水平均布荷载作用情况竖向附加应力
地基中的附加应力计算
&4 地基中的附加应力计算
华北水利水电学院土力学课程组
概 述
附加应力：由外荷（静的或动的）引起 的土中应力。 只讨论静荷载引起的地基附加应力 动载由土动力学研究
基本假定
地基土是各向同性、均质、线性变形体 地基土在深度和水平方向都是无限的
地 表 临 空
地基
均质各向同性线性变形
体
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。 Ks可直接查表
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加或以外任意 点下的竖向附加应力，可按叠加原理求 得。
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
3 z pt xdxdy dσ z = 2πR 5b
3
R= x +y +z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向附加应力
根据等代荷载法原 理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷 小，将σz用积分
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R = x2 + y 2 + z 2 代入并沿整个基底面 积积分，即可得到竖 直均布压力作用矩形 基底角点O下z深度处 所引起的附加应力
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
在竖向集中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
等代荷载法－基本解答的初步应用
土力学复习资料
土力学一、名词解释土的干密度：单位体积土中土粒的质量称为土的干密度。
工程上常以土的干密度来评价土的密实程度，并常用这一指标来控制填土的施工质量。
临界水力坡降：指土体开始发生流土破坏时的水力坡降。
附加应力：由建筑物荷载在地基土中引起的、附加在原有自重应力之上的应力。
欠固结土：指在目前自重应力下还未达到完全固结的土体，土体实际固结压力小于现有覆盖土自重应力。
天然休止角：指干燥沙土自然堆积所能形成的最大坡角土的饱和重度：土中空隙完全被水充满时土的重度称为饱和重度。
固结度：地基在某一时刻t的固结沉降与地基最终固结沉降之比。
软化性：指岩石浸水饱和后强度降低的性质超固结：渗透系数：反映土的透水性能的比例系数，相当于水力坡降等于1时的渗透速度。
临塑荷载：地基中即将出现塑性区但未出现塑性区时所感应的基底压力，及相应于塑性区的最大深度等于零时所对应的基底压力。
土的构造：在同一土层中的物质成分和颗粒大小等都相近的各部分之间的相互关系的特征。
粉土：指塑性指数小于或等于10，粒径大于0.075mm的颗粒含量不超过总质量50%的土。
不固结不排水实验：试样在施加周围压力和随后施加竖向压力直至剪切破坏的整个过程中都不允许排出，自始至终关闭排水阀门的三轴压缩试验。
角点沉降系数：单位均布矩形荷载在其角点处引起的沉降。
极限承载力：地基能承受的最大荷载强度。
二、填空1.在土的三相比例指标中，三项基本的试验指标是土的密度、土粒相对密度、含水量，它们分别可以采用环刀法（灌砂法）、比重瓶法和烘干（烧干、炒干）法测定。
2.实际工程中，土的压缩系数根据土原有的自重应力增加到自重应力和附加应力之和这一压力变化区间来判定，采用的压缩性指标是压缩系数a1-2.3.直接剪切试验：快剪实验、固结快剪实验、慢剪实验；三轴试验：不固结不排水、固结不排水、固结排水4.采用单向压缩分层总和发计算地基沉降时，通常根据室内压缩实验曲线确定压缩性指标，若考虑应力历史对地基沉降的影响，则应根据原始压缩曲线确定压缩性指标。
地基中的应力计算
三 、--成--侧土层压的土力泊地系松基数比自，;重应力计ccxz 算 1
。
当地基由成层土组成，如图2-1
了，重度为
式所示:
i
时，则在深度
z
(n az)i所处示的，自任重意应层力i的厚c度z 如为下zi
i 1
n
cz 1z1 2 z2 3z3 n zn i zi i 1
二、自重应力计算的一般公式
在一般情况下，土层的覆盖面积很大，所以土的自重可看
作分布面积为无限大的荷载。土体在自重作用下既不能有侧 向变形，也不能有剪切变形，只能产生竖向变形，根据这个 条件，地基土中的自重应力可按下式求得:
cz z
cx
cy
v 1
v cz
cz
xy yz xz 0
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第二节基底压力的计算
(二)中心荷载时圆形刚性基础下的基底压力的计算
根据刚性基础底面各点在中心荷载时沉降相等的条件，应
用弹性理论，可求出作用于圆形刚性基础底面任一点M(:，
Y}的压力，见式(2-9 )
pM
2
p
1
2
r2
(2-9)
式p中----由p圆M基形--基础基底中础任心底意O面至点上MM的点处平的的均距压压离力力((m(((k)kP;Paa)); ;
(2-1)
下一页 返回ຫໍສະໝຸດ 第一节土体自重应力的计算式 中--土c的z -天-地然面重下度z深((k度N/处m的3);垂直向自重应力((kPa) ;
z--地面至计算点的深度(m) ;
cx、 cy --z深度处的水平向应力((kPa) ;
xy、 yz、 xz --z深度处的剪应力((kPa) ;
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水平均布荷载作用情况竖向附加应力
任意点（坐标为x,y）的基底压力为
My P Mx p( x, y) y x A Ix Iy
M x、M y—竖直偏心荷载对基础底面x轴和y轴的 力矩， kN m ，
； I x 、I y —分别为基础底面对x轴和y轴的惯性 矩， m 4 ； ex 、 ey —分别为竖直荷载对y轴和x轴的偏心 距 ，m 。
sz z
分布图 • 高土石坝，应用较多的是有限元法
例5-1：根据图中所给的条件，试绘制地基 中的自重应力沿深度的分布图。 解：分别计算各土层分界面上的应力 sz1 1 h1 17.0 3 51.0kN / m2
2 sz 2 1h1 2h2 51.0 (19.0 9.8) 1 60.2kN / m
P P p A L B
P－基底上的竖直总荷载，kN。
2.条形基础 当 L / B 10 ， 按条形基础考虑。 长度方向截 取1m进行计算。
P p B
p —条形基础上单位长度的总荷载， kN / m
（二）竖直偏心荷载作用下的基底压力 • 假设基底压力 为直线分布，按 材料力学偏心受压 公式计算。 1.矩形基础 （1）荷载为双向偏心：
砂
35.0
108.2kN / m2
二、基底接触压力
建筑物荷载通过基础传到地基中，基础底面 传递给地基表面的压力称为基底接触压力；也称 为基底压力。 简化计算方法－－假设基底压力按直线分布。 按不同荷载作用情况，基底压力的计算方法 如下：
（一）竖直中心荷载作用下的基底压力 1.矩形基础 设矩形基础的长度为L， 宽度B为，其上作用着竖 直中心荷载。 假设基底压力均匀分布， 其基底压力为
M x P ey
M y P ex
土力学---附加应力
h
i
d
g
a
f
例题4-6 P72 例题
b
c
e
9
10
11
12
13
14
§3 土体中的应力计算
σz = ∫
B L 0
§3.4 地基中附加应力的计算
y
dP
四. 矩形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
0
∫ dσ
P σz = k ⋅ 2 z
集中力作用下的 应力分布系数
查表3 查表3-1
4
§3 土体中的应力计算
P σz = k ⋅ 2 z
特点
§3.4 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 k= 2π [1+ (r / z)2 ]5/ 2
1.P作用线上， 1.P作用线上，r=0,z=0, σz→∞，z→∞，σz→0 ， ， 2.在某一水平面上 在某一水平面上， 最大; r↑， 减小， 2.在某一水平面上，r=0, σ 最大; r↑，a减小，σz减小
22
八. 条形面积三角形分布荷载作用下的附加应力计算
σ z = k pt
t z
x z k = F(B, x, z) = F( , ) = F(m, n) B B
t z
条形面积竖直三角形荷载作用时的 应力分布系数
P84 例题 例题3.3
x z 根据 , B B
查表4-15 查表
23
§3 土体中的应力计算
竖直线布荷载
宽度积分
条形面积竖直均布荷载
圆形面积竖直均布荷载
土力学名词解释及简答
一、名词解释第一章土的物理性质及分类简答题1.何谓土粒粒组？划分标准是什么？答：粒组是某一级粒径的变化范围。
粒组划分的标准是粒径范围和土粒所具有的一般特征，粒径大小在一定范围内的土粒，其矿物成分及性质都比较接近，就划分为一个粒组。
