二次函数典型题解题技巧
二次函数动点问题的解题技巧
二次函数动点问题的解题技巧
以下是 8 条关于二次函数动点问题的解题技巧：
1. 大胆设未知数呀！比如在一个直角坐标系里，有个二次函数图像上有个动点 P，那咱就大大方方设它的坐标为(x,y)，这样不就能更好地分析啦！就像给这个动点取了个名字，好指挥它呀！
2. 把条件都用上呀！可别漏了，像找到某个线段长度与动点坐标的关系，哎呀呀，这可是关键呢！比如已知一个线段的长度是 5，和动点 P 的横坐标有关，那可不能放过这个线索，得好好挖掘挖掘！
3. 找等量关系呀！这就好比寻宝，到处去找那些能关联起来的等量哦。
比如说一个三角形面积和另一个图形面积相等，这不就找到宝贝线索啦！
4. 注意特殊位置呀！嘿，动点有时候会跑到一些特殊的点呢，那可有意思啦。
比如它跑到对称轴上时，那说不定会有惊喜发现呢！像突然发现一些对称关系，多神奇呀！
5. 画画图呀！通过图形能更直观地看到动点的运动呀，这就像给你一双眼睛看着它怎么跑。
看看它跑到不同地方时整个图形发生的变化，多好玩呀！
6. 多试试分类讨论呀！有时候动点的情况不唯一呢，那咱就别怕麻烦，一种一种来。
难道还能被它难住不成？像动点在不同区间时可能有不同的结果，咱就一个个算清楚嘛！
7. 利用函数解析式呀！这可是个好宝贝，通过它能知道很多信息呢。
比如知道了二次函数的解析式，那动点在上面的一些性质不就清楚啦？
8. 要敢想敢做呀！别犹豫，大胆去尝试各种方法。
不试试看怎么知道行不行呢？就像冒险一样，多刺激呀！
总之，面对二次函数动点问题，别怕！勇敢地去探索，一定能找到答案的！。
二次函数解题思路十大技巧
二次函数解题思路十大技巧
1、先求出二次函数的顶点：
设二次函数为y=ax2+bx+c，那么顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。
2、确定函数的性质：
判断a的正负，可以确定函数的单调性，从而确定函数的大致形状。
3、利用函数的性质，确定函数的根：
若函数为单调递增，则函数的根在顶点左边；若函数为单调递减，则函数的根在顶点右边。
4、利用绝对值函数的性质，确定函数的根：
若函数为绝对值函数，则函数的根在顶点两边，且根的绝对值相等。
5、利用函数的性质，确定函数的最大值和最小值：
若函数为单调递增，则函数的最大值在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的最小值在顶点左边。
6、利用函数的性质，确定函数的极值：
若函数为单调递增，则函数的极大值在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的极小值在顶点左边。
7、利用函数的性质，确定函数的极值点：
若函数为单调递增，则函数的极大值点在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的极小值点在顶点左边。
8、利用函数的性质，确定函数的增量和减量：
若函数为单调递增，则函数的增量在顶点右边；若函数为单调递减，则函数的减量在顶点左边。
中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结
中考数学倒计时30：二次函数压轴的十几种问题方法思路总结二次函数压轴题当中，同学们会遇到各种各样的解答问题，那么最常见的那些，今天就带同学们一块总结一下，方便大家记忆解题方法。
我们只说一下方法，过程就不再详细说了，在以前的题目中都有过程。
1.首先是最简单的一种问题，给定两个固定点，然后在对称轴或者抛物线上找一点，使得该点和两个固定点组成的两个线段之和最小，即线段和最小值问题，遇到该种问题，一般直接找某个固定点关于某直线的对称点，然后寻找三点共线时的动点；2.线段和基础上延续而来的三角形或四边形周长最小值问题，同样会出现固定的点，那么就会有固定的边长，所以只需要找到另外的边长之和最小，同样使用找对称点的方法；3.垂直于x轴的一条直线，被抛物线和直线截取的两端线段之间的关系，如最大差值，或者相等、2倍关系。
最大差值问题需要找到该垂线与抛物线和直线的两个交点的纵坐标，利用纵坐标表示的线段来进行线段差的计算，将会得到另一种二次函数，那么进行配方变顶点式，得到差值的最大值；而线段倍数关系则相对更简单，只需要表示出两线段的长度，利用倍数关系建立方程即可；（注意纵坐标的正负未知，所以表示出的线段加上绝对值符号，如此就能避免遗漏一些情况）4.动点和两固定点组成的三角形面积最大值问题，该问题一般会在一段局限的图像上找一点，和其他两个固定点组成三角形，求三角形面积最大，只需要对固定点所在的直线进行平移，使平移后的直线与抛物线只要一个交点，利用判别式=0求出平移距离，从而解出交点坐标；如果要求三角形面积，一般利用面积分割法进行计算，如果有一边在轴上就会更简单；5.四边形面积最大值问题：和三角形面积类似，一般会有三个已定的点，那么就有一个固定的三角形，所以只需要动点和其中相邻的两个定点组成的三角形面积最大即可，同样使用直线平移法求出点的坐标即可；而面积同样利用面积分割法求取；6.直角三角形的存在性：一个动点和两个定点的情况，可以直接利用勾股定理求出动点的坐标；如果是两个动点，一个定点，则可利用直线垂直法，注意利用三角函数去推；同时还要注意情况讨论，三个角可能有不同情况的直角；7.等腰三角形的存在性：和直角三角形类似，包含情况讨论，如果是两个定点和一个动点，那么利用线段长相等解得动点坐标即可；如果是两个动点和一个定点，利用底边中线和底边垂直的性质，使用直线垂直法解得；8.平行四边形存在性：平行四边形对边相等，这本就是一个有利条件，所以一般利用平行且相等的两个线段来寻找；如果是菱形，只需要在平行四边形基础上加上临边相等或者对角线垂直来求解；9.正方形的存在性：一般来说正方形就比较特殊了，所以相对的有利条件也比较多，所以求解会更容易些；10.整数坐标点的存在性：该问题并不是很常见，一般在较难的压轴题中才会出现，在一个范围内寻找符合条件的动点，但前提是坐标需要是整数，所以需要找到横纵坐标的范围，在范围内去求解；11.由动点形成的整数面积问题：例如一个动点和两个定点组成的三角形面积，要求面积为整数，需要先利用平移法找到最大面积的值，然后在范围内寻找面积取整时的动点位置或者个数有多少，需要注意的是只有最大面积时的动点是一个，若无限定条件，其他整数面积时的动点则会同时出现两个，所以同学们不要忽略了；12.全等、相似三角形问题：二次函数中的全等、相似问题有时候简单有时候较难，所以要看运气如何，如果给定了对应点则还好点，如果题中只是说让两个三角形全等或相似，并未给出△∽/≌△这种形式，那么就要考虑多种情况存在了，尤其是在相似问题中，情况讨论较多，所以寻找角是很重要的，但一般又不会出现度数，所以这个时候同学们千万不要忘记三角函数；13.特殊点的存在性：类似什么共谐点、好点，遇到这类问题，一般会直接让写出答案，所以同学们在草纸上可以利用各种技巧性方法进行计算，类似一些高中的可用知识“直线垂直”“点到直线的距离”“两直线的夹角”等，没事可以先看看这些知识点的用法，反正上了高中都要学，所以不如先提前看一下，在遇到直接写答案的题目时如果用上了绝对是优势；14.至于其他的，老师一下子也想不起来，常见的就是上面这十几个种类，如果大家需要分享其他类型可以在留言中给出，方便其他人能够看到。
