中考数学压轴题二.doc

2019-2020 年中考数学压轴题精选二

1、如图，在菱形ABCD中， AB=2，∠ A=60°，以点D为圆心的⊙D 与边 AB 相切于点E．

（1）求证：⊙D 与边 BC也相切；

（2）设⊙D与 BD相交于点 H，与边 CD相交于点 F，连接 HF，求图中

阴影部分的面积（结果保留π）；

（3）⊙D上一动点 M从点 F 出发，按逆时针方向运动半周，当

S△HDF=S△MDF时，求动点M经过的弧长（结果保留π ）．

思路点拨：

（ 1）过 D 作 DQ⊥BC 于 Q，连接 DE，根据切线性质得出⊥ AB，根据菱形性质求出BD

平分∠ ABC，根据角平分线性质得出DE=DQ，根据切线判定推出即可；

（ 2）根据菱形性质和等边三角形判定得出等边三角形ADB，求出 DE值，即可得出圆

的半径长，得出等边三角形DCB和等边三角形DHF，求出△ DFH 的高 FN，求出△ DFH

的面积和扇形FDH的面积，相减即可得出答案；

（3）根据△ FDH 的面积和已知求出△ MDF 边 DF 上的高 MZ，求出∠ MDF，同理得出另

一点 M′也符合，且圆心角是 150°，根据弧长公式求出即可．

（1）证明：

满分解答：

过 D 作 DQ⊥BC 于 Q，连接 DE，

∵⊙D切 AB 于 E，

∴DE⊥AB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD 平分∠ ABC，

∴DE=DQ（角平分线性质），

∵DQ⊥BC，

∴⊙D与边 BC也相切；

（2）解：过 F 作 FN⊥DH于 N，

∵四边形 ABCD是菱形，

∴AD=AB=2 ，

∵∠ A=60°，

∴△ ABD是等边三角形，

∴∠ DBA=60°， DC∥AB， AD=BD=AB=2

∵DE⊥AB，

∴A E=BE= ，

由勾股定理得： DE=3=DH=DF，

∵四边形 ABCD是菱形，

∴∠ C=∠A=60°，

DC=BC，

∴△ DCB是等边三角形，

∴∠ CDB=60°，

∵DF=DH，

∴△ DFH是等边三角形，

∵FN⊥DH，∴DN=NH=，

由勾股定理得：FN=，

∴S阴影 =S扇形FDH﹣ S△FDH=﹣× 3×=π﹣；

（ 3）解：过M作 MZ⊥DF 于 Z，

∵由（ 2）知： S△HDF=×3×=，DF=3，

又∵S△HDF=S△DFM，

∴= ×× 3×MZ，

∴MZ=，

在Rt△DMZ中， sin ∠MDZ= =，

∴∠ MDZ=30°，

同理还有另一点M′也符合，此时MM′∥ CD，∠ M′DC=180°﹣ 30°=150°，∴弧MC的长是=π；

弧 CM′的长是=π；

π 或π ．

答：动点M经过的弧长

是

本题考查的知识点是三角形的面积，等边三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的性 点评：

质，扇形的面积，锐角三角函数的定义，弧长公式等，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大．

2、如图 1，抛物线 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c 经过 A ( － 1,0) 、B (3, 0) 、C (0 ,3) 三点，直线 l 是抛物线的对

称轴．

（ 1）求抛物线的函数关系式；

（ 2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当△ PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；

（ 3）在直线 l 上是否存在点 M ，使△ MAC 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

图 1

思路点拨

1．第（ 2）题是典型的“牛喝水”问题，点 P 在线段 BC 上时△ PAC 的周长最小．

2．第（ 3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．

满分解答

（ 1）因为抛物线与 x 轴交于 A ( －1,0) 、 B (3, 0) 两点，设 y ＝ a ( x ＋ 1)( x － 3) ， 代入点 C (0 ,3) ，得－ 3a ＝ 3．解得 a ＝－ 1．

所以抛物线的函数关系式是 y ＝－ ( x ＋ 1)( x － 3) ＝－ x 2＋ 2x ＋

3．

（ 2）如图 2，抛物线的对称轴是直线 x ＝ 1．

当点 P 落在线段 BC 上时， PA ＋ PC 最小，△ PAC 的周长最小．

设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 H ．

由 BH

PH

， BO ＝ CO ，得 PH ＝ BH ＝2．

BO

CO

所以点 P 的坐标为 (1, 2)

．

图 2

（ 3）点 的坐标为 (1, 1) 、 (1,

6 ) 、 (1,

6 ) 或(1,0) ．

M

考点伸展

第（ 3）题的解题过程是这样的： 设点 M 的坐标为 (1, m ) ．

2

2

2

2

2

在△ MAC 中， AC ＝10， MC ＝ 1＋ ( m － 3) ，MA ＝ 4＋ m ．

①如图 2

2

2

2

，得 m ＝ 1．

3，当 MA ＝ MC 时， MA ＝ MC ．解方程 4＋m ＝ 1＋ ( m －

3)

此时点 的坐标为 (1, 1) ．

M

②如图 2

2

2

6 ．

4，当 AM ＝ AC 时， AM ＝ AC ．解方程 4＋m ＝ 10，得 m