数字滤波器的结构
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数字滤波器结构
2、现代滤波器
它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序列） 中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计出， 那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。
现代滤波器把信号和噪声都视为随机信号，利用它们的统计 特征（如自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法， 然后用硬件或软件予以实现。 现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这一类 滤波器的代表为维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波器、线 性预测器、自适应滤波器。
第一节 引言
一、什么是数字滤波器
顾名思义：其作用是对输入信号起到滤波的作用； 即DF是由差分方程描述的一类特殊的 离散时间系统。 功能： 把输入序列通过一定的运算变换成输出 序列。不同的运算处理方法决定了滤波 器的实现结构的不同。
二、数字滤波器的工作原理
设：x(n)是系统的输入，X(ej)是其傅立叶变换； y(n)是系统的输出，Y(ej)是其傅立叶变换； 则：
3、带通滤波器（BPAF/BPDF)
(Bandpass analog filter / Bandpass digital filter)
4、带阻滤波器（BSAF/BSDF)
(Bandstop analog filter / Bandstop digital filter)
4、模拟滤波器的理想幅频特性
1、经典滤波器
假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自 占有不同的频带。 当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的 成分有效地去除。
|X(ej)|
无用 有用 c
|H
c
如果信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将 无能为力，此时可以设计现代滤波器来解决。
数字滤波器的基本结构(3)-sw_OK
8
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
一、直接I型
表述一个IIR滤波器的系统函数和差分方程分别 由(5-1)和(5-2)式表述，
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
(5-2)
根据(5-2)式可以看出，y(n)可以分为两部分之和
M
第一部分为 bk x(n k) 对应输入x(n)及其各延迟 k 0
（2）将输入x(n)和输出y(n)互换位置。
18
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
x(n)
b0
b1
z 1 a1
b2
z 1 a2
y(n)
bM 1
bM
z 1
aN 1
z 1
aN
图8 直接 II 型的转置型
19
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
[例 1]设IIR数字滤波器的系统函数为
图6可以看作是图5的极点网络和零点网络互换级联 位置而成的。
观察图6
∵w1=w2 ∴前后两部分对应的延迟支路输出节点变量 也相等，即图中的w1(n-1)=w2(n-1)，w1(n-i)=w2(n-i)，
故可将前后两部分对应的延迟支路合并，合并后的信 号流图为
15
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
H (z) 8z3 4z2 11z 2
(z 1)(z2 z 1)
4
2
试画出该IIR数字滤波器的直接II型及其转置型的结构。
8 4z1 11z2 2z3 解： H (z) 1 5 z1 3 z2 1 z3
448
20
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
一、直接I型
表述一个IIR滤波器的系统函数和差分方程分别 由(5-1)和(5-2)式表述，
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
(5-2)
根据(5-2)式可以看出，y(n)可以分为两部分之和
M
第一部分为 bk x(n k) 对应输入x(n)及其各延迟 k 0
（2）将输入x(n)和输出y(n)互换位置。
18
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
x(n)
b0
b1
z 1 a1
b2
z 1 a2
y(n)
bM 1
bM
z 1
aN 1
z 1
aN
图8 直接 II 型的转置型
19
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
[例 1]设IIR数字滤波器的系统函数为
图6可以看作是图5的极点网络和零点网络互换级联 位置而成的。