二次函数解析式三种经典求法,你都掌握了吗？
二次函数解析式三种经典求法，你都掌握了吗？函数内容的学习一直是很多学生的重难点，甚至一些学生与理想的学校失之交臂，就是因为函数内容没学好，无法取得中考数学高分。
初中数学要学到函数一般有三种：一次函数（包含正比函数）、反比例函数、二次函数。
其中二次函数作为初中数学当中最重要内容之一，一直受到中考数学命题老师的青睐。
任何与函数有关的数学问题，都需要先求出函数解析式，再结合函数的图象与性质进行解决。
因此，一个人是否能熟练地求出二次函数的解析式是成功解决与二次函数相关问题的重要保障。
今天我们就一起来简单讲讲如何求二次函数的解析式，在初中数学教材里，二次函数的解析式一般有以下三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。
2、顶点式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中顶点坐标为(m,k)，对称轴为直线x=m。
3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。
那么这三种形式有什么区别呢？在解决实际问题过程中，该如何选择呢？求二次函数的解析式的方法我们一般采用待定系数法，即将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
我们结合待定系数法和三种二次函数基本形式来确定函数关系式，一定要根据不同条件，设出恰当的解析式，具体如下：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)来求解。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y=a(x－m)2+k(a≠0)来求解。
3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)来求解。
值得注意的是，用交点式来求二次函数的解析式，前提条件是二次函数与x轴有交点坐标。
二次函数典型题解题技巧
二次函数典型题解题技巧一有关角1、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,与y 轴交于点(0C ,3),过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ,直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；2连接AM 、AC 、BC ,试比较MAB ∠和ACB ∠的大小,并说明你的理由.思路点拨：对于第1问,需要注意的是CD 和x 轴平行过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D对于第2问,比较角的大小a 、 如果是特殊角,也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角,那么大小关系就确定了c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小d 、 除了上述情况外,那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢,全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形,剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等e 、 可能还有人会问,这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、C 、A 、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的,那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来,再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条解：1∵CD ∥x 轴且点C0,3,∴设点D 的坐标为x,3 ．∵直线y= x+5经过D 点,∴3= x+5．∴x=－2．即点D －2,3 ．根据抛物线的对称性,设顶点的坐标为M －1,y,又∵直线y= x+5经过M 点,∴y =－1+5,y =4．即M －1,4．∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++． ∵点C0,3在抛物线上,∴a=－1．即抛物线的解析式为223y x x =--+．…………3分 2作BP ⊥AC 于点P,MN ⊥AB 于点N ．由1中抛物线223y x x =--+可得 点A －3,0,B1,0,∴AB=4,AO=CO=3,AC=32． ∴∠PAB ＝45°．∵∠ABP=45°,∴PA=PB=22．∴PC=AC －PA=2．在Rt △BPC 中,tan ∠BCP=PBPC =2．在Rt △ANM 中,∵M-1,4,∴MN=4．∴AN=2．tan ∠NAM=MN AN =2．∴∠BCP ＝∠NAM ．即∠ACB ＝∠MAB ．