最新初中数学三角形证明题经典题型训练
(完整版)三角形的证明测试题(最新版含答案)

第一章三角形的证明检测题(本试卷满分:100分,时间:90分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列命题:①等腰三角形的角平分线、中线和高重合;②等腰三角形两腰上的高相等;③等腰三角形的最短边是底边;④等边三角形的高、中线、角平分线都相等;⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4.AD平分∠BAC交BC于点D,则BD 的长为()A.157B.125C.207D.2153. 如图,在△ABC中,,点D在AC边上,且,则△A的度数为()A. 30°B. 36°C. 45°D. 70°4.(2015•湖北荆门中考)已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为()A.8或10B.8C.10D.6或125.如图,已知,,,下列结论:①;②;③;④△≌△.其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个6. 在△ABC中,△A△△B△△C=1△2△3,最短边cm,则最长边AB的长是()A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm7.如图,已知,,下列条件能使△≌△的是()A. B.C. D.三个答案都是8.(2015·陕西中考)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD是△ABC的角平分线,若在边AB上截取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.已知一个直角三角形的周长是26,斜边上的中线长为2,则这个三角形的面积为( ) A.5 B.2C.45D.110.如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线交AC 于点D ,交AB 于点E ,如果cm ,那么△的周长是( )A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm二、填空题(每小题3分,共24分) 11.如图所示,在等腰△ABC 中,AB =AC , ∠BAC =50°, ∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ,点 C 沿EF 折叠后与点O 重合,则∠OEC 的度数是 .12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点,则此三角形是________三角形.13.(2015•四川乐山中考)如图,在等腰三角形ABC 中,AB =AC ,DE 垂直平分AB ,已知∠ADE =40°,则∠DBC =________°. 14.如图,在△ABC 中,,AM 平分△,cm ,则点M 到AB 的距离是_________.15.如图,在等边△ABC 中,F 是AB 的中点, FE △AC 于E ,若△ABC 的边长为10,则_________,_________.16.(2015•江苏连云港中考)在△ABC 中,AB =4,AC =3,AD 是△ABC 的角平分线,则△ABD 与△ACD 的面积之比是 . 17.如图,已知的垂直平分线交于点,则.18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上,BC 与DE 交于点M ,如果∠ADF =100°,那么∠BMD 为 度.三、解答题(共46分)19.(6分)如图,在△ABC中,,是上任意一点(M与A不重合),MD⊥BC,且交∠的平分线于点D,求证:.20.(6分)联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.举例:如图(1),若P A=PB,则点P为△ABC的准外心.应用:如图(2),CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度数.探究:已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探P A 的长.21.(6分)如图所示,在四边形中,平分∠.求证:.22.(6分)如图所示,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD,连接DC,以DC为边作等边△DCE,B,E在C,D的同侧,若2,求BE的长.23.(6分)如图所示,在Rt△ABC中,,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A,D重合,连接BE,EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.24.(8分)(2015·陕西中考)如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E.求证:AD=CE.第24题图25.(8分)已知:如图,,是上一点,于点,的延长线交的延长线于点.求证:△是等腰三角形.第一章三角形的证明检测题参考答案1.B 解析:只有②②正确.2.A 解析:②②BAC =90°,AB =3,AC =4,②5BC ===, ② BC 边上的高=123455⨯÷=. ② AD 平分②BAC ,②点D 到AB ,AC 的距离相等,设为h , 则111123452225ABC S h h ∆=⨯+⨯=⨯⨯,解得127h =,1121123 2725ABD S BD ∆=⨯⨯=⨯,解得157BD =.故选A . 3.B 解析:因为,所以.因为,所以.又因为,所以,所以所以4.C 解析:当等腰三角形的腰长是2,底边长是4时,等腰三角形的三边长是2,2,4,根据三角形的三边关系,不能构成三角形,所以不合题意,舍去;当等腰三角形的腰长是4,底边长是2时,等腰三角形的三边长是4,4,2,根据三角形的三边关系,能构成三角形,所以该三角形的周长为4+4+2=10.5.C 解析:因为,所以②②②(),所以,所以 ,即故②正确.又因为 ,所以②②②(ASA ), 所以 ,故②正确. 由②②②,知,又因为,所以②②②,故②正确.由于条件不足,无法证得②故正确的结论有:②②②.6.D 解析:因为②A ②②B ②②C =1②2②3, 所以②ABC 为直角三角形,且②C 为直角. 又因为最短边cm ,则最长边cm.7.D 解析:添加A 选项中条件可用“AAS”判定两个三角形全等; 添加B 选项中条件可用“SAS”判定两个三角形全等; 添加C 选项中条件可用“HL”判定两个三角形全等.故选D . 8.D 解析:在②ABC 中,② ②A =36°,AB =AC , ② ②ABC 是等腰三角形,②ABC =②C =72°. ② BD 平分②ABC ,② ②ABD =②CBD =36°, ② ②A =②ABD ,②CDB =②A +②ABD =36°+36°=72°, ② ②C =②CDB ,② ②ABD ,②CBD 都是等腰三角形. ② BC =BD .② BE =BC ,② BD =BE , ② ②EBD 是等腰三角形, ② ②BED ===72°.在②AED 中,② ②A =36°,②BED =②A +②ADE ,② ②ADE =②BED -②A =72°-36°=36°,② ②ADE =②A =36°,② ②AED 是等腰三角形. ② 图中共有5个等腰三角形.9.B 解析:设此直角三角形为②ABC ,其中因为直角三角形斜边的长等于斜边上中线长的2倍,所以又因为直角三角形的周长是624+,所以62=+b a . 两边平方,得24)(2=+b a ,即24222=++ab b a . 由勾股定理知16222==+c b a , 所以4=ab ,所以221=ab . 10.D 解析:因为垂直平分,所以.所以②的周长(cm ).11.100° 解析:如图所示,由AB =AC ,AO 平分∠BAC ,得AO 所在直线是线段BC 的垂直平分线,连接OB ,则OB=OA=OC , 所以②OAB =②OBA =×50°=25°,得②BOA=②COA=1802525130,︒-︒-︒=︒②BOC=360°-②BOA -②COA =100°. 所以②OBC=②OCB=1801002︒-︒=40°.由于EO=EC ,故②OEC =180°-2×40°=100°.12.直角 解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点;锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部;钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.13.15 解析:在Rt②AED 中,②ADE =40°,所以②A =50°. 因为AB =AC ,所以②ABC =(180°-50°)÷2=65°. 因为DE 垂直平分AB ,所以DA =DB , 所以②DBE =②A =50°. 所以②DBC =65°-50°=15°.14.20 cm 解析:根据角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案. 15.251②3 解析:因为,F 是AB 的中点,所以.在Rt②中,因为,所以.又,所.16.4②3 解析:如图所示,过点D 作DM ②AB ,DN ②AC , 垂足分别为点M 和点N . ② AD 平分②BAC ,② DM =DN . ②AB ×DM ,AC ×DN ,② . 第16题答图17.60︒ 解析:② ②BAC=120︒,AB=AC , ② ②B=②C=180********.22BAC ︒-∠︒-︒==︒② AC 的垂直平分线交BC 于点D ,② AD=CD . ② 30,C DAC ∠=∠=︒② 303060.ADB C DAC ∠=∠+∠=︒+︒=︒18. 85 解析:② ②BDM =180°-②ADF -②FDE =180°-100°-30°=50°,② ②BMD=180°-②BDM-②B =180°-50°-45°=85°.19.证明:②,② ②,② .又② 为②的平分线,② ,② ,② .20. 解:应用:若PB=PC,连接PB,则②PCB=②PBC.② CD为等边三角形的高,② AD=BD,②PCB=30°,② ②PBD=②PBC=30°,②②②与已知PD=AB矛盾,② PB≠PC.若P A=PC,连接P A,同理,可得P A≠PC.若P A=PB,由PD=AB,得PD=BD,② ②BPD=45°,②②APB=90°.探究:若PB=PC,设P A=x,则x2+32=(4-x)2,② x =,即P A=.若P A=PC,则P A=2.若P A=PB,由图(2)知,在Rt②P AB中,这种情况不可能.故P A=2或.21.证明:如图,过点D作DE②AB交BA的延长线于点E,过点D作于点F.因为BD平分②ABC,所以.在Rt②EAD和Rt②FCD中,所以Rt②EAD②Rt②FCD(HL).所以②=②.因为②②80°,所以②.22.解:因为②ABD和②CDE都是等边三角形,所以,②②60°.所以②②②②,即②②.在②和②中,因为所以②②②,所以.又,所以.在等腰直角②中,2,故.23.解:,BE②EC.证明:② ,点D是AC的中点,② .② ②②45°,② ②②135°.② ,② ②EAB②②EDC.② ②②.② ②②90°.② ②.24.证明:② AE②BD,② ②EAC=②ACB.② AB=AC,② ②B=②ACB.② ②EAC=②B.又② ②BAD=②ACE=90°,② ②ABD②②CAE(ASA).② AD=CE.25.证明:② ,② ②②.②于点,② ②②.② ②②②②.② ②②.② ②②,② ②②.② ②是等腰三角形.。
全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)1.已知:AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点,AD 是整数,求 AD延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=512.已知:D 是 AB 中点,/ ACB=90 °,求证: CD - AB2为BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形 EDF (边角边)。
所以BF=EF, / CBF= / DEF 。
连接 BE 。
在三角形 BEF 中,BF=EF 。
