山东省济南市2020届高三二模考试数学试题及其答案
2020-2021学年山东省济南市高三二模考试(针对性训练)数学试题(理)及答案解析
高三针对性训练理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分，考试时间120 分钟。
考试结束后。
将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第U卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A, B互斥，那么P A B P A P B ;如果事件A, B独立，那么P A P A gP B ;n kn次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率为C：p k 1 p k 0,1,2, ,n .第I卷（共50分）、选择题：本大题共10个小题.每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(C) 0,1(D), 12,(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限(3)若随机变量 X 服从正态分布N(1, 4)，设 P 0 X 3 m,P 1 X 2 n,则m, n 的大小关系为(A) m n (B) m n (C) m n(D)不确定(4)若直线x y m 0被圆x 1 2 y 2 5截得的弦长为2 J 3 ,则m 的值为(A)1(B)3(C)l 或一3(D)2(5)随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题.济南市创新性的采用 “公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心” ，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理.计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统(等距)抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号，23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是(A)9(B)12(C)15(D)17⑹命题p ：将函数y cosx sin x 的图象向右平移 匕 个单位可得到y - cos2x 的图象；命题⑴已知全集 U=R,集合A x x 22x 0 ,By y sin x,x R ，则图中阴影部分的集合为(A)1,2(B) 1,0 1,2ad bc ，复数z 满足:12 i ,则复数z 在复平面内对应的点位于第(D 题图表示42q ：对 m 0,双曲线2x 2 y 2 m 2的离心率为 J3 .则下列结论正确的是(A)p 是假命题 (B) p 是真命题(C) p q 是真命题(D) p q 是假命题(7)若实数变量x, y 满足约束条件x y x 2y 3,目标函数z ax y 1 a R .有如下使得z 取最大值的最优解有无数组；则下列组合中全部正确的为(A)①②(B)②③(C)①③(D)③④⑼函数f xax m 1 2x a 0在区间0,【上的图象如图所示,则m, n 的值可能是2结论：①可行域外轮廓为矩形；②可行域面积为3;③a 1时,z 的最小值为 1;④a 2时,uuu uuur(8)如图所示，两个非共线向量OA,OB 的夹角为，N 为uur OCuuu xOAuuu yOBx,y2R ,则x2•一 ■… y 的取小值为42(A)(B)255第(8)题图OB 中且点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点 C 在直线MN 上,(C) 4(D)第(9〉禽图(A)m 1,n 1 (B) m 1,n 2 (C) m 2,n 3 (D) m 3,n 1(10)执行如下框图所示算法，若实数a,b不相等，依次输入a b,a,b输出值依次记为fab,fa,fb，贝Ufab f a f b 的值为第。
山东省济南市2020年6月高三模拟考试数学试题含答案
山东省济南市2020届高三6月份模拟考试数学试题本试卷共4页，22题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高） ―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}=12|M x x -<<，{|N x y ==，则=M N ⋂A ．{}1|x x >-B ．2|}0{x x ≤<C ．{}2|0x x <<D ．{12}x x |≤<2．函数()34=f x x x +-的零点所在的区间为A ．()1,0-B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,33．已知命题1:,e 2exx p x ∀∈+≥R ，则p ⌝为 A ．1,e 2e xxx ∃∈+≥R B ．1,e 2e xx x ∃∈+<R C ．1,e 2exx x ∃∈+≤R D ．1,e 2exx x ∀∈+≤R 4．如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上，下底面及母线均相切．若12=2O O ，则圆柱12O O 的表面积为A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π5．“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即()121nii i a a n -=--∑．国内生产总值（GDP ）被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015─2019年GDP 数据．根据表中数据，2015-2019年我国GDP 的平均增长量为 A ．5.03万亿B ．6.04万亿C ．7.55万亿D ．10.07万亿6．已知双曲线C 的方程为221169x y -=则下列说法错误的是 A ．双曲线C 的实轴长为8 B ．双曲线C 的渐近线方程为34y x =±C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为947．已知水平直线上的某质点，每次等可能的向左或向右移动一个单位，则在第6次移动后，该质点恰好回到初始位置的概率是 A ．14B ．516C ．38D ．128．在ABC 中，cos c os A B +=AB =．当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．已知复数1cos2sin 2()22z i ππθθθ=++-<<（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．||2cos z θ=D ．1z 的实部为1210．台球运动已有五六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，2AB AD =，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为 A ．16B ．12C ．1D ．3211．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1BC 上的动点，下列说法正确的是A ．对任意点P ，//DP 平面11AB D B ．三棱锥11P A DD -的体积为16C ．线段DPD 存在点P ，使得DP 与平面11ADD A 所成角的大小为3π12．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>a ．，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数．下列说法正确的是 A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知2(1)nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,1)a =，(1,)b k =-，若()a b a +⊥，则k 的值为___________． 14．若5250125(2)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，则4a 的值为__________．15．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，2AF 的中点P 恰好落在y 轴上，若20BP AF ⋅=，则椭圆C 的离心率的值为________．16．已知函数()2ln f x x =，21()(0)2g x ax x a =-->．若直线2y x b =-与函数()y f x =，()y g x = 的图象均相切，则a 的值为________；若总存在直线与函数()y f x =，()y g x =的图象均相切，则a 的取值范围是________．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，12AB AD BC ==，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点．（1）求证：BMDF ⊥；（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小． 18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21122n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2,,n n a n a n n b ⎧=⎨⎩奇数为偶数为，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（12分）已知函数()sin()(0,0)6f x A A πωω=+>>能同时满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2； ②函数()f x的图象可由)4y x π=-的图象平移得到；③函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π （1）请写出这两个条件序号，并求出()f x 的解析式； （2）求方程()10f x +=在区间[]π,π-上所有解的和． 20．（12分）法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会购买一个面包．面包师声称自己出售的每个面包的平均质量是1000g ，上下浮动不超过50g ．这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g ，标准差为50g 的正态分布．