2.无粘性土和粘性土在矿物成分、土的结构、物理状态等方面，有何重要区别？答：无粘性土和粘性土作为工程中的两大土类，在矿物成分、土的结构和物理状态方面存在着差异。
①矿物成分：无粘性土一般由原生矿物组成，颗粒较粗；粘性土一般由次生矿物组成，化学稳定性差，颗粒较细。
②土的结构：从土的结构上看，无粘性土颗粒较粗，土粒之间的粘结力很弱或无粘结，往往形成单粒结构。
粘性土颗粒较细，呈现具有很大孔隙的蜂窝状结构或絮状结构，天然状态下的粘性土，都具有一定的结构性、灵敏度和触变性。
③物理状态：无粘性土的工程性质取决于其密实度，而粘性土的工程性质取决于其软硬状态及土性稳定性。
3.粘性土的软硬状态与含水量有关，为什么不用含水量直接判断粘性土的软硬状态？答：粘性土颗粒很细，所含粘土矿物成分较多，故水对其性质影响较大。
当含水量较大时，土处于流动状态，当含水量减小到一定程度时，粘性土具有可塑状态的性质，如果含水量继续减小，土就会由可塑状态转变为半固态或固态。
但对于含不同矿物成分的粘性土，即使具有相同的含水量，也未必处于同样的物理状态，因为含不同矿物成分的粘性土在同一含水量下稠度不同。
在一定的含水量下，一种土可能处于可塑状态，而含不同矿物颗粒的另一种粘性土可能处于流动状态。
因此，考虑矿物成分的影响，粘性土的软硬状态不用含水量直接判断。
第二章土的渗流简答题1.简述达西定律应用于土体渗流的适用范围。
答：达西定律是描述层流状态下渗流流速与水头损失关系的规律，只适用于层流范围。
土中渗流阻力大，故流速在一般情况下都很小，绝大多数渗流，无论是发生于砂土中或一般的粘性土中，均属于层流范围，故达西定律均可适用。
但对粗粒土中的渗流，水力坡降较大时，流态已不再是层流而是紊流，这时，达西定律不再适用；对粘土中的渗流，当水力坡降小于起始坡降时，采用达西定律是不适宜的，达西定律适用于水力坡降大于起始坡降的情况。
3.土中自重应力、附加应力计算及应用
m
⑴在集中力P作用线上，r=0,当z=0 时，附加应力趋于无穷；随着深度 的增加，逐渐减少。 ⑵在r＞0的竖直线上，当z=0时， 附加应力为零，随着深度的增加， 附加应力从零逐渐增大，至一定深 度后又随着深度的增加逐渐变小。 ⑶在z为常数的平面上，附加应力在 集中力作用线上最大，并随着r的增 加而逐渐减小，随着深度增加，这 一分布趋势保持不变，但会随着r增 加而降低的速率变缓。
z
■
应力叠加原理
当地基表面 作用有几个 集中力时， 可分别算出 各集中力在 地基中引起 的附加应力， 然后根据应 力叠加原理 求出附加应 力的总和
Pa
Pb
z
a c
b
空间问题的附加应力计算 设基础长度为L,宽度为b，当l/b＜10时， 其地基附加应力的计算属于空间问题。 ⑴竖直均布荷载作用下矩形基底角点下 的附加应力
dA
z
0 0 l b
2 x 2 y 2 z 2
3z 3 p dxdy
dP L b x
52
p m 1 m 1 1 tg 2 2 2 2 2 2 1 m2 n2 m n 1 n n 1 m n Kc p
cx cy K0 cz
K0—土的侧压力系数，可通过试验求得，无 试验资料时可按经验公式推算
2.2 基底压力
概述 基底压力是计算地基中附加应力的外荷载， 也是计算基础结构内力的外荷载，因此，在计 算地基附加应力和基础内力时，都必须首先研 究基底压力的分布规律和计算方法。
基底压力：指上部结构荷载和基础自重通过基础传递， 在基 础底面处施加于地基上的单位面积压力。 基底反力：地基反向施加于基础底面上的压力。 基底附加压力：基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力 之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。
水利工程土力学教学课件：任务4.3地基中的附加应力
8
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa i 1
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算
Qo
r
x R
—西罗提（Cerruti）课题
x
y
z
z
y
x
M y
z
地基附加应力计算
水平向集中力作用下附加应力计算 —西罗提（Cerruti）课题
z
3Q
2R5
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