所以 / EBF= / BEF 。
/ ABE= / AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形 ABF 和 / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF 。
所以/ C= / D , F 是 CD 中点,求证:/ 1 = / 2证明:连接BF 和EF 。
因又因为 / ABC= / AED 。
所以 三角形 AEF 中, AB=AE,BF=EF, 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 / BAF= / EAF ( / 仁/ 2)。
A3因为 EB = EF ,CE = CE , 所以△ CEBCEF 所以/ B = / CFE 因为/ B +/ D = 180° / CFE + / CFA = 180° 所以/ D = / CFA 因为 AC 平分/ BAD 所以/ DAC = / FAC 又因为 AC = AC 所以△ ADC 也厶AFC ( SAS ) 所以AD = AF 所以AE = AF + FE = AD + BE12.如图,四边形 ABCD 中,AB // DC ,BE 、CE 分别平分/ ABC 、/ BCD ,且点 E 在AD 上。
初中数学 全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
ADBC4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。
全等三角形经典题型50题[含答案解析]
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全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2ADBC证明:连接BF 和EF 。
因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF。
又因为 ∠ABC=∠AED。
所以 ∠ABE=∠AEB。
所以 AB=AE 。
在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS)BACDF2 1 E∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 证明:在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE⊥AB所以∠CEB=∠CEF=90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB≌△CEF所以∠B =∠CFE因为∠B +∠D =180°,∠CFE+∠CFA=180° 所以∠D=∠CFA 因为AC 平分∠BAD所以∠DAC=∠FAC又因为AC =AC所以△ADC≌△AFC(SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =CDB AAD +BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。
人教版初中数学全等三角形证明题(经典50题)

人教版初中数学全等三角形证明题(经典50题)(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD?解析:延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2ADBC证明:连接BF 和EF 。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB 。
所以AB=AE 。
在三角形ABF和三角形AEF中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE(AAS)∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=ACBACDF2 1 E5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=°,求证:AE=AD+BE证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB =∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =°,∠CFE +∠CFA =° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点CDB AE 在AD 上。
全等三角形经典题型50题[含答案]
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全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知:D 是AB 中点,∠ACB=90°,求证:12CD AB3. 已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2证明:连接BF 和EF 。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。
所以 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。
连接BE 。
在三角形BEF 中,BF=EF 。
所以 ∠EBF=∠BEF 。
又因为 ∠ABC=∠AED 。
所以 ∠ABE=∠AEB 。
所以 AB=AE 。
在三角形ABF 和三角形AEF 中,AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。
所以 三角形ABF 和三角形AEF 全等。
所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。
ADBC4. 已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 证明:过E 点,作EG//AC ,交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ,∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE (AAS )∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C证明:在AC 上截取AE=AB ,连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ,AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD (SAS )∴∠AED=∠B ,DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE证明: 在AE 上取F ,使EF =EB ,连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB=∠CEF =90° 因为EB =EF ,CE =CE , 所以△CEB ≌△CEF 所以∠B =∠CFE 因为∠B +∠D =180°,∠CFE +∠CFA =180° 所以∠D =∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC =∠FAC 又因为AC =AC 所以△ADC ≌△AFC (SAS ) 所以AD =AF 所以AE =AF +FE =AD +BE12. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。
(完整版)初中数学三角形证明题练习及答案

三角形证明题练习1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB与D,交BC于E,连接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是()A.13 B.10 C.12 D.52.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()A.5个B.4个C.3个D.2个3.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=8cm,AC=6cm,则 S△ABD:S△ACD=()A.4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:164.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为()A.70°B.80°C.40°D.30°5.如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为()A.30°B.36°C.40°D.45°6.如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,若∠AOC=35°,则∠BOD等于()A.145°B.110°C.70°D.35°7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直平分线交BC边于D,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的角的个数是()A.2B.3C.4D.58.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是()A.2B.3C.6D.不能确定9.在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于()10.△ABC 中,点O 是△ABC 内一点,且点O 到△ABC 三边的距离相等;∠A=40°,则∠BOC=( )11.如图,已知点P 在∠AOB 的平分线OC 上,PF ⊥OA ,PE ⊥OB ,若PE=6,则PF 的长为( )12.如图,△ABC 中,DE 是AB 的垂直平分线,交BC 于点D ,交AB 于点E ,已知AE=1cm ,△ACD 的周长为12cm ,则△ABC 的周长是( )13.如图,∠BAC=130°,若MP 和QN 分别垂直平分AB 和AC ,则∠PAQ 等于( )14.如图,要用“HL ”判定Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′全等的条件是( )15.如图,MN 是线段AB 的垂直平分线,C 在MN 外,且与A 点在MN 的同一侧,BC 交MN 于P 点,则( )16.如图,已知在△ABC 中,AB=AC ,D 为BC 上一点,BF=CD ,CE=BD ,那么∠EDF 等于( )17.如图,在△ABC 中,AB=AC ,AD 平分∠BAC ,那么下列结论不一定成立的是( )A . 110°B . 120°C . 130°D . 140° A . 2 B . 4 C . 6 D . 8A . 13cmB . 14cmC . 15cmD . 16cmA . 50°B . 75°C . 80°D . 105°A . AC=A ′C ′,BC=B ′C ′ B . ∠A=∠A ′,AB=A ′B ′ C . AC=A ′C ′,AB=A ′B ′D . ∠B=∠B ′,BC=B ′C ′ A . B C >PC+AP B . B C <PC+AP C . B C=PC+AP D . B C ≥PC+APA . 90°﹣∠AB .90°﹣∠AC . 180°﹣∠AD .45°﹣∠AA . △ABD ≌△ACDB . AD 是△ABC 的高线 C . AD 是△ABC 的角平分线 D . △ABC 是等边三角形三角形证明中经典题21.如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.(1)求证:OE是CD的垂直平分线.(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.2.如图,点D是△ABC中BC边上的一点,且AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数.3.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:(1)∠B=∠C.