非线性动力学系统一般形式及其广义哈密顿体系下的几何积分方法
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
非线性动力学定性理论方法
非线性动力学定性理论方法非线性动力学定性理论方法是一种研究动力系统行为的方法，用于研究非线性动力系统的稳定性、周期性、混沌性等特性。
在非线性动力学定性理论中，主要有相图分析法、频谱分析法、Lyapunov指数法、Poincaré截面法等多种方法。
相图分析法是研究非线性动力系统的最常用方法之一。
相图是描述动力系统状态变化规律的图形，其中横坐标表示系统的状态变量，纵坐标表示状态变量的导数或变化率。
相图可以通过绘制状态变量和导数之间的关系曲线得到。
相图分析法通过分析相图的形状和特征，可以判断系统的稳定性、周期运动和混沌运动等特性。
频谱分析法是一种通过分析系统输出信号的频谱特性来研究非线性动力系统的方法。
在频谱分析中，通过将系统的输出信号用傅立叶变换或小波变换等方法，将信号分解成一系列的频谱分量。
通过分析频谱的峰值位置、能量分布等特征，可以判断系统是否存在周期运动或混沌运动等特性。
Lyapunov指数法是研究非线性动力系统稳定性的一种方法。
Lyapunov指数可以用来描述系统状态的指数变化率，即用来刻画系统状态的稳定性或者混沌性。
通过计算Lyapunov指数，可以得到系统状态的变化趋势，从而判断系统是否稳定或者出现混沌行为。
Poincaré截面法是一种通过截取动力系统的轨迹与特定平面的交点，来研究非线性动力系统行为的方法。
在Poincaré截面法中，通过选择合适的截面，可以将系统的运动轨迹转化为一系列的离散点。
通过分析离散点的分布和变化规律，可以判断系统是否存在周期运动或混沌运动等特性。
以上介绍的是非线性动力学定性理论的一部分方法，这些方法在研究非线性动力系统的行为特性方面具有重要的应用价值。
通过相图分析、频谱分析、Lyapunov 指数计算和Poincaré截面分析等方法，可以全面地了解非线性动力系统的稳定性、周期性和混沌性等特性，为非线性动力系统的建模、控制和应用提供了重要的理论基础。
非线性动力学方程的求解方法
非线性动力学方程的求解方法1、概述在工程实际问题中，我们常常面临这样的选择：我们所遇的问题究竟是静力的还是动力的。
静力问题与动力问题，从力学的角度看就是是否考虑与加速度有关的力，而从数学求解方法看则是一个三维边值问题还是一个四维边值-初值问题。
在这个问题的选择上没有固定的原则，一般取决于我们研究者、分析者对工程问题的判断。
一般认为，实际工程大都是处于动力环境之中，因而属于动力问题。
但是，由于时间、经费等方面的原因的限制，我们不可能把所有的问题都按照动力问题的方法来分析。
对于许多具体的问题，与速度和加速度有关的力足够小，但是又影响结构分析结果的，将采用静力假定来模拟这些力。
线性的动力有限元控制方程如式(1-1)所示。
[]}{}]{[}]{[}{R q K q D qM =++ (1-1) 式中[M ][D ][K ]分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，{R }为荷载列矢量，}{q、}{q 和}{q 分别是加速度、速度和位移列矢量。
式(1-1)的解法大体上可以分为两类：直接积分法和模态叠加法。
直接积分法在对控制方程进行数值积分之前不对方程做任何形式的变换，直接用数值积分的方法在时域上一步一步地对方程进行积分。
模态叠加法是在求解之前对方程进行某种数学变换，使基底降低，或使矩阵的带宽减小，再进行求解。
这两种方法在形式上不同，但是密切相关。
上述每一类求解方法中又有许多具体的解法，每一种解法又有各自的特点。
因此我们在选择一种方法求解一个问题时，要对该方法的收敛性、稳定性、效率、精度和费用等进行一些分析，讨论它对所求问题的有效性，从而使我们能够针对某一特定的问题，选择合适的方法。
直接积分法基于以下两条：(1)不是在求解时间区间内任意时刻t 都满足式(1-1)，而是在相隔△t 上的一些离散时刻满足式(1-1)。
(2)对位移、速度和加速度在每一时间区间△t 内变化的形式进行假设，事实上若把式(1-1)看成一个常系数微分方程组，便可以用任何一种有限差分格式通过位移来近似表示速度和加速度，因此不同的差分格式就得到不同的方法。
非线性动力学
t∈R
x∈ Rn
的解，则显然它是不仅是时间的函数，而且也是初值的函数，即解随着初值的改变而改变， 可以将解记为
φ(t, x0 )
当 x0 是 R n 中的某一点时，φ (t, x0 ) 代表了 1 条解轨线，而
{φ(t, x0 ) x0 ∈ D}
则代表了一族轨线。将φ看成是一个映射，即
φ : R× Rn → Rn
