中考数学压轴题(最新整理)2

一、中考数学压轴题

1．已知四边形ABCD 是正方形，点P 在直线BC 上，点G 在直线AD 上（P ，G 不与正方形顶点重合，且在CD 的同侧），PD =PG ，DF ⊥PG 于点H ，交直线AB 于点F ，将线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，连结EF ．

（1）如图1，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 上时． ①求证：DF =PG ；

②若AB =3，PC =1，求四边形PEFD 的面积；

（2）如图2，当点P 与点G 分别在线段BC 与线段AD 的延长线上时，请猜想四边形PEFD 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．

2．已知：如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，()2,0C ．直线26y x =+与x 轴交于点A ，交y 轴于点B ．过C 点作直线AB 的垂线，垂足为E ，交y 轴于点D ． （1）求直线CD 的解析式；

（2）点G 为y 轴负半轴上一点，连接EG ，过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H ．设点G 的坐标为()0,t ，线段AH 的长为d ．求d 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）

（3）过点C 作x 轴的垂线，过点G 作y 轴的垂线，两线交于点M ，过点H 作HN GM ⊥于点N ，交直线CD 于点K ，连接MK ，若MK 平分NMB ∠，求t 的值．

3．我们知道，平面内互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，如果两条数轴不垂直，而是相交成任意的角ω（0°＜ω＜180°且ω≠90°），那么这两条数轴构成的是平面斜坐标系，两条数轴称为斜坐标系的坐标轴，公共原点称为斜坐标系的原点，如图1，经过平面内一点P 作坐标轴的平行线PM 和PN ，分别交x 轴和y 轴于点M ，N ．点M 、N 在x 轴和y 轴上所对应的数分别叫做P 点的x 坐标和y 坐标，有序实数对（x ，y ）称为点P 的斜坐标，记为P （x ，y ）

（1）如图2，ω＝45°，矩形OABC 中的一边OA 在x 轴上，BC 与y 轴交于点D ， OA ＝2，OC ＝1．

①点A 、B 、C 在此斜坐标系内的坐标分别为A ，B ，C ．

②设点P （x ，y ）在经过O 、B 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． ③设点Q （x ，y ）在经过A 、D 两点的直线上，则y 与x 之间满足的关系为 ． （2）若ω＝120°，O 为坐标原点．

①如图3，圆M 与y 轴相切原点O ，被x 轴截得的弦长OA ＝3，求圆M 的半径及圆心M 的斜坐标．

②如图4，圆M 的圆心斜坐标为M （33y 轴的距离为1，则圆M 的半径r 的取值范围是 ．

4．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；

（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数”

求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

5．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=?，45C ∠=?，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=?，

PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．

（1）求边AD 的长；

（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．

6．如图，90EOF ∠=?，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =，

3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点

A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时，矩形ABCD 也停止运动，设点P 的运动时间为()t s ，PDO △的面积为S ．

（1）分别写出点B 到OF 、OE 的距离（用含t 的代数式表示）； （2）当点P 不与矩形ABCD 的顶点重合时，求S 与t 之间的函数关系式；

（3）设点P 到BD 的距离为h ，当1

5

h OD =

时，求t 的值； （4）若在点P 出发的同时，点Q 从点B 以每秒4

3

个单位长度的速度向终点A 运动，当点

Q 停止运动时，点P 与矩形ABCD 也停止运动，设点A 关于PQ 的对称点为E ，当

PQE 的一边与CDB △的一边平行时，直接写出线段OD 的长．

7．（1）阅读理解：

如图①，在ABC 中，若8AB =，5AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 可以用如下方法：将ACD 绕着点D 逆时针旋转180?得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______； （2）问题解决：

如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，

DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF +>； （3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=?，CB CD =，100BCD ∠=?，以C 为顶点作一个50?的角，角的两边分别交AB 、AD 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段

BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并说明理由．

8．已知：如图，二次函数213

222

y x x =-

++的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线,EB D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点．过D 点作 直

线l 平行于直线.EB M 是直线 EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接,MO NO ，始终保持MON ∠为90?，以MO 和ON 边，作矩形MONC ．

（1）在D 点移动过程中，求出当DEB ?的面积最大时点D 的坐标；在DEB ?的面积最大 时，求矩形MONC 的面积的最小值．

（2）在DEB ?的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点,,,D N G B 四个点组成平行 四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标．