(2)△ABC是等腰三角形.4如图,AB=AC,∠C=67°,AB的垂直平分线EF交AC于点D,求∠DBC的度数.5.如图,△ABC中,AB=AD=AE,DE=EC,∠DAB=30°,求∠C的度数.6.阅读理解:“在一个三角形中,如果角相等,那么它们所对的边也相等.”简称“等角对等边”,如图,在△ABC 中,已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F,过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E,请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE.7.如图,AD是△ABC的平分线,DE,DF分别垂直AB、AC于E、F,连接EF,求证:△AEF是等腰三角形.2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一.选择题(共20小题)1.(2015•涉县模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB与D,交BC于E,连接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是()A .13 B.10 C.12 D.5考点:线段垂直平分线的性质.分析:先根据勾股定理求出AE=13,再由DE是线段AB的垂直平分线,得出BE=AE=13.解答:解:∵∠C=90°,∴AE=,∵DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE=13;故选:A.点评:本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质;利用勾股定理求出AE是解题的关键.2.(2015•淄博模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()A .5个B.4个C.3个D.2个考点:等腰三角形的判定;三角形内角和定理.专题:证明题.分根据已知条件和等腰三角形的判定定理,对图中的三角形进行分析,即可得出答案.解答:解:共有5个.(1)∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形;(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD,∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;(3)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣36°)=72°,又BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形.故选:A.点评:此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握,属于中档题.3.(2014秋•西城区校级期中)如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=8cm,AC=6cm,则 S△ABD:S△ACD=()A .4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16考点:角平分线的性质;三角形的面积.专题:计算题.分析:首先过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,由AD是它的角平分线,根据角平分线的性质,即可求得DE=DF,由△ABD的面积为12,可求得DE与DF的长,又由AC=6,则可求得△ACD的面积.解答:解:过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F…(1分)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,…(3分)∴S△ABD=•DE•AB=12,∴DE=DF=3…(5分)∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…(6分)故选A.点评:此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用,注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.4.(2014•丹东)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为()A .70°B.80°C.40°D.30°考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.专题:几何图形问题.分析:由等腰△ABC中,AB=AC,∠A=40°,即可求得∠ABC的度数,又由线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,可得AE=BE,继而求得∠ABE的度数,则可求得答案.解答:解:∵等腰△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C==70°,∵线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°.故选:D.点评:此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.5.(2014•南充)如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为()A .30°B.36°C.40°D.45°考点:等腰三角形的性质.分析:求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系,利用三角形的内角和是180°,求∠B,解答:解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵CD=AD,∴∠C=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°故选:B.点评:本题主要考查等腰三角形的性质,解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系.6.(2014•山西模拟)如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,若∠AOC=35°,则∠BOD等于()A .145°B.110°C.70°D.35°考点:角平分线的定义.分析:首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°,再根据邻补角的性质可得∠BOD 的度数.解答:解:∵射线OC平分∠DOA.∴∠AOD=2∠AOC,∵∠COA=35°,∴∠DOA=70°,∴∠BOD=180°﹣70°=110°,故选:B.点评:此题主要考查了角平分线定义,关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分.7.(2014•雁塔区校级模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直平分线交BC边于D,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的角的个数是()....考点:线段垂直平分线的性质.分析:根据已知条件易得∠B=30°,∠BAC=60°.根据线段垂直平分线的性质进一步求解.解答:解:∵∠ACB=90°,AB=10,AC=5,∴∠B=30°.∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC,∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°.∴∠BDE对顶角=60°,∴图中等于60°的角的个数是4.故选C.点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.由易到难逐个寻找,做到不重不漏.8.(2014秋•腾冲县校级期末)如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是()A .2 B.3 C.6 D.不能确定考点:三角形的角平分线、中线和高.专题:计算题.分析:根据三角形的中线得出AD=CD,根据三角形的周长求出即可.解答:解:∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD,∴△ABD和△BCD的周长的差是:(AB+BD+AD)﹣(BC+BD+CD)=AB﹣BC=5﹣3=2.故选A.点评:本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握,能正确地进行计算是解此题的关键.9.(2014春•栖霞市期末)在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于()A .3.8cm B.7.6cm C.11.4cm D.11.2cm考点:角平分线的性质.分析:由∠C=90°,∠CAB=60°,可得∠B的度数,故BD=2DE=7.6,又AD平分∠CAB,故DC=DE=3.8,由BC=BD+DC求解.解答:解:∵∠C=90°,∠CAB=60°,∴∠B=30°,在Rt△BDE中,BD=2DE=7.6,又∵AD平分∠CAB,∴DC=DE=3.8,∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4.故选C.点评:本题主要考查平分线的性质,由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长,是解题的关键.10.(2014秋•博野县期末)△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等;∠A=40°,则∠BOC=()A .110°B.120°C.130°D.140°考点:角平分线的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质.专题:计算题.分析:由已知,O到三角形三边距离相等,得O是内心,再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数.解答:解:由已知,O到三角形三边距离相等,所以O是内心,即三条角平分线交点,AO,BO,CO都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC,∠BCO=∠ACO=∠ACB,∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A.点评:此题主要考查学生对角平分线性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质等知识点的理解和掌握,难度不大,是一道基础题.11.(2013秋•潮阳区期末)如图,已知点P在∠AOB的平分线OC上,PF⊥OA,PE⊥OB,若PE=6,则PF的长为()A .2 B.4 C.6 D.8考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.专题:计算题.分析:利用角平分线性质得出∠POF=∠POE,然后利用AAS定理求证△POE≌△POF,即可求出PF的长.解答:解:∵OC平分∠AOB,∴∠POF=∠POE,∵PF⊥OA,PE⊥OB,∴∠PFO=∠PEO,PO为公共边,∴△POE≌△POF,∴PF=PE=6.故选C.点评:此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握,解答此题的关键是求证△POE≌△POF.12.(2013秋•马尾区校级期末)如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,已知AE=1cm,△ACD的周长为12cm,则△ABC的周长是()A .13cm B.14cm C.15cm D.16cm考点:线段垂直平分线的性质.分析:要求△ABC的周长,先有AE可求出AB,只要求出AC+BC即可,根据线段垂直平分线的性质可知,AD=BD,于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长,答案可得.