k k Z ππ∈⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭均成立，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos xx x xm m x +=+≥，即422sin 15sin cos xx xm ≥−. 因为()2x k k Z ππ≠+∈，所以2cos (0,1]x ∈，则422sin 15sin cos x x x −()222222(1-cos )1=151cos =17+16cos cos cos x x x x x −−−⎛⎫ ⎪⎝⎭ 21716cos 9x x≤−=，当且仅当21cos 4x =时等号成立,故9m ≥， 故选：D.3．（2022·全国·高一专题练习）密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若2(sin cos )2sin cos αααα−=，则角α可取的值用密位制表示错误．．的是（ ） A ．12-50 B ．2-50 C ．13-50 D ．32-50【答案】C【分析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出α，再根据所给算法一一计算各选项，即可判断； 【详解】解：因为2(sin cos )2sin cos αααα−=， 即22sin 2sin cos cos 2sin cos αααααα−+=， 即4sin cos 1αα=，所以1sin 22α=，所以22,6k k Z παπ=+∈，或522,6k k Z παπ=+∈， 解得,12k k Z παπ=+∈或5,12k k Z παπ=+∈ 对于A ：密位制1250−对应的角为125052600012ππ⨯=，符合题意； 对于B ：密位制250−对应的角为2502600012ππ⨯=，符合题意； 对于C ：密位制1350−对应的角为135092600020ππ⨯=，不符合题意； 对于D ：密位制3250−对应的角为3250132600012ππ⨯=，符合题意； 故选：C4．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）计算器是如何计算sin x ，cos x ，πx ，ln x 些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如357sin 3!5!7!x x x x x =−+−+，246cos 12!4!6!x x x x =−+−+，其中!12n n =⨯⨯⨯，英国数学家泰勒发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得出的sin x 和cos x 的值也就越精确.运用上述思想，可得到3sin 12π⎛⎫−+ ⎪⎝⎭的近似值为（ ）A ．0.50B ．0.52C ．0.54D ．0.56【答案】C【分析】将3sin 12π⎛⎫−+ ⎪⎝⎭化为cos1，根据新定义，取1x =代入公式246cos 12!4!6!x x x x =−+−+⋅⋅⋅中，直接计算取近似值即可．【详解】由题意可得，3sin 1cos12π⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，故246111111cos1112!4!6!224720=−+−+=−+−+10.50.0410.0010.54=−+−+⋯≈，故选：C ．5．（2022春·广东中山·高二统考期末）密位制是度量角与弧的常用制度之一，周角的16000称为1密位.用密位作为角的度量单位来度量角与弧的制度称为密位制.在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如15密位记为“00—15”，1个平角＝30—00，1个周角＝60—00，已知函数()2cos f x x =−，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为（ ） A ．15—00 B ．35—00 C ．40—00 D ．45—00【答案】C【分析】利用导数研究()f x 在给定区间上的最大值，结合题设密位制定义确定()f x 取到最大时x 用密位制.【详解】由题设，()2sin f x x '=，在4[,)23x ππ∈时()0f x '>，在43(,]32x ππ∈时()0f x '<，所以()f x 在4[,)23x ππ∈上递增，在43(,]32x ππ∈上递减，即max 4()()3f x f π=，故()f x 取到最大值时对应的x 用密位制表示为40—00. 故选：C6．（2022春·云南昆明·高二校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，P （x ，y ）（xy ≠0）是角α终边上一点，P与原点O 之间距离为r ，比值rx 叫做角α的正割，记作sec α；比值r y 叫做角α的余割，记作csc α；比值x y 叫做角α的余切，记作cot α．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：5sec 4β=−；乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=−；丁：4cot 3β=．如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】D【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．【详解】解：当甲：5sec 4β=−错误时，乙：5csc 3β=正确，此时53r y =，r ＝5k ，y ＝3k ，则|x |＝4k ，（k ＞0）， 4tan 3y x β∴==或4tan 3β=−，∴丙：3tan 4β=−不正确，丁：4cot 3β=不正确，故错误的同学不是甲；甲：5sec 4β=−，从而r ＝5k ，x ＝﹣4k ，|y |＝3k ，（k ＞0），此时，乙：5csc 3β=；丙：3tan 4β=−；丁：4cot 3β=必有两个正确，一个错误，∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，∴y ＝3k ＞0，x ＝﹣4k ＜0，34tan ,cot 43ββ∴=−=−，故丙正确，丁错误， 综上错误的同学是丁． 故选：D ．7．（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）设,a b R ∈，定义运算,,a a ba b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()sin cos f x x x =⊗的最小值为（ ）A ．1−B ．C ．12−D ．0【答案】B【分析】由定义先得出sin sin cos ()cos cos sin x x xf x x x x ≥⎧=⎨>⎩，然后分sin cos x x ≥，cos sin x x >两种情况分别求出()f x 的最小值，从而得出答案.【详解】由题意可得sin sin cos ()sin cos cos cos sin x x xf x x x x x x ≥⎧=⊗=⎨>⎩当sin cos x x ≥时，即sin cos 04x x x π⎛⎫−=−≥ ⎪⎝⎭则22,4k x k k Z ππππ≤−≤+∈，即522,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈此时当52,4x k k Z ππ=+∈时，sin x 有最小值为当cos sin x x >时，即sin cos 04x x x π⎛⎫−=−< ⎪⎝⎭则222,4k x k k Z πππππ+<−<+∈，即5922,44k x k k Z ππππ+<<+∈此时，cos x >所以()f x 的最小值为故选：B8．（2023秋·浙江杭州·高一浙江大学附属中学校考期末）正割()secant 及余割()cos ecant 这两个概念是由伊朗数学家阿布尔⋅威发首先引入的．定义正割1sec cos αα=，余割1csc sin αα=．已知m 为正实数，且22csc tan 15m x x ⋅+≥对任意的实数π,2k x x k ⎛⎫≠∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ）A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D【分析】由参变量分离法可得出2211716cos cos m x x ⎛⎫≥−+ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得m 的取值范围，即可得解.【详解】由已知可得22222sin csc tan 15sin cos m x m x x x x ⋅+=+≥，可得422sin 15sin cos x m x x≥−， 因为()Z 2x k k ππ≠+∈，则(]2cos 0,1x ∈，因为()()2242222221cos sin 115sin 151cos 1716cos cos cos cos x x x x x xxx −⎛⎫−=−−=−+ ⎪⎝⎭179≤−=， 当且仅当21cos 4x =时，等号成立，故9m ≥. 故选：D.9．（2022春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）对集合{}12,,,k a a a ⋯和常数m ，把()()()222122sin sin sin k a m a m a m kσ−+−++−=定义为集合{}12,,,k a a a ⋯相对于m 的“正弦方差"，则集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”为（ ）A ．32B C ．12D ．与m 有关的值【答案】C【分析】先确定集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”的表达式，再利用半角公式，两角和与差的余弦公式化简可得结果.【详解】由题知，集合,,626πππ⎧⎫−⎨⎬⎩⎭相对于m 的“正弦方差”为2222sin sin sin 6263m m m πππσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−+−++− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()1cos 21cos 21cos 21333222m m m πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−− ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭ ⎪=++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()13cos 2cos 2cos 2633m m m πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−++−+−⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦把()()1cos 2cos 2232m m m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()()cos 2cos 2m m π−=−， ()()1cos 2cos 2232m m m π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，代入上式整理得，212σ=.故选：C.10．（2022秋·山东·高三山东聊城一中校联考阶段练习）现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形． （3）有一个内角为36o 的等腰三角形为黄金三角形， 由上述信息可求得126sin =（ ） AB12CD【答案】D【分析】如图作三角形，先求出5cos364=126sin 的值. 【详解】如图，等腰三角形ABC ，36ABC ∠=,,AB BC a AC b ===，取AC 中点,D 连接BD .b a =， 由题意可得1511512sin 22224bABC b a a ∠−−====，所以22cos 12sin 12ABC ABC ∠∠=−=−= 所以5cos364=所以5126364sin cos ︒==. 故选：D. 11．（2021秋·四川巴中·高一校联考期末）定义运算a bad bc c d=−，如果()()105,(0,0)2sin 2f x x πωϕωϕ=><<+的图像的一条对称轴为,4x πϕ=满足等式2cos 3tan ϕϕ=，则ω取最小值时，函数()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．πC ．3π2D ．2π【答案】C【分析】根据2cos 3tan ϕϕ=，利用切化弦和同角三角函数关系转化成sin ϕ的二次方程，可求出ϕ的值，结合对称轴可求出ω，最后利用周期公式进行求解即可． 【详解】105()10sin()102sin()f x x x ωϕωϕ==+−+，因为2cos 3tan ϕϕ=，所以sin 2cos 3cos ϕϕϕ=，即22cos 3sin ϕϕ=，22(1sin )3sin ϕϕ−=， 所以(sin 2)(2sin 1)0ϕϕ+−=，解得1sin 2ϕ=或2−（舍去）， 而02πϕ<<，所以6πϕ=，即()10sin()106f x x πω=+−，而()y f x =的图象的一条对称轴为4x π=，所以10sin 1046ππω⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭，即462k πππωπ⨯+=+，Z k ∈，解得443k ω=+，Z k ∈，所以正数ω取最小值为43，此时函数()f x 的最小正周期为23423ππ=．故选：C ．12．（2020·全国·高三校联考阶段练习）对于集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅，定义：()()()22210200cos cos cos n x x x x x x n−+−+⋅⋅⋅+−Ω=为集合{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅相对于0x 的“余弦方差”，则集合32,,,105105ππππ⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”为（ ） A ．14B ．12CD【答案】B【解析】根据所给“余弦方差”定义公式，代入集合中的各元素，即可得Ω的表达式，结合余弦降幂公式及诱导公式化简，即可求解.【详解】由题意可知，集合32,,,105105ππππ⎧⎫−−⎨⎬⎩⎭相对于0x 的“余弦方差”代入公式可得2222000032cos cos cos cos 1051054x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−+−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭Ω=0000321cos 21cos 21cos 21cos 210510522224x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+−−+−−+−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+++=0000321cos 21cos 21cos 21cos 21051058x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=00002344cos 2cos 2cos 2cos 255558x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++−+− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=因为0000423cos 2cos 20,cos 2cos 205555x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++−=++−= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以原式4182Ω==， 故选：B.【点睛】本题考查了新定义应用，降幂公式及诱导公式化简三角函数式的应用，属于中档题.13．（2020秋·江西宜春·高三奉新县第一中学校考阶段练习）已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩…，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是 A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω=求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案.【详解】根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π， 所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1T ππωπ===， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解. 14．（2022春·陕西延安·高一校考阶段练习）对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12−，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤− ⎥⎝⎦B ．,62ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭C ．5,66ππ⎛⎤− ⎥⎝⎦D ．5,66ππ⎛⎫− ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由下确界定义，()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的最小值是12−，由余弦函数性质可得．【详解】由题意()3cos 213f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈−⎪⎢⎣⎭的最小值是12−，又21()3cos()13cos163332f ππππ−=−−+=+=−， 由13cos(2)132x π−+≥−，得1cos(2)32x π−≥−，22222333k x k πππππ−≤−≤+，,62k x k k Z ππππ−≤≤+∈，0k =时，62x ππ−≤≤，所以62m ππ−<≤．故选：A ．【点睛】本题考查新定义，由新定义明确本题中的下确界就是函数的最小值．可通过解不等式确定参数的范围．15．（2020·全国·高一假期作业）如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，都有()()()1212n n f x f x f x x x x f nn ++++++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，若sin y x =在区间()0,π上是凸函数，那么在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是（ ）A ．32B ．3CD 【答案】D【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为π，即可求出最大值． 【详解】因为sin y x =在区间[0，]π上是“凸函数”，所以sin sin sin sin sin 333A B C A B C π++++=…得sin sin sin A B C ++…即：sin sin sin A B C ++的最大值是2故选：D.【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．二、多选题16．（2022·全国·高一专题练习）定义：()()()22210200cos cos cos n nθθθθθθμ−+−++−=为集合{}12,,,n A θθθ=相对常数0θ的“余弦方差”.若0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则集合,03A π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭相对θ的“余弦方差”的取值可能为（ ） A ．38B ．12C ．34D ．45【答案】ABC【分析】根据所给定义及三角恒等变换公式将函数化简，再根据0θ的取值范围，求出026θπ+的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】解：依题意()2200cos cos 0πθθμ⎛⎫−+− ⎪ 22000cos cos sin cos 332sin ππθθθ=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭220001cos cos 22θθθ⎛⎫+ ⎝⎪⎭=2220000013cos sin sin cos 4242θθθθθ++=200013cos sin 2242θθθ+= 001cos 221442θθ+=00111cos 224222θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+⎪ 011sin 2462πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+， 因为00,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以02,7666πππθ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以01s 22n 1i 6,πθ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎣−⎝⎭⎦，所以33,84μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故选：ABC17．（2021秋·全国·高三校联考期中）数学中一般用{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值，{}max ,a b 表示a ，b 中的较大值；关于函数：(){}min sin ,sin f x x x x x =；(){}max sin ,sin g x x x x x =，有如下四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．()f x 与()g x 的最小正周期均为π B ．()f x 与()g x 的图象均关于直线32x π=对称 C ．()f x 的最大值是()g x 的最小值 D ．()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称 【答案】BD【分析】先求出()f x ，()g x ，结合函数()f x 与()g x 的图象即可求解【详解】设()sin 2sin(),()sin 2sin(),33h x x x x t x x x x ππ==+==−则{}32sin(),22,322()min (),()2sin(),22,322x k x k f x h x t x x k x k ππππππππππ⎧++≤≤+⎪⎪==⎨⎪−−+<<+⎪⎩，{}32sin(),22,322()max (),()2sin(),22,322x k x k g x h x t x x k x k ππππππππππ⎧−+≤≤+⎪⎪==⎨⎪+−+<<+⎪⎩函数()f x 与()g x 的大致图象如下所示：对A ，由图知，()f x 与()g x 的最小正周期均为2π；故A 错误； 对B ，由图知，32x π=为函数()f x 与()g x 的对称轴，故B 正确. 对C ，12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由图知∶函数()f x 的值域为[]2,1−，函数()g x 的值域为[]1,2−，故C 错误；对D ，由图知，()f x 与()g x 的图象关于原点中心对称，故D 正确； 故选：BD.18．（2022·江苏·高一专题练习）已知角θ和ϕ都是任意角，若满足2,2k k Z πθϕπ+=+∈，则称θ与ϕ“广义互余”.若()1sin 4πα+=−，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的有（ ）A ．sin β=B ．()1cos 4πβ+=C ．tan β=D ．tan β=【答案】AC【分析】由题可得1sin 4α=，根据诱导公式化简计算判断每个选项即可. 【详解】若α与β广义互余，则2()2k k Z παβπ+=+∈，即2()2k k Z πβπα=+−∈．又由()1sin 4πα+=−，可得1sin 4α=．对于A ，若α与β广义互余，则sin sin(2)cos 24k πβπαα=+−===±，由sin β=可得α与β可能广义互余，故A 正确；对于B ，若α与β广义互余，则1cos cos(2)sin 24k πβπαα=+−==，由()1cos 4πβ+=可得 1cos 4β=−，故B 错误；对于C ，综上可得sin β=1cos 4β=，所以sin tan cos βββ==C 正确，D 错误． 故选：AC ．19．（2022春·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ−为角θ的正矢，记作sin ver θ，定义1sin θ−为角θ的余矢，记作sin cover θ，则下列命题正确的是（ ） A ．161sin32ver π= B ．sin sin 2ver cover πθθ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C ．若sin 12sin 1cover x ver x −=−，则()21sin sin 5cover x ver x −=D ．函数()sin 2020sin 202036f x ver x cover x ππ⎛⎫⎛⎫=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为2【答案】BC【分析】利用诱导公式化简可得A 错误，B 正确；化简已知等式得到tan x ，将所求式子化简为正余弦齐次式，由此可配凑出tan x 求得结果，知C 正确；利用诱导公式化简整理得到()22sin 20206f x x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，由此可知最大值为4，知D 错误.【详解】对于A ，16163sin 1cos 1cos 51cos 33332ver πππππ⎛⎫=−=−+=+= ⎪⎝⎭，A 错误； 对于B ，sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫−=−−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；对于C ，sin 11sin 1tan 2sin 11cos 1cover x x x ver x x −−−===−−−， ()()22222sin cos sin sin 1sin 1cos 12sin cos 1sin cos x xcover x ver x x x x x x x∴−=−−+=−=−+22tan 411tan 15x x =−=−+15=，C 正确； 对于D ，()1cos 20201sin 202036f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=−−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 2020266x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫−−++−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22sin 20206x π⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭，∴当sin 202016x π⎛⎫+=− ⎪⎝⎭时，()max 224f x =+=，D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的新定义的问题，解题关键是能够充分理解已知所给的定义，结合三角函数的诱导公式、正余弦齐次式的求解等知识来判断各个选项.20．