（1）假设面包师的说法是真实的，从面包师出售的面包中任取两个，记取出的两个面包中质量大于1000g 的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）作为一个善于思考的数学家，庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到数据如下表，经计算25个面包总质量为24468g ．庞加莱购买的25个面包质量的统计数据（单位：g ）尽管上述数据都落在()950,1050上，但庞加菜还是认为面包师撤谎，根据所附信息，从概率角度说明理由．附： ①若()2~,X Nμσ，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ，则由统计学知识可知；随机变量2~(,)25Y N σμ；②若()2~,Nημσ，则0.68()26P μσημσ-<<+=，220.9()544P μσημσ-≤<+=， 330.9()974P p σημσ-<<+=；③通常把发生概率在0．05以下的事件称为小概率事件． 21．（12分）已知函数()ln()f x a x b =+-（1）若1a =，0b =，求()f x 的最大值； （2）当0b >时，讨论()f x 极值点的个数． 22．（12分）已知平面上一动点A 的坐标为2(2,2)t t -． （1）求点A 的轨迹E 的方程； （2）点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t． （i ）证明直线AB 过定点，并求出定点坐标；（ii ）分别以A ，B 为圆心作与直线2x =-相切的圆两圆公共弦的中点为H ．在平面内是否存在定点P ，使得PH 为定值？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．–1；14．4.5；15．3； 16．32，32a ≥（本小题第一空2分，第二空3分）． 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）证明：【方法一】连接CE ，与BM 交于点N ，根据题意，该几何体为圆台的一部分，且CD 与EF 相交， 故C ，D ，F ，E 四点共面， 因为平面//ADF 平面BCE ， 所以//CE DF ， 因为M 为CE 的中点， 所以CBM EBM ∠=∠，所以N 为CE 中点，又BC BE =， 所以BN CE ⊥，即BM CE ⊥， 所以BMDF ⊥．【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则1AD AF ==，2BC BE ==，所以()0,0,0B ，M ，()0,1,1D ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,1,0)DF =-，所以20BM DF ⋅==，所以BMDF ⊥．（2）【方法一】连接DB ，DN ，由（1）知，//DF EN 且DFEN =，所以四边形ENDF 为平行四边形， 所以//EF DN ，所以BND ∠为异面直线BM 与EF 所成的角，因为BD DN BN ===所以BND 为等边三角形，所以60BND ∠=，所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒． 【方法二】如图，以B 为坐标原点，BE ，BC ，BA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设1AB =，则1AD AF ==，2BE =，所以()0,0,0B ，M ，()2,0,0E ，()1,0,1F ，所以(2,BM =，(1,0,1)EF =-所以1cos ,2||||BM EF BM EF BM EF ⋅<>===-．所以异面直线BM 与EF 所成角的大小是60︒．18．【解析】 （1）因为21122n S n n =+ 所以当1n =时，111a S ==. 当2n ≥时，2211111(1)(1)2222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎢⎥⎣⎦， 又1n =时符合上式， 所以n a n =．（2）因为,2,n n n n b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，所以对任意的+k ∈N ，2121(21)(21)2k k b b k k +--=+--=，则{}21k b -是以1为首项，2为公差的等差数列；222222242k k k k b b ++==， 则{}2k b 是以4为首项，4为公比的等比数列． 所以()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++()2462(12321)2222n n =++++-+++++()414(121)214nn n -+-=+- 124433n n +=+-19．【解析】（1）函数()sin(6x f x A πω=+）满足的条件为①③；理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件之一，由③可知，Tπ=，所以2ω=，故②不合题意，所以函数()sin()6f x A x πω=+满足的条件为①③；由①可知2A =， 所以()2sin(2)6f x x π=+（2）因为()10f x +=，所以1sin(2)62x π+=-， 所以22()66x k Z k πππ+=-+∈或722()66x k Z k πππ+=+∈， 即()6x k k ππ-+∈=Z 或()2x k k ππ+∈=Z又因为],[x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π， 所以方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和为23π． 20．【解析】（1）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2．0022111(0)()()224P C ξ===；12111(1)222P C ξ==⨯⨯=；2202111(2)()()224P C ξ===．所以ξ的分布列为：所以1110121424E ξ=⨯+⨯+⨯=．（个） （2）记面包师制作的每个面包的质量为随机变量X ．假设面包师没有撒谎，则2~(1000,50)X N ． 根据附①，从X 的取值中随机抽取25个数据，记这25个数据的平均值为Y ， 则2~(1000,10)Y N ． 庞加莱记录的25个面包质量，相当于从X 的取值中随机抽取了25个数据， 这25个数据的平均值为24468978.72100021098025Y ==<-⨯=， 由附②数据知，10.9544(980)0.02280.052P Y -<==<， 由附③知，事件“980Y <”为小概率事件，所以“假设面包师没有撒谎”有误，所以庞加莱认为面包师撒谎．21．【解析】（1）当1a =，0b =时，l (n )f x x =-此时，函数()f x 定义域为(0,)+∞，1()f x x '=-=，． 由()0f x '>得：04x <<；由()0f x '<得：4x >，所以()f x 在()0,4上单调递增，在(4,)+∞上单调递减．所以max ()(4)2ln 22f x f ==-．（2）当0b >时，函数()f x 定义域为[0,)+∞，()a f x xb '==+， ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的,()0x ∈+∞恒成立， 所以此时()f x 极值点的个数为0个；②当0a >时，设()2h x x b =-+，（i ）当2440a b -≤，即0a <≤()0f x '≤对任意的,()0x ∈+∞恒成立，即()f x '在(0,)+∞上无变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为0个；（ⅱ）当3440a b ->，即a >记方程()0h x =的两根分别为1x ，2x ，则120x x a +=>，120x x b =>，所以1x ，2x 都大于0，即()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，所以此时()f x 极值点的个数为2个．综上所述a ≤()f x 极值点的个数为0个；a >()f x 极值点的个数为2个．22．【解析】（1）设动点A 的坐标为(),x y ，因为A 的坐标为2(2,2)t t -， 所以222x t y t⎧=⎨=-⎩，消去参数t 得：22y x =；（2）（i ）因为点B 在轨迹E 上，且纵坐标为2t，所以点B 的坐标为222(,)t t当1t =±时，直线AB 的方程为2x =；当1t ≠±时，直线AB 的斜率为21B AAB B A y y t k x x t-==--所以直线AB 的方程为222(2)1t y t x t t +=--， 整理得2(2)1ty x t =--所以直线AB 过定点()2,0；（ⅱ）【方法一】因为A 的坐标为2(2,2)t t -，且圆A 与直线2x =-相切， 所以圆A 的方程为222()()(2)A A A x x y y x -+-=+，同理圆B 的方程为()()()2222B B B x x y y x -+-=+，两圆方程相减得()()222244B A B A A B A Bx x x y y y y y x x -+-+-=- 将2(2,2)A t t -，222(,)B t t 带入并整理得1()(1)y t x t =-+①， 由（i ）可知直线AB 的方程为2(2)1ty x t =--②， 因为H 是两条直线的交点，所以两个方程相乘得2(2)(1)y x x =--+， 整理得2219()24x y -+=，即点H 的轨迹是以1(,0)2为圆心，32为半径的圆， 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．【方法二】由题意知直线2x =-为圆A 与圆B 的公切线，设切点分别为E ，F ，设两圆的公共弦交公切线2x =-于点G ，则G 为E ，F 的中点， 所以G 点横坐标为2G x =-，G 点的纵坐标为122E F A B G y y y y y t t++===-， 即1(2,)G t t--，因为公共弦必与两圆的连心线垂直， 所以公共弦所在直线的斜率为211AB t k t--=， 故公共弦所在的直线方程为211()(2)t y t x t t---=+ 整理得1()(1)y t x t =-+，所以公共弦恒过()1,0S -；由平面几何的知识可知，公共弦的中点就是公共弦与两圆连心线的交点，记直线AB 所过的定点为R ，则R ，S ，公共弦的中点H ，构成以日为直角顶点的直角三角形， 即点H 在以RS 为直径的圆上： 所以存在点1(,0)2P ，满足3||2HP =．。
2020年山东省济南市高三第二次教学质量检测理科数学(PDF版)
5 3 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 19．（本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝ AC＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点.