解答:解:∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm.故选B点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等;进行线段的等效转移,把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键.13.(2013秋•西城区期末)如图,∠BAC=130°,若MP和QN分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ等于()A .50°B.75°C.80°D.105°考点:线段垂直平分线的性质.分析:根据线段垂直平分线性质得出BP=AP,CQ=AQ,推出∠B=∠BAP,∠C=∠QAC,求出∠B+∠C,即可求出∠BAP+∠QAC,即可求出答案.解答:解:∵MP和QN分别垂直平分AB和AC,∴BP=AP,CQ=AQ,∴∠B=∠PAB,∠C=∠QAC,∵∠BAC=130°,∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°,∴∠BAP+∠CAQ=50°,∴∠PAQ=∠BAC﹣(∠PAB+∠QAC)=130°﹣50°=80°,故选:C.点评:本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线性质,三角形的内角和定理,注意:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,等边对等角.14.(2014秋•东莞市校级期中)如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是()A .AC=A′C′,BC=B′C′B.∠A=∠A′,AB=A′B′C .AC=A′C′,AB=A′B′D.∠B=∠B′,BC=B′C′考点:直角三角形全等的判定.分析:根据直角三角形全等的判定方法(HL)即可直接得出答案.解答:解:∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,如果AC=A′C′,AB=A′B′,那么BC一定等于B′C′,Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等,故选C.点评:此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握,难度不大,是一道基础题.15.(2014秋•淄川区校级期中)如图,MN是线段AB的垂直平分线,C在MN外,且与A点在MN的同一侧,BC交MN 于P点,则()A .BC>PC+AP B.BC<PC+AP C.BC=PC+AP D.BC≥PC+AP考点:线段垂直平分线的性质.分析:从已知条件进行思考,根据垂直平分线的性质可得PA=PB,结合图形知BC=PB+PC,通过等量代换得到答案.解答:解:∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB.∵BC=PC+BP,∴BC=PC+AP.故选C.点评:本题考查了垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等;结合图形,进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.16.(2014秋•万州区校级期中)如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于()A .90°﹣∠A B.90°﹣∠AC.180°﹣∠A D.45°﹣∠A考点:等腰三角形的性质.分析:由AB=AC,利用等边对等角得到一对角相等,再由BF=CD,BD=CE,利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等,利用全等三角形对应角相等得到一对角相等,即可表示出∠EDF.解答:解:∵AB=AC,∴∠B=∠C°,在△BDF和△CED中,,∴△BDF≌△CED(SAS),∴∠BFD=∠CDE,∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A,则∠EDF=180°﹣(∠FDB+∠EDC)=90°﹣∠A.故选B.点评:此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.17.(2014秋•泰山区校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,那么下列结论不一定成立的是()A .△ABD≌△ACDB.AD是△ABC的高线C .AD是△ABC的角平分线D.△ABC是等边三角形考点:等腰三角形的性质.分析:利用等腰三角形的性质逐项判断即可.解答:解:A、在△ABD和△ACD 中,,所以△ABD≌△ACD,所以A正确;B、因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD是BC边上的高,所以B正确;C、由条件可知AD为△ABC的角平分线;D、由条件无法得出AB=AC=BC,所以△ABC不一定是等边三角形,所以D不正确;故选D.点评:本题主要考查等腰三角形的性质,掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键.18.(2014秋•晋江市校级月考)如图,点P是△ABC内的一点,若PB=PC,则()A .点P在∠ABC的平分线上B.点P在∠ACB的平分线上C .点P在边AB的垂直平分线上D.点P在边BC的垂直平分线上考点:线段垂直平分线的性质.分析:根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P在线段BC的垂直平分线上.解答:解:∵PB=PC,∴P在线段BC的垂直平分线上,故选D.点评:本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理,注意:到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,角平分线上的点到角的两边的距离相等.19.(2013•河西区二模)如图,在∠ECF的两边上有点B,A,D,BC=BD=DA,且∠ADF=75°,则∠ECF的度数为()A .15°B.20°C.25°D.30°考等腰三角形的性质.点:分析:根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系,逐步推出∠ECF的度数.解答:解:∵BC=BD=DA,∴∠C=∠BDC,∠ABD=∠BAD,∵∠ABD=∠C+∠BDC,∠ADF=75°,∴3∠ECF=75°,∴∠ECF=25°.故选:C.点评:考查了等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,三角形外角和内角的运用.20.(2013秋•盱眙县校级期中)如图,P为∠AOB的平分线OC上任意一点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,连接MN交OP于点D.则①PM=PN,②MO=NO,③OP⊥MN,④MD=ND.其中正确的有()A .1个B.2个C.3个D.4个考点:角平分线的性质.分析:由已知很易得到△OPM≌△OPN,从而得角相等,边相等,进而得△OMP≌△ONP,△PMD≌△PND,可得MD=ND,∠ODN=∠ODM=9O°,答案可得.解答:解:P为∠AOB的平分线OC上任意一点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D,∴∠MOP=∠NOP,∠OMP=∠ONP,OP=OP,∴△OPM≌△OPN,∴MP=NP,OM=ON,又OD=OD∴△OMD≌△OND,∴MD=ND,∠ODN=∠ODM=9O°,∴OP⊥MN∴①PM=PN,②MO=NO,③OP⊥MN,④MD=ND都正确.故选D.点评:本题主要考查了角平分线的性质,即角平分线上的一点到两边的距离相等;发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键,证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决.二.解答题(共10小题)21.(2014秋•黄浦区期末)如图,已知ON是∠AOB的平分线,OM、OC是∠AOB外的射线.(1)如果∠AOC=α,∠BOC=β,请用含有α,β的式子表示∠NOC.(2)如果∠BOC=90°,OM平分∠AOC,那么∠MON的度数是多少?考点:角平分线的定义.分析:(1)先求出∠AOB=α﹣β,再利用角平分线求出∠AON,即可得出∠NOC;(2)先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC,∠AON=∠AOB,即可得出∠MON=∠BOC.解答:解:(1)∵∠AOC=α,∠BOC=β,∴∠AOB=α﹣β,∵ON是∠AOB的平分线,∴∠AON=(α﹣β),∠NOC=α﹣(α﹣β)=(α+β);(2)∵OM平分∠AOC,ON平分∠AOB,∴∠AOM=∠AOC,∠AON=∠AOB,∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=(∠AOC﹣∠AOB)=∠BOC=×90°=45°.点评:本题考查了角平分线的定义和角的计算;弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键.22.(2014秋•阿坝州期末)如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.(1)求证:OE是CD的垂直平分线.(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.考点:线段垂直平分线的性质.专题:探究型.分析:(1)先根据E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角形,由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线;(2)先根据E是∠AOB的平分线,∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°,由直角三角形的性质可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出结论.解答:解:(1)∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,∴DE=CE,OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OCE,∴OD=OC,∴△DOC是等腰三角形,∵OE是∠AOB的平分线,∴OE是CD的垂直平分线;(2)∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°,∴∠AOE=∠BOE=30°,∵EC⊥OB,ED⊥OA,∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°,∴∠EDF=30°,∴DE=2EF,∴OE=4EF.点评:本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质,熟知以上知识是解答此题的关键.23.(2014秋•花垣县期末)如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AB(E在AB之间),DF⊥BC,已知BD=5,DE=3,CF=4,试求△DFC的周长.考点:角平分线的性质.分析:根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD,即可求得∠CBD=∠C,即BD=CD,再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF,即可解题.解答:解:∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠C,∴BD=CD,∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12.点评:本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质,考查了角平分线平分角的性质,考查了三角形周长的计算,本题中求证DE=DF是解题的关键.24.