（2022秋·河南濮阳·高一濮阳一高校考期末）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数:•定义1cos θ−为角θ的正矢，记作sin ver θ，•定义1sin θ−为角θ的余矢，记作sin cover θ，则下列命题中正确的是（ ） A ．函数sin y ver x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．函数sin sin ver xy cover x=的最小正周期为πC ．sin(sin 2ver )cover πθθ−=D ．sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+=⋅+⋅ 【答案】AC【分析】由余弦函数的单调性可判断A 选项；验证得()()y x y x π≠+，可判断B 选项；由定义的诱导公式可判断C 选项；取4παβ==，代入验证可判断D 选项.【详解】因为sin 1cos y ver x x ==−，而cos y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以函数sin 1cos y ver x x ==−在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，故A 正确； 函数versin 1cos 1cos ();()coversin 1sin 1sin π−+==+=−+x x xy x y x x x x，所以()()y x y x π≠+，所以B 错误；sin 1cos 1sin sin 22ver cover ππθθθθ⎛⎫⎛⎫−=−−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；取4παβ==，sin(1cos12ver )παβ+=−=，sin sin sin sin ver cover cover ver αβαβ⋅+⋅1cos 1sin 1sin 1cos 34444+ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−⋅−−⋅−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin(sin sin sin sin ver )ver cover cover ver αβαβαβ+≠⋅+⋅， 故D 错误, 故选：AC.【点睛】本题考查函数的新定义，三角函数的诱导公式，同角三角函数间的关系，余弦函数的性质，属于中档题.三、填空题21．（2023·高一课时练习）我们规定把2221cos ()cos cos ()3y B A B B A ⎡⎤=+++−⎣⎦叫做B 对A 的余弦方差，那么对任意实数B ，B 对π3的余弦方差是______．【答案】12##0.5【分析】根据余弦方差的定义求得正确答案. 【详解】依题意，B 对π3的余弦方差是：2221ππcos ()cos cos ()333y B B B ⎡⎤=+++−⎢⎥⎣⎦2π2π1cos(2)1cos(2)11cos 2333222B B B ⎡⎤+++−⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12π2π3cos(2)cos 2cos(2)633B B B ⎡⎤=++++−⎢⎥⎣⎦12π2π2π2π3cos 2cos sin 2sin cos 2cos 2cos sin 2sin 63333B B B B B ⎛⎫=+−+++ ⎪⎝⎭ 11113cos 2cos 2cos 26222B B B ⎛⎫=−+−= ⎪⎝⎭. 故答案为：1222．（2022·全国·高一专题练习）已知()(),f x g x 都是定义在R 上的函数，若存在实数,m n ，使得()()()h x mf x ng x =+，则称()h x 是()f x ，()g x 在R 上生成的函数.若()()22cossin ,sin 22=−=x xf xg x x ，以下四个函数中：①π6y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭；②ππcos 2424x x y ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③2π2cos 124xy ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭； ④22sin 2=y x .所有是()(),f x g x 在R 上生成的函数的序号为________. 【答案】①②③.【详解】()()22cossin cos ,sin 22x xf x xg x x =−==.①：πππcos sin sin )666y x x x x x ⎛⎫=−=+= ⎪⎝⎭，因此有m n ==()(),f x g x 在R 上生成的函数；②：πππcos )24242x x y x x ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此有0m n ==，本函数是()(),f x g x 在R 上生成的函数； ③：2ππ2cos 1cos()sin 242xy x x ⎛⎫=−−=−= ⎪⎝⎭，因此有0,1m n ==，本函数是()(),f x g x 在R 上生成的函数； ④：2222sin 28sin cos y x x x ==，显然不存在实数,m n ，使得228sin cos cos sin x x m x n x =+成立，因此本函数不是()(),f x g x 在R 上生成的函数， 故答案为：①②③23．（2021春·江苏淮安·高一校联考阶段练习）形如a bc d 的式子叫做行列式，其运算法则为a b ad bc c d=−，则行列式sin15cos15︒︒的值是___________. 【答案】12−【分析】根据新定义计算即可．【详解】由题意sin151sin 45sin15cos 45cos15cos 602cos15︒=︒︒=︒︒−︒︒=−︒=−︒． 故答案为12−．24．（2023·高一课时练习）若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数．给出下列四个函数：①()1sin cos f x x x =+；②()2f x x =()3sin f x x =；④())4sin cos f x x x =+．其中“同形”函数有__________．（选填序号）【答案】①②【分析】利用三角恒等变换转化函数解析式，对比各函数的最小正周期及振幅即可得解.【详解】由题意，()1sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，())4sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，四个函数的最小正周期均相同，但振幅相同的只有①，②， 所以“同形”函数有①②. 故答案为：①②.25．（2023·高一课时练习）在直角坐标系中，横､纵坐标均为整数的点叫格点.若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数.在[],x ππ∈−上，下列函数中，为一阶格点函数的是___________.(选填序号)①sin y x =；②e 1x y =−；③ln y x =；④2y x = 【答案】①②③【分析】根据题目定义以及各函数的图象与性质即可判断．【详解】当[],x ππ∈−时，函数sin y x =，e 1x y =−的图象只经过一个格点()0,0，符合题意； 函数ln y x =的图象只经过一个格点()1,0，符合题意；函数2y x =的图象经过七个格点，()()()()()()()3,9,2,4,1,1,0,0,1,1,2,4,3,9−−−，不符合题意．故答案为：①②③．26．（2022春·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考开学考试）在平面直角坐标系xoy 中，已知任意角θ以坐标原点o 为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点00(,)p x y ，且(0)op r r =>，定义：00y x sos rθ+=，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y sosx =”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为⎡⎣； ②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线34x π=对称； ④该函数为周期函数，且最小正周期为2π；⑤该函数的递增区间为32,244k k k z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦.其中正确的是__________．（填上所有正确性质的序号） 【答案】①④⑤.【详解】分析：根据“正余弦函数”的定义得到函数)4y sosx x π==+，然后根据三角函数的图象与性质分别进行判断即可得到结论．详解：①中，由三角函数的定义可知00cos ,sin x r x y r x ==，所以00sin cos )[4y x y sosx x x x r π+===+=+∈，所以是正确的；②中，)4y sosx x π==+，所以()0)104f π=+=≠，所以函数关于原点对称是错误的；③中，当34x π=时，33()sin()0444f ππππ+==≠34x π=对称是错误的；④中，)4y sosx x π==+，所以函数为周期函数，且最小正周期为2π，所以是正确的；⑤中，因为)4y sosx x π==+，令22242k x k πππππ−≤+≤+，得322,44k x k k Z ππππ−≤≤+∈，即函数的单调递增区间为3[2,2],44k k k Z ππππ−+∈，所以是正确的，综上所述，正确命题的序号为①④⑤．点睛：本题主要考查了函数的新定义的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据函数的新定义求出函数y sosx =的表达式是解答的关键，同时要求熟练掌握三角函数的图象与性质是解答额基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．27．（2015秋·广东揭阳·高一统考期中）定义一种运算，令，且，则函数的最大值是_______________【答案】54【详解】试题分析：：∵，∴0≤sinx≤1∴()22255cos sin sin sin 1sin 144y x x x x x =+=−++=−−+≤ 由题意可得，()22215cos sin ,sin cos cos 224f x x x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+−=−=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭函数的最大值54考点：三角函数的最值四、解答题28．（2023春·云南文山·高一校考阶段练习）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点()11,A x y ，()22,B x y ，则曼哈顿距离为：()1212,d A B x x y y =−+−，余弦相似度为：()cos ,A B =()1cos ,A B −(1)若()1,2A −，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，求A ，B 之间的曼哈顿距离(),d A B 和余弦距离；(2)已知()sin ,cos M αα，()sin ,cos N ββ，()sin ,cos Q ββ−，若()1cos ,5M N =，()2cos ,5M Q =，求tan tan αβ的值【答案】(1)145，15−(2)3−【分析】（1）根据公式直接计算即可.（2）根据公式得到1sin sin cos cos 5αβαβ+=，2sin sin cos cos 5αβαβ−=，计算得到答案.【详解】（1）()3414,12555d A B =−−+−=，()34cos ,55A B ==，故余弦距离等于()1cos ,15A B −=−； （2）()cos ,M N =1sin sin cos cos 5αβαβ=+=；()cos ,M Q =2sin sin cos cos 5αβαβ=−=故3sin sin 10αβ=，1cos cos 10αβ=−，则sin sin tan tan 3cos cos αβαβαβ==−. 29．（2023·高一课时练习）知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．与之类似，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对()sad ．如图，在ABC 中，AB AC =．顶角A 的正对记作sad A ，这时sad BCA AB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)sad60的值为（ ）A ．12 B ．1 C D ．2 (2)对于0180A <∠<，A ∠的正对值sad A 的取值范围是______． (3)已知3sin 5α=，其中α为锐角，试求sad α的值． 【答案】(1)B(2)()0,2(3)sad α=【分析】（1）在等腰ABC 中，取60A ∠=，AB AC =，利用正对的定义可得出sad60sad A =的值； （2）在等腰ABC 中，AB AC =，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，推导出sad 2sin 2AA =，结合正弦函数的基本性质可求得sad A 的取值范围；（3）利用同角三角函数的基本关系求出cos α，利用二倍角公式可求得sin 2α，由此可得出sad 2sin2αα=的值.【详解】（1）解：在等腰ABC 中，60A ∠=，AB AC =，则ABC 为等边三角形， 所以，sad60sad 1BCA AB===， 故选：B.（2）解：在等腰ABC 中，AB AC =，取BC 的中点D ，连接AD ，则AD BC ⊥，则2sad 2cos 2cos 902sin 22BC BD A A A B AB AB ⎛⎫====−= ⎪⎝⎭， 因为0180A <∠<，则0902A <<，故()sad 2sin 0,22AA =∈. 故答案为：()0,2.（3）解：π02α<<，则π024α<<，所以，24cos 12sin 52αα===−，所以，sin2α=sad 2sin 2αα==. 30．（2020秋·全国·高三校联考阶段练习）若函数()()sin cos ,f x a x b x a b =+∈R ，平面内一点坐标(),M a b ，我们称M 为函数()f x 的“相伴特征点”，()f x 为(),M a b 的“相伴函数”．（1）已知()1sin sin cos 2222x x x f x ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭，求函数()f x 的“相伴特征点”；（2）记122M ⎛' ⎝⎭的“相伴函数”为()g x ，将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），再将所得的图象上所有点向右平移4π个单位长度，得到函数()h x ，作出()h x 在529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象．【答案】（1）11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）作图见解析.【分析】（1）利用二倍角的降幂公式化简得出()11sin cos 22f x x x =−，由此可得出函数()y f x =的“相伴特征点”的坐标；（2）由题中定义可得出()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数图象变换得出()52sin 312h x x π⎛⎫=− ⎪⎝⎭，然后通过列表、描点、连线，可得出函数)y h x =在区间529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象. 【详解】（1）()211cos sin 111sinsin cos sin cos 222222222x x x x x f x x x −=+−=+−=−Q ， 故函数()y f x =的“相伴特征点”为11,22⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）由题意可得()1sin sin 23g x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 将函数()y g x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象上所有点横坐标缩短为原来的13（纵坐标不变），可得到函数2sin 33y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得的图象上所有点向右平移4π个单位长度，可得到函数()52sin 32sin 34312h x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+=− ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，当529,3636x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，503212x ππ≤−≤，列表如下：故函数()y h x =在529,3636ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示.【点睛】本题考查三角函数的新定义、利用三角函数图象变换求解析式，同时也考查了五点作图法，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 五、双空题31．（2022秋·内蒙古包头·高一统考期末）对任意闭区间I ，I M 表示函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间I 上的最大值，则0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=______，若[0,][,2]2t t t M M =，则t 的值为______．【答案】 1；23π或π 【分析】由题可得2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1；对t 分类讨论，利用正弦函数的性质得出符合条件的t 即可.【详解】当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴当62x ππ+=时，max 1y =，∴0,2M π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=1；当62t ππ+<，即3t π<时，[0,]sin 6t M t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[,2][0,]sin 6t t t M t M π⎛⎫+= ⎪>⎝⎭， 这与[0,][,2]2t t t M M =矛盾， 当62t ππ+≥且5262t ππ+<，即736t ππ≤<时，[0,]1t M =，[,2]sin 6t t M t π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭或[,2]sin 26t t M t π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由[0,][,2]2t t t M M =可得，1sin 62t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭或1sin 262t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以23t π=或t π=， 当5262t ππ+≥，即76t π≥时，[0,]1t M =，[,2]1t t M =，这与[0,][,2]2t t t M M =矛盾； 综上所述，t 的值为23π或π. 故答案为：1；23π或π.32．（2019秋·北京海淀·高三人大附中校考阶段练习）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()()f x T Tf x +=成立．（1）给出下列两个函数：()1f x x =，()()2201f x a a =<<，其中属于集合M 的函数是__________．（2）若函数()sin f x kx M =∈，则实数k 的取值集合为__________． 【答案】 2()f x {|,}k k m m Z π=∈ 【分析】（1）根据集合M 的性质判断．（2）根据集合M 的性质求解，由sin ()sin k x T T kx +=恒成立成立，只有1T =±，【详解】（1）若1()f x M ∈，则存在非零点常数T ，使得11()()f x T Tf x +=，则x T Tx +=，(1)0T x T −+=对x R ∈恒成立，这是不可能的，1()f x M ∉；若2()f x M ∈，则存在非零点常数T ，使得22()()f x T Tf x +=，则22a Ta =，对x R ∈恒成立，1T =，2()f x M ∈； （2）函数()sin f x kx M =∈，则存在非零点常数T ，使得()()f x T T f x +=，即sin ()sin k x T T kx +=，0k =时，()0f x M =∈，0k ≠时，由x R ∈知kx R ∈，()k x T k R +∈，sin [1,1]kx ∈−，sin ()[1,1]k x T +∈−，因此要使sin ()sin k x T T kx+=成立，只有1T =±，若1T =，则sin()sin kx k kx +=，2,T m m Z π=∈，若1T =−，则sin()sin kx k kx −=−，即sin()sin kx k kx π−+=，2k m ππ−+=，(21),k m m Z π=−−∈， 综上实数k 的取值范围是{|,}k k m m Z π=∈． 故答案为：2(),f x {|,}k k m m Z π=∈.【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决．。
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题04 三角函数与解三角形(原卷版) Word版无答案
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数3cos sin y x x x的图像向左平移0m m个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值． 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()f C =a =1c =，求b的值.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且(cos ,sin ),(cos ,sin ),cos2,sin sin 3sin sin A A B B C A B A B =-=⋅=+=m n m n ，（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆的面积．5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，等边三角形OAB 的边O C DEAB长为4km.现在线段OB 上取一点D （不含线段OB 端点）建发电站向,A B 两点供电．如果线段DB 上每公里建设费用为a 万元（a 为正常数），线段AD 上每公里建设费用为3a 万元，设ADO θ∠=，建设总费用为S 万元.(Ⅰ) 写出S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （Ⅱ）AD 等于多少时，可使建设总费用S 最少？6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=. （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积是30，内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，且144-=⋅AC AB ． （1）求A cos 的值；（2）若4=-b c ，求a 的值．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分） 已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(1)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，其中角C 满足423)4(-=+πC f ，若ABC S ∆，2=c ，，求)(,b a b a >的值．10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.11. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分14分）在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 13. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】(本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+． ⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．14. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos ,cos 1)22A A m =-，向量(1,cos 1)2An =+，且21m n ⋅=-．（1）求A 的值；（2）若a =S =b c +的值．15. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分14分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=sin sin B C +=，求bc 的值． 16. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知A C B cos 1)cos(-=-，且c a b ,,成等比数列.（1）求C B sin sin ⋅之值； （2）求角A 的大小； （3）求C B tan tan +的值。
专题04 三角函数与解三角形学霸必刷100题(原卷版)