π
|PQ|
(2)若直线θ＝
4
(ρ∈R)与曲线
C1
交于
M，N
两点，与曲线
C2
交于
P，Q
两点，求 的值． |MN|
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
1
(1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋
≥2y＋3；
x2－2xy＋y2
(2)设 a，b，c>0 且 ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
等于( )
3π
π
A.
B.
4
3
π C.
4
π D.
6
7.如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A．[2，＋∞)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．(0,2]
2
ex
＋ln x
12.已知函数 f(x)＝ －k x
，若 x＝2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k 的
2020年山东省济南市高考数学模拟试卷2(5月份) (含答案解析)
2020年山东省济南市高考数学模拟试卷2（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x<0}，集合B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∪B等于()A. (−1,0)B. (−∞,2)C. (−1,2)D. (−∞,0)2.已知复数z=(1+i)(2−i)，则|z|=()A. √2B. √10C. 3√2D. 23.已知抛物线y=x2的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为()A. 34B. 1 C. 54D. 744.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图(其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比)，则下列说法错误的是()A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5.已知sin(π2−α)=14，则cos2α的值是()A. 78B. −78C. 89D. −896.圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M，现随机往图4的圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A. √34πB. 3√34πC. √2πD. √3π7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 7π6B. 4π5C. 2πD. 13π68.函数f(x)=6|sinx|−x2√1+x2的图象大致为()A.B.C.D.9.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”该问题可用如图所示的程序框图来求解，若最终输出x=0，则一开始输入x的值为()A. 34B. 78C. 1516D. 410.函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为()A. [2π,4π]B. [2π,9π2) C. [13π6,25π6) D. [2π,25π6)11.已知圆x2+y2=R2过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F，且与双曲线在第一，三象限的交点分别为M，N，若∠MNF=π12时，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±√33x B. y=±√3x C. y=±x D. y=±2x12.设函数f(x)=2xe x+2mx−3m，对任意正实数x，f(x)≥0恒成立，则m的取值范围为()A. [0,1]B. [0,e3] C. [0,2e] D. [0,4e2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足，则yx的取值范围为_________．14.(x−2y)(x+y)8的展开式中，x2y7的系数为______ .(用数字作答)15.设向量|a→+b→|=√20，a→·b→=4，则|a→−b→|=________．16.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中AB=2，CC1=2√2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2，(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{a n+3a n}的前项和T n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，PA=2AD，AD//BC，DB=DC，AD=2，BC=6，∠ABC=60°．(Ⅰ)求证：PD⊥BC；(Ⅱ)求二面角D−PA−B的余弦值；(Ⅲ)求证：AB⊥平面PCD．19. 中华龙鸟是生存于距今约1.4亿年的早白垩世现已灭绝的动物，在一次考古活动中，考古学家发现了中华龙鸟的化石标本共5个，考古学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度，得到如下表的数据：股骨长度x/cm 38 56 59 64 73 肱骨长度y/cm 41 63 70 72 84若由资料可知肱骨长度y 与股骨长度x 呈线性相关关系． (1)求y 与x 的线性回归方程y =b ̂x +a ̂(a ̂,b̂精确到0.01)； (2)若某个中华龙鸟的化石只保留有股骨，现测得其长度为37cm ，根据(1)的结论推测该中华龙鸟的肱骨长度(精确到1cm)． (参考公式和数据：b =∑x i n i=1y i −nx .⋅y.∑x i 2n i=1−nx2，a =y .−b ̂x .，∑x i 5i=1y i =19956，∑x 5i=1 i 2=17486)20. 已知点P 为圆x 2+y 2=4上一动点，轴于点Q ，若动点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求动点M 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 1，l 2分别交曲线E 于点A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2， 证明：1|AC|+1|BD|为定值．21. 已知函数f(x)=alnx −e x ；(1)讨论f(x)的极值点的个数； (2)若a =2，求证：f(x)<0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =4t 2,y =4t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ+3=0． (1)求曲线M 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 过圆心C 且与曲线M 交于A ，B 两点，求1|CA|+1|CB|的最大值．23.已知函数f(x)=2|x+1|−|x−a|，a∈R．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<x有实数解，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B ={x|(x +1)(x −2)<0}，即B ={x|−1<x <2}， 又A ={x|x <0}， ∴A ∪B =(−∞,2)， 故选：B ．本题主要考查集合的并集，是基础题． 解出集合B ，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：B解析：解：复数z =(1+i)(2−i)=3+i ， 则|z|=2+12=√10． 故选：B ．利用复数模的计算公式即可得出．本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析： 【分析】本题考查抛物线的定义和方程，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可求出y 1+y 2，然后得到AB 的中点纵坐标即可得解． 【解答】解：∵F 是抛物线y =x 2的焦点F(0,14)准线方程y =−14， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴|AB|=|AF|+|BF|=y 1+14+y 2+14=3，解得y 1+y 2=52，∴线段AB 的中点纵坐标为54， ∴线段AB 的中点到x 轴的距离为54． 故选C ．解析：解：由图易知A ，B 正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C 正确， 由2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D 错误， 故选：D ．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．5.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，属于基础题．由已知利用诱导公式可求cosα得值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解． 【解答】解：∵sin(π2−α)=14， ∴cosα=14，∴cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78．故选：B ．6.答案：B解析： 【分析】本题考查几何概型概率的求法，关键是明确测度比为面积比，属于基础题．设圆内每一个小正三角形的边长为r ，求出三个正三角形的面积及圆的面积，由面积比得答案． 【解答】解：设圆内每一个小正三角形的边长为r ， 则一个三角形的面积为12×r ×√32r =√34r 2，∴阴影部分的面积为3√34r 2， 又圆的面积为πr 2， ∴点A 落在区域M 内的概率是3√34r 2πr 2=3√34π．7.答案：A解析：解：根据几何体得三视图转换为几何体为：左边为一个底面半径为1，高为2的半圆柱，右边是一个底面半径为1，高为1的半圆锥．故：V=12⋅π⋅12⋅2+13⋅12⋅π⋅12⋅1=π+π6=7π6．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象和性质，利用特殊值法即可求解．