运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干 扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状 态体现了动态系统的本质结构。
微分方程解的最终形态通常有： (1) 平衡点 (2) 周期解 (3) 拟周期解 (4) 混沌解
6.4.1 平衡点
图 6-7 所示是 2 维线性系统的相轨线，坐标原点是系统的平衡点，图 6-7a、b 中的平衡 点是稳定的，称为稳定结点，图 6-7c 中的平衡点是不稳定的，称为鞍点。
图 6-7 2 维线性系统的相轨线
6.5.2 任意解的稳定性
设 x = ψ (t)是微分方程 x& = F(t, x)
第 6 章 非线性动力学
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
图 6-2 例 1 相图
例2
如图 6-3 所示是微分方程
&y& + 0.2 y& + y = 0
在相平面 (x1, x2 ) ，
x1 = y
x2 = y&
上的轨线图，平衡点为 (0,0)，当 t → ∞ 时，解轨线趋于平衡点。
0.6 0.4 0.2
-0.6
-0.4
-0.2 -0.2
几何非线性非保守系统弹性动力学两类变量的广义拟变分原理的应用
素法和其 它近似计算方法 中得到广泛应 用，而且可以方便地求得 非线性非保 守 系统弹性动力学问题 的精确解 。文章
应用几何 非线性 非保 守系统弹性动力学 中的第一类两类变量广义拟余能原理 ， 究 了一个典型 的非保 守动力 学系统 研 边值问题 的动态特性 ，并给 出同时求解一个典型的几何非线性非保 守系统的内力和变形两类变量的计算 方法。 关键词 ：几何非线性 ；非保 守系统 ；弹性动 力学；拟余能原理
内力 和变形 两类 变量 的计 算方 法 。
性理论变分原理的统一理— 论 ；梁立孚等利用“ 凑合
法” ，推导出有限位移理论的各级变分原理［ ５ １ 。郑泉
水提 出 了非 线性 弹性理 论 的泛变分 原理 ［ ６ １ 。 非保 守 系统 方 面 ，国外 以 Ｌｉｈｌ为代 表 ，提 ｅｐ ｏ ｚ 出广 义 自共 轭 的概 念 ，建 立 了广 义 的 Ｈａ ｌｎ原 ｍｉｏ ｔ 理 ，给 出 了著名 的 Ｌｉｈｌ杆模 型 。我 国学 者 也作 ｅ ｏ ｐ ｚ
计算 方法ｔ ９ ］ 。 在弹 性动力 学 的变 分原理 方 面罗 恩和邢 京 堂分 别 做 了大量 的工 作［－。 】１ ｏ３ １ 刘 殿 魁 等 对 非 保 守 系统 拟 变 分原 理 和 广 义 拟 变 分 原理 在 近 似计 算 中 的应 用 做 了 系统 的研 究 用； 罗 恩对 几 何 非 线 性 保 守 系统 弹性 动 力 学 变 分 原 理 和 广 义变 分 原 理 在 近似 计 算 中的 应 用 做 了系 统 的
第４ 期
樊
涛等 ：几何非线性非保 守系统 弹性动力学两类变量的广义拟变分原理 的应用
考虑如图 １ 所示的悬索桥 ， 设其有如图 ２的单
。＝
（
非线性动力学常微分方程组高精度数值积分方法
ｔ∈卜，ｒ＋＾Ｉ
Ｊ
（８）
略去上式中的高阶项Ｏ（Ａｕ），于是将非线性系统方 程（２），（４）整理为有常数项的线性化方程
血一Ａ（ｒ）ｕ＝Ｇ（ｒ）＋ｆ（ｔ），ｔ∈ｈｆ＋ｈ】 （９）
Ｇ（ｒ）＝ｇ（ｒ）一Ａ（ｒ）¨（ｒ）
（１０）
求解连续纷陛化方程（９）与求解线性运动微分 方程（１）的区别是时间ｔ属于ｒ的右端极小邻域内， 即ｔ∈ｈｒ＋ｈ］内的线性问题，可依此逐步递推求 解线性化方程（９）
关键词 非线性动力学，有限差分法，重构等价非线性微分方程，高阶余项，Ｄｕｈａｍｅｌ卷积分
近代非线性科学正处于迅猛发展阶段，已成为 ２０世纪关键科学技术之一．众所周知大多数非线性 动力学常微分方程组的没有解析解，因此采用数值 方法求解，自１８世纪Ｅｕｌｅｒ首先提出的一阶非线性 常微分方程初值问题的切线法开始，为了进一步寻 求发展具有高精度、高效率的数值计算方法，适用于 高维非线性系统长期发展预测及全局非线性特性分 析，经历了两个半世纪不知有多少学者的努力，从 方法的不断改进到误差分析，发表论文以数千计， 但高维非线性动力学方程组高精度求解这一世界性 难题，无论解析方法或数值算法，都成为当前非线 性系统分析研究中的迫切要求和重要内容，也是非 线性动力学能否进入工程应用的实用阶段的关键问 题．
，（“，ｔ）＝ｇ∞）＋ｌ（ｔ）
（４）
将非线性项ｇ（ｕ）在ｒ处邻域内展开为Ｔａｙｌｏｒ级数
ｇ（ｕ）刮呲）＋掣ｈｕ＋。（”）（５）
其中首次近似的Ｊａｃｏｂｉ矩阵Ａ（ｒ）∈Ｒ…和常数
项９（ｒ）分别表示为
瓮扎＝撕（ｒ））＝竹） （６）
ｇ（ｕ）ｈ＝口（ｕ（ｒ））＝９（ｒ）
（７）
于是有
也一Ａ（ｒ）ｔｌ＝，（ｔ）＋ｇ（ｒ）一Ａ（ｒ）ｔ‘（ｆ）＋ｏ（Ａｕ）ｌ