后记：对于几何题来说,因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角圆分开再说,所以几何的证明无非就是线段之间的关系,角之间的关系,在二次函数综合题里,我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题,其次才是利用线段之间的关系来解题,除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单,因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的,尤其是不知道某个点的确切坐标时,那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、如图,抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=,与y 轴交于点C ,且OA OC OB 3==．I 求抛物线的解析式；II 探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形若存在,求出P 点坐标,若不存在,请说明理由；III 直线131+-=x y 交y 轴于D 点,E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ,βαβ-=∠求,CBE 的值．思路点拨：II 问题的关键是直角,已知的是AC 边,那么AC 边可能为直角边,可能为斜边,当AC 为斜边的时,可知P 点是已AC 为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A 、C 重合,明显只有O 点；当AC 为直角边时,又有两种情况,即A 、C 分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是A 或者C 为直角顶点,总有一个锐角等于∠OCA 或Rt △PAC 和Rt △OAC 相似,利用这点就可以求出OP 的长度了III 从题目的已知条件看,除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数,那么这两个角要么全是特殊角30°,45°,60°,90°,在这种情况下,他们的差才有可能不是特殊的角,很明显,这两个角不是特殊角,那只有一种可能在没有学反三角函数的前提下,就是他们的差是特殊角,再联系到∠ABC=45°,可知,这两个角的差就是45°,那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE,再想想上一题所说的,就明白是利用相似三角形来证明了,即证明△BCE 是一个直角三角形且与△BAD 相似解：I ()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ,且OA OC OB 3==．())0,3(,0,1B A -∴．代入32-+=bx ax y ,得 {{12030339=-==--=-+∴a b b a b a322--=∴x x yII ①当190,PAC ∠=︒时可证AO P 1∆∽ACO ∆ 31tan tan 11=∠=∠∆∴ACO AO P AO P Rt 中，．)31,0(1P ∴②同理: 如图当)0,9(9022P CA P 时，︒=∠③当)0,0(9033P A CP 时，︒=∠综上,坐标轴上存在三个点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形,分别是)31,0(1P )0,9(2P ,)0,0(3P ． III ()1,0,131D x y 得由+-=．()4,1322---=E x x y ，得顶点由． ∴52,2,23===BE CE BC ．为直角三角形BCE BE ∆∴=+,CE BC 222．31tan ==∴CB CE β． 又31tan ==∠∆∴OB OD DBO DOB Rt 中．β∠=∠∴DBO ． ︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα．二线段最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短,无论是两点之间选段最短还是垂线段最短,它们的本质就是要线段首尾相接,或者说线段要有公共端点,如果我们公共端点,我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题,学过的有三角形三边之间的关系,两边之差小于第三边,我们可以利用这个来求第三边的最大值,还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线()20y ax bx c a =++≠交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,已知抛物线的对称轴为直线x = -1,B1,0,C0,-3.⑴ 求二次函数()20y ax bx c a =++≠的解析式；⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点P 到A 、C 两点距离之差最大 若存在,求出点P 坐标；若不存在,请说明理由.思路点拨：点P 到A 、C 两点距离之差最大,即求|PA －PC|的最大值,因P 点在对称轴上,有PA=PB,也就是求|PB －PC|,到了这儿,易知当P 点是BC 所在直线与对称轴的交点,易知最大值就是线段BC 的长;具体解题过程略4、研究发现,二次函数2ax y =0≠a 图象上任何一点到定点0,a 41和到定直线ay 41-=的距离相等.我们把定点0,a 41叫做抛物线2ax y =的焦点,定直线ay 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.1写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程； 2等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上,O 为坐标原点, 求等边三角形的边长；3M 为抛物线241x y =上的一个动点,F 为抛物线241x y =的焦点,P1,3 为定点,求MP+MF 的最小值.思路点拨：2因△OAB 是等边三角形,易知AB 平行于X 轴,且∠AOB=60°,知OA 、OB 于y 轴的夹角等于30°,利用这点容易求出三角形的边长3由题目可知MF 的长度等于M 点到直线y=－1的距离,那么MP+MF 就是P 点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和,易知最小值就是过P 点做y=－1的垂线段的长 解：1焦点坐标为0,1, 准线方程是1-=y ；2设等边ΔOAB 的边长为x,则AD=x 21,OD=x 23. 