基本方法：
将荷载作用 面积分块
各分块产生的 竖向附加应力
叠加
土中任意点的 竖向附加应力
角点下竖向附加 应力计算公式
地基附加应力计算
矩形面积竖向均布荷载作用下附加应力计算
3. 土中任意点的竖向附加应力——角点法
a
h
d 情况一：M点投影在矩形荷载
作用面积范围之内
等值线（应力泡）
集中荷载作用下的地面沉降
s Q(1 2 ) E0r
E0 —土的变形模量
—土的泊松比
例题 4.3
在地表面作用集中力Q＝200kN，计 算地面深度z=3m处水平面上竖向法向应 力σz分布，以及距Q作用点r=1m处竖直 面上竖向法向应力σz分布。
解答
解答
例题 4.4
O
有一矩形基础，b=2m，l=4m， 作用均布荷载p=10kPa，计算矩形 基础中点O下深度z=2m及10m处 的竖应力σz 值。
地基附加应力计算
均布线荷载作用下附加应力计算—弗拉曼（Flamant）解
M
地基附加应力计算
均布条形荷载作用下附加应力计算
z u p
应力系数
u
土力学与基础工程地基土中的应力计算
标高处原有的自重应力后，新
增加于基底的压力。
m 1h1 2h2 nhn / d
注意：
p0 p cz p m d
基底附加压力 的计算
地下水位以下的重度取有效重度
基底附加压力
基础标高以上土的加 权平均容重
自重应力
p
0
p
0
d
p0 max pmax 基底压力呈梯形分布时， 0d p0 min pmin 基底附加压力
【例题分析】 • 【例】某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载
F=400kN/m，M=20kN•m，试求基础中点下的附加压 力。
FK 0.1m MK
1.5m 0 ＝18.5kN/m3 2m
分析步骤I：
FK=400kN/m 0.1m MK=20kN •m
1.5m 2m
0 ＝18.5kN/m3
荷载偏心距 e=M/(F+G)
基础及上覆 土重G= GAd 140.3kPa
319.7kPa
pmax pmin
1.基底压力计算
条形基础取单 位长度计算
F G 6e 1 bl l
讨论：基底压力分布？
pmax pmin
F G 6e 1 bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力
pmax
pmin e<l/6
cz2 cz1 2h2 7.85 17.8 2 43.45kN m 2
土力学及地基基础第8讲 地基附加应力
p0 b/2 b/2 x z
0
x z M
x sx p0 z sz p0 xz sxz p0
附加应力系数，是z/b， x/b的函数，表2-3
1,3
p0
( 0 sin 0 )
大主应力方向与视角平分线一致。
6m
c
s
αc(查表2-2) 0.051 0.131 0.033 0.084
z 100 (0.051 0.131 0.033 0.084) 6.5kPa
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3m 1m
4m
a i
b r
j
三、均布条形荷载作用下的竖向附加应力
若在无限弹性体表面作用无限长条形的分布荷载，荷载在宽度上任意，
点法计算矩形基础外k点下深度z=6m处N点竖向应力sz值。
4m
d
6m
c 3m
s
z z (ajki) z (iksd ) z (bjkr) z (rksc)
郑州大学远程教育学院
3m
a i
r
1m
b
j k
【解】将k点置于假设的矩形 受荷面积的交点处。
计算基本假定： 地基土是连续、均匀、各向同性的半 无限空间的线弹性体。 所以，可用弹性力学公式，且叠加原理成立。
最基本的就是布辛奈斯克解答：竖向集中力作用下的附 加应力。
郑州大学远程教育学院
一、竖向集中荷载作用下的地基附加应力
o x y P
3Pz3 3P x z 2R 5 2R 2 cos3 q
2
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两个集中力作用 下σz的叠加
土体中的应力计算—附加应力的计算(土力学课件)
z 2 p
x
p x
z z
x z
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
2.条形面积受三角形荷载作用下的附加应力
土中任意点所受的附加应力
z 3 p
-x 0
z x
p x
z
注意坐标系的建立，以荷载0为坐标原点，向荷 载增大的方向为正方向。