观察图6
∵w1=w2 ∴前后两部分对应的延迟支路输出节点变量 也相等，即图中的w1(n-1)=w2(n-1)，w1(n-i)=w2(n-i)，
故可将前后两部分对应的延迟支路合并，合并后的信 号流图为
15
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
H (z) 8z3 4z2 11z 2
(z 1)(z2 z 1)
4
2
试画出该IIR数字滤波器的直接II型及其转置型的结构。
8 4z1 11z2 2z3 解： H (z) 1 5 z1 3 z2 1 z3
448
20
5.2 无限长单位冲激响应(IIR)滤波器 的基本结构
数字滤波器的基本结构
H (z)
A
m1 N1
m1 N2
(1 ck z1) (11k z1 2k z2 )
k 1
k 1
将单实根因子看作二阶因子的特例：
46
M 1 2
(1 1m z1 2m z2 )
H (z) A m1 N 1 2 (1 1k z1 2k z2 ) k 1
：表示取整。
其中
Hi
(z)
1 1i z1 11i z1
2i 2i
z 2 z 2
,
级联结构：
i 0,1,..., m
X(n) H1（Z）
H2（Z）
。。。
Y(n) Hm（Z）
48
H(Z)的实现结构即可表示为基本二阶节 的级联形式。每个二阶节用典范型实现：
Z-1
Z 1 a1
y(n 1)
Z 1
a2
y(n 2)
Z 1 bM
x(n M )
Z 1
aN 1
y(n N 1)
Z 1
aN
y(n N)
实现N阶差分方程的直接I型结构
36
M=N
37
1）可直接差分方程或系统函数的标准形式画 出。两个网络级联：第一个横向结构M节延 时网络实现零点（分子，输入），第二个有 反馈的N节延时网络实现极点（分母，输 出） 。需要N+M级延时单元。
32
◦ 系统函数 ◦ 差分方程
M
bk z k
H(z)
k 0 N
1 ak zk
Y (z) X (z)
k 1
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
数字信号处理 第五章
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
6
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
-1 a1 z
y(n)
+ a2 z-1
数字信号处理—第五章
7
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
z z
2 2
H (z)
1 1k z 1 1k z
1 1
x(n)
H 1(z)
y (n )
H 2(z)
H k (z)
数字信号处理—第五章
22
数字信号处理—第五章
23
IIR数字滤波器的级联型结构优点
1) 每个二阶或一阶子系统单独控制零、极点。 2）级联顺序可交换，零、极点对搭配任意，因此级联 结构不唯一。有限字长对各结构的影响是不一样的， 可通过计算机仿真确定子系统的组合及排序。 3）级联各节之间要有电平的放大和缩小，以使变量值 不会太大或太小。太大可能导致运算溢出；太小可 能导致信噪比太小。 4）级联系统也属于最少延时单元实现，需要最少的存 储器，但乘法次数明显比直接型要多。 4）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算 误差积累比直接型小。
数字信号处理—第五章
4
基本单元(数字滤波器结构）有两种表 示方法
数字信号处理—第五章
5
举例：二阶数字滤波器
y ( n ) a 1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) b 0 x ( n )
x(n) b0 +
数字滤波器的基本结构
未来研究方向
新型算法研究
针对实际应用中的挑战，未来研究将进一步探索新型的数字滤波器 算法，以提高其性能、稳定性和适应性。
高性能硬件实现
随着集成电路和计算机工程的发展，未来研究将进一步探索高性能 、低功耗的数字滤波器硬件实现方法。
跨领域应用
数字滤波器在许多领域都有广泛的应用前景，如医疗、航空航天、环 保等，未来研究将进一步拓展数字滤波器的应用领域。
梯度下降法
通过迭代地更新滤波器的 系数，使得误差的梯度下 降最快，从而逐渐逼近最 优解。
牛顿法
利用牛顿定理，通过迭代 来寻找最优解，具有较高 的收敛速度和精度。
最优滤波器设计
最小均方误差（MMSE）滤波器
以最小化输出信号与期望信号之间的均方误差为优化目标，设计最优的滤波器 。
卡尔曼滤波器
一种递归滤波器，通过预测和更新来估计系统的状态，具有较高的稳定性和精 度。
控制系统
数字滤波器可以用于控制系统 的处理，如伺服控制、PID控制
、卡尔曼滤波等。
02
CHAPTER
数字滤波器的基本结构
数字滤波器的基本结构 直接形式
直接形式是数字滤波器的基本结构之 一。它是一种直观的形式，由一个输 入和一个输出组成，输入信号经过一 个或多个线性时不变系统后得到输出 信号。直接形式的结构简单，易于理 解和实现。
硬件优化
随着集成电路和计算机工程的发展，数字滤波器的硬件实 现越来越高效，低功耗、高速度和小型化成为主要趋势。
软件算法改进
数字滤波器的算法不断优化，以适应更复杂和多变的应用 场景，如神经网络、深度学习等算法的引入使得滤波效果 更加精确。