非线性动力学培训课件
粒子群优化算法具有简单、易于实现、全局搜索能力强等优点，但可能存在局部最优解的问题，且对于大规模问题的求解效率可能较低。
粒子群优化算法
03
非线性动力系统的混沌现象
混沌是一种具有高度不确定性、非周期性、非线性、非稳定性的自然现象。
混沌现象的定义
混沌具有敏感的初始条件、拓扑混沌、统计的均匀性、普适性等特征。
非线性动力学在物理、生…
研究非线性动力学在物理、化学、生物、工程等领域的应用，深入探索非线性科学在解决实际问题中的潜力。
高维非线性动力学的数值…
针对高维非线性动力学问题，研究高效的数值模拟方法和算法设计技巧，以提高计算效率和准确性。
非线性动力学的研究前沿和挑战
智能制造与机器人技术的非线性动…
非线性动力学在未来的应用前景和发展趋势
电力工程
研究飞行器的非线性动态行为，如航天器姿态动力学和控制、空间碎片的动力学行为等。
航天工程
社会动力学
研究社会系统的演化和行为，如人口动力学、社会网络分析和人类行为等。
经济动力学
探究经济系统的非线性动态演化，如经济周期、金融危机和国际经济等。
决策科学
探究决策过程中的非线性现象和规律，如群体决策、风险评估和非线性思维等。
非线性动力学涉及到许多基本概念，如平衡点、稳定性、分岔点、混沌等，这些概念在研究非线性系统时具有重要的意义。
基本概念
非线性动力学的定义和基本概念
研究内容
非线性动力学的研究内容包括研究非线性微分方程的定性理论、研究非线性系统的稳定性、分岔、混沌等动力学行为，以及研究非线性动力学的数值方法和计算技术。
非线性动力学方法和思想在其他领域的应用
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非线性动力学系统深度研究
非线性动力学系统深度研究深度研究非线性动力学系统引言：非线性动力学系统是一类常见的复杂系统，广泛应用于物理、化学、生物学等领域。
与线性系统相比，非线性系统具有更为复杂的行为和动力学特性。
本文将对非线性动力学系统进行深度研究，探讨其定义、模型、稳定性和混沌等关键概念。
一、非线性动力学系统的定义和基本概念非线性动力学系统是指系统中的状态变量和控制参数之间的关系是非线性的系统。
其基本概念主要包括状态变量、动力学方程和相空间等。
1. 状态变量：状态变量是系统的内部变量，它们描述了系统在不同时间的状态。
通常采用向量形式表示，例如(x1, x2, ..., xn)。
2. 动力学方程：动力学方程是描述系统演化规律的数学方程。
对于非线性动力学系统，动力学方程通常是一组非线性微分方程或差分方程。
3. 相空间：相空间描述了非线性动力学系统的所有可能状态的集合。
在相空间中，每个状态被表示为一个点，而系统的演化则对应于在相空间中的运动轨迹。
二、非线性动力学系统的模型与常见例子非线性动力学系统的模型通常采用一组微分方程或差分方程来描述。
下面给出两个常见的非线性动力学系统模型。
1. Lorenz系统：Lorenz系统是一个三维非线性动力学系统，由爱德华·洛伦兹发展而来，主要用于描述大气环流的运动。
Lorenz系统的动力学方程如下：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = ρx - y - xzdz/dt = xy - βz其中，x、y、z分别表示系统的三个状态变量，σ、ρ、β分别为控制参数。
2. Van der Pol振荡器：Van der Pol振荡器是一个二阶非线性动力学系统，广泛应用于电子工程和生物学中。
其动力学方程如下：d²x/dt² - μ(1 - x²)dx/dt + x = 0其中，x表示系统的状态变量，μ为控制参数。
三、非线性动力学系统的稳定性分析在研究非线性动力学系统时，稳定性是一个关键问题。
非线性动力学方法
非线性动力学方法
非线性动力学方法是一种用于研究复杂系统的数学和计算方法。
它可以描述非线性系统中随时间演化的行为，并揭示系统的动力学性质。
非线性动力学方法包括以下几个方面:
1. 非线性微分方程: 非线性动力学方法主要研究非线性微分方程的解，这些方程描述了系统中各个变量之间的相互作用关系。
2. 相空间分析: 相空间是描述系统状态的空间，非线性动力学方法通过绘制相轨迹来分析系统在相空间中的运动轨迹，以揭示系统的稳定性、周期性和混沌行为等。
3. 分岔理论: 分岔理论研究系统在参数变化过程中出现的稳定性变化和态势的转变。
通过分析系统在不同参数值下的解的性质，可以确定系统的分岔点和分岔类型。
4. 混沌分析: 非线性动力学方法还研究系统中的混沌行为。
混沌是一种高度不确定和敏感依赖于初始条件的动力学行为，通过混沌分析方法，可以确定系统的Lyapunov指数和分岔图等。
