2021年中考数学压轴题及答案精选(二)

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2021年中考数学压轴题精选含答案

2021年中考数学压轴题精选含答案1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．2．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ．（1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD 和BC 之间的距离；（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．5．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)；（3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．6．问题提出（1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．7．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．8．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式；（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为．（直接写出答案）10．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．（1）当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为（直接写出答案）11．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．13．如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．（1）求证：DE＝BO；（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．①求点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)函数(二)(含答案与解析)

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）函数（二）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021•丹东）如图，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB//x 轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（）A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，∵AB∥x轴，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k，∵S△ABC＝S△AOB＝6，∴1﹣k＝6，∴k＝﹣10．故选：C．2．（2021•丹东）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，其中正确结论的个数（）A．2B．3C．4D．5解：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，∴两式相减得b＝，两式相加得c＝﹣1﹣a，∴c＜0，∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确；∴2a+2b+c＝2a+2×﹣1﹣a＝a＞0，故②正确；∵当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c＝﹣，∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝0的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，∴抛物线与x轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，有最小值，即为y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正确；联立抛物线y＝ax2+bx+c及直线y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：，∴Δ＝，∴该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC ＝3BD，则点B的横坐标为（）A．B．2C．D．3解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的横坐标为＝＝2，故选：B．4．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（）A．﹣8B．﹣2C．﹣8D．﹣6解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，∴x B＝，x A＝，即A（，4），B（，2），∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，∴BC＝AB＝，又∵菱形ABCD的面积为8，∴BC×（y A﹣y B）＝8，即×（4﹣2）＝8，整理得＝4，解得k＝±8，∵函数图象在第二象限，∴k＜0，即k＝﹣8，故选：A．5．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5B．5C．﹣6D．6解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．6．（2021•本溪）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠CDB＝30°，∴BD＝2AD＝2，当点P在AD上时，S＝•（2﹣2t）•（1﹣t）•sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），当点P在线段BD上时，S＝（4﹣2t）•（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），观察图象可知，选项D满足条件，故选：D．7．（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，∴（1）函数图象开口向上，（2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故选：C．二．填空题（共2小题）8．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F 两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为﹣2+2．解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．9．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）解：∵2m﹣1＜0（m＜），∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．三．解答题（共16小题）10．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积．解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，∴，∴m＝3，∴B（3，2），∴k＝6，∴反比例函数的解析式为；（2）∵BC⊥y轴，∴C（0，2），BC∥x轴，∴BC＝3，令x＝0，则y＝，∴A（0，﹣2），∴AC＝4，∴，∴△ABC的面积为6．11．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB 相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，取x＝0，得y＝8，∴C（0，8），取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴B（4，0）；（2）存在点P，设P（0，y），若CC'是斜边，则PC＞PO，不合题意，舍去，∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，∴，即：，解得：y1＝16，，∴P（0，16）或P（0，）．12．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．（1）当m＝时，点A的坐标是（，1），抛物线与y轴交点的坐标是（0，）；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y 随x的增大而减小时x的取值范围；（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m 的值．解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）2+1，∴顶点A（，1），令x＝0，得y＝，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），故答案为：（，1），（0，）；（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，解得：m＝1，∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝（舍）或m＝﹣，②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝，综上所述，m的值为或﹣；（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），∴M（m，2），N（m，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（不合题意，应舍去），∴B（m+，2），C（m，2m），根据题意，得2m＝m+，解得：m＝或m＝（不合题意，应舍去）；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+，解得：m＝，经检验，m＝不符合题意，舍去，∴m＝，若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，解得：m＝﹣1＜0，不合题意，舍去；当m＜0时，如图2，若点B在NQ边上，点C在PM边上，则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（舍去），∴|m+|＝2，当m+＝2时，得m2﹣2m+3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴该方程无解；当m+＝﹣2时，得m2﹣6m+3＝0，解得：m＝3﹣或m＝3+，∵m＜0，∴均不符合题意；若点B在NQ边上，点C在MN边上，则|m+|＝|2m|，∴m+＝﹣2m或m+＝2m，∵m＜0，∴m＝﹣或m＝﹣1﹣，经验证，m＝﹣时，不符合题意；∴m＝﹣1﹣；若点B在PQ边上，点C在PM边上，显然点B到y轴的距离为4，点C到x轴的距离为2，不符合题意；综上所述，m的值为或或﹣1﹣．13．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．14．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ 与图象有2个交点．15．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）设y＝kx+b，将（50，100）、（80，40）代入，得：，解得：∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；（2）设电商每天获得的利润为w元，则w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵﹣2＜0，且对称轴是直线x＝70，又∵50≤x≤80，∴当x＝70时，w取得最大值为1800，答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．16．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），交y轴于点C，∴﹣4＝2×（﹣5）+m，解得：m＝6，∴C（0，6），将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，理由如下：∵点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），点C（0，6），∴AB2＝（﹣8+5）2+（0+4）2＝25，AC2＝（﹣8+0）2+（0﹣6）2＝100，BC2＝（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2＝125，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，∴∠BCA＝∠ECA，如图1，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4），∵∠BAC＝∠F AC＝90°，AF＝AB，AC＝AC，∴△F AC≌△BAC（SAS），∴∠BCA＝∠FCA，∴点E为直线CF与抛物线的交点，设直线CF的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CF的解析式为，联立方程组，解得：或（舍去），故点E坐标为（，）；（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，∵AB＝5，BC＝，∴sin∠BCA＝，∴MN＝，又CO＝6，∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6，当F、N、M三点共线时，t最小，∵AC＝10，BC＝，∴sin∠ABC＝，∴FM'＝，∴点P运动时间t的最小值为，由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0），∵FD＝，∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，联立方程组，解得：，∴此时N坐标为（﹣6，）．17．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有值最大，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．18．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．（1）当m＝2时，①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m 的值；（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．解：（1）当m＝2时，y＝，①∵M（4，n）在该函数图象上，∴n＝42﹣2×4+2＝10；②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+2，∵﹣＜0，∴当x＝时，y有最大值是2，当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，∵2＜2，∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；（2）分两种情况：①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝m，∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝PQ，∴m＝﹣+m+m，解得：m1＝0，m2＝6，∵m＞0，∴m＝6；②当Q在x轴下方时，同理得：m＝﹣﹣m 解得：m1＝0，m2＝14，∵m＞0，∴m＝14；综上，m的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，当x＝0时，y＝m，∴OB＝m，∵CD＝m，∴CD＝OB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD，∵∠AOB＝∠CDB＝90°，∴△ABO≌△BCD（ASA），∴OA＝BD，当x＜m时，y＝0，即﹣x2+x+m＝0，x2﹣x﹣2m＝0，解得：x1＝，x2＝，∴OA＝，且﹣≤m≤3，∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，∴OD＝c＝﹣a，∴BD＝m﹣OD＝m+a，∵OA＝BD，∴＝m+，解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝；②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，同理得：OA＝BD，当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，解得：x1＝，m2＝（舍），∴OA＝＝a，∴＝c﹣m＝﹣a﹣m，解得：m1＝0，m2＝﹣；综上，m的值是或﹣．19．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC ＝2．（1）求点C坐标；（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，如图1中，设BC交y轴于D．∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，∴OD＝4，∴D（0，4），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，由，解得（即点B）或，∴C（﹣1，6）．（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，∴E（﹣，0），当0＜m＜2时，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．当﹣＜m≤0时，如图2中，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．综上所述，S＝．（3）∵直线AC交x轴于（﹣，0），B′（2m﹣2），当﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝或（都不符合题意舍弃），当3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+或﹣2﹣（舍弃），综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+．20．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，∴y＝﹣2x+220；（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，∵﹣2＜0，∴当x＝75时，W有最大值，最大值为2450元，答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．21．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，40﹣35＝5（万人）．22．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），∴点E的坐标为（2﹣2，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，∴设直线l的解析式为y＝3x+b，∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N（﹣2，﹣4），∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，∵S△DMN＝S△AOC，∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M的坐标为（﹣2，8），∴DM＝＝3，答：DM的长为3．23．（2021•本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF 的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，解得x＝1或3，故点P的坐标为（1，）或（3，3）；（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x+t，该直线过点B（0，3），故t＝3，则直线BQ的表达式为y＝x+3，当x＝时，y＝x+3＝5，即n＝5；②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，则，解得n＝；24．（2021•陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1m/min；（2）求AB的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．解：（1）由图象知：“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），“猫”5min跑了30m，∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min），∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1（m/min），故答案为：1；（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，∵图象经过A（7，30）和B（10，18），把点A和点B坐标代入函数解析式得：，解得：，∴AB的解析式为：y＝﹣4x+58；（3）令y＝0，则﹣4x+58＝0，∴x＝14.5，∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．25．（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）解：【探索发现】①如图②，②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，则，解得：，∴y＝6x+6；【结论应用】应用上述发现的规律估算：①x＝12时，y＝6×12+6＝78，∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，∴供水时间为14小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．。

第十八章全国通用版中考数学：《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)—解析版

第十八章专题：《平行四边形》与坐标系结合压轴题(二)1.如图，在平面直角坐标系中，AB //OC, A (0, 12), B (a, c) , C (b, 0),并且a, b满足b= 府市 /口' + 16. 一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点 B 运动；动点Q 从点。

出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P 运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t (秒)(1)求B、C两点的坐标；(2)当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；(3)当t为何值时，APQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标.(1) •, b= ^a-21 J^T^+16,••.a=21, b=16,故B (21, 12) C (16, 0)； (2)由题意得：AP=2t, QO=t,贝U： PB=21-2t , QC=16-t,•••当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形,.•.21-2t=16-t,解得：t=5,,P (10, 12) Q (5, 0);(3)当PQ=CQ 时，过Q 作QN^AB,由题意得：122+t2=(16-t) 2, 解得：t=3.5,故P (7, 12), Q (3.5, 0),当PQ=PC时，过P作PM ±x轴,由题意得：QM=t , CM=16-2t ,则t=16-2t,解得：t=16, 2t=32, 3 3故P( 32,12), Q(16,3 30).2.如图1,在平面直角坐标系中， AB ，y 轴于点A, BC ，x 轴于点B,点D 为线段BC 的中点，若AB=a , CD=b ,且J 2 a 8 v 5 +/4我 a +2屈=b .连接AD ,在线段OC 上取一点E,使/ EAD= / DAB .(1)贝U a=, b=(2)求证：AE=OE+CD ;【解答】(1) a =4 v15 , b =2 后,(2)由(1)可知 AB=4 75, CD=BD=2 V 5 , • . AB=CB ,,.AB ±y 轴于点 A, BC±x 轴于点 B,，乙 BAO= / B= / AOC=90° ,••・四边形ABCO 是矩形，••・AB=CB , ••・四边形ABCO 是正方形，延长 CO 至u M ,使得 OM=BD ,贝u ^ABD AOM , ，/4=/M, Z1 = Z2=Z3,. OA//BC, . ・/4=/2+/5=/5+/3=/EAM , . . / M= / EAM , • . AE=EM=OE+OM=OE+BD ••• BD=CD , .1. AE=OE+CD .(3)如图 2 中，设 AE=EM=x .在 RtAAOE 中，AO 2+OE 2=AE 2, - x 2= (4<5 ) 2+ (x-2 J 5 ) 2, . . x=5石, OE=3 而,•.D (4V 5, 2 45), E (3V5 , 0), •. F (0, -6V5 )风0)3.如图，在平面直角坐标系中，有一矩形ABCD，其中A(0, 0), B (m, 0) , D (0, n), m是最接近质的整数，n是16的算术平方根，若将4ABC沿矩形又•角线AC所在直线翻折，点B落在点E处，AE与边CD相交于点M .(1)求AC的长；(2)求4AMC的面积；(3)求点E的坐标.【解答】(1)•' m是最接近#5的整数,• ' m=8,.「n 是16 的算术平方根，，n=4,，B (8, 0), D (0, 4),.••点C 矩形ABCD 的一个顶点，..C (8, 4),，AB=8, BC=4 ,AC=4 J5 ,(2)由折叠有，CE=AD=BC=4 , AE=AB=8 ,设DM=x 则CM=8-x ,・. /ADM= / CEM , /AMD=/CME, /.A ADM ^ACEM , • .AM=CM=8-x , ME=MD , 在RtAADM 中，AD=4 , DM=x , AM=8-x ,根据勾股定理有：AD2+DM 2=AM 2,即：16+x2= (8-x) 2, •1- x=3 , DM=3 , CM=5 , S AAMC = —Ch/|X AD=)>^M=10,2 2(3)过点E作EFXCD,如图，由(2)有，CM=5 , CE=4, ME=DM=3在Rt^CEM 中，由射影定理得，CE2=CFXCM , 16=CFX5,，CF=3.2,••・Ma CE=CMK EF (直角三角形的面积的两种计算) ，，EF=2.4,• . DF=CD -CF=4.8 , BC+EF=6.4 , . . E (4.8, 6.4)4 .已知正方形OABC 在平面直角坐标系中，点 A, C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 在原点，E, F 分别在OA, OC 上，且OA=4 , OE=2 .将AOEF 绕点O 逆时针旋转，得△OE I F I ,点E, F 旋转后的对应点为Ei, Fi.(I )①如图①，求EiFi 的长；②如图②，连接CFi, AEi,求证△OAEi^^OCFi；「(II)将AOEF 绕点O 逆时针旋转一周，当 OEi//CFi 时，求点Ei 的坐标(直接写出结果即可)姝姝CB C 石【解答】(I )①解：二.等腰直角三角形 OEF 的直角顶点O 在原点，OE=2, / EOF=90 , OF=OE=2 ,「. EF=2 血，・ ••将AOEF 绕点 O 逆时针旋转，得△OE i F i, ••.E i F i =EF=2 J 2 ； ②证明：四边形OABC 为正方形，OC=OA .・ •・将AOEF 绕点 O 逆时针旋转，得 △OE i F i,AOE i =/COF i, • △OEF 是等腰直角三角形，・•.△OEiFi 是等腰直角三角形， ••OE i =OF i.在 AOAE i 和 ^OCF i 中，OA=OC, /AOEi=/COF i, OEi=OFi% E・•.△OAE 卢^OCF i (SAS)；(n)解：••• OEXOF,卜过点F与OE平行的直线有且只有一条，并与OF垂直，当三角板OEF绕。

2021中考数数学选择题压轴题含答案(共12页)

2021中考数数学选择题压轴题1．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE =1316，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C．【解析】试题分析：解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠A BC=90°．∵BP=CQ，∴AP=BQ．在△DAP与△ABQ中，∵AD=AB，∠DAP=∠ABQ，AP=BQ，∴△DAP≌△ABQ，∴∠P=∠Q．∵∠Q+∠QAB=90°，∴∠P+∠QAB=90°，∴∠AOP=90°，∴AQ⊥DP；故①正确；∵∠DOA=∠AOP=90，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，∴∠DAO=∠P，∴△DAO∽△APO，∴AO OPOD OA=，∴AO2=OD•OP．∵AE＞AB，∴AE＞AD，∴OD≠OE，∴OA2≠OE•OP；故②错误；在△CQF与△BPE中，∵∠FCQ=∠EBP，∠Q=∠P，CQ=BP，∴△CQF≌△BPE，∴CF=BE，∴DF=CE．在△ADF与△DCE中，∵AD=CD，∠ADC=∠DCE，DF=CE，∴△ADF≌△DCE，∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；∵BP=1，AB=3，∴AP=4．∵∵△PBE∽△P AD，∴43PB PAEB DA==，∴BE=34，∴QE=134．∵△QOE∽△P AD，∴1345QO OE QEPA AD PD===，∴QO=135，OE=3920，∴AO=5﹣QO=125，∴tan∠OAE=OEOA=1316，故④正确．故选C．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形；综合题．2．若数a 使关于x 的分式方程2411a x x+=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16【答案】A ．【解析】试题解析：分式方程2411a x x +=--的解为x =64a -且x ≠1，∵关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，∴64a -＞0且64a -≠1，∴a ＜6且a ≠2． 21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩①②，解不等式①得：y ＜﹣2；解不等式②得：y ≤a ．∵关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，∴a ≥﹣2，∴﹣2≤a ＜6且a ≠2． ∵a 为整数，∴a =﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．故选A ．考点：分式方程的解；解一元一次不等式组；含待定字母的不等式（组）；综合题．3．若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2222a y y+=--有非负数解，则所以满足条件的整数a 的值之和是（） A ．3 B ．1 C ．0 D ．﹣3【答案】B ．考点：分式方程的解；一元一次不等式组的整数解；含待定字母的不等式（组）；综合题．4．右图是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A 、B 、C 、D ，得到四边形ABCD ．若AC =10cm ，∠BAC =36°，则图中阴影部分的面积为（）A ．25cm πB ．210cm πC ．215cm πD ．220cm π【答案】B ．考点：矩形的性质；扇形面积的计算；圆周角定理5.已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B ，M 间的距离可能是( )A．1.4B．1.1C．0.8D．0.5【答案】C.考点：正多边形的有关计算.6. 如图，将半径为2，圆心角为120︒的扇形OAB绕点A逆时针旋转60︒，点O，B的对应点分别为'O，'B，连接'BB，则图中阴影部分的面积是（）A．23πB．233π- C.2233π- D．2433π-【答案】C.【解析】试题分析：连接O'O、'O B，根据旋转的性质及已知条件易证四边形AOB'O为菱形，且∠'O OB=∠O'O B=60°，又因∠A'O'B=∠A'O B=120°，所以∠B'O'B=120°，因∠O'O B+∠B'O'B=120°+60°=180°，即可得O、'O、'B三点共线，又因'O'B='O B，可得∠'O'B B=∠'O B 'B，再由∠O'O B=∠'O'B B+∠'O B 'B=60°，可得∠'O'B B=∠'O B 'B=30°，所以△OB'B为Rt三角形，由锐角三角函数即可求得B'B=23,所以2''16022 =S2232323603OBB BOOS Sππ⨯-=⨯⨯=阴影扇形，故选C.考点：扇形的面积计算.7. 周日，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y(单位：m)与他所用的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是( )A.小涛家离报亭的距离是900mB.小涛从家去报亭的平均速度是60m/minC.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m/minD.小涛在报亭看报用了15min【答案】D【解析】试题分析：A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，故A不符合题意；B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m，由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，小涛从家去报亭的平均速度是80m/min，故B不符合题意；C、返回时的解析式为y=﹣60x+3000，当y=1200时，x=30，由横坐标看出返回时的时间是50﹣30=20min，返回时的速度是1200÷20=60m/min，故C不符合题意；D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30﹣15=15min，故D符合题意；故选D．考点：函数的图象．8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB 和点P 绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A B ''和点P '，则点P '所在的单位正方形区域是（）A ．1区B ．2区C ．3区D ．4区【答案】D【解析】如图，根据题意可得旋转中心O ，旋转角是90°，旋转方向为逆时针，因此可知点P 的对应点落在了4区，故选D. O 点睛：本题主要考查图形的旋转，能根据题意正确地确定旋转中心、旋转方向、旋转角是解题的关键. 9.如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3AD =.动点P 满足13PAB ABCDS S ∆=矩形.则点P 到A ，B 两点距离之和PA PB +的最小值为（）A ．29B ．34 C.5241【答案】D【解析】 E 试题解析：点P 在平行于AB 的直线上，先作点B 关于该直线的对称点，再利用勾股定理求出AE 的长度.则45BE AB ==， 162541AE ∴=+= ,故选答案D.考点： “小马吃草问题”求极小值.10. 0a ≠，函数a y x=与2y ax a =-+在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）【答案】D【解析】试题分析：如果a ＞0，则反比例函数a y x =图象在第一、三象限，二次函数2y ax a =-+图象开口向下，排除A ；二次函数图象与Y 轴交点（0，a ）在y 轴正半轴，排除B ；如果a ＜0，则反比例函数a y x=图象在第二、四象限，二次函数2y ax a =-+图象开口向上，排除C ；故选D 。

2021年中考数学真题分类汇编--函数：函数与几何(压轴题2)(学生版)

中考真题分类汇编（函数）----函数与几何（2）1.（2021•四川省眉山市）如图，直线y＝x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y＝﹣在第二象限内的图象交于C、D两点．（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．2.（2021•四川省南充市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2021•遂宁市）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两点，与y轴x=-，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴交于点D，交于C（0，－3），对称轴为直线1与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．4. (2021•四川省自贡市) 如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5. （2021•天津市）已知抛物线22y ax ax c =-+（a ，c 为常数，0a ≠）经过点()0,1C -，顶点为D ．（Ⅰ）当1a =时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当0a >时，点()0,1E a +，若22DE DC =，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当1a <-时，点()0,1F a -，过点C 作直线l 平行于x 轴，(),0M m 是x 轴上的动点，()3,1N m +-是直线l 上的动点．当a 为何值时，FM DN +的最小值为10，并求此时点M ，N 的坐标．6. 2021•湖北省恩施州）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点B ，D （﹣4，5）两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．7.（2021•浙江省金华市）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．8.（2021•湖北省荆门市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点Q为线段BC上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求|QO|+|QA|的最小值；（3）过点Q作PQ∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接P A，PB，记△P AQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．9.（2021•江苏省盐城市）学习了图形的旋转之后，小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定的角度α，能得到一个新的点P′，经过进一步探究，小明发现，当上述点P在某函数图象上运动时，点P ′也随之运动，并且点P ′的运动轨迹能形成一个新的图形．试根据下列各题中所给的定点A 的坐标、角度α的大小来解决相关问题．【初步感知】如图1，设A （1，1），α＝90°，点P 是一次函数y ＝kx +b 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点P 1（﹣1，1）．（1）点P 1旋转后，得到的点P 1′的坐标为（1，3）；（2）若点P ′的运动轨迹经过点P 2′（2，1），求原一次函数的表达式．【深入感悟】如图2，设A （0，0），α＝45°，点P 是反比例函数y ＝﹣（x ＜0）的图象上的动点，过点P ′作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M ，求△OMP ′的面积．【灵活运用】如图3，设A （1，﹣），α＝60°，点P 是二次函数y ＝x 2+2x +7图象上的动点，已知点B （2，0）、C （3，0），试探究△BCP ′的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．10. （2021•重庆市A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，PE ∥x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和△PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．11.（2021•重庆市B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求△P AD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4（a ≠0）沿射线AD 平移4个单位，得到新的抛物线y 1，点E 为点P 的对应点，点F 为y 1的对称轴上任意一点，在y 1上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．12. （2021•湖北省十堰市）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y 轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标．13. （2021•湖南省张家界市）如图，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点)3,2(-C ，且与x 轴交于原点及点)0,8(B .(1)求二次函数的表达式；(2)求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为⊙O 上的动点，且⊙O 的半径为 22，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值.14. （2021•海南省）已知抛物线y ＝ax 2+x +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且点A 的坐标为（﹣1，0）、点C 的坐标为（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图1，若该抛物线的顶点为P ，求△PBC 的面积；（3）如图2，有两动点D 、E 在△COB 的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C 和点B 同时出发，点D 沿折线COB 按C →O →B 方向向终点B 运动，点E 沿线段BC 按B →C 方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，请解答下列问题： ①当t 为何值时，△BDE 的面积等于；②在点D 、E 运动过程中，该抛物线上存在点F ，使得依次连接AD 、DF 、FE 、EA 得到的四边形ADFE 是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标．_y _x _ A_ B _ O _ C _ P15. （2021•广西玉林市）已知抛物线：234y ax ax a =--（0a >）与x 轴交点为A ，B（A 在B 的左侧），顶点为D ．（1）求点A ，B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）若直线32y x =-与抛物线交于点M ，N ，且M ，N 关于原点对称，求抛物线的解析式；（3）如图，将（2）中抛物线向上平移，使得新的抛物线的顶点D 在直线7:8l y =上，设直线l 与y 轴的交点为O '，原抛物线上的点P 平移后的对应点为点Q ，若O P O Q ''=，求点P ，Q 的坐标．16. （2021•广西贺州市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，且()1,0A -，对称轴为直线2x =．（1）求该抛物线的函数达式；（2）直线l 过点A 且在第一象限与抛物线交于点C ．当45CAB ∠=︒时，求点C 的坐标；（3）点D 在抛物线上与点C 关于对称轴对称，点P 是抛物线上一动点，令(,)P P P x y ，当1P x a ≤≤，15a ≤≤时，求PCD 面积的最大值（可含a 表示）．17. 2021•山东省济宁市）如图，直线y ＝﹣x +分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，过点A 的抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为C ，与y 轴交于点D （0，3），抛物线的对称轴l 交AD 于点E ，连接OE 交AB 于点F ．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：OE ⊥AB ；（3）P 为抛物线上的一动点，直线PO 交AD 于点M ，是否存在这样的点P ，使以A ，O ，M 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．18 . (2021•内蒙古包头市) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点．（1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时，①求点M 的坐标： ②若点15,4B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫ ⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．19. （2021•齐齐哈尔市）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为2x =，点D 为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是__________；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE．求BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．20.（2021•内蒙古通辽市）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

2021年江苏省南京市中考数学压轴题总复习(附答案解析)

2021年江苏省南京市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。

从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。

预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1．如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．
（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；
（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；
（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．
2．在平面直角坐标系xOy中，过点N（6，﹣1）的两条直线l1，l2，与x轴正半轴分别交于M、B两点，与y轴分别交于点D、A两点，已知D点坐标为（0，1），A在y轴负半轴，以AN为直径画⊙P，与y轴的另一个交点为F．
（1）求M点坐标；
（2）如图1，若⊙P经过点M．
①判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；②求弦AF的长；
（3）如图2，若⊙P与直线l1的另一个交点E在线段DM上，求√10NE+AF的值．。

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)几何综合(二)(含答案与解析)