嵌入式应用
随着嵌入式系统的发展，数字滤波器在嵌入式设备上的应 用越来越广泛，这要求数字滤波器具有更强的稳定性和适 应性。
数字信号处理第四章-数字滤波器的结构
3).H (z)
Y (z) X (z)
(1 bz1) (1 az1)
y(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1)
9
10
11
w w
12
转置流图：
w(n) y(n)
原流图：
w(n) ay(n 1) x(n) bx(n 1) 两边作Z变换：
w(n) x(n) aw(n 1) y(n) w(n) bw(n 1) 两边作Z变换：
乘法系数为复数，运算量增加； 系统的稳定性依赖于零、极点相互抵消，对实
现的精度要求很高。在存在有限字长效应的情 况下，有可能造成系统不稳定。
54
确保所有零点、极点在单位圆内。 55
（h(n)为实数）
第k对 极点， 即第k 个与第 N-k个 谐振器 合并
56
谐振频 率不变
还有两点需要注意：（存在实根） 57
1
前言
线性时不变系统用单位冲击响应来表示 系统函数实际上单位冲击响应的Z变换 系统函数反映线性时不变系统的特性 大多数的信号处理可看成是对信号的滤波操作 数字滤波器实际上就是线性时不变系统
因此数字滤波器可以表示为：
2
前言
M
bk zk
H(z) Y(z) / X (z)
k 0 N
1 ak zk
从信号流图中：
可以清楚地看到系统中的运算步骤和运 算结构。FFT时用到了该特点。
运算结构可以直观反映所需的存储单元 和运算次数。由于是数字实现，必然存 在系统误差，运算结构同时也可以反映 系统误差的累积问题。 下面讨论的IIR和FIR滤波器结构将涉及 上述问题。
14
1
15
无限冲击响应滤波器的特点
82
第四章-数字滤波器的基本结构
将(4-7)式关系代入上式，得
H ( z)
N 11 2
h(n)
[zn
z(N 1n) ]
h(
N
1)
N 1
z2
(4-9)
n0
2
(4-8)(4-9)式中+号代表偶对称，-号代表奇对称。
当h(n)奇对称时，由于
h(n)
h(
N
1
n), 故h(
N 1) 2
0
下面的图19、图20分别画出N为偶数和N为奇数时 的线性相位FIR滤波器的结构。
W k N
WN( N k )
各并联支路的极点为
r
j 2 k
e N
,k
0,1, 2,
, N 1
为使系数为实数，可将共轭根合并，在z平面上 这些共轭根在半径为r的圆周上以实轴为轴成对 称分布，即 zN k zk
也就是 W (N k )
j 2 ( N k )
e N
(e
j
2 k N
)
WNk
27
4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器 的基本结构
级联型的每级对应一组由 (0i , 1i , 2i ) 参数决定的零点
6
4.3 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器 的基本结构
三、线性相位的FIR滤波器结构： 在许多实际应用，如图像处理中，要求数字滤波器具
有线性相位 具有线性相位特性的滤波器传输函数H(ej)为
H(e j ) H() e j ()
则（4-12）式可写成：
1
N 1
H (z)
N
HC (z)
k 0
HK (z)
(4-13)
N 1
上式表明H(z)可看成是由 HC (z)和 HK (z) 两部分级 k 0
实验四 数字滤波器的结构
制直接型和并联型的信号流图。
六、实验报告要求
简述实验目的和实验原理。
列写练习题的代码并绘制程序产生的图
形。
总结实验中你的收获和体会。
a=[1];
[sos,g]=tf2sos(b,a)
程序运行结果：
sos =1.0000 g =2 级联型的表达式
0.9500
0 1.2500
1.0000 1.0000
0 0
0 0
1.0000 -0.5000
H ( z ) 2(1 0.95 z 1 )(1 0.5 z 1 1.25 z 2 )
一个离散LSI系统可以用系统函数表示：
Y ( z ) b( z ) H ( z) X ( z ) a( z )
m0 N
b
M
m
z m
1 ak z k
k 1
b0 b1 z 1 b2 z 2 ... bm z m 1 a1 z 1 a2 z 2 ... ak z k
实验四 数字滤波器的结构
一、实验目的
加深对数字滤波器分类与结构的了解。 掌握数字滤波器的基本结构及其相互间
的转换方法。
学习利用MATLAB语言进行数字滤波器各
种结构相互间转换。
二、实验原理及方法
数字滤波器的分类
数字滤波器从滤波功能上可以分为低通、高通、带通、
带阻以及全通滤波器；根据系统的单位冲激响应的特 性，又可以分为有限长（FIR）和无限长（IIR）冲激 响应滤波器。
也可用差分方程表示：
y (n) ak y (n k ) bm x(n m)
k 1 m 0 N M
以上两个公式中，当ak至少有一个不为0时，则在有限
数字滤波器的基本结构IV
k1
k0
17
特点：
第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:
N
bkx(n k)
k0
第二个网络实现极点，即实现y(n)加权延时:
N
ak y(n k)
k 1
可见，第二网络是输出延时，即反馈网络。
*共需（M+N）个存储延时单元。
18