非线性动力学方法在物理学、生物学、化学、经济学等众多领域具有重要应用，它可以揭示复杂系统的内在规律和行为特征，帮助人们更好地理解和预测自然和
人类活动中的各种现象。
非线性动力学PPT课件
Albahadily 等人发现了在磷酸中铜作阳极的电解实验中的 电化学反应系统中的混沌。
Herzel 等人在研究乙醇在钯催化剂上催化反应时，发现猝 发性振荡，即阵发性混沌，如图所示。
图5.3.3 乙醇催化氧化反应中的猝发性振荡(阵发性混沌)
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自然界中所发生的事件，有些是完全可以预言的，称其为确 定性事件，而有些却不可能预言或不可能完全预言，称其为随机 性事件。
许多B-Z反应的实验是在连续搅拌槽式反应器中进行的。 采用这种类型的反应器的目的是很容易通过进料流速的控制使 B-Z反应系统保持在一定的远离平衡态下进行，远离平衡态的 程度取决于进料流速的大小，流速越大系统离平衡态越远。
1977年Schmitz 首次报道了B-Z反应系统中非周期振荡(混沌) 行为。如图所示，图中纵坐标T为透光率，它反映了系统中Ce3+ 离子浓度随时间(横坐标)的非周期性振荡，即B-Z反应系统中出 现的化学混沌。
5. 5 化 学 波
化学波 (chimecal wave)是化学反应系统中组分的组成在空间 分布的花样随着时间变化的波动现象。
化学波按其波型可分为：孤波、脉冲波、周期波、非周期波； 按其传播方式可分为：平面波、靶环波、螺旋波和旋卷波；按其 产生机理可分为：动力学波和运动波。动力学波是化学振荡在反 应介质中的传播行为。
在均相反应系统中的化学波已有大量的研究成果，如B-Z反 应的靶环波(见图及螺旋波(
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图5.5.1 B-Z反应的靶环波 图5.5.2 B-Z反应的螺旋波
第23页/共33页
近年来随着实验技术的开发有关化学波的研究有许多新进展， 如CO在Pt(100)表面上氧化的靶环波(见图，驻波(见图，脉冲波 和孤波(见图。
非线性动力学中哈密顿系统的研究
非线性动力学中哈密顿系统的研究第一章研究背景非线性动力学（Nonlinear Dynamics）是一门涉及到物理、数学、工程等多个领域的交叉学科。
它研究的是在一定条件下，物体随着时间的推移而发生的非线性和混沌性运动。
而哈密顿系统（Hamiltonian System）则是非线性动力学领域内的一个重要研究方向。
在哈密顿系统中，物体的物理量是由哈密顿函数来描述的，而不是由位置和动量分别描述的。
因此，哈密顿系统的研究能够使我们更加深入地理解物体在非线性环境中的运动规律。
第二章哈密顿系统的定义和基本概念哈密顿系统是指一类物理系统，它可以由一个哈密顿函数来描述它的运动规律。
哈密顿函数的定义如下：$$H(q, p) = \sum_{i=1}^{n} \frac{p_i^2}{2m_i} + V(q_1, q_2, \ldots, q_n)$$其中，$q$ 是系统的广义坐标，$p$ 是系统的广义动量，$n$ 是系统的自由度数，$m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量，$V$ 是系统的势能函数。
在哈密顿系统中，我们可以通过正则变换（Canonical Transformation）将运动方程从广义坐标和广义动量的形式转化为时间和某些相空间变量的形式，从而更加方便地描述系统的运动规律。
这种转换可以写成：$$\begin{aligned}& \frac{d q_i}{d t} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \\& \frac{d p_i}{d t} = -\frac{\partial H}{\partial q_i},\end{aligned}$$这被称为哈密顿运动方程。
它描述了系统在哈密顿函数规定的势能场下的运动规律。
第三章哈密顿系统的研究对象在哈密顿系统的研究中，我们主要关注以下两种类型的系统：1. 可积系统对于可积系统，它们的运动方程可以被解析地求解，并且可以得到一系列常数运动量。
机械系统非线性动力学建模与分析方法
机械系统非线性动力学建模与分析方法在现代工程领域，机械系统的性能和可靠性对于各种设备的正常运行至关重要。
而理解和预测机械系统的动态行为则需要依靠有效的建模和分析方法，特别是在处理非线性问题时。
机械系统中的非线性现象广泛存在，例如摩擦、间隙、材料的非线性特性等，这些非线性因素会显著影响系统的性能和稳定性。
因此，对机械系统非线性动力学进行准确建模和深入分析具有重要的理论意义和实际应用价值。
非线性动力学建模是一个复杂而具有挑战性的任务。
首先，需要对机械系统的物理结构和工作原理有清晰的认识。