2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）几何综合（二）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知BD＝CD，推出AD＝DC＝BD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．2．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．3解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2×＝2，故选：B．3．（2021•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，∴△ACA'是等腰直角三角形，∴∠CA'A＝45°，∵∠BAC＝α，∴∠CA'B'＝α，∴∠AA'B'＝45°﹣α．故选：C．4．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．二．填空题（共8小题）5．（2021•丹东）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E（BE ＞CE），点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC＝7，AC＝5，则△CEF的周长为8．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴∠BAE＝∠ABE＝45°，BE＝AE，∴∠BEA＝90°，∵BC＝7，∴BE+CE＝7，∴AE+CE＝7，AE＝7﹣CE，又∵AC＝5，在△AEC中，AE2+CE2＝AC2，（7﹣CE）2+CE2＝52，解得：CE＝3，又∵点F是AC的中点，∴，∴△CEF的周长＝CF+CE+FE＝．故答案为：8．6．（2021•大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是2．解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案为：2．7．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为．解：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠FBE，∵CF⊥BE，∴∠BEC＝∠BEF＝90°，又∵BE＝BE，∴△BEC≌△BEF（ASA），∴CE＝FE，BF＝BC＝2，同理：CH＝GH，DG＝CD＝，∴HE是△CGF的中位线，∴HE＝，在矩形ABCD中，，，由勾股定理得：BD＝，∴GF＝BF+DG﹣BD＝，∴HE＝，故答案为：．8．（2021•营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S＝1，则S△ABC＝24．△EFG解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．9．（2021•本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D 的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是①③④（填序号即可）．解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，HE，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折叠可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ•GD．∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．10．（2021•营口）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则CF＝6．解：如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，∵AE＝3，∴DE＝＝＝5，∴DE＝DC，∵DH⊥EC，∴∠CDH＝∠EDH，∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，∴∠CDH＝∠F，∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，∴∠BCE＝∠CDH，∴∠BCE＝∠F，∴EC∥AF，∴＝，∴＝，∴CF＝6，故答案为：6．11．（2021•山西）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6，则AB的长为4．解：如图，取AD中点F，连接EF，过点D作DG⊥EF于G，DH⊥BE于H，设BD＝a，∴AD＝3BD＝3a，AB＝4a，∵点E为CD中点，点F为AD中点，CD＝6，∴DF＝a，EF∥AC，DE＝3，∴∠FED＝∠ACD＝45°，∵∠BED＝45°，∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°，∵DG⊥EF，DH⊥BE，∴四边形EHDG是矩形，DG＝DH，∴四边形DGEH是正方形，∴DE＝DG＝3，DH∥EF，∴DG＝DH＝3，∵DH∥EF，∴△BDH∽△BFE，∴，∴＝，∴BH＝2，∴BD＝＝＝，∴AB＝4，故答案为：4．12．（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1．解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，∴OE＝OF＝1，∴OC平分∠BCD，∵四边形ABCD为正方形，∴点O在AC上，∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，故答案为3+1．三．解答题（共18小题）13．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC 的形状，并说明理由；（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，∴CD＝AB＝a．（2）四边形ADFC是菱形．理由如下：如图②∵DF⊥BC于点G，∴∠DGB＝∠ACB＝90°，∴DF∥AC；由折叠得，DF＝DB，∵DB＝AB，∴DF＝AB；∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∴DF＝AC，∴四边形ADFC是平行四边形；∵AD＝AB，∴AD＝DF，∴四边形ADFC是菱形．（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°；由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠BDE＝∠FDE，∴∠BDE+∠BDE＝270°，∴∠BDE＝135°．综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．14．（2021•长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝4，BD＝8，点E在边AD上，AE＝AD，连结BE交AC于点M．（1）求AM的长．（2）tan∠MBO的值为．解：（1）在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴△AEM∽△CBM，∴＝，∵AE＝AD，∴AE＝BC，∴＝＝，∴AM＝CM＝AC＝1．（2）∵AO＝AC＝2，BO＝BD＝4，AC⊥BD，∴∠BOM＝90°，AM＝OM＝AO＝1，∴tan∠MBO＝＝．故答案为：．15．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB ﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P 作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．解：（1）如图，在Rt△PDQ中，AD＝，∠PQD＝60°，∴tan60°＝＝，∴DQ＝AD＝1．（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．（3）当0≤x≤3时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD于点N，同（1）可得MQ＝AD＝1．∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝x+1，当x+1＝3时x＝2，∴0≤x≤2时，点Q在DC上，∵tan∠BDC＝＝，∴∠DBC＝30°，∵∠PQD＝60°，∴∠DEQ＝90°．∵sin30°＝＝，∴EQ＝DQ＝，∵sin60°＝＝，∴EN＝EQ＝（x+1），∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2），∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝x2﹣2x+2，∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝﹣x2+x﹣（2＜x≤3）．当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝4﹣x，∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．综上所述，y＝16．（2021•长春）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，则∠EAF＝45度．操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N．我们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同．当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则∠AEF＝60度．在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM与NF的交点为点P．求证：△ANP≌△FNE；（2）若AB＝，则线段AP的长为2﹣2．操作一：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠BAD＝90°，由折叠的性质得：∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD＝45°，即∠EAF＝45°，故答案为：45；操作二：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得：∠NFE＝∠CFE，∠ENF＝∠C＝90°，∠AFD＝∠AFM，∴∠ANF＝180°﹣90°＝90°，由操作一得：∠EAF＝45°，∴△ANF是等腰直角三角形，∴∠AFN＝45°，∴∠AFD＝∠AFM＝45°+∠NFE，∴2（45°+∠NFE）+∠CFE＝180°，∴∠NFE＝∠CFE＝30°，∴∠AEF＝90°﹣30°＝60°，故答案为：60；（1）证明：∵△ANF是等腰直角三角形，∴AN＝FN，∵∠AMF＝∠ANF＝90°，∠APN＝∠FPM，∴∠NAP＝∠NFE＝30°，在△ANP和△FNE中，，∴△ANP≌△FNE（ASA）；（2）由（1）得：△ANP≌△FNE，∴AP＝FE，PN＝EN，∵∠NFE＝∠CFE＝30°，∠ENF＝∠C＝90°，∴∠NEF＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝60°，∵∠B＝90°，∴∠BAE＝30°，∴BE＝AB＝1，∴AE＝2BE＝2，设PN＝EN＝a，∵∠ANP＝90°，∠NAP＝30°，∴AN＝PN＝a，AP＝2PN＝2a，∵AN+EN＝AE，∴a+a＝2，解得：a＝﹣1，∴AP＝2a＝2﹣2，故答案为：2﹣2．17．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是的中点，过点D作EF//BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求线段DM的长．解：（1）证明：连接OD，如图，∵点D是的中点，∴，∴OD⊥BC，∵BC∥EF，∴OD⊥EF，∴EF为⊙O的切线；（2）设BC、AD交于点N，∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴，∴DN＝，∵点D是的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2，∵∠ABC的平分线BM交AD于点M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．18．（2021•长春）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，点D为边AC的中点．动点P 从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时，连结PD．作点A关于直线PD的对称点A′，连结A′D、A′A．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为2；（2）用含t的代数式表示线段BP的长；（3）当点A′在△ABC内部时，求t的取值范围；（4）当∠AA′D与∠B相等时，直接写出t的值．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，∴AD＝AC＝2．故答案为：2．（2）当0＜t≤5时，点P在线段AB上运动，PB＝AB﹣AP＝5﹣t，当5＜t＜8时，点P在BC上运动，PB＝t﹣5．综上所述，PB＝．（3）如图，当点A'落在AB上时，DP⊥AB，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当点A'落在BC边上时，DP⊥AC，∵AP＝t，AD＝2，cos A＝，∴在Rt△APD中，cos A＝＝＝，∴t＝．如图，点A'运动轨迹为以D为圆心，AD长为半径的圆上，∴＜t＜时，点A'在△ABC内部．（4）如图，0＜t＜5时，∵∠AA'D＝∠B＝∠A'AD，∠ADP+∠A'AD＝∠BAC+∠B＝90°，∴∠ADP＝∠BAC，∴AE＝AD＝1，∵cos A＝＝＝，∴t＝．如图，当5＜t＜8时，∵∠AA'B＝∠B＝∠A'AD，∠BAC+∠B＝90°，∴∠BAC+∠A'AD＝90°，∴PE∥BA，∴∠DPC＝∠B，∵在Rt△PCD中，CD＝＝2，CP＝8﹣t，tan∠DPC＝，∴tan∠DPC＝＝＝，∴t＝．综上所述，t＝或．19．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．（1）证明：连接OB，如图1，∵直线MN与⊙O相切于点D，∴OD⊥MN，∵BC∥MN，∴OD⊥BC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BAC＝∠COD；（2）∵E是OD的中点，∴OE＝DE＝2，在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝2，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴AB＝＝＝4，在Rt△ABE中，AE＝＝＝2．20．（2021•丹东）已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S1，△NGC 的面积为S2，△MEN的面积为S3．（1）如图（1），当四边形EFBG为正方形时，①求证：△AFM≌△CGN；②求证：S3＝S1+S2．（2）如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S1，S2，S3三者之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．解：（1）①在正方形ABCD和正方形EFBG中，AB＝CB，BF＝BG，∠F AM＝∠GCN＝45°，∠AFM＝∠CGN＝90°，∴AB﹣BF＝CB﹣BG，即AF＝CG，∴△AFM≌△CGN（ASA）②如图1，连接BD，则BD过点E，且BD⊥AC，∠ABD＝∠CBD＝45°，由①知△AFM≌△CGN，∴AM＝CN，∵∠BAM＝∠BCN，AB＝BC，∴△ABM≅△CBN（SAS），∴BM＝BN，∠ABM＝∠CBN，∵∠MBN＝45°＝∠ABD，∴∠FBM+∠MBO＝∠MBO+∠OBN，∴∠FBM＝∠OBN，∵∠BFM＝∠BON＝90°，∴△FBM≅△OBN（AAS），∴FM＝ON，∵∠AFM＝∠EON＝90°，∠F AM＝∠OEN＝45°，∴△AFM≅△EON（AAS），同理△CGN≌△EOM（AAS），∴S△EOM＝S△CGN，S△EON＝S△AFM，∵S3＝S△MEN＝S△EOM+S△EON＝S△CGN+S△AFM，∴S3＝S1+S2．（2）S3＝S1+S2，理由如下：如图2，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是正方形，四边形EFBG为矩形，∴BD⊥AC，∠BFM＝∠BON＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，AC＝BD＝2OB，∵∠MBN＝45°，∠FBM＝∠OBN＝45°﹣∠MBO，∴△FBM∽△OBN，∴，同理△BOM∽△BGN，∴，∴，∴OB2＝BF⋅BG，∵，S矩形EFBG＝BF⋅BG，∴S矩形EFBG＝S△ABC，∴S1+S2＝S△ABC﹣S五边形MFBGN，S3＝S矩形EFBG﹣S五边形MFBGN，∴S3＝S1+S2．（3）根据题意可设BG＝mx，GC＝nx，AB＝BC＝（m+n）x，∴，即，∴BF＝＝＝，∴，∴AF：BF＝：＝（m﹣n）：（m+n）．21．（2021•大连）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P、Q均从点B出发，点P以2个单位每秒的速度沿BA﹣AC的方向运动，点Q以1个单位每秒的速度沿BC﹣CD运动，设运动时间为t秒．（1）求AC的长；（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的解析式．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝，∴AC的长为5；（2）当0＜t≤1.5时，如图，S＝；当1.5＜t≤4时，如图，作PH⊥BC于H，∴CP＝8﹣2t，∵sin∠BCA＝，∴，∴，∴S＝＝﹣；当4＜t≤7时，如图，点P与点C重合，S＝．综上所述：S＝．22．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．23．（2021•大连）已知AB＝BD，AE＝EF，∠ABD＝∠AEF．（1）找出与∠DBF相等的角并证明；（2）求证：∠BFD＝∠AFB；（3）AF＝kDF，∠EDF+∠MDF＝180°，求．解：（1）如图1，∠BAE＝∠DBF，证明：∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD，∠ABD＝∠AEF，∴∠DBF+∠ABF＝∠AEF，∵∠AEF＝∠BAE+∠ABF，∴∠BAE+∠ABF＝∠DBF+∠ABF，∴∠BAE＝∠DBF．（2）证明：如图2，连接AD交BF于点G，∵AB＝BD，AE＝EF，∴，∵∠ABD＝∠AEF，∴△ABD∽△AEF，∴∠BDG＝∠AFB，∵∠BGD＝∠AGF，∴△BGD∽△AGF，∴，∴，∵∠AGB＝∠FGD，∴△AGB∽△FGD，∴∠BAD＝∠BFD，∵∠BAD＝∠BDG＝∠AFB，∴∠BFD＝∠AFB．（3）如图3，作点D关于直线BF的对称点D′，连接MD′、DD′，作EH∥MD′交AC于点H，则BF垂直平分DD′，∴D′F＝DF，D′M＝DM，∵MF＝MF，∴△D′MF≌△DMF，∴∠EHF＝∠MD′F＝∠MDF，∵∠EDF+∠MDF＝180°，∠EHA+∠EHF＝180°，∴∠EDF＝∠EHA，∵∠EFD＝∠AFB＝∠EAH，EF＝AE，∴△EFD≌△EAH（AAS），∴DF＝AH，∵，D′F＝DF，∴，∵AF＝kDF，∴，∴．24．（2021•本溪）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．证明：（1）连接OE，∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵BF＝EF，∴∠B＝∠BEF，∵∠OAE＝∠BAC，∴∠OEA＝∠BAC，∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：连接DE，∵OC＝9，AC＝4，∴OA＝OC﹣AC＝5，∵AD＝2OA，∴AD＝10，∵AD是⊙O的直径，∴∠AED＝90°，在Rt△ADE中，∵DE＝＝＝6，∴cos∠DAE＝＝＝，在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，∵∠BAC＝∠DAE，∴＝，∴AB＝5，∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵EF是⊙O的切线，∴∠FEO＝90°，∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，∴∠FEB＝∠OED，∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，∴△FBE∽△ODE，∴＝，∴＝，∴BF＝．25．（2021•营口）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，DE＝DF，∠EDF＝90°，D为BC边中点，连接AF，且A、F、E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，CE．（1）求证：AF＝CE；（2）猜想CE，BF，BC之间的数量关系，并证明；（3）若CH＝2，AH＝4，请直接写出线段AC，AE的长．（1）证明：连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADF＝∠CDE，∵DF＝DE，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴AF＝CE．（2）结论：CE2+BF2＝BC2．理由：∵△ABC，△DEF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠DFE＝∠DEF＝45°，∵△ADF≌△CDE（SAS），∴∠AFD＝∠DEC＝135°，∠DAF＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ACD＝45°，∴∠BAD+∠DAF＝∠ACD+∠DCE，∴∠BAF＝∠ACE，∵AB＝CA，AF＝CE，∴△BAF≌△ACE（SAS），∴BF＝AE，∵∠AEC＝∠DEC﹣∠DEF＝135°﹣45°＝90°，∴AE2+CE2＝AC2，∴BF2+CE2＝BC2．（3）解：设EH＝m．∵∠ADH＝∠CEH＝90°，∠AHD＝∠CHE，∴△ADH∽△CEH，∴＝＝＝＝2，∴DH＝2m，∴AD＝CD＝2m+2，∴EC＝m+1，在Rt△CEH中，CH2＝EH2+CE2，∴22＝m2+（m+1）2，∴2m2+2m﹣3＝0，∴m＝或（舍弃），∴AE＝AH+EH＝，∴AD＝1+，∴AC＝AD＝+．26．（2021•本溪）在▱ABCD中，∠BAD＝α，DE平分∠ADC，交对角线AC于点G，交射线AB于点E，将线段EB绕点E顺时针旋转α得线段EP．（1）如图1，当α＝120°时，连接AP，请直接写出线段AP和线段AC的数量关系；（2）如图2，当α＝90°时，过点B作BF⊥EP于点，连接AF，请写出线段AF，AB，AD之间的数量关系，并说明理由；（3）当α＝120°时，连接AP，若BE＝AB，请直接写出△APE与△CDG面积的比值．解：（1）方法一：如图1，连接PB，PC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，由旋转知：EP＝EB，∴△BPE是等边三角形，∴BP＝EP，∠EBP＝∠BPE＝60°，∴∠CBP＝∠ABC+∠EBP＝120°，∵∠AEP＝180°﹣∠BEP＝120°，∴∠AEP＝∠CBP，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∴△APE≌△CPB（SAS），∴AP＝CP，∠APE＝∠CPB，∴∠APE+∠CPE＝∠CPB+∠CPE，即∠APC＝∠BPE＝60°，∴△APC是等边三角形，∴AP＝AC；方法二：如图1，延长PE交CD于点Q，连接AQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∵α＝120°，即∠BAD＝120°，∴∠B＝∠ADC＝60°，∴∠BEP＝60°＝∠B，∴PE∥BC∥AD，∴四边形ADQE和四边形BCQE是平行四边形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝30°，∴∠AED＝∠CDE＝30°＝∠ADE，∴AD＝AE，∴四边形ADQE是菱形，∴∠EAQ＝∠AEQ＝60°，∴△AEQ是等边三角形，∴AE＝AQ，∠AQE＝60°，∵四边形BCQE是平行四边形，∴PE＝BE＝CQ，∠B＝∠CQE＝60°，∵∠AEP＝120°，∠AQC＝∠AQE+∠CQE＝120°，∴∠AEP＝∠AQC，∴△AEP≌△AQC（SAS），∴AP＝AC；（2）AB2+AD2＝2AF2，理由：如图2，连接CF，在▱ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AD＝AE，∴AE＝BC，∵BF⊥EP，∴∠BFE＝90°，∵∠BEF＝α＝∠BAD＝×90°＝45°，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴BF＝EF，∵∠FBC＝∠FBE+∠ABC＝45°+90°＝135°，∠AEF＝180°﹣∠FEB＝135°，∴∠CBF＝∠AEF，∴△BCF≌△EAF（SAS），∴CF＝AF，∠CFB＝∠AFE，∴∠AFC＝∠AFE+∠CFE＝∠CFB+∠CFE＝∠BFE＝90°，∴∠ACF＝∠CAF＝45°，∵sin∠ACF＝，∴AC＝＝＝＝AF，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+AD2＝2AF2；（3）方法一：由（1）知，BC＝AD＝AE＝AB﹣BE，∵BE＝AB，AB＝CD，∴AB＝CD＝2BE，设BE＝a，则PE＝AD＝AE＝a，AB＝CD＝2a，①当点E在AB上时，如图3，过点G作GM⊥AD于点M，作GN⊥CD于点N，过点C作CK⊥AD于点K，过点A作AH⊥PE的延长线于点H，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，GM⊥AD，GN⊥CD，∴GM＝GN，∵S△ACD＝AD•CK＝a•2a•sin60°＝a2，＝＝＝＝2，∴S△CDG＝2S△ADG，∴S△CDG＝S△ACD＝a2，由（1）知PE∥BC，∴∠AEH＝∠B＝60°，∵∠H＝90°，∴AH＝AE•sin60°＝a，∴S△APE＝PE•AH＝a•a＝a2，∴＝＝．②如图4，当点E在AB延长线上时，由①同理可得：S△CDG＝•S△ACD＝××2a××3a＝a2，S△APE＝PH•AE＝×a×3a＝a2，∴＝＝，综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．方法二：如图3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴△AEG∽△CDG，∴＝（）2，＝，①当点E在AB上时，∵BE＝AB，∴AE＝BE＝AB＝CD，∴＝（）2＝，又∵＝＝，∴＝，即＝3，∴＝＝3，当α＝120°时，∠B＝∠ADC＝60°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠BAD﹣∠ADE＝30°＝∠ADE，∴AE＝AD，∵EP＝EB＝AE，EP∥AD，∴EP＝AD＝AE，∠AEP＝∠DAE＝120°，∴△AED≌△EAP（SAS），∴S△AED＝S△EAP，∴＝•＝•＝3×＝；②如图4，当点E在AB延长线上时，∵BE＝AB，∴AE＝AB＝CD，由①知，AD＝AE＝CD，∵EP＝BE＝AE＝AD，EP∥AD，∴＝＝，∵＝＝，∴＝，∴＝＝，∵＝（）2＝（）2＝，∴＝••＝××＝；综上所述，△APE与△CDG面积的比值为或．27．（2021•山西）阅读与思考请阅读下列科普材料，并完成相应的任务．图算法图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量．比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温度之间的关系：F＝C+32得出，当C＝10时，F＝50．但是如果你的温度计上有华氏温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是图算法．再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值．图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式进行计算的测量制图人员，往往更能体会到它的优越性．任务：（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：①用公式计算：当R1＝7.5，R2＝5时，R的值为多少；②如图，在△AOB中，∠AOB＝120°，OC是△AOB的角平分线，OA＝7.5，OB＝5，用你所学的几何知识求线段OC的长．解：（1）图算法方便、直观，不用公式计算即可得出结果；（答案不唯一）．（2）①当R1＝7.5，R2＝5时，，∴R＝3．②过点A作AM∥CO，交BO的延长线于点M，如图∵OC是∠AOB的角平分线，∴∠COB＝∠COA＝∠AOB＝×120°＝60°．∵AM∥CO，∴∠MAO＝∠AOC＝60°，∠M＝∠COB＝60°．∴∠MAO＝∠M＝60°．∴OA＝OM．∴△OAM为等边三角形．∴OM＝OA＝AM＝7.5．∵AM∥CO，∴△BCO∽△BAM．∴．∴．∴OC＝3．综上，通过计算验证第二个例子中图算法是正确的．28．（2021•陕西）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．（1）证明：取的中点M，连接OM、OF，∵＝2，∴＝＝，∴∠COB＝∠BOF，∵∠A＝∠BOF，∴∠COB＝∠A；（2）解：连接BF，如图，∵CD为⊙O的切线，∴AB⊥CD，∴∠OBC＝∠ABD＝90°，∵∠COB＝∠A，∴△OBC∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8，29．（2021•山西）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F 为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．解：（1）结论：EF＝BF．理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∴BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF．（2）结论：AG＝BG．理由：如图②中，连接CC′．∵△BFC′是由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB．（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．∵S平行四边形ABCD＝AB•DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B﹣BH＝5﹣4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM﹣S△NHA′＝﹣×1×2＝．30．（2021•陕西）问题提出（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）问题解决（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）如图1，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，过点E作EG⊥CH于G，∴∠H＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8，AB∥CD，∴∠ADH＝∠BAD＝45°，在Rt△ADH中，AD＝6，（2）存在，如图2，分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米，∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）＝4（x﹣350）2+470000，∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．。

2021年中考数学压轴题专项训练三角形含解析2

20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：2021年中考数学压轴题专项训练《三角形》1．已知，△ABC是等边三角形，过点C作CD∥AB，且CD＝AB，连接BD交AC于点O．（1）如图1，求证：AC垂直平分BD；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND＝NM，连接BN．求证：NB ＝NM．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵CD∥AB，且CD＝AB，∴CD＝CA＝BC，∠ACD＝∠ACB＝60°，∴BO＝DO，CO⊥BD，∴AC垂直平分BD；（2）由（1）知AC垂直平分BD，∴NB＝ND，∵ND＝NM，∴NB＝NM．2．等腰Rt△ABC，点D为斜边AB上的中点，点E在线段BD上，连结CD，CE，作AH⊥CE，垂足为H，交CD于点G，AH的延长线交BC于点F．（1）求证：△ADG≌△CDE．（2）若点H恰好为CE的中点，求证：∠CGF＝∠CFG．证明：（1）在等腰Rt△ABC中，∵点D为斜边AB上的中点，∴CD＝AB，CD⊥AB，∵AD＝AB，∴AD＝CD，∵CD⊥AB，∴∠ADG＝∠CDE＝90°，∵AH⊥CE，∴∠CGH+∠GCH＝90°，∵∠AGD+∠GAD＝90°，又∵∠AGD＝∠CGH，∴∠GAD＝∠GCH，在△△ADG和△CDE中∵∠ADG＝∠CDE＝90°，AD＝CD，∠GAD＝∠GCH∴△ADG≌△CDE（ASA），（2）∵AH⊥CE，点H为CE的中点，∴AC＝AE，∴∠CAH＝∠EAH，∵∠CAH+∠AFC＝90°，∠EAH+∠AGD＝90°，∴∠AFC＝∠AGD，∵∠AGD＝∠CGH，∴∠AFC＝∠CGH，即∠CGF＝∠CFG．3．如图，在△ABC中，AD⊥BC且BD＝DE，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E．（1）若∠BAE＝32°，求∠C的度数；（2）若AC＝6cm，DC＝5cm，求△ABC的周长．解：（1）∵AD⊥BC，BD＝DE，EF垂直平分AC∴AB＝AE＝EC∴∠C＝∠CAE，∵∠BAE＝32°∴∠AED＝（180°﹣32°）＝74°；∴∠C＝∠AED＝37°；（2）由（1）知：AE＝EC＝AB，∵BD＝DE，∴AB+BD＝EC+DE＝DC，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC，＝AB+BD+DC+AC，＝2DC+AC＝2×5+6＝16（cm）．4．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D．（1）求证：∠AOB＝90°+∠C；（2）求证：AE+BF＝EF；（3）若OD＝a，CE+CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝ab（直接写出结果）．证明：（1）∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，∴，，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝＝＝＝（2）∵EF∥AB，∴∠OAB＝∠AOE，∠ABO＝∠BOF又∠OAB＝∠EAO，∠OBA＝∠OBF，∴∠AOE＝∠EAO，∠BOF＝∠OBF，∴AE＝OE，BF＝OF，∴EF＝OE+OF＝AE+BF；（3）∵点O在∠ACB的平分线上，∴点O到AC的距离等于OD，∴S△CEF＝（CE+CF）•OD＝•2b•a＝ab，故答案为：ab．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：BD＝CD．（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．（1）证明：如图，连接AD．∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD．又∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：∵弧DE＝50°，∴∠EOD＝50°．∴∠DAE＝∠DOE＝25°．∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABD＝65°．（3）∵BC＝8，BD＝CD，∴BD＝4．设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴BD2＝BF•AB，即42＝x•2x．解得x＝4．∴OB＝OD＝BD＝4，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD＝60°．∴弧BD的长是：＝．7．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②思路二的辅助线的作法是：作BG＝BF交AD的延长线于点G．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，，∴△A DC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．8．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．9．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD＝BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM ＝30 度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DC E＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．10．数学课上，王老师出示了如下框中的题目．小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论：在等边三角形ABC中，当点E为AB的中点时，点D在CB点延长线上，且ED＝EC；如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论AE ＝DB；（2）特例启发，解答题目王老师给出的题目中，AE与DB的大小关系是：AE＝DB．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在△ABC中，AB＝BC＝AC＝1；点E在AB的延长线上，AE＝2；点D在CB的延长线上，ED ＝EC，如图3，请直接写CD的长1或3 ．解：（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD，故答案为：＝；（2）解答过程如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ACB＝∠ABC＝60°，△AEF为等边三角形，∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠ECB，∠ECB＝∠FEC，∴∠EDB＝∠FEC，在△BDE和△FEC中，∴△BDE≌△FEC（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD．故答案为：AE＝DB．（3）解：分为四种情况：如图3，∵AB＝AC＝1，AE＝2，∴B是AE的中点，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝1，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），∴∠ACE＝90°，∠AEC＝30°，∴∠D＝∠ECB＝∠BEC＝30°，∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠DEB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即△DEB是直角三角形．∴BD＝2BE＝2（30°所对的直角边等于斜边的一半），即CD＝1+2＝3．如图4，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，∵等边三角形ABC，EC＝ED，∴BN＝CN＝BC＝，CM＝MD＝CD，AN∥EM，∴△BAN∽△BEM，∴，∵△ABC边长是1，AE＝2，∴，∴MN＝1，∴CM＝MN﹣CN＝1﹣＝，∴CD＝2CM＝1；如图5，∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC＝120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，∴此时不存在EC＝ED；如图6，∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，又∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ECD＞∠EDC，即此时ED≠EC，∴此时情况不存在，答：CD的长是3或1．故答案为：1或3．11．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB+AC＝BD，∴AE+AC＝BD，即CE＝BD．∴CE＝DE．∴∠C＝∠BDE＝2∠ADC．∴△ADC是倍角三角形．12．如图，在平面直角坐标系中，OA＝OB，AC＝CD，已知两点A（4，0），C（0，7），点D 在第一象限内，∠DCA＝90°，点B在线段OC上，AB的延长线与DC的延长线交于点M，AC与BD交于点N．（1）点B的坐标为：（0，4）；（2）求点D的坐标；（3）求证：CM＝CN．解：（1）∵A（4，0），∴OA＝OB＝4，∴B（0，4），故答案为：（0，4）．（2）∵C（0，7），∴OC＝7，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，∴∠DEC＝∠AOC＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠ECD+∠BCA＝∠ECD+∠EDC＝90°∴∠BCA＝∠EDC，∴△DEC≌△COA（AAS），∴DE＝OC＝7，EC＝OA＝4，∴OE＝OC+EC＝11，∴D（7，11）；（3）证明：∵BE＝OE﹣OB＝11﹣4＝7 ∴BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠DBE＝45°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝45°，∴∠DBA＝90°，∴∠BAN+∠ANB＝90°，∵∠DCA＝90°，∴∠CDN+∠DNC＝90°，∵∠DNC＝∠ANB，∴∠CDN＝∠BAN，∵∠DCA＝90°，∴∠ACM＝∠DCN＝90°，∴△DCN≌△ACM（ASA），∴CM＝CN．13．如图，在△ABC中，BD⊥AC，垂足为C，且∠A＜∠C，点E是一动点，其在BC上移动，连接DE，并过点E作EF⊥DE，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于点G．（1）请同学们根据以上提示，在上图基础上补全示意图．（2）当△ABD与△FDE全等，且AD＝FE，∠A＝30°，∠AFD＝40°，求∠C的度数．解：（1）补全示意图如图所示，（2）∵DE⊥EF，BD⊥AC，∴∠DEF＝∠ADB＝90°．∵△ABD与△DEF全等，∴AB＝DF，又∵AD＝FE，∴∠ABD＝∠FDE，∴BD＝DE．在Rt△ABD中，∠ABD＝90°﹣∠A＝60°．∴∠FDE＝60°．∵∠ABD＝∠BDF+∠AFD，∵∠AFD＝40°，∴∠BDF＝20°．∴∠BDE＝∠BDF+∠FDE＝20°+60°＝80°．∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠BED＝（180°﹣∠BDE）＝50°．在Rt△BDC中，∠C＝90°﹣∠DBE＝90°﹣50°＝40°．14．如图．CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在边BC上，以D为顶点，DA为一条边作∠ADF＝60°，另一边交射线CP于F．（1）求证．AD＝FD；（2）若AB＝2，BD＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式；（3）联结AF，当△ADF的面积为时，求BD的长．证明：（1）如图1，连接AF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACE＝120°，∵CP平分∠ACE，∴∠ACP＝∠PCE＝60°，∴∠ADF＝∠ACP＝60°，∴A、D、C、F四点共圆，∴∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，∴∠DAF＝60°，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝FD；（2）如图2，过点A作AH⊥BC，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，AB＝2，∴BH＝1，AH＝BH＝，∴HD＝BD﹣BH＝x﹣1，∵DF＝＝，∴y＝（3）∵△ADF是等边三角形，且△ADF的面积为，∴DF2＝，∴DF2＝＝x2﹣2x+4∴x＝∴BD＝或15．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边的中点，以D为顶点作一个120°的角，角的两边分别交直线AB、直线AC于M、N两点．以点D为中心旋转∠MDN（∠MDN的度数不变），当DM与AB垂直时（如图①所示），易证BM+CN＝BD．（1）如图②，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC上时，BM+CN＝BD是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图③，当DM与AB不垂直，点M在边AB上，点N在边AC的延长线上时，BM+CN ＝BD是否仍然成立？若不成立，请写出BM，CN，BD之间的数量关系，不用证明．解：（1）结论BM+CN＝BD成立，理由如下：如图②，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下：如图③，过点D作DE∥AC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠NCD＝120°，∵DE∥AC，∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°，∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°，∴△BDE是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°，∴∠CDN＝∠EDM，∵D是BC边的中点，∴DE＝BD＝CD，在△CDN和△EDM中，，∴△CDN≌△EDM（ASA），∴CN＝EM，∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN，∴BM﹣CN＝BD．。