二、直接II（典范）型结构
直接型结构是由两个网络级联组成：
52
这个设备是由输入输出 延时部分、系数ai、bi 存储器、运算器及控制 器组成。
每一部分都可以用数字 硬件来构成。
6
5.1 数字滤波器的基本概念
数字滤波器的描述 数字滤波器的分类
7
5.1 数字滤波器结构的表示方法
一个数字滤波器可以用差分方程来描述：
N
M
y(n)aky(nk)bkx(nk)
46
N为奇数时
N1
H(z) h(n)zn n0 N n 2 1 0 1h(n)znh N 2 1 zN 2 1nN N 1 11h(n)zn 2 令 nN1m N n 2 1 0 1h(n) znz(N 1 n) h N 2 1 zN 2 1
47
h(n)偶对称，取“+”
Hz=
m0 N
1 anzn
Yz X z
n1
将系统函数整理为：
Hz=11 .5 02 .3 .1 zz1 1 00 .2 .4 zz2 2
1.52.1z10.4z2 1 0.3z10.2z2
23
H(z)1.52.1z10.4z2 10.3z10.2z2 得 a1 0.3，a2 0.2 b0 1.5 b1 2.1，b2 0.4 直接I型结构：
《第七章 数字滤波器的结构》
2、由基本信号流图求系统函数H(z) 由基本信号流图求系统函数H(z) 对给定的信号流图，设置中间节点变量； 对给定的信号流图，设置中间节点变量； 节点变量w(n)等于该节点的所有输入支路变量之和； 节点变量w(n)等于该节点的所有输入支路变量之和； w(n)等于该节点的所有输入支路变量之和 确定流图的输入与输出关系，求出系统函数H(z)。 确定流图的输入与输出关系，求出系统函数H(z)。 H(z) 已知基本信号流图如下，求其系统函数H(z) [例]：已知基本信号流图如下，求其系统函数H(z) b0
第七章 数字滤波器的结构 本章主要内容
数字滤波器结构的表示方法； 数字滤波器结构的表示方法； 无限长脉冲响应（IIR）数字滤波器的基本结构 无限长脉冲响应（ ） 有限长脉冲响应（ 有限长脉冲响应（FIR）数字滤波器的基本结构 ）
数字滤波器的表示方法 差分方程：描述时域离散系统输入输出之间的关系。 差分方程：描述时域离散系统输入输出之间的关系。 单位脉冲响应：系统对δ 的零状态响应 的零状态响应。 单位脉冲响应：系统对δ(n)的零状态响应。 系统函数：系统单位脉冲响应 系统函数：系统单位脉冲响应h(n)的Z变换 的 变换 如果系统输入输出服从N阶差分方程， 如果系统输入输出服从 阶差分方程，即： 阶差分方程
对于某一确定的差分方程，可对应多种不同的算法，例如： 对于某一确定的差分方程，可对应多种不同的算法，例如：
1 H1(z) = 1− 0.8z−1 + 0.15z−2 −1.5 2.5 H2 (z) = + −1 1− 0.3z 1− 0.5z−1 1 1 H3(z) = ⋅ −1 1− 0.3z 1− 0.5z−1
写出差分方程如下： 写出差分方程如下 解：由H(z)写出差分方程如下：
fir数字滤波器的基本结构
fir数字滤波器的基本结构FIR数字滤波器的基本结构FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器是一种常见的数字信号处理工具，用于对离散时间信号进行滤波处理。
它的基本结构可以分为直接型和间接型两种。
一、直接型FIR数字滤波器结构直接型FIR数字滤波器是一种简单直观的结构，其基本形式为串联的延时单元和加法器。
下面将详细介绍直接型FIR数字滤波器的基本结构。
1. 延时单元延时单元是直接型FIR数字滤波器的核心组成部分，用于实现信号的延时操作。
它将输入信号依次延时一个采样周期，延时单元的个数取决于滤波器的阶数。
每个延时单元的输出为其输入信号的一个采样周期前的值。
2. 加法器加法器是直接型FIR数字滤波器的另一个重要组成部分，用于将延时单元的输出进行加权求和。
加法器的输入为延时单元的输出，加法器根据预先设定的权值对其进行加权，并将加权求和的结果作为滤波器的输出。
3. 系数寄存器系数寄存器用于存储滤波器的权值系数，每个延时单元对应一个权值系数。
这些系数可以通过设计滤波器时确定，也可以通过调整来改变滤波器的频率响应。
二、间接型FIR数字滤波器结构间接型FIR数字滤波器是一种更加灵活的结构，它可以通过级联和并联来实现各种滤波器的结构。
下面将介绍两种常见的间接型FIR 数字滤波器结构。
1. 级联结构级联结构是指将多个FIR滤波器串联起来，形成一个更复杂的滤波器。
每个FIR滤波器可以有不同的阶数和截止频率，通过级联它们可以实现更高阶、更陡峭的滤波器。
2. 并联结构并联结构是指将多个FIR滤波器并联起来，形成一个更复杂的滤波器。
每个FIR滤波器可以有不同的阶数和截止频率，通过并联它们可以实现不同频率范围的滤波效果。
三、FIR数字滤波器的应用FIR数字滤波器在数字信号处理中有广泛的应用，例如音频处理、图像处理、通信系统等。
它能够实现对信号的去噪、信号增强、频率选择等功能，具有较好的滤波性能和实时性。
第九章数字滤波器的分类及结构
画出该滤波器的直接型结构。
解答：如右图所示。 直接型结构的特点:
x ( n) 5/4 -3/4 1/8 z-1 z-1 8 -4 11
y(n)
所需要的延迟单元最少；
系统调整不方便； 受有限字长影响较大。
z-1
-2
3. IIR 滤波器的结构
对系统函数 H(z) 进行因式分解：
H ( z)
M
1.