(2014秋•大石桥市期末)如图,点D是△ABC中BC边上的一点,且AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数.考点:等腰三角形的性质.分析:由AD=BD得∠BAD=∠DBA,由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA,∠DBA=∠C,从而可推出∠BAC=3∠DBA,根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数,从而不难求得∠BAC的度数.解答:解:∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°,∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°,∠DBA=∠C=x°,∴∠BAC=3∠DBA=3x°,∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°,∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°.点评:此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力;求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键.25.(2014秋•安溪县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=α.(1)直接写出∠ABC的大小(用含α的式子表示);(2)以点B为圆心、BC长为半径画弧,分别交AC、AB于D、E两点,并连接BD、DE.若=30°,求∠BDE的度数.考点:等腰三角形的性质.分析:(1)根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小;(2)根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC,再求出∠CBD,然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD,求得∠ABD,再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解.解答:解:(1)∠ABC的大小为×(180°﹣α)=90°﹣α;(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°,由题意得:BC=BD=BE,由BC=BD得∠BDC=∠C=75°,∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°,由BD=BE得.故∠BDE的度数是 67.5°.点评:本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质,主要利用了等腰三角形两底角相等,熟记性质是解题的关键.26.(2014秋•静宁县校级期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:(1)∠B=∠C.(2)△ABC是等腰三角形.考点:等腰三角形的判定.分析:由条件可得出DE=DF,可证明△BDE≌△CDF,可得出∠B=∠C,再由等腰三角形的判定可得出结论.解答:证明:(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HF),∴∠B=∠C;(2)由(1)可得∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.点评:本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质,利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键.27.(2012秋•天津期末)如图,AB=AC,∠C=67°,AB的垂直平分线EF交AC于点D,求∠DBC的度数.考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.分析:求出∠ABC,根据三角形内角和定理求出∠A,根据线段垂直平分线得出AD=BD,求出∠ABD,即可求出答案.解答:解:∵AB=AC,∠C=67°,∴∠ABC=∠C=67°,∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°,∵EF是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=46°,∴∠DBC=67°﹣46°=21°.点评:本题考查了线段垂直平分线,三角形的能或定理,等腰三角形的性质和判定等知识点,关键是求出∠ABC和∠ABD的度数,题目比较好.28.(2013秋•高坪区校级期中)如图,△ABC中,AB=AD=AE,DE=EC,∠DAB=30°,求∠C的度数.考点:等腰三角形的性质.分析:首先根据AB=AD=AE,DE=EC,得到∠B=∠ADB,∠ADE=∠AED,∠C=∠EDC,从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,根据∠DAB=30°,求得∠B=∠ADB=75°,利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°,求得∠C即可.解答:解:∵AB=AD=AE,DE=EC,∴∠B=∠ADB,∠ADE=∠AED,∠C=∠EDC,∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,∵∠DAB=30°,∴∠B=∠ADB=75°,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°,∴∠C=35°.点评:本题考查了等腰三角形的性质,解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数.29.(2012春•扶沟县校级期中)阅读理解:“在一个三角形中,如果角相等,那么它们所对的边也相等.”简称“等角对等边”,如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F,过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E,请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE.等腰三角形的性质.考点:专证明题.题:由DE∥BC,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB可知,DB=DF,CE=EF.便可得出结论.分析:解答:证明:∵BF平分∠ABC(已知),CF平分∠ACB(已知),∴∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠FCB;又∵DE平行BC(已知)∴∠DFB=∠FBC(两直线平行,内错角相等),∠EFC=∠FCB(两直线平行,内错角相等),∴∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF(等量代换)∴DF=DB,EF=EC(等角对等边)∴DE=BD+CE.点评:此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握,主要利用等腰三角形两边相等.稍微有点难度是一道中档题.30.(2011•龙岩质检)如图,AD是△ABC的平分线,DE,DF分别垂直AB、AC于E、F,连接EF,求证:△AEF是等腰三角形.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD;然后根据已知条件“DE,DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°;再加上公共边AD=AD,从而证明,△ADE≌△ADF;最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等,所以△AEF是等腰三角形.解答:证明:∵AD是△ABC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,(3分)又∵DE,DF分别垂直AB、AC于E,F∴∠DEA=∠DFA=90°(6分)又∵AD=AD,∴△ADE≌△ADF.(8分)∴AE=AF,即△AEF是等腰三角形(10分)点评:本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质.解答此题时,根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF.。
八年级上册数学全等三角形证明题

八年级上册数学全等三角形证明题一、全等三角形证明题1 20题及解析。
(一)题目1。
1. 题目。
已知:如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BE = AC,延长BE交AC于F。
求证:AF = EF。
2. 解析。
证明:延长AD到G,使DG = AD,连接BG。
因为AD是BC边上的中线,所以BD = CD。
在△BDG和△CDA中,BD = CD,∠BDG = ∠CDA(对顶角相等),DG = DA。
根据SAS(边角边)全等判定定理,可得△BDG≌△CDA。
所以BG = AC,∠G = ∠CAD。
又因为BE = AC,所以BG = BE。
所以∠G = ∠BEG。
因为∠BEG = ∠AEF(对顶角相等),所以∠AEF = ∠CAD。
所以AF = EF。
(二)题目2。
1. 题目。
如图,在△ABC和△DEF中,AB = DE,BE = CF,∠B = ∠DEF。
求证:AC = DF。
2. 解析。
因为BE = CF,所以BE + EC = CF+EC,即BC = EF。
在△ABC和△DEF中,AB = DE,∠B = ∠DEF,BC = EF。
根据SAS全等判定定理,可得△ABC≌△DEF。
所以AC = DF。
(三)题目3。
1. 题目。
已知:如图,AB = CD,AE = DF,CE = FB。
求证:AF = DE。
2. 解析。
因为CE = FB,所以CE + EF = FB + EF,即CF = BE。
在△AEB和△DFC中,AB = CD,AE = DF,BE = CF。
根据SSS(边边边)全等判定定理,可得△AEB≌△DFC。
所以∠B = ∠C。
在△ABF和△DCE中,AB = CD,∠B = ∠C,BF = CE。
根据SAS全等判定定理,可得△ABF≌△DCE。
所以AF = DE。
(四)题目4。
1. 题目。
如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,CA = CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,且AE = BD,BD的延长线与AE交于点F。