【解答】解：易知函数f(x)为偶函数，故排除C．，故排除B．，故排除D．故选A．9.答案：B解析：【分析】此题考查程序框图的循环结构的应用，关键是模拟循环过程．【解答】解：当i=1，x=2x−1，i=2；满足循环条件，x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3；满足循环条件，x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4；不满足循环条件，输出8x−7=0，解得x=78．故选B．10.答案：C解析： 【分析】本题考查三角函数的性质的应用，根据题意得{ω+π3<9π2ω+π3≥5π2，解不等式组即可求得结果．【解答】解：当x ∈[0,1]时，ωx +π3∈[π3,ω+π3]， 因为函数的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则{ω+π3<9π2ω+π3≥5π2， 解得13π6≤ω<25π6．故选C ．11.答案：C解析：解：由对称性可得MN 过原点O ，可得 MF ⊥NF ，即有tan∠MNF =|MF||NF|=tan π12=2−√3，由双曲线的定义可得|NF|−|MF|=|MF′|−|MF|=2a ， 解得|MF|=(√3−1)a ，|NF|=(√3+1)a ， 在直角三角形MFF′中，由勾股定理可得， 4c 2=(√3−1)2a 2+(√3+1)2a 2， 即为c 2=2a 2，即有b 2=c 2−a 2=a 2， 则双曲线的渐近线方程为y =±ba x ， 即y =±x ． 故选：C ．由对称性可得MN 过原点O ，可得MF ⊥NF ，运用正切函数的定义和双曲线的定义，求得MF ，NF ，再由勾股定理和渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的渐近线方程求法，注意运用双曲线的定义和对称性，以及直径所对的圆周角为直角，正切函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析： 【分析】本题考查了导数的几何意义和不等式的恒成立问题．由f(x)≥0等价于2x 2e x ≥3m(x −23)，令y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)，如图，满足题意时，y 1=2x 2e x 的图象在y 2=3m(x −23)的上方，求出相切时m 的值，结合图象即可得出结果． 【解答】解：由f(x)≥0等价于2x 2e x ≥3m(x −23)， 令y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)，则y 1′=2xe x (x +2)，令y 1′=0可得x 1=0,x 2=−2， 绘制y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)的图象，如图，满足题意时，y 1=2x 2e x 的图象在y 2=3m(x −23)的上方， 设y 1=2x 2e x 与y 2=3m(x −23)相切，切点坐标为P(x 0,y 0),(x 0>0)， 则{y 0=3m(x 0−23)y 0=2x 02e x 02x 0e x 0(x 0+2)=3m，解得x 0=1，m =2e ，结合函数图象可得m ∈[0,2e]． 故选C ．13.答案：[211 ,2]解析： 【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题． 由约束条件作出可行域，再由yx 的几何意义，即可行域内的动点与定点O 连线的斜率求解． 【解答】解：由实数x ，y 满足{ x −y −3≤0 x +2y −5≥0y −2≤0，作出可行域如图：由{ y =2 x +2y −5=0，解得A(1,2)， 由{ x −y −3=0 x +2y −5=0，解得B(113, 23)， y x的几何意义为可行域内的动点与原点O 连线的斜率，∴k OA =2，k OB = 211 ， ∴则yx 的取值范围是[211 ,2]．故答案为[211 ,2]．14.答案：−48解析：解：当因式x −2y 取x ，则二项式(x +y)8则取xy 7，此时系数为C 87=8； 当因式x −2y 取−2y ，则二项式(x +y)8则取x 2y 6，此时系数为−2C 86=−2C 82=−56；所以(x −2y)(x +y)8的展开式中，x 2y 7的系数为8−56=−48； 故答案为：−48．根据x 2y 7的来由分析两种可能，结合二项展开式求系数． 本题考查了二项式定理的运用；关键是明确所求项的由来．15.答案：2解析： 【分析】本题利用向量模长的平方等于向量的平方可求出a →2+b →2，带入化简即可． 【解答】解：∵|a →+b →|=√20,a →·b →=4∴a →2+b →2=20−2a →·b →=12∴|a →−b →|=√|a →−b →|2=√a →2+b →2−2a →·b →=√12−8=2 故答案为2．16.答案：1解析： 【分析】本题考查空间直线到平面的距离，属于中档题．先利用线面平行的判定定理证明直线C 1A//平面BDE ，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可． 【解答】解：如图：连接AC ，交BD 于O ，在三角形CC 1A 中，OE//C 1A ， ∵OE ⊂平面BDE ， C 1A ⊄平面BDE ∴C 1A//平面BDE ，∴直线AC 1与平面BED 的距离即为点A 到平面BED 的距离， 设为h ，在三棱锥E −ABD 中，V E−ABD =13S △ABD ·CE=13×12×2×2×√2=2√23，在三棱锥A −BDE 中，BD =2√2，BE =√6，DE =√6， ∴S △DEB =12×2√2×√6−2=2√2，∴V A−BDE =13S △EBD ·ℎ=13×ℎ×2√2=2√23，∴ℎ=1． 故答案为1．17.答案：解：(1)∵数列{a n }的前项和S n =n 2，∴n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， n =1时，a 1=S 1=1，满足上式， ∴a n =2n −1，n ∈N ∗． (2)∵a n +3a n =2n −1+32n−1，∴T n =S n +3·1−9n1−9=32n+1−3+8n 28．解析：(1)利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，能求出a n =2n −1，n ∈N ∗．(2)a n +3 a n =2n −1+32n−1，由此利用分组求和法能求出数列{a n +3 a n }的前项和T n ． 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．18.答案：证明：(Ⅰ)∵在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PD ⊥AD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．解：(Ⅱ)取BC 中点E ，连结DE ，则DE ⊥AD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，平面PAD 的法向量n⃗ =(0,1，0)， A(2,0，0)，B(3,√3,0)，P(0,0，2√3)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,−2√3)， 设平面PAB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +√3y −2√3z =0，设z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)， 设二面角D −PA −B 的平面角为θ， 则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=√55，由图可知θ为钝角， ∴二面角D −PA −B 的余弦值为−√55．证明：(Ⅲ)C(−3，√3，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−2√3)， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,−2√3)， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，∵PD ∩PC =P ，PD ，PC ⊂平面PCD ， ∴AB ⊥平面PCD ．解析：(Ⅰ)由平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ⊥AD ，得PD ⊥平面ABCD ，由此能证明PD ⊥BC ． (Ⅱ)取BC 中点E ，连结DE ，则DE ⊥AD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D −PA −B 的余弦值．(Ⅲ)推导出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，由此能证明AB ⊥平面PCD ． 本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)x .=15(38+56+59+64+73)=58，y .=15(41+63+70+72+84)=66，∴b ∧=19956−5×58×6617486−5×582=1.23，a ∧=66−1.23×58=−5.34．∴y 与x 的线性回归方程是y =1.23x −5.34． (2)当x =37时，y =1.23×37−5.34≈40． ∴此中华龙鸟的肱骨长度约为40cm ．解析：(1)求出x .,y .，代入回归系数公式解出b ∧，a ∧，得到回归方程； (2)把x =37代入回归方程求出y 即为肱骨长度的估计值． 本题考查了线性回归方程的求法和数值估计，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，则Q(x 0,0)，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0)， 由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x =√32x 0+2−√32x 0y =√32y 0,即x 0=x,y 0=√3，因为x 02+y 02=4，代入整理得x 24+y 23=1，即为M 的轨迹为椭圆x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|+1|BD|=13+14=712， 当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，AC 的方程为y =k(x +1)，代入椭圆方程x 24+y 23=1，并化简得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，设A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2−123+4k 2，|AC|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=12(1+k 2)3+4k 2因为直线BD 的斜率为−1k ，所以|BD|=12[1+(−1k )2]3+4(−1k)2=12(1+k 2)4+3k 2，所以1|AC|+1|BD|=3+4k 212(1+k 2)+4+3k 212(1+k 2)=712，综上，1|AC|+1|BD|=712，是定值．