2021年中考数学二次函数压轴题专练2

压轴题综合练：《二次函数》1．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x＝，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q 为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）2．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；（3）已知点M（2﹣，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．3．（2020•随州）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系如下表：第x天 1 2 3 4 5 销售价格p（元/只）2 3 4 5 6销量q（只）70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x天的关系为q＝﹣2x2+80x﹣200 （6≤x≤30，且x为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格p与x和销量q与x之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W（元）与x的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m的取值范围为．4．（2020•荆州）如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB 和半圆O于E，D，连接OB，CD．（1）求证：BC是半圆O的切线；（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．①求此抛物线的解析式；②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．5．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2020•黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．7．（2020•恩施州）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y＝﹣x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC＝（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．8．（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y 轴交于点C（0，3）．顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE ：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（4）已知点H（0，），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2020•十堰）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB ＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2020•十堰）某企业接到生产一批设备的订单，要求不超过12天完成．这种设备的出厂价为1200元/台，该企业第一天生产22台设备，第二天开始，每天比前一天多生产2台．若干天后，每台设备的生产成本将会增加，设第x 天（x 为整数）的生产成本为m （元/台），m 与x 的关系如图所示．（1）若第x 天可以生产这种设备y 台，则y 与x 的函数关系式为，x 的取值范围为；（2）第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润为多少？（3）求当天销售利润低于10800元的天数．11．（2020•湖北）把抛物线C 1：y ＝x 2+2x +3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C 2．（1）直接写出抛物线C 2的函数关系式；（2）动点P （a ，﹣6）能否在抛物线C 2上？请说明理由；（3）若点A （m ，y 1），B （n ，y 2）都在抛物线C 2上，且m ＜n ＜0，比较y 1，y 2的大小，并说明理由．12．（2020•荆门）2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x 为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ＝，销售量y（千克）与x之间的关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）13．（2020•荆门）如图，抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L：y＝x2﹣x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．14．（2020•武汉）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．（1）求a，b的值；（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．15．（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N（n，0）（0＜n＜）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？16．（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：x（元/件） 4 5 6y（件）10000 9500 9000（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．17．（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A，B，C，D；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．18．（2020•武汉）将抛物线C ：y ＝（x ﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C 1，再将抛物线C 1向左平移2个单位长度得到抛物线C 2．（1）直接写出抛物线C 1，C 2的解析式；（2）如图（1），点A 在抛物线C 1（对称轴l 右侧）上，点B 在对称轴l 上，△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；（3）如图（2），直线y ＝kx （k ≠0，k 为常数）与抛物线C 2交于E ，F 两点，M 为线段EF 的中点；直线y ＝﹣x 与抛物线C 2交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．19．（2020•襄阳）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，点C，且交x轴于另一点B．（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．参考答案1．解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+1，令y＝0，可得x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝﹣1或4，∴A（﹣1，0），令y＝0，得到x＝1，∴C（0，1），∴OA＝OC＝1，∴∠CAO＝45°．（2）如图1中，过点C作CE⊥OA于E，过点D作DF⊥AB于F．∵∠NEM＝∠DFM＝∠NMD＝90°，∴∠NME+∠DMF＝90°，∠DMF+∠MDF＝90°，∴∠NME＝∠MDF，∵NM＝DM，∴△MEN≌△DFM（AAS），∴NE＝MF，EM＝DF，∵∠CAO＝45°，AN＝t，AM＝3t，∴AE＝EN＝t，∴EM＝AM﹣AE＝2t，∴DF＝2t，MF＝t，OF＝4t﹣1，∴D（4t﹣1，2t），∴﹣（4t﹣1）2+（4t﹣1）+1＝2t，∵t＞0，故可以解得t＝，经检验，t＝时，M，N均没有达到终点，符合题意，∴D（2，）．（3）如图3﹣1中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠MDB时，取E（，0），连接EC，过点E作EG⊥EC交PC于G，∵M（，0），D（2，），B（4，0）∴FM＝2﹣＝，DM＝，BM＝，BD＝，∴DF＝2MF，∵OC＝2OE，∴tan∠OCE＝tan∠MDF＝，∴∠OCE＝∠MDF，∴∠OCP＝∠MDB，∴∠ECG＝∠FDB，∴tan∠ECG＝tan∠FDB＝，∵EC＝，∴EG＝，可得G（，），∴直线CP的解析式为y＝﹣x+1，由，解得或，∴P（，），C（0，1），∴PC＝，当＝或＝时，△QCP与△MDB相似，可得CQ＝或，∴Q（0，﹣）或（0，﹣）．如图3﹣2中，当点Q在点C的下方，点P在y的右侧，∠QCP＝∠DMB时，设PC交x轴于k．∵tan∠OCK＝tan∠DMB＝2，∴OK＝2OC＝2，∴点K与F重合，∴直线PC的解析式为y＝﹣x+1，由，解得或，∴P （5，﹣）， ∴PC ＝，当＝或＝时，△QCP 与△MDB 相似，可得CQ ＝或， ∴Q （0，﹣）或（0，﹣）．当点Q 在点C 的下方，点P 在y 的右侧，∠QCP ＝∠DBM 时，同法可得P （，﹣），Q （0，﹣）或（0，），当点Q 在点C 上方，∠QCP ＝∠DMB 时，同法可得P （1，），Q （0，）或（0，），当点Q 在点C 上方，∠QCP ＝∠MDB 时，同法可得P （，），Q （0，）或（0，），当点Q 在点C 下方，点P 在y 轴的左侧时，∠QCP ＝∠DBM 时，同法可得P （﹣，﹣），Q （0，﹣）或（0，﹣）．2．解：（1）把A （﹣3.1）代入y ＝﹣x 2+kx ﹣2k ，得﹣9﹣3k ﹣2k ＝1．解得k ＝﹣2，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +4；（2）如图1，设C （t ，﹣t 2﹣2t +4），则E （t ，﹣﹣t +2），设直线AB 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣3，1），（0，4）代入得到，，解得，∴直线AB 的解析式为y ＝x +4，∵E （t ，﹣﹣t +2）在直线AB 上， ∴﹣﹣t +2＝t +4，解得t 1＝t 2＝﹣2，∴C（﹣2，4）．（3）由y＝﹣x2+kx﹣2k＝k（x﹣2）﹣x2，当x﹣2＝0时，x＝2，y＝﹣4，∴无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，﹣4），二次函数的顶点N（，﹣2k），①如图2中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G，若＞2时，则k＞4，∵M（2﹣，0），H（2，﹣4），∴MI＝，HI＝4，∴tan∠MHI＝＝，∴∠MHI＝30°，∵∠MHN＝60°，∴∠NHI＝30°，即∠GNH＝30°，由图可知，tan∠GNH＝＝＝，解得k＝4+2或4（不合题意舍弃）．②如图3中，过点H作HI⊥x轴于I，分别过H，N作y轴，x轴的垂线交于点G．若＜2，则k＜4，同理可得，∠MHI＝30°，∵∠MHN＝60°，∴NH⊥HI，即﹣2k═﹣4，解得k＝4（不符合题意舍弃）．③若＝2，则N，H重合，不符合题意舍弃，综上所述，抛物线的解析式为y＝﹣x2+（4+2）x﹣（8+4）．3．解：（1）根据表格数据可知：前5天的某型号口罩销售价格p（元/只）和销量q（只）与第x天的关系为：p＝x+1，1≤x≤5且x为整数；q＝5x+65，1≤x≤5且x为整数；（2）当1≤x≤5且x为整数时，W＝（x+1﹣0.5）（5x+65）＝5x2+x+；当6≤x≤30且x为整数时，W＝（1﹣0.5）（﹣2x2+80x﹣200）＝﹣x2+40x﹣100．即有W＝，当1≤x≤5且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，故当x＝5时，W有最大值为：495元；当6≤x≤30且x为整数时，W═﹣x2+40x﹣100＝﹣（x﹣20）2+300，故当x＝20时，W有最大值为：300元；由495＞300，可知：第5天时利润最大为495元．（3）根据题意可知：获得的正常利润之外的非法所得部分为：（2﹣1）×70+（3﹣1）×75+（4﹣1）×80+（5﹣1）×85+（6﹣1）×90＝1250（元），∴1250m≥2000，解得m≥．则m的取值范围为m≥．故答案为：m≥．4．（1）证明：如图1，设AB与y轴交于M，∵A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），∴AB∥x轴，且AM＝2，OM＝1，AB＝5，∴OA＝OC＝，∵DE∥BC，O是AC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴AE＝AB，BC＝2OE，∴E（，﹣1），∴EM＝，∴OE＝＝＝，∴BC＝2OE＝，在△ABC中，∵＝25，AB2＝52＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵AC为半圆O的直径，∴BC是半圆O的切线；（2）解：四边形OBCD是平行四边形，理由是：如图1，由（1）得：BC＝OD＝OA＝，∵OD∥BC，∴四边形OBCD是平行四边形；（3）解：①如图2，由（1）知：OD＝OA＝，E是AB的中点，且E（，﹣1），OE ＝，过D作DN⊥y轴于N，则DN∥EM，∴△ODN∽△OEM，∴，即，∴ON＝2，DN＝1，∴D（﹣1，2），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣）2﹣1，把D（﹣1，2）代入得：2＝a（﹣1﹣）2﹣1，解得：a＝，∴此抛物线的解析式为：y＝（x﹣）2﹣1，即y＝；②存在，过D作DG⊥EP于G，设Q的横坐标为x，∵DG＝1+＝，EG＝2+1＝3，∴DE＝＝＝，tan∠DEG＝＝，∵tan∠OAM＝，且∠DEG和∠OAM都是锐角，∴∠DEG＝∠OAM，如图3，当△EPD∽△AOB时，，即，∴EP＝，∵S△AOB＝＝，∵S△EPQ ＝S△OAB，∴＝，即，解得：x＝或﹣；如图4，当△OAB∽△DEP时，，即，∴EP＝，同理得：，解得：x＝或﹣；综上，存在符合条件的点Q，Q点的横坐标为或﹣或或﹣．5．解：（1）针对于直线y＝x﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，∴C（0，﹣2），令y＝0，则0＝x﹣2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，∴m＝﹣2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），即满足条件的m的值为﹣或1或﹣2；②由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，∴x＝﹣1或x＝4，∴点A（﹣1，0），∴OA＝1，∵B（4，0），C（0，﹣2），∴OB＝4，OC＝2，∴，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，∵△PNC与△AOC相似，∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，∴∠PCN＝∠ACO，∴∠PCN＝∠OBC，∴CP∥OB，∴点P的纵坐标为﹣2，∴m2﹣m﹣2＝﹣2，∴m＝0（舍）或m＝3，∴P（3，﹣2）；Ⅱ、当△PNC∽△COA时，∴∠PCN＝∠CAO，∴∠OCB＝∠PCD，∵PD∥OC，∴∠OCB＝∠CDP，∴∠PCD＝∠PDC，∴PC＝PD，由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），∵C（0，﹣2），∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，∴2m﹣m2＝，∴m＝或m＝0（舍），∴P（，﹣），即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．6．解：（1）当y≥4000，即﹣100x+5000≥4000，∴x≤10，∴当6≤x≤10时，w＝（x﹣6+1）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5500x﹣27000，当10＜x≤30时，w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+5600x﹣32000，综上所述：w＝；（2）当6≤x≤10时，w＝﹣100x2+5500x﹣27000＝﹣100（x﹣）2+48625，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝，∴当6≤x≤10时，y随x的增大而增大，即当x＝10时，w最大值＝18000元，当10＜x≤30时，w＝﹣100x2+5600x﹣32000＝﹣100（x﹣28）2+46400，∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，∴当x＝28时，w有最大值为46400元，∵46400＞18000，∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元；（3）∵40000＞18000，∴10＜x≤30，∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，当w＝40000元时，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000，∴x1＝20，x2＝36，∴当20≤x≤36时，w≥40000，又∵10＜x≤30，∴20≤x≤30，此时：日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，∴对称轴为直线x＝﹣＝28+a，∵a＜4，∴28+a＜30，∴当x＝28+a时，日获利的最大值为42100元∴（28+a﹣6﹣a）[﹣100×（28+a）+5000]﹣2000＝42100，∴a1＝2，a2＝86，∵a＜4，∴a＝2．7．解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上，∴，得到6b+c＝9，又∵对称轴为x＝2，∴，解得b＝1，∴c＝3，∴二次函数的解析式为；（2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中：∵抛物线的解析式为，对称轴为x＝2，C（6，0）∴点A（2，0），顶点B（2，4），∴AB＝AC＝4，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠1＝45°；∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°，设点M的坐标为（m，0），∴点F（m，6﹣m），又∵∠2＝45°，∴直线EF与x轴的夹角为45°，∴设直线EF的解析式为y＝x+b，把点F（m，6﹣m）代入得：6﹣m＝m+b，解得：b＝6﹣2m，直线EF的解析式为y＝x+6﹣2m，∵直线EF与抛物线只有一个交点，∴，整理得：，∴△＝b2﹣4ac＝0，解得m＝，点M的坐标为（，0）．当点M在点C的右侧时，如下图：由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线不可能只有一个交点．综上，点M的坐标为（，0）．（3）①当点M在点C的左侧时，如下图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，∵，由（2）知∠BCA＝45°，∴PG＝GC＝1，∴点G（5，0），设点M的坐标为（m，0），∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF，∴EM＝PM，∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°，∴∠HEM＝∠GMP，在△EHM和△MGP中，，∴△EHM≌△MGP（AAS），∴EH＝MG＝5﹣m，HM＝PG＝1，∴点H（m﹣1，0），∴点E的坐标为（m﹣1，5﹣m）；∴EA＝＝，又∵D为线段BC的中点，B（2，4），C（6，0），∴点D（4，2），∴ED＝＝，∴EA＝ED．当点M在点C的右侧时，如下图：同理，点E的坐标仍为（m﹣1，5﹣m），因此EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，把E（m﹣1，5﹣m）代入，整理得：m2﹣10m+13＝0，解得：m＝或m＝，∴CM＝或CM＝．8．解：（1）因为抛物线经过A（﹣1，0），B（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把C（0，3）代入，可得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）如图1中，连接AC，BC．∵S △ACE ：S △CEB ＝3：5，∴AE ：EB ＝3：5，∵AB ＝4，∴AE ＝4×＝，∴OE ＝0.5，设直线CE 的解析式为y ＝kx +b ，则有，解得， ∴直线EC 的解析式为y ＝﹣6x +3．（3）由题意C （0，3），D （1，4）．当四边形P 1Q 1CD ，四边形P 2Q 2CD 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1，当y ＝1时，﹣x 2+2x +3＝1，解得x ＝1±，∴P 1（1+，1），P 2（1﹣，1），当四边形P 3Q 3DC ，四边形P 4Q 4DC 是平行四边形时，点P 的纵坐标为﹣1，当y ＝﹣1时，﹣x 2+2x +3＝﹣1，解得x ＝1±，∴P 1（1+，﹣1），P 2（1﹣，﹣1），综上所述，满足条件的点P 的坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1﹣，﹣1）或（1+，﹣1）．（4）如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF +FH 的值最小．∵H （0，），B （3，0），∴直线BH 的解析式为y ＝﹣x +，∵x ＝1时，y ＝，∴F （1，），设K （x ，y ），作直线y ＝，过点K 作KM ⊥直线y ＝于M ．∵KF ＝，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4，∴（x ﹣1）2＝4﹣y ， ∴KF ＝＝＝|y ﹣|，∵KM ＝|y ﹣|，∴KF ＝KM ，∴KG+KF＝KG+KM，根据垂线段最短可知，当G，K，M共线，且垂直直线y＝时，GK+KM的值最小，最小值为，此时K（2，3）．9．（1）把点A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2﹣2ax+c中，，解得，∴y＝﹣x2+2x+3，当时，y＝4，∴D（1，4）；（2）如图1，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，∴x＝﹣1，或x＝3，∴B（3，0）．设BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点C（0，3），B（3，0）代入，得，解得，∴y＝﹣x+3．∵EF⊥CB．设直线EF的解析式为y＝x+b，设点E的坐标为（m，﹣m2+2m+3），将点E坐标代入y＝x+b中，得b＝﹣m2+m+3，∴y＝x﹣m2+m+3，联立得．∴．∴．把x＝m代入y＝﹣x+3，得y＝﹣m+3，∴G（m，﹣m+3）．∵BG＝CF．∴BG2＝CF2，即．解得m＝2或m＝﹣3．∵点E是BC上方抛物线上的点，∴m＝﹣3，（舍去）．∴点E（2，3），F（1，2），G（2，1），，，∴；（3）如图2，过点A作AN⊥HB于N，∵点D（1，4），B（3，0），∴y DB＝﹣2x+6．∵点A（﹣1，0），点C（0，3），∴y AC＝3x+3，联立得，∴，∴．设，把（﹣1，0）代入，得b＝，∴，联立得，∴，∴，∴＝，，∴AN＝HN．∴∠H＝45°．设点P（n，﹣n2+2n+3）．过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS＝PR，∴∠RSP＝45°且点S的坐标为（﹣n2+3n+3，0）．若∠OPB＝∠AHB＝45°在△OPS和△OPB中，∠POS＝∠POB，∠OSP＝∠OPB，∴△OPS∽△OBP．∴．∴OP2＝OB•OS．∴n2+（n+1）2（n﹣3）2＝3•（﹣n2+3n+3）．∴n＝0或或n＝3（舍去）．（0，3），，．∴P110．解：（1）根据题意，得y与x的解析式为：y＝22+2（x﹣1）＝2x+20（1≤x≤12），故答案为：y＝2x+20，1≤x≤12；（2）设当天的销售利润为w元，则当1≤x≤6时，w＝（1200﹣800）（2x+20）＝800x+8000，∵800＞0，∴w随x的增大而增大，＝800×6+8000＝12800．∴当x＝6时，w最大值当6＜x≤12时，设m＝kx+b，将（6，800）和（10，1000）代入得：，解得：，∴m与x的关系式为：m＝50x+500，∴w＝[1200﹣（50x+500）]×（2x+20）＝﹣100x2+400x+14000＝﹣100（x﹣2）2+14400．∵此时图象开口向下，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，天数x为整数，∴当x＝7时，w有最大值，为11900元，∵12800＞11900，∴当x＝6时，w最大，且w＝12800元，最大值答：该厂第6天获得的利润最大，最大利润是12800元．（3）由（2）可得，1≤x≤6时，800x+8000＜10800，解得：x＜3.5则第1﹣3天当天利润低于10800元，当6＜x≤12时，﹣100（x﹣2）2+14400＜10800，解得x＜﹣4（舍去），或x＞8，∴第9﹣12天当天利润低于10800元，故当天销售利润低于10800元的天数有7天．11．解：（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2．12．解：（1）当0＜x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，，解得，，即当0＜x≤20时，y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80，当20＜x≤30时，设y与x的函数关系式为y＝mx+n，，解得，，即当20＜x≤30时，y与x的函数关系式为y＝4x﹣40，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（2）设当月第x天的销售额为w元，当0＜x≤20时，w＝（x+4）×（﹣2x+80）＝（x﹣15）2+500，∴当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，当20＜x≤30时，w＝（x+12）×（4x﹣40）＝（x﹣35）2+500，∴当x＝30时，w取得最大值，此时w＝480，由上可得，当x＝15时，w取得最大值，此时w＝500，答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．13．解：（1）∵抛物线L：y＝x2﹣x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A（4，0），点B（0，﹣3），设直线AB解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝4k﹣3，∴k＝，∴直线AB解析式为：y＝x﹣3，∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线顶点坐标为（，﹣）；（2）∵点A（4，0），点B（0，﹣3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝＝5，设点P（x，x2﹣x﹣3）（＜x＜4），则点D（x，x﹣3），∴BD＝＝x，PD＝（x﹣3）﹣（x2﹣x﹣3）＝﹣x2+2x，∴PD+BD＝﹣x2+2x+x＝﹣（x﹣）2+，∵＜x＜4，﹣＜0，∴当x＝时，PD+BD有最大值为，此时，点P（，﹣）；（3）设平移后的抛物线L'解析式为y＝（x﹣m）2﹣，联立方程组可得：，∴x 2﹣2（m +）x +m 2﹣＝0，设点M （x 1，y 1），点N （x 2，y 2）， ∵直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点， ∴x 1，x 2是方程x 2﹣2（m +）x +m 2﹣＝0的两根，∴x 1+x 2＝2（m +）， ∵点A 是MN 的中点， ∴x 1+x 2＝8， ∴2（m +）＝8， ∴m ＝，∴平移后的抛物线L '解析式为y ＝（x ﹣）2﹣＝x 2﹣x +．14．解：（1）由题意得：，解得：．∴a ＝1，b ＝30；（2）由（1）得：y ＝x 2+30x ，设A ，B 两城生产这批产品的总成本为w ，则w ＝x 2+30x +70（100﹣x ）＝x 2﹣40x +7000，＝（x ﹣20）2+6600， ∵a ＝1＞0，由二次函数的性质可知，当x ＝20时，w 取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．答：A 城生产20件，B 城生产80件；（3）设从A 城运往C 地的产品数量为n 件，A ，B 两城总运费的和为P ，则从A 城运往D 地的产品数量为（20﹣n ）件，从B 城运往C 地的产品数量为（90﹣n ）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，由题意得：，解得10≤n≤20，∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），整理得：P＝（m﹣2）n+130，根据一次函数的性质分以下两种情况：①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．15．解：（1）直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，2），将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2①；（2）如图1，作点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′交抛物线于点P（P′），则∠PAO＝∠BAO，设直线AB'的解析式为y＝kx+m，∴，∴，直线AB′的表达式为：y＝x﹣2②，联立①②并解得：x＝3或﹣2，故点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3），当点P与B，C重合时，也满足条件，此时P（0，2）或（，），综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，﹣）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（，）．（3）①过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠MNC＝90°，∴∠MNO+∠CNH＝90°，又∵∠CNH+∠NCH＝90°，∴∠MNO＝∠NCH，∴tan∠MNO＝tan∠NCH，即，即，解得：m＝﹣n2+n；②m＝﹣n2+n，∵＜0，故m有最大值，当n＝时，m的最大值为，而m＞0，故0＜m＜时，符合条件的N点的个数有2个．16．解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣500x+12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，，解得，3≤x≤12，设利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，∵﹣500＜0，∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，∵3≤x≤12，∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，∵﹣500＜0，∴当x≤13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．∴15≤13.5+0.5m，解得，m≥3，∵1≤m≤6，∴3≤m≤6．17．解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2，故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；答案的第（2）小题，tan∠AED＝OC/OE＝（4a﹣6）/（3/a﹣2）应改在此处添加绝对值符号，或者将4a﹣6改为6﹣4a（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6），函数的对称轴为x＝﹣2，故点D的坐标为（﹣2，﹣6），由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，令y＝0，则x＝﹣2，故点E（﹣2，0），则OE＝﹣2，tan∠AED＝＝＝，解得：a＝，故点C、E的坐标分别为（0，﹣）、（，0），则CE＝＝；（3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J，由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，故点A、C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，﹣），则点N（0，﹣），由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x﹣；设点P（t，t2+t﹣），则点F（t，﹣t﹣）；则PF＝﹣t2﹣3t+，由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x﹣，则点J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+，∵FH⊥DE，JF∥y轴，故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO，∴△FJH∽△ECO，故，则FH＝，f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+；②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）；∴当﹣5＜m＜﹣3时，f max＝﹣m2﹣4m+；当﹣3≤m＜0时，f max＝．18．解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，∵∠BAO＝∠ACO＝90°，∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠BAD＝∠AOC，∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，∴△ABD≌△OAC（AAS），∴BD＝AC，∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，∴A（4，﹣2）或（5，3）；（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，∴x E+x F＝k，∴M（），把y＝﹣x代入y＝x2﹣6中得，x2+x﹣6＝0，∴，∴N（，），设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则，解得，，∴直线MN的解析式为：，当x＝0时，y＝2，∴直线MN：经过定点（0，2），即直线MN经过一个定点．19．解：（1）令x ＝0，得y ＝﹣x +2＝2，∴A （0，2），令y ＝0，得y ＝﹣x +2＝0，解得，x ＝4，∴C （4，0），把A 、C 两点代入y ＝﹣x 2+bx +c 得，，解得，∴抛物线的解析式为，令y ＝0，得＝0，解得，x ＝4，或x ＝﹣2，∴B （﹣2，0）；（2）过M 点作MN ⊥x 轴，与AC 交于点N ，如图1，设M （a ，），则N （a ，）， ∴＝，∵， ∴S 四边形ABCM ＝S △ACM +S △ABC ＝， ∴当a ＝2时，四边形ABCM 面积最大，其最大值为8，此时M 的坐标为（2，2）；（3）∵将线段OA 绕x 轴上的动点P （m ，0）顺时针旋转90°得到线段O ′A ′，如图2，∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，∴O′（m，m），A′（m+2，m），当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣3，当点O′（m，m）在抛物线上时，有，解得，m＝﹣4或2，∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．。

