第五章 习题课2

习题课2 竖直面内的圆周运动

一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型

[导学探究] 如图1所示，长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直面内做圆周运动．试分析：

图1

(1)当小球在最低点A 的速度为v 1时，求绳的拉力F T1. (2)当小球在最高点B 的速度为v 2时，求绳的拉力F T2. (3)小球过最高点的最小速度是多大？

(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于gL ，则会产生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件．

(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r ，质量为m 的小球沿它的内表面做圆周运动，分析小球在最高点A 的速度应满足什么条件？

答案 (1)最低点：F T1＝mg ＋m v 2

1

L

(2)最高点：F T2＝m v 2

2L

－mg

(3)由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由F T2＋mg ＝m v 22

L

可知，当F T2

＝0时，v 2最小，最小速度为v 0＝gL .

(4)当v

L

一部分力会使小球向下偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱

离圆周轨道了．

绳拉球过最高点的条件是：v ≥gL .

(5)与绳拉球模型相似，如图所示，在最高点A 时，有F N ＋mg ＝m v 2

r ，当F N ＝0时，v 最

小为v 0＝gr ，当v ＝v 0时，小球刚好能够通过最高点，当v v 0时，小球能够通过最高点．

[知识深化] 轻绳模型(如图2所示)的最高点问题

图2

1．绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力)． 2．在最高点的动力学方程F T ＋mg ＝m v 2

r

.

3．在最高点的临界条件为F T ＝0，此时mg ＝m v 2

r ，

则v ＝gr .

v ＝gr 时，拉力或压力为零． v >gr 时，小球受向下的拉力或压力． v

例1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m ＝0.5 kg ，水的重心到转轴的距离l ＝50 cm.(g 取10 m/s 2)

图3

(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位小数) (2)若在最高点水桶的速率v ＝3 m/s ，求水对桶底的压力大小． 答案 (1)2.24 m/s (2)4 N

解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小． 此时有：mg ＝m v 2

0l

，

则所求的最小速率为：v 0＝gl ≈2.24 m/s.

(2)此时桶底对水有向下的压力，设为F N ，则由牛顿第二定律有：F N ＋mg ＝m v 2

l ，

代入数据可得：F N ＝4 N.

由牛顿第三定律，水对桶底的压力：F N ′＝4 N.

针对训练 如图4所示，用长为l 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是( )

图4

A ．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力

B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零

C ．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为gl

D ．小球过最低点时绳子的拉力可以小于小球重力 答案 C

解析 小球在圆周最高点时，向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和，取决于小球的瞬时速度的大小，A 错误；小球在圆周最高点时，如果向心力完全由重力充当，则绳子的拉力为零，B 错误；小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则在最高点，重力提供向心力，v ＝gl ，C 正确；小球在圆周最低点时，具有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，拉力一定大于重力，故D 错误． 二、竖直面内圆周运动的轻杆(管道)模型

[导学探究] 长为L 的轻杆一端固定着一质量为m 的小球，使小球在竖直面内做圆周运动．(如图5，重力加速度为g )

图5

(1)当小球在最高点B 的速度大小为v 1 时，求杆对球的作用力． (2)杆拉球过最高点的最小速度为多少？

(3)试分析光滑圆管竖直轨道中(轨道半径为R )，小球过最高点时受管壁的作用力与速度大小的关系？

答案 (1)以竖直向下为正方向，设杆对球的作用力为F ，则有mg ＋F ＝m v 2

1L

则F ＝m v 21

L

－mg

当v 1＝gL 时，F ＝0

当v 1>gL 时，F >0，表示杆对球的作用力方向向下，表现为拉力． 当0＜v 1

则有F N ＋mg ＝m v 2

R

即F N ＝m v 2

R －mg

当v ＝gR 时，F N ＝0，

当v >gR 时，F N >0，即上管壁对球有向下的压力；

当0

如图6所示，轻杆上固定的小球和管道内运动的小球，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v ＝0，此时小球受到的支持力F N ＝mg .