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2016年初中数学三角形证明练习题一.选择题(共20小题)1.(2015•涉县模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB与D,交BC 于E,连接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是()A .13 B.10 C.12 D.52.(2015•淄博模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()A .5个B.4个C.3个D.2个3.(2014秋•西城区校级期中)如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=8cm,AC=6cm,则S△ABD:S△ACD=()A .4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为()A .70°B.80°C.40°D.30°5.(2014•南充)如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为()A .30°B.36°C.40°D.45°6.(2014•山西模拟)如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,若∠AOC=35°,则∠BOD等于()A .145°B.110°C.70°D.35°7.(2014•雁塔区校级模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直平分线交BC边于D,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的角的个数是()A .2 B.3 C.4 D.58.(2014秋•腾冲县校级期末)如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD 和△BCD的周长的差是()A .2 B.3 C.6 D.不能确定9.(2014春•栖霞市期末)在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于()A .3.8cm B.7.6cm C.11.4cm D.11.2cm10.(2014秋•博野县期末)△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等;∠A=40°,则∠BOC=()A .110°B.120°C.130°D.140°11.(2013秋•潮阳区期末)如图,已知点P在∠AOB的平分线OC上,PF⊥OA,PE⊥OB,若PE=6,则PF的长为()A .2 B.4 C.6 D.812.(2013秋•马尾区校级期末)如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,已知AE=1cm,△ACD的周长为12cm,则△ABC的周长是()A .13cm B.14cm C.15cm D.16cm13.(2013秋•西城区期末)如图,∠BAC=130°,若MP和QN分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ等于()A .50°B.75°C.80°D.105°14.(2014秋•东莞市校级期中)如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是()A.AC=A′C′,BC=B′C′B.∠A=∠A′,AB=A′B′C.AC=A′C′,AB=A′B′D.∠B=∠B′,BC=B′C′15.(2014秋•淄川区校级期中)如图,MN是线段AB的垂直平分线,C在MN外,且与A 点在MN的同一侧,BC交MN于P点,则()A .BC>PC+AP B.BC<PC+AP C.BC=PC+AP D.BC≥PC+AP16.(2014秋•万州区校级期中)如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于()A .90°﹣∠A B.90°﹣∠AC.180°﹣∠A D.45°﹣∠A17.(2014秋•泰山区校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,那么下列结论不一定成立的是()A.△ABD≌△ACD B.AD是△ABC的高线C.AD是△ABC的角平分线D.△ABC是等边三角形18.(2014秋•晋江市校级月考)如图,点P是△ABC内的一点,若PB=PC,则()A.点P在∠ABC的平分线上B.点P在∠ACB的平分线上C.点P在边AB的垂直平分线上D.点P在边BC的垂直平分线上19.(2013•河西区二模)如图,在∠ECF的两边上有点B,A,D,BC=BD=DA,且∠ADF=75°,则∠ECF的度数为()A .15°B.20°C.25°D.30°20.(2013秋•盱眙县校级期中)如图,P为∠AOB的平分线OC上任意一点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,连接MN交OP于点D.则①PM=PN,②MO=NO,③OP⊥MN,④MD=ND.其中正确的有()A .1个B.2个C.3个D.4个二.解答题(共10小题)21.(2014秋•黄浦区期末)如图,已知ON是∠AOB的平分线,OM、OC是∠AOB外的射线.(1)如果∠AOC=α,∠BOC=β,请用含有α,β的式子表示∠NOC.(2)如果∠BOC=90°,OM平分∠AOC,那么∠MON的度数是多少?22.(2014秋•阿坝州期末)如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.(1)求证:OE是CD的垂直平分线.(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.23.(2014秋•花垣县期末)如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AB (E在AB之间),DF⊥BC,已知BD=5,DE=3,CF=4,试求△DFC的周长.24.(2014秋•大石桥市期末)如图,点D是△ABC中BC边上的一点,且AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数.25.(2014秋•安溪县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=α.(1)直接写出∠ABC的大小(用含α的式子表示);(2)以点B为圆心、BC长为半径画弧,分别交AC、AB于D、E两点,并连接BD、DE.若=30°,求∠BDE的度数.26.(2014秋•静宁县校级期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:(1)∠B=∠C.(2)△ABC是等腰三角形.27.(2012秋•天津期末)如图,AB=AC,∠C=67°,AB的垂直平分线EF交AC于点D,求∠DBC的度数.28.(2013秋•高坪区校级期中)如图,△ABC中,AB=AD=AE,DE=EC,∠DAB=30°,求∠C的度数.29.(2012春•扶沟县校级期中)阅读理解:“在一个三角形中,如果角相等,那么它们所对的边也相等.”简称“等角对等边”,如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F,过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E,请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE.30.(2011•龙岩质检)如图,AD是△ABC的平分线,DE,DF分别垂直AB、AC于E、F,连接EF,求证:△AEF是等腰三角形.2015年05月03日初中数学三角形证明组卷参考答案与试题解析一.选择题(共20小题)1.(2015•涉县模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB与D,交BC 于E,连接AE,若CE=5,AC=12,则BE的长是()A .13 B.10 C.12 D.5考点:线段垂直平分线的性质.分析:先根据勾股定理求出AE=13,再由DE是线段AB的垂直平分线,得出BE=AE=13.解答:解:∵∠C=90°,∴AE=,∵DE是线段AB的垂直平分线,∴BE=AE=13;故选:A.点评:本题考查了勾股定理和线段垂直平分线的性质;利用勾股定理求出AE是解题的关键.2.(2015•淄博模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是∠ABC、∠BCD 的角平分线,则图中的等腰三角形有()A .5个B.4个C.3个D.2个考等腰三角形的判定;三角形内角和定理.点:专题:证明题.分析:根据已知条件和等腰三角形的判定定理,对图中的三角形进行分析,即可得出答案.解答:解:共有5个.(1)∵AB=AC∴△ABC是等腰三角形;(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=∠ABC,∠ECB=∠BCD,∵△ABC是等腰三角形,∴∠EBC=∠ECB,∴△BCE是等腰三角形;(3)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=(180°﹣36°)=72°,又BD是∠ABC的角平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,∴△ABD是等腰三角形;同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形.故选:A.点评:此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握,属于中档题.3.(2014秋•西城区校级期中)如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,AB=8cm,AC=6cm,则S△ABD:S△ACD=()A .4:3 B.3:4 C.16:9 D.9:16考点:角平分线的性质;三角形的面积.专题:计算题.分析:首先过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,由AD是它的角平分线,根据角平分线的性质,即可求得DE=DF,由△ABD的面积为12,可求得DE与DF的长,又由AC=6,则可求得△ACD的面积.解答:解:过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F…(1分)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,…(3分)∴S△ABD=•DE•AB=12,∴DE=DF=3…(5分)∴S△ADC=•DF•AC=×3×6=9…(6分)∴S△ABD:S△ACD=12:9=4:3.故选A.点评:此题考查了角平分线的性质.此题难度不大,解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用,注意数形结合思想的应用,注意辅助线的作法.4.(2014•丹东)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE的度数为()A .70°B.80°C.40°D.30°考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.专题:几何图形问题.分析:由等腰△ABC中,AB=AC,∠A=40°,即可求得∠ABC的度数,又由线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,可得AE=BE,继而求得∠ABE的度数,则可求得答案.解答:解:∵等腰△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C==70°,∵线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=40°,∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=30°.故选:D.点评:此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.5.(2014•南充)如图,在△ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则∠B的度数为()A .30°B.36°C.40°D.45°考点:等腰三角形的性质.分析:求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系,利用三角形的内角和是180°,求∠B,解答:解:∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵CD=AD,∴∠C=∠CAD,∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°故选:B.点评:本题主要考查等腰三角形的性质,解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系.6.(2014•山西模拟)如图,点O在直线AB上,射线OC平分∠AOD,若∠AOC=35°,则∠BOD等于()A .145°B.110°C.70°D.35°考点:角平分线的定义.分析:首先根据角平分线定义可得∠AOD=2∠AOC=70°,再根据邻补角的性质可得∠BOD的度数.解答:解:∵射线OC平分∠DOA.