第53届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试题(全三套)

第一天
2012年3月14日上午8：00－12：30
1. 设1x ,2x ,,n x ；1y ,2y ,,n y 均为模等于1的复数,设
()1,2,,i i i i i z xy yx x y i n =+-= ,
其中11n i i x x n ==∑,1
1n
i i y y n ==∑.
证明：1
n
i i z n =≤∑.
2. 如图,三角形ABC 三边互不相等,其内切圆与三边的切点分别为D 、E 、
F .设L 为D 关于直线EF 的对称点,M 为E 关于直线FD 的对称点,N 为F 关于直线DE 的对称点.直线AL 与直线BC 交于P ,直线BM 与直线CA 交于Q ,直线
CN 与直线AB 交于R .证明：P 、Q 、R 三点共线.
3.设()21,2,n
n n x C n == ,证明：存在无穷多对有限集合*,A B N ⊂,使得
A B =∅ ，且
2012i
i A j
j B
x x
∈∈=∏∏.
C
M
第二天
2012年3月15日上午8：00－12：30
4.给定平面上两个圆12,ωω,设S 是满足下面条件的ABC ∆的集合：ABC ∆内接于圆1ω，且圆2ω是ABC ∆的与边BC 相切的旁切圆. 设圆2ω与直线
,,BC CA AB 分别相切于点D ，E ，F .
证明：若S 非空，则DEF ∆的重心是平面上的定点.
5. 设()d n 表示正整数n 的正约数个数．正整数n 称为超级数，如果对任意小于n 的正整数m ，均有()()d m d n <．
证明：对任意给定的正整数k ，除有限个超级数外，每个超级数都能被k 整除．
6. 给定整数n ，求所有的函数:f →Z Z ，满足对任意整数,x y ，均有
(())()f x y f y f x ny ++=+，
其中Z 是整数集．
第一天
2012年3月19日 上午8：00－12：30
1. 一个简单图中两两相邻的t 个顶点称为一个t 团, 与其余每个顶点都相邻的顶点称为中心点.
给定整数,n k , 3n ≥,
1
2
n k n <<. 设G 是一个有n 个顶点的简单图, G 中不存在(1)k +团, 但在G 中任意添上一条边后就存在(1)k +团. 求G 的中心点个数的最小可能值.
2. 证明：存在常数C ，具有下述性质：对任意整数2n ≥及{1,2,,}X n ⊆ ，若||2X ≥，则存在,,,x y z w X ∈（可以相同），使得
40||xy zw C α-<-<，
其中||
X n
α=
．
3. 设12a a <是给定的正整数．对整数3n ≥，n a 定义为大于1n a -且可唯一表示为(11)i j a a i j n +≤<≤-的最小正整数．已知数列{}(1)n a n ≥中仅有有限多个偶数．证明：数列1{}(1)n n a a n +-≥是最终周期的，即存在正整数,T N ，使得
11T n T n n n a a a a ++++-=-对一切整数n N >成立．
第二天
2012年3月20日 上午8：00－12：30
4. 对给定的整数2n ≥，证明：只有有限个n 元正整数组12(,,,)n a a a 同时满足如下条件：
（1） 12n a a a >>> ； （2） 12gcd (,,,)1n a a a = ；
（3） 111gcd (,)n
i i i a a a +==∑（约定11n a a +=）．
其中，对整数2t ≥，12gcd (,,,)t x x x 为正整数12,,,t x x x 的最大公约数．
5. 设,m n 是两个给定的大于1的整数，r s <是两个给定的正实数．对任意不全为0的非负实数(1,2,,;1,2,,)i j a i m j n == ，求
111111r
r
n m s
s i j j i s s
m n r r i j i j a f a ====⎡⎤
⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑∑∑∑ 的最大值．
6．给定整数2n ≥，函数:{1,2,,}f n → Z 称为“好的”，如果f 具有下述性 质：对每个整数k ，11k n ≤≤-，都存在整数j ，使得对每个整数m ，都有
()()()(mod 1)f m j f m k f m n +≡+-+.
求“好的”函数f 的个数. 注：Z 是整数集．
第53届国际数学奥林匹克中国国家队选拔测试三
第一天
2012年3月25日 上午8：00 - 12：30
1． 如图,锐角ABC ∆中，60A ∠> , H 为ABC ∆的垂心，点M 、N 分别在边AB 、
AC 上，60HMB HNC ∠=∠= , O 为HMN ∆的外心.点D 与A 在BC 的同侧，使得DBC ∆为正三角形.证明：H 、O 、D 三点共线.(图略)
2． 证明：对给定的整数2k ≥，存在k 个互不相同的正整数12,,...,k a a a ，使得对任意
整数12,,...,k b b b ，2i i i a b a ≤≤，1,2,,i k = ，以及任意非负整数12,,...,k c c c ，只要
1
1
i k
k c i
i i i b
b ==<∏∏，就有11
i k k
c i
i i i k b b ==<∏∏
3．求满足下列条件的最小实数c ：对任意一个首项系数为1的2012次实系数多项式
2012201120102011201010()...,P x x a x a x a x a =+++++
都可以将其中的一些系数乘以1- , 其余的系数不变，使得新得到的多项式的每个根z 都满足Im Re z c z ≤，这里Re z 和Im z 分别表示复数z 的实部和虚部.
第二天
2012年3月26日 上午8：00 - 12：30
4. 给定整数4n ≥，设,{1,2,,}A B n ⊆ , 已知对任意,,1a A b B ab ∈∈+为完全
平方数，证明：{}2min ,log A B n ≤ ，
其中X 表示有限集合X 的元素个数.
5. 求所有具有下述性质的整数3k ≥：存在整数,m n ，满足1m k <<，1,n k <<
(,)(,)1,m k n k m n k ==+>，且(1)(1)k m n --.
6. 由20122012⨯个单位方格构成的正方形棋盘的一些小方格中停有甲虫，一个小方
格中至多停有一只甲虫. 某一时刻，所有的甲虫飞起并再次全部落在这个棋盘的方
格中，每一个小方格中至多仍停有一只甲虫. 一只甲虫飞起前所在小方格的中心指向再次落下后所在小方格的中心的向量称为该甲虫的“位移向量”，所有甲虫的“位移向量”之和称为“总位移向量”.
就甲虫的个数及始、末位置的所有可能情况，求“总位移向量”长度的最大值.。