三角函数与解三角形学霸必刷100题1．已知函数()sin()(>0)6f x x πωω=+在区间52[,]63ππ-上单调递增，且存在唯一05[0,]6x π∈使得0()1f x =，则ω的取值范围为（ ）A ．11[,]52B ．21[,]52C ．14[,]55D ．24[,]552．已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=，且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 A ．2π3B ．π3C ．π6D ．4π33．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）AB ．2C ．1D ．4．边长为2的等边ABC ∆和有一内角为30的直角1ABC ∆所在半平面构成60︒的二面角，则下列不可能是线段1CC 的取值的是（ ）A ．3BC ．2D ．35．函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，且()f x 在()0,π上单调，则下列说法正确的是( )A ．12ω=B ．82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．已知函数 f (x ) = 1sin()+062x πωω-（），且 11(),()22f f αβ=-=．若 α − β 的最小值为34π，则函数的单调递增区间为（ ） A ．2,2,2k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．3,3,2k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．52,2,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．53,3,2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦7．如图，ABC 中，ACB ∠为钝角，10AC =，6BC =，过点B 向ACB ∠的角平分线引垂线交于点P ，若62AP =，则ABP △的面积为（ ）A ．4B ．42C ．6D ．438．某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型0.5sin 3.246y x πωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ） A ．16时B ．17时C ．18时D ．19时9．如图,矩形ABCD 中,1AB =,3BC =,F 是线段BC 上一点且满足1BF =,E 是线段FC 上一动点,把ABE △沿AE 折起得到1AB E △,使得平面1⊥B AC 平面ADC ,分别记1B A ,1B E 与平面ADC 所成角为α,β,平面1B AE 与平面ADC 所成锐角为θ,则:（ ）⇒A ．θαβ>>B ．θβα>>C ．αθβ>>D ．βθα>>10．已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为 A ．π2018B ．π1009C ．2π1009D ．π403611．如图，已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象与坐标轴交于点1,,(,0)2-A B C ，直线BC交()f x 的图象于另一点D ，O 是ABD ∆的重心.则ACD ∆的外接圆的半径为A ．2B ．576C ．573D ．812．关于函数()cos sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最大值为2； ③()f x 在[],ππ-有3个零点；④()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④13．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的一条对称轴为3x π=，一个对称中心为5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，且在3,25ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的最大值（ ） A ．5B ．6C ．7D ．814．已知长方形的四个顶点是()0,0A ，()2,0B ，()2,1C ，()0,1D ，一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的1P 后，依次反射到CD ，DA 和AB 上的2P ，3P ，和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标是(),0x ，若12x <<，则tan θ的取值范围是（ ）A ．13,55⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,52⎛⎫⎪⎝⎭C ．21,52⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,25⎛⎫⎪⎝⎭15．在ΔABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，b =c ，且满足sin 1cos sin cos B B A A-=.若点O 是ΔABC 外一点，∠AOB =θ(0θπ＜＜)，OA =2，OB =4，则平面四边形OACB 面积的最大值（ ） A ．253+B ．453+C ．653+D ．853+16．已知ABC 的三边a ，b ，c 满足：333a b c +=，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形17．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，若22243c a b S --=，则b a 的取值范围为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．()03，D ．()3+∞，18．已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24162-B ．24162+C ．48322-D ．48322+19．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内有最大值无最小值，则ω的取值范围是（ ）A ．48,33⎛⎤⎥⎝⎦B ．48,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．416,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．416,33⎛⎫ ⎪⎝⎭20．设等差数列满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a ，4,2k a k Z 且公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当8n =时，数列的前项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ） A ．3[,2]2ππ B ．3(,2)2ππ C ．7[,2]4ππ D ．7(,2)4ππ 21．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c+=-，则C 的取值范围为（ ） A ．(0,)4πB ．(,)62ππC ．(,)63ππD ．(,)64ππ22．已知函数sin ()xf x x=,下列四个命题正确的序号是（ ） ①()y f x =是偶函数 ②()1f x <③当32x π=时,()y f x =取得极小值④满足1()()66n n f f ππ+<的正整数n 的最小值为9 A ．①②③B ．①③④C ．①②D ．①②④23．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足2b ac =，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是（ ）A ．⎝⎭B ．⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．31,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭24．在ABC ∆中,30B =,3BC =,AB =点D 在边BC 上,点,B C 关于直线AD 的对称点分别为,B C '',则BB C ''∆的面积的最大值为A B ．7C ．7D ．225．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（ ）A ．12B C D ．626．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =点P 是AB 的中点，若PC a b =-，则ABC 面积的最大值为（ ）A B ．3C ．D ．1227．设 A B C 、、为三角形三内角，且方程2(sin sin )(sin sin )sin sin 0B A x A C x C B -+-+-=有两相等的实根，那么角B （ ） A ．60B >︒B ．60B ≥︒C ．60B <︒D ．60B ≤︒28．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，ABP ∆为等，则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 29．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(sin sin cos )sin a A c B A b B -=，且230cos()9cos 21650B C A λλ++++≤恒成立，则λ的取值范围是（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．71,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．7,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．752,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦30．函数π()sin 212f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π,,4t t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦R 上的最大值与最小值之差的取值范围是 A ．21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,2]C ．2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,22⎡⎤-⎢⎥⎣ 31．如图，已知ABC ∆，其内部有一点O 满足OAB OAC OBC OCA θ∠=∠=∠=∠=，命题:p θ最大值有可能超过36度；命题:q 若三边长对应分别为,,a b c ，则a bc =2；则正确的选项为（ ）A ．p 真q 假B ．p 假q 假C ．p 真q 真D ．p 假q 真32．已知 ()()0,,0,x y ππ∈∈，cos sin sin cos sin 1cos x x y x x y-=++，则（ ）A ．2x y π+=B ．4x y π+=C ．22x y π+=D ．22x y π+=33．已知函数()4sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，430,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ，且123n x x x x <<<<，则1231222n n x x x x x -+++++=（ ）A ．11903πB ．11923πC ．398πD ．11963π34．已知函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭)的图象在区间[]1,1-上恰有3个最低点，则ω的取值范围为（ ） A ．2129,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．1113,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)4,6ππ35．凸四边形就是没有角度数大于180的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，AC CD ⊥，AC CD =，当ABC ∠变化时，对角线BD 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．61+D ．723+36．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边长,,a b c 成等比数列，()1cos cos 2A CB -=+， （1）则B =__________．（2）若延长BA 至D 使得4BD =，当ACD ∆面积的最大值为3时，则a =__________. 37．在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin 2 A+ sin 2B = 2sin 2C ，则111tan tan tan A B C++的最小值为___． 38．已知函数sin ωπωf xx N，[]1,1x ∈-；()cos g x x π=，[]1,1x ∈-．①若1ω=，则方程0g x f x解的个数为_______；②若方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦解的个数为9，则ω=_______．39．在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值范围是_______;40．在ABC 中，若sin (sin cos )sin 0A B B C +-=，则角A 的值为________，当sin 22sin 2B C +取得最大值时，tan 2B 的值为________.41．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 满足A B C >>，且tan A 、tan B 、tan C 的数值都是整数，则tan A 的数值是_________．42．如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，5BD =，AB AC ⊥，2AC AB =，则CD 的最小值为____.43．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，给出下列命题：①若222a b c +<，则2C π>；②若2ab c >，则3C π>；③若333a b c +=，则2C π<；④若()2ab a b c >+，则2C π>；⑤若()222222a bca b +<，则3C π<.其中正确的是______.（写出所有正确命题的编号）44．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a =________．45．在下列命题中,正确的命题有________(填写正确的序号) ①若1x >,则411x x ++-的最小值是6; ②如果不等式220ax bx ++>的解集是11,23⎛⎫-⎪⎝⎭,那么10a b -=-恒成立; ③设x ,()0,y ∈+∞,且1x y +=,则22x y xy ++的最小值是34; ④对于任意1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,224t mt m +>+恒成立,则t 的取值范围是()(),52,-∞-+∞;⑤“2a =-”是“复数()()241z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数”的必要非充分条件;⑥若33cos sin x y a θθ+=,sin cos 0y x θθ-=,0xya ≠,则必有222111x y a +=; 46．有下列四个说法：①已知向量(1,2)a =，(2,)b m =-，若a 与b 夹角为钝角，则1m <；②已知函数()sin cos ()f x a x x x R =+∈的图象关于直线6x π=对称，则3a =； ③当5922ππα<<时，函数()sin log f x x x α=-有四个零点； ④已知0>ω，函数()cos 4f x x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值围是37,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确的是_________________.（填上所有正确说法的序号） 47．已知点,,1,,0642A B C πππ⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若三个点中有且仅有两个点在函数()sin f x x ω=的图象上，则正数ω的最小值为__________. 48．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，无极值点，则ω的取值范围是_______． 49．数列{}n a 满足：12a =，111n n a a -=-，①4a =_________；②若{}n a 有一个形如sin()n a A n B ωϕ=++（0A >，0>ω，||2ϕπ<）的通项公式，则此通项公式可以为n a =_________.（写出一个即可） 50．已知平面上三个不同的单位向量a ，b ，c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为______．51．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点(P -，若函数()()()sin cos f x x x αα=+++（x ∈R ）的图像关于直线0x x =对称，则0tan x =______.52．已知等差数列{}n a 的公差(0,1)d ∈，且223737sin sin 1sin()a a a a -=-+，若159(,)48a ππ∈--时，则数列{}n a 的前n 项和为n S 取得最小值时n 的值为_________.53．设I 为ABC ∆的内心，三边长7,6,5AB BC AC ===，点P 在边AB 上，且2AP =，若直线IP 交直线BC 于点Q ，则线段QC 的长为______.54．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤⎪⎝⎭，,018π⎛⎫-⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，79x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()f x 在710,99ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调，则符合条件的ω值之和为________. 55．关于函数()sin |||cos |f x x x =+有下列四个结论： ① ()f x 是偶函数 ② ()f x 在区间(,)2ππ单调递减③ ()f x 在区间(,)22ππ-上的值域为 ④ 当57(,)44x ππ∈时，()0f x <恒成立 其中正确结论的编号是____________（填入所有正确结论的序号）．56．用长度分别为3,4,5,6cm cm cm cm 的四根木条围成一个平面四边形，则该平面四边形面积的最大值是____2cm .57．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|2π≤），x 4π=-为f （x ）的零点，x 4π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在（147ππ，）上单调，则ω的最大值为_____．58．在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且2cos (2cos )A a C =-，2c =，D 为AC 上一点，:1:3AD DC =，则ABC 面积最大时，BD =____________.59．如图所示，四边形ABCD 中，7AC AD CD ===，120ABC ︒∠=，53sin 14BAC ∠=，则ABC ∆的面积为________，BD =________.60．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,,a b c 成等差数列，则11sin sin A C+的最小值为_____．61．设ABC ∆的内角A B C ，，的对边长a b c ，，成等比数列，()1cos cos 2A CB --=，延长BC 至D ，若2BD =，则ACD ∆面积的最大值为__________.62．ABC ∆的垂心H 在其内部，30A ∠=︒，3AH =3BH CH +的取值范围是_____ 63．在ABC ∆中，若222sin 3sin 3sin 23sin sin C A B A B C =+-，则角C =__________． 64．已知在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2(sin )2sin sin 0A B C -=,则sin sin sin B CA+的取值范围为_________.65．ABC 中，23BC =3AC =，2A B =，D 是BC 上一点且AD AC ⊥，则ABD 的面积为______． 66．如图ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，M 为AB 边上的动点，MD AC ⊥，D 为垂足，则MD MC + 的最小值为______；67．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin sin (2)A B cos B C <-+，则对任意的2,,,n n n n n N a b c ≥∈，都必须满足___________.68．若函数()f x 的导函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ'=+>><，()f x '的部分图象如图所示，()()12g x f x π=-，当1x ，2[,]123x ππ∈-时，则12()()g x g x -的最大值为_________.69．已知221x y +=，则23223322x y x y x ++++-+-的取值范围是_________. 70．在中，内角所对的边分别为，是的中点，若且，则面积的最大值是___71．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知25c =，且52sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为（ ） A ．35B 55C 55D 5572．如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 为圆心，且OC AB ⊥，在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=，计划在圆弧BC 上再建一座观赏亭P ，记POB θ∠=02πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，当OPQ ∠越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，sin θ=（ ）A ．33B ．22C ．32D ．1273．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围是（ ）A ．5135,22+ B ．5151,)22 C ．3535-+ D ．3551()-+ 74．已知函数()()2sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,2π上的图象有且仅有3个最高点.下面四个结论： ①()f x 在()0,2π上的图象有且仅有3个最低点； ②()f x 在()0,2π至多有7个零点；③()f x 在0,12π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增；④ω的取值范围是1927,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭；正确的结论是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④75．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，4πx =-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴.若,96ππ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为（ ） A ．18B ．17C ．15D ．1376．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ）A ．1234B ．1114C ．1054D ．117477．已知函数()cos2cos f x x x =+,[],x ππ∈-,则下列说法中错误的是（ ） A ．()f x 有2个零点B ．()f x 最小值为2-C ．()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D ．()f x 的图象关于y 轴对称78．如图,已知OPQ 是半径为2,圆心角为75°的扇形,点A ,B ,C 分别是半径OP ,OQ 及扇形弧上的三个动点(不同于O ,P ,Q 三点),则ABC 周长的最小值是( )A 61B 62C ．612D ．62279．已知()()2514f x x k x =+++，在函数sin y x =图象上存在一点()00,x y ，使()()00f f y y =，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,3k k ≤-≥B ．5,5k k ≤≥C ．135,44k k ≤-≥ D ．99,44k k ≤-≥ 80．在平面内，四边形ABCD 的B 与D ∠互补，1,3,30DC BC DAC ︒==∠=，则四边形ABCD 面积的最大值=（ ） A 3B 31+ C ．212+ D ．281．(2370tan 70)sin 80︒-︒︒=A ．12B 3C 3D ．182．已知函()()2sin (0,||)2f x x πωϕωϕ=+>≤对任意x 满足033f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，066f x f x ππ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在43,1510ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的最大值为（ ） A ．3B ．9C ．15D ．2783．如图，在ABC 中，2,AC BC AC BC ==⊥，D 为BC 边上的一点，将ACD 折叠至1AC D △的位置，使点1C 在平面ABD 外，且点1C 在平面ABD 上的射影E 在线段AB 上，设AE x =，则x 的取值范围是（ ）A ．2,2)B ．2)C ．(2,22)D ．(1,2)84．已知0>ω，在函数()2sin y x ωθ=+与()2cos y x ωθ=+的图象的交点中，距离最短的两个交点间的距离为23ω=（ ） A ．12B ．2π C ．2θ D ．185．将函数())cos2sin 23cos 30222x x x f x ωωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上为增函数，则ω的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．486．若不等式()cos 023x a b x ππ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭对[]13,x ∈-恒成立,则-a b =( )A ．13B ．23 C ．56D ．7387．已知函数()()sin f x x R ωω=∈是7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，且满足3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值组成的集合为（ ）A ．11,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．