∴∠AOD=2∠AOC,∵∠COA=35°,∴∠DOA=70°,∴∠BOD=180°﹣70°=110°,故选:B.点评:此题主要考查了角平分线定义,关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分.7.(2014•雁塔区校级模拟)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BA的垂直平分线交BC边于D,若AB=10,AC=5,则图中等于60°的角的个数是()A .2 B.3 C.4 D.5考点:线段垂直平分线的性质.分析:根据已知条件易得∠B=30°,∠BAC=60°.根据线段垂直平分线的性质进一步求解.解答:解:∵∠ACB=90°,AB=10,AC=5,∴∠B=30°.∴∠BAC=90°﹣30°=60°∵DE垂直平分BC,∴∠BAC=∠ADE=∠BDE=∠CDA=90°﹣30°=60°.∴∠BDE对顶角=60°,∴图中等于60°的角的个数是4.故选C.点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.由易到难逐个寻找,做到不重不漏.8.(2014秋•腾冲县校级期末)如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD 和△BCD的周长的差是()A .2 B.3 C.6 D.不能确定考点:三角形的角平分线、中线和高.专题:计算题.分析:根据三角形的中线得出AD=CD,根据三角形的周长求出即可.解答:解:∵BD是△ABC的中线,∴AD=CD,∴△ABD和△BCD的周长的差是:(AB+BD+AD)﹣(BC+BD+CD)=AB﹣BC=5﹣3=2.故选A.点评:本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握,能正确地进行计算是解此题的关键.9.(2014春•栖霞市期末)在Rt△ABC中,如图所示,∠C=90°,∠CAB=60°,AD平分∠CAB,点D到AB的距离DE=3.8cm,则BC等于()A .3.8cm B.7.6cm C.11.4cm D.11.2cm考点:角平分线的性质.分析:由∠C=90°,∠CAB=60°,可得∠B的度数,故BD=2DE=7.6,又AD平分∠CAB,故DC=DE=3.8,由BC=BD+DC求解.解答:解:∵∠C=90°,∠CAB=60°,∴∠B=30°,在Rt△BDE中,BD=2DE=7.6,又∵AD平分∠CAB,∴DC=DE=3.8,∴BC=BD+DC=7.6+3.8=11.4.故选C.点评:本题主要考查平分线的性质,由已知能够注意到D到AB的距离DE即为CD长,是解题的关键.10.(2014秋•博野县期末)△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等;∠A=40°,则∠BOC=()A .110°B.120°C.130°D.140°考点:角平分线的性质;三角形内角和定理;三角形的外角性质.专题:计算题.分析:由已知,O到三角形三边距离相等,得O是内心,再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数.解答:解:由已知,O到三角形三边距离相等,所以O是内心,即三条角平分线交点,AO,BO,CO都是角平分线,所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC,∠BCO=∠ACO=∠ACB,∠ABC+∠ACB=180﹣40=140∠OBC+∠OCB=70∠BOC=180﹣70=110°故选A.点评:此题主要考查学生对角平分线性质,三角形内角和定理,三角形的外角性质等知识点的理解和掌握,难度不大,是一道基础题.11.(2013秋•潮阳区期末)如图,已知点P在∠AOB的平分线OC上,PF⊥OA,PE⊥OB,若PE=6,则PF的长为()A .2 B.4 C.6 D.8考点:角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.专题:计算题.分析:利用角平分线性质得出∠POF=∠POE,然后利用AAS定理求证△POE≌△POF,即可求出PF的长.解答:解:∵OC平分∠AOB,∴∠POF=∠POE,∵PF⊥OA,PE⊥OB,∴∠PFO=∠PEO,PO为公共边,∴△POE≌△POF,∴PF=PE=6.故选C.点评:此题考查学生对角平分线性质和全等三角形的判定与性质的理解和掌握,解答此题的关键是求证△POE≌△POF.12.(2013秋•马尾区校级期末)如图,△ABC中,DE是AB的垂直平分线,交BC于点D,交AB于点E,已知AE=1cm,△ACD的周长为12cm,则△ABC的周长是()A .13cm B.14cm C.15cm D.16cm考点:线段垂直平分线的性质.分析:要求△ABC的周长,先有AE可求出AB,只要求出AC+BC即可,根据线段垂直平分线的性质可知,AD=BD,于是AC+BC=AC+CD+AD等于△ACD的周长,答案可得.解答:解:∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,AB=2AE=2又∵△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=12 ∴△ABC的周长是12+2=14cm.故选B点评:此题主要考查线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等;进行线段的等效转移,把已知与未知联系起来是正确解答本题的关键.13.(2013秋•西城区期末)如图,∠BAC=130°,若MP和QN分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ等于()A .50°B.75°C.80°D.105°考点:线段垂直平分线的性质.分析:根据线段垂直平分线性质得出BP=AP,CQ=AQ,推出∠B=∠BAP,∠C=∠QAC,求出∠B+∠C,即可求出∠BAP+∠QAC,即可求出答案.解答:解:∵MP和QN分别垂直平分AB和AC,∴BP=AP,CQ=AQ,∴∠B=∠PAB,∠C=∠QAC,∵∠BAC=130°,∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°,∴∠BAP+∠CAQ=50°,∴∠PAQ=∠BAC﹣(∠PAB+∠QAC)=130°﹣50°=80°,故选:C.点评:本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线性质,三角形的内角和定理,注意:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,等边对等角.14.(2014秋•东莞市校级期中)如图,要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是()A .AC=A′C′,BC=B′C′B.∠A=∠A′,AB=A′B′C .AC=A′C′,AB=A′B′D.∠B=∠B′,BC=B′C′考点:直角三角形全等的判定.分析:根据直角三角形全等的判定方法(HL)即可直接得出答案.解答:解:∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,如果AC=A′C′,AB=A′B′,那么BC一定等于B′C′,Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等,故选C.点评:此题主要考查学生对直角三角形全等的判定的理解和掌握,难度不大,是一道基础题.15.(2014秋•淄川区校级期中)如图,MN是线段AB的垂直平分线,C在MN外,且与A 点在MN的同一侧,BC交MN于P点,则()A .BC>PC+AP B.BC<PC+AP C.BC=PC+AP D.BC≥PC+AP考点:线段垂直平分线的性质.分析:从已知条件进行思考,根据垂直平分线的性质可得PA=PB,结合图形知BC=PB+PC,通过等量代换得到答案.解答:解:∵点P在线段AB的垂直平分线上,∴PA=PB.∵BC=PC+BP,∴BC=PC+AP.故选C.点评:本题考查了垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等;结合图形,进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.16.(2014秋•万州区校级期中)如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于()A .90°﹣∠A B.90°﹣∠AC.180°﹣∠A D.45°﹣∠A考点:等腰三角形的性质.分析:由AB=AC,利用等边对等角得到一对角相等,再由BF=CD,BD=CE,利用SAS得到三角形FBD与三角形DEC全等,利用全等三角形对应角相等得到一对角相等,即可表示出∠EDF.解答:解:∵AB=AC,∴∠B=∠C°,在△BDF和△CED中,,∴△BDF≌△CED(SAS),∴∠BFD=∠CDE,∴∠FDB+∠EDC=∠FDB+∠BFD=180°﹣∠B=180°﹣=90°+∠A,则∠EDF=180°﹣(∠FDB+∠EDC)=90°﹣∠A.故选B.点评:此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.17.(2014秋•泰山区校级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,那么下列结论不一定成立的是()A .△ABD≌△ACDB.AD是△ABC的高线C .AD是△ABC的角平分线D.△ABC是等边三角形考点:等腰三角形的性质.分析:利用等腰三角形的性质逐项判断即可.解答:解:A、在△ABD和△ACD中,,所以△ABD≌△ACD,所以A正确;B、因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD是BC边上的高,所以B正确;C、由条件可知AD为△ABC的角平分线;D、由条件无法得出AB=AC=BC,所以△ABC不一定是等边三角形,所以D不正确;故选D.点评:本题主要考查等腰三角形的性质,掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键.18.(2014秋•晋江市校级月考)如图,点P是△ABC内的一点,若PB=PC,则()A .点P在∠ABC的平分线上B.点P在∠ACB的平分线上C .点P在边AB的垂直平分D.点P在边BC的垂直平分线上线上考点:线段垂直平分线的性质.分析:根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上由PC=PB即可得出P 在线段BC的垂直平分线上.解答:解:∵PB=PC,∴P在线段BC的垂直平分线上,故选D.点评:本题考查了角平分线的性质和线段垂直平分线定理,注意:到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,角平分线上的点到角的两边的距离相等.19.(2013•河西区二模)如图,在∠ECF的两边上有点B,A,D,BC=BD=DA,且∠ADF=75°,则∠ECF的度数为()A .15°B.20°C.25°D.30°考点:等腰三角形的性质.分析:根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系,逐步推出∠ECF的度数.解答:解:∵BC=BD=DA,∴∠C=∠BDC,∠ABD=∠BAD,∵∠ABD=∠C+∠BDC,∠ADF=75°,∴3∠ECF=75°,∴∠ECF=25°.故选:C.点评:考查了等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等,三角形外角和内角的运用.20.(2013秋•盱眙县校级期中)如图,P为∠AOB的平分线OC上任意一点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,连接MN交OP于点D.则①PM=PN,②MO=NO,③OP⊥MN,④MD=ND.其中正确的有()A .1个B.2个C.3个D.4个考点:角平分线的性质.分析:由已知很易得到△OPM≌△OPN,从而得角相等,边相等,进而得△OMP≌△ONP,△PMD≌△PND,可得MD=ND,∠ODN=∠ODM=9O°,答案可得.