这包括确定系统中的各个部件、它们之间的连接方式以及所涉及的力和运动关系。
与线性系统不同，非线性系统的数学描述通常更加复杂，可能包含非线性函数、微分方程的高阶项等。
在建模过程中，常用的方法之一是基于牛顿力学定律。
通过对系统中每个部件进行受力分析，建立起相应的运动方程。
例如，对于一个简单的机械振动系统，可能需要考虑弹性力、阻尼力以及外部激励力等。
当存在非线性因素时，比如非线性弹簧或非线性阻尼，这些力的表达式就会变得更加复杂。
另一种常见的建模方法是基于能量原理。
通过分析系统的势能和动能，建立起拉格朗日方程或哈密顿方程。
这种方法在处理一些复杂的机械系统时，能够提供更简洁和统一的数学描述。
还有一种方法是利用实验数据来建立模型。
通过对机械系统进行实验测量，获取系统的输入输出数据，然后使用系统辨识技术来构建模型。
这种基于数据的建模方法在某些情况下可以有效地捕捉系统的非线性特性，但也存在一定的局限性，例如对实验条件的要求较高，数据的准确性和完整性等问题。
建立好模型之后，接下来就是对模型进行分析。
非线性动力学分析的方法多种多样，其中一种重要的方法是数值求解。
通过使用数值算法，如龙格库塔法、Adams 方法等，对非线性微分方程进行求解，得到系统在不同条件下的动态响应。
数值求解可以提供详细的时间历程信息，但计算量通常较大，并且需要对数值稳定性和精度进行仔细的考虑。
数学物理方程第八章 非线性偏微分方程与积分方程
t ≥ 0 都存在，而只是在某个有限时间内存在，见下例
例 3 考虑瑞卡提方程的初值问题
⎧ dv 2 ⎪ =v , t>0 ⎨ dt ⎪ ⎩v(0) = v0 (v0 是常数)
容易求出它的解
v(t ) =
v0 1 − v0 t
显然， 若 v0 < 0 ， 则方程的解对所有 t ≥ 0 都存在， 简称存在整体解； 若 v0 > 0 ， 则当 t →
v∈M ϕ
(8.1.2)
这是一个变分问题 如何求出变分问题式（8.1.2）的解？我们先来看看假若 u ∈ M ϕ 是式（8.1.2）的解，那
么 u 必需满足什么样的条件。为此，我们定义 M 0 = v v ∈ c (Ω), v
1
{
∂Ω
= 0}, 任取 v ∈ M 0 ，
对任意 ε ∈ (−∞,+∞), u + εv ∈ M ϕ , 记 j (ε ) = J (u + εv) 式中， J (u ) 由式（8.1.1）确定，从 式（8.1.1）可知 j (ε ) 是定义在 R 上的一个可微函数，由于 u 是式（8.1.2）的解，所以对任 意 ε ∈ R, j (ε ) ≥ j (0) ，即 j (ε ) 在 ε = 0 处取的是最小值，故 j ′(0) = 0) 不难算出 j ′(ε ) =
∂ 2u = eu ∂x∂y
（8.2.1）
这是一个半线性的二阶方程，若令 u1 是
∂ 2 u1 =0 ∂x∂y
的解，则再构造一个偏微分方程组
1 ( u + u1 ) ⎧ ∂u ∂u1 2 = − β e ⎪ ⎪ ∂x ∂x ⎨ 1 ⎪ ∂u = − ∂u1 − 2 e 2 ( u −u1 ) ⎪ ∂y β ⎩ ∂y
非线性动力学-胡海岩
第二章 SDOF 自治系统的定性分析一、基本概念0),(=+u u p u（1）令uu u u ==21，将之化为状态方程的形式 )(),(221u f u u u p uu u=⎩⎨⎧-== 或 （2）这里f (u )为向量场。
初初始条件为20021001)()(u t u u t u ==，（3）1．相空间、广义相空间、相轨线、积分曲线、相图相空间特性应从物理意义出发，在相空间尚未选定之前，微分方程本身不能确定系统的可能运动，例如21dudu ，相图特点：（1）上半平面，021>=u u ，相轨线从左到右；（2）下半平面，021<=u u，相轨线从左到右；（3）横坐标，∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0122u du du ，轨线与横轴正交。
2．定理：若),;(00u t t u u= 是方程（2）的解，对任意常数0t ，),0;(00u t t u u -= 仍是其解。
证明：对任何时刻/t ，有()()///|)()(|)(|)(00/0t t t t t t t t t u f t t u f dtt du dt t t du =-==-=-==- （5）表明：上式在任意瞬时恒成立，故),0;(00u t t u u-= 是解。
说明：自治系统在相空间的轨线只与初始值有关，与初始时刻的选取无关。
因此，今后令00=t ，初始条件（3）成为2010)0()0(u u u u ==，（6）例1：对自治系统0=+u u，t u sin =是其解，)sin(0t t u -=还是其解。