故A 点的坐标为x 21,x 23. 把A 点坐标代入函数241x y =,得 2)21(4123x x ⋅=, 解得0=x 舍去,或38=x .∴ 等边三角形的边长为38.3如图,过M 作准线1-=y 的垂线,垂足为N,则MN=MF.过P 作准线1-=y 的垂线PQ,垂足为Q,当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时,MP+MF 最小,最小值为PQ=4. 5、思路点拨：2要求AE 和AM 的长,对于求线段的长度我们学过的是勾股定理,相似三角形和简单三角函数,从题目可知OA 和OE 的长以及E 点到x 轴的距离,我们作EG ⊥x 轴,垂足为G,那么容易求出OG 的长,从而求出AE 的长；要求AM 的长,先做OK ⊥AE,垂足为K,要求AM 的长,首先我们利用已知的OA 的长和∠EAO 的函数值来求出AK 和OK 的长,利用OK 的长和三角形OMN 是等边三角形求出MK 和NK 的长,AM 的长也就知道了3这个是著名的费马点的问题,第2问给了我们提示,我们可以猜想当P 点在什么位置时,PA+PB+PO 才能取最小值,P 点应该在线段AE 上,至于具体的位置我们还不知道,我们就在线段AE 上任取一点P,把PA 、PB 、PO 连起来,要取最小值,那么这三条线段应该首尾相接,我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是AE 所在直线,这时P 点应该和在△OAB 内的M 点重合,PA 的长就是AM 的长,m 的最小值就是AE 的长答案详见前段时间发过的从近近几年北京中考模拟及中考压轴题谈起额外讲解一个与二次函数无关的有关线段最值的问题6、2009年中考第25题如图,在平面直角坐标系xOy 中,△ABC 三个顶点的坐标分别为A －6,0,B 6,0,C 0,43,延长AC 到点D ,使AC CD 21=,过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E ． 1求D 点的坐标；2作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y ＝kx ＋b 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式；3设G 为y 轴上一点,点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发,先沿y 轴到达G 点,再沿GA 到达A 点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍,试确定G 点的位置,使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短． 要求：简述确定G 点位置的方法,但不要求证明思路点拨：3首先要把速度转化成路程,也就是线段的长度,直线与y 轴的交点假设为M,则OM=63,设P 点在y 轴上的速度为2v,那么在GA 上的速度为v,P 点到达A 点所用的时间为,要使时间最短,也就是求AG+GM/2的最小值,那么我们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和,因为∠BMO=30°,GM/2也就是G 点到BM 的距离,我们作GK ⊥BM,垂足为K,问题转化成求GA+GM 的最小值,易知,A 、G 、M 必须共线且垂直BM,所以G 点就是过A 点作BM 的垂线与y 轴的交点解：1∵A －6,0,C 0,43,∴OA ＝6,OC ＝43．设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得△DMC ∽△AOC ．又AC CD 21=,21===∴CA CD CO CM OA MD ． ∴CM ＝23,MD ＝3．同理可得EM ＝3．∴OM ＝63．∴D 点的坐标为3,63．2由1可得点M 的坐标为0,63．由DE∥AB,EM＝MD,可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上．∴ED与CF互相垂直平分．∴CD＝DF＝FE＝EC．∴四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心．作直线BM．设BM与CD、EF分别交于点S、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FT＝CS．∵FE＝CD,∴TE＝SD．∵EC＝DF,∴TE＋EC＋CS＋ST＝SD＋DF＋FT＋TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形．由点B6,0,点M0,63在直线y＝kx＋b上,可得直线BM的解析式为y＝－3x＋63．第25题答图3确定G点位置的方法：过A点作AH⊥BM于点H,则AH与y轴的交点为所求的G点．由OB＝6,OM＝63,可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．在Rt△OAG中,OG＝AO·tan∠BAH＝23．∴G点的坐标为0,23．