2. 3. 4. 5.
数字滤波器的分类
数字滤波器结构的表示方法 IIR 滤波器的结构 FIR 滤波器的结构 离散时间系统 的 Lattice 结构
1. 滤波器的分类
根据单位冲激响应 h(n) 的时间特性分类：
无限冲激响应数字滤波器（IIR） 有限冲激响应数字滤波器（FIR）
根据实现方法和形式分类:
r 0
M
3. IIR 滤波器的结构
表示为两个系统级联的形式：
x ( n)
H 1 ( z) b0 z-1
H 1 ( z ) b( r ) z
r 0 M r
y′ (n)
H 2 ( z)
y(n)
x ( n)
y′(n)
-a1 -a2 z-1 z- 1
y(n)
1 1 a(k ) z k
k 1 N
b1
z-1
b2
bM-1
H 2 ( z)
z-1
bM
-aN-1 -aN z-1
称为直接Ⅰ型结构。
3. IIR 滤波器的结构
直接Ⅰ型的变型：
x ( n)
H 2 ( z) y′ (n) H 1 ( z) b0 b1 b2 bM-1 -aN-1
H 1 ( z ) b( r ) z r
数字滤波器的基本结构
图5-11 并联结构的一阶、二阶基本节结构
.
19
第5章 数字滤波器的基本结构
图5-12 三阶IIR滤波器的并联型结构
.
20
第5章 数字滤波器的基本结构
2．并联型结构的特点
并联型结构也可以用调整 1k ,2k 的办法单独调整 一对极点的位置，但对于零点的调整却不如级联型方 便，它不能单独调整零点的位置，而且当滤波器的阶 数较高时，部分分式展开比较麻烦。在运算误差方面， 由于各基本网络间的误差互不影响，没有误差积累， 因此比直接型和级联型误差稍小一点。当要求有准确 的传输零点时，采用级联型最合适。
k 1
M NN=一N阶1+2系N统2
当M<N时， Gk z k 0
二阶系统 共轭复数
延时加 权单元
k 0
M N
当M=N时，
Gk zk G0
k 0 .
(4-6)
17
第5章 数字滤波器的基本结构
以M＝N时为例进行研究，将共轭复根部分，成对地 合并为二阶实系数的部分分式，此时H(z)可表示为
H (z) G 0k N 1 11 A c k kz 1k N 2 11 1 0 k kz 1 1 kz 2 1 kz 2
调整系数 1k , 2k 就能单独调整滤波器的第k对零点，对其
他零极点并无影响；同样,调整系数 1k ,2k 也只单独调整了 第k对极点，而不影响其它零极点。因此，与直接型结构相
比，级联型结构便于准确地实现滤波器零、极点，因而便
于调整滤波器的频率响应性能。
.
16
第5章 数字滤波器的基本结构
四、并联型结构（※）
H(z)(1zN)N 1N k 0 11H W (N kk)z1
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1.IIR滤波器的结构
1.1直接型 直接II型信号流图 合并两个具有相同输入的延时支路后的信号流图
减少了延迟单元数。是滤波器的常用形式，经常采用这种结构。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
直接II型结构特点：
(1)两个网络级联。 第一个有反馈的N节延时网络实现极点； 第二个横向结构M节延时网络实现零点。 (2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最 少。故称典范型。 (3)直接I型滤波器的结构对于IIR非递归差分方程的实现不是最有效的 方法。如果采用直接II型，所用的存储器要少得多。
§6．数字滤波器的结构
3、数字滤波器表示方法
无论用软件还是用硬件，实现一个数字滤波都需要以下几种 基本的运算单元，其信号流图如下： 信号流图是一种有向图，它用带箭头的线段代表一条支路， 箭头的方向代表信号的流动方向。
（1） 加法器
x1(n)
x1(n)+x2(n)
x2(n)
（2） 乘法器
a x(n)
现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这 一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波 器、线性预测器、自适应滤波器。
作为基础理论，本课程主要讲经典滤波器。
4.3.模拟滤波器和数字滤波器
经典滤波器从功能上分又可分为：
• 低通滤波器(LPAF/LPDF):Low pass analog filter • 带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter • 高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter • 带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filter • 即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。
y(n) bk x(n k) ak yn k
k 0
k 1
§6．数字滤波器的结构
6、研究DF实现结构意义
1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限 长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者 影响复杂性，后者影响运算速度。
3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结 构的误差及稳定性不同。