若取t u cos -=，此时20π=t 。
推论：经过相空间中的每一点（奇点除外），自治系统有一条且仅有一条相轨线（只有唯一轨线通过）。
证明：设方程（2）有两条轨线),,(1010u t t u u =，),,(2020u t t u u =有公共点，即在时刻1T 和2T 有),,(),,(2020210101u t T u u t T u =（7）因),,(101021u t T T t u u -+=还是方程（2）的解，因此下式成立22|),,(|),,(2020101021T t T t u t t u u t T T t u ===-+（8）根据Cauchy 定理：若在),(00u t 的邻域f 对u 的偏导数存在并连续，对t 的单边偏导数存在并连续，则),(u t f u = 在相当小的区间],0[δ内存在唯一解（过同一初始值的解是唯一的）。
非线性动力学系统的数值模拟
非线性动力学系统的数值模拟非线性动力学系统是自然界和人工系统中普遍存在的一类系统，其行为规律无法简单地用线性关系描述。
数值模拟非线性动力学系统是研究这类系统行为的重要手段之一。
本文将介绍非线性动力学系统的基本概念和数值模拟方法，并结合具体例子进行阐述。
一、非线性动力学系统概述非线性动力学系统的定义是：系统中的因果关系不仅仅依赖于输入的线性关系，而且可能存在非线性项。
这些系统在演化过程中具有多样的行为，例如周期性、混沌和奇异吸引子等。
非线性动力学系统广泛应用于物理学、工程学、生物学和社会科学等领域。
二、数值模拟方法数值模拟非线性动力学系统的目标是通过离散化的时间步骤来近似系统的持续演化。
常用的数值模拟方法包括常微分方程数值解法、映射法和蒙特卡洛方法等。
1. 常微分方程数值解法常微分方程数值解法是数值模拟非线性动力学系统最常用的方法之一。
常见的数值解法有欧拉法、龙格-库塔法和四阶龙格-库塔法等。
这些方法根据系统的特性和所需精度选择合适的数值积分算法。
2. 映射法映射法是一种离散时间系统的数值模拟方法。
该方法将连续时间系统离散化为一系列映射关系，通过迭代计算系统的状态演化。
常用的映射法有Henon映射、Logistic映射和Lorenz映射等。
3. 蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是通过随机抽样和统计分析来模拟非线性动力学系统。
通过生成符合系统演化规律的随机数序列，并对大量样本进行统计，可以获得系统的平均性质和概率分布等信息。
三、具体例子下面以经典的洛伦兹吸引子为例，介绍非线性动力学系统数值模拟的步骤和结果展示。
洛伦兹吸引子是描述大气对流现象中的非线性动力学行为的一个模型。
其动力学方程为：dx/dt = σ(y - x)，dy/dt = x(ρ - z) - y，dz/dt = xy - βz。
其中，x、y和z是系统状态变量，t是时间，σ、ρ和β是系统的参数。
通过选择适当的参数值，可以观察到洛伦兹吸引子的演化过程。
非线性动力学分析方法
⾮线性动⼒学分析⽅法第⼀章⾮线性动⼒学分析⽅法（6学时）⼀、教学⽬标1、理解动⼒系统、相空间、稳定性的概念；2、掌握线性稳定性的分析⽅法；3、掌握奇点的分类及判别条件；4、理解结构稳定性及分⽀现象；5、能分析简单动⼒系统的奇点类型及分⽀现象。
⼆、教学重点1、线性稳定性的分析⽅法；2、奇点的判别。
三、教学难点线性稳定性的分析⽅法四、教学⽅法讲授并适当运⽤课件辅助教学五、教学建议学习本章内容之前，学⽣要复习常微分⽅程的内容。
六、教学过程本章只介绍⼀些⾮常初步的动⼒学分析⽅法，但这些⽅法在应⽤上是⼗分有效的。
相空间和稳定性⼀、动⼒系统在物理学中，⾸先根据我们⾯对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。
再根据研究对象和研究⽬的，按⼀定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。
然后再根据⼀些原理或定律建⽴控制这些状态变量的微分⽅程，这些微分⽅程构成的⽅程组通常称为动⼒系统。
研究这些微分⽅程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动⼒学。
假定⼀个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。
有时，每个状态变量不但是时间t 的函数⽽且也是空间位置r的函数。
如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的⽅程组称为偏微分⽅程组。
这⾥假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的⽅程组为常微分⽅程组。