二、条形面积受均布荷载土中附加应力
3.圆形面积均布荷载作用下的竖向附加应力
(1)距离地面越深， 附加应力的分布范围 越广，r/z=2.5范围内。
(2)在距地面为z的平 面上，集中力作用线 下的附加应力最大， 向两侧逐渐减小。
集中力作用下附加应力分布图
一、竖直集中荷载作用下的地基附加应力计算
1、附加应力分布规律
(3)距P作用线为r竖直 线上的附加应力随深 度先增加再减小。
171
332 kPa
134
条形荷载作用下土中附加应力
（1）p1=134kPa
+x
+x
+（x 2）p2=198kPa
-x
z x1 x/b z/b
x2 x/b z/b
00 0 0 1
134 1 0.5 0 0.500 99 233
1 0 0 0.5 0.820 110 1 0.5 0.5 0.410 81 191
条形荷载作用下 土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
条形荷载作用下土中附加应力
1.条形面积受均布荷载作用下的土中竖向附加应力
土中任意点所受的附加应力 x
z 2 p
2 ——条形均布荷载作用
下的竖向附加应力系数
2 (x / b, z / b)
土力学第三章土体中的应力计算 (4)
第五章 土体中的应力计算地基中的应力包括自重应并掌大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。
由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。
地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。
一、应力～应变关系的假定真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。
而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。
2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。
为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。
3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。
而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。
土的自重应力、基底压力和地基附加应力
度。
注：
地下水位以下，若埋藏有 不透水层，该层面及层面 以下土的自重应力应按上 覆土层的水土总重计算。
紧靠上覆层与不透水层界 面上下的自重应力有突变， 使层面处具有两个自重应 力值
三、地下水位升降对土中自重应力的影响
基底压力设计值：
p F G M
kPa
L×B W
127
300 4 52
127 18 145 109
kPa
6
基底处的土中自重压力标准值： c 0d 181.5 27 kPa。
基底平均附加压力设计值 ： p0 p c 127 27 100 kPa
§4.3 地基中的附加应力
地基中的附加应力是由于修建建筑物以后在地基 内新增加的应力。
应力z，并求其代数和。
当应力计算点M不位于角点下时，可利用式（4-18）以角点法求得。
图4-20 以角点法计算均布矩形荷载下的地基附加应力 计算点o在： (a)荷载面边缘 (b)荷载面内 (c)荷载面边缘外侧 (d)荷截面角点外侧
(a) o点在荷载面边缘
z =(cI + cII )p0
(b) o点在荷载面内
如果基础砌置在天然地面上，那末全部基底压力 就是新增加于地基表面的基底附加压力。
埋置在天然地面下一定深度处的的基底压力中应 扣除基底标高处原有的土中自重应力后，才是基 底平面处新增加于地基的基底附加压力 ，
基底附加压力 :
基底附加压力 ：
基底平均附加压力 (kPa)按下式计算 ：
p0 p c p 0d
z =(cI + cII cIII + cIV )p0
第四章-3附加应力
• 应力集聚现象： 地基土体中某一点的附加应力由于叠加而增大的现象。
铅直向附加应力讨论-3
• K-r/z关系： 随着r/z的增大，K逐渐减小； 当r/z=2.0时，附加应力分布系数K=0.01； 这时，铅直向附加应力z很小。 K
• 应力分布边界： r/z=2.0的线称为附加应力分布边界。 • 应力扩散现象：
r/z
地基土体中的潜质向附加应力随空间距离增大而逐 渐减小的现象。