2021年江苏中考数学压轴题精练试卷(解析版)

最新 Word中考数学压轴题优选精练一、选择题1．如图，在 ? ABCD 中， CD ＝ 8，BC ＝10，按以下步骤作图： ① 以点 C 为圆心，适合长度为半径作弧，分别交BC ， CD 于 M ， N 两点； ② 分别以点M ， N 为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在 ? ABCD 的内部交于点 P ；③ 连结 CP 并延伸交 AD 于点 E ，交BA 的延伸线于点 F ，则 AF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图 ① ，在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ A ＝ 30°，动点 D 从点 A 出发，沿 A → C → B以 1cm/s 的速度匀速运动到点B ，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，图 ② 是点 D 运动时， △ ADE的面积 y （ cm 2）随时间 x （ s ）变化的关系图象，则AB 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ． 8cmD ． 10cm3．如图，在△ ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 AC 、 BC 边上， DE ∥BC ， EF ∥ AB ，则下列比率式中错误的选项是（）A ．B ．C ．D ．第3题第4题4．如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 3，0）， B（3， 0），若在直线y＝﹣ x+m 上存在点 P 知足∠ APB＝ 60°，则 m 的取值范围是（）A．C．﹣2≤m≤≤ m≤+2B．﹣D．﹣﹣5﹣2≤ m≤≤ m≤+5+25．如图， A、 C 两点在反比率函数 y＝象上，AB⊥ x 轴于点 E，CD ⊥ x 轴于点的图象上， B、 D 两点在反比率函数y＝F ，AB＝ 3，CD＝ 2，EF ＝，则k1﹣k2的值为（的图）A．﹣3 B．﹣ 2 C．D．﹣ 16．如图，以矩形ABCD 对角线AC 为底边作等腰直角△ACE，连结BE，分别交AD ，AC于点 F， N， CD＝ AF，AM均分∠BAN．以下结论：① EF⊥ ED；②∠ BCM＝∠ NCM；③FM ，此中正确结论的个数是（）AC＝EM；④BN2+EF2＝ EN2；⑤AE?AM＝ NE?A ．2B ．3 C．4D． 5二、填空题1．如图，在扇形AOB 中，∠ AOB＝ 120°，连结AB，以OA 为直径作半圆 C 交AB 于点D ，若 OA＝ 4，则暗影部分的面积为．2．在△ ABC 中， AB＝ 4，∠ C＝ 60°，∠ A≠∠ B，则 BC 的长的取值范围是________．3．如图，点于 F，若G 是矩形 ABCD 的对角线BD 上一点，过点G 作 EF∥ ABEG＝ 5， BF ＝2，则图中暗影部分的面积为．交AD于E，交BC第 3 题第 4 题4．如图为二次函数2y＝ t（ t＞ 0）与抛物线交于A， B 两点， A，B y＝ ax +bx+c 图象，直线两点横坐标分别为m，n．依据函数图象信息有以下结论：① abc＞ 0；②若对于 t＞0 的随意值都有m＜﹣ 1，则 a≥1；③m+n＝ 1；④ m＜﹣ 1；⑤当 t 为定值时，若 a 变大，则线段 AB 变长．此中，正确的结论有（写出全部正确结论的序号）5．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ BC．将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转15°获得 Rt △ AB′ C′，B′ C′交 AB 于点 E，若图中暗影部分面积为2，则B′ E的长为．第5题第6题6．如图，在矩形ABCD 中，已知 AB ＝3， BC＝4，点 P 是边 BC 上一动点（点C 重合），连结 AP，作点 B 对于直线AP 的对称点M，连结 MP ，作∠ MPC交边 CD 于点 N．则线段 MN 的最小值为．P 不与点 B，的角均分线三、解答题1．如图 1，平行四边形 ABCD 中， AB⊥ AC，AB＝ 6，AD ＝ 10，点 P 在边 AD 上运动，以 P 为圆心， PA 为半径的⊙ P 与对角线 AC 交于 A， E 两点．（1）线段 AC 的长度是 ________．（2）如图 2，当⊙ P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；（3）不难发现，当⊙ P 与边 CD 相切时，⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着 AP 的变化，⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若共点的个数为4，直接写出相对应的 AP 的值的取值范围 ________________ ．2．阅读理【分析】解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（ x1， y1）、Q（x2，y2），则P、Q 这两点间的距离为|PQ|＝．如P（ 1， 2），Q（ 3，4），则 | PQ| ＝＝2 ．对于某种几何图形给出以下定义：切合必定条件的动点形成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx＋交 y 轴于点A，点A 对于x 轴的对称点为点B，过点B 作直线 l 平行于 x 轴．（1）到点 A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是（2）若动点 C（ x，y）知足到直线l 的距离等于线段式；____________.CA 的长度，求动点C 轨迹的函数表达问题拓展：（ 3）若（2）中的动点C 的轨迹与直线y＝ kx＋交于E、F两点，分别过E、 F作直线l 的垂线，垂足分别是M、 N，求证：①EF 是△AMN外接圆的切线；②＋为定值．5．如图，已知点 A（ 1， 0）， B（ 0， 3），将△ AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，获得△ COD ，设E为AD的中点．（ 1）若 F 为 CD 上一动点，求出当△DEF 与△ COD 相像时点 F 的坐标；（ 2）过 E 作 x 轴的垂线 l ，在直线 l 上能否存在一点 Q，使∠ CQO＝∠ CDO ？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原因．6．如图 1，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+4 与抛物线y＝﹣x2+bx+c（ b，c 是常数）交于 A、 B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上．设抛物线与x 轴的另一个交点为点C．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）P 是抛物线上一动点（不与点A、 B 重合），①如图 2，若点 P 在直线 AB 上方，连结OP 交 AB 于点 D ，求的最大值；②如图 3，若点 P 在 x 轴的上方，连结PC，以 PC 为边作正方形CPEF，跟着点P 的运动，正方形的大小、地点也随之改变．当极点 E 或 F 恰巧落在 y 轴上，直接写出对应的点 P 的坐标．5．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量能够用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．此中大小相等，方向同样的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD 的四个极点中某一点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出8 个不一样的向量：、、、、、、、（因为和是相等向量，所以只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f （2），试求 f（2）的值；（2）作 n 个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（ n），试求 f（ n）的值；（ 3）作 2× 3 个相邻的正方形（如图三）排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（2× 3），试求 f（ 2× 3）的值；（ 4）作 m× n 个相邻的正方形（如图四）排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（m×n），试求 f （m× n）的值．2 订交于点 A（﹣ 1， 0）和点 B（ 2， m）两6．如图，已知直线 y＝ x+1 与抛物线 y＝ ax +2x+c点（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）若点 P 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，当△PAB 的面积 S 最大时，求此时△ PAB 的面积 S 及点 P 的坐标；（ 3）在 x 轴上能否存在点 Q，使△ QAB 是等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标（不用说理）；若不存在，请说明原因．【答案与分析】一、选择题1．【剖析】依据角均分线的定义以及平行四边形的性质，即可获得BF ，BA 的长，从而获得AF 的长．【解答】解：由题可得， CF 是∠ ACD 的均分线，∴∠ BCF ＝∠ DCF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ，AB ＝ CD ＝ 8，∴∠ F ＝∠ DCF ，∴∠ BCF ＝∠ F ，∴ BF ＝ BC ＝ 10，∴ AF ＝ BF ﹣ AB ＝ 10﹣ 8＝ 2．应选： A ．2．【剖析】依据题意可得，△ ADE 的最大面积是 6 三角形 ADE 的面积即可求出 DE ＝ 2 ，再依据【解答】解：依据题意可知：2（ cm ），此时点 D 与点 C 重合，依据30 度特别角即可求出 AB 的长．△ ADE 的最大面积是 6 （ cm 2），此时点 D 与点 C 重合，如图，在 Rt △ADE 中，∠ A ＝ 30°，设 DE ＝ x ，则 AE ＝x ，∴ S △ADE ＝ AE ?DE＝ ×x?x＝x 2，∴x 2＝ 6 ，解得 x＝2（负值舍去），∴DE＝ 2，∴ AD＝ AC＝ 2DE＝ 4，在 Rt△ABC 中，∠ A＝ 30°，∴ cos30°＝＝，∴＝，∴AB＝ 8cm．应选： C．3．【剖析】依据平行线分线段成比率定理列出比率式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】 A．∵ EF ∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵ DE∥ BC，∴＝，∵EF∥ AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵ EF∥ AB，∴＝，∵CF≠ DE，∴≠ ，故本选项错误，D ．∵ EF∥ AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，应选： C．4．【剖析】作等边三角形ABE，而后作外接圆，求得直线y＝﹣ x+m 与外接圆相切时的m 的值，即可求得 m 的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣ 3， 0）， B（ 3，0），∴ OA＝ OB＝ 3，∴ E 在 y 轴上，当 E 在 AB 上方时，作等边三角形 ABE 的外接圆 ⊙ Q ，设直线 y ＝﹣ x+m 与 ⊙ Q 相切，切点为 P ，当 P 与 P 1 重合时 m 的值最大，当 P 与 P 1 重合时，连结 QP 1，则 QP 1⊥直线 y ＝﹣ x+m ， ∵ OA ＝ 3， ∴ OE ＝3 ，设 ⊙ Q 的半径为 x ，则 x 2＝ 32+（3﹣ x ）2，解得 x ＝2 ，∴ EQ ＝ AQ ＝PQ ＝ 2 ，∴ OQ ＝，由直线 y ＝﹣ x+m 可知 OD ＝ OC ＝ m ， ∴ DQ ＝m ﹣ ， CD ＝ m ，∵∠ ODC ＝∠ P 1DQ ，∠ COD ＝∠ QP 1D ， ∴△ QP 1D ∽△ COD ，∴＝，即＝，解得 m ＝+2，当 E 在 AB 下方时，作等边三角形ABE 的外接圆 ⊙ Q ，设直线 y ＝﹣ x+m 与 ⊙ Q 相切，切点为 P ，当 P 与 P 2 重合时 m 的值最小，当 P 与 P 2 重合时，同理证得 m ＝﹣ ﹣ 2 ， ∴ m 的取值范围是﹣﹣ 2 ≤ m ≤+2 ，应选： D ．1．【剖析】直接利用反比率函数的性质和k 的意义剖析得出答案．【解答】解：过点 A 作 AM ⊥ y 轴， BN ⊥ y 轴， DQ ⊥ y 轴， CN ⊥y 轴垂足分别为 M ， N ， Q ，R ，由题意可得： S 矩形 AMEQ ＝ S 矩形 FCRO ＝﹣ k 1， S 矩形 EBNO ＝ S 矩形 QDFO ＝ k 2，则 S 矩形 AMEQ +S 矩形 EBNO ＝S 矩形 FCRO +S 矩形 QDFO ＝﹣ k 1+k 2， ∵ AB ＝ 3， CD ＝ 2， ∴设 EO ＝2x ，则 FO ＝3x ，∵EF ＝，∴ EO ＝ 1，FO ＝，最新 Word∴S 矩形ABNM＝1× 3＝ 3，则﹣ k1+k2＝ 3，故 k1﹣ k2＝﹣3．应选： A．2．【剖析】①正确，只需证明A， B，C，D ， E 五点共圆即可解决问题；②正确，只需证明点M 是△ ABC 的心里即可；③正确，想方法证明EM＝AE ，即可解决问题；④正确．如图 2 中，将△ ABN 逆时针旋转 90°获得△ AFG ，连结 EG．想方法证明△ GEF 是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；⑤ 错误．利用反证法证明即可；【解答】解：如图 1 中，连结BD 交 AC 于 O，连结 OE．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA＝ OC＝OD ＝ OB，∵∠ AEC＝ 90°，∴OE＝ OA＝OC，∴OA＝ OB＝OC＝ OD ＝ OE，∴A， B， C， D， E 五点共圆，∵ BD 是直径，∴∠ BED＝ 90°，∴EF⊥ ED ，故①正确，∵CD ＝ AB＝AF ，∠ BAF ＝ 90°，∴∠ ABF ＝∠ AFB ＝∠ FBC ＝45°，∴BM 均分∠ ABC ，∵ AM 均分∠ BAC ，∴点 M 是△ ABC 的心里，∴CM 均分∠ ACB，最新 Word∴∠ MCB ＝∠ MCA ，故②正确，∵∠ EAM＝∠ EAC+∠ MAC ，∠ EMA ＝∠ BAM+∠ ABM ，∠ ABM ＝∠ EAC ＝ 45°，∴∠ EAM＝∠ EMA ，∴EA＝ EM ，∵△ EAC 是等腰直角三角形，∴ AC＝EA＝EM ，故③正确，EG，如图 2 中，将△ ABN 绕点 A 逆时针旋转90°，获得△AFG ，连结∵∠ NAB＝∠ GAF ，∴∠ GAN＝∠ BAD＝ 90°，∵∠ EAN＝ 45°，∴∠ EAG＝∠ EAN＝45°，∵AG＝ AN，AE ＝ AE，∴△ AEG≌△ AEN（SAS），∴EN＝ EG，GF ＝ BN，∵∠ AFG＝∠ ABN＝∠ AFB ＝ 45°，∴∠ GFB＝∠ GFE＝ 90°，2 2 2，∴ EG ＝ GF +EF22 2∴BN +EF ＝EN ，故④正确，∵ AE＝ EC，∴＝，∴只有△ ECN ∽△ MAF 才能建立，∴∠ AMF ＝∠ CEN，∴CE∥ AM，∵ AE⊥ CE，∴MA ⊥AE（矛盾），∴假定不建立，故⑤ 错误，应选：C．二、填空题1．【剖析】连结 OD、CD ，依据圆周角定理获得OD⊥ AB，依据等腰三角形的性质获得AD ＝ DB，∠ OAD ＝ 30°，依据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连结OD 、 CD ，∵ OA 为圆 C 的直径，∴ OD ⊥AB，∵ OA＝ OB，∠ AOB ＝ 120°，∴ AD＝ DB，∠ OAD ＝30°，∴OD＝OA＝ 2，由勾股定理得，AD＝＝2，∴△ AOB 的面积＝×AB×OD＝4，∵OC＝ CA，BD ＝ DA，∴ CD ∥ OB，CD ＝ OB，∴∠ ACD＝∠ AOB＝ 120°，△ ACD 的面积＝×△ AOB的面积＝，∴暗影部分的面积＝﹣△ AOB 的面积﹣（﹣△ ACD的面积）＝π﹣4﹣π+＝4π﹣ 3 ，故答案为： 4π﹣ 3 ．2.解：作△ ABC 的外接圆，以下图：当∠BAC＝ 90°时， BC 是直径最长，∵∠ C＝60°，∴∠ ABC＝ 30°，∴ BC＝ 2AC， AB＝3 AC＝4，∴AC＝4 3，∴BC＝2AC＝8 3，3 3当∠ A＝∠ B 时，△ ABC 为等边三角形，∴BC ＝AB＝ 4，则 BC 的长的取值范围是0＜ BC≤83且BC≠4，3故答案为： 0＜ BC≤83且BC≠4．33．【剖析】由矩形的性质可证明S 矩形AEGM＝ S 矩形CFGN＝2× 5＝ 10，即可求解．【解答】解：作 GM ⊥AB 于 M，延伸 MG 交 CD 于 N．则有四边形AEGM ，四边形DEGN ，四边形CFGN ，四边形BMGF 都是矩形，∴AE＝ BF ＝ 2，S△ADB＝ S△DBC， S△BGM＝ S△BGF， S△DEG＝ S△DNG，∴S 矩形AEGM＝ S 矩形CFGN＝ 2× 5＝10，∴ S 阴＝S 矩形CFGN＝ 5，故答案为： 5．4．【剖析】由图象分别求出a＞ 0， c＝﹣ 2， b＝﹣ a＜ 0，则函数分析式为y＝ ax2﹣ ax﹣2，则对称轴 x＝，由张口向上的函数的图象张口与 a 的关系可得：当 a 变大，函数 y＝ ax2 ﹣ ax﹣2 的张口变小，依照这个性质判断m 的取值状况．【解答】解：由图象可知，a＞ 0， c＝﹣ 2，∵对称轴 x＝﹣＝，∴b＝﹣ a＜ 0，∴abc＞0；∴① 正确；A、B 两点对于x＝对称，∴m+n＝ 1，∴③ 正确；2a＞ 0 时，当 a 变大，函数y＝ ax ﹣ ax﹣ 2 的张口变小，∴ ⑤ 不正确；若 m＜﹣ 1，n＞ 2，由图象可知n＞1，∴ ④ 不正确；当 a ＝1 时，对于 t ＞0 的随意值都有 m ＜﹣ 1，当 a ＞1 时，函数张口变小，则有 m ＞﹣ 1 的时候，∴ ② 不正确；故答案 ①③ ．5．【剖析】求出∠ C ′ AE ＝ 30°，推出 AE ＝ 2C ′E ， AC ′＝C ′ E ，依据暗影部分面积为2得出×C ′E ×C ′E ＝2，求出C ′ E ＝ 2，即可求出C ′ B ′，即可求出答案．【解答】解：∵将 Rt △ ACB 绕点 A 逆时针旋转 15°获得 Rt △ AB ′ C ′， ∴△ ACB ≌△ AC ′ B ′，∴ AC ＝ AC ′， CB ＝C ′ B ′，∠ CAB ＝∠ C ′ AB ′，∵在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝ BC ，∴∠ CAB ＝ 45°， ∵∠ CAC ′＝ 15°， ∴∠ C ′ AE ＝ 30°，∴ AE ＝ 2C ′ E ，AC ′＝C ′ E ， ∵暗影部分面积为 2 ，∴ × C ′E × C ′E ＝ 2 ， ∴ C ′ E ＝ 2，∴ AC ＝ BC ＝ C ′ B ′＝C ′ E ＝ 2 ，∴ B ′E ＝ 2 ﹣2，故答案为： 2﹣ 2．6．【剖析】过 N 作 NH ⊥ PM 交直线 PM 于 H ，则 MN 2＝ NH 2+MH 2，得出当点 M 与点 H 重合时， MN 长最小，易证 NH ＝NC ，∠ HPN ＝∠ CPN ，由 AAS 证得△ PNH ≌△ PNC ，得出 PC ＝ PH ，NC ＝ NH ，由点 B 对于直线 AP 的对称点 M ，得出 BP ＝ PM ，∠ BPA ＝∠ MPA ，当点 M 与点 H 重合时， BP ＝ PH ＝PC ＝ BC ＝ 2，由∠ HPN +∠ CPN+∠ BPA+∠ MPA ＝180°，推出∠ APN ＝ 90°，证明△ ABP ∽△ PCN ，得出＝，得出 NC ＝，即可得出结果．【解答】解：过 N 作 NH ⊥ PM 交直线 PM 于 H ，以下图：则 MN 2＝ NH 2+MH 2，∴当点 M 与点 H 重合时， MN 长最小， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ B ＝∠ C ＝ 90°，∵ PN 是∠ MPC 的角均分线， ∴ NH ＝ NC ，∠ HPN ＝∠ CPN ，在△ PNH 和△ PNC 中，，△PNH≌△ PNC（ AAS），∴ PC＝ PH，NC＝ NH，∵点 B 对于直线 AP 的对称点 M，∴BP＝ PM ，∠ BPA＝∠ MPA，∴当点 M 与点 H 重合时， BP＝ PH＝ PC＝BC＝ 2，∵∠ HPN+∠ CPN+∠ BPA+∠MPA＝ 180°，∴∠ APN＝ 90°，∴∠ APB+∠ NPC＝ 90°，∵∠ APB+∠ PAB＝ 90°，∴∠ PAB＝∠ NPC ，∵∠ B＝∠ C＝ 90°，∴△ ABP∽△ PCN ，∴＝，∴NC＝＝＝，∴当点 M 与点 H 重合时， MN ＝NC＝，故答案为：．三、解答题1.解：（ 1）∵平行四边形ABCD 中， AB ＝ 6， AD＝ 10，∴ BC＝ AD ＝ 10，∵AB ⊥AC，∴在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得：AC＝BC2AB2＝102－62＝8，故答案为： 8；（2）如图 2 所示，连结 PF，设 AP＝ x，则 DP ＝ 10－ x， PF＝ x，∵⊙ P 与边 CD 相切于点 F，∴ PF⊥ CD ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥ CD ，∵AB ⊥AC，∴ AC⊥ CD ，∴ AC∥ PF，∴△ DPF ∽△ DAC ，∴PFPD ，∴ x10 x，∴ x＝40，即 AP＝40；AC AD81099（3）当⊙ P 与 BC 相切时，设切点为G，如图 3，□ABCD ＝1 24 ，S ×××＝ 10PG，∴ PG＝52 40＜AP＜24，①当⊙ P 与边 AD 、 CD 分别有两个公共点时，9 5 即此时⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为4；②⊙ P 过点 A、C、D 三点，如图 4，⊙ P 与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，此时 AP＝5，综上所述， AP 的值的取值范围是：40＜AP＜24或 AP＝ 5，9 5故答案为：40＜AP＜24或AP＝5．9 52.解：（ 1）设到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点 D 坐标为（ x，y），∴AD 2＝x2＋（ y﹣） 2，∵直线y＝ kx＋交 y 轴于点A，∴ A（ 0，），∵点A 对于x 轴的对称点为点B，∴B（ 0，﹣），∴ AB＝ 1，∵点D 到点 A 的距离等于线段AB 长度，∴x2＋（ y﹣）2＝ 1，故答案为： x2＋（ y﹣）2＝ 1；（2）∵过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，∴直线l 的分析式为y＝﹣，∵C（ x， y）， A（0，），∴AC 2＝ x2＋（ y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y＋），∵动点 C（ x， y）知足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，∴x2＋（ y﹣）2＝（y＋）2，∴动点 C 轨迹的函数表达式y＝x2，（3）连结 AM， AN，取 MN 的中点 Q，连结 AQ.①设 E（ x1，y1），F （ x2， y2），由（ 2）得， EA＝ EM， FA＝ FN，∴，∴x2﹣2kx﹣ 1＝ 0，∴ x1＋ x2＝ 2k， x1x2＝﹣ 1，∵BM · BN＝ |x1x2|＝ 1， AB＝ 1，∴AB 2＝ BM· BN，又∠ ABM＝∠ NBA，∴△ ABM∽△ NBA，∴∠ MAB＝∠ ANB，而∠ NAB＋∠ ANB＝ 90°，∴∠ NAB＋∠ MAB ＝ 90°，即∠ MAN ＝90° .∴AQ＝ QN，∴∠ QAN＝∠ QNA，∵F A＝FN，∴∠ FAN＝∠ FNA ，∴∠ FAG＝∠ FNG ＝90°，∴所以EF 是△ AMN 外接圆的切线 .②证明：∵点E（m， a）点 F （n， b）在直线 y＝ kx＋上，∴a＝ mk＋， b＝ nk＋，∵ME ， NF ， EF 是△ AMN 的外接圆的切线，∴AE ＝ME ＝ a＋＝mk＋1，AF＝NF＝b＋＝nk＋1，∴＋＝＋＝＝＝＝2，即：＋为定值，定值为2．5．【剖析】（ 1）当△ DEF ∽△ COD 时，＝，DF＝DEcos∠ CDO＝，据此求出EF 的长度和点 F 的坐标即可；（2）第一以 CD 为直径作圆，设其圆心为 P，交直线由圆周角定理，可得∠ CQO ＝∠ CQ′ O＝∠ CDO ，在a 于点 Q、Q′，连结 PQ，P Q′，Rt△ CDO 中，由勾股定理可得 CD＝，则 PQ＝CD＝；而后求出点P 的坐标是多少；设Q（﹣ 1， a），则（）2+（ a﹣）2＝，据此求出 a 的值是多少，从而求出Q 点坐标是多少即可．【解答】解：（ 1）∵ A（1， 0），B（ 0， 3），∴OA＝ 1，OB＝ 3，∵将△ AOB 绕点 O 逆时针旋转90°，获得△ COD ，∴OC＝1，OD ＝3，∴C（ 0， 1），D （﹣ 3， 0），如图 1，当△ DEF ∽△ COD 时，＝∴EF＝，∴F（﹣ 1，）；当△ DEF ∽△ COD 时， DF ＝ DE cos∠ CDO ＝，作 FK⊥OD 于 K，则 FK ＝ DF sin∠ CDO ＝，DK＝DF cos∠ CDO＝，∴F（﹣，）；（2）如图 2，以 CD 为直径作圆，设其圆心为 P，交直线 a 于点 Q、Q′，连结 PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠ CQO ＝∠ CQ′ O＝∠ CDO ，在 Rt△CDO 中，由勾股定理可得CD＝，则 PQ＝CD＝，又∵P为 CD中点， P（﹣，），设 Q（﹣ 1，a），则（）2+（a﹣）2＝，解得 a＝ 2 或﹣ 1，∴ Q（﹣ 1，2）或（﹣ 1，﹣ 1）．6．【剖析】（ 1）利用直线分析式求出点A、 B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数分析式解答；（ 2）作 PF∥ BO 交 AB 于点 F ，证△ PFD ∽△ OBD，得比率线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（ 3）（ i ）点 F 在 y 轴上时， P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点 P 作 PH ⊥x 轴于 H，依据正方形的性质可证明△CPH≌△ FCO ，依据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO＝ 2，而后利用二次函数分析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK ⊥ x 轴于 K ，作 PS⊥ y 轴于 S，同理可证得△EPS≌△ CPK ，可得 PS＝ PK ，则 P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点 E 在 y 轴上时，过点PM ⊥ x 轴于 M，作 PN⊥ y 轴于 N，同理可证得△PEN≌△PCM ，可得 PN＝ PM，则 P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题．【解答】解：（ 1）直线 y＝x+4 与坐标轴交于A、 B 两点，当 x＝ 0 时， y＝ 4，x＝﹣ 4 时， y＝0，∴ A（﹣ 4， 0）， B（ 0， 4），把 A， B 两点的坐标代入分析式得，，解得，，∴抛物线的分析式为；（2）如图 1，作 PF ∥BO 交 AB 于点 F，∴△ PFD ∽△ OBD，∴，∵ OB 为定值，∴当 PF 取最大值时，有最大值，设 P（ x，），此中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣ 2，∴当 x＝﹣ 2 时， PF 有最大值，此时 PF＝2，；（ 3）∵点 C（2， 0），∴CO＝2，（ i）如图 2，点 F 在 y 轴上时，若 P 在第二象限，过点 P 作 PH ⊥x 轴于 H，在正方形 CPEF 中， CP＝ CF，∠ PCF ＝ 90°，∵∠ PCH+∠ OCF＝ 90°，∠ PCH +∠ HPC ＝ 90°，∴∠ HPC＝∠ OCF，在△ CPH 和△ FCO 中，，∴△ CPH≌△ FCO（ AAS），∴PH＝ CO＝2，∴点 P 的纵坐标为 2，∴，解得，， x＝﹣ 1+（舍去）．∴，如图 3，点 F 在 y 轴上时，若P 在第一象限，同理可得点 P 的纵坐标为2，此时 P2点坐标为（﹣ 1+ ，2）（ ii ）如图 4，点 E 在 y 轴上时，过点 PK⊥x 轴于 K，作 PS⊥ y 轴于S，同理可证得△EPS≌△ CPK ，∴PS＝ PK ，∴P 点的横纵坐标互为相反数，∴，解得 x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图 5，点 E 在 y 轴上时，过点PM ⊥ x 轴于 M，作 PN⊥ y 轴于 N，同理可证得△ PEN ≌△ PCM ，∴ PN ＝ PM ，∴ P 点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P 点坐标为，，．5．【剖析】（ 1）依据图形，即可求得 f （ 2）的值；（ 2）第一求 f （ 1），f （ 2）， f （ 3）， f （ 4），所以获得规律为： f （n ）＝ 6n+2；（ 3）依据图形，即可求得f （2× 3）的值；（ 4）先剖析特别状况，再求得规律：f （ m ×n ）＝ 2（m+n ） +4mn ．【解答】解：（ 1）作两个相邻的正方形，以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数 f （ 2）＝ 14；（ 2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样的向量个数，找出规律，∵ f （1 ）＝ 6× 1+2 ＝ 8， f （ 2）＝ 6× 2+2 ＝ 14， f （ 3）＝ 6× 3+2＝ 20， f （ 4）＝ 6× 4+2 ＝ 26，∴ f （ n ）＝ 6n+2 ；（ 3） f （ 2×3）＝ 34；（ 4）∵ f （ 2× 2）＝ 24， f （ 2× 3）＝ 34， f （ 2× 4）＝ 44， f （ 3× 2）＝ 34， f （ 3× 3）＝ 48， f （ 3×4）＝ 62∴ f （ m × n ）＝ 2（ m+n ） +4mn ．6．【剖析】（ 1）先依据点 B 在直线 y ＝ x+1 求出其坐标，再将 A ， B 坐标代入抛物线分析式求解可得；（ 2）作 PM ⊥ x 轴于点 M ，交 AB 于点 N ，设点 P 的坐标为（ m ，﹣ m 2+2m+3），点 N 的坐标为（ m ， m+1），依照 S △ PAB ＝ S △ PAN +S △PBN 列出函数分析式，利用二次函数的性质求解可得；（ 3）设点 Q 坐标为（ n ，0），联合各点坐标得出 QA 2＝（﹣ 1﹣ n ）2，QB 2＝（ 2﹣n ）2 +9，AB 2＝ 18，再依据等腰三角形的定义分三种状况分别求解可得．【解答】解：（ 1）∵点 B （ 2， m ）在直线 y ＝ x+1 上， ∴ m ＝ 2+1 ＝3，∴点 B 坐标为（ 2， 3），∵点 A （﹣ 1，0）和点 B （ 2， 3）在抛物线y ＝ ax 2+2x+c 上，最新 Word∴，解得，∴所求抛物线分析式为 y ＝﹣ x 2+2 x+3；（ 2）过点 P 作 PM ⊥ x 轴于点 M ，交 AB 于点 N ，设点 P 的横坐标为 m ，则点 P 的坐标为（ m ，﹣ m 2+2 m+3），点 N 的坐标为（ m ， m+1 ）， ∵点 P 是位于直线 AB 上方，∴ PN ＝ PM ﹣MN ＝﹣ m 2+2m+3﹣（ m+1）＝﹣ m 2+m+2 ，∴ S △PAB ＝ S △ PAN +S △PBN＝×（﹣ m 2+m+2）（ m+1） + ×（﹣ m 2+m+2）（ 2﹣ m ）＝（﹣ m 2+m+2）＝﹣（ m ﹣ ） 2+，∵﹣＜ 0，∴抛物线张口向下，又﹣ 1＜ m ＜2，∴当 m ＝时，△ PAB 的面积的最大值是，此时点 P 的坐标为（，）．（ 3）设点 Q 坐标为（ n ， 0），∵ A （﹣ 1， 0）， B （ 2， 3），∴ QA 2＝（﹣ 1﹣ n ）2， QB 2＝（ 2﹣n ） 2+9，AB 2＝18，① 当 QA 2＝QB 2 时，（﹣ 1﹣n ） 2＝（ 2﹣ n ） 2+9，解得 n ＝ 2，即 Q （ 2，0）；② 当 QA 2＝AB 2时，（﹣ 1﹣ n ） 2＝18，解得： n ＝﹣ 1±3，即 Q （﹣ 1+3， 0）或（﹣ 1﹣ 3， 0）；2＝AB 22＝ 18，③当QB 时，（ 2﹣ n ） +9解得： n ＝﹣ 1（舍）或 n ＝ 5，即 Q （ 5，0）；综上， Q 的坐标为（ 2， 0）或（﹣ 1+3 ， 0）或（﹣ 1﹣3， 0）或（ 5，0）．。