),,,(2111n X X X f dtdX ),,,(2122n X X X f dtdX (1.1.1)…),,,(21n n nX X X f dtdX 其中代表某⼀控制参数。
对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)⼀般是 i X 的⾮线性函数，这时⽅程(1.1.1)就称为⾮线性动⼒系统。
由于 i f 不明显地依赖时间t ，故称⽅程组(1.1.1)为⾃治动⼒系统。
若 i f 明显地依赖时间t ，则称⽅程组为⾮⾃治动⼒系统。
⾮⾃治动⼒系统可化为⾃治动⼒系统。
对于⾮⾃治动⼒系统，总可以化成⾃治动⼒系统。
力学中的非线性动力学方法研究
力学中的非线性动力学方法研究力学是研究物体运动和力的学科。
其中，动力学是力学的一个重要分支。
动力学主要研究物体运动的性质，包括速度、加速度、力和能量等。
非线性动力学则是一种较新的动力学研究方法，主要研究零散分布在空间或时间上的复杂系统，其中包括了非线性现象的产生和演化过程。
本文将讨论在力学中的非线性动力学方法的研究现状和应用。
一、什么是非线性动力学？动力学中的非线性现象是指，物体的运动状态和外界环境之间的关系不是线性关系，而是呈现出复杂的、非线性的关系。
比如，一个弹簧的伸长量和弹力之间的关系，就是一个典型的非线性关系。
当弹簧的伸长量小的时候，弹力和伸长量之间是具有线性关系的；但当弹簧的伸长量逐渐变大，弹力和伸长量之间的关系就呈现出了非线性的变化规律。
相比于线性现象，非线性现象更为复杂、难以预测。
但是，正是这种复杂的非线性关系，让我们更好地理解自然界中的诸多现象。
非线性动力学正是研究这种非线性现象的一种方法。
二、什么是非线性动力学方法？非线性动力学方法是指，应用数学和物理学的理论和方法，对非线性动力系统进行建模和研究的方法。
这种方法不仅可以帮助我们更好地理解非线性现象产生的原因，还可以帮助我们预测和控制这些现象。
非线性动力学方法的主要研究内容包括：相空间、分岔现象、混沌现象和吸引子等。
其中，相空间是非线性动力系统中非常重要的概念。
相空间描述了系统状态的演化过程，可以用来研究系统的稳定性和非线性特征。
而分岔现象、混沌现象和吸引子则是非线性动力学方法研究的重要现象。
三、非线性动力学方法的研究现状在过去的几十年里，各国科学家们对非线性动力学方法进行了广泛的研究。
他们通过实验、数学模型和计算机仿真等方式，不断深入研究、发现非线性现象的规律和特点。
例如，混沌现象是非线性动力学方法研究的重要现象之一。
在不同的科学领域，我们都可以观察到混沌现象的存在，比如大气环流、电路系统、生物系统等。
通过研究混沌现象，科学家们发现了一些非线性动力学的规律，比如混沌现象的出现和系统的初始条件有关，小的偏差也会导致系统行为的巨大不同等。
非线性动力学与随机过程的建模与分析
非线性动力学与随机过程的建模与分析随机过程和非线性动力学是数学和物理学领域中两个非常重要的概念。
它们可以用来描述和预测各种自然现象和现象背后的规律。
在本文中，我们将介绍随机过程和非线性动力学的基本概念和应用，以及它们在建模和分析实际问题时的一些技术和方法。
一、随机过程的基础概念和应用随机过程是一种在一系列时间点或空间点上随机变化的数学模型。
它可以用来描述各种自然现象，如气象、金融市场、化学反应、生物进化等等。
随机过程的主要特征是它的概率分布在时间或空间上的变化。
随机过程可以用一些基本的数学工具来描述，如概率论、统计学、随机分析等等。
随机过程可以有不同的类型，如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等等。
其中，布朗运动是最常用的一种随机过程，它被广泛应用于金融市场、物理学、化学等领域。
布朗运动的主要特征是它的平方变化率在时间上是常数的。
这种特殊的变化规律使得布朗运动可以用来描述各种经济和物理现象，如股票价格、分子运动等等。
二、非线性动力学的基础概念和应用非线性动力学是一种研究非线性系统行为的学科。
非线性系统是一类具有复杂性质的系统，它们的行为不是简单的线性关系，而是由非线性效应所主导的。
非线性系统的行为通常是不可预测的，并且具有混沌和复杂性质。
因此，非线性动力学是一种研究如何理解和分析这些复杂系统的方法和技术。
非线性动力学的主要工具是微分方程和迭代方程。
这些方程可以用来描述各种现象，如气象、生物进化、经济市场等等。
非线性动力学研究的重点是如何理解这些方程中包含的复杂现象，并且如何预测或控制这些现象的发展。
三、随机过程和非线性动力学的建模和分析在实践中，随机过程和非线性动力学常常需要用来建模和分析各种实际问题。
这需要我们掌握一些基本的技术和方法，如数值模拟、统计学方法、数据分析等等。
数值模拟是一种用计算机模拟随机过程和非线性动力学的方法。