铅直向附加应力讨论-4
• 铅直向附加应力分布系数： 同一3 2
1 [1 ( ) ]
• 角点法的基本公式 用于计算矩形基础4个角点下的铅直向附加应力。 积分结果：
zc K c p
p是基底附加压力（铅直均布荷载）； Kc是附加应力分布系数，取决于基础的长度L、 宽度B和计算点的深度z。 • 这时计算出的附加应力只是矩形基础4个角点下的 附加应力。
矩形基础附加应力计算-1
• 铅直向附加应力分布系数：
Kc1、Kc2 、Kc3、Kc4由m、n确定。
矩形基础附加应力计算-1
• 分部综合角点法计算： 图b： 1）求矩形荷载面内任一点M下的附加应力： 2）过M点作辅助线，划分为2个矩形； 3）这样M点就在各矩形的角点下； 4）先分别求出各矩形在角点M下的附加应力； 5）然后进行叠加即可。 即： K p K p
水平向集中力
• 计算简图： x、y坐标在地面上，z坐标垂直地面向下为正 R是M点的空间坐标，r是M点的平面坐标 M点在地面下一定深度z，Ph是水平向集中力 坐标原点取在地面上集中力作用点
条形基础均布荷载作用下地基中的附加应力
0.0357 1.85
0.0116 4.00
0.0004
0.40
0.3294 0.90
0.1083 1.40
0.0317 1.90
0.0105 4.50
0.0002
0.45
0.3011 0.95
0.0956 1.45
0.0282 1.95
0.0095 5.00
0.0001
三、条形基础均布荷载作用下地基中的附加应力
1．极坐标系下
已知线荷载下，
若采用下图所示的极坐标系时，从M点到荷载边缘的连线与
竖直线间的夹角分别为β1和β2 ，其正负号规定是，从竖直线 MN到连线逆时针转时为正，反之为负。在下图中的β1和β2均 为正值。
取微单元，
其上的荷载用线荷载
代替，利用Flamant解，则该线荷载
在M点引起的附加应力为
③划分后的每一个矩形面积，短边都用b表示，长边都用l表示。
作 业：P87：第4题、第5题、第6题、第7 题、第8题、第9题、第10题、第11题
知识回顾 Knowledge Review
则
式中：αi——条形均布荷载作用下竖向附加应力系数，查P60 表3－5。
n=x/b ；m=z/b 。
四、条形基础在三角形及梯形分布荷载作用下地基中的附加应 力
在地基表面作用三角形分布条形荷载，其最大值为pm。若计 算土中任意点M(x,y)的竖向附加应力αz，建立直角坐标系如 下图所示，坐标原点在三角形荷载的零点处。
最大剪应力为：
最大剪应力的最大值为： 发生在以条形基础宽度为直径的半圆上。 2．直角坐标系下竖向附加应力计算 若采用直角坐标系，如下图所示。 取坐标轴的原点在均布荷载的中点处。取微单元dξ，其上的
地基中的附加应力计算
奥斯特伯格公式：坝顶宽范围以下任意深度处：
由a1/z, b1/z 和a2/z, b2/z 查图
习题：2－1，2－3，2－5
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
x p pt b
3z pt xdxdy d z 2R 5b
3
R x y z
2 2
2
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
三 矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向 附加应力
四 圆形面积均布荷载作用中心的附加应力
五 竖直线荷载作用下的地基附加应力
线荷载和条形荷载：荷载长度 l→∞且沿 l 方向（即y方向）
不变的荷载。
属平面问题：例如：墙基、挡土墙基础、路基、坝基等对 地基施加的荷载。 计算表明： 10 ，即当 l 10b，矩形荷载就可视 为条形荷载。
l b l b
线均布荷载作用下地基中附加应力计算 — 弗拉曼（Flamant）解
自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积 ，长度l宽度b均相同，由例图 l／b=2.5／2=1.25
z／b=1／2=0.5
查表2－2，利用双向线性插值得Ks=0.2350
对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例
图
l／b=2／0.5=4 z／b=1／0.5=2 查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得： σzH=（2×0.2350－ 2×0.1350 ）×131=26.2（kPa）