9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．

（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；

（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；

（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1

2

x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．

10．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一

个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．

问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得

cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，

tan 2C =，9DEP

S

=，求sin APB ∠的最大值．

11．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线2

2(0)y ax ax a =->交x

轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ． （1）求点C 的坐标； （2）求直线AB 的表达式；

（3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ． ①若2AE AO =，求抛物线表达式；

②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）

12．在平面直角坐标系中，抛物线2

4y mx mx n =-+（m >0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且

:3:4??=ABC BCE S S ．

（1）求点A ，点B 的坐标；

（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上， ①求直线CE 的解析式； ②求抛物线的解析式．

13．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转

()0180a a ?<

180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是

他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为

AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并

给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，

3BC =6CD =，3DA =P ，使PDC △与PAB △之

间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由． 14．问题探究

（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．

（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=?，AG 为BC 边上的高，

O 为ABC 的外接

圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．

问题解决：

如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =+，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=?，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线2

(40) y ax bx a =++≠与x 轴交于()() 3,0, 4,0A C -两点，与y 轴

交于点B ．

()1求这条抛物线的顶点坐标；

()2已知AD AB =(点D 在线段AC 上)，有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动：同时另一个点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过()t s 的移动，线

段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

()3在()2的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ,使MQ MC +的值最小?若存

在，请求出点M 的坐标：若不存在，请说明理由．

16．如图，抛物线2

14

y x bx c =

++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，5

2

-

）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．

(1) 求抛物线2

14

y x bx c =

++与直线32y kx =+的解析式；

(2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点. ①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;

②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．

17．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=?，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且

60ECF ∠=?．

（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；

（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求

FM ；

（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由． 18．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2

23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B

在点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式；

（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点

D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t

的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若

72

8

CG AG =

，求点P 的坐标．

19．（1）如图1，A是⊙O上一动点，P是⊙O外一点，在图中作出PA最小时的点A．（2）如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，以点C为圆心的⊙C的半径是3.6，Q是⊙C上一动点，在线段AB上确定点P的位置，使PQ的长最小，并求出其最小值．（3）如图3，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一

动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝1

3

，试探究四边形

ADCF的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

20．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．

（1）当BP＝时，△MBP～△DCP；

（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；

（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．

21．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3交x轴于点A、C（点A在点C左侧），交y轴于点B．

（1）求A ，B ，C 三点坐标；

（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；

（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，点P 为△ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△APR 和等边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．

22．如图，抛物线2

5y ax bx =+-交x 轴于点A 、B （A 在B 的左侧），交y 轴于点

C ，且OB OC =，()2,0A -．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，设P 点横坐标为t ，线段PD 的长度为d ，求d 与t 的函数关系式．（不要求写出t 的取值范围） （3）在（2）的条件下，F 为BP 延长线上一点，且45PFC ∠=?，连接OF 、CP 、

PB ，FOB ?的面积为

3600

169

，求PBC ?的面积． 23．定义：将函数l 的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l '的图象，我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数．

例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．

（1）当m ＝0时

①一次函数y ＝x ﹣1关于点P 的相关函数为 ； ②点（

1

2，﹣98

）在二次函数y ＝﹣ax 2﹣ax +1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图象上，求a 的值．

（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝ ；

（3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣12

m 2

关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．

24．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（ ） A ．180° B ．270° C ．360° D ．540° （1）请写出这道题的正确选项；

（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．

（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．

（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．

25．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得

PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐

角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点

O 是坐标原点．

（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(13),(13)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．

（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．

（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段

HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题

1．E

解析：（1）①详见解析；②8；（2）（2）四边形PEFD是菱形，证明详见解析

【解析】

【分析】

（1）①根据四边形ABCD为正方形得AD=CD ，然后证明△ADF≌△CDP，则DF=DP，得到DF=PG；

②先判断四边形PEFD是菱形，然后求出=P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形，则△DHG∽△PMG，根据相似三角形的性质，即可求出答案；

（2）根据四边形ABCD为正方形得AD=AB，由四边形ABPM为矩形得AB=PM，则

AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根据“ASA”证明

△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋转的性质得

∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判断四边形PEFD为平行四边形，加上DF=PD，则可判断四边形PEFD为菱形．