或G点的位置为线段OC的中点三平移对称旋转问题引子：平移问题以前讲过了,现在重点将对称旋转问题我们知道a,b关于x轴对称的点的坐标为a,－b,关于y轴对称的点的坐标为－a,b,关于原点对称的点的坐标为－a,－b,关于直线x=m的对称点为2m－a,b,关于直线y=n的对称点为a,2n－b,关于点m,n的对称点为2m－a,2n－b任意两点x1,y1和x2,y2的中点为对于抛物线关于x轴、y轴、x=a、y=b的对称抛物线,应该都会了吧,现在重点讲解抛物线关于某点m,n的对称抛物线解析式其他平移、关于直线对称都可以用这个方法解决,为了方便,选取抛物线的顶点式来证明例：对于一个抛物线y=ax－h2+ka≠0来说,坐标为x,y的所有点都在他的图像上,关于m,n的对称点为2m－x,2n－y,那么坐标为2m－x,2n－y都在抛物线关于m,n对称的抛物线上,我们把2m－x,2n－y代入y=ax－h2+ka≠0就可以得到它关于m,n对称的抛物线的解析式为2n－y=a2m－x－h2+k,变形为y=－ax－2m+h2+2n－k现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确首先y=ax－h2+ka≠0和它关于点m,n的对称的抛物线的开口大小是一样的,所以二次项系数的绝对值是相同的,由于关于点对称,开口方向是相反的,故二次项系数互为相反数；其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于m,n对称的,原抛物线的顶点为h,k,它关于m,n的对称点的坐标为2m－h,2n－k,那么对称抛物线的解析式可以写成y=－ax－2m+h2+2n－k,和利用上述方法所得结果一致7、已知抛物线C1：y=ax2－2amx+am2+2m+1a>0,m>1的顶点为A,抛物线C2的对称轴是y轴,顶点为B,且抛物线C1和C2关于P1,3成中心对称（1）用含m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标（2）求m的值和抛物线C2的解析式（3）设抛物线C2与x正半轴的交点是C,当△ABC为等腰三角形时,求a的值思路点拨：1很多人一看到求抛物线的顶点,习惯使用顶点的坐标公式来求,如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的,那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标,y=ax －m2+2m+1,故顶点坐标为m,2m+1（2）C1和C2关于点对称,利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标,易知m=2详解过程略。
二次函数解题思路十大技巧
二次函数解题思路十大技巧二次函数解题技巧：二次函数有点难，求点坐标是关键。
一求函数解析式，再求面积带线段。
动点问题难解决，坐标垂线走在前。
三角相似莫相忘，勾股方程解疑难。
二次函数解题思路技巧1.平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。
顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。
2.轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。
二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。
顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变，因此a值不变。
但是顶点位置会改变，只要根据关于y轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。
熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 + k 、 y=a ( x + h ) 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式。
.2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右”。
“y=ax2 → y=a ( x + h ) 2 + k ”“加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的。
.总之，如果两个二次函数的“二次项系数”相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般“形式”，应先化为顶点式再平移。
3 、通过描点“画图”、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；。
高一二次函数解题技巧及方法
高一二次函数解题技巧一、掌握二次函数的概念：1、二次函数是指未知数是二次的函数，形式为y=ax²+bx+c，其中中a、b、c是常数，且a≠0。
2、在二次函数中，自变量x的取值范围通常为全体实数。
二、理解二次函数的表达式：1、二次函数的表达式通常由一元二次方程给出，这个方程可以用来描述二次函数的性质。
2、例如，二次函数的顶点式y=a(x-h)²+k可以表示出函数的顶点坐标(h,k)。
三、掌握二次函数的图形特征：1、二次函数的图形是一个抛物线，其顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h，开口方向由a的符号决定。
2、当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
四、掌握二次函数的对称轴及顶点：1、二次函数的对称轴是x=h，顶点坐标是(h,k)。
2、在解题时，可以根据对称轴和顶点坐标快速找到函数的最值或单调区间。
五、了解二次函数的增减性及最值：1、二次函数的增减性取决于a的符号。
2、当a>0时，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大。
3、当a<0时，开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小。
4、最值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。
5、对于一般形式的二次函数y=ax²+bx+c，当x=-b/2a时，取得最值(4ac-b²)/4a。
六、掌握二次函数的交点及与X轴的交点坐标：1、二次函数的交点是指与x轴交点的横坐标。
2、当函数与x轴相交时，交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根。
3、注意判别式b²-4ac的符号，当b²-4ac>0时，与x轴有两个交点；当b²-4ac=0时，与x轴有一个交点；当b²-4ac<0时，与x轴没有交点。
七、熟悉二次函数的平移规则：1、平移规则是指通过平移抛物线来改变其形状和位置。
初中数学二次函数做题技巧（1）
初中数学二次函数做题技巧I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
初中数学二次函数解题技巧必看