(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使 系统频率响应对系统变化过于灵敏，也 就是对有限精度（有限字长）运算过于 灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型
- 直接I型信号流图
w(n)
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型
例：
y(n) b0 x(n) b1x(n 1) b2x(n 2) a1 y(n 1) a2 y(n 2)
ax(n)
（3）
延迟单元 x(n)
1/z
x(n-1)
例：二阶数字滤波器：
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
其方框图及信号流图结构如下：
x(n) b0
y(n) a1 Z-1
a2 Z-1
x(n) b0
y(n)
a1
Z-1
a2 Z-1
看出：可通过信号流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。
H
(z)
b0 b1z1 1 a1z1
y(n) a1 y(n 1) b0 x(n) b1x(n 1)
通过变换减少了延迟单元 可见通过采取技术可以减 少计算量
w(n) a1w(n 1) x(n) y(n) b0w(n) b1w(n 1)
一个数字滤波器可以用传输函数 H(z) 表示，也可以用差 分方程描述。那么，数字滤波器的实现问题是如何对它们进 行运算，一个滤波器在具体实现时，也可以有以下两种方法：
n0
N
an zn
n0
b0 b1z 1 bM z M 1 a1z 1 aN z N
; a0
1
（6-6）
其输入输出关系可由线性差分方程来描述
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
IIR滤波器的特点：
1.单位冲激响应h(n)是无限长的n→∞ 2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0<|Z|<∞)有极点存在。 3.结构上存在输出到输入的反馈，即结构上是递归型的。 4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位园内。
x(n)
b0
1/z b1
1/z b2
y(n)
-a1
1/z
-a2
1/z
H1(z)
H2(z)
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
可以将直接I型的结构分为两部分，看成两个独立的网络（即两个子 系统）。 原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函 数不变。把此原理应用于直接I型结构。即： （1）交换两个级联网络的次序 （2）合并两个具有相同输入的延时支路。 得到另一种结构即直接II型。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型 - 直接I型方框图
w(n)
此结构的特点为：
(1)两个网络级联：第一个横向结构M节 延时网络实现零点，第二个有反馈的N 节延时网络实现极点。
(2)共需(N+M)级延时单元
(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点， 因而不能很好地进行滤波器性能控制。
4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合 于模块化实现，便于时分复用。
§6．数字滤波器的结构
前述可知：由基本运算单元延迟器、乘法器、加法 器可以方便的描述IIR和FIR滤波器的结构。 然而，滤波器的结构实现通常需要对多项式进行运 算，从提高系统运算速度的角度出发，滤波器的设 计应尽可能的用较少延迟单元和乘法器，并且结构 尽可能的规则和简单。
（参考P.64）
4.4.模拟滤波器的理想幅频特性
H( j)
c
H( j)
c
低通
c
H( j)
c
c1
H( j)
c2
高通
带通
c2 c1 c1 c2
带阻
4.5.数字滤波器的理想幅频特性
H (e jw )
满足采样定理时，信号的频率特性只能限带于 |Ω|<π（Ω=2 π /Ts）的范围
c
H (e jw )
•离散信号频率特性及频域分析 •Z变换 •数字滤波器（结构和设计）
•抽样及抽样定理
§6．数字滤波器的结构 0.概述
1、什么是数字滤波器？ DF（Digital Filter） •滤波器：对特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除的电路， 就是滤波器。（参考P.36） •顾名思义：与模拟滤波器相对应，在离散系统中广泛应用数字滤波器。 它的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率进行加工处 理。其作用是对输入信号起到滤波的作用； •数字滤波器事实上是一个时域离散的线性时不变系统，它的滤波作用 就是将输入信号经过某种运算或变换转变成为满足特定需要的输出信号。 •它的功能：其功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达 到改变信号频谱的目的。把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。 •不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。从描述形式上 看DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。
c
H (e jw )
c1 c2
H (e jw )
……. 2
低通
…….