1,⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭C ．11,2⎧⎪--⎨⎪⎪⎩⎭D ．11,2⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭88．设函数()()()1122()sin sin sin n n f x a x a a x a a x a =++++⋅⋅⋅++，其中,i a j a （1,2,,i n =⋅⋅⋅，*n N ∈，2n ≥）为已知实常数，x ∈R ，下列关于函数()f x 的性质判断正确的个数是（ ）①若(0)02f f π⎛⎫==⎪⎝⎭，则()0f x =对任意实数x 恒成立；②若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；③若02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数()f x 为偶函数；④当22(0)02f f π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭时，若()()120f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈；A ．4B ．3C ．2D ．189．若不等式()sin 06x a b x ππ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-上恒成立，则a b +=（ ） A ．23B ．56C ．1D ．2 90．设函数()cos()cos()f x m x n x αβ=+++，其中,,,m n αβ为已知实常数，x ∈R ，则下列命题中错误的是（ ）A ．若(0)()02f f π==，则()0f x =对任意实数x 恒成立；B ．若(0)0f =，则函数()f x 为奇函数；C ．若()02f π=，则函数()f x 为偶函数；D ．当22(0)()02f f π+≠时，若12()()0f x f x ==，则122x x k π-= （k ∈Z ）．91．将函数32x y x -=-的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数()f x ，则函数()f x 的图象与函数2sin (46)y x x π=-≤≤图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．12B ．4C ．6D ．892．在ABC ∆中，AB AC =，D 为AC 的中点，且1BD =，则ABC ∆周长的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．93．若[0,],[,],44R ππαπβλ∈∈-∈，满足33()cos 20,4sin cos 02πααλβββλ---=++=，则cos()2αβ+的值是（ ）A ．0B ．2-C ．2D ．关于λ的非常值函数94．已知函数π()sin()(0,02f x x ωϕωϕ=+><<）．若π()8f x -为奇函数，π()8f x +为偶函数，且()2f x =在π(0,) 6至多有2个实根，则ω的最大值为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．1895．关于函数()sin 2|sin |f x x x =⋅有下述四个结论： ①()f x 的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称②()f x 的最大值为34③()f x 在区间,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增④()f x 是周期函数且最小正周期为π 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④96．关于函数()f x cos x sinx =+有下述四个结论：①()f x 的图象关于y 轴对称；②()f x 在[]ππ-，有3个零点；③()f x 的最小值为；④()f x 在区间4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减.其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④97．已知双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上.若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．()9,+∞B ．(()0,9,+∞C ．(()6,9,+∞D ．(6,98．已知函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下述结论中错误．．的是（ ） A ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在[]0,2π有且仅有2个极小值点B ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则()f x 在2π0,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 C ．若()f x 在[]0,2π有且仅有4个零点，则ω的范围是1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 图像关于π4x =对称，且在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，则ω的最大值为9 99．如图，函数sin f x A x ωϕ=+（）（）（其中00||2A ωϕπ≤＞，＞，）与坐标轴的三个交点P Q R 、、满足204P PQR M π∠=(，)，，为QR 的中点，25PM =，则A 的值为（ ）A 1633B 833C ．8D ．16100．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin sin sin B A C =⋅.若对于任意实数，不等式2(2sin 2)x B ++22sin 14t B π⎡⎤⎛⎫+⋅+ ⎪⎢⎥⎭⎦≥⎝恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(2,1]2)--⋃D ．[2,1][1,2]--101．已知函数(1)y f x =+的图象关于直线1x =-对称，且当0x ≤时，()ln(1)f x x x =-+-，设()8a f π=-，1cos 45()2b f -=，22tan16()1tan 16c f ππ=-，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>102．若函数()2sin()f x x ω=在区间[,]54ππ-上存在最小值2-,则非零实数ω的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞-B ．[6,)+∞C ．5(,2][,)2-∞-+∞D ．15(,][6,)2-∞-+∞103．已知Rt ABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y +的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．6D ．53104．己知函数()()ππsin (00)23f x x ωϕωϕ=+><<-，，为f （x ）的一个零点，x π6=为f （x ）图象的一条对称轴，且f （x ）在（0，π）上有且仅有7个零点，下述结论正确的是（ ） A ．π6ϕ=B ．f （x ）的最小正周期为4π C ．5ω=D ．f （x ）在（0，π42）上单调递增 105．已知()sin (0)3f x x πωϕω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭同时满足下列三个条件：①T π=；②3y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数；③()06f f π⎛⎫<⎪⎝⎭.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是（ ） A ．50,12π⎛⎤⎥⎝⎦B ．50,6π⎛⎤⎥⎝⎦C ．511,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．511,612ππ⎛⎤⎥⎝⎦。
2019年高考数学文真题分项解析：专题04 三角函数与解三角形
第四章 三角函数与三角形1.【2019高考新课标Ⅰ，文7】tan255°= A. －2－3 B. －2+3C. 2－3D. 2+3【答案】D 【解析】 【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】详解：000000tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=+==+=00031tan 45tan 3032 3.1tan 45tan 30313++==+--【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．2.【2019高考新课标Ⅰ，文11】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c =A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．3.【2019高考新课标Ⅱ，文8】若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A. 2B.32C. 1D.12【答案】A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．4.【2019高考新课标Ⅱ，文11】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα= A. 15B.55 C.33D.255【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+Q ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭Q ． sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，5sin 5α∴=，故选B ． 【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．5.【2019高考新课标Ⅲ，文5】函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈Q ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．6.【2019高考北京卷，文6】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.7.【2019高考北京卷，文8】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定面积最大时点P 的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值. 【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为2222βππ⨯⨯+S △POB + S △POA =4β+1||sin()2OP OB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖ 42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅.故选：B .【点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.8.【2019高考天津卷，文7】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 2- B. 2-C.2 D. 2【答案】C 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
2023-2024学年上海高一第一学期数学期中期末考试 专题04 函数的概念与性质(原卷版)
专题04函数的概念与性质函数1．（2023上·上海松江·高一校考期末）函数21xy x =-的定义域为（用区间表示）.2．（2022上·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）下列四组函数中，定义域相同的一组是（）A ．y x =和lg y x =B ．1y x=和1lg y x =C ．1y x=和lg y x =D ．y x =和1lg y x=3．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）函数21xy x =-图像的对称中心的坐标为．4．（2021上·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）函数111y x =-+的值域是（）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞D ．(,)∞∞-+5．（2023上·上海松江·高一校考期末）设函数2,0()2,0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，则()()2f f -=.6．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的边长为2，其中45DAO ∠=︒．用直线l ：x t =（(0,2)t ∈）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D 部分的面积记为S ，将S 表示为t 的函数，则其解析式为．函数的性质7．（2018·辽宁大连·高一统考期中）已知函数223y x x =-++的单调递增区间为.8．（2023上·上海松江·高一校考期末）若函数()4af x x x=+在区间[)3,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围是.9．（2023上·上海普陀·高一校考期末）函数753()8f x x ax bx cx =-+-+，其中a ､b ､c 是常数，且(19)95f =，则(19)f -=．10．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()f x 是严格增函数，则()2f -，()πf -，()3f -的大小关系是．（用“＜”连接）11．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知函数()()3332022320222x x f x x x --=+--+，则不等式()()242212f x f x -+-≤的解集为.12．（2023上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知函数()1ln xf x x+=在(]0,1是严格增函数，在[)1,+∞上为严格减函数，若对任意()0,x ∞∈+，都有e x x k ≤，则k 的取值范围是函数的应用13．（2023上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）函数()23log 31y x x =--的零点为．14．（2023上·上海松江·高一校考期末）函数231y x x=-+的零点()01,2x ∈，对区间()1,2利用一次“二分法”，可确定0x 所在的区间为.15．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）用“二分法”求方程2250x x --=在区间()2,4内的实根，首先取区间中点03x =进行判断，那么下一个有根区间是；16．（2022上·湖南邵阳·高一湖南省隆回县第二中学校考阶段练习）设实数a 、b 满足方程43210x ax bx ax ++++=有实数根，则22a b +的最小值是.17．（2021上·上海普陀·高一校考期末）若函数()()232xf x m x m x R =-+-∈有唯一零点，则实数m的值为.18．（2022上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知a ∈R ，若函数()()1,122,1a x y x x a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩，恰有两个零点，则a 的取值范围是．反函数19．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）函数()2230y x x x =-+≤的反函数为.20．（2022上·上海闵行·高一校考期末）已知2()1(1)f x x x =->，则1(3)f -=.21．（2022上·上海长宁·高一上海市延安中学校考期末）函数()22f x x x =+在区间(],1-∞-上的反函数()1f x -=．22．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）定义在()0,∞+上的函数()y f x =的反函数为()1y fx -=，若()()41,0,0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则()12f x -=的解为.函数的概念与性质综合解答题23．（2023上·上海松江·高一校考期末）设R a ∈，函数()22x xaf x a-=+.(1)若1a =，求证：函数()y f x =是奇函数；(2)若0a >，请判断函数()y f x =的单调性，并用定义证明.24．（2023下·上海·高二期末）设a 为实数，函数()21f x x x a =+--，x ∈R(1)讨论()f x 的奇偶性；(2)求()f x 的最小值．25．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）已知函数()2af x x x=+的定义域为(]0,2（a为常数）．(1)证明：当8a ≥时，函数()y f x =在定义域上是严格减函数；(2)当8a =时，求函数()y f x =在定义域上的最值，并求出函数取最值时x 的值．26．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）由于突发短时强降雨，某中学地下车库流入大量雨水．从雨水开始流入地下车库时进行监测，已知雨水流入过程中，地下车库积水量y （单位：3m ）与时间t （单位：h ）成正比，1小时后雨停，消防部门立即使用抽水机进行排水，此时y 与t 的函数关系式为25ty k ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（k 为常数），如图所示．(1)求y 关于t 的函数表达式；(2)已知该地下车库的面积为2256m ，当积水深度小于等于0.05m 时，师生方可入内，那么从消防部门开始排水时算起，至少需要经过几个小时以后，师生才能进入地下车库？27．（2023下·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知函数()()2log (0)f x x a a =+>，设()()142g x f x =.(1)当1a =时，解关于x 的不等式()1f x <-；(2)对任意的()0,2x ∈，函数()y f x =的图像总在函数()y g x =的图像的下方，求正数a 的范围；(3)设函数()()()(),0,2F x f x g x x =-∈.当1a =时，求()F x 的最大值.1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数2y ax bx c =++（02a b <<，R c ∈）至多有一个零点，则a b cb a++-的最小值为．2．（2023下·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）已知函数()()()()22R ,ln 1f x x x x g x x λλ=-+∈=+，令()()()u x f x g x =⋅，若函数()y u x =的图象在各个象限均有分布，则实数λ的取值范围为.3．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()246a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为.4．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知R a ∈，函数()22,011,02x a x x f x x ax a x ⎧++->⎪=⎨-++≤⎪⎩的最小值为2a ，则由满足条件的a 的值组成的集合是.5．（2022上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为．6．（2021上·上海·高一校考期末）已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上总有解，则实数m 的最大值为．二、单选题7．（2023下·上海黄浦·高一统考期末）已知()f x x =，若存在实数m ，使得方程()g x m =有无穷多个非负实数解，则()g x 的表达式可以为（）A ．()()1f x f x -⋅B ．()()1f x f x -+C ．()()1f x f x ⋅+D ．()()1f x f x ++8．（2023上·上海松江·高一校考期末）关于函数()1xf x x =-，给出下列两个结论：①方程()()0f x kx b k =+≠一定有实数解；②如果方程()f x m =（()f x m =为常数）有解，则解的个数一定是偶数.则（）A ．①正确，②正确B ．①错误，②错误C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确9．（2023下·上海·高二期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2=f x x ，若对任意的[],2x t t ∈+，不等式()()2f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．)2,⎡+∞⎣B ．[)2,+∞C ．(]0,2D ．2,12,3⎡⎤⎡⎤--⋃⎣⎦⎣⎦10．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）设a ∈R ，()(){,A x y y f x ==，定义域为},R (){,1B x y x y =+=或}y x =，实数集M 中的任意实数a ，总存在A B ⊆，使得方程()f x a =无实数解，则集合M 可以是（）①{}0M a a =>；②{}0M a a =≤；③{}1M a a =≤；④{}1M a a =>A ．①④B ．②③C ．①②D ．以上皆不是三、解答题11．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数()()210mf x x x x=+-≠.(1)当3m =时，求解()f x 的零点；(2)若对任意的x ∈R ，不等式()e 0xf <恒不成立，求实数m 的取值范围；(3)讨论函数()f x 的零点个数.12．（2021上·上海浦东新·高一上海市实验学校校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(1)设k 、m 均为实数，当(],x m ∈-∞时，()f x 的最大值为1，且满足此条件的任意实数x 及m 的值，使得关于x 的不等式()()22310f x m k m k ≤--+-恒成立，求k 的取值范围；(2)设t 为实数，若关于x 的方程()()2log 0f f x t x --=⎡⎤⎣⎦恰有两个不相等的实数根12,x x 且12x x <，试将1221212log 211++--+-x x x x 表示为关于t 的函数，并写出此函数的定义域．13．（2023下·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知12()|21|,()||1,R f x x a f x x a x =-+=-+∈．(1)若3a =，求函数12()()e e f x f x y =+在[3,5]x ∈上的最小值；(2)若1221()()()()f x f x f x f x -=-对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；(3)当06a ≤≤时，求函数1212()()()()()22f x f x f x f xg x -+=-在[2,8]x ∈上的最小值．。
专题04 二倍角的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)