决胜2021年上海中考数学压轴题全揭秘精解专题25 上海中考预测卷(2)

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2.试卷满分150分，考试时间100分钟。

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.方程230x -+=根的情况（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根； C. 无实数根D. 有两个相等的实数根2．若m n >，下列不等式不一定成立的是( ) A ．33m n +>+B ．33m n -<-C ．33m n> D ．22m n >3.在平面直角坐标系中，反比例函数(0)ky k x=≠图像在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，那么它的图像的两个分支分别在（） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限D. 第三、四象限4．学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：下列说法正确的是( )A ．该班级所售图书的总收入是226元B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是25.顺次联结四边形ABCD各边中点所形成的四边形是矩形，那么四边形ABCD是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形6．已知，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，CD⊥AB，且CD＝1．若以点A为圆心，√3为半径作⊙A，以点B为圆心，1为半径作⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．外离二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．若2a b=+，则代数式222a ab b-+的值为．8.化简：113a a-=______．9．若一个数的平方等于5，则这个数等于．10.0=的解是_____________.11．晓芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面向上的概率为．12．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．13.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为__________；14．董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图(A．小于5天；.5B天；.6C天；.7D天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是．15.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90°，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，如果AD︰BC = 2︰3，那么DB︰AC =______．16．如图，在ABC中，90C∠=︒，30A∠=︒，BD是ABC∠的平分线，如果AC x=，那么CD =（用x表示）．17．如图，在ABC∆中，30B∠=︒，2AC=，3cos5C=．则AB边的长为．18.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是____．三．解答题（共7小题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：1327﹣(12)﹣2+|3．20.（本题满分10分）解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨-<⎪⎩21.(本题满分10分)在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知一次函数的图像平行于直线12y x =，且经过点A （2，3），与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C 在y 轴上，当AC ＝BC 时，求点C 的坐标．22．（本题满分10分）两栋居民楼之间的距离30CD m =，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30︒，此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的第几层？（参考数1.7≈ 1.4)≈23.已知：如图，AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AB ＝AC ，D 是AO 延长线上一点，联结BD 并延长交⊙O 于点E ，联结CD 并延长交⊙O 于点F. （1）求证：BD ＝CD ：（2）如果AB 2＝AO·AD ，求证：四边形ABDC 是菱形.24.如图6，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2230y ax ax a a =--<与x 轴交于A B、两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线:l y kx b =+与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且4CD AC =.（1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k b 、用含a 的式子表示）（2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若ACE ∆的面积的最大值为54，求a 的值；（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，当以点A D P Q 、、、为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点P 的坐标.25.已知：如图，在菱形ABCD 中，2AC =，60B ∠=︒．点E 为边BC 上的一个动点（与点B 、C 不重合），60EAF ∠=︒，AF 与边CD 相交于点F ，联结EF 交对角线AC 于点G ．设CE x =，EG y =．（1）求证：AEF 是等边三角形；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）点O 是线段AC 的中点，联结EO ，当EG EO 时，求x 的值．绝密★启用前上海市2021年初中毕业统一学业考试数学预测试题二考生注意： 1.本试卷共25题。

2021年中考数学压轴题答案解析

2021年中考数学压轴题1．如图，已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB＝∠ADB；（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）已知点B是EF的中点，求证：△EAF∽△CBA．（3）已知AF＝4，CF＝2，在（2）的条件下，求AE的长．（1）证明：如图1，连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°，∵∠BAC＝∠EDC，∠EAB＝∠ADB，∴∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝90°，∴AE是⊙O的切线．（2）证明：如图2，连接BC，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠CBA ＝∠ABC ＝90°∵B 是EF 的中点，∴在Rt △EAF 中，AB ＝BF ，∴∠BAC ＝∠AFE ，∴△EAF ∽△CBA ．（3）解：∵△EAF ∽△CBA ，∴AB AF =AC EF ，∵AF ＝4，CF ＝2．∴AC ＝6，EF ＝2AB ，∴AB 4=62AB ，解得AB ＝2√3．∴EF ＝4√3，∴AE =√EF 2−AF 2=√(4√3)2−42=4√2，2．解决问题：（1）如图①，半径为4的⊙O 外有一点P ，且PO ＝7，点A 在⊙O 上，则P A 的最大值和最小值分别是 11 和 3 ．（2）如图②，扇形AOB的半径为4，∠AOB＝45°，P为弧AB上一点，分别在OA边找点E，在OB边上找一点F，使得△PEF周长的最小，请在图②中确定点E、F的位置并直接写出△PEF周长的最小值；拓展应用（3）如图③，正方形ABCD的边长为4√2；E是CD上一点（不与D、C重合），CF⊥BE于F，P在BE上，且PF＝CF，M、N分别是AB、AC上动点，求△PMN周长的最小值．解：（1）如图①，∵圆外一点P到这个圆上所有点的距离中，最大距离是和最小距离都在过圆心的直线OP上，此直线与圆有两个交点，圆外一点与这两个交点的距离个分别最大距离和最小距离．∴P A的最大值＝P A2＝PO+OA2＝7+4＝11，P A的最小值＝P A1＝PO﹣OA1＝7﹣4＝3，故答案为11和3；（2）如图②，以O为圆心，OA为半径，画弧AC和弧BD，作点P关于直线OA的对称点P1，作点P关于直线OB的对称点P2，连接P1、P2，与OA、OB分别交于点E、F，点E、F即为所求．连接OP1、OP2、OP、PE、PF，由对称知识可知，∠AOP1＝∠AOP，∠BOP2＝∠BOP，PE＝P1E，PF＝P2F∴∠AOP1+∠BOP2＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝45°∠P1OP2＝45°+45°＝90°，∴△P1OP2为等腰直角三角形，∴P1P2=√2OP1=4√2，△PEF 周长＝PE +PF +EF ＝P 1E +P 2F +EF ＝P 1P 2=4√2，此时△PEF 周长最小．故答案为4√2；（3）作点P 关于直线AB 的对称P 1，连接AP 1、BP 1，作点P 关于直线AC 的对称P 2，连接P 1、P 2，与AB 、AC 分别交于点M 、N ．由对称知识可知，PM ＝P 1M ，PN ＝P 2N ，△PMN 周长＝PM +PN +MN ＝PM 1+P 2N +MN ＝P 1P 2，此时，△PMN 周长最小＝P 1P 2．由对称性可知，∠BAP 1＝∠BAP ，∠EAP 2＝∠EAP ，AP 1＝AP ＝AP 2，∴∠BAP 1+∠EAP 2＝∠BAP +∠EAP ＝∠BAC ＝45°∠P 1AP 2＝45°+45°＝90°，∴△P 1AP 2为等腰直角三角形，∴△PMN 周长最小值P 1P 2=√2AP ，当AP 最短时，周长最小．连接DF ．∵CF ⊥BE ，且PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45°，PC CF =√2∵∠ACD ＝45°，∴∠PCF ＝∠ACD ，∠PCA ＝∠FCD又AC CD =√2，∴在△APC 与△DFC 中，AC CD =PC CF ，∠PCA ＝∠FCD ∴△APC ∽△DFC ，∴AP DF =AC CD =√2，∴AP =√2DF∵∠BFC ＝90°，取BC 中点O ．∴点F 在以BC 为直径的圆上运动，当D 、F 、O 三点在同一直线上时，DF 最短． DF ＝DO ﹣FO =√OC 2+CD 2−OC =√(2√2)2+(4√2)2−2√2=2√10−2√2， ∴AP 最小值为AP =√2DF∴此时，△PMN 周长最小值P 1P 2=√2AP =√2⋅√2DF =√2⋅√2(2√10−2√2)=4√10−4√2．。

2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (22)

2021年广东省中考数学解答题压轴题练习1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB．（1）求OA、OB的长．（2）若点E为x轴上的点，且S△AOE＝，试判断△AOE与△AOD是否相似？并说明理由．（3）在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形？如果存在，请直接写出点F的坐标．【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用三角形的面积求出OE，然后求出两个三角形夹直角的两边的比，再根据相似三角形的判定方法判定即可；（3）根据平行四边形的对边相等求出BC，再求出OC，然后利用勾股定理列式求出AC的长，再求出直线AB的解析式为y＝x+4，设出点F的坐标，然利用勾股定理列式求出AF2、CF2，再分三种情况列出方程求解即可．【解答】解：（1）x2﹣7x+12＝0，因式分解得，（x﹣3）（x﹣4）＝0，由此得，x﹣3＝0，x﹣4＝0，所以，x1＝3，x2＝4，∵OA＞OB，∴OA＝4，OB＝3；（2）S△AOE＝×4•OE＝，解得OE＝，∵＝＝，＝＝，∴＝，又∵∠AEO＝∠OAD＝90°，∴△AOE∽△AOD；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，∴BC＝AD＝6，∵OB＝3，∴OC＝6﹣3＝3，由勾股定理得，AC＝＝＝5，易求直线AB的解析式为y＝x+4，设点F的坐标为（a，a+4），则AF2＝a2+（a+4﹣4）2＝a2，CF2＝（a﹣3）2+（a+4）2＝a2+a+25，①若AF＝AC，则a2＝25，解得a＝±3，a＝3时，a+4＝×3+4＝8，a＝﹣3时，a+4＝×（﹣3）+4＝0，所以，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）；②若CF＝AC，则a2+a+25＝25，整理得，25a2+42a＝0，解得a＝0（舍去），a＝﹣，a+4＝×（﹣）+4＝，所以，点F的坐标为（﹣，），③若AF＝CF，则a2＝a2+a+25，解得a＝﹣，a+4＝×（﹣）+4＝﹣，所以，点F的坐标为（﹣，﹣），综上所述，点F的坐标为（3，8）或（﹣3，0）或（﹣，）或（﹣，﹣）时，以A、C、F为顶点的三角形是等腰三角形．。

04(解答题(二))-2021年中考数学专题(湖南长沙卷)(解析版)

2021年中考数学冲刺挑战压轴题专题汇编（湖南长沙卷）04挑战压轴题（解答题（二））1. （2020年长沙中考第24题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”。

根据该约定，完成下列各题。

（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号内打“√”，不是“H 函数”的打“×”。

① x y 2= （） ② ）（0≠=m xmy （） ③ 13-=x y （）（2）若点A （1，m ）与点B （n ，-4）是关于x 的“H 函数”）（02≠++=a c bx ax y 的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧，求a 、b 、c 的值或取值范围。

（3）若关于x 的“H 函数”是常数），，（c b a c bx ax y 322++=同时满足下列两个条件：① 0=++c b a ， ② 0322<++•-+）（）（a b c a b c ，求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围。

【答案】（1）√、√、× （2）-1<a<0，b=4，0<c<1 （3）72221<-<x x【解析】（1）根据题意，易知“H 函数”图像上存在关于原点对称的点。