解析：本题考查了圆锥曲线中的轨迹问题，以及圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．(Ⅰ)通过设点，借助OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到x 0=x,y 0=2√3y ，运用相关点法求解即可； (Ⅱ)直线和椭圆联立方程组，得到(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，借助根与系数的关系，由弦长公式求得|AC |=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=12(1+k 2)3+4k 2，|BD|=12[1+(−1k )2]3+4(−1k)2=12(1+k 2)4+3k 2，进而证明即可．21.答案：(1)解：根据题意可得，f′(x)=ax −e x =a−xe xx(x >0)，当a ≤0时，f ′(x)<0，函数y =f(x)是减函数，无极值点； 当a >0时，令f ′(x)=0，得a −xe x =0，即xe x =a ， 易知y =xe x 在(0,+∞)上单调递增，所以a =xe x 在(0,+∞)上存在一解，不妨设为x 0，所以函数y =f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减； 所以函数y =f(x)有一个极大值点，无极小值点． 综上所述，当a ≤0时，f(x)无极值点；当a >0时，函数y =f(x)有一个极大值点，无极小值点； (2)证明：a =2时，f(x)=2lnx −e x ，f ′(x)=2−xe xx(x >0)，由(1)可知f(x)有极大值f(x 0)，且x 0满足x 0e x 0=2①，又y =xe x 在(0,+∞)上是增函数，且0<2<e ，所以x 0∈(0,1)， 又知：；由①可得e x 0=2x 0，代入②得，令g(x)=2lnx −2x ，则g ′(x)=2x +2x =2(x+1)x >0恒成立，所以g(x)在(0,1)上是增函数，所以g(x 0)<g(1)=−2<0，即g(x 0)<0， 所以f(x)<0．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，利用导数证明不等式，属于较难题． (1)对f(x)求导数，讨论a 的取值，令导数f ′(x)=0，判断f(x)的单调性，从而求出函数y =f(x)极值点的个数；(2)求出a =2时f(x)的导数f ′(x)，判断f(x)的极值情况，利用极值构造函数，从而证明f(x)<0．22.答案：解：(1)由曲线M 的参数方程消去参数t ，得y 2=4x ，即曲线M 的普通方程为y 2=4x ．将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程，得x 2+y 2+4y +3=0，即得圆C 的直角坐标方程为x 2+(y +2)2=1． (2)由(1)知圆心C(0,−2)．设直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =−2+tsinα(t 为参数)，代入曲线M 的方程得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=4sinα+4cosαsin 2α，t 1t 2=4sin 2α．所以1|CA|+1|CB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t2t 1t 2|=|sinα+cosα|=|√2sin (α+π4)|≤√2，当α=π4时等号成立，此时满足题意，所以1|CA|+1|CB|的最大值为√2．解析：本题考查的知识点是圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 与曲线C 的普通方程；(2)直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =−2+tsinα(t 为参数)，代入y 得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0，利用参数的几何意义，求|1|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||的值．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=2|x +1|−|x −1|，当x <−1时，由f(x)<0得−2(x +1)+(x −1)<0，即−x −3<0，得x >−3，此时−3<x <−1， 当−1≤x ≤1，由f(x)<0得2(x +1)+(x −1)<0，即3x +1<0，得x <−13，此时−1≤x <−13， 当x >1时，由f(x)<0得2(x +1)−(x −1)<0，即x +3<0，得x <−3，此时无解， 综上−3<x <−13，(Ⅱ)∵f(x)<x ⇔2|x +1|−x <|x −a|有解，等价于函数y =2|x +1|−x 的图象上存在点在函数y =|x −a|的图象下方，由函数y=2|x+2|−x与函数y=|x−a|的图象可知：a>0或a<−2．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．(Ⅰ)分3段去绝对值解不等式组，再相并；(Ⅱ)f(x)<x⇔2|x+1|−x<|x−a|有解，等价于函数y=2|x+1|−x的图象上存在点在函数y= |x−a|的图象下方，根据图象写出结果．。
山东省济南市历城第二中学2020届高三下学期高考模拟考试(二)数学试卷 PDF版含答案
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5!#至+月份的收入的变化率与!!至!$月份的收入的 '*
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6!第三季度平均收入为+"""元 7!利润最高的月份是.月份和!"月份
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!"!嫦娥四号月球 探 测 器 于 $"!/ 年 !$ 月 / 日 搭 载 长 征 三 号
'(*)-#若正方体的六个面所在的平面与直线).#./ 相交
的平面个数分别记为 0#1#则下列结论正确的是
5,001
-,0018$
6,0$1
7,081$/
/!已知函数+$#%0#8,$##2$#%02<#*#,$*##若存在实数#"#使+$#"%*2$#"%0+成立#则
正数, 的取值范围为
.,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答超出答题区域书写的答案无效在 草稿纸试卷上答题无效,
#,作图可先使用铅笔画出确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑, +,保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱,不准使用涂改液修正带刮纸刀,
一单项选择题本题共/小题每小题+分共#"分,在每小题给出的四个选项中只有一项是
5!#$0$&8!
-!&$0$#8!
6!#$0$&*!
7!&$0$#*!
.!已知'('(0$*!'(')0!若93:)(')0 槡!!""则实数的值是
山东省济南市2020年高三第二次教学质量检测理科数学
(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积.
x2 y2
11
20．（本小题满分 12 分）设椭圆 ＋ ＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 ＋
a2 3
|OF| |OA|
＝ 3e ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． |FA|
18．（本小题满分 12 分）某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目 上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损
72 15%，且这两种情况发生的概率分别为 和 ；
99 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A.3
只一项是符合题目要求的． 1.若集合 A＝{x∈N|x≤ 2 020}，a＝2 2，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
D．a∉ A
2.设 z＝1－i＋2i，则|z|等于( ) 1＋i
1
A.0
B.
C.1
D. 2
2
f x＋1
3.若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数 g(x)＝
31 1 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， 和 .
山东省济南市2020届高三数学二模试题(含解析)
设球心为 O
，则 O
在
PO1
上，故
R2
h
R 2
12
，化简得到
R
h 2
1 2h
，
y
双勾函数
x 1 2 2x
在
2,
Rmin
上单调递增，故
5 4 ，故 Smin
4
R2 min
25 4
.
故选：D.
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个
数学家棣莫弗发现：[r(cos i sin ]n rn cos n i sin n , (n N ) ，我们称这个结论为
棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“
n
为偶数”是“复数
cos
4
i
sin
4
m
为纯虚数的是（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
p2 0.1587 ，优秀概率 p3 0.0228 ，D 错误，得到答案.