专题4二倍角的三角函数（一）二倍角的正弦S 2α：sin2α＝2sin αcos α（二）二倍角的余弦C 2α：cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；（三）二倍角的正切T 2α：tan2α＝2tan α1－tan 2α；公式应用的条件：α≠24k ππ+且α≠k π＋2π(k ∈Z )，当α＝k π＋2π(k ∈Z )时，tan α不存在，求tan2α的值可采用诱导公式（四）二倍角公式的逆用、变形1.逆用形式：2sin αcos α＝sin2α；sin αcos α＝12sin2α；cos α＝sin2α2sin α；cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos2α；2tan α1－tan 2α＝tan2α．2.变形用形式：1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；1＋cos2α＝2cos 2α；1－cos2α＝2sin 2α；cos 2α＝1＋cos2α2；sin 2α＝1－cos2α2．题型一公式的正用【典例1】（2022春·江苏南京·高一南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知()0,απ∈，1tan 2α=，则cos2α＝（）A ．15B ．35C ．45D ．1225【典例2】（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知向量3sin ,2,1,1cos a b αα=-=-，若2a b ⋅=-，则tan2α=（）A ．1213-B ．613-C ．125-D ．65-【典例3】（2022春·江苏徐州·高一校考竞赛）求sin sin sin 181818的值.由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”使“目标角”变成“已知角”，另外角的范围应根据所给条件进一步缩小，避免出现增解．题型二公式的逆用【典例4】（2022春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）设212tan13cos 66,,21tan 13a b c ︒=︒-︒==-︒则有（）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b<<D ．b<c<a正确的是（）A ．tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒⋅︒=B ．22ππ1cos sin 12122-=C ．2tan22.51tan45tan 22.52︒=︒-︒D．12sin10=(1)求值()4sin 67cos 27sin 23cos 27tan 40-- ；(2)已知ππ1sin sin 634αα⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ,32α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin 2α的值当出现（或可化成）公式右端结构形式时，注意“逆用”公式，简化解题过程.题型三公式的变用【典例7】（2023秋·重庆沙坪坝·=（）A ．1BCD 122122212212222sin cos sin cos π，Z sin cos sin cos sin θθθθθk θθθθθ⎛⎫+-+++=≠∈ ⎪+++-⎝⎭．【典例9】（2023·江苏·高一专题练习）已知cos 2,252θθπ=<<．(1)求tan θ的值；(2)求22cos sin 24θθπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．公式变形的主要形式有1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2．题型四三角函数式化简问题【典例10】（2022秋·河北承德·高一河北承德第一中学校考期末）化简：1cos15sin15·sin170cos15sin15⎫︒+︒-⎪⎪︒︒-︒⎝⎭____.sin21tan tan2ααα⎛⎫+=⎪⎝⎭__．︒-︒cos40sin501︒+︒︒1.三角公式化简求值的策略(1)使用倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型五三角恒等式证明问题【典例13】（2023·江苏·高一专题练习）证明：ππ2sin sin cos 244ααα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【典例14】（2023·江苏·高一专题练习）求证：tan 1sin 2cos 2ααα=++【典例15】（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）（1）化简：cos()2sin sin αβαβ--；（2）求证：1sin cos sin 1sin cos 1cos θθθθθθ+-=+++．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023·江苏·高一专题练习）1sin cos ,sin25ααα+=-=（）A ．2425-B ．2425C ．1225D ．1225-2．（2023春·安徽·高三合肥市第六中学校联考开学考试）已知2sin 2cos24θ+=，则sin 2θ=A ．1516-B ．1516C ．34-D ．34tan 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4tan 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．512B ．43-C ．34D ．43A ．0B ．2cos αC π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭D π4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭5．（2022春·江苏宿迁·高一统考期末）若51sin 123⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα，则cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．9B ．9-C ．79D ．79-sin (1sin 2)sin cos θθθθ+=+（）A ．25B ．25-C ．65D ．65-7．（2022春·江苏苏州·高一江苏省沙溪高级中学校考期中）已知0,απ∈，且sin cos 5αα-=，则22sin2cos sin ααα=-（）A ．247B ．12C ．12-D ．247-，且，则α=（）A ．9B ．18C ．27oD ．36o【答案】D【分析】根据二倍角公式和逆用余弦的差角公式化简得到()cos 29sin 9α+=，结合090α<< 得到29909α+=- ，求出α.【详解】因为()()sin181sin 22sin 9cos 91sin 2αα+=+，所以()22cos 9cos 22sin 9cos 91sin 2αα=+，整理得：cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα=+ ，cos9cos 2sin 9sin 2sin 9αα-= ，()cos 29sin 9α+= ，因为090α<< ，所以929189α<+< ，所以29909α+=- ，解得：36α= 故选：D.二、多选题9．（2022春·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）下列等式成立的是（）A ．22cos 15sin 15-B ．sincos 882ππ=C ．1sin 4040sin 702=D ．tan152=10．（2022春·江苏徐州·高一统考期中）已知sin cos 5αα+=，以下选项正确的是（）A ．24sin 225α=±B ．7sin cos 5αα-=±C ．7cos 225α=±D ．447sin cos 25αα-=±11．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）24cos 20︒=___________.12.（2022春·江苏盐城·高一统考期中）若(,2)2απ∈_____．13．（2022秋·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知tan 2θ=-π02θ<<.(1)求tan θ；(2)求22cos sin 12π4θθθ+-⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）（1）已知2sin sin 22α=-，求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知ππ22x -<<，1sin cos 5x x +=，则2sin22sin 1tan x x x+-．15．（2023·江苏·高一专题练习）已知向量()()sin ,1,3,cos m n αα=-=-，其中,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且m n ⊥ ．(1)求tan α和sin 2α的值；(2)若sin()αβ+=0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求角β的值．16．（2022春·江苏盐城·高一盐城中学校考期中）已知向量()cos ,sin a αα=，122b ⎫=-⎪⎪⎝⎭，02πα<<．(1)若a b ⊥时，求sin 21cos 2αα+的值；(2)若a b -= sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．。
专题04 三角函数与解三角形(原卷)2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)
三观一统2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I）专题4 三角函数与解三角形十年树木，百年树人，十年磨一剑。
本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。
三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。
（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：三角化简求值（2019新课标I 卷T7文科）tan255°＝（ ） A ．﹣2﹣B ．﹣2+C ．2﹣D ．2+（2015新课标I 卷T2理科）o ooosin 20cos10cos160sin10- =（ ）（A ）-（B （C ）12- （D ）12（2010新课标I 卷T1文科）cos300︒=(A)2-(B)-12 (C)12(D) 2（2011新课标I 卷T7文科）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y=2x 上，则cos2θ=（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．注意： (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．（2010新课标I 卷T2理科）记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=C.一、角的有关概念1．定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类（1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角．（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合·3{|}60,S k k ββα==+︒∈Z ．3．象限角与轴线角第一象限角的集合为π2π2π,2k k k αα⎧⎫<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第二象限角的集合为π2π2ππ,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第三象限角的集合为3π2ππ2π,2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 第四象限角的集合为3π2π2π2π,.2k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z 终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{}2π,k k αα=∈Z ； 终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{}2ππ,k k αα=+∈Z ；终边与x 轴重合的角的集合为{}π,k k αα=∈Z ；终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为π2π,2k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与y 轴重合的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ； 终边与坐标轴重合的角的集合为π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z ．象限角和终边相同的角的判断及表示方法： 1．已知θ所在的象限，求nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式（含有k ）表示，然后两边同除以n 或乘以n ，再对k 进行讨论，得到nθ或nθ（n ∈N *）所在的象限．2．象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k ·360°＋α（0°≤α<360°，k ∈Z ）的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解. 二、弧度制1．1弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 规定：,ll rα=是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．2．弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值lr与所取的r 的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算180π180πrad ,1rad =57.3,1=rad π180⎛⎫︒=︒≈︒︒ ⎪⎝⎭． 4．弧长公式l r α=，其中α的单位是弧度，l 与r 的单位要统一.角度制下的弧长公式为：π180n rl =（其中n 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式21122S lr r α==.角度制下的扇形面积公式为：2π360n r S =（其中n 为扇形圆心角的角度数）.三、任意角的三角函数 1．定义设α是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，点(),P x y 是角α的终边上任意一点，P 到原点的距离()0OP r r =>，那么角α的正弦、余弦、正切分别是sin ,cos ,tan y x y r r xααα===． 注意：正切函数tan y x α=的定义域是ππ,2k k αα⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，正弦函数和余弦函数的定义域都是R .2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为()cos ,sin αα，即()cos ,sin P αα，其中cos ,sin ,OM MP αα==单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan AT α=．我们把有向线段,,OM MP AT 分别叫做α的余弦线、正弦线、正切线．各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限第一象限第二象限第三象限第四象限图形三角函数线的应用：1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x 、纵坐标y 、该点到原点的距离r .2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集．3．已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况4．特殊角的三角函数值补充：sin15cos 75,sin 75cos15,︒=︒=︒=︒=tan152,tan 752︒=︒=+ 四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系22sin cos 1αα+=．2．商的关系sin cos tan ααα=． 3．同角三角函数基本关系式的变形（1）平方关系的变形：2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（2）商的关系的变形：sin sin tan cos ,cos tan αααααα=⋅=； （3）2222111tan 1,1cos sin tan αααα-=-=．同角三角函数基本关系式的应用：1．利用22sin +cos 1αα=可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos tan ααα=可以实现角α的弦切互化．2．sin ,cos αα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sin ,cos αα的齐次式，或含有22sin ,cos αα及sin cos αα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“22sin +cos 1αα=”代换后转化为“切”后求解.二、考向题型研究二： 三角恒等变换（2017新课标I 卷T15文科）已知α∈（0，），tanα=2，则cos （α﹣）=．（2016新课标I 卷T14文科）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4)= .（2010新课标I 卷T14文科）已知α为第二象限的角，3sin 5a =,则tan 2α= .(2014新课标Ⅰ卷T8理科)设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）A. 3α﹣β= B .3α+β= C. 2α﹣β= D.2α+β=B.（2010新课标I 卷T14理科）已知α为第三象限的角，3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .1.三角函数的诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．*诱导公式的应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． *诱导公式的应用：1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似πk α±的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； （2）利用公式化成单角三角函数； 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有π3α-与π6α+，π3α+与π6α-，π4α+与π4α-等； 常见的互补关系有π3θ+与2π3θ-，π4θ+与3π4θ-等. 2.．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+（2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-（3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+（4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-（5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z3．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=- （3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且4．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±m ；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=5．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图： 6．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=；cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sinsin22αβαβαβ+--=-.*三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角例如：()()ααββββα=+-=--，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.三、考向题型研究三： 三角函数图像的平移、伸缩和翻折问题（2017新课标I 卷T9理科）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C 2（2016新课标I 卷T6文科）若将函数y =2sin (2x +6π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )A ．y =2sin(2x +4π) B ．y =2sin(2x +3π) C ．y =2sin(2x –4π) D ．y =2sin(2x –3π)*y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念*用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：*函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径*图像变换规律：设函数为()y f x =（所涉及参数均为正数）1、函数图像的平移变换：（1）()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位 （2）()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 （3）()f x b +：()f x 的图像向上平移b 个单位 （4）()f x b -：()f x 的图像向下平移b 个单位 2、函数图像的放缩变换：（1）()f kx ：()f x 的图像横坐标变为原来的1k（图像表现为横向的伸缩） （2）()kf x ：()f x 的图像纵坐标变为原来的k 倍（图像表现为纵向的伸缩） 3、函数图象的翻折变换： （1）()f x ：()f x 在x 轴正半轴的图像不变，负半轴的图像替换为与正半轴图像关于y 轴对称的图像（2）()f x ：()f x 在x 轴上方的图像不变，x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折即可（与原x 轴下方图像关于x 轴对称） *图像变换中要注意的几点：1、如何判定是纵坐标变换还是横坐标变换？在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤，其规律如下： ① 若变换发生在“括号”内部，则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部，则属于纵坐标的变换例如：()31y f x =+：可判断出属于横坐标的变换：有放缩与平移两个步骤()2y f x =-+：可判断出横纵坐标均需变换，其中横坐标的为对称变换，纵坐标的为平移变换2、解析式变化与图像变换之间存在怎样的对应？由前面总结的规律不难发现： （1）加“常数”⇔ 平移变换 （2）添“系数”⇔放缩变换 （3）加“绝对值”⇔翻折变换3、多个步骤的顺序问题：在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后，在安排顺序时注意以下原则：① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响，无先后要求 ② 横坐标的多次变换中，每次变换只有x 发生相应变化 ③ 纵坐标的多次变换中，每次变换将解析式看做一个整体进行 例如：()()21y f x y f x =→=+有两种方案方案一：先放缩：()()2y f x y f x =→=，再平移时，将解析式看做一个整体，整体加1，即()()()221y f x y f x =→=+方案二：先平移：()()1y f x y f x =→=+，则再放缩时，若纵坐标变为原来的a 倍，那么()()()11y f x y a f x =+→=+，无论a 取何值，也无法达到()21y f x =+，所以需要对前一步进行调整：平移12个单位，再进行放缩即可（2a =） 四、考向题型研究四：三角函数)sin(φ+=wx A y 的图像和性质（2015新课标I 卷T8文科）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．1(4k π-，3)4k π+，k z ∈B ．1(24k π-，32)4k π+，k z ∈ C ．1(4k -，3)4k +，k z ∈ D ．1(24k -，32)4k +，k z ∈（2019新课标I 卷T11理科）．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③（2015新课标I 卷T8理科）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈（2011新课标I 卷T11文科）设函数，则f （x ）=sin （2x+）+cos （2x+），则（ ）A ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称B ．y=f （x ）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称C ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称D ．y=f （x ）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称（2016新课标I 卷T12文科）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[-1,1]B ．[-1,13] C ．[-,13] D ．[-1,-13](2014新课标Ⅰ卷T6理科)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．（2012新课标I 卷T9文科）已知ω>0，0ϕπ<<，直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴，则ϕ=（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π4（2011新课标I 卷T11理科）设函数f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）的最小正周期为π，且f （﹣x ）=f （x ），则（ ） A ．f （x ）在单调递减B ．f （x ）在（，）单调递减C ．f （x ）在（0，）单调递增D ．f （x ）在（，）单调递增1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．(2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)3．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质（1）奇偶性：=k ϕπ时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；=2k ϕππ+时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数.（2）周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2ωπ.（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k ωϕππ-π≤+≤+π∈Z 得单调增区间；由+22,22k x k k ωϕπ3ππ≤+≤+π∈Z 得单调减区间. （4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为(,0)()k k π∈Z 求解，令x k k ωϕ+=π(∈)Ζ，求得x .利用y =sin x 的对称轴为()2x k k π=π+∈Z 求解，令+2x k k ωϕπ+=π(∈)Ζ，得其对称轴. 4．函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的物理意义当函数sin()y A x ωϕ=+（A >0,ω>0,[0,)x ∈+∞）表示一个简谐振动量时，则A 叫做振幅，T =2ωπ叫做周期，f =12πT ω=叫做频率,x ωϕ+叫做相位，x =0时的相位ϕ叫做初相. 5、三角函数的综合应用（1）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的定义域均为R ；函数tan()y A x ωϕ=+的定义域均为ππ{|,}2k x x k ϕωωω≠-+∈Z . （2）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最大值为||A ，最小值为||A -；函数tan()y A x ωϕ=+的值域为R .（3）函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的最小正周期为2πω；函数tan()y A x ωϕ=+的最小正周期为πω．（4）对于()sin y A x ωϕ=+，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为奇函数，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为偶函数；对于()cos y A x ωϕ=+，当且仅当()ππ2k k ϕ=+∈Z 时为奇函数，当且仅当()πk k ϕ=∈Z 时为偶函数；对于()tan y A x ωϕ=+，当且仅当()π2k k ϕ=⋅∈Z 时为奇函数．（5）函数()()sin 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式ππ2π2π(22k x k k ωϕ-≤+≤+ )∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()π3π2π2π22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 来确定；函数()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()2ππ2πk x k k ωϕ-≤+≤∈Z 来确定，单调递减区间由不等式()2π2ππk x k k ωϕ≤+≤+∈Z 来确定；函数()()tan 0,0y A x A ωϕω=+>>的单调递增区间由不等式()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈Z 来确定．【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+（ω有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把ω化为正数后再求解． （6）函数sin()y A x ωϕ=+图象的对称轴为ππ()2k x k ϕωωω=-+∈Z ，对称中心为π(,0)()k k ϕωω-∈Z ；函数cos()y A x ωϕ=+图象的对称轴为π()k x k ϕωω=-∈Z ，对称中心为ππ(,0)()2k k ϕωωω-+∈Z ；函数tan()y A x ωϕ=+图象的对称中心为π(,0)()2k k ϕωω-∈Z . 【注】函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线都为对称轴. 函数tan()y A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点和渐近线与x 轴的交点都为对称中心，无对称轴. (7)已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(8)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点．(9)求三角函数周期的方法 ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.6、关于辅助角公式：()sin cos a b αααϕ+=+：sin cos a b αααα⎫+=+⎪⎭② 二找：由221+=，故可看作同一个角的正余弦（称ϕ为辅助角），如cos ϕϕ==)sin cos cos sin sin cos a b ααϕαϕα+=+③ 三合：利用两角和差的正余弦公式进行合角：()sin cos a b αααϕ+=+注意事项：① 在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正余弦，因为合角的理论基础是两角和差的正余弦公式，所以构造的正余弦要同角② 此公式不要死记硬背，找角的要求很低，只需同一个角的正余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角， 7、表达式的化简攻略：可化简的表达式多种多样，很难靠列举一一道明，化简往往能够观察并抓住式子的特点来进行操作，所以说几条适用性广的建议： （1）观察式子：主要看三点① 系统：整个表达式是以正余弦为主，还是正切（大多数情况是正余弦），确定后进行项的统一（有句老话：切割化弦）② 确定研究对象：是以x 作为角来变换，还是以x 的表达式（例如2x ）看做一个角来进行变换。