高通
2
……. 带通 2
c1 c2
……. 带阻 2
§6．数字滤波器的结构
5、数字滤波器的运算结构
不同的运算结构会影响系统运算的精度、误差、速度和 经济性等指标。数字滤波器一般可以用差分方程表示其输 入输出之间的关系为 （参考P.36）
1、介绍IIR滤波器实现的基本结构。 2、介绍FIR滤波器实现的基本结构。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
特点是实现它的滤波器阶次较低，可以有效的减少延迟
单元和乘法器的数量。设 x(n) 为输入序列， y(n)
为输出序列，其系统函数为：
M
H (z)
B(z) A( z )
bn z n
信号流图的转置定理：如果将信号流 图中所有的方向反转，保持支路的增 益不变，并将网络的输入输出交换位 置，那么网络的输入输出相应不变。 如图示信号流图的转置，具有相同的 系统函数。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型 调换两个级联网络次序位置后的信号流图
§6．数字滤波器的结构
§6．数字滤波器的结构
4、数字滤波器的分类
滤波器的种类很多，分类方法也不同。 1.从功能上分：低通、高通、带通、带阻。 2.从实现方法上分：
FIR有限冲激响应滤波器、IIR无限冲激响应滤波器 3.从设计方法上来分：
Chebyshev(切比雪夫）、Butterworth（巴特沃斯） 4.从处理信号分：
IIR 滤波器类型有：直接型、级联型、并联型。 直接型结构：直接I型、直接II型（典范型）。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
z-1
z-1
•IIR的差分方程就代表了一种最
z-1
z-1
直接的计算公式，用流图表现出
wc w
|H(ejw)| wc
|Y(ejw)| wc w
4.2.现代滤波器
它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序 列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计 出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。
1.1直接型 直接II型信号流图 合并两个具有相同输入的延时支路后的信号流图
减少了延迟单元数。是滤波器的常用形式，经常采用这种结构。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
直接II型结构特点：
(1)两个网络级联。 第一个有反馈的N节延时网络实现极点； 第二个横向结构M节延时网络实现零点。 (2)实现N阶滤波器（一般N>=M)只需N级延时单元，所需延时单元最 少。故称典范型。 (3)直接I型滤波器的结构对于IIR非递归差分方程的实现不是最有效的 方法。如果采用直接II型，所用的存储器要少得多。
§6．数字滤波器的结构
3、数字滤波器表示方法
无论用软件还是用硬件，实现一个数字滤波都需要以下几种 基本的运算单元，其信号流图如下： 信号流图是一种有向图，它用带箭头的线段代表一条支路， 箭头的方向代表信号的流动方向。
（1） 加法器
x1(n)
x1(n)+x2(n)
x2(n)
（2） 乘法器
a x(n)
现代滤波器理论源于维纳在40年代及其以后的工作，这 一类滤波器的代表为：维纳滤波器，此外，还有卡尔曼滤波 器、线性预测器、自适应滤波器。
作为基础理论，本课程主要讲经典滤波器。
4.3.模拟滤波器和数字滤波器
经典滤波器从功能上分又可分为：
• 低通滤波器(LPAF/LPDF):Low pass analog filter • 带通滤波器(BPAF/BPDF):Bandpass analog filter • 高通滤波器(HPAF/HPDF):High pass analog filter • 带阻滤波器(BSAF/BSDF):Bandstop analog filter • 即它们每一种又可分为：数字(Digital)和模拟(Analog)滤波器。
y(n) bk x(n k) ak yn k
k 0
k 1
§6．数字滤波器的结构
6、研究DF实现结构意义
1.滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限 长冲激响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
2.不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者 影响复杂性，后者影响运算速度。
3.有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结 构的误差及稳定性不同。
(4)极点对系数的变化过于灵敏，从而使 系统频率响应对系统变化过于灵敏，也 就是对有限精度（有限字长）运算过于 灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型
- 直接I型信号流图
w(n)
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型
例：
y(n) b0 x(n) b1x(n 1) b2x(n 2) a1 y(n 1) a2 y(n 2)
ax(n)
（3）
延迟单元 x(n)
1/z
x(n-1)
例：二阶数字滤波器：
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) b0x(n)
其方框图及信号流图结构如下：
x(n) b0
y(n) a1 Z-1
a2 Z-1
x(n) b0
y(n)
a1
Z-1
a2 Z-1
看出：可通过信号流图或方框图看出系统的运算步骤和运算结构。
H
(z)
b0 b1z1 1 a1z1
y(n) a1 y(n 1) b0 x(n) b1x(n 1)
通过变换减少了延迟单元 可见通过采取技术可以减 少计算量
w(n) a1w(n 1) x(n) y(n) b0w(n) b1w(n 1)
