13.3等腰三角形讲义 教师版

13.3 等腰三角形

学习目标：

1.了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形

2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用其解决相关问题。

3.借助轴对称图形的性质，得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是30︒的直角三角形的性质

学习重难点：

1. 理解并掌握等腰三角形的定义，探索等腰三角形的性质和判定方法

2. 能够用等腰三角形的知识点解决相应的数学问题。

3. 等腰三角形性质和判定的探索与应用。

知识点一：等腰三角形的概念

有两条边氙灯的三角形叫做等腰三角形。其中相等的两条边叫做腰，另一条

叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底脚。如图，在ABC

∆中,AC AB =，则ABC ∆为等腰三角形，其中AB ，AC 为腰，BC 为底边，A ∠为顶角，B ∠、C ∠为底角.

【例题1】1．已知等腰三角形的两条边长分别为2和3，则它的周长为（ ）

A ．7

B ．8

C ．5

D ．7或8

【分析】因为腰长没有明确，所以分①2是腰长，②3是腰长两种情况求解．

【解答】解：①2是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7，

②3是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8，

所以，它的周长是7或8．

故选：D ．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，易错点为要分情况讨论求解．

【例题2】已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）

A．40° B．70° C．100°D．140°

【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理进行解答即可．

【解答】解：∵等腰三角形的顶角为50°，

∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，

故选：B．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°这一隐藏条件．【变式1】若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长是为（）

A．8 B．10 C．8或10 D．6或12

【分析】因为等腰三角形的两边分别为2和4，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

【解答】解：当2为底时，其它两边都为4，2、4、4可以构成三角形，周长为10；

当2为腰时，其它两边为2和4，因为2+2=4，所以不能构成三角形，故舍去．

∴答案只有10．

故选：B．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

【变式2】若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（）

A．20° B．50° C．80° D．100°

【分析】由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．

【解答】解：∵等腰三角形的顶角为80°，

∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2=50°．

故选：B ．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．

知识点二 等腰三角形的性质 【重点】

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成等边对等角）

几何语言：在ABC ∆中，C B AC AB ∠=∠∴= （等边对等角）

性质2：等腰三角形的顶角的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”） 几何语言：如图所示

（1）;21,∠=∠=AC AB

BC AD CD BD ⊥=∴,

（2）BC AD AC AB ⊥=,

CD BD =∠=∠∴,21

（3）CD BC AC AB ==,

BC AD ⊥∠=∠∴,21

【例题1】如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，BD 平分∠ABC ，则∠ABD 的度数为（ ）

A ．30°

B ．40°

C ．20°

D ．25°

【分析】根据等腰三角形的性质就可以求出∠ABC 和∠C 的度数，由角平分线的性质就可以求出∠ABD 的度数．

【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，

∴∠ABC=∠C=40°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=20°．

故选：C．

【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质，此题比较简单．

【例题2】如图，在△ABC中，AC=DC=DB，∠ACB=105°，则∠B的大小为（）

A．15° B．20° C．25° D．40°

【分析】根据边相等的角相等，用∠B表示出∠CDA，然后就可以表示出∠ACB，求解方程即可．

【解答】解：设∠B=x

∵AC=DC=DB

∴∠CAD=∠CDA=2x

∴∠ACB=（180°﹣4x）+x=105°

解得x=25°．

故选：C．

【变式1】如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点P是△ABC内一点，连结PB、PC，∠1=∠2，则∠BPC的度数是（）

A．110°B．130°C．140°D．120°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．

【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=，

∴∠1+∠PBC=70°，

∵∠1=∠2，

∴∠2+∠PBC=70°，

∴∠BPC=180°﹣（∠2+∠PBC）=180°﹣70°=110°，

故选：A．

【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答．

【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD=AE，则下列结论不一定成立的是（）

A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AED

C．∠B=∠C D．∠AED=2∠ECD

【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确，选项D不一定成立，即可得出答案．