初中数学二次函数解题技巧必看每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学作为最烧脑的科目之一，也是要记、要背、要讲技巧的。
下面是小编给大家整理的一些初中数学二次函数解题技巧的学习资料，希望对大家有所帮助。
二次函数解题方法1、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否?若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。
②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否?若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。
③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。
2.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。
)先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积)，然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。
(注意去掉不合题意的点)，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。
3.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标(一母示)，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1)，得到一个方程，解之即可。
二次函数交点式例题解题过程
二次函数交点式例题解题过程二次函数交点式例题解题过程二次函数是高中数学中比较重要的一章，它与初中数学中的一次函数构成了重要的数学基础。
在学习二次函数时，掌握二次函数交点式是十分必要的。
下面我们以一道典型的例题为例，进行解题过程的讲解。
例题：已知二次函数f(x)=-2x²+8x-3，求f(x)=1的解。
解题步骤：Step 1：设f(x)=1，即-2x²+8x-3=1.Step 2：将方程化为标准形式，即-2x²+8x-4=0.Step 3：将方程左边乘以-1，得到2x²-8x+4=0.Step 4：将方程左右两边同时除以2，得到x²-4x+2=0.至此，我们将原方程化为了二次方程x²-4x+2=0.Step 5：将二次方程用求根公式进行求解，得$x_1,x_2=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4\times1\times2}}{2\times1}=2\pm\sqrt{2}$.Step6：将求得的两个解带入原方程，分别得到f(2+\sqrt{2})=1和f(2-\sqrt{2})=1.于是，原方程的解集为{x|f(x)=1}={(2+\sqrt{2}),(2-\sqrt{2})}.这样，我们就完成了对二次函数交点式的运用，并解决了这一典型题目。
二次函数交点式是解决二次函数方程的常用方法，常见的问题有：使用二次函数交点式求解函数零点、确定函数图象的交点位置、求出函数的最大值和最小值等等。
掌握了二次函数交点式的计算方法和应用，对学习数学有重要的帮助。
二次函数交点式的求解过程涉及到许多数学知识，涉及到代数运算、二次函数的标准形式和求根公式等知识点。
所以，我们在学习二次函数时，不仅需要积累数学知识，还需要加强题目训练，熟练掌握计算方法和技巧。
通过多做题，多练习，我们可以深入理解二次函数交点式的应用，提高我们的数学能力和解题能力。
总之，掌握二次函数交点式对于学习数学和解决生活中的实际问题有着很大的帮助。
中考二次函数压轴题解题技巧
中考二次函数压轴题解题技巧在解题过程中，我们需要借助函数解析式来表示动点坐标。
首先，我们可以设定动点P在某条直线上，其坐标为（t，f(t)）。
然后，我们可以通过计算两个线段的长度，利用代数式证明它们相等。
这种方法适用于各种类型的线段相等问题，如求证两个三角形的周长相等等。
2.求解“定三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于定三角形内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。
具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到定理的结论。
这种方法适用于各种类型的定三角形内点距离之和问题。
3.求解“定直线与定点之间的距离〞的问题：对于一个定点A和一条定直线L，我们可以利用点到直线的距离公式来求解它们之间的距离。
具体来说，我们可以设定一个动点P在直线L上，然后计算点P到点A的距离，即可得到定点与定直线之间的距离。
这种方法适用于各种类型的定直线与定点之间的距离问题。
4.求解“定点到定线段的最短距离〞的问题：对于一个定点A和一条定线段BC，我们可以利用点到线段的最短距离公式来求解它们之间的最短距离。
具体来说，我们可以设定一个动点P在线段BC上，然后计算点A到线段BP和线段CP的距离，取其中较小值即可得到定点到定线段的最短距离。
这种方法适用于各种类型的定点到定线段的最短距离问题。
5.求解“动三角形内一点到三边距离之和〞的问题：对于一个动三角形ABC内的一个点P，我们可以利用动点的方法来求解其到三边距离之和。
具体来说，我们可以将点P的坐标表示为（x，y），然后通过计算P到三条边的距离，再将它们相加，得到结论。
这种方法适用于各种类型的动三角形内点距离之和问题。
1.证明两线段相等的方法：首先确定两线段的距离类型（点点距离、点轴距离或点线距离），然后利用距离公式计算出两线段的长度，并进行化简，从而证明它们相等。
2.平行于y轴的动线段长度的最大值问题：对于平行于y轴的线段，可以利用端点的函数图象解析式，将两个端点的纵坐标表示为含有字母t的代数式。
二次函数创新试题解题方法
二次函数创新试题解题方法一、与几何图形结合类。
题1。
已知二次函数y = x^2+bx + c的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,-3)，对称轴是直线x = 1。