一个数字滤波器可以用传输函数 H(z) 表示，也可以用差 分方程描述。那么，数字滤波器的实现问题是如何对它们进 行运算，一个滤波器在具体实现时，也可以有以下两种方法：
n0
N
an zn
n0
b0 b1z 1 bM z M 1 a1z 1 aN z N
; a0
1
（6-6）
其输入输出关系可由线性差分方程来描述
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
IIR滤波器的特点：
1.单位冲激响应h(n)是无限长的n→∞ 2.系统函数H(z)在有限长Z平面（0<|Z|<∞)有极点存在。 3.结构上存在输出到输入的反馈，即结构上是递归型的。 4.因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位园内。
x(n)
b0
1/z b1
1/z b2
y(n)
-a1
1/z
-a2
1/z
H1(z)
H2(z)
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
可以将直接I型的结构分为两部分，看成两个独立的网络（即两个子 系统）。 原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函 数不变。把此原理应用于直接I型结构。即： （1）交换两个级联网络的次序 （2）合并两个具有相同输入的延时支路。 得到另一种结构即直接II型。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型 - 直接I型方框图
w(n)
此结构的特点为：
(1)两个网络级联：第一个横向结构M节 延时网络实现零点，第二个有反馈的N 节延时网络实现极点。
(2)共需(N+M)级延时单元
(3)系数ai,bi不是直接决定单个零极点， 因而不能很好地进行滤波器性能控制。
4.好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合 于模块化实现，便于时分复用。
§6．数字滤波器的结构
前述可知：由基本运算单元延迟器、乘法器、加法 器可以方便的描述IIR和FIR滤波器的结构。 然而，滤波器的结构实现通常需要对多项式进行运 算，从提高系统运算速度的角度出发，滤波器的设 计应尽可能的用较少延迟单元和乘法器，并且结构 尽可能的规则和简单。
（参考P.64）
4.4.模拟滤波器的理想幅频特性
H( j)
c
H( j)
c
低通
c
H( j)
c
c1
H( j)
c2
高通
带通
c2 c1 c1 c2
带阻
4.5.数字滤波器的理想幅频特性
H (e jw )
满足采样定理时，信号的频率特性只能限带于 |Ω|<π（Ω=2 π /Ts）的范围
c
H (e jw )
•离散信号频率特性及频域分析 •Z变换 •数字滤波器（结构和设计）
•抽样及抽样定理
§6．数字滤波器的结构 0.概述
1、什么是数字滤波器？ DF（Digital Filter） •滤波器：对特定频率的频点或该频点以外的频率进行有效滤除的电路， 就是滤波器。（参考P.36） •顾名思义：与模拟滤波器相对应，在离散系统中广泛应用数字滤波器。 它的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形或频率进行加工处 理。其作用是对输入信号起到滤波的作用； •数字滤波器事实上是一个时域离散的线性时不变系统，它的滤波作用 就是将输入信号经过某种运算或变换转变成为满足特定需要的输出信号。 •它的功能：其功能是对输入离散信号的数字代码进行运算处理，以达 到改变信号频谱的目的。把输入序列通过一定的运算变换成输出序列。 •不同的运算处理方法决定了滤波器的实现结构的不同。从描述形式上 看DF是由差分方程描述的一类特殊的离散时间系统。
c
H (e jw )
c1 c2
H (e jw )
……. 2
低通
…….
高通
2
……. 带通 2
c1 c2
……. 带阻 2
§6．数字滤波器的结构
5、数字滤波器的运算结构
不同的运算结构会影响系统运算的精度、误差、速度和 经济性等指标。数字滤波器一般可以用差分方程表示其输 入输出之间的关系为 （参考P.36）
1、介绍IIR滤波器实现的基本结构。 2、介绍FIR滤波器实现的基本结构。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
特点是实现它的滤波器阶次较低，可以有效的减少延迟
单元和乘法器的数量。设 x(n) 为输入序列， y(n)
为输出序列，其系统函数为：
M
H (z)
B(z) A( z )
bn z n
信号流图的转置定理：如果将信号流 图中所有的方向反转，保持支路的增 益不变，并将网络的输入输出交换位 置，那么网络的输入输出相应不变。 如图示信号流图的转置，具有相同的 系统函数。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型 调换两个级联网络次序位置后的信号流图
§6．数字滤波器的结构
§6．数字滤波器的结构
4、数字滤波器的分类
滤波器的种类很多，分类方法也不同。 1.从功能上分：低通、高通、带通、带阻。 2.从实现方法上分：
FIR有限冲激响应滤波器、IIR无限冲激响应滤波器 3.从设计方法上来分：
Chebyshev(切比雪夫）、Butterworth（巴特沃斯） 4.从处理信号分：
IIR 滤波器类型有：直接型、级联型、并联型。 直接型结构：直接I型、直接II型（典范型）。
§6．数字滤波器的结构
1.IIR滤波器的结构
1.1直接型
M
N
y(n) bk x(n k) ak y(n k)
k 0
k 1
z-1
z-1
•IIR的差分方程就代表了一种最
z-1
z-1
直接的计算公式，用流图表现出
wc w
|H(ejw)| wc
|Y(ejw)| wc w
4.2.现代滤波器
它主要研究内容是从含有噪声的数据记录（又称时间序 列）中估计出信号的某些特征或信号本身。一旦信号被估计 出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。