2016届高考数学全国名校试题分项汇编(江苏特刊)专题04三角函数与三角形(第03期)(原卷版)
一、填空1. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B C A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆ 的一个“友好”三角形.若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，则其底角的弧度数为 ． 2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】设函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π<<），当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的值为 ▲ ．3. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，2||πϕ<)的最小正周期为π，且它的图象过点(,12π-，则φ的值为▲________． 4. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】若sin α＋2cosα＝0，则21cos 2cos sin 2ααα++的值为________．5. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】已知△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且BC 边上的高为a ，则b c c b+的最大值为______． 6. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ab ＝3，sin C ＝2sin A ，则ΔABC 的面积为 ▲ ． 7. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ． 8. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】如图，已知A ，B 分别是函数f (x )sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝2π，则该函数的周期是 ▲ ．9. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ． 10. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为 . 11. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】若())cos()()22f x x x ππθθθ=+-+-≤≤是定义在R 上的偶函数，则θ=▲ . 12. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC ∆为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围是 ▲ . 二、解答1. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.2. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】（本小题满分14分）在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=．（1）求C 的值；（2）若15A =，AB =，求ABC ∆的周长．（第9题图）3. 【南京市、盐城市2016届高三年级第二次模拟考试】 (本小题满分14分) 已知α为锐角，cos (α＋4π)． （1）求tan(α＋4π)的值； （2）求sin(2α＋3π)的值． 4. 【江苏省扬州中学2016届高三4月质量监测】如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)（ω＞0，0≤φ≤2π）的图象与y 轴交于点(0,，周期是π. （1）求ω、φ的值；（2）已知点A (2π,0)，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0,y 0)是P A 的中点，当y 0，x 0∈[2π,π]时，求x 0的值．5. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (cos θsin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R ．（1）当θ＝23π时，求向量AB 的坐标； （2）当θ∈[0，2π]时，求||AB 的最大值． 6. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】(本小题满分14分) 如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120o ，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l 1和l 2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB ＝x 公里，AC ＝y 公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？7. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ．（1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 8. 【江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研（二）数学试题】（本小题满分14分） 在△ABC 中，角ABC ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值；（2）若c =，△ABC 的面积S ，求a b ，的值． 9. 【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】（本小题满分14分）如图，在梯形ABCD 中，已知//AD BC ，1AD =，BD =4CAD π∠=，tan 2ADC ∠=-.求：（1）CD 的长；（2）BCD ∆的面积.10. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】（本小题满分14分）已知ABC∆是锐角三角形，向量()cos ,sin ,cos ,sin 33m A A n B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且m n ⊥. （1）求A B -的值；（2）若3cos ,85B AC ==，求BC 的长. 11. 【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B =,4a c +=．（1）当,,a b c 成等差数列时，求ABC ∆的面积；（2）设D 为AC 边的中点，求线段BD 长的最小值。
专题04 求函数的定义域、值域(原卷版)
专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x a =±R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞【经典例题】例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数y =的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ） A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞ D ．()0,+∞例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞2．【2020届北京市东城区高三统练】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）. A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x x f x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．37．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ） A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a的取值范围是__________．。
专题04 PISA类解直角三角形问题中考题型训练(原卷版)
专题4 PISA类解直角三角形问题中考题型训练1．（2022•宁夏）2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，某一时刻观测点D测得返回舱底部C的仰角∠CDE＝45°，降落伞底面圆A点处的仰角∠ADE＝46°12′．已知半径OA长14米，拉绳AB长50米，返回舱高度BC为2米，这时返回舱底部离地面的高度CE约为米（精确到1米）．（参考数据：sin46°12′≈0.72，cos46°12′≈0.69，tan46°12′≈1.04）2．（2022•衢州）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，A，B是两侧山脚的入口，从B出发任作线段BC，过C作CD⊥BC，然后依次作垂线段DE，EF，FG，GH，直到接近A点，作AJ⊥GH于点J．每条线段可测量，长度如图所示．分别在BC，AJ上任选点M，N，作MQ⊥BC，NP⊥AJ，使得＝＝k，此时点P，A，B，Q共线．挖隧道时始终能看见P，Q处的标志即可．（1）CD﹣EF﹣GJ＝km．（2）k＝．3．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在点A观测点F的仰角为45°．（1）点F的高度EF为m．（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是．4．（2022•镇江）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及、组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC＝66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成MN长的计算．参考数据：sin66°≈，cos66°≈，tan66°≈，sin33°≈，cos33°≈，tan33°≈．5．（2022•东营）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）6．（2022•六盘水）“五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E 处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝2m，BF＝3m．（1）天晴时打开“天幕”，若∠α＝65°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）；（2）下雨时收拢“天幕”，∠α从65°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin65°≈0.90，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，≈1.41）7．（2022•青海）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）8．（2022•潍坊）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：≈1.4，≈1.7）．9．（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）10．（2022•常德）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图1），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图2是其示意图，已知：助滑坡道AF＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°．求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）11．（2022•娄底）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC＝120°，求BC的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝k•Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0．12．（2022•江西）图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（结果保留小数点后一位）（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；（2）求雕塑的高（即点G到AB的距离）．（参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）13．（2022•宁波）每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B 转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）14．（2022•绍兴）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．（1）求∠BAD的度数．（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）15．（2022•成都）2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A'OB＝108°时（点A'是A 的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）16．（2022•盐城）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）求A、C两点之间的距离；（2）求OD长．（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）1．（2022•鹿城区二模）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是（）A．a cosθ+b sinθB．a cosθ+b tanθC．D．2．（2023•桥西区模拟）如图是某型号机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB，BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°，机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．（1）∠ABC的补角度数是°；（2）点A到直线BC的距离约是m；（3）OD的长约是m．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， 2.24）3．（2023•金华模拟）如图是一个矩形足球球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB＝a米．某球员沿CD带球向球门AB进攻，在Q处准备射门．已知BD＝3a米，QD＝3a米，则tan∠AQB＝；已知对方门将伸开双臂后，可成功防守的范围大约为0.5a米；此时门将站在张角∠AQB内，双臂伸开MN且垂直于AQ进行防守，MN中点与AB距离米时，刚好能成功防守．4．（2023•金华模拟）如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示，其主体部分为矩形EFGH，由支撑杆CD垂直固定于底座AB上，且可以绕点D旋转．压杆MN与伸缩片PG连接，点M在HG上，MN可绕点M旋转，PG⊥BC，DF＝8厘米，不使用时，EF∥AB，G是PF中点，tan∠PMG＝，且点D在NM的延长线上，则GF的长为厘米；使用时如图3，按压MN使得MN∥AB，此时点F落在AB上，若CD＝2厘米，则压杆MN到底座AB的距离为厘米．5．（2022•婺城区模拟）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，是我国茶文化的一部分，所用到的长嘴壶更是历史悠久，源远流长．图①是现今使用的某款长嘴壶放置在水平桌面上的照片，图②是其抽象示意图，l是水平桌面，测得壶身AD＝BC＝3AE＝24cm，AB＝30cm，CD＝22cm，且CD∥AB．壶嘴EF＝80cm，∠FED＝70°．（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.6；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）（1）FE与水平桌面l的夹角为．（2）如图③，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，EF∥l，此时点F下落的高度为cm．（结果保留一位小数）．6．（2023•鄞州区校级一模）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为70cm，BC为支杆，它可绕点B 旋转，其中BC长为50cm，DE为悬杆，支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且灯泡悬挂点D距离地面的高度为100cm，求CD的长；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，如图3，求此时灯泡悬挂点D到地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）7．（2023•泽州县一模）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案．项目主题桥梁模型的承重试验活动目标经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题驱动问题当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度方案设计工具桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等实物图展示示意图状态一（空水桶）状态二（水桶内加一定量的水）说明：C为AB的中点……请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是．A．三角形具有稳定性B．两点确定一条直线C．两点之间线段最短（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得CD＝30cm，∠C'AC＝12°，∠C'AD＝45°，请计算此时水桶下降的高度CC'．（参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2）8．（2023•沛县模拟）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体红外辐射的能量对进入测温区域的人员进行快速体温检测，无需人员停留和接触．如图所示，BF是水平地面，其中EF是测温区域，测温仪安装在校门AB上的点A处，已知∠DAG＝60°，∠DAC＝30°．（1）∠ACG＝度，∠ADG＝度．（2）学生DF身高1.5米，当摄像头安装高度BA＝3.5米时，求出图中BF的长度；（结果保留根号）（3）为了达到良好的检测效果，测温区EF的长不低于3米，请计算得出设备的最低安装高度BA是多少？（结果保留1位小数，参考数据：）9．（2023春•金水区校级月考）某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）10．（2023•南昌模拟）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂，EM∥QN）．已知基座高度MN为1m，主臂MP长为5m，测得主臂伸展角．∠PME＝37°．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin53°≈，tan53°≈）（1）求点P到地面的高度；（2）若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为7m，求∠QPM的度数．11．（2023•浙江模拟）如图1是一个简易手机支架，由水平底板DE、侧支撑杆BD和手机托盘长AC组成，侧面示意图如图2所示．已知手机托盘长AC＝10cm，侧支撑杆BD＝10cm，∠CBD＝75°，∠BDE＝60°，其中点A为手机托盘最高点，支撑点B是AC的中点，手机托盘AC可绕点B转动，侧支撑杆BD可绕点D转动．（1）如图2，求手机托盘最高点A离水平底板DE的高度h（精确到0.1cm）．（2）如图3，当手机托盘AC绕点B逆时针旋转15°后，再将BD绕点D顺时针旋转α，使点C落在水平底板DE上，求α（精确到0.1°）．（参考数据：tan26.6°≈0.5，≈1.41，≈1.73）12．（2023•南谯区校级一模）如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备箱开起侧面示意图，具体数据如图所示（单位：cm）且AC＝BD，AF∥BE，sin∠BAF＝0.8，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点B'，D'，E'的位置，气簧活塞杆CD随之伸长CD'．已知直线BE⊥B'E'，CD'＝2CD．（1）求AB的长度．（2）求CD'的长度．。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题04 函数及其表示(原卷版)