①、②图像均关于原点对称，故为“H 函数”；对于函数③，变形为：31=+x y ，令xy x y -+-=+33，无解，故不是“H 函数”。

（2）∵若点A （1，m ）与点B （n ，-4）是关于x 的“H 函数”）（02≠++=a c bx ax y 的一对“H 点”∴m=4，n=-1 ∴A （1，4） B （-1，-4）代入c bx ax y ++=2中，得:⎩⎨⎧-=+-=++44c b a c b a 解得：⎩⎨⎧==+40b c a∵函数的对称轴始终位于直线x=2的右侧 ∴22->ab∴224>-a解得：01<<-a ∵100<<∴=+c c a∴-1<a<0，b=4，0<c<1（3）c bx ax y 322++=∵是H 函数，∴至少存在不同的两点关于原点对称的“H 点” 设H 点坐标分别为（m ，n ）；（-m ，-n ），则:⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++nc bm am n c bm am 323222∴n bm c am ==+2032因为002<∴>ac c a m 异号，即、∵c a b c b a -=∴=++0∵0322<++•-+）（）（a b c a b c ∴0)32)(2(<+-----a c a c a c a c∴0)2)(2(<+-a c a c 即：224a c <∴22<∴<a cac ∴02<<-ac 令02<<-∴=t act设函数与x 轴的两个交点分别为)0(1，x 、)0(2，x ，则21x x 、是方程0322=++c bx ax 的两根 ∴a ca c a a c ab a ac b x x 12)(4124124a 2222221-+=-=-=∆=-)1(412)21(412))(21(4222+-=-++=•-+•+=t t t t t aca c a c 43)21(22+-=t ∵时02<<-t 函数递减，所以当t=-2时取最大值，当t=0时取最小值∴72221<-<x x2.（2019年长沙中考第25题）已知抛物线)2020()2(22-+-+-=c x b x y (b ，c 为常数)．（1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n ( m<n )，当n x m ≤≤时，恰好有122112+≤+≤+n ny m m ，求m ，n 的值．【解析】（1）由题可设()1122+--=x y去括号得：1422-+-=x x y⎩⎨⎧-=-=-∴1202042c b20196==∴c b ，（2）设抛物线上关于远点对称且不重合的两点坐标分别为()()0000--y x y x ，、，代入解析式可得：⎪⎩⎪⎨⎧-+---=--+-+-=)2020()2(2)2020()2(202000200c x b x y c x b x y∴两式相加可得：0)2020(24-20=-+c x20202020220≥∴+=∴c x c（3）由（1）可知抛物线为()11214222+--=-+-=x x x y ，∴1≤y12211210+≤+≤+≤≤<<n ny m m n x m m 时，恰好有，当nm m mm y n <≤∴≥≤∴≤≤∴111111，即 ∵抛物线对称轴x =1，开口向下 ∴当n x m ≤≤时，y 随x 增大而减小∴当x =m 时，1422max -+-=m m y当x =n 时，1422min -+-=n n y又∵my n 11≤≤ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+∴）（）（21142-11142-22m m m n n n将（1）式整理得：014223=++-n n n变形得：()()01232223=----n n n n 即：()()()0112122=-+--n n n n()()012212=---∴n n n1>n01222=--∴n n（舍去），2311-=∴n 2312+=n 同理整理（2）式得：()()012212=---m m mn m <≤1.2312311321（舍去）（舍去），，+=-==∴m m m ∴综上所示：m =1，n =231+ 3.（2018年长沙中考第25题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数xmy =（m 为常数，m ＞1，x ＞0）的图象经过点P （m ，1）和Q （1，m ），直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，点M （x ，y ）是该函数图象上的一个动点，过点M 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ．（1）求∠OCD 的度数；（2）当m =3，1＜x ＜3时，存在点M 使得△OPM ∽△OCP ，求此时点M 的坐标；（3）当m =5时，矩形OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．【分析】（1）想办法证明OC =OD 即可解决问题；（2）设M （a ，a 3），由△OPM ∽△OCP ，推出CPPMOP OM OC OP ==，由此构建方程求出a ，再分类求解即可解决问题；（3）不存在分三种情形说明：①当1＜x ＜5时，如图1中；②当x ≤1时，如图2中；③当x ≥5时，如图3中；【解答】解：（1）设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则有⎩⎨⎧=+=+m b k b km 1，解得⎩⎨⎧+=-=11m b k ，∴y =﹣x +m +!，令x =0，得到y =m +1，∴D （0，m +1），令y +0，得到x =m +1，∴C （m +1，0），∴OC =OD ，∵∠COD =90°， ∴∠OCD =45°．（2）设M （a ，a 3），∵△OPM ∽△OCP ，∴CPPM OP OM OC OP ==，∴OP 2=OC •OM ，当m =3时，P （3，1），C （4，0），OP 2=32+12=10，OC =4，OM =229a a +，∴410=OC OP ，∴10=4229a a +， ∴4a 4﹣25a 2+36=0，（4a 2﹣9）（a 2﹣4）=0， ∴a =±23，a =±2， ∵1＜a ＜3， ∴a =23或2，当a =23时，M （23，2）， PM =213，CP =2， 4102213≠=CM PM （舍弃），当a =2时，M （2，23），PM =25，CP =2，∴410225==CP PM ，成立，∴M （2，23）．（3）不存在．理由如下：当m =5时，P （5，1），Q （1，5），设M （x ，x5）， OP 的解析式为：y =51x ，OQ 的解析式为y =5x ， ①当1＜x ＜5时，如图1中，E∴E （x 1，x 5），F （x ，51x ）， S =S 矩形OAMB ﹣S △OAF ﹣S △OBE =5﹣21•x •51x ﹣21•x 1•x5=4.1，化简得到：x 4﹣9x 2+25=0，△＜O ， ∴没有实数根． ②当x ≤1时，如图2中，S=S△OGH＜S△OAM=2.5，∴不存在，③当x≥5时，如图3中，S=S△OTS＜S△OBM=2.5，∴不存在，综上所述，不存在．1．（2021·湖南长沙市·九年级一模）如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P(a，b)，则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）＋b，即当x＝a时，y始终等于b．（1）若抛物线y＝﹣2（x＋1）2＋3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx＋3k﹣2，求该抛物线的解析式；（3）如图2，直线m：y＝x＋3与直线n：y＝﹣2x＋9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2＋1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．【答案】（1）y=-2x+1；（2）y=-（x+3）2-2；（3）y= -x+3或y=1．【分析】（1）先求出点A的坐标，再确定P的坐标为（-1,3），然后将A点坐标代入求解即可；（2）y=kx+3k-2=k（x+3）-2，确定点P的坐标为（-3，-2），然后求出解析式即可；（3）由△ABC的面积=S△APB+S△APC=12，求出x C-x B=6，则点x B（t,t+3），x C（t+6，-2t-3），将点B、C的坐标分别代入y=k（x-2）+1求解即可．【详解】解：（1）∵y=-2（x+1）2+3，∴令x=0，则y=1，∴点A的坐标为（0,1），顶点P的坐标为（-1,3），∴风车线的表达式为y=k（x+1）+3，将点A的坐标代入并求解得：k=-2∴“风车线”的解析式为y=-2（x+1）+3=-2x+1；（2）∵y=kx+3k-2=k（x+3）-2∴点P的坐标为（-3，-2），∴平移后的抛物线表达式为y=-（x+3）2-2；（3）∵y=-2（x-2）2+1，∴点P（2，1），即“风车线”的表达式为y=k（x-2）+1，联立329y xy x=+⎧⎨=-+⎩，解得25xy=⎧⎨=⎩，故点A（2，5），∴AP=5-1=4，∴△ABC的面积=S△APB+S△APC=12×4×（x C-x B）=12，解得：x C-x B=6，设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，∵点B在直线m上，∴点B（t，t+3），同理：点C（t+6，-2t-3），将点B、C的坐标分别代入y=k（x-2）+1，得：3(2)123(62)1t k tt k t+=-+⎧⎨--=+-+⎩解得1tk=⎧⎨=-⎩或2tk=⎧⎨=-⎩∴“风车线”的表达式为y=k（x-2）+1=-（x-2）+1=-x+3或y=1．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、面积的计算等知识点，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．2．（2021·湖南长沙市·九年级一模）我们不妨约定，过坐标平面内任意两点（例如A ，B 两点）作x 轴的垂线，两个垂足之间的距离叫做这两点在x 轴上的“垂足距”，记作____AB ．根据该约定，完成下列各题（1）若点A （1x ，4），B （2x ，8-）．当点A 、B 在函数4y x =的图象上时，____AB = ；当点A ，B 在函数16y x=-的图象上时，____AB = ．（2）若一次函数()30y kx k =+≠的图象上有两点A （1x ，k ），B （2x ，222k -），当____AB k =时，求k的值．（3）若抛物线2y ax bx c =++与直线()230y bx c b =--≠在同一坐标平面内交于点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且同时满足下列两个条件：①a b c >>；②抛物线经过点（1，0），试求____AB 的范围、【答案】（1）3，6；（2）k =2或1；（3____AB 【分析】（1）先把点A 和点B 坐标代入4y x =和16y x=-分别得出 1x 和2x 的值，由“垂足距”的定义即可得出答案（2）根据“垂足距”的定义得出k 的方程，解方程即可；（3）由2=23++--ax bx c bx c 得出1x ，2x 是方程234=0++ax bx c 的两根，根据根与系数的关系可得1x +2x 和1x 2x 的值，再结合抛物线经过点（1，0）得出22____b b 9+16+16a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ，再根据a b c >>和二次函数的增减性得出答案；【详解】解：（1）∵点A （1x ，4），B （1x ，8-）在函数4y x =的图象上，∴1=1x ，2=-2x ，∴()____=1--2=3AB ，∵点A （1x ，4），B （2x ，8-）在函数16y x=-的图象上 ∴1=-4x ，2=2x ，∴()____=2--4=6AB ，（2）∵A （1x ，k ），B （2x ，222k -）在()30y kx k =+≠的图象， ∴1k-3=k x ，222k -5=kx ， ∵____AB k = ∴22k -5k-3-=k k k， ∴222--2=k k k当22--20＞k k 时，2--2=0k k ，解得：k =2或-1，当22--20＜k k 时，23--2=0k k ，解得：k =2-3或1， ∵k ＞0，∴k =2或1；（3）∵2=23++--ax bx c bx c ()0b ≠∴234=0++ax bx c∴1x ，2x 是方程234=0++ax bx c 的两根，∴1x +23b =-a x ，1x 24c =a x ； ∴()()22221212___122_9b -16ac =x -x =x +x -4x x =a ⎛⎫ ⎪⎝⎭AB ， ∵抛物线经过点（1，0），∴=0a b c ++，∴=--c a b ， ∴____22229b -16ac b b =9+16+16a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ， ∵a b c >>，∴b -a-b >， ∴1b -a 2>， ∴1a -a 2>， ∴a 0>， ∴1b -12a＜＜， ∵22____b b 9+16+16a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ， ∴对称轴为b 81=--a 92＜， ∴当1b -12a ＜＜时，_2___⎛⎫ ⎪⎝⎭AB 随b a 的增大而增大， ∴当b =1a时， ____AB ，∴当b 1=-a 2时， ____AB∴____AB 的范围为____2AB ；【点睛】本题是二次函数和一次函数的综合题，解题的关键是理解题意，利用“垂足距”的定义解决问题，属于压轴题． 3．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）我们约定：图象关于y 轴对称的函数称为偶函数．（1）下列函数是偶函数的有（填序号）；①y ＝x +1；②y ＝﹣2020x 2+5；③y ＝|2018x|；④y ＝2021x 2﹣2020x +2018．（2）已知二次函数y ＝（k +1）x 2+（k 2﹣1）x +1（k 为常数）是偶函数，将此偶函数进行平移得到新的二次函数y ＝ax 2+bx +c ，新函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，若AB ＝2，且以AB 为直径的圆恰好经过点C ，求平移后新函数的解析式；（3）如图，已知偶函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过（1，2），（2，5），过点E （0，2）的一次函数的图象与二次函数的图象交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），过点AB 分别作AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，分别用S 1，S 2，S 3表示△ACE ，△ECD ，△EDB 的面积，问：是否存在实数m ，使S 22＝m S 1S 3都成立？若成立，求出m 的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）②③；（2）y ＝2x 2﹣4x 或y ＝2x 2+4x 或y ＝2x 2﹣12-或y ＝2x 2x ﹣12；（3）存在，m ＝4【分析】(1)根据每个函数是否关于y 轴对称进行判断； (2)根据偶函数的概念可得：k 2﹣1＝0且k +1≠0，即可求得抛物线解析式，再依据平移的性质可知a ＝2，设A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），利用根与系数关系及乘法公式可得：b 2﹣8c ＝16，再根据圆的性质和勾股定理得：b 2+16c 2＝16，从而求得b 、c ，即可得到新函数的解析式；(3)由偶函数性质可知b ＝0，再利用待定系数法即可得函数解析式，设过点E （0，2）的一次函数解析式为：y ＝kx +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2＝k ，x 1x 2＝﹣1，根据题意建立方程求解即可．【详解】解：(1)①y ＝x +1的图像经过第一、三象限，y 轴不是其对称轴，所以y ＝x +1不是偶函数；②y ＝﹣2020x 2+5的图像抛物线是轴对称图形，且对称轴是y 轴，是偶函数；③y ＝|2018x|是关于y 轴对称的，是偶函数； ④y ＝2021x 2﹣2020x +2018的图像抛物线是轴对称图形，对称轴是直线x ＝10102021，不是偶函数；故答案为：②③；(2)∵二次函数y ＝（k +1）x 2+（k 2﹣1）x +1（k 为常数）是偶函数，∴21010k k ⎧-=⎨+≠⎩，解得：k ＝1，∴该二次函数解析式为：y ＝2x 2+1，∵平移抛物线时，开口方向和形状都不变，即a 的值不变，∴平移得到新的二次函数为y ＝2x 2+bx +c ，由题意知，新函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，设A （x 1，0），B （x 2，0）（x 1＜x 2），令x ＝0，得y ＝c ，∴C （0，c ），∵AB ＝2，∴x 2﹣x 1＝2，由根与系数关系可知：x 1+x 2＝﹣2b ，x 1x 2＝2c ， ∵（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（x 2﹣x 1）2，∴（﹣2b ）2﹣4×2c ＝22，即b 2﹣8c ＝16， ∵以AB 为直径的圆恰好经过点C ，∴该圆的圆心为F （122x x +，0），即F （﹣4b ，0）， ∴CF ＝1，即（﹣4b ）2+c 2＝1，整理，得：b 2+16c 2＝16，联立方程组：2228161616b c b c ⎧-=⎨+=⎩，解得：1140b c =-⎧⎨=⎩，2240b c =⎧⎨=⎩，3312b c ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，4412b c ⎧=⎪⎨=-⎪⎩； ∴平移后新函数的解析式为：y ＝2x 2﹣4x 或y ＝2x 2+4x 或y ＝2x 2﹣x 12-或y ＝2x 2﹣12； (3)∵偶函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过（1，2），（2，5），∴b ＝0，即y ＝ax 2+c ，∴245a ca c+=⎧⎨+=⎩，解得：11ac=⎧⎨=⎩，∴y＝x2+1，设过点E（0，2）的一次函数解析式为：y＝kx+2，将y＝x2+1代入，得：x2+1＝kx+2，即x2﹣kx﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝k，x1x2＝﹣1，∴y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2•x1x2+2k（x1+x2）+4＝k2+4，∵用S1，S2，S3表示△ACE，△ECD，△EDB的面积，∴S1＝12AC•（﹣x1）＝12y1•（﹣x1）＝﹣12x1y1，S2＝12CD•OE＝12（x2﹣x1）×2＝x2﹣x1，S3＝12BD•x2＝12x2y2，∴S22＝（x2﹣x1）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝k2﹣4×（﹣1）＝k2+4，S1S3＝﹣12x1y1•12x2y2＝﹣14（x1x2）（y1y2）＝﹣14×（﹣1）×（k2+4）＝14（k2+4），∵S22＝m S1S3，∴k2+4＝m•14（k2+4），∴m＝4．【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数和二次函数交点，根与系数关系，三角形面积，圆的性质等，是一道综合性强，涉及知识点多的中考压轴题型；解题关键是灵活运用根与系数关系和乘法公式．4．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，A(0，a)，B(b，0)，D(c，0)c2﹣4c＋4＝0，b为最大的负整数，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．（1）求A，B，D的坐标；（2）在y轴上是否存在点G使得GF＋GE有最小值？如果存在，求出GF＋GE的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）如图，过P(0，﹣1)作x轴的平行线，在平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM＝45°，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求AM MQPQ-的值．【答案】（1）A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2；（3）1．【分析】（1）由非负数的性质可求得a、c的值，可求得A、B、D的坐标；（2）由条件可证明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE的解析式，可求得F点坐标；如图1，作点F关于y轴的对称点F'(﹣3，0)，连接EF'，交AO于G，则GF＋GE最小值为EF'，由勾股定理可求解；（3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点H，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI＝QH，可证明△IGE≌△QHE，可证得∠IEM＝∠MEQ＝45°，可证明△EIM≌△EQM，可得到IM＝MQ，再结合条件可求得AI＝PQ，可求得答案．【详解】解：（1）＋c2﹣4 c＋4＝0，＋（c﹣2）2＝0，∴a＝3，c＝2，∵b为最大的负整数，∴b＝﹣1，∴A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2）∵A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)，∴OB＝1，OD＝2，OA＝3，∴AO＝BD，在△ABO和△BED中，90ABOBED AOBBDE AO BD ，∴△ABO ≌△BED （AAS ），∴DE ＝BO ＝1，∴E (2，1)，设直线AE 解析式为y ＝kx ＋b ，把A 、E 坐标代入可得312b k b ，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AE 的解析式为y ＝﹣x ＋3，令y ＝0，可解得x ＝3，∴F (3，0)，如图1，作点F 关于y 轴的对称点F '(﹣3，0)，连接EF '，交AO 于G ，则GF ＋GE 最小值为EF '，∴EF ' ，∴GF ＋GE（3）过E 作EG ⊥OA ，EH ⊥PQ ，垂足分别为G 、H ，在GA 上截取GI ＝QH ，如图2，∵E (2，1)，P (﹣1，0)，∴GE ＝GP ＝EH ＝PH ＝2，∴四边形GEHP 为正方形，∴∠IGE ＝∠EHQ ＝90°，在Rt △IGE 和Rt △QHE 中，{GE HEIGE EHQ IG QH=∠=∠=∴△IGE ≌△QHE （SAS ），∴IE ＝EQ ，∠1＝∠2，∵∠QEM ＝45°，∴∠2＋∠3＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，∴∠IEM ＝∠QEM ，在△EIM 和△EQM 中，IE QEIEM QEMME ME，∴△EIM≌△EQM（SAS），∴IM＝MQ，∴AM﹣MQ＝AM﹣IM＝AI，由（2）可知OA＝OF＝3，∠AOF＝90°，∴∠A＝∠AEG＝45°，∴PH＝GE＝GA＝IG＋AI，∴AI＝GA﹣IG＝PH﹣QH＝PQ，∴AM MQ AIPQ PQ-=＝1．【点睛】本题是三角形综合题，涉及知识点有非负数的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，正方形的判定和性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．5．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）如图1，已知抛物线F1：y＝ax2﹣36a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D．（1）若D（0，﹣8）为△ABC的外心，求a的值；（2）如图2，若D为△ABC的内心且△ABC的内切圆半径为3，点P为线段BC的中点，求经过点P的反比例函数的解析式；（3）如图3，点E是抛物线F1与直线l的另一个交点，已知OC＝2OD，△BCE的面积为6，点E在双曲线F2：y＝1cx+上，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的函数值的取值范围恰好是2m≤y≤2n，求m +n 的值．【答案】（1）a ＝12；（2）y ＝﹣6x 或y ＝﹣18x；（3）m +n ＝3【分析】（1）在y ＝ax 2﹣36a 中，令y ＝0，可求得点A ，B 的坐标，根据D （0，﹣8）为△ABC 的外心，可得DA ＝DB ＝DC ，再运用勾股定理即可求得a 的值；（2）根据勾股定理可求得AC ＝BC ，可得S △ABC ＝12AB •OC ＝216a ，再根据D 为△ABC 的内心且△ABC 的内切圆半径为3，亦可得S △ABC ＝12×（AB +BC +AC ）×3，建立方程即可求得a 的值，从而可得点C 坐标，再利用中点坐标公式可得点P 坐标，即可求得结论；（3）先运用待定系数法求得直线l 解析式，再联立方程组求得点E 坐标，利用△BCE 的面积建立方程求a 的值，通过点E 坐标求得c 的值，从而得到抛物线解析式，再结合二次函数增减性和最值进行分类讨论求得m ，n 的值即可得到答案．【详解】解：（1）在y ＝ax 2﹣36a 中，令y ＝0，得：ax 2﹣36a ＝0，解得：x 1＝﹣6，x 2＝6，∴A （﹣6，0），B （6，0），∵D（0，﹣8）为△ABC的外心，∴DA＝DB＝DC，∵抛物线F1：y＝ax2﹣36a（a＞0）与y轴交于点C，∴C（0，﹣36a），∴DC＝﹣8﹣（﹣36a）＝36a﹣8，在Rt△BOD中，DB＝10，∴36a﹣8＝10，∴a＝12；（2）由（1）知：AB＝6﹣（﹣6）＝12，OC＝36a，由勾股定理得：AC＝BC，∵D为△ABC的内心且△ABC的内切圆半径为3，∴S△ABC＝12×（AB+BC+AC）×3，∵S△ABC＝12AB•OC＝12×12×36a＝216a，∴12×（AB+BC+AC）×3＝216a，即12×（×3＝216a，解得：a1＝19，a2＝13，∴C（0，﹣4）或C（0，﹣12），∵点P为线段BC的中点，∴P（3，﹣2）或P（3，﹣6），设经过点P的反比例函数的解析式为y＝kx，将P（3，﹣2）或P（3，﹣6）分别代入，得：k＝﹣6或﹣18，∴经过点P的反比例函数的解析式为y＝﹣6x或y＝﹣18x；（3）由（1）知：B（6，0），C（0，﹣36a），∵OC＝2OD，∴D（0，﹣18a），∵直线l：y＝kx+b经过点B，与y轴负半轴交于点D，∴6018k bb a+=⎧⎨=-⎩，解得：318k ab a=⎧⎨=-⎩，∴直线l解析式为：y＝3ax﹣18a，∵点E是抛物线F1与直线l的另一个交点，∴236318y ax a y ax a ⎧=-⎨=-⎩，解得：116 0x y =⎧⎨=⎩（舍去）22327xy a=-⎧⎨=-⎩，∴E（﹣3，﹣27a），∴S△BCE＝12×DC×（3+6）＝12×[﹣18a﹣（﹣36a）]×9＝81a，∵△BCE的面积为6，∴81a＝6，解得：a＝2 27，∴E（﹣3，﹣2），∵点E在双曲线F2：y＝1cx上，∴c+1＝6，∴c＝5，∵当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝﹣x2+2x+c的函数值的取值范围恰好是2m≤y≤2n，∴二次函数y＝﹣x2+2x+5，当m≤x≤n（其中mn＜0）时，2m≤y≤2n，且m＜0，由y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣1）2+6，可知：抛物线对称轴为直线x＝1，顶点（1，6），①当n≤1时，y随x增大而增大，又x＝m时，y＝2m，x＝n时，y＝2n，∴2m＝﹣m2+2m+5或2n＝﹣n2+2n+5，解得：m n∵m＜0，0＜n≤1，∴m，n＝；②当n＞1时，则2n＝6，解得n＝3，若﹣1＜m＜0，则最小值在x＝3处取得，即2m＝﹣32+2×3+5＝2，解得：m＝1＞0，不符合题意，舍去；若m≤﹣1，最小值在x＝m处取得，即2m＝﹣m2+2m+5，解得：m1m2，∴m，n＝3，综上所述，m，n＝3；∴m+n＝3【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数与二次函数交点，三角形内心、外心，三角形面积，中点坐标，反比例函数等；是一道综合性较强的压轴题，解题时务必要认真审题，理清思路，能够将相关知识点结合起来；充分利用题目中的信息，运用方程思想，分类讨论思想是解题关键．6．（2020·湖南广益实验中学九年级月考）已知点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2（a≠0，m为常数）的顶点．（1）若此二次函数与x轴只有一个交点，试确定m的值；（2）已知以坐标原点O为圆心的圆半径是45，试判断点M与⊙O的位置关系，若能确定，请说明理由，若不能确定，也请分类讨论之；（3）对于任意实数m，点M都是直线l上一点，直线l与该二次函数相交于A、B两点，a是以3、4、5为边长的三角形内切圆的半径长，点A、B在以O为圆心的圆上．①求⊙O的半径；②求该二次函数的解析式．【答案】（1）1；（2）点M在⊙O外，理由见解析；（3）①4；②21634 525y x x=-+【分析】（1）由二次函数与x轴只有一个交点，可得△＝0，从而得出关于m的方程，解方程即可确定m的值；（2）写出点M的坐标，用含m的式子表示出OM2，从而可得关于m的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得OM2的最小值，求其算术平方根，可得OM的最小值，从而可判断点M与⊙O的位置关系；（3）①由切线长定理求得a的值，将其代入抛物线的解析式，写出直线l的解析式，由抛物线的解析式与直线l的解析式可得关于x的方程，解方程，从而用含m的式子表示出点A和点B的坐标，由勾股定理或两点距离公式可得⊙O的半径；②将a和m的值代入抛物线y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2计算即可得出答案．【详解】解:（1）∵二次函数与x轴只有一个交点，∴△＝(﹣2am)2﹣4a(am2﹣2m+2)＝0，∴8am﹣8a＝8a(m﹣1)＝0，∵a≠0，∴m﹣1＝0，∴m＝1；（2）∵点M为关于x的二次函数y＝ax2﹣2amx+am2﹣2m+2的顶点，∴M(m，﹣2m+2)，∵原点O的坐标为(0，0)，∴OM2＝m2+(﹣2m+2)2＝5m 2﹣8m +4 ＝2445()55m -+， ∴当m ＝45时，OM 2有最小值45，455=>， ∴点M 在⊙O 外；（3）①作出以3、4、5为边长的三角形，F ，G ，H 是三角形与⊙O 的切点，连接OF ，OG ，如图所示:由勾股定理可知该三角形是直角三角形，则∠E ＝90°，由切线的性质可知，OF ⊥DE ，OG ⊥CE ，∴∠OFE ＝90°，∠OGE ＝90°，∴四边形OFEG 是矩形，∵OF ＝OG ＝a ，∴四边形OFEG 是正方形，∴FE ＝EG ＝a ，∵CH ＝CG ，DH ＝DF ，∴2a ＝3+4﹣5，∴a ＝1，∴y ＝x 2﹣2mx +m 2﹣2m +2，∵对于任意实数m ，点M 都是直线l 上一点，且M (m ，﹣2m +2)，∴直线l 的解析式为y ＝﹣2x +2，令﹣2x +2＝x 2﹣2mx +m 2﹣2m +2，解得x 1＝m ，x 2＝m ﹣2，∴A (m ，﹣2m +2)，B (m ﹣2，﹣2m +6)，∵点A 、B 在以O 为圆心的圆上，∴m 2+(﹣2m +2)2＝(m ﹣2)2+(﹣2m +6)2，解得m ＝85，∴⊙O 4==． ②将a ＝1，m ＝85代入抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2﹣2m +2得21634525y x x =-+． ∴该二次函数的解析式为21634525y x x =-+．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与x 轴的交点、利用二次函数的性质求最值、点与圆的位置关系、切线长定理、直线与抛物线的交点及解一元二次方程等知识点，综合性较强，需要熟练掌握相关性质及定理并正确运算．7．（2021·长沙市湘郡培粹实验中学九年级期末）对于一个函数给出如下定义；对于函数y ，若当a x b ≤≤，函数值y 满足m y n ≤≤，且满足()n m k b a -=-，则称此函数为“k 属合函数”．例如：正比例函数2y x =-，当13x ≤≤时，62y -≤≤-，则()()2631k ---=-，求得：2k =，所以函数2y x =-为“2属合函数”．（1）一次函数10,13()y ax a x =-<≤≤为“1属合函数”，求a 的值．（2）反比例函数(0,k y k a x b x=>≤≤，且0a b <<）是“k 属合函数”，且a b +=，请求出22a b +的值；（3）已知二次函数22362y x ax a a =-+++，当11x -≤≤时，y 是“k 属合函数”，求k 的取值范围．【答案】（1）a =-1；（2）2019；（3）k ≥32．【分析】（1）利用“k 属合函数”的定义即可得出结论；（2）先判断出函数的增减性，利用“k 属合函数”的定义得出ab =1，最后利用完全平方公式即可得出结论；（3）分四种情况，各自确定出最大值和最小值，最后利用“k 属合函数”的定义即可得出结论．【详解】解：（1）当a ＜0时，一次函数的y 随着x 的增大而减小，∵1≤x ≤3，∴3a -1≤y ≤a -1，∵一次函数y =ax -1（a ＜0，1≤x ≤3）为“1属合函数”，∴（a -1）-（3a -1）=1×（3-1），∴a =-1；（2）∵反比例函数y =k x，k ＞0， ∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，当a ≤x ≤b 且0＜a ＜b 是“k 属合函数”， ∴()k k k b a a b-=-， ∴ab =1，∵a+b∴a2+b2=（a+b）2-2ab=2021-2=2019；（3）∵二次函数y=-3x2+6ax+a2+2a的对称轴是：直线62(3)ax a =-=⨯-，∴当-1≤x≤1时，y是“k属合函数”，∴当x=-1时，y=a2-4a-3，当x=1时，y=a2+8a-3，当x=a时，y=4a2+2a，①如图1，当a≤-1时，当x=-1时，有y max=a2-4a-3，当x=1时，有y min=a2+8a-3，∴（a2-4a-3）-（a2+8a-3）=2k，∴k=-6a，∴k≥6；②如图2，当-1＜a≤0时，当x =a 时，有y max =4a 2+2a ，当x =1时，有y min =a 2+8a -3，∴（4a 2+2a ）-（a 2+8a -3）=2k ， ∴23(1)2k a =-， ∴362k ≤<； ③如图3，当0＜a ≤1时，当x =a 时，有y max =4a 2+2a ，当x =-1时，有y min =a 2-4a -3∴（4a 2+2a ）-（a 2-4a -3）=2k ， ∴23(1)2k a =+， ∴362k <≤； ④如图4，当a ＞1时，当x =1时，有y max =a 2+8a -3，当x =-1时，有y min =a 2-4a -3，∴（a 2+8a -3）-（a 2-4a -3）=2k ，∴k =6a ，∴k ＞6；综上，k 的取值范围为k ≥32．【点睛】此题是二次函数，一次函数，反比例函数的综合题，主要考查了新定义的理解和应用，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．8．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）一般地，在画一个图形关于某点的中心对称图形时，首先找到对称中心，将关键点与对称中心相连，并延长至等长，最后将所得的对应点连接即可得到对称图形．若将函数C 1的图象沿某一点旋转180度，与函数C 2的图象重合，则称函数C 1与C 2关于这个点互为“中心对称函数”，这个点叫作函数C 1、C 2的“对称中心”，如：求函数y x =的关于（1，0）的中心对称函数，可以在函数上取（0，0）和（1，1），两个点关于（1，0）中心对称点分别是（2，0）和（1，1-），这样我们就可以得到函数y x =关于（1，0）中心对称函数2y x =-．（1）求函数32y x =+关于（1，0）的中心对称函数；（2）若函数C 1：2y x b =+，对称中心是（0，b -），此时C 1的关于（0，b -）的中心对称函数C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点，求b 的值；（3）若函数C 1：211y x =+，对称中心是（1，10），当04x ≤≤时，此时函数C 1关于（1，10）的中心对称函数C 2的图象与函数3y kx k =+的图象始终有交点，求k 的取值范围．【答案】（1）y=3x-8；）（2）b=43±；（3）57≤k≤2．【分析】（1）由“中心对称函数”的概念解答即可；（2）在函数2y x b =+求出两个点关于（0，b -）的中心对称点，则得到函数2C 的解析式，再根据C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点，得△=0，求出b 即可；（3）求出函数C 1：211y x =+关于（1，10）的中心对称函数2C ，再根据C 2的图象与函数3y kx k =+的图象始终有交点，得△≥0，求出k ，再根据x 的取值范围对k 进行检验．【详解】解：（1）由题意得：可在32y x =+上取（0，2）和（-23，0），两个点关于（1，0）的中心对称点分别是（2，-2）和（8,03），则得到函数32y x =+关于（1，0）的中心对称函数y=3x-8；（2）可在函数1C ：y=2x+b 上取（0，b ）和（-b ,02），两个点关于（0，b -）的中心对称点分别是（0，-3b ）和（,22b b -），则得到函数y=2x+b 关于（0，b -）的中心对称函数2C ： y=2x-3b ，又∵函数C 2的图象与函数2y x=-的图象有且只有一个交点， ∴2x+b=-2x22320x bx -+=△=29b 160-=b=±43（3）在函数C 1：211y x =+上取（0，11）、（1，12），两个点关于（1，10）的中心对称点分别是（2，9）、（1，8），则得到函数2C 的解析式：y=-245x x ++，当x=4时，y=5，∴A(4，5)，∵函数C 2的图象与函数3y kx k =+的图象在0≤x≤4上始终有交点，∴-245x x ++=kx+3k∴-2(4)530x k x k +-+-=∵△=2(4)+4(53)k k -⨯-=0∴22036k k -+=0解得：122,18k k ==，把A(4，5)代入y=kx+3k 得k=57， ∴k 的取值范围为57≤k≤2．【点睛】本题考查了对“中心对称函数”的概念理解与运用和判别式的应用，掌握这些知识点是解题的关键． 9．（2021·湖南长沙市·九年级专题练习）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的“对称函数”．（1）已知一次函数y ＝﹣2x +3的图象，求关于直线y ＝﹣x 的对称函数的解析式；（2）已知二次函数y ＝ax 2+4ax +4a ﹣1的图象为C 1；①求C 1关于点R （1，0）的对称函数图象C 2的函数解析式；②若两抛物线与y 轴分别交于A 、B 两点，当AB ＝16时，求a 的值；（3）若直线y ＝﹣2x ﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P ，不论m 取何值，抛物线y ＝mx 2+（m ﹣23）x ﹣（2m ﹣38）都不通过点P ，求符合条件的点P 坐标．【答案】（1）y =1322x - ，(2) ①28161y ax ax a =-+-+ ，②910或7-10 （3）（1，1），(-2，7). 【分析】（1）取y =-2x +3上两点（0，3），（32，0），求出这两点关于y =-x 对称点，代入y =k x +b ，求出k ，b 的值则可以得出解析式；（2）①设C 2上的点为（x ，y ），其关于（1，0）的对称点代入C 1上，则可以求出C 2 的解析式； ②C 1与y 轴交于（0，4a -1）， C 2与y 轴交于（0，-16a +1）根据AB =16，列方程求出a 的值，（3）求出y =-2x -3关于原点对称函数为y =-2x +3，根据抛物线不通过点P ：222323()(2)(2)3838y mx m x m x x x =+---=+--+ ，令220x x +-= ，得出x ，将x 的值代入y =-2x +3中，由于函数值得唯一性，得出点P 的坐标.【详解】（1）取y =-2x +3上两点（0，3），（32 ，0）两点关于y =-x 对称点为（-3，0），（0，-32）设y =x +b ，则0332k b b =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ ，解得1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ，则1322y x =-- ，（2）①设C 2上的点为（x ，y ），其关于（1，0）的对称点为（2-x ，-y ），(2-x ，-y )在C 1上，则()()224241y a x a x a -=-+-+-C 2:28161y ax ax a =-+-+，②C 1关于y 轴交于（0，4a -1）， C 2关于y 轴交于（0，-16a +1），AB =｜(4a -1)-(-16a +1)｜=16，｜2a -2｜=16，解得a =910或-710 ，（3）y =-2x -3关于原点对称函数为y =-2x +3，抛物线:()222323223838y mx m x m x x m x ⎛⎫⎛⎫=+---=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令220x x +-= ，得x 1=1，x 2=-1，则抛物线经过（1，7-24 ），（-2，4124）令x =1，y =-2x -3=1，令x =-2，y =-2x +3=7，点（1，1）（-2，7）在y =-2x +3上由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上，故P 为(1，1)或(-2，7)．【点睛】此题是一次函数，二次函数的综合，包含求函数的解析式，函数的对称性，一次函数的点的坐标特征，二次函数图像和性质，以及一次函数与一元一次方程结合，解题的关键是熟悉一次函数，二次函数的图像和性质．10．（2020·湖南长沙市·九年级月考）已知y 是关于x 的函数，若其图像经过点(,2)P t t ，则称点P 为函数图像上的“偏离点”．例如：直线3y x =-上存在“偏离点”(3,6)P --．（1）在双曲线1y x =上是否存在“偏离点”？若存在，请求出“偏离点”的坐标；若不存在，请说明理由．（2）若抛物线2212221239y x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭上有“偏离点”，且“偏离点”为()11,A x y 和()22,B x y ，求22123ka w x x =+-的最小值（用含k 的式子表示）；（3）若函数21(2)24y x m t x n t =+-+++-的图像上存在唯一的一个“偏离点”，且当23m -≤≤时，n 的最小值为t ，求t 的值．【答案】（1）2P ⎛ ⎝和2P ⎛- ⎝；（2）2241632k k ++-；（2）4或1．【分析】（1）根据“偏离点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“偏离点”；（2）设抛物线“偏离点”的坐标为P （x ，2x ），代入抛物线的关系式中得到关于x 的一元二次方程，因为有两个偏离点，则这两个偏离点的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，先由△的值确定a 的取值，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，再将所求式子代入w=x 12+x 22-3ka 进行变形，得到w 关于a 的二次函数，求最小值即可；（3）设函数“偏离点”的坐标为P （x ，2x ），代入函数的关系式中得到关于x 的一元二次方程，因为有一个偏离点，则△=0，得到n=（m-t ）2-t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t ，分三种情况讨论：①t ＜-2，列方程，方程无解，没有符合条件的t 值；②t ＞3，列方程，解出t 并取舍；③当-2≤t≤3，同理得t=1．【详解】（1）设存在这样的“偏离点”P ，坐标为(),2t t ，将点P 的坐标代入双曲线1y x=得： 12t t =，221t =，解得2t =±，故存在两个“偏离点”，坐标为2P ⎛ ⎝和2P ⎛- ⎝．（2）设抛物线“偏离点”的坐标为(),2P x x ，将点P 的坐标代入抛物线2212221239y x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭中得 22122221239x x a x a a ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭， 2212210239x ax a a -+--+=， ∵“偏离点”为()11,A x y 和()22,B x y ， ∴1x 、2x 是方程2212210239x ax a a -+--+=的两个根， 22212410329a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆=-⨯---+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 224221099a a a ⎛⎫∆=+--+≥ ⎪⎝⎭， 220a ∆=-+≥，∴1a ≤， ∵12243132a a x x +=-=-，2212214922192a a x x a a --+⋅==+--，()2221212122244222393233a ka a a ka ka w x x x x x x ⎛⎫=+-=+-⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 28(4)493k w a a =-++， ∵809>， ∴抛物线开口向上，且对称轴：4363391628kk a --+=-=⨯ ， ∴若36316k a +=≥1时，即36+3k≥16，则当a=1时，w 的最小值是：893k -；若36316k a +=＜1时，即36+3k ＜16，k ＜203-，则当36316k a +=时，则w 小=28449849(4)3k ⨯⨯-⨯+=21313242k k ---=2241632k k ++- ；（3）设函数“偏离点”的坐标为(),2P x x ，将点P 的坐标代入函数()21224y x m t x n t =+-+++-得 ()21224x x m t x n t =+-+++-， ()21204x m t x n t +-++-=， ∵存在唯一的一个“偏离点”，∴()()214204m t n t ∆=--⨯⨯+-=，()22n m t t =--+，这是一个n 关于m 的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m t =，对称轴左侧，n 随m 的增大而减小；对称轴右侧，n 随m 的增大而增大；①2t <-，当23m -≤≤时，在对称轴右侧递增，∴当2m =-时，n 有最小值为t ，即()222t t t ---+=，2260t t ++=， 44160∆=-⨯⨯<，方程无解，②3t >，当23m -≤≤时，在对称轴左侧递减，∴当3m =时，n 有最小值为t ，即()232t t t --+=，解得14t =243t =<（舍），③当23t -≤≤，当23m -≤≤时，n 有最小值为2t -+，∴2t t -+=，1t =．综上所述，t 的值为4+或1．【点睛】本题是一个阅读理解问题，考查了对函数“偏离点”的掌握和运用，还考查了反比例函数和二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，函数有最小值，当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．。