解答:解:P为∠AOB的平分线OC上任意一点,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N 连接MN交OP于点D,∴∠MOP=∠NOP,∠OMP=∠ONP,OP=OP,∴△OPM≌△OPN,∴MP=NP,OM=ON,又OD=OD∴△OMD≌△OND,∴MD=ND,∠ODN=∠ODM=9O°,∴OP⊥MN∴①PM=PN,②MO=NO,③OP⊥MN,④MD=ND都正确.故选D.点评:本题主要考查了角平分线的性质,即角平分线上的一点到两边的距离相等;发现并利用△OMD≌△OND是解决本题的关键,证明两线垂直时常常通过证两角相等且互补来解决.二.解答题(共10小题)21.(2014秋•黄浦区期末)如图,已知ON是∠AOB的平分线,OM、OC是∠AOB外的射线.(1)如果∠AOC=α,∠BOC=β,请用含有α,β的式子表示∠NOC.(2)如果∠BOC=90°,OM平分∠AOC,那么∠MON的度数是多少?考点:角平分线的定义.分析:(1)先求出∠AOB=α﹣β,再利用角平分线求出∠AON,即可得出∠NOC;(2)先利用角平分线求出∠AOM=∠AOC,∠AON=∠AOB,即可得出∠MON=∠BOC.解答:解:(1)∵∠AOC=α,∠BOC=β,∴∠AOB=α﹣β,∵ON是∠AOB的平分线,∴∠AON=(α﹣β),∠NOC=α﹣(α﹣β)=(α+β);(2)∵OM平分∠AOC,ON平分∠AOB,∴∠AOM=∠AOC,∠AON=∠AOB,∴∠MON=∠AOM﹣∠AON=(∠AOC﹣∠AOB)=∠BOC=×90°=45°.点评:本题考查了角平分线的定义和角的计算;弄清各个角之间的数量关系是解决问题的关键.22.(2014秋•阿坝州期末)如图,已知:E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,C、D是垂足,连接CD,且交OE于点F.(1)求证:OE是CD的垂直平分线.(2)若∠AOB=60°,请你探究OE,EF之间有什么数量关系?并证明你的结论.考点:线段垂直平分线的性质.专题:探究型.分析:(1)先根据E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA得出△ODE≌△OCE,可得出OD=OC,DE=CE,OE=OE,可得出△DOC是等腰三角形,由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线;(2)先根据E是∠AOB的平分线,∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°,由直角三角形的性质可得出OE=2DE,同理可得出DE=2EF即可得出结论.解答:解:(1)∵E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OB,ED⊥OA,∴DE=CE,OE=OE,∴Rt△ODE≌Rt△OCE,∴OD=OC,∴△DOC是等腰三角形,∵OE是∠AOB的平分线,∴OE是CD的垂直平分线;(2)∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°,∴∠AOE=∠BOE=30°,∵EC⊥OB,ED⊥OA,∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°,∴∠EDF=30°,∴DE=2EF,∴OE=4EF.点评:本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质,熟知以上知识是解答此题的关键.23.(2014秋•花垣县期末)如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,DE⊥AB (E在AB之间),DF⊥BC,已知BD=5,DE=3,CF=4,试求△DFC的周长.考点:角平分线的性质.分析:根据角平分线的性质可证∠ABD=∠CBD,即可求得∠CBD=∠C,即BD=CD,再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得DE=DF,即可解题.解答:解:∵∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠C,∴BD=CD,∵BD平分∠ABC,∴DE=DF,∴△DFC的周长=DF+CD+CF=DE+BD+CF=3+5+4=12.点评:本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质,考查了角平分线平分角的性质,考查了三角形周长的计算,本题中求证DE=DF是解题的关键.24.(2014秋•大石桥市期末)如图,点D是△ABC中BC边上的一点,且AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数.考点:等腰三角形的性质.分析:由AD=BD得∠BAD=∠DBA,由AB=AC=CD得∠CAD=∠CDA=2∠DBA,∠DBA=∠C,从而可推出∠BAC=3∠DBA,根据三角形的内角和定理即可求得∠DBA的度数,从而不难求得∠BAC的度数.解答:解:∵AD=BD∴设∠BAD=∠DBA=x°,∵AB=AC=CD∴∠CAD=∠CDA=∠BAD+∠DBA=2x°,∠DBA=∠C=x°,∴∠BAC=3∠DBA=3x°,∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°∴5x=180°,∴∠DBA=36°∴∠BAC=3∠DBA=108°.点评:此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用能力;求得角之间的关系利用内角和求解是正确解答本题的关键.25.(2014秋•安溪县期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=α.(1)直接写出∠ABC的大小(用含α的式子表示);(2)以点B为圆心、BC长为半径画弧,分别交AC、AB于D、E两点,并连接BD、DE.若=30°,求∠BDE的度数.考点:等腰三角形的性质.分析:(1)根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可求得∠ABC的大小;(2)根据等腰三角形两底角相等求出∠BCD=∠BDC,再求出∠CBD,然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD,求得∠ABD,再根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质计算即可得解.解答:解:(1)∠ABC的大小为×(180°﹣α)=90°﹣α;(2)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=90°﹣α=90°﹣×30°=75°,由题意得:BC=BD=BE,由BC=BD得∠BDC=∠C=75°,∴∠CBD=180°﹣75°﹣75°=30°,∴∠ABD=∠ABC﹣∠CBD=75°﹣30°=45°,由BD=BE得.故∠BDE的度数是67.5°.点评:本题考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质,主要利用了等腰三角形两底角相等,熟记性质是解题的关键.26.(2014秋•静宁县校级期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D是BC的中点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证:(1)∠B=∠C.(2)△ABC是等腰三角形.考点:等腰三角形的判定.分析:由条件可得出DE=DF,可证明△BDE≌△CDF,可得出∠B=∠C,再由等腰三角形的判定可得出结论.解答:证明:(1)∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,∴DE=DF,在Rt△BDE和Rt△CDF中,,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HF),∴∠B=∠C;(2)由(1)可得∠B=∠C,∴△ABC为等腰三角形.点评:本题主要考查等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质,利用角平分线的性质得出DE=DF是解题的关键.27.(2012秋•天津期末)如图,AB=AC,∠C=67°,AB的垂直平分线EF交AC于点D,求∠DBC的度数.考点:线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.分析:求出∠ABC,根据三角形内角和定理求出∠A,根据线段垂直平分线得出AD=BD,求出∠ABD,即可求出答案.解答:解:∵AB=AC,∠C=67°,∴∠ABC=∠C=67°,∴∠A=180°﹣67°﹣67°=46°,∵EF是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴∠A=∠ABD=46°,∴∠DBC=67°﹣46°=21°.点评:本题考查了线段垂直平分线,三角形的能或定理,等腰三角形的性质和判定等知识点,关键是求出∠ABC和∠ABD的度数,题目比较好.28.(2013秋•高坪区校级期中)如图,△ABC中,AB=AD=AE,DE=EC,∠DAB=30°,求∠C的度数.考点:等腰三角形的性质.分析:首先根据AB=AD=AE,DE=EC,得到∠B=∠ADB,∠ADE=∠AED,∠C=∠EDC,从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,根据∠DAB=30°,求得∠B=∠ADB=75°,利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°,求得∠C即可.解答:解:∵AB=AD=AE,DE=EC,∴∠B=∠ADB,∠ADE=∠AED,∠C=∠EDC,∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C,∵∠DAB=30°,∴∠B=∠ADB=75°,∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°,∴∠C=35°.点评:本题考查了等腰三角形的性质,解题的关键是利用等腰三角形的性质求得有关角的度数.29.(2012春•扶沟县校级期中)阅读理解:“在一个三角形中,如果角相等,那么它们所对的边也相等.”简称“等角对等边”,如图,在△ABC中,已知∠ABC和∠ACB的平分线上交于点F,过点F作BC的平行线分别交AB、AC于点D、E,请你用“等角对等边”的知识说明DE=BD+CE.考点:等腰三角形的性质.专题:证明题.分析:由DE∥BC,BF平分∠ABC,CF平分∠ACB可知,DB=DF,CE=EF.便可得出结论.解答:证明:∵BF平分∠ABC(已知),CF平分∠ACB(已知),∴∠ABF=∠CBF,∠ACF=∠FCB;又∵DE平行BC(已知)∴∠DFB=∠FBC(两直线平行,内错角相等),∠EFC=∠FCB(两直线平行,内错角相等),∴∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF(等量代换)∴DF=DB,EF=EC(等角对等边)∴DE=BD+CE.点评:此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线的性质的理解和掌握,主要利用等腰三角形两边相等.稍微有点难度是一道中档题.30.(2011•龙岩质检)如图,AD是△ABC的平分线,DE,DF分别垂直AB、AC于E、F,连接EF,求证:△AEF是等腰三角形.考点:等腰三角形的判定;全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:根据角平分线的性质知∠BAD=∠CAD;然后根据已知条件“DE,DF分别垂直AB、AC于E、F”得到∠DEA=∠DFA=90°;再加上公共边AD=AD,从而证明,△ADE≌△ADF;最后根据全等三角形的对应边相等证明△AEF的两边相等,所以△AEF是等腰三角形.解答:证明:∵AD是△ABC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,(3分)又∵DE,DF分别垂直AB、AC于E,F∴∠DEA=∠DFA=90°(6分)又∵AD=AD,∴△ADE≌△ADF.(8分)∴AE=AF,即△AEF是等腰三角形(10分)点评:本题综合考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质.解答此题时,根据全等三角形的判定定理ASA判定△ADE≌△ADF.。