专题四 函数及其表示【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会依据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简洁的分段函数，并能简洁的应用.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．主要考查函数的概念、解析式及分段函数等，试题难度较小.【热点题型】 题型一 函数定义域例1、(2021年高考安徽卷)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 【提分秘籍】求函数的定义域时，应留意(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接．【举一反三】 求函数f (x )＝lgx 2－2x 9－x 2的定义域；(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域． 【热点题型】题型二 函数解析式的求法【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )． 【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【举一反三】已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3【热点题型】题型三 分段函数求值例3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f x ＋1，x <4，则f (2＋log 23)的值为A.124B.112C.16D.13【举一反三】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2D ．9【热点题型】题型四 分类争辩思想在分段函数中的应用例4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1【提分秘籍】由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类争辩的一种体现．1．解决本题时，由于a 的取值不同限制了f (a )的表达，从而对a 进行分类争辩． 2．运用分类争辩的思想解题的基本步骤 (1)确定争辩对象和确定争辩的区域；(2)对所争辩的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)； 【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，1x 2，x ∈[1，＋∞若f (x )>4，则x 的取值范围是________．【高考风向标】1．（2022·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－122．（2022·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)4．（2022·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 5．（2022·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 6．（2021·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．假如f (x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，争辩S(a)的单调性．7．（2021·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(1)＝________．10．（2021·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－48．（2021·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]9．（2021·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －1610．（2021·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，111． （2021·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的开放式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 12． （2021·四川卷）函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )图1－513． （2021·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)依据直方图估量利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．图1－4【随堂巩固】1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．34．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )5．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋36．依据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,167．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．10．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.12．若函数的定义域为{x |－3≤x ≤6，且x ≠4}，值域为{y |－2≤y ≤4，且y ≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．13．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．14．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．15.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时动身前往乙家．如图所示，表示甲从家动身到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y＝f (x )的函数解析式．16．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能依据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？17．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.。
专题04 有关全等三角形的常见压轴题(原卷版)-【聚焦压轴】2022届中考数学压轴大题专项训练
专题4 有关全等三角形的常见压轴题1．（2021·杏花岭·山西实验中学九年级月考）如图，平面直角坐标系中()2,0A ，()0,1D ，过O 作OB AD ⊥于点E ，B 为第一象限的点，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连接BC 、BA ．（1）求直线AD 的解析式；（2）若CD BC =，求证：OBC ADO ≌△△； （3）在第（2）问条件下，若点M 是直线AD 上的一个动点，在x 轴上存在另一个点N ，且以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标． 2．（2021·甘肃兰州十一中九年级月考）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的一条角平分线，AN 为△ABC 的外角∠BAM 的平分线，BE ⊥AN ，垂足为E ．已知AD ＝4，BD ＝3．（1）求证：四边形ADBE 是矩形；（2）如图2，延长AD 至点F ，使AF ＝AB ，连接BF ，G 为BF 的中点，连接EG ，DG ．求EG 的长．（3）如图3，在（2）问的条件下，P 为BE 边上的一个动点，连接PG 并延长交AD 延长线于点Q ，连接CQ ，H 为CQ 的中点，求点P 从E 点运动到B 点时，点H 所经过的路径长．3．（2021·合肥市第四十八中学九年级开学考试）如图1，A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且MON ∠为钝角，现以线段OA ，OB 为斜边向MON ∠的外侧作等腰直角三角形，分别是OAP △，OBQ △，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．（1）求证：PCE EDQ ≌△△．（2）延长PC ，QD 交于点R ．①如图2，若150MON ∠=︒，求证：ABR △为等边三角形．②如图3，若ARB PEQ ∽△△，求MON ∠大小和AB PQ的值．4．（2021·辽宁建昌·九年级期末）已知在矩形ABCD 中，∠ADC 的平分线DE 与BC 交于点E ，点P 是线段DE 上一定点（其中EP ＜PD ）（1）如图1，若点F 在CD 边上（不与C ，D 重合），将∠DPF 绕点P 逆时针旋转90°后，角的两边PD ，PF 分别交射线DA 于点H ，G ．①直接写出PG 与PF 之间的数量关系；②猜想DF ，DG ，DP 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图2，若点F 在CD 的延长线上（不与D 重合），将PF 绕点P 逆时针旋转90°，交射线DA 于点G ，判断（1）②中DF ，DG ，DP 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请直接写出它们所满足的数量关系式．5．（2021·佛山市华英学校九年级期末）已知正方形ABCD ，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ⊥于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ≠时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由； （3）如图③，已知AMN 中，45MAN ∠=︒，AH MN ⊥于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．6．（2021·沭阳县怀文中学九年级月考）已知：AOB ∆和COD △均为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH ．（1）如图1所示，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，求证：12OH AD =且OH AD ⊥； （2）将COD △绕点O 旋转到图2所示位置时，线段OH 与AD 又有怎样的关系，证明你的结论．（3）如图3所示，当8AB =，2CD =时，求OH 长的取值范围．7．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数132y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为()2,0-，抛物线经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AD 与y 轴负半轴交于点D ，且BAO DAO ∠=∠，求证：OB OD =；（3）在（2）的条件下，若直线AD 与抛物线的对称轴l 交于点E ，连接BE ，在第一象限内的抛物线上是否存在一点P ，使四边形BEAP 的面积最大？若存在，请求出点P 的坐标及四边形BEAP 面积的最大值；若不存在，请说明理由．8．（2021·广州市黄埔华南师范大学附属初级中学九年级期中）在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，且点M 不与B 、C 重合，点P 在射线AM 上，将线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ．（1）依题意补全图1，并求证：ABP ADQ ≌△△．（2）连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=． 9．（2021·哈尔滨市第十七中学校九年级二模）已知AB 、AC 是⊙O 的两条弦，OA 为半径，∠OAB ＝∠OAC ．（1）如图（1），求证：AB ＝AC ；（2）如图（2），延长AO 交⊙O 于点D ，点E 是BC 延长线上的一点，EF 切⊙O 于点F ，连DF 交BC 于点G ，求证：EF ＝EG ；（3）如图（3），在（2）的条件下，设DF 交AC 于点H ，若DF ∥AB ，tan E ＝43，CH 352求DG 长．10．（2021·河南平顶山·九年级期中）（1）阅读理解如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常常会想到：把∆ADE绕点A顺时针旋转90°，得到∆ABG．易证∆AEF≌，得出线段BF，DE，EF之间的关系为；（2）类比探究如图2，在等边∆ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求线段DE的长；（3）拓展应用如图3，在∆ABC中，AB＝AC＝62+，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，请直接写出线段BD的长．11．（2021·辽宁立山·九年级期中）已知：∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD．（OC22>OA）（1）如图1：连AC、BD，判断：AC与BD之间的关系；并说明理由．（2）若将△COD绕点O逆时针旋转，①如图2，当点C恰好在AB边上时，请写出AC、BC、OC之间数量关系；并说明理由．②当点B 、D 、C 在同一条直线上时，若OB ＝6，OC ＝5，求AC 的长．12．（2021·广西河池·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，4AB =，3AC =，D ，E 分别是AB ，BC 边上的动点，以BD 为直径的圆O 交BC 于点F ．（1）当AD DF =时，求证：CFD CAD ∆≅∆；（2）当CED ∆是等腰三角形且DEB ∆是直角三角形时，求AD 的长．13．（2021·辽宁锦州·中考真题）在△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝α，D 为线段AB 上的动点，连接DC ，将DC 绕点D 顺时针旋转α得到DE ，连接CE ，BE ．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△CAD ≌△CBE ；（2）如图2，当tan α＝34时， ①探究AD 和BE 之间的数量关系，并说明理由；②若AC ＝5，H 是BC 上一点，在点D 移动过程中，CE ＋EH 是否存在最小值？若存在，请直接写出CE ＋EH 的最小值；若不存在，请说明理由．14．（2021·辽宁丹东·中考真题）已知,在正方形ABCD 中,点M ､N 为对角线AC 上的两个动点,且45MBN ∠=︒,过点M 、N 分别作AB ､BC 的垂线相交于点E ,垂足分别为F ､G ,设AFM △的面积为1S ,NGC ∆的面积为2S ,MEN ∆的面积为3S ．（1）如图（1）,当四边形EFBG 为正方形时,①求证:CGN AFM ∆≅∆;②求证:312S S S =+;（2）如图（2）,当四边形EFBG 为矩形时,写出1S ,2S ,3S 三者之间的数量关系,并说明理由; （3）在（2）的条件下,若()::BG GC m n m n =>,请直接写出:AF FB 的值．15．（2021·山东潍坊·中考真题）如图1，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AC =1，D 为△ABC 内部的一动点（不在边上），连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转60°，使点B 到达点F 的位置；将线段AB 绕点B 顺时针旋转60°，使点A 到达点E 的位置，连接AD ，CD ，AE ，AF ，BF ，EF ．（1）求证：△BDA ≌△BFE ；（2）①CD +DF +FE 的最小值为 ；②当CD +DF +FE 取得最小值时，求证：AD ∥BF ．（3）如图2，M ，N ，P 分别是DF ，AF ，AE 的中点，连接MP ，NP ，在点D 运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．。
专题04 函数的单调性(原卷版)
专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系 已知函数f (x )在区间(a ，b )上可导，(1)如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增； (2)如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递减； (2)如果f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内是常数函数．注意：1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”． 考点一 不含参数的函数的单调性 【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f (x )与其导函数f ′(x )的图象如图所示，设O 为坐标原点，A ，B ，C ，D 四点的横坐标依次为－12，－16，1，43，则函数y ＝f (x )ex 的单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－16，43B ．⎝⎛⎭⎫－12，1C ．⎝⎛⎭⎫－12，－16 D ．(1，2) (2)已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可以是( )(3)函数f (x )＝x 2＋x sin x 的图象大致为( )(4)函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．(5)设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．(6)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞) (7)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) (8)已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为 ． (9)函数f (x )＝2|sin x |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为( )A ．[－π2，－π6]和[0，π6]B ．[－π6，0]和[π6，π2]C ．[－π2，－π6]和[π6，π2]D ．[－π6，π6](10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x [例2] 已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数k 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．【对点训练】1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上f (x )单调递增 2．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．(多选)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f (x )的图象的是( )4．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息：①f ′(x )>0时，－1<x <2；②f ′(x )<0时，x <－1或x >2；③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2． 则函数f (x )的大致图象是( )5．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )6．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )A B C D 7．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 8．函数f (x )＝(x －2)e x 的单调递增区间为 ．9．函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 10．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，1) 11．函数y ＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( )A ．(－3，1)B ．(0，1)C ．(－1，3)D ．(0，3) 12．函数f (x )＝x ln x ＋x 的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫0，1e 2C ．⎝⎛⎭⎫e e ，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫0，e e 13．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)B ．(0，1)和(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1，2) 14．函数f (x )＝xln x 的单调递减区间是________．15．函数f (x )＝e x cos x 的单调递增区间为________． 16．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间上单调递增( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π)C ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 17．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________．18．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x ) 具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝sin x D ．f (x )＝x19．已知函数f (x )＝12x 3＋x 2．(1)求曲线f (x )在点⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43处的切线方程； (2)讨论函数y ＝f (x )e x 的单调性．20．设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4．(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．考点二 比较大小或解不等式 【方法总结】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例题选讲】[例3](1)在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )＜0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) (3)已知奇函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝xf (x )，则( )A ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－32)＞g (2－23)B ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－23)＞g (2－32)C ．g (2－32)＞g (2－23)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314D ．g (2－23)＞g (2－32)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314 (4)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－xf ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) (5)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为 ．(6)设函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －cos x ，则不等式f (2x －1)＋f (x －2)>0的解集为( ) A ．(－∞，1) B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞ D ．(1，＋∞) 【对点训练】1．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为 ．2．已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a3．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12， c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是 ．6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2e x －2e －x ，其中e 为自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－1，12D ．⎣⎡⎦⎤－1，12 7．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为 ．8．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为 ． 考点三 根据函数的单调性求参数 【方法总结】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间． 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”． (2)函数f (x )在区间D 上递增(减)．方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”． 【例题选讲】[例4](1)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(－∞，2] D ．(－∞，2) (2)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 ．(3)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间(0，π)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，1] (4)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4a 2x ＋a －4a ，0<x ≤a ，x －x ln x ，x >a 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2]B ．[e ，e 2]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)(5)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是 ． (6)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是 ．[例5] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围； (3)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上不单调，求a 的取值范围．[例6] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b ．(1)若f (x )与g (x )的图象在x ＝1处相切，求g (x )；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．【对点训练】1．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞) 2．已知函数f (x )＝13ax 3－x 2＋x 在区间(0，2)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为________．3．若y ＝x ＋a 2x (a ＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ．4．若函数f (x )＝x 2＋1＋ax 2x 在[13，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 5．已知函数f (x )＝sin2x ＋4cos x －ax 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，3]B ．[3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[0，＋∞) 6．若函数g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]7．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R )在⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________． 8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．9．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．2 10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．12．已知函数f (x )＝e x －ax e x －a (a ∈R )．(1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围；(2)求证：x 在(0，2)上任取一个值，不等式1x －1e x －1<12恒成立(注：e 为自然对数的底数)。