A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相 等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l ，b，z的值可得 l／b=2 ／2=1 z／b=1／2=0.5
查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以 σzA=2 Kspn=2×0.2315 ×131=60.65（kPa） （4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。 H点是HGbQ， HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各
土力学问答题
1. 什么叫颗粒级配曲线，如何定性和定量分析土的级配？（出现4次）答：土的颗粒级配（粒度成分）——土中各个粒组的相对含量(各粒组占土粒总重的百分数)。
确定各粒组相对含量的方法：（1）颗粒分析试验，①筛分法，②沉降分析法，（2）试验成果——颗粒级配累积曲线，进行曲线分析：曲线较陡，则表示粒径大小相差不多，土粒较均匀；曲线平缓，则表示粒径大小相差悬殊，土粒不均匀，即级配良好。
2. 什么叫粘性土的液性指数？如何应用液性指数评价土的工程性质。
答：液性指数——粘性土的天然含水量和塑限的差值与塑性指数之比。
用L I 表示。
L I 值愈大，土质愈软；反之，土质愈硬。
)(p ωω ，0<L I 坚硬状态，10≤≤L I ，可塑状态)(L ωω 1>L I 流动状态3. 甲为条形基础，乙为正方形基础，两者基础宽度相同，埋深相同，基底附加压力也相同，地基土完全相同，两基础沉降量是否相同？为什么？答：不同，方形荷载所引起的σz ，其影响深度要比条形荷载小的多，条形基础下地基土的侧向变形主要发生在浅层，而位于基础边缘下的土体容易发生剪切滑动而首先出现塑性变形区。
4. 以固结不排水为例，说明三轴试验如何测定土的抗剪强度指标。
答：如果试样所受到的周围固结压力大于它曾受到的最大固结压力Pc ，属于正常固结试样，如果小于，属于超固结试样。
1变形模量和压缩模量有何关系和区别？（2次）答：土的变形模量是土体在无侧限条件下的应力和应变的比值，土的压缩模量是土体在侧限条件下的应力与应变的比值。
2什么是自重应力和附加应力？答：自重应力——由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
附加应力：土体受到外荷载以及地下水渗流、地震等作用下附加产生的应力增量，是产生地基变形的主要原因，也是导致地基土的强度破坏和失稳的重要原因。
3填土内摩擦角对土压力大小有何影响？答：计算主动土压力时，一般可忽略内摩擦角的影响，但计算被动土压力和静止土压力时，考虑内摩擦角降低，导致墙背压力的增大4如下图所示，图中有无错误？5 为什么饱和黏性土不固结不排水剪的强度包线是一条水平线？答：如果饱和粘性土从未固结过，将是一种泥浆状土，抗剪强度也必然等于0，一般从天然土层中取出的试样一般都具有一定的天然的强度，天然土层的有效固结压力是随深度变化的，所以不排水抗剪强度也随深度变化，均质的正常固结不排水强度大致随有效固结压力成线性增大。
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• 土坝的自重应力：中小型，可简化计算。 2.基底接触压力确定方法——简化计算
• 分为三种情况 竖直中心荷载作用下的基底压力 竖直偏心荷载作用下的基底压力
倾斜荷载作用下的基底压力
练习题
某地基剖面资料如图所示， 试绘制土的自重应力 分布图。
辽宁广播电视大学双向视频课程 工程地质与岩土力学
（第 六 讲）
• 竖向应力分量 z 对计算地基变形最有意
义，其表达式为
z
3P
2
z3 R5
3P
2R 2
cos2
或
z
K
P z2
R—集中力作用点至计算点M的距离； K—竖直集中力作用下的应力系数，即
3
1
K
2
1
r
2
5
/
2
z
（2.1竖）向z应随力着分深量度Zz的的增分加布规律
pP P A LB
P－基底上的竖直总荷载，kN。
2.条形基础 当 L / B 10 ， 按条形基础考虑。 长度方向截 取1m进行计算。
p P B
p —条形基础上单位长度的总荷载，kN / m
（二）竖直偏心荷载作用下的基底压力 • 假设基底压力 为直线分布，按 材料力学偏心受压 公式计算。