【详解】

解：（1）①证明∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD ，∠A= ∠C=∠ADC=90°，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG=90°，

∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，

∵ PD=PG ，

∴∠PGD=∠PDG，

∴∠ADF=∠CDP，

∴△ADF≌△CDP（ASA），

∴DF=DP，

∵ PD=PG，

∴DF=PG；

②∵线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE

∴∠GPE=∠DHG=90°， PG=PE=DF= PD

∴PE∥DF

∴四边形PEFD是菱形

在Rt△DCP中，AD=AB=3，PC=1，=

过点P作PM⊥AD于点M，则四边形CDMP是矩形

∴DM=MG=PC=1，DG=2DM=2， ∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM ∴△DHG ∽△PMG ∴

DG GH

PG MG = 即=110

GH ∴GH=

10

5

， PH=PG-GH=4105 由（1）DF=DP=10

∴四边形PEFD 的面积是DF PH ?=10×410

=8 ； （2）四边形PEFD 是菱形 ； 作PM ⊥DG 于M ，如图2，

∵四边形ABCD 为正方形， ∴AD=AB ，

∵四边形ABPM 为矩形， ∴AB=PM ， ∴AD=PM ， ∵DF ⊥PG ， ∴∠DHG=90°， ∴∠GDH+∠DGH=90°， ∵∠MGP+∠MPG=90°， ∴∠GDH=∠MPG ， 在△ADF 和△MPG 中

FAD PMG AD MP ADF MPG ∠=∠??

=?

?∠=∠?

， ∴△ADF ≌△MPG （ASA ）， ∴DF=PG ，而PD=PG ， ∴DF=PD ，

∵线段PG 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ， ∴∠EPG=90°，PE=PG ， ∴PE=PD=DF 而DF ⊥PG ， ∴DF ∥PE ，且DF =PE ， ∴四边形PEFD 为平行四边形， ∵DF=PD ，

∴四边形PEFD 为菱形． 【点睛】

本题考查了四边形的综合题：熟练掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定与性质是解题的关键；同时会运用等腰三角形的性质和旋转的性质；会利用三角形全等解决线段相等的问题．

2．C

解析：（1）112y x =-+；（2）1d t =-+；（3

）t =【解析】 【分析】

（1）根据互相垂直两直线斜率积为-1，设出直线CE 的解析式，再将点C 坐标代入即可求解；

（2）过点E 作EM ⊥y 轴于点M ，过点E 作EN x ⊥轴于点N ，通过解直角三角形可证

EDM ≌EAN ，ENH ≌EMG ，得到AN =DM ，HN =GM ，进而得到AH DG =，再

根据CE 解析式求出D 点坐标，即可找出d 与t 之间的函数关系式；

（3）过点B 作BT CM ⊥于点T ，在直线BT 上截取TL NK =，证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形，得MN MT =，再进一步证明ENH ≌EMG ，利用全等三角形的性质通过角度计算，得出△BML 为等腰三角形且BM BL =，再用含有t 的代数式表示BM ，最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式，求出t 的值． 【详解】

解：（1）∵CE ⊥AB ， ∴设直线CE 的解析式为：1

2

y x c =-

+， 把点C （2，0）代入上述解析式，得1c =， ∴直线CD 的解析式为：1

12

y x =-

+；

（2）过点E作EM⊥y轴于点M，过点E作EN x

⊥轴于点N，

令26 1

1

2

y x

y x

=+

?

?

?

=-+

??

，

解得

2

2

x

y

=-

?

?

=

?

，

∴()

2,2

E-，

易证EDM≌EAN，ENH≌EMG，

∴AN=DM ，HN=GM，

∴AH DG

=，

由直线CE的解析式

1

1

2

y x

=-+，可求点D（0，1）

∴DG=1—t，

∴1

d t

=-+；

（3）过点B作BT CM

⊥于点T，在直线BT上截取TL NK

=，

易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形，

由（2）问可知1t

AH GD

==-，则6t

HC=-

∴6t

BG MT

==-，

∴MN MT

=，

∵90

KNM LTM

∠=∠=?，

∴ENH≌EMG，

∴L

NKM

∠=∠，

设KMN α∠=，则KMB KMN α∠=∠=， ∴90NKM α∠=?-， ∴90NKM L α∠=∠=?-， ∵//BL MN ，

∴2MBL BMN α∠=∠=，

∴18090BML MBL L α∠=?-∠-∠=?-， ∴BM BL =， ∵1tan 2

KCH ∠=， ∴11

322

KH CH t =

=-， ∴13

3322

KN KH HN t t t TL =+=--=-=， ∴3

52

BL BT TL t BM =+=-=， 在Rt BMG △中，

222BM BG GM =+，

解得65t +=（不合题意舍去）或65t -=

故，65

t -=

． 【点睛】

本题一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等，利用已知条件求相等交，相等线段是解决本题的关键．