【详解】数学成绩 X 服从正态分布 N (100,100) ，则数学成绩的期望为 100，数学成绩的标
准差为 10，故 A 正确 B 错误；
1 P 100 10 100 10
p1 1
及格率为
2
0.8413
，C 正确；
下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的高为 1
B. 三角形 PAB 为等腰三角形
C. 三角形 PAB 面积的最大值为 3
D. 直线 PA 与圆锥底面所成角的大小为 6
【答案】ABD
山东省济南市2020届高考第二次模拟考试数学试题(文)含答案
文科数学参考公式：锥体的体积公式.一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.示的集合为（）AC2. ),则下列说法正确的是（）AC3. ,（）A4. ）A5. 某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:全相同的小球,从中任取两球,若摸出的两球号码的乘积为奇数则中奖;否则不中奖则中奖的概率为（）A6.）A7. 已知底面是直角三角形的直棱柱的正视图、俯视图如下图所示,则该棱柱5的左视图的面积为（）A8.右焦点点,则双曲线的标准方程为（）A9. 执行如图所示的程序框图,则该程序框图的输出结果是（）A10. 如图,,,将为（）11.）A12.函数,（ ）ABD第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.13.,14. 2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测:爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是 ．15.,例如,,16.,的体积的最大值为 ．三、解答题:共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
17.(1);(2),. 18. 如图,,(1)证明(2)在中国古代数学经典著作《九章算术》中,(chúméng),:术曰:倍下袤,上袤从之,以广乘之,又以高乘之,六而一.其意思是:“上袤”“广”公式为证明该体积公式.19. 近期济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,使用扫码支付的人次(单位:十人次),:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内)哪一个适宜作为扫码支付?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1),,用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,为更好的服务乘客,,得到如下结果：,使用现金支付的乘客无优惠,惠,扫码支付的乘客随机优惠,根据调查结果发现:优惠,,.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下,按照上述收费标准,试估计该车队一辆车一年的总收入.参考数据:参考公式：估计公式分别为nuυ-20.斜率为.(1)(2).21.(1);(2),. (二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程,),以坐标原点为极点,,.(1); (2). 23.选修4-5：不等式选讲(1)。
2020届山东省济南市高考第二次模拟考试数学模拟试题(理)有答案
理科数学 参考公式锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =,集合{}10A x x =-≤,集合{}260B x x x =--<则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}3x x <B ．{}31x x -<≤C ．{}2x x <D ．{}21x x -<≤2.设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（ ）A ．2z =B ．复数z 的虚部是iC ．1z i =-+D ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限3.已知角α的终边经过点(),2m m -,其中0m ≠,则sin cos αα+等于（ ）A ．5-．5 C ．35- D ．35± 4.已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上一点,2PF 与x 轴垂直,1230PF F ∠=o ,且虚轴长为22则双曲线的标准方程为（ ）A ．22142x y -=B ．22132x y -= C.22148x y -= D ．2212y x -= 5.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（ ）A ．15B ．310 C. 25 D ．356.中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（ ）A ．186B ．183 C. 182 D．27227.记不等式组1,50,210,xx yx x⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D,若(),x y D∀∈,不等式2a x y≤+恒成立,则a的取值范围是（）A．(],3-∞ B．[)3,+∞ C. (],6-∞ D．(],8-∞8. 如图,半径为1的圆O中,,A B为直径的两个端点,点P在圆上运动,设BOP x∠=,将动点P到,A B两点的距离之和表示为x的函数()f x,则()y f x=在[]0,2π上的图象大致为（）A． B．C. D．9.如下图所示的程序框图中,()Mod,m n表示m除以n所得的余数,例如:()Mod5,21=,则该程序框图的输出结果为（）A ．2B ．3 C.4 D ．5 10.设椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（ ）A 3212D 311.已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30BAC ∠=o ,3AC =,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（ ） A ．818 B ．24332 C.8132D ．81 12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,记()f x 的导函数为'()f x ,当0x ≥时,满足'()()0f x f x ->.若[)2,x ∃∈-+∞使不等式()333x f e x x ⎡⎤-+⎣⎦(a x)x f e ≤+成立,则实数a 的最小值为（ ） A ．21e - B ．22e - C. 212e + D ．11e- 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13.52x x ⎛ ⎝展开式中,常数项为．(用数字作答) 14.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测: 爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是．15.已知ABC ∆中,4,AC 5AB ==,点O 为ABC ∆所在平面内一点,满足OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则OA BC ⋅=u u u r u u u r ．16.在圆内接四边形ABCD 中,8,2AC AB AD ==,60BAD ∠=o ,则BCD ∆的面积的最大值为．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明:12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.18. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==o.(1)证明:BC PB ⊥；(2)若,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x 表示活动推出的天数,y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,y a bx=+与xc d⋅(,c d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要()N nn n∈年才能开始盈利,求n的值.参考数据:其中其中7111,7i i iigyυυυ===∑参考公式:对于一组数据()()()22,,,,,,i i n nu u uυυυL,其回归直线$$µ+a uυβ=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:µ1221,ni i i ni i u nu u nu υυβ==-=-∑∑$µau υβ=-. 20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:20C x py p =>,斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 焦点,且与C 交于,A B 两点满足34OA OB ⋅=-u u u r u u u r .(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于,M N 两点,R 为线段MN 的中点,记点R 到直线AB 的距离为d ,若22d AB =k 的值. 21.已知函数()2()1n 1f x x ax x =++-.(1)当0x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范；(2)若函数()()g x f x x =+有两个极值点12,x x ,且12x x <,求证:()211n22g x >-. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,2,x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为P1+sin26直线与曲线C 交于A,B 两点(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为24π⎫⎪⎪⎝⎭,求PA PB ⋅的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =- .(1)解不等式()()259f x f x x ++≥+；(2)若0,0a b >>，且142a b +=,证明:9()()2f x a f x b ++-≥，并求9()()2f x a f x b ++-=时，,a b 的值.高三教学质量调研考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：1-5: BDBDC 6-10:CCABA 11、12：AD二、填空题13. 80； 14. 丙； 15.92；16.. 三、解答题17.【解析】（1）11n n n a S S ++=-Q ，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--()1120n n n S S S λ++∴--=10,0n n a S +∴>∴>，120n n S S λ+∴--=；12n n S S λ+∴-+（2）12n n S S λ+=+Q ，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列，212S S λ=+Q 即2112a a a λ+=+，210a λ∴=+>得1λ>-，()21,12,n n a λ-⎧⎪∴=⎨+⎪⎩,1,,2n n =≥若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+1λ∴=经检验得符合题意．18. 