2019年湖南省中考数学真题分类汇编 专题4 三角形(原卷版)
（2019湖南省11地市中考数学7大专题分类解析汇编专题04三角形一、选择题1．2019湖南邵阳）如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，以下说法中错误的是（）A．△ABC∽△A′B′C′B．点C、点O、点C′三点在同一直线上C．AO：AA′=1：2D．AB∥A′B′2．（2019湖南益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形3．（2019湖南益阳）南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB＝a，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为（）A．asinα+asinβB．acosα+acosβC．atanα+atanβD．+4．（2019湖南张家界）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝ABC，则点D到AB的距离等于（）AD，BD平分∠A．4B．3C．2D．15．（2019湖南湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（）A．10B．8C．4D．26．（2019湖南邵阳）如图，在△Rt ABC中，∠BAC=90°，∠B=36°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠BED等于（）A．120°B．108°C．72°D．36°7．（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（）（（A．B．2C．D．48．（2019湖南常德）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为△1，ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（）A．20B．22C．24D．26二、填空题9．（2019湖南邵阳）如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）10．2019湖南怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为．11．2019湖南株洲）如图所示，在△Rt ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝．（ 0（ 12．（2019 湖南常德）如图，已知△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，∠BAC ＝45°，点 D 在AC 边上，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 45°得到△ACD ′，且点 D ′、D 、B 三点在同一条直线上，则∠ABD 的度数是．13．（2019湖南娄底）如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆 AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB =12m ，则旗杆 AB 的高为 m ． ACO D6m 12m B14． 2019 湖南邵阳）如图，将等边△AOB 放在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4， ），点 B 在第一象限，将等边△AOB 绕点 O 顺时针旋转 180°得到△A′OB′，则点 B′的坐标是_______．15． 2019 湖南株洲）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，在直线 x ＝1 处放置反光镜Ⅰ，在 y 轴处放置一个有缺口的挡板Ⅱ，缺口为线段 AB ，其中点 A （0，1），点 B 在点 A 上方，且 AB ＝1，在直线 x ＝﹣1 处放置一个挡板Ⅲ，从点 O 发出的光线经反光镜Ⅰ反射后，通过缺口 AB 照射在挡板Ⅲ上，则落在挡板Ⅲ上的光线的长度为 ．三、解答题16．（2019湖南益阳）已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．17．（2019湖南邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB=OE；支架BC与水平线AD垂直．AC=40cm，∠ADE=30°，DE=190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD=65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）18．（2019湖南郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A（处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）19．（2019湖南怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．20．2019湖南张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）（B F21．（2019湖南娄底）如图，有小岛A和小岛B，轮船以45km/h的速度由C向东航行，在C处测得A的方位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东45°，轮船航行2小时后到达小岛B处，在B处测得小岛A在小岛B的正北方向．求小岛A与小岛B之间的距离（结果保留整数，参考数据：2≈1．41，6≈2．45）AC60°45°B22．（2019湖南岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．点D、、在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．23．（2019湖南常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．24．（2019湖南衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）25．（2019湖南株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（（2）假如障碍物上的点 M 正好位于线段 BC 的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段 MN 为此长方形前端的边），MN ⊥l 1，若小强的爸爸将汽车沿直线 l 1 后退 0.6 米，通过汽车的前端 F 1 点恰好看见障碍物的顶部 N 点（点 D 为点 A 的对应点，点 F 1 为点 F 的对应点），求障碍物的高度．26．（2019 湖南常德）在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，作 CM ⊥AB 交 AB 于点 M ，BN ⊥AC 交 AC 于点 N ．（1）在图 1 中，求证：△BMC ≌△CNB ；（2）在图 2 中的线段 CB 上取一动点 P ，过 P 作 PE ∥AB 交 CM 于点 E ，作 PF ∥AC 交 BN于点 F ，求证：PE +PF ＝BM ；（3）在图 3 中动点 P 在线段 CB 的延长线上，类似（2）过 P 作 PE ∥AB 交 CM 的延长线于点 E ，作 PF ∥AC 交 NB 的延长线于点 F ，求证：AM •PF +OM •BN ＝AM •PE ．27． 2019 湖南娄底）如图甲，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =4cm ，BC=3cm ．如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1cm/s ．连接 PQ ，设运动时间为 t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题：（1△）设 APQ 的面积为 S ，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？（2）如图乙，连接 △PC ，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP′C ，当四边形 PQP′C 为菱形时，求 t 的值；′（3）当 t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？tB BP PAQC A Q 甲 C乙 P'28．（2019 湖南衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6cm ，动点 P 从点 A 出发以 1cm /s 的速度沿 AB 匀速运动．动点 Q 同时从点 C 出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P 到达点 B 时，点 P 、Q 同时停止运动．设运动时间为以 （s ）．过点 P 作 PE ⊥AC 于 E ，连接 PQ 交 AC 边于 D ．以 CQ 、CE 为边作平行四边形 CQFE ．（1）当 t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻 t ，使点 F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求 DE 的长；（4）取线段 BC 的中点 M ，连接 △PM ，将 BPM 沿直线 PM 翻折，得 △B ′PM ，连接 AB ′，当 t 为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．。
高中数学三角函数专题04 ω的取值范围与最值问题
专题04 ω的取值范围与最值问题一．选择题（共27小题）1．（2021•淮北二模）已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()24f π=，()0f π=，且()f x 在区间(,)43ππ上单调，则满足条件的ω个数为( )A ．7B ．8C ．9D ．102．（2018秋•黔南州期末）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<，4x π=-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴．若(,)96ππ是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为( ) A ．18B ．17C ．15D ．133．（2019•肇庆三模）已知函数()3sin()f x x ωϕ=+，(0,0)2πωϕ><<，()03f π-=，2()()3f x f x π-=，且函数()f x 在区间(,)124ππ上单调，则ω的最大值为( )A ．274B ．214C ．154D ．944．（2019•开福区校级模拟）已知函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，()03f π-=，对x R ∈恒有()|()|3f x f π，且在区间(,)155ππ上有且只有一个1x 使1()3f x =，则ω的最大值为( ) A ．574B ．1054C ．1114D ．11745．（2021•庄浪县校级开学）已知函数()sin 3cos (0,)f x x x x R ωωω=->∈，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．12[,]33B ．17[,]612C ．121[,](0,]336⋃D ．171[,](0,]61212⋃6．（2018•湖北模拟）已知函数()cos()(0)3f x x πωω=->且25()()36f f ππ=，若()f x 在区间25(,)36ππ上有最大值，无最小值，则ω的最大值为( ) A ．49B ．289C ．529D ．10097．（2019•开封三模）已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且11(36x π∀∈，17)36π，|()|1f x <，则ω的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．28．（2020秋•天津期中）将函数()sin f x x =的图象先向右平移3π个单位，再把所得函数图象横坐标变为原来的1(0)ωω>，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，1] B ．(0，2]9C ．(0，22][93，8]9D ．(0，28][99，1]9．（2021•天津模拟）将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1(0)ωω>倍纵坐标不变得到函数()g x 的图象．若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．228(0,][,]939B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0，1]10．（2021•桂林一模）函数()sin (0)g x x ωω=>的图象向左平移5πω个单位长度得到函数()f x ，()f x 在[0，2]π上有且只有5个零点，则ω的取值范围是( ) A ．812(,)55B ．812[,)55C ．1229(,)510D ．1229[,)51011．（2020•天津二模）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->，若函数()f x 在区间(0,)π上有且只有两个零点，则ω的取值范围为( ) A ．713(,)66B ．713(,]66C ．611(,)56D ．611(,]5612．（2018秋•河北月考）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，若函数()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．5(0,]12B ．5511(0,][,)12612C ．5(0,]6D ．5511(0,][,]1261213．（2019•河北一模）已知函数()2sin()sin()(0)63f x x x ππωωω=-+>，若函数3()()2g x f x =+在[0，]2π上有且只有三个零点，则ω的取值范围为( ) A ．[2，11)3 B ．11(2,)3 C ．710[,)33 D ．710(,)3314．（2021•安徽模拟）已知函数1()sin (sin cos )(0)2f x x x x ωωωω=+->在区间(0,)π上恰有1个最大值点和1个最小值点，则ω的取值范围是( ) A ．711(,)88B ．711(,]88C ．79(,]88D ．79(,)8815．（2019•新课标Ⅱ）若14x π=，234x π=是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则(ω= ) A ．2B ．32C ．1D ．1216．（2018秋•芜湖期末）已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>，x R ∈，若函数()f x 在区间(,)ωω-内单调递增，且函数()f x 的图象关于直线x ω=对称，则下列命题正确的是()A ．()1f ω=B ．()2f ω-=-C ．22()()2f x f x ωω++-=D ．(2)()f x f x π+=17．（2019•深圳二模）已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=+>在区间[,]43ππ-上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为( ) A ．8[,7)3B ．8[,4)3C ．20[4,)3D ．20(,7)318．（2021春•鼓楼区校级期末）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，若()19f π=，(449)0f π=，()f x 在(,)93ππ上单调递减，那么ω的取值个数是( )A ．2019B ．2020C ．2021D ．202219．（2021春•蚌埠期末）已知函数()sin (0)f x x ωω=>在3[,]44ππ-上单调递增，则ω的取值范围是( ) A ．[2，)+∞ B ．(0，2]C ．2[,)3+∞D ．2(0,]320．（2021•乙卷模拟）已知函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=+>>，若()f x 在[,]93ππ上单调递减，当5(0,)18x π∈时()0f x >，则()f x 在[0，30]π内的单调递增区间最多有( ) A ．45个B ．46个C ．54个D ．55个21．（2021•吉林模拟）已知函数()sin (0)f x x ωω=>在区间2[,]33ππ-上单调递增且|()|1f x =在区间[0，]π上有且仅有一个解，则ω的取值范围是( ) A ．3(0,)4B ．33[,)42C ．13[,)22D ．13[,]2422．（2021•舒城县校级模拟）已知函数sin()(0)6y x πωω=+>在区间(0,)π恰有3个零点，则ω的取值范围是( ) A ．717(,]66B ．23(0,]6 C ．1723[,)66D ．1723(,]6623．（2018秋•海淀区校级期末）函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现10次最大值，则ω的最小值是( ) A ．10πB ．20πC ．372πD ．392π24．（2021•庐阳区校级模拟）函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象向右平移4π个单位后所得函数图象与函数()f x 的图象关于x 轴对称，则ω最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．625．（2021春•新乡期末）将函数()cos()(0)4f x x πωω=+>的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5(,)44ππ上单调递减，则ω的最大值为( )A ．14B ．34C ．12D ．126．（2021春•韩城市期末）已知函数()2cos()6f x x πω=+在区间(,)34ππ-上的最小值小于零，则ω可取的最小正整数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．427．（2021春•商洛期末）已知函数3()sin()sin()(0)21472xxf x ωππωω=+->在[0，)π上恰有6个零点，则ω的取值范围是( ) A ．4148(,]77B ．3441(,]77C ．4148[,)77D ．3441[,)77二．多选题（共3小题）28．（2020春•鼓楼区校级期末）已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()23f π=，()0f π=，且()f x 在区间(3π，5)12π单调，则关于ω以下说法正确的是( ) A ．ω有8种取值 B ．ω的取值有无限个C ．ω不能等于34D ．ω可以等于39429．（2020秋•黄埔区校级期末）已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+>，4x π=-为函数()f x 零点，直线4x π=为函数()f x 的对称轴，且()f x 在5(,)1836ππ上单调，则ω不可能等于( ) A ．11B ．9C ．8D ．630．（2020秋•罗源县校级月考）设函数()sin()(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：A ．()f x 在(0,2)π上有且仅有3个极大值点；B ．()f x 在(0,2)π上有且仅有2个极小值点；C ．()f x 在(0,)10π上单调递增；D ．ω的取值范围是12[5，29)10．其中所有正确结论是( ) A ．AB ．BC ．CD ．D三．填空题（共2小题）31．（2018•湖北模拟）已知函数1()cos()(0)32f x x πωω=-->在区间[0，]π上恰有三个零点，则ω的取值范围是 ．32．（2021春•芗城区校级月考）已知定义在[0,]4π上的函数()sin()(0)6f x x πωω=->的最大值为3ω，则正实数的取值个数最多为 ．。
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x1x2 y1 y2 表示的值为 (
)
3/6
A． sin( )
B． sin( )
C． cos( )
D． cos( )
13．【北京市海淀区中国人民大学附属中学 2019-2020 学年高三上学期 10 月月考数学试题】
已知曲线
y＝2sin（x
4
）cos（
4
x
）与直线
y
1 2
相交，若在
已知函数 f x 3 sin x cos x 1 cos 2x ，若将其图象向右平移 0 个单位长度后所得的图象关于
2
原点对称，则 的最小值为_____.
16．【北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考数学试题】
已知点 A 6 ,
3 2
,
B
10．【2020 届北京市海淀区中央民族大学附属中学高三上学期 9 月月考数学试题】
“α ”是“cosα 1 ”成立的（ ）
3
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
11． 【北京东城区第五中学 2019-2020 年 12 月月考】
已知函数 f (x) sin( x )(
,
0)
的图像在
y
轴右侧的第一个最高点为
P(
,1)
，在原点右侧与
2
6
x
轴的第一个交点为 Q(
5
, 0)
，则
f
(
)
的值为（
）
12
3
A．1
1
B．
2
C． 2 2
D． 3 2
12．【北京市东城区第五中学 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考数学试题】
如图，点 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2 ) 分别是单位圆 O 上的点，角 、 的终边分别为射线 OA 和射线 OB ，则
4
,1
,
C
2
,
0
，若三个点中有且仅有两个点在函数
f
x sinx 的图象上，则
正数 的最小值为__________.
17．【2020 届北京市海淀区高三上学期期中数学试题】
已知函数 f (x) 2 sinx, g(x) 2 cosx ，其中 0 ， A, B, C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①
高三数学百所名校好题分项解析汇编之北京专版(2020 版)
专题 04 三角函数
1．【2020 届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题】
sin 20cos10 cos160sin10 （ ）
A． 3 2
B． 3 2
C． 1 2
1
D．
2
2．【2019 年北京四中期中】
函数 y Asin( x )( 0 ，| | ， x R) 的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ） 2
A．
y
4
sin(
x
)
84
C． y 4sin( x ) 84
B．
y
4 sin(
x
)
84
D． y 4sin( x ) 84
3．【2019 年北京市西城区北师大实验月考】
为了得到函数 y sin x cos x 的图像，只需把 y sin x cos x 的图像上所有的点（ ）．
π
k 2
,
0
(k
Z)
C．
6
k
,
0
(k
Z)
D．
6
k
,0 (k
Z)
5．【2019 北京市朝阳区高三数学期末考试(理科)试题】
1/6
将函数 y sin 2x 的图象向右平移( 0) 个单位后，图象经过点 ( , 3 ) ，则 的最小值为
32A．12B．源自6C． 3D．
5 6
6．【2020 届北京理工大附中高三上学期 9 月开学数学试卷】
aOb
内的曲线.则四个函数
2/6
y1 2x (x 0) , y2 x2 (x 0) , y3 ex (x 0) , y4 ln x (x 1) 在坐标系 xOy 内的图象,变换为坐标系 aOb 内
的四条曲线（如图）依次是
A．②,③,①,④
B．③,②,④,①
C．②,③,④,①
D．③,②,①,④
已知函数 f x cos4 x sin4 x ,下列结论中错误的是( )
A． f x cos 2x
B．函数 f x 的图象关于直线 x 0 对称
C． f x 的最小正周期为
D． f x 的值域为 2, 2
7．【2020 届北京西城区第四中学高三期中】
已知函数 f x a sin x b cos x （ a ， b 为常数， a 0 ， x R ）的图象关于 x 对称，则函数
A．向左平移 个单位长度
4 π
C．向左平移 个单位长度
2
π
B．向右平移 个单位长度
4 π
D．向右平移 个单位长度
2
4．【2020 届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题】
函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x 的对称中心坐标为（ ）
A．
6
k 2
,
0
(k
Z
)
B．
6
4
y
f
3 4
x
是（
）
A．偶函数且它的图象关于点 ,0 对称
B．偶函数且它的图象关于点
3 2
,
0
对称
C．奇函数且它的图象关于点
3 2
,
0
对称
D．奇函数且它的图象关于点 ,0 对称
8．【2020 届北京西城区第四中学高三期中】
已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴正半轴重合，终边经过点 P( 2，1) ，则 cos 2 （ ）
A． 2 2 3
1
B．
3
C． 1 3
D． 2 2 3
9．【北京市人大附中 2019 年高三高考信息卷】
在直角坐标系
xOy
中,对于点
(x,
y)
,定义变换
:将点
(x,
y)
变换为点
(a,
b)
,使得
x
y
tan tan
a, b,
其中
a,b
(
π 2
,
π) 2
.这样变换
就将坐标系
xOy
内的曲线变换为坐标系
y
轴右侧的交点自左向右依次记为
P1，
P2，P3，…，则|P1P5|等于（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
二、填空题
14．【2020 届北京理工大附中高三上学期 9 月开学数学试卷】
若 tan 3 ,则 cos 2 3sin2 ______.
15．【北京市海淀区一零一中学 2019-2020 学年高三上学期期中数学试题】
当 1 时， ABC 面积的最小值为___________；②若存在 ABC 是等腰直角三角形，则 的最小值为
__________.
18．【北京市东城区第五中学 2019-2020 学年高三上学期 12 月月考数学试题】
已知函数
f
(x)
sin(x ), 6
f
(x)
f