3．B

解析：（1）①（2，0），（1），（﹣1y x ；③y ＝﹣

2

x ；

（2）①半径为2，M （33

）；②2＜r ＜4 【解析】 【分析】

（1）①如图2?1中，作BE ∥OD 交OA 于E ，CF ∥OD 交x 轴于F ．求出OE 、OF 、CF 、OD 、BE 即可解决问题；

②如图2?2中，作BE ∥OD 交OA 于E ，作PM ∥OD 交OA 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

③如图3?3中，作QM ∥OA 交OD 于M ．利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；

（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．解直角三角形即可解决问题；

②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．求出FN＝NE＝1时，⊙M的半径即可解决问题；

【详解】

解：（1）①如图2﹣1中，作BE∥OD交OA于E，CF∥OD交x轴于F．

由题意OC＝CD＝1，OA＝BC＝2，

∴BD＝OE＝1，OD＝CF＝BE＝2，

∴A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)，

故答案为：A(2,0)，B(1,2)，C(﹣1,2)．

②如图2﹣2中，作BE∥OD交OA于E，作PM∥OD交OA于M．

∵OD∥BE，OD∥PM，

∴BE∥PM，

∴BE OE PM OM

=，

∴21

y x

=，

∴y＝2x．

故答案为：y＝2x．

③如图2﹣3中，作QM∥OA交OD于M．

2

22

MQ DM

OA DO

x y

∴=

-

∴=

∴

2

2

2

y x

=-+

故答案为：y＝﹣

2

2

x+2．

（2）①如图3中，作MF⊥OA于F，作MN∥y轴交OA于N．

∵ω＝120°，OM⊥y轴，

∴∠MOA＝30°，

∵MF⊥OA，OA＝23，

∴OF＝FA＝3，

∴FM＝1，OM＝2FM＝2，

∴圆M的半径为2

∵MN∥y轴，

∴MN⊥OM，

∴MN＝

2

3

3

，ON＝2MN＝

4

3

3

，

∴M

4323

,

??

?

?

??

．

②如图4中，连接OM，作MK∥x轴交y轴于K，作MN⊥OK于N交⊙M于E、F．∵MK∥x轴，ω＝120°，

∴∠MKO ＝60°，

∵MK ＝OK ＝ ∴△MKO 是等边三角形， ∴MN ＝3，

当FN ＝1时，MF ＝3﹣1=2， 当EN ＝1时，ME ＝3+1=4，

观察图象可知当⊙M 的半径r 的取值范围为2＜r ＜4． 故答案为：2＜r ＜4． 【点睛】

本题考查圆综合题、平行线分线段成比例定理、等边三角形的判定和性质、平面斜坐标系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题． 4．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m +n =12，得到12

2

a m +=，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明． 【详解】

解：（1）根据“和平数”的定义可得： 最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999， 故答案为1001；9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤， 则个位数字是2a ， 又∵029a ≤≤，

∴a 的可能取值为1，2，3，4；

∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数， ∴m+n =0或m+n =12， ∵“和平数”中a+m =n+2a ，

当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意，

∴m+n =12，

∴a+m =12?m +2a ，解得：12

2

a m +=

， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数， ∴m 的可能取值为7，8；

当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754； 当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848； 综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++ 110011001111a b c d =+++

1100()11()a b c d =+++

由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ， ∴原式1100()11()a b a b =+++ 1111()a b =+，

∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，

即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除， ∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 【点睛】

本题考查新定义运算、因式分解的应用；能够读懂题意，根据数的特点，确定数的取值范围，进行正确的因式分解是解题关键．

5．D

解析：（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769

或32 【解析】 【分析】

（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；

（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；

（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可． 【详解】

（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H