【解析】证明：（1）取AD 中点为E ，连结,,PE BE BDPA P =QPE A ⊥QQ 底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=oABD ∴∆为等边三角形，BE A ∴⊥,PE BE Q I ,PE BE ⊂平面PBEAD P ∴⊥,AD BC BC PB ∴⊥Q ∥.（2）设2AB =2AD PB ==Q ，2BE =,PA A E ⊥Q 为AD 中点1PE ∴=22PE BE P +=QPE B ∴⊥.以E 为坐标原点，分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 相关各点的坐标为()()1,0,0,3,0A B ()(),0,0,1,3,0P C - ()3,0AB ∴=-u u u r ，()1,0,1AP =-u u u r ，()0,3,1BP =-u u u r ，()2,0,0BC =-u u u r .设PAB 的法向量为()1222,,n x y z =u r2200n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r Q u u r u u u r得222020z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令21y =-得220,x z ==，即(10,1,n =-u r12127n n n n ⋅∴=-⋅u r u u r u r u u r 设二面角A PB C --的平面为θ，由图可知，θ为钝角，则cos 7θ=-. 19. 【解析】 （1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；（2）x y c d =⋅Q ，两边同时取常用对数得：()11x gy g c d =⋅11gc gd x =+⋅；设1,gy v =11v gc gd x ∴=+⋅ 4, 1.55,x v ==Q 721140i i X ==∑， µ717221717i ii i i x v xv gd x x==-∴==-∑∑250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯， 把样本中心点()4,1.54代入11v gc gd x =+⋅,得:µ10.54gd=， 0.540.25vx ∴=+$，µ10.540.25gy x ∴=+， y ∴关于x 的回归方程式：$()()0.540.250.540.540.54101010 3.4710x x x y +===； 把8x =代入上式:$0.540.25810y +⨯∴== 2.5420.54101010347=⨯=；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4；()20.1P Z ==；()11.80.30.152P Z ==⨯=； ()1.6P Z ==10.60.30.73+⨯=； ()11.40.30.056P Z ==⨯=所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：20.1 1.80.15 1.6⨯+⨯+0.7 1.40.05 1.66⨯+⨯=（元）由题意可知：1.66112n ⨯⨯⋅-0.6612800n ⨯⋅->203n >，所以，n 取7； 估计这批车大概需要7年才能开始盈利. 20.【解析】（1）由已知，l 的方程：2py kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ， 由222x py p y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得：2220x pkx p --=()* 212x x p =-，1222212224x x p y y p p ==， 1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 222344p p p =-+=-， 由已知得：233,144p p -=-=， ∴抛物线方程2:2C x y =；（2）由第（1）题知，21,:2,p C x y ==1:2l y kx =+， 方程()*即：2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-设AB 的中点()00,D x y ， 则：()01212x x x k =+=，2001122y kx k =+=+， 所以AB 的中垂线MN 的方程：()2112y k x k k ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，即21302x y k k +--=将MN 的方程与2:2C x y =联立得：222230x x k k+--=， 设()()3344,,,M x y N x y ，则3434,22x x y y R ++⎛⎫⎪⎝⎭341,2x x k +∴=-3412y y k +=-2342x x k +⎛⎫++ ⎪⎝⎭2231322k k =++R 点到AB ：102kx y -+=的距离2212k d ++12AB x -=()221k ==+所以222122k d AB k ++=由已知得：222k =，得1k =±. 21. 【解析】 （1）【解法一】1()211f x ax x=+-=+()22212211x ax a ax ax x x x +-+-=++，[)0,x ∈+∞ 设()221h x ax a =-①0a ≤时，()0,()h x f x <∴在[)0,+∞上单调递减，()(0)0f x f ≤=，不合题意，舍；②当0a >时，（i ）若210a -≥，即12a ≥时，当()0,()h x f x ≥∴在[)0,+∞上单调递增，()(0)0f x f ≥=，符合题意； （ii ）若210a -<，即102a <<时，当120,2a x a -⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0,()h x f x <单调递减：当12,2a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x >，()f x 单调递增；12(0)02a f f a -⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，不合题意，舍；综上：12a ≥； 【解法二】若0a ≤,而(1)1n 210f a =+-<,不合题意,故0a >； 易知:(0)0f =,1'()211f x ax x=+-+,[)0,,'(0)0x f ∈+∞= 设1()211x ax x =+-+，()21'()21h x a x =-++，'(0)21h a =- 若210a -≥,即12a ≥时,'()h x Q 在[)0,+∞上单调递增,'()'(0)210h x h a ∴≥=-≥,'()h x Q 在[)0,+∞上单调递增, '()'(0)0h x h ∴≥=,符合题意；若210a -<,即102a <<时,'()h x Q 在[)0,+∞上是单调递增函数， 令'()0h x =,记01x =[)00,x x ∈时,'()0h x <， '()h x ∴在[)00,x 上是单调递减函数,'()'(0)0h x h ∴≤=,()f x ∴在[)00,x 上是单调递减函数， ()(0)0f x f ∴≤=,不合题意:综上:12a ≥； (2)【解法一】()()21n 1g x x ax -++,()1'21g x ax x=++22+2+1=1ax ax x +， 设()2221x ax ax ϕ=++,若()0,10a x ϕ==>,()'0g x ∴>,()g x ∴在()1,-+∞上单调递增,不合题意:当0a <时,()()101ϕϕ-==Q ， ()0x ϕ∴=在()1,-+∞上只有一个根,不合题意:当0a >时,()()101ϕϕ-==Q ,要使方程()22210x ax ax ϕ=++=有两个实根12,x x ，只需2480,102a a ϕ⎧⎪∆=->⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩即0a >，()()101ϕϕ-==Q ，11022aϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，111,,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭21,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()g x ∴在()11,x -上单调递增,在()12,x x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增； ()g x ∴在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,符合题意；()22222210x ax ax ϕ=++=Q ()()2222=1n 1g x x ax ∴++()222211n 122x x x =+-+()2221n 1x x ⋅=+2122x -+ 设()()1=1n 122m t t t +-+，1,02t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()1'=1m t t -+()()2212102121t t t +=>++，()m t ∴在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数,()1111=1n +=1n22222m t m ⎛⎫∴>-- ⎪⎝⎭()211n22g x ∴>-. 【解法二】()()2=1n 1g x x ax ++，()1'=1g x x∴++222121ax ax ax x ++=+， 设()2221x ax ax ϕ=++,若()0,10a x ϕ==>，()'0g x ∴>，()g x ∴在()1,-+∞上单调递增,不合题意；当0a <时,()()101ϕϕ-==Q ,()0x ϕ∴=在()1,-+∞上只有一个根,不合题意；当0a >时,()()101ϕϕ-==Q ,要使方程()222+1=0x ax ax ϕ=+有两个实根12x x ，,只需2=480102a a ϕ⎧⎪∆->⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即2a >()()101ϕϕ-==Q ，11022aϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，111,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭，21,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()g x ∴在()11,x -上单调递增，在()12,x x 单调递减，在()2,x +∞上单调递增； ()g x ∴在1x x =处取最大值，在2x x =处取最小值，符合题意；()22222210x ax ax ϕ=++=Q设22ax t =，则210tx t ++=，()212,11t x ∴=-∈--+， ()()221n 1g x x ∴=+()221n ax t +=---()1,2,122tt -∈-- 设()()11n 2m t t =---(),2,12t t -∈--，()11'2m t t =--202t t+=->， ()m t ∴在()2,1--单调递增，()()121n22m t m ∴>-=-()211n22g x ∴>-. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程] 解:(1)l 的普通方程为:10x y +-=；又222sin 2ρρθ+=Q ,2222x y y ∴++=即曲线C 的直角坐标方程为:2212x y += (2)解法一:11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上,直线l的参数方程为''122122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩('t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程得2'122t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭2'122022⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即'2'350224t +-=, PA PB ⋅=''''121256t t t t ⋅==. 