1.矩形基础 （1）荷载为双向偏心：
任意点（坐标为x,y）的基底压力为
p(x, y) P M x y M y x
A Ix
Iy
M x、M y—竖直偏心荷载对基础底面x轴和y轴的
力矩，kN m，
M x Pey
M y P ex ；
I x 、I y —分别为基础底面对x轴和y轴的惯性
sz3 1h1 2h2 3h3 60.2 (18.5 9.8) 2 77.6kN / m2
sz4 1h1 2h2 3h3 4h4
77.6 (20 9.8) 3 108 .2kN / m2
（1）均质土层的情况 • 均质土层中的垂直向 自重应力等于单位面积上土
柱的有效重量。
sz z
• 分布规律： sz 随深度增加而增大，一条向
下倾斜直线。
（2）地下水位以下土体
• 用土的浮重度
计算
（3）成层土
n
sz 1h1 2h2 nhn ihi i 1
按计算成果绘制
分布曲线
sz
44.0
粘 1 17.0kN / m3
土
41.0
2 19.0kN / m3 40.0
粉质 3 18.5kN / m3
粘土
38.0
细 4 20.0kN / m3
砂
35.0
51.0kN / m2 60.2kN / m2 77.6kN / m2
矩， m4 ；
ex 、e y —分别为竖直荷载对y轴和x轴的偏心
距 ，m 。
（2）荷载为单向偏心： • 偏心荷载作用于一主轴上
例如作用于x主轴上
M x 0, ex e
• 则基底两端的压力为
P 6e
pmax
m in
(1 A
) B
基底压力分布：三种情况 e< B/6 pmin 0 梯形 e=B/6 pmin 0 三角形
主讲人：祁孝珍
教学要求：
1.掌握各种荷载作用下地基中附加 应力计算方法；
2.理解地基中附加应力分布规律
第五章 地基中的应力分布
一、自重应力
二、基底接触压力
三、附加应力
• 附加应力：上部的建筑物荷载在地基内 部新增加的应力。
• 假定地基土是连续、均质、各向同性的 半无限弹性体。
（一）竖直集中荷载下的附加应力—理想课题 1.弹性理论解答 • 半无限弹性体表面上 作用有竖直集中力P， 在弹性体内任意点M 所引起的应力，可分 有6个应力分量。
而递减；
（2）离集中力作用线某
• sz 沿深度分布是一条折线，转折点位于各不
同重度土层的分界面上。
2.水平向自重应力 sx 、 sy sx sy k0 sz
k 0－侧压力系数，由试验确定。
（二）土坝的自重应力 • 简单的中小型土坝，简化计算
即 坝体中任一点竖直方向的自重应力等于 该点以上土柱的重量。
sz z
分布图
• 高土石坝，应用较多的是有限元法
例5-1：根据图中所给的条件，试绘制地基 中的自重应力沿深度的分布图。 解：分别计算各土层分界面上的应力
sz1 1 h1 17.0 3 51.0kN / m2
sz2 1h1 2h2 51.0 (19.0 9.8) 1 60.2kN / m2
辽宁广播电视大学双向视频课程 工程地质与岩土力学
（第 五 讲）
主讲人：祁孝珍
教学要求：
1.掌握土的自重应力计算与分布规律 2.掌握基底压力的概念与计算
第五章 地基中的应力分布
规定：以压应力为正 一、土的自重应力
（一）地基中的自重应力 • 地基土体本身的有效重量产生的 • 假设地基为半无限弹性体
1.垂直向自重应力 sz
e> B/6 pmin 0 出现拉应力
2.条形基础 • 同样在长度方向截取1m计算 • 基底宽度方向两端的压力为
pm ax
m in
P B
(1
6e ) B
• 基底压力的分布同样有三种情况
（三）倾斜荷载作用下的基底压力
1.倾斜荷载 R
分解 竖直向荷载 P
水平向荷载 H
•
竖直向荷载 方法计算。
108.2kN / m2
二、基底接触压力
建筑物荷载通过基础传到地基中，基础底面 传递给地基表面的压力称为基底接触压力；也称 为基底压力。
简化计算方法－－假设基底压力按直线分布。
按不同荷载作用情况，基底压力的计算方法 如下：
（一）竖直中心荷载作用下的基底压力 1.矩形基础 设矩形基础的长度为L， 宽度B为，其上作用着竖 直中心荷载。 假设基底压力均匀分布， 其基底压力为
P
引起的竖直向基底压力按前述
2.水平向荷载 H 引起的基底水平应力 ph
计算
•
矩形基础
ph
H A
•
条形基础
ph
H B
基底水平应力为均匀分布
小结
1.土体中自重应力分布规律和计算
•
地基中的自重应力
均质土层： sz z n
（竖直向） 成层土层： sz ihi
i 1
地下水位以下土体：采用