2021年中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练二：与角的度量有关的压轴题(附答案

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练二:与角的度量关系相关的压轴题(附答案)方法提炼:1.将角的度量关系转化为边的数量,利用边的数量关系求解问题的答案｡2.利用角的度量关系,寻找问题中的特殊角,结合三角函数求解｡3.利用角的度量关系,构建图形的全等､相似,利用图形的全等､相似的性质求解典例引领:例:如图,抛物线y=ax2+3x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=4.(1)求该抛物线的函数解析式.(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S:S△CDF=4:3时,求点D的坐标.△COF(3)如图2,点E的坐标为(0,﹣2),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.14.解:(1)∵OB=OC=4,∴B(4,0),C(0,4),把B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+3x+c,得,解得∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)如图1,设直线BC解析式为y=kx+b,则,解得∴直线BC解析式为y=﹣x+4,令点D､F的横坐标分别为x D,x F,∵S△COF:S△CDF=4:3,∴S△COF=S△COD,即OC•x F=×OC•x D,∴x D=x F,设点D横坐标为7t,点F横坐标为4t,∵点F在直线BC上,∴F(4t,4﹣4t),设直线OF解析式为y=k′x,则4﹣4t=4tk′,∴k′==,∴直线OF解析式为y=x,∵点D在直线OF上,∴D(7t,7﹣7t),将D(7t,7﹣7t)代入y=﹣x2+3x+4中,得7﹣7t=﹣(7t)2+3×7t+4,解得:t1=,t2=,∴D的坐标为(1,6)或(3,4);(3)①当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴上方时,如图2,作BE的垂直平分线交OB于F,连接EF,在∠BEO内部作射线EP交x轴于G,交抛物线于P,使∠PEB=∠EFO,过点G作GH⊥BE于H,则BF=EF,设BF=EF=m,∴OF=OB﹣BF=4﹣m在Rt△OEF中,∠EOF=90°,∵OE2+OF2=EF2∴22+(4﹣m)2=m2,解得:m=,∴BF=EF=,OF=4﹣=,∴tan∠OBE===,tan∠OFE===,∵BF=EF∴∠BEF=∠OBE∵∠OFE=∠BEF+∠OBE∴∠OFE=2∠OBE∵∠PEB=2∠OBE∴∠PEB=∠OFE∴tan∠PEB==tan∠OFE=,设GH=4a,则EH=3a,∴BE===2,BH=2﹣3a∵=tan∠∠OBE=,∴=,解得:a=,∴GH=,BH=∴BG==∴OG=OB﹣BG=4﹣=∴G(,0),设直线EG解析式为y=k″x+b″,则,解得∴直线EG解析式为y=x﹣2,联立方程组,解得:(舍去),,∴P(,),②当∠PEB=2∠OBE,且点P在x轴下方时,如图3,过点E作EF⊥y轴,作点B关于直线EF 的对称点G,连接BG交EF于F,射线EG交抛物线于点P,∵E(0,﹣2),∴直线EF为:y=﹣2∵B(4,0),∴G(4,﹣4)∴直线EG解析式为y=﹣x﹣2,解方程组,得,(不符合题意,舍去),∴P(,);③当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴上方时,如图4,在y轴正半轴上截取OF=OE=2,作射线BF交抛物线于P,在△BOE和△BOF中,∴△BOE≌△BOF(SAS)∴∠PBO=∠OBE∴∠PBE=2∠OBE易求得直线PF解析式为y=﹣x+2,联立方程组,解得(不符合题意,舍去),,∴P(﹣,);④当∠PBE=2∠OBE,且点P在x轴下方时,如图5,过点E作EF⊥BE交直线BP于F,过F 作FG⊥y轴于G,由①知:tan∠PBE==,BE=2∴EF=∵∠EGF=∠BOE=∠BEF=90°∴∠BEO+∠FEG=∠BEO+OBE=90°∴∠FEG=∠OBE∴△EFG∽△BEO∴==,即==∴FG=,EG=∴OG=OE+EG=2+=∴F(,﹣)易求得直线BF解析式为y=x﹣22,联立方程组,解得(舍去),∴∴P(﹣,﹣);综上所述,符合条件的点P的坐标为:(,)､(,)､(﹣,)､(﹣,﹣).跟踪训练:1.如图,抛物线y=ax2+bx过A(4,0),B(1,3)两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一点,且位于第一象限,当△ABP的面积为3时,求出点P的坐标;(3)过B作BC⊥OA于C,连接OB,点G是抛物线上一点,当∠BAG+∠OBC=∠BAO时,请直接写出此时点G的坐标.2.如图,抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣5,0),B(1,0),顶点为D,与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式及D点坐标;(2)在直线AC上方的抛物线上是否存在点E,使得∠ECA=2∠CAB,如果存在这样的点E,求出△ACE面积,如果不存在,请说明理由.3.如图1,抛物线y=﹣+bx+c经过原点(0,0),A(12,0)两点.(1)求b的值;(2)如图2,点P是第一象限内抛物线y=﹣+bx+c上一点,连接PO,若tan∠POA=,求点P的坐标;(3)如图3,在(2)的条件下,过点P的直线y=﹣x+m与x轴交于点F,作CF=OF,连接OC交抛物线于点Q,点B在线段OF上,连接CP､CB､PB,PB交CF于点E,若∠PBA=2∠PCB,∠BEF=2∠BCF,求点Q的坐标.4.如图,抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A､B(A在B左侧),交y轴于点C,直线y=﹣x+6经过点B､C.(1)求抛物线解析式;(2)点P为第一象限抛物线上一点,连接P A交BC于点D,设点P的横坐标为t,的值为d,求d与t的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围);(3)在(2)的条件下,点E为线段OB上一点,连接CE,过点O作CE的垂线交BC于点G,连接PG并延长交OB于点F,若∠OGC=∠BGF,F为BE中点,求t的值.5.抛物线y=ax2+c经过点(0,﹣1),交x轴于A(﹣1,0),B两点,点P是第一象限内抛物线上一动点.(1)直接写出抛物线的解析式;(2)如图1已知直线l的解析式为y=x﹣2,过点P作直线l的垂线,垂足为H,当PH=时,求点P的坐标;(3)如图2,当∠APB=45°时,求点P的坐标.6.已知抛物线y=x2﹣mx﹣m﹣1与x轴交于A､B两点,点A在点B的左边,与y轴交于点C(0,﹣3).(1)求点A､B的坐标;(2)点D是抛物线上一点,且∠ACO+∠BCD=45°,求点D的坐标;(3)将抛物线向上平移m个单位,交线段BC于点M,N,若∠MON=45°,求m的值.7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(﹣1,0),D(﹣3,0),C(﹣4,3),四边形ABCD是平行四边形.现将▱ABCD沿x轴方向平移n个单位,得到▱A1B1C1D1,抛物线M经过点A1,C1,D1.(1)若抛物线M的对称轴为直线x=4,求抛物线M的解析式;(2)抛物线M的顶点为E,若以A,E,C1为顶点的三角形的面积等于▱ABCD的面积的一半,求n的值;(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点P,使得∠C1P A=∠C1EA?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.8.如图,在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A､B,交y轴于点C,A､B两点横坐标为﹣1和3,C点纵坐标为﹣4.(1)求抛物线的解析式;(2)动点D在第四象限且在抛物线上,当△BCD面积最大时,求D点坐标,并求△BCD面积的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得∠QBC=45°,如果存在,求出点Q的坐标,不存在说明理由.9.抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A､B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线y=﹣2x+6经过B､C两点,连接AC.(1)求抛物线的解析式:(2)点P是第一象限抛物线上一点,P点横坐标为t,连接PC､PB,设△PBC的面积为S,求S与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围):(3)在(2)问的条件下,当S=3且t<2时,连接PB,在抛物线上是否存在一点Q,使∠PBQ=∠ACB?若存在求出Q点坐标,若不存在,说明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A､B两点,与y轴交于C点,B点与C点是直线y=x﹣3与x轴､y轴的交点.D为线段AB上一点.(1)求抛物线的解析式及A点坐标.(2)若点D在线段OB上,过D点作x轴的垂线与抛物线交于点E,求出点E到直线BC的距离的最大值.(3)D为线段AB上一点,连接CD,作点B关于CD的对称点B′,连接AB′､B′D①当点B′落坐标轴上时,求点D的坐标.②在点D的运动过程中,△AB′D的内角能否等于45°,若能,求此时点B′的坐标;若不能,请说明理由.11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+x+c交x轴于点A､点B,交y轴于点C.直线y=﹣x+2经过于点C､点B,(1)求抛物线的解析式;(2)点D为第一象限抛物线上一动点,过点D作y轴的平行线交线段BC于点E,交x轴于点Q,当DE=5EQ时,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,点M为第二象限抛物线上一动点,连接DM,DM交线段OC于点H,点F在线段OB上,连接HF､DF､DC､DB,当HF=,∠CDB=2∠MDF时,求点M的坐标.12.已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(﹣1,0)､B两点,与y轴交于点C,且过点P(5,12).(1)求抛物线的解析式.(2)如图,点Q为线段CP上一动点,过点Q作QF⊥x轴于点F,交抛物线于点D,连接CD,PD,若S△QDC:S△QDP=2:3,求直线PD的解析式.(3)过点B的直线交抛物线于M,是否存在点M使∠ABM=∠PCO,若存在,求出点M的坐标.若不存在,说明理由.13.如图1,抛物线C1:y=x2+(m﹣2)x﹣2m(m>0)与x轴交于点A､B(A在B的左侧),与y轴交于点C,连接AC､BC,S△ABC=3.(1)求m的值;(2)如图2,将射线BC绕点B顺时针方向旋转交抛物线C1第二象限的图象于点D,连接DC.当x轴恰好三等分△DBC的面积时,求此时点D的横坐标;(3)将抛物线C1向右平移,使新抛物线C2经过原点,如图3,C2的对称轴l交抛物线C2于E,交直线y=4于F,直线y=4交C2于点G､H(G在H的左侧),点M､N分别从点G､H同时出发,以1个单位长度/秒向点F运动.设点M运动时间为t(秒),点M､N到达F时,运动停止,点W在l上,WF=,连MW､NE.当∠MWF=3∠FEN时,求t的值.参考答案1.解:(1)将点A､B的坐标代入抛物线表达式并解得:a=﹣1,b=4,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x…①;(2)过点P作直线m交x轴于点M,过点P作PH⊥AB于点H,过点A作AN⊥直线m,在AB下方作直线n距离直线AB的长度为PH,△ABP的面积S=AB×PH=×3×PH=3,解得:PH==AN,直线AB的倾斜角为45°,故直线m､n所在直线的k值为:﹣1,则AM=AH=2,故点M(6,0),则直线m的表达式为:y=﹣x+6…②,同理直线n的表达式为:y=﹣x+2…③,联立②①并解得:x=2或3,联立③①并解得:x=(舍去);综上,点P的坐标为:(3,3)或(2,4)或(,);(3)∵BC=AC=3,故∠BAO=45°=∠BAG+∠OBC,①当点G在AB上方时,如图2(左侧图),设抛物线对称轴交x轴于点M,连接BM,OC=OM=1,故∠CBM=∠OBC,则∠CAB=45°=∠CBM+∠MBA=∠OBC+∠ABM,而45°=∠BAG+∠OBC,故∠ABM=∠GAB,则AG∥BM,直线BM表达式中的k值为:3,故直线AG的表达式为:y=﹣3x+b,将点A的坐标代入上式并解得:直线AG的表达式为:y=﹣3x+12…④;联立①④并解得:x=3或4(舍去4);②当点G在AB下方时,如图2(右侧图),∠BAG+∠OBC=∠BAO=45°,而∠BAG+∠GAC=45°,∴∠OBC=∠GAC,而tan∠OBC===tan∠GAC,则直线AG的表达式为:y=﹣x+b′,将点A坐标代入上式并解得:直线AG的表达式为:y=﹣x2+…⑤,联立⑤①并解得:x=或4(舍去4).综上,点P的坐标为:(3,3)或(,).2.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+与x轴交于点A(﹣5,0),B(1,0),∴,∴∴抛物线的表达式为:y=﹣x2﹣2x+,∴顶点D(﹣2,)(2)如图,过点C作CM∥AB,过点E作EF⊥CM,设点E(m,﹣m2﹣2m+)∵y=﹣x2﹣2x+交y轴交于点C,∴点C(0,),∴OC=,∵CM∥AB,∴∠MCA=∠CAB,∵∠ECA=2∠CAB=∠ECF+∠MCA,∴∠ECF=∠CAB,且∠AOC=∠EFC=90°,∴△CEF∽△ACO,∴,∴=∴m=0(不合题意),m=﹣3,∴点E(﹣3,4),∴S△AEC=×(+4)×3+×4×2﹣×5×=.3.解:(1)∵抛物线y=﹣+bx+c经过原点(0,0),A(12,0)两点.∴c=0,0=﹣×144+12b+c∴b=;(2)如图2,过点P作PE⊥OA于点E,∵c=0,b=,∴抛物线解析式为:y=﹣+x∵点P是第一象限内抛物线y=﹣+x上一点,∴设点P(m,﹣m2+m),(m>0)∵tan∠POA==,∴=,∴m=8,∴点P(8,4);(3)连接OP,∵直线y=﹣x+m过点P(8,4),∴m=,∴直线解析式为y=﹣x+,当y=0,x=,∴点F(,0),∵∠BEF=∠BCF+∠PBC,且∠BEF=2∠BCF,∴∠PBC=∠BCF,∵∠PBA=2∠PCB,∠BEF=2∠BCF,∴∠EFB=180°﹣2∠PCB﹣2∠PBC,∵OF=CF,∴∠COF=∠PCB+∠PBC=∠OCF,∵∠CPB=180°﹣∠BCP﹣∠PBC,∴∠CPB+∠COF=180°,∴点O,点B,点P,点C四点共圆,∴∠PBA=∠OCP,∠OCB=∠OPB,∠BCP=∠BOP,∵∠PBA=2∠PCB,∠PBA=∠OCP=∠OCB+∠BCP,∴∠OCB=∠BCP,∴∠BPO=∠POB,∴OB=PB,设点B(a,0)∴OB=BP=a,∴a=∴a=7∴点B(7,0)设过点O,点B,点P,点C四点的圆的圆心M(,y),∵MO=MP,∴()2+y2=(8﹣)2+(4﹣y)2,∴y=,∴M(,),设点C(a,n)∵MO=MC,OF=CF,∴(a﹣)2+(b﹣)2=()2+()2 ①,(a﹣)2+b2=()2 ②,∴由①②组成方程组可求b=a,设直线OC解析式为:y=kx,且过点C(a,b)∴b=ka,∴k=∴直线OC解析式为:y=x,∴x=﹣+x∴x1=0(不合题意舍去),x2=4,∴点Q(4,4)4.解:(1)直线y=﹣x+6经过点B､C,则点B､C的坐标分别为:(6,0)､(0,6),则c=6,将点A的坐标代入抛物线表达式并解得:b=2,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+6…①;(2)点P(t,﹣t2+2t+6),将点P､A的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线AP的表达式为:y=﹣(t﹣6)x+(6﹣t),将上式与直线BC的表达式联立并解得:x=,故点D(,+6),则=,则d==﹣1=﹣t2+t(0<t<6);(3)设OE=a,则点E(a,0),设OG交CE于点H,∵∠ECO+∠COH=90°,∠COH+∠HOE=90°,∴∠HOE=∠OCH, tan∠OCH===tan∠HOE,则直线OH的表达式为:y=x…②,联立①②并解得:x=,故点G(,),则BG==,则CG=BC﹣BG=,∵OB=OC=6,故∠OCB=∠OBC=45°,而∠OGC=∠BGF,则△CGO∽△BGF,即:,即:,解得:BF=a,F为BE中点,则OE=EF=FB,故a=2,故点F(4,0),点G(,);将点F､G的坐标代入一次函数表达式并解得:直线FG的表达式为:y=3x﹣12…③,联立①③并解得:x=﹣1(舍去负值),故t=﹣1+.5.解:(1)∵抛物线y=ax2+c经过点(0,﹣1),A(﹣1,0),∴,∴,∴抛物线的解析式的解析式为y=x2﹣1;(2)过点P作y轴的平行线交直线l于点M,∵直线l的解析式为y=x﹣2,∴直线与y轴的夹角为45°,∴∠PMH=45°,∵PH⊥MH,PH=,∴PM=7,设P(a,a2﹣1),则M(a,a﹣2),∴PM=a2﹣1﹣a+2=7,∴a1=3,a2=﹣2(舍去),∴P(3,8);(3)如图2,在y轴上取点D(0,1),则△ABD为等腰直角三角形,∵AO=BO=1,∠ADB=90°,∴=,以点D为圆心､AD长为半径画圆,则点P在优弧AB上时总有∠APB=45°,连结PD,设P点坐标为(m,m2﹣1),∴PD==,∴m2+(m2﹣2)2=2,解得:,(舍去),m3=1(舍去),m4=﹣1(舍去),∴P(,1).6.解:(1)﹣m﹣1=﹣3,解得:m=2,故抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…①,令y=0,解得:x=3或﹣1,故点A､B的坐标分别为:(﹣1,0)､(3,0);(2)①当点D在BC下方时,∵∠ACO+∠BCD=45°,则AC⊥CD,则直线CD的表达式为:y=x﹣3…②,联立①②并解得:x=0或,故点D(,﹣);②当点D(D′)在BC上方时,过点D作DE⊥BC交BC于点H,交CD′于点E,直线BC的表达式为:y=x﹣3…③则ED的表达式为:y=﹣x+…④,联立③④并解得:x=,故点H(,﹣),点E的坐标为:(,﹣),则直线CE的表达式为:y=3x﹣3…⑤,联立①⑤并解得:x=0或5(舍去0),故点D(D′)的坐标为:(5,12),综上,点D的坐标为:(,﹣)或(5,12);(3)如图2,抛物线平移后的图象为虚线部分,则抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3+m(m>0),设点M､N的坐标分别为:(x1,y1)､(x2､y2),则x1+x2=3,x1x2=m,x2=,∵∠MON=45°=∠OCM,∠ONM=∠ONM,∴△NOM∽△NCO,∴NO2=MN•CN,而NO2=(x22+y22),MN=(x2﹣x1),CN=x22,即(x22+y22)=2x2(x2﹣x1),即2x1x2=x22﹣y22,而y2=x2﹣3,故=+m,解得:m=(﹣1+)(不合题意的值已舍去).7.解:(1)四边形ABCD是平行四边形,则点B的坐标为:(﹣2,3),即点B在AD的中垂线上,过点A､D的二次函数表达式为:y=a(x+1)(x+3)=a(x2+4x+3),将点C的坐标代入上式并解得:a=1,则过A､C､D的抛物线为:y=x2+4x+3=(x+2)2﹣1,抛物线M的对称轴为直线x=4,相当于将上述抛物线向右平移了6个单位,故抛物线M的表达式为:y=(x﹣4)2﹣1;(2)将▱ABCD沿x轴方向平移n个单位,则点C1､E的坐标分别为:(n﹣4,3)､(n﹣2,﹣1),点A(﹣1,0),连接C1E交x轴于点M,将点C1､E的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:直线C1､E的表达式为:y=﹣2x+(2n﹣5),则点M的坐标为:(,0),S△AEC1=×AM×(y C1﹣y E)=(+1)×4=S▱ABCD=×2×3=3,解得:n=3;(3)存在,理由:由(2)知点C(﹣1,3),点A(﹣1,0),则AC⊥x轴,故点A､C1､E作圆Q,则点Q在AC1的中垂线上,设点Q(m,),则此时,∠C1P A=∠C1EA,由QC1=QE得:(m+1)2+(3﹣)2=(m﹣1)2+(1+)2,解得:m=1,则点Q(1,),设点P(0,t),由QP=QE得:1+(﹣t)2=()2,解得:t=,故点P的坐标为:(0,).8.解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),故﹣3a=﹣4,解得:a=,故抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣4;(2)过点D作y轴的平行线交BC于点N,由B､C的坐标可得直线BC的表达式为:y=x﹣4,设点D(x,x2﹣x﹣4),点N(x,x﹣4),S△BCD=×OB×ND=3×(x﹣4﹣x2+x+4)=﹣2x2+6x,∵﹣2<0,故S有最大值,此时,x=,点D(,﹣5);(3)存在,理由:直线BC的表达式为:y=x﹣4,抛物线的对称轴为:x=1,故点H(1,﹣),过点Q作QM⊥BC于点M,tan∠OCB==tanα,∠QBC=45°,设QM=3x,则HM=4x,MB=3x,BH=HM+MB=7x==,解得:x=,QH=5x=,则y Q=y H+=﹣,故点Q(1,).9.解:(1)直线y=﹣2x+6经过B､C两点,则点B､C的坐标为:(3,0),(0,6),将点B､C的坐标代入抛物线表达式并解得:b=1,c=6,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+6…①;(2)过点P作y轴的平行线交BC于点H,设点P(t,﹣t2+t+6),则点H(t,﹣2t+6),S=×PH×OB=(﹣t2+t+6+2t﹣6)=﹣t2+t(0<t<3);(3)S=3,即:﹣t2+t=3,解得:t=1或2(舍去2),故点P(1,6),而点B(0,3),则直线PB的表达式为:y=﹣x+9,则点M(0,9),tan∠BMO=,过点A作AL⊥BC于点L,S△ABC=OC×AB=×BC×AL,即3×5=×AL×3,解得:AL=,sin∠ACB==,则∠ACB=45°=∠MBQ,设BQ交y轴于点H,过点H作HN⊥MB于点N,tan∠BMO=,∠MBQ=45°,设:HN=x,则BN=x,MN=3x,MB=4x=,解得:x=,HB=x=,则OH2=BH2﹣OB2=,则点H(0,),则BH的函数表达式为:y=﹣x+…②,联立①②并解得:x=﹣(不合题意值已舍去),则点Q(﹣,).10.解:(1)∵B点与C点是直线y=x﹣3与x轴､y轴的交点.∴B(3,0),C(0,﹣3),∴,解得:,∴抛物线的解析式为,令y=0,,解得x1=﹣2,x2=3,∴A(﹣2,0),(2)设E点到直线BC的距离为d,E点横坐标为m,F(m,m﹣3),∵B(3,0),C(0,﹣3),∴∠OBC=45°,如图1,过点E作EH⊥BC于点H,则△EFH为等腰直角三角形,∴EH=,EF=y F﹣y E=m﹣3﹣(,=(0≤m≤3),=,当时,EF的最大值为,∴d=EF==.即E到BC的最大距离为.(3)①点B′在以C为圆心,CB为半径的圆C上;(Ⅰ)当B′点落在x轴上时,D1(0,0);(Ⅱ)当B′点落在y轴上时,如图2,CB′=CB=3,∵∠OB′D=45°∴OD=OB'=3﹣3,∴;②分别画出图形进行讨论求解:(Ⅰ)∠B′DA=45°时,如图2,OB′=3﹣3,B′(0,3﹣3)(Ⅱ)如图3,连接CB′,∠B′DA=∠CBD=45°,∴DB′∥BC,可得四边形DB′CB是菱形,B′(﹣3,﹣3).(Ⅲ)∠B′AD=45°,如图4,连接CB′,过点B′分别作坐标轴的垂线,垂足为E､F,设线段FB'的长为m,B′E=AE=2﹣m,可得CF=5﹣m,在直角三角形CFB'中,m2+(5﹣m)2=(3)2,解得m=,故B′(),(Ⅳ)如图5,∠AB′D=45°,连接CB',过点B′作y轴的垂线,垂足为点F,由轴对称性质可得,∠CB′D=∠CBD=45°,所以当∠AB′D=45°时,点A在线段CB′上,∴,设线段FB′的长为2m,FC=3m,(2m)2+(3m)2=(3,解得:m=,B′(﹣,综合以上可得B′坐标为(0,)或或()或(﹣).11.解:(1)针对于直线y=﹣x+2,令x=0,则y=2,∴C(0,2),令y=0,则0=﹣x+2,∴x=4,∴B(4,0),将点B,C坐标代入抛物线y=ax2+x+c中,得∴,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2;(2)如图1,由(1)知,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2,设点D坐标为(m,﹣m2+m+2),∵DE⊥x轴交BC于E,直线BC的解析式为y=﹣x+2,∴D(m,﹣m+2),∴DE=﹣m2+m+2﹣(﹣m+2)=﹣m2+m,DQ=﹣m+2,∵DE=5EQ,∴﹣m2+m=5(﹣m+2),∴m=3或m=4(点B的横坐标,舍去),∴D(3,3);(3)如图2,由(2)知,D(3,3),由(1)知,B(4,0),C(0,2),∴DB=,DC=,BC=2,∴DC=DB,DB2+DC2=BC2,∴△BDC是等腰直角三角形,∴∠BDC=90°,∵BDC=2∠FDM=90°,∴∠FDM=45°,过点D作DP⊥y轴于P,则DQ=DP,OP=3,∴CP=1=BQ,∴△DPC≌△DQB(SAS),在CP的延长线取一点G,使PG=QF=n,∴OF=3﹣n,OG=3+n,∴△DPG≌△DQF(SAS),∴DG=DF,∠PDG=∠QDF,∴∠FDG=∠PDG+∠PDF=∠QDF+∠PDG=∠PDQ=90°∴∠GDM=90°﹣∠FDM=45°=∠GDM,∵DH=DH,∴△GDH≌△FDH(SAS),∴GH=FH=,∴OH=OG﹣GH=3+n﹣=n+,在Rt△HOF中,根据勾股定理得,(n+)2+(3﹣n)2=,∴n=1或n=(此时,OH=n+=2,所以点H与点C重合,舍去),∴H(0,),∵C(3,3),∴直线CH的解析式为y=x+①,∵抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2②,联立①②解得,或(由于点M在第二象限,所以舍去),∴M(﹣,).12.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣1,0)､P(5,12)两点,∴,解得:,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)如图1,过点P作PN⊥y轴,QM⊥y轴,∵S△QDC:S△QDP=2:3,∴,∴,∵PN⊥y轴,QM⊥y轴,∴QM∥PN,∴△CQM∽△CPN,∴,∵PN=5,∴QM=2,∵QF⊥x轴于点F,交抛物线于点D,∴D点的横坐标为2,把x=2代入y=x2﹣2x﹣3=4﹣4﹣3=﹣3,∴D(2,﹣3),设直线PD的解析式为y=kx+b,∴,解得:,∴直线PD的解析式为y=5x﹣13; (3)如图2,过点P作PN⊥y轴,∵P(5,12),C(0,﹣3),∴CN=OC+ON=12+3=15,PN=5,∴,∵∠ABM=∠PCO,∴,如图2,若点M在x轴上方,∵OB=3,∴在y轴上取E(0,1),tan∠OBE=,设直线BE的解析式为y=mx+n,∴,解得:m=﹣,∴直线BE的解析式为y=﹣,∴,解得:x1=3,,∴M(﹣),如图3,当点M在x轴下方,同理取点D(0,﹣1),求得直线BD的解析式为y=x﹣1,∴,解得:,∴M(﹣,﹣),综合以上可得M点的坐标为(﹣或(﹣).13.解:(1)在y=x2+(m﹣2)x﹣2m(m>0)中,令x=0,得y=﹣2m,∴C(0,﹣2m),令y=0,得x2+(m﹣2)x﹣2m=0,解得:x1=2,x2=﹣m,∴A(﹣m,0),B(2,0),∴AB=2﹣(﹣m)=m+2,OC=2m∵S△ABC=3∴(m+2)•2m=3,解得:m1=1,m2=﹣3(不符合题意)∴m=1;∴抛物线C1:y=x2﹣x﹣2(2)如图2,设D(t,t2﹣t﹣2),CD交x轴于K,作DT⊥x轴于T,由(1)得:B(2,0),C(0,﹣2)∵当x轴恰好三等分△DBC的面积时,有S△BDK=S△BCD或S△BDK=S△BCD ∴=或=,①当=时,=∴DT=OC∴t2﹣t﹣2=×2,解得:t1=,t2=,∵点D在第二象限,∴t<0∴t=,②当=时,=2∴DT=2OC∴t2﹣t﹣2=2×2,解得:t1=3,t2=﹣2,∵t<0∴t=﹣2综上所述,当x轴恰好三等分△DBC的面积时,点D的横坐标为或﹣2;(3)如图3,取WE中点T,过点T作TR⊥EF交EN于点R,连接WR,WN,由题意知:抛物线C1:y=x2﹣x﹣2=﹣,将抛物线C1向右平移,使新抛物线C2经过原点,∴新抛物线C2解析式为y=(x﹣)2﹣=x2﹣3x,对称轴为:直线x=,顶点E(,﹣),∴F(,4),EF=在y=x2﹣3x中,令y=4,则4=x2﹣3x,解得:x1=﹣1,x2=4∴G(﹣1,4),H(4,4)∴GH=5∵GM=NH=t,WF=,∴MF=NF=﹣t,WE=﹣=5,WT=TE=WE=,∵∠EFM=∠EFN=90°,WF=NF∴△MWF≌△NWF(SAS)∴∠MWF=∠NWF∵∠MWF=3∠FEN∴∠NWF=3∠FEN∵∠NWF=∠FEN+∠ENW∴∠ENW=2∠FEN∵WT=ET,TR⊥EF∴RW=RE∴∠FEN=∠EWR∴∠NRW=2∠FEN∴∠ENW=∠NRW∴RW=WN∴RE=WN由勾股定理得:EN2=EF2+NF2=+,WN2=WF2+NF2=+,∵△ERT∽△ENF∴=,即ER=EN∴ER2=EN2=[+],∴[+]=+,解得:t1=(不符合题意,舍去),t2=,故t=(秒).。