求二次函数的表达式；若点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，过点P作x轴的平行线交对称轴于点M，交y轴于点N，当四边形OPMN为平行四边形时，求点P的坐标。
解析。
对于二次函数y=ax^2+bx + c，对称轴公式为x =-(b)/(2a)。
已知对称轴x = 1，a = 1，则-(b)/(2×1)=1，解得b=- 2。
又因为函数图象过点C(0,-3)，把x = 0，y=-3代入y=x^2-2x + c得c=-3。
所以二次函数表达式为y=x^2-2x - 3。
设点P的横坐标为m(m>1)，则P(m,m^2-2m - 3)。
因为PN∥ x轴，对称轴为x = 1，所以M(1,m^2-2m - 3)，N(0,m^2-2m - 3)。
因为四边形OPMN为平行四边形，所以PN=OM。
PN=m，OM = 1，所以m = 1（舍去）或m=3。
当m = 3时，y=3^2-2×3-3=0，所以P(3,0)。
题2。
二次函数y=-x^2+bx + c的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点。
求二次函数的表达式；设点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，求使ABP面积最大时的点P的坐标。
解析。
因为二次函数y=-x^2+bx + c的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点。
将A、B两点代入函数可得-1 - b + c=0 -9 + 3b + c=0两式相减得：-9+3b + c-(-1 - b + c)=0-9 + 3b + c + 1 + b - c=04b-8 = 0，解得b = 2把b = 2代入-1 - b + c=0得-1-2 + c=0，解得c = 3所以二次函数表达式为y=-x^2+2x + 3。
二次函数专题知识点 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
二次函数和基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.二次函数的概念 (2)2.二次函数y=ax2的图像和性质 (2)3.二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的性质 (4)4，用配方法求y=ax2+bx+c（a≠0） (6)5.二次函数图像性质总结 (7)6.二次函数解析式的求法 (7)7.二次函数图像的平移 (9)三、重难点题型 (11)1.由抛物线的位置确定系数的符号 (11)2.用待定系数法求二次函数的解析式 (13)3.运用抛物线的对称性解题 (17)4.用二次函数解决最值问题 (18)5.二次函数的图像 (20)6.二次函数与应用问题 (21)二、基础知识点1.二次函数的概念形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫作二次函数。
注：①a、b、c为常数，且a≠0，即二次项必须有，一次项和常数项可以没有②二次函数为函数的一种，满足函数的所有性质。
即在定义域内，自变量x有且仅有唯一应变量y与之对应例1.下列各项中，y是x的二次函数的有：①y=√2x2−x+5；②y=（m−1）x2+x+1（m为常数）；③y=2x2+4x−m（m为常数）；④y=(2x+1)(3x−2)−6x2答案：①是二次函数，二次项系数不为0；②不应定，当m=1时，二次项为0，则不是二次函数；③是二次函数，二次项系数不为0；④化简得：－x－2，因此不是二次函数例2.已知y=（k+3）x k2+k−4是二次函数，求k的值。
答案：因为y=（k+3）x k2+k−4是二次函数所以{k+3≠0 k2+k−4=2解得：k=22.二次函数y=ax2的图像和性质y=ax2（a≠0，b=0，c=0，即一次项和常数项皆为0）的性质：①图形为抛物线形状②a>0，开口向上；a<0，开口向下③过原点（顶点），为最大值或最小值（由a的正负决定）④关于y轴对称，即关于x=0对称⑤|a|越大，开口越小，即上升或下降越快注：关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称例1.求等边三角形面积S与边长a的函数关系式。
数学二次函数压轴题解题技巧
数学二次函数压轴题解题技巧数学二次函数是中学数学中的一个重要内容，而在高考数学中，二次函数也是一个重要的考点。
二次函数在高考中的压轴题往往难度较大，需要学生具备扎实的数学知识和高超的解题技巧。
下面是一些解决二次函数压轴题的技巧。
1. 熟悉常见二次函数的形式和性质常见的二次函数包括：二次项系数为 1 的二次函数，即 y=x^2;二次项系数不为 1 的二次函数，即 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 为常数;以及二次函数的平移变换，即 y=x^2+bx+c(x-a)。
熟悉这些函数的形式和性质，可以帮助我们更好地理解和解决问题。
2. 掌握求最值的方法在二次函数中，求最值是一个重要的问题。
常用的求最值方法包括：利用函数的导数求最值;利用二次函数的图像求最值;利用不等式求最值等。
其中，利用函数的导数求最值是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。
3. 掌握求顶点的方法求顶点是解决二次函数压轴题的一个常用方法。
常用的求顶点的方法包括：利用函数的导数求顶点;利用二次函数的图像求顶点;利用对称轴求顶点等。
其中，利用函数的导数求顶点是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。
4. 掌握求范围的方法在二次函数中，求范围也是一个重要的问题。
常用的求范围方法包括：利用函数的导数求范围;利用二次函数的图像求范围;利用不等式求范围等。
其中，利用函数的导数求范围是最常用的方法之一，需要注意求导的方法和技巧。
5. 利用图形结合数学方法解决问题在解决二次函数压轴题时，常常需要利用图形结合数学方法解决问题。
例如，可以利用图像的对称性质、周期性、平移变换等，帮助我们更好地理解和解决问题。
此外，还需要善于总结各种技巧和方法，熟练掌握各种解题套路，以应对各种可能出现的二次函数压轴题。
二次函数解析式的8种求法(9年级下)