通过数值模拟，我们可以得到随机过程和非线性动力学的各种特性，如概率分布、频谱分布、稳态分布等等。
非线性动力学(中科大课件)
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2020/11/24
20
Thanks for Attention！
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非线性动力系统的定义： 一个动力系统，若其基本力学量的运动由非 线性方程描述，则称作非线性动力学系统。
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非线性动力系统
若一个动力系统由方程
描述，其中 也可以用系综概率密度 ρ(x) 的运动描述。
Liuvill 方程：是线性的。 两个方程等价。但两者
的基本力学量不同。
若以x为基本力学量，F为非线性时，则系统为非线
非线性动力学
第一章
汪秉宏
中国科学技术大学
近代物理系
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第一章 引言
§1 Newton 力学及其发展 §2 非线性动力学的研究对象
§3 非线性动力系统模型 的建立
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2
§1 Newton 力学及其发展
力学的定性研究时期 （公元前－17世纪中叶） Archimedes， Galileo， Kepler 定量研究时期 （ 17世纪中叶－19世纪末） Newton，Lagrange, Hamilton
涨落项
18
宏观描述 在长时间后，绝大多数集体运动模式
由于耗散而衰减掉，可以考虑剩余运动模式。 设长时间后只剩下 x1 ,…, xm 的运动，则在 t→∞ 时有
Haken称之为随动原理(slaving principle). 代入前一方程，
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非线性动力学系统一般形式及其广义哈密顿体系下的几何积分
方法
几何积分方法无论在提高计算精度还是在保持系统的不变量性质等方面都比传统的积分算法有优势,同时,它还具有向后误差分析的性质,可用于研究数值方法的长期行为,以及进行数值方法的稳定性分析。
本文主要研究了广义Hamilton系统及一般非线性动力学系统的几何积分方法。
首先,提出了求解一般动力学方程的李级数方法,并给出具体实施办法,它是泰勒展开方法的一个推广。
另一方面将动力学微分方程用微分算子的形式表示之后,它的解算子可由它的无穷小生成元的预解式取Laplace逆变换得到,如此再次得到了李级数方法,对于自治系统它是一个李群方法。
另外,提出了基于Laplace变换数值反演的非线性动力学方程的求解方法。
其次,基于李级数方法,提出了广义Hamilton系统及耗散广义Hamilton系统的李群积分法。
广义Hamilton系统形式是动力学系统的一种恰当表述,它揭示了力学系统内蕴的某种对称性质,它的理论研究和实际应用在力学研究中具有十分重要的意义。
本文在守恒系统解析解的理论基础上给出了构造广义Hamilton系统任意高阶显式保群积分格式的方法,同时讨论了算法的具体实施过程。
对耗散广义Hamilton系统,就自治与非自治系统分别进行了讨论:对于自治系统,采用李级数方法并结合分裂合成的技巧直接进行求解;对于非自治系统,基于Magnus级数方法和Fer展开方法来构造其数值解。
文中方法保持了原系统真解的典则性,因而也是稳定的。
如果更关注系统的能量性质,如Hamilton函数性质,文中用离散梯度的方法
给出了广义Hamilton系统及广义Hamilton控制系统的保持其Hamilton函数性质特征不变的数值解法。
同时,本文在伪Poisson流形上研究了广义Hamilton约束系统的求解问题。
把广义Hamilton约束系统变形为无约束的广义Hamilton系统微分方程,提出了保持系统内在结构和约束不变性的李群积分方法,并就约束不变量的误差和稳定性等问题进行了理论分析和数值分析。
另外通过引入拉格朗日乘子采用投影技术对广义Hamilton约束系统直接进行积分,进一步简化了积分过程。
因为本文的讨论对完整与非完整约束不加区分,一样处理,所以也适用于非完整约束的情形。
然而,一般非线性动力学系统并不是都可以表示为(耗散)广义Hamilton系统的形式,即存在所谓广义Hamilton实现问题。
为此,基于经典的Magnus和Fer展开式,在耗散广义Hamilton系统的保结构算法的基础上,主要从两个不同的角度,进一步深入地研究了一般非线性动力学系统的李群积分方法:一个是在算。