124--2021年全国中考数学压轴题解析汇编(2)及答案(浙苏赣皖湘鄂省会)

【2021·杭州·22题】（1）先求解下列两题：②如图②，在直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点B、C的横坐标都是3，且BC=2，点D在AC上，且横坐标为1，若反比例函数y=k x (x＞0)的图象经过点B、D，求k的值。

（2）解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单写出。

解：（1）①∵在△ADE中，∠EDM=∠A+∠AED∴∠AED=∠EDM-∠A∵CD=DE∴∠AED=∠DCE∴∠DCE=∠EDM-∠A∵在△ACD中，∠DCE=∠A+∠ADC∴∠ADC=∠DCE-∠A=∠EDM-2∠A∵BC=CD∴∠ADC=∠DBC∴∠DBC=∠EDM-2∠A∵在△ABC中，∠DBC=∠A+∠ACB∴∠ACB=∠DBC-∠A=∠EDM-3∠A∵AB=BC∴∠A=∠ACB∴∠A=∠EDM-3∠A∴∠A=14∠EDM∵∠EDM=84°∴∠A=21°②∵点B在反比例函数图象上，且横坐标为3∴可设点B的坐标为（3，3k）∵C的横坐标是3，且BC=2∴点C的坐标为（3，23k+）∵D的横坐标为1，且AC∥x轴∴点D的坐标为（1，23k+）∵点D在反比例函数图象上∴1·（23k+）=k∴k=3（2）两小题的共同点是：用已知的量通过一定的等量关系去表示未知的量，建立方程解答问题【2013·杭州·23题】如图，已知正方形ABCD 的边长为4，对称中心为点P ，点F 为BC 边上一个动点，点E 在AB 边上，且满足条件∠EPF =45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC 成轴对称，设它们的面积为S 1.（1）求证：∠APE =∠CFP ；（2）设四边形CMPF 的面积为S 2，CF =x ，y =12S S 。

① 求y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围，并求出y 的最大值；② 当图中两块阴影部分图形关于点P 成中心对称时，求y 的值。

2021中考数学复习《二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练十二：与最值、定值相关的压轴题(附答案)

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练十二：与最值、定值相关的压轴题（附答案）方法提炼：1、已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、O，求AM+OM最小值的问题，我们只需做出点O关于这条直线的对称点B，将点A与B连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+OM的最小值。

同理，我们也可以做出点A关于这条直线的对称点A’，将点O与A’连接起来交直线与点M，那么OA’就是AM+OM的最小值。

应用的定理是：两点之间线段最短。

2、初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边之间的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求第三边的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。

典例引领：8．已知抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C（1，2），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（1）求抛物线C的解析式；（2）如图1，直线y＝x交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值；（3）如图2，平移抛物线C的顶点到原点得抛物线C1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4交抛物线C1于P、Q两点，在抛物线C1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D的坐标．分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）先确定出ME，MF与t的关系，最后建立ME+MF与t的函数关系式，即可得出结论；（3）先求出x2+2kx﹣4k﹣8＝0，进而得出x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，而DE'•DF'＝PE'•QF'，得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（b﹣y1）（b﹣y2），借助b＝，y1＝，y2＝，即可得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a），即可得出结论．解：（1）∵抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C（1，2），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点∴，∴；（2）如图1，设直线OT交ME于G，设M（t，），则ME＝，G（t，t），OG＝t，MG＝，sin∠OGE＝sin∠MGF＝，MF＝MG＝，ME+MF＝，a＜0，当t＝时，ME+MF的最大值为；（3）如图2，过D作E'F'∥x轴，作PE'⊥E'F'于E'，QF'⊥E'F'于F'，设D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，得x2+2kx﹣4k﹣8＝0∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，由△PE'D∽△DF'Q得，，∴DE'•DF'＝PE'•QF'，∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（b﹣y1）（b﹣y2），∵b＝，y1＝，y2＝∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（）（）∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a），∴﹣4＝（a+x1）（a+x2），∴x1x2+a（x1+x2）+a2＝﹣4，∴﹣4k﹣8+a（﹣2k）+a2＝﹣4∴a2﹣4﹣2ak﹣4k＝0，∴（a+2）（a﹣2）﹣2k（a+2）＝0，∵k为任意实数，∴a+2＝0，∴a＝﹣2，∴b＝﹣2，∴D（﹣2，﹣2）．点评：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与系数的关系，相似三角形的判定和性质，得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）（x1﹣a）（x2﹣a）是解本题的关键．跟踪训练：1．如图，抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于C，M为此抛物线的顶点．（1）求此抛物线的函数解析式；（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．①直接写出点P所经过的路线长为；②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、EF，在旋转过程中，求EF的最小值；（3）将抛物线C1平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF＝AC，求直线MN的解析式．2．如图1，抛物线的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）求tan∠BDC的值；（3）将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．3．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P 是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d最大时点P的坐标．4．如图1．已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A（2，）直线y＝kx+1与y轴交于点F，与跑抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①如图2，点P是抛物线L上的一个动点，过点P作PM⊥l于点M，试判断PM 与PF之间的数量关系，并说明理由；②将抛物线L和点F都向右平移2个单位后，得到抛物线L1和点F1，Q是抛物线L1上的一动点，且点Q在L1的对称轴的右侧，过点Q作QN⊥l于点N，连接QA．求|QA﹣QN|的最大值，并直接写出此时点Q的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）交轴于A、B两点（A在B 的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点D的纵坐标为4（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M在抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的图象上，点N在x轴上，当以A、C、M、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B，D两点间的一个动点（点P不与B，D两点重合），P A、PB与直线DE分别交于点F，G，当点P运动时，EF+EG 是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．6．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”【感悟】根据你的阅读理解回答问题：（1）点P（2，1）的“坐标差”为；（直接写出答案）（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．7．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y ＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（﹣1，0），且OB＝OC＝3OA，动点P 在过A、B、C三点的抛物线上（1）求抛物线的解析式（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由（3）如图2，过动点P作PE⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，当点P在什么位置时，线段EF最短，求出EF长的最小值．9．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝x+3经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点N是x轴上的动点，过点N作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AC于点H．①点D在线段OC上，连接AD、BD，当AH＝BD时，求AD+AH的最小值；②当OC＝3OD时将直线AD绕点A旋转45°，使直线AD与y轴交于点P，请直接写出点P的坐标．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP 为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x＝﹣2交x轴于点C，直线l过点N（0，﹣2），且与x轴平行，过点P作PM⊥l 于点M，△AOB的面积为2．（1）求抛物线的解析式；（2）当∠MPN＝∠BAC时，求P点坐标；（3）①求证PM＝PC；②若点Q坐标为（0，2），直接写出PQ+PC的最小值．12．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．参考答案1．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；（2）①在Rt△BOC中，BC＝＝＝2．∵点D是线段BC一点，P是线段AD的中点，∴点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2，如图1，则P1P2＝BC＝．故答案为：；②如图2，∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，∴PE＝P A＝PD＝PF，∴点A、E、D、F在以点P为圆心，AD为半径的圆上，∴∠EPF＝2∠EAF．∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠EPF＝90°，∴EF＝＝PE＝AD．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，此时，S△ABC＝BC•AD＝×2•AD＝12，解得：AD＝，此时EF＝，则EF的最小值为；（3）如图3，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则有，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+4．由EF＝AC可得MN∥AC．可设直线MN的解析式为y＝x+t．∵点M是抛物线y＝﹣x2﹣x+4的顶点，∴点M的坐标为（﹣1，），把M（﹣1，）代入y＝x+t，得﹣1+t＝，解得t＝，∴直线MN的解析式为y＝x+．2．解：（1）在中，当x＝0时，有y＝﹣2，∴A（0，﹣2），∵点B的坐标为（1，0），可设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2；（2）在中，当y＝0时，有，解得：x1＝﹣2，x2＝2，∵抛物线与x轴的负半轴交于点D，∴D（﹣2，0），∵点C是直线AB与抛物线W的交点，∴联立方程组，解得，，由此可知，C（4，6），过点C作CE⊥x轴于点E，∴CE＝6，OE＝4，∴DE＝DO+OE＝6，∴△CDE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝45°，∴tan∠CDE＝1，∴tan∠BDC＝1；（3）tan∠D1C1B恒为定值，理由如下：由题意，抛物线W1的解析式为，设点D1的坐标为（t，0），其中t＜0，∴，∴，∴，∵点C1是直线BC与抛物线W1的交点，∴，解得，，∵点C1是直线BC与抛物线W1的交点，且t＜0，∴点C1的坐标为（2﹣t，2﹣2t），过C1作C1E1⊥x轴于点E1，∴C1E1＝2﹣2t，OE1＝2﹣t，∴D1E1＝D1O+OE1＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t，∴C1E1＝D1E1，∴Rt△C1D1E1为等腰直角三角形，∴∠C1D1E1＝45°，由（2）知∠BDC＝45°．∴∠C1D1E1＝∠BDC，∴D1C1∥DC，∴∠D1C1B＝∠DCB，∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB，∴tan∠D1C1B恒为定值．如图2，过B作BF⊥DC于点F，∵∠BDC＝45°，∴Rt△BDF为等腰直角三角形，∵BD＝OD+OB＝3，DF＝BF＝，由（1）知，DC＝6，FC＝DC﹣DF＝，∴在Rt△BFC中，有tan FCB＝＝，∴tan∠D1C1B＝．3．解：（1）物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c＝6，将点B（6，0）代入函数表达式得：0＝36a+12+6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，∴函数的对称轴为：x＝2，顶点坐标为（2，8）；（2）设点M（m，n），n＝﹣m2+2m+6，点N（s，0），①当AB是平行四边形的一条边时，点A向右、向下均平移6个单位得到B，同理点N右、向下均平移6个单位得到M，故：s+6＝m，0﹣6＝n，解得：m＝2±2，故点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）；②当AB是平行四边形的对角线时，则AB的中点即为MN的中点，则s+m＝6，n+0＝6，解得：m＝4，故点M的坐标为（4，6），综上，点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）或（4，6）．（3）如下图，过点P作PG∥y轴交AB于点G，作PH⊥AB交于点H，∵OA＝OB＝6，则∠OAB＝∠OBA＝45°，∵PG∥y轴，则∠PGH＝∠OAB＝45°，直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，设点P（x，﹣x2+2x+6），则G（x，﹣x+6），d＝PH＝PG＝（﹣x2+2x+6+x﹣6）＝（﹣x2+3x），当x＝3时，d取得最大值，此时点P（3，）．4．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2；（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①设点P（m，m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，则AF′＝＝；将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），故点Q（6，4）；故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．5．解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，∵抛物线的顶点D的纵坐标为4，∴﹣4a＝4，解得a＝﹣1．故抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），①以AC为对角线，∵点M在抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的图象上，点N在x轴上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，∴点M的纵坐标为3，∴﹣x2﹣2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝﹣2．故点M的坐标为（﹣2，3）；②以AC为对角线，点M的坐标为（﹣2，3）；③以AN为对角线，点M的坐标为（﹣1﹣，﹣3），（﹣1+，﹣3）．综上所述，点M的坐标为（﹣2，3），（﹣1﹣，﹣3），（﹣1+，﹣3）；（3）EF+EG＝8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ＝﹣t2﹣2t+3，AQ＝3+t，QB＝1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴＝，∴EF＝＝＝×（﹣t2﹣2t+3）＝2（1﹣t）；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴＝，∴EG＝＝＝2（t+3），∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8．6．解：（1）点P（2，1）的“坐标差”＝1﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．（2）一次函数y＝2x+1的图象上点的坐标差为：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，函数y＝x+1是增函数，当﹣2≤x≤3时，x＝3，y的最大值＝4，∴一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y轴于点B，∴点B（0，c）点A与点B的“坐标差”相等，∴点A（﹣c，0），∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，∵bc≠0，∴c+b＝1，∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”为﹣1即函数y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值为﹣1∴解得b＝3，∴c＝﹣2∴y＝﹣x2+3x﹣2，∴．∴当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，Ⅰ．若m≤≤m+3时，则x＝时，函数的最大值为，依题意得：﹣2m＝，解得m＝；Ⅱ．若m＞时，x＝m，函数取最大值为：y＝﹣m2+3m﹣2，依题意得：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，解得：m＝＜（舍去），m＝，Ⅲ．若m+3＜，即m＜﹣时，x＝m+3，函数取最大值为：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m﹣2．依题意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程无实数解．综上所述：m＝或m＝，7．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，解得：m＝3或﹣1，当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；（3）是定值，理由：令y＝x2﹣2x﹣4＝0，则x＝1±，故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，即a＝1+2﹣4＝﹣1，设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），则PQ＝＝2，为定值．8．解：（1）由A（﹣1，0）可知OA＝1，∵OB＝OC＝3OA，∴OB＝OC＝3，∴C（0，﹣3），B（3，0）．设抛物线的解析式（交点式）为y＝a（x+1）（x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，则抛物线的解析式是y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，（2）存在．①当以C为直角顶点时，过点C作CP1⊥BC，交抛物线于点P1，过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1．∵∠BCP1＝90°，∴∠MCP1+∠BCO＝90°．∵∠BCO+∠OBC＝90°，∴∠MCP1＝∠OBC．∵OA＝OC，∴∠MCP1＝∠OBC＝45°，∴∠MCP1＝∠MP1C，∴MC＝MP1，设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣3﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得：m1＝0（舍去），m2＝1．∴m＝1，此时m2﹣2m﹣3＝﹣4，∴P1的坐标是（1，﹣4）．②当点B为直角顶点时，过B作BP2⊥BC交抛物线于点P2，过点P2作y轴的垂线，垂足是N，BP交y轴于点F，如图1．∴P2N∥x轴，由∠CBO＝45°得∠OBP2＝45°，∴∠FP2N＝45°，BO＝OF．∴P2N＝NF，设P2（﹣n，n2+2n﹣3），则3+n＝n2+2n﹣3解得：n1＝2，n2＝﹣3（舍去），∴n＝2，此时n2+2n﹣3＝5，∴P2的坐标是（﹣2，5）．综上所述：P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）；（3）当EF最短时，点P的坐标是（，﹣）或（，﹣）．解题过程如下：连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．根据垂线段最短可得：当OD⊥BC时，OD（即EF）最短．由（1）可知，在直角△BOC中，OC＝OB＝3．根据等腰三角形的性质可得：D是BC的中点．∴EF＝OD＝＝＝，又∵DF∥OC，∴△BFD∽△BOC，∴，∴DF＝OC＝，∴点D的纵坐标是﹣，∴点P的纵坐标也是，解x2﹣2x﹣3＝﹣得，x1＝，x2＝，∴点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）．此时EF长为最小值＝．9．解：（1）直线y＝x+3经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）①令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，则x＝﹣3或1，即点B（1，0），当AH＝BD时，AD+AH＝AD+BD，当A、B、D三点共线时，AD+AH＝AD+BD最小，最小值为：AB＝1﹣（﹣3）＝4，答：AD+AH的最小值为4；②当OC＝3OD时，OD＝1，AD＝，则tan∠ADO＝，则sinα＝，当点P在y轴上方时，如下图，过点P作△APD的高PH，交AD的延长线与点H，设：PH＝m，∵∠P AD＝45°，则AH＝m，tan∠PDH＝＝tanα＝3，解得：m＝，PD＝＝＝5，故点P（0，6）；当点P在y轴下方时，如下图所示，同理可得：DP′＝故：点P（0，﹣）；综上，点P（0，6）或（0，﹣）10．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，∴，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y轴，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解得或，∴D（1，4），此时P（1，2）；当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此时P（2，1）；当PC＝PD时，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此时P（3﹣，）；综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，﹣），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y＝，∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴，∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3﹣），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（，0）．∵CG＝3+，∠CGB＝60°，∴CB′＝CG sin∠CGB＝（3+）×＝，综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．11．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x＝﹣2，∴c＝0，OA＝4，又△AOB的面积为2，∴BC＝1，即顶点B的坐标为（﹣2，﹣1），∴，，解得a＝，b＝1，∴抛物线的解析式为；（2）∵BC＝1，AC＝2，∴tan∠BAC＝，设P点坐标为（x，），如图1，当点P在y轴右侧，PM＝﹣（﹣2）＝，MN＝x，∴tan∠MPN＝＝，即x2﹣4x+8＝0，此方程无解；如图2，当点P在y轴左侧，此时PM＝，MN＝﹣x，∴tan∠MPN＝＝，即x2+12x+8＝0，解得，，则，，∴点P坐标为（，）或（，）；（3）①如图3，过点P作PD⊥BC于点D，则PD＝x+2，DC＝，由（2）知PM＝，在Rt△PCD中，PC2＝＝＝PM2，∴PM＝PC；②由①知，PM＝PC，∴PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4．∴PQ+PC的最小值为4．12．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2∴y E＝﹣22+2×2+3＝3∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e∴解得：∴直线AE：y＝x+1∴F（0，1）∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．13．解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）∴设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）∵抛物线经过点D（2，3）∴a（x+1）（x﹣3）＝3解得：a＝﹣1∴抛物线表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴向下平移后新抛物线为y＝﹣（x﹣1）2，顶点G（1，0），即抛物线向下平移4个单位∵原抛物线上一点M平移后的对应点为点N∴MN＝4，MN⊥x轴∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，且点A在x轴上∴x轴垂直平分MN∴N的纵坐标为﹣2∴﹣（x﹣1）2＝﹣2解得：x1＝1+，x2＝1﹣∴点N坐标为（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）（3）作点D关于y轴的对称点点D'，连接D'Q，取OB中点F，连接D'F∵D（2，3），点Q为y轴上的动点∴D'（﹣2，3），QD＝QD'∴当点D'、Q、E在同一直线上时，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小∵BE⊥OP于点E，P为抛物线上第一象限内的动点∴∠OEB＝90°∴点E在以OB为直径的圆在第一象限内的弧上运动∵圆心F（，0），r＝∴当点E在线段D'F上时，D'E＝D'F﹣EF＝﹣＝最小∴QE+QD的最小值为．。

2021年数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版)之欧阳学文创编

【最新】中考数学压轴题大全欧阳光明（2021.03.07）（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。

（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。

（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）当P=12时，y=x＋()11002x-,即y=1502x+。

∴y随着x的增大而增大，即P=12时，满足条件（Ⅱ）……3分又当x=20时，y=1100502⨯+=100。

而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12时，这种变换满足要求；……6分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。

若所给出的关系式满足：（a ）h≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=()220a x k -+,……8分∵a ＞0，∴当20≤x≤100时，y 随着x 的增大…10分令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②由①②解得116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()212060160y x =-+。

………14分2、（常州）已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数k y x=图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由(1)2(33)m m -=+，得m =-k =2分（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠．当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．3分当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ，过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此11(1)(23)m --+= 解之得1m=10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．5分 H 为则60DCH =∠，设22(0)CH m m =>，则2DH =，22CD m =由点(10)C -，，得点22(1)D m -+，因此22(1)3m m -+=．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ．图1图2此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．7分如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，同理可得，点(2D -，，四边形ABCD 是梯形．9分综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D或(2D --，．10分3、（福建龙岩）如图，抛物线254y ax ax =-+经过点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-= (2)分（2）(30)A -，(54)B ，(04)C ，…………5分图3把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-………6分215466y x x ∴=-++…………………………………………7分（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，52BM =① ······································································································· 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+=8分在1Rt ANP △中，1PN ====152P ⎛∴- ⎝⎭，9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △．在2Rt BMP △中，22MP ====10分252P ⎛∴ ⎝⎭11分③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K =5CK ∴= 于是1OK =13分3(2.51)P ∴-，14分注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分． 4、（福州）如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .图12∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）. ∵ 点A 是直线与双曲线（k>0）的交点 , ∴k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1，∵ 点C 在双曲线上，当y = 8时，x = 1∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON .S 矩形ONDM= 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 .S △AOC= S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .解法二：如图12-2，过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8y x=上，当y = 8时，x = 1 . ∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点C 、A 都在双曲线8y x=上 ,∴ S △COE = S △AOF = 4 。

2021年中考数学压轴题附答案解析

2021年中考数学压轴题1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠MPN ＝90°，且∠MPN 的直角顶点在BC 边上，BP ＝1．①特殊情形：若MP 过点A ，NP 过点D ，则PA PD = 12 ．②类比探究：如图2，将∠MPN 绕点P 按逆时针方向旋转，使PM 交AB 边于点E ，PN 交AD 边于点F ，当点E 与点B 重合时，停止旋转．在旋转过程中，PE PF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．（2）拓展探究：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，AD ⊥AB ，⊙A 的半径为1，点E 是⊙A 上一动点，CF ⊥CE 交AD 于点F ．请直接写出当△AEB 为直角三角形时EC FC 的值．解：（1）①∵∠APB +∠DPC ＝90°，∠DPC +∠PDC ＝90°，∴∠APB ＝∠PDC ，∴Rt △ABP ∽Rt △CDP ，∴PA PD =AB CP =25−1=12，故答案为：12； ②点E 与点B 重合时，四边形EBF A 为矩形，则PE PF =12为定值；（2）①当∠AEB ＝90°时，（Ⅰ）当点E 在点A 的左侧时，如图3，过点E 、F 分别作直线BC 的垂线交于点G ，H ，由（1）知：∠ECB ＝∠CFH ＝α，AB ＝2，AE ＝1，则∠ABE ＝30°，则EB ＝AB cos30°=√3，GB ＝EB cos60°=√32，同理EG =32， EC =GC cosα=2+√32cosα，FH ＝AB ＝2，则FC =FH cosα=2cosα，则EC FC =1+√34；（Ⅱ）同理当点E 在点A 的右侧时，则EC FC =1−√34；②当∠EAB ＝90°时，（Ⅰ）当点E 在A 的左侧时，如图4，GB ＝EA ＝1，EG ＝FH ＝AB ＝2，则BE =√5，GC ＝3，EC =√EG 2+GC 2=√13，tan ∠EGC =EG GC =23=tan α，则FC =23√13，则EC FC =32，（Ⅱ）当点E 在点A 的右侧时，同理可得：EC FC =12；故：EC FC 的值为1+√34或1−√34或32或12． 2．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，OF ⊥BC 于点F ，交⊙O 于点E ，AE 与BC 交于点H ，点D 为OE 的延长线上一点，且∠ODB ＝∠AEC ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求证：CE 2＝EH •EA ；（3）若⊙O 的半径为52，sin A =35，求BH 的长．（1）证明：如图1中，∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，∴∠ODB ＝∠ABC ，∵OF ⊥BC ，∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB+∠DBF＝90°，∴∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图2所示：∵OF⊥BC，∴BÊ=CÊ，∴∠CAE＝∠ECB，∵∠CEA＝∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴CEEH =EACE，∴CE2＝EH•EA；（3）解：连接BE，如图3所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为52，sin ∠BAE =35， ∴AB ＝5，BE ＝AB •sin ∠BAE ＝5×35=3， ∴EA =2−BE 2=4，∵BÊ=CE ̂， ∴BE ＝CE ＝3，∵CE 2＝EH •EA ，∴EH =94， ∴在Rt △BEH 中，BH =2+EH 2=√32+(94)2=154．。