二次函数解析式的8种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、经过点A （1，3）的抛物线的解析式是 ．三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，a 的值不变，口诀为：左加右减，上加下减．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．以上三类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）4．已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
初中数学必考知识点：二次函数解题技巧，吃透=白捡分！收藏！
初中数学必考知识点：二次函数解题技巧，吃透=白捡分！收
藏！
作为初中数学函数学习的最后一个函数，也是最难得一个，当属二次函数了，考试中也经常遇到。
特别是在中考的最后一道大题，算作是数学大题中的压轴题，而对学生来说，抛物线学不好，函数就无从下手，抛物线中的开口问题、对称轴问题、交点问题等充斥大脑，会让很多同学望而却步。
话虽如此，但是学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性质画图像，正所谓数形结合，函数无敌!
大部分的孩子都只知道“学”，而不知道如何有技巧的去学，课堂上老师也很少教学习方法。
知识点是零乱的，不利于记忆和掌握。
只有把它们串起来，形成一个体系，才有助于快速高效掌握知识。
如果你的孩子很刻苦学习，成绩却提不上去很勤奋背诵单词，却总是记不住......建议你带着孩子来听我们的免费公开课，我们的免费公开课将会教孩子如何快速记忆，而且记牢，并且帮助孩子建立起一套高效的学习方法。
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二次函数解决实际问题归纳
二次函数解决实际问题归纳及练习一、应用二次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→用函数关系式么最大（最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配方法或最值公式而不是解方程。
（1）利用二次函数解决利润最大问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，而自变量有两种情况：①自变量x是所涨价多少或降价多少；②自变量x是最终销售价格。
例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最大值。
（2）利用二次函数解决面积最值例：已知正方形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正方形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小，最小面积多少？1：某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？2：某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物，大门底部宽AB=4m，顶部C离地面的高度为4.4m，现有载满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.7m，装货宽度为2.4m。
这辆汽车能否顺利通过大门?若能，请你通过计算加以说明；若不能，请简要说明理由.3、某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？4、某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售，可获利50％，设每件纪念品的成本为a 元。
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二次函数典型题解题技巧————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:二次函数典型题解题技巧(一)有关角１、已知抛物线2y ax bx c =++的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边），与y 轴交于点(0C ,3)，过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D ,抛物线的顶点为M ，直线5y x =+经过D 、M 两点.（1） 求此抛物线的解析式；（2）连接AM 、AC 、BC ，试比较MAB ∠和ACB ∠的大小，并说明你的理由.思路点拨:对于第(１）问，需要注意的是CD 和x 轴平行（过点C 作x 轴的平行线与抛物线交于点D )对于第(２)问,比较角的大小a 、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清楚了b 、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就确定了c 、 如果稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,根据大边对大角来判断角的大小d 、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全等三角形、相似三角形和简单三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了,其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等e 、 可能还有人会问，这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个最简单的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在本题中,需要用到的点只有M 、Ｃ、Ａ、B 这四个点,而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看d 这一条解:（1)∵CD ∥x 轴且点C(０,３），∴设点D 的坐标为(x ，３) .∵直线y ＝ ｘ+５经过D 点，