解法二:22122y xx y =-⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩2340x x -⇒1240,3x x ⇒==()410,1,,33A B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，2PA ∴==，6PB ∴==，5266PA PB ⋅=⋅= 23.[选修4-5:不等式选]解:(1)()(25)f x f x ++=1249x x x -++≥+当2x ≤-时,不等式为4123x x ≤-⇒≤-,(],3x ∴∈-∞-； 当21x -<<时,不等式为59≥,不成立；当1x ≥时,不等式为263x x ≥⇒≥,(],3x ∴∈-∞-, 综上所述,不等式的解集为(][),33,-∞-+∞U ；（2）解法一:()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--≥()11x a x b a b +----=+， ()()a b a b a b +=+=+1252222b aa b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭5922≥+= 当且仅当22b aa b=，即2b a =时“=”成立；由21212b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：3,32a b ==.解法二：()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--，当1x a ≤-时，()()f x a f x b ++-=1x a x b --+-+122x a b a b +=-+-+≥+； 当11a x b -<<+时，()()f x a f x b x a ++-=+11x b a b --++=+； 当1x b ≥+时，()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--=22x a b a b -+-≥+()()f x a f x b ∴++-的最小值为a b +，()()122a b a b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭525222b a a b =++≥92+=， 当且仅当22b a b=，即2b a =时“=”成立； 由21212b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：3,32a b ==.。
山东省济南市2020届高三5月二模数学试题(解析版)
2020年济南二模数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分 1.已知α为第四象限角,则5cos 13α=，则sin α= 12125 (13131212)5A B C D -- 2.已知x,,y R ∈集合{1,2},{,},,12xA B x y AB ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭则xy=A.-1 11 (122)B C D -3.已知抛物线24x y =的焦点为F,点P 在抛物线上且横坐标为4,则|PF|=A.2B.3C.5D.64.十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目,按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分,然后将各个单项的得分相加,总分多者为优胜.下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图.下列说法错误的是A.在100米项目中,甲的得分比乙高B.在跳高和标枪项目中,甲、乙的得分基本相同C.甲的各项得分比乙更均衡D.甲的总分高于乙的总分5.已知函数()221,1|1|,1x x x f x x x ⎧--≤->+=⎨⎩若()()243,f a f a ->则实数a 的取值范围是().4,1A - ()().,41,B -∞-⋃+∞ ().1,4C -()().,14,D -∞-⋃+∞6.任何一个复数i z b a =+(其中a,b ∈R,i 为虚数单位)都可以表示成()z r cos isin θθ=+(其中r≥0,)R θ∈的形式,通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:[(sin ]()cos n n r i r n N θθ++=∈,我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可知,“n 为偶数”是“复数44mcos isin ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为纯虚数的是A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知点A,B,C,||2AB =若则·AC BC 的最大值为A.2B ± C.48.在三棱锥P-ABC 中,2BC AB AC =⊥，若该三棱锥的体积为23,则其外接球表面积的最小值为 A.5π B.4912πC.649πD.254π二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X 服从正态分布N(100,100),其中90分为及格线,120分为优秀线下列说法正确的是 附:随机变量ξ服从正态分布()2,,N u σ则()()0.6826,22=0.9544P u P μσξσμσξμσ-<<+=-<<+，()330.9974P u σξμσ-<<+=A.该市学生数学成绩的期望为100B.该市学生数学成绩的标准差为100C.该市学生数学成绩及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等10.已知圆锥的顶点为P,母线长为2,为底面圆周上两个动点,则下列说法正确的是A.圆锥的高为1B.三角形PAB 为等腰三角形C.三角形PABD.直线PA 与圆锥底面所成角的大小为π611.已知实数,x y z ，满足1ln yx e z==,则下列关系式中可能成立的是 Ax>y>zB.x>z>yC.z>x>yD.z>y>x12.已知函数()()()3,0,||0x ,288f x sin f f x f πππϕωϕω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+><-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中，恒成立,且)f x （区间,1224ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调,则下列说法正确的是 A.存在φ,使得()f x 是偶函数()3.04B f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C.ω是奇数D.ω的最大值为3三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.5G 指的是第五代移动通信技术,比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍,某公司在研发5G 项目时遇到一项技术难题,由甲、乙两个部门分别独立攻关,已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6,乙部门攻克该技术难题的概率为0.5.则该公司攻克这项技术难题的概率为 ▲14.能够说明“若11a b>,则a<b”是假命题的一组整数a,b 的值依次为 ▲ 15.已知函数()()1,x f x e a x =-+若()f x 有两个零点,则实数a 的取值范围是 ▲16.已知F 1,F 2分别是双曲线C: 22220(1x y a a b-=>0)b >的左,右焦点,过点F 1向一条渐近线作垂线,交双曲线右支于点P,直线F 2P 与y 轴交于点Q(P,Q 在x 轴同侧),连接1,QF 若1PQF ∆的内切圆圆心恰好落在以F 1F 2为直径的圆上,则12F PF ∠的大小为 ▲ 双曲线的离心率为 ▲ (第一空3分,第二空2分)四、解答题:本题共6小题共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.(10分)2020年4月21日,习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研,在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神,野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01中学生疫情期间居家体育锻炼的情况,从全市随机抽1000名中学生进行调查,统计他们每周参加体育锻炼的时长,右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.(1)已知样本中每周体育锻炼时长不足4小时的体育锻炼的中学生有100人,求直方图中a,b 的值；(2)为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况,利用分层抽样的方法从[10,12)和[12,14]两组中共抽取了6名中学生参加线上座谈会,现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示,求这2名学生来自不同组的概率。
【精品解析】山东省济南市2020届高三数学3月(二模)月考 理(教师版)
山东省济南市2020届高三3月（二模）月考数学（理）试题解析【试题总体说明】1. 本套试卷命制符合最新《考试大纲》，侧重于重难点的考查，基础试题如选择题前7道题目,填空题前2道到均为简单题，整体难度中等偏上，如选择11,12。
2. 题目立足教材，对本重点或难点考查全面，突出整套试卷的训练价值。
试题从不同角度来命制，因设计到进度问题，本试卷考试内容不包含选修系列4． 3. 本套试卷较好的控制题目的信度和区分度，力求学生的测试成绩能够呈现正态分布。
既要考核学生对基本理论、基础知识掌握的深度、广度，又要考核学生通过思考，融会贯通，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。
试题的编排要注意了整体的难度和梯度（从易到难）。
利用解答题中的安排较为合理，考查了重点题型，并且命题的角度比较新颖，如解答题19题和22题。
参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B );如果事件A 、B 独立,那么P (A ∩B )=P (A ) g P (B ).如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率: n P (k)=kknCp (1)n k p --(k =0,1,2,…, n ). 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数1+i4+3i 的虚部是 A. 1i 25 B. 125C. 125-D. 1i 25-【解析】B 1(1)(43)7714325252525i i i i i i ++-+===++。
2. 直线1l :kx +(1-k )y -3=0和2l :(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直，则k =A. -3或-1B. 3或１C. -3或１D. -1或3 【解析】C 两直线垂直的充要条件是(1)(1)(23)0k k k k -+-+=，即2230k k +-=，解得1,3k =-。
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