哈密顿系统的数学建模与动力学分析

1 引言

Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是Lagrange力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此.近几十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton动力系统理论又成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.由于这类系统广泛存在于数理科学、生命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利用Hamilton原理推导出了Hamilton系统的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.

2 预备知识

2.1 状态空间的基本概念

1）状态

任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在0t 时刻的状态是0t 时刻的一种信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在0t t ≥时的行为.

2）状态变量

状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组. 3）状态向量

设系统有n 个状态变量，用()()()12,,

,n x t x t x t 表示，而且把这些状态变量看做向量

()x t 的分量，则向量()x t 称为状态向量，记为

()()()()12,,

,T

n x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦.

4）状态空间

以状态变量()()()12,,,n x t x t x t 为轴的n 维实向量空间称为状态空间.

5）状态方程

描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程，其一般形式为：

()()(),,x t f x t u t t =⎡⎤⎣⎦

其中，t 是时间变量，()u t 是输入变量.

6）输出方程

描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的一

般形式为：

()()(),,y t g x t u t t =⎡⎤⎣⎦.

7）状态空间表达式

状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完整的动态过程，其一般形式为：

()()()()()(),,,,x t f x t u t t y t g x t u t t ⎧=⎡⎤⎪⎣

⎦⎨

=⎡

⎤⎪⎣⎦⎩ 通常，对于线性定常系统，状态方程为

x Ax Bu

y Cx Du

=+⎧⎨

=+⎩ 其中，()12,,

T

n x x x x =表示n 维状态向量，

()n n ij n n

A a R ⨯⨯=∈表示系统内部状态的系数矩阵，

称为系统矩阵n n A ⨯，()n r ij n r

B b R ⨯⨯=∈表示输入对状态作用的矩阵，称为输入（或控制）矩

阵n r B ⨯，()

m n ij m n

C c R ⨯⨯=∈表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵m n C ⨯，

()m r ij m r

D d R ⨯⨯=∈表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵m r D ⨯，也称前馈系

数矩阵.

A 由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而

B 则主要体现了系统输入的施加情况，通常情况下0D = .

2.2线性定常连续系统的能控性

定义2.1 设(),,n p n n x Ax Bu x R u R A R ⨯=+∈∈∈，若存在一分段连续控制向量()u t ，能在0,f t t ⎡⎤⎣⎦内，将系统从任意的初态()0x t 转移至任意终态()f x t ，则系统完全能控.

定理2.1 系统完全能控的充要条件：

rankSc n =

其中，1,,

,n Sc B AB A B -⎡⎤=⎣⎦，称为能控矩阵.

2.3线性状态反馈控制律

线性状态反馈控制律为u V Kx =-式中，V 是参考输入，p n K R ⨯∈称为状态反馈增益矩

阵.系统动态方程变为：

()()()()K K x Ax B V Kx A BK x BV A BV

y Cx D V Kx C DK x DV C DV

=+-=-+=+⎧⎪⎨

=+-=-+=+⎪⎩ 式中，K A A BK =-，K C C DK =-，当0D =时，状态反馈系统闭环传递函数()K W s 为

()()1

K W s C sI A BV B -=--⎡⎤⎣⎦

式中，A BV -为闭环系统的系统矩阵.

以上我们简要介绍了控制系统的有关问题，现在针对单输入定常线性系统，设计其某种形式的线性定常控制律，使得闭环系统具有指定的希望的一组极点，即极点配置.

2.4 极点配置

考虑下述单输入线性定常系统

⎩

⎨⎧=+=Cx y bu Ax x （2.4.1）

其中A 为n n ⨯常阵，b 和C 分别为1⨯n 和n ⨯1常阵.选取线性定常反馈控制律kx u -=，使得（2.4.1）在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.

问题SPA[状态反馈极点配置问题] 给定矩阵n n R A ⨯∈，1⨯∈n R b 及一组共轭封闭复数

i s ， i=1，2，…，n （不必互异），求取矩阵n r R K ⨯∈ 使得()i i s bK A =-λ n i ,,2,1 =

对问题SPA 先考虑其解的存在性有：

定义2.2 如果对于任何给定的一组共轭封闭复数i s ，n i ,,2,1 =,前述问题SPA 均有解，则称线性定常系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点.

下述定理给出了线性定常系统（2.4.1）利用状态反馈任意配置极点的条件. 定理2.2 定常线性系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统（2.4.1）完全能控

问题 对单输入系统，给定能控矩阵对[]b A 和一组期望的闭环特征值{}*

*2*1,,,n λλλ ，

要确定n ⨯1的反馈增益矩阵k ，使成立()*i i BK A λλ=-，n i ,,2,1 =. 对于上述问题，我们有下述算法：

算法2.1 [单输入系统的极点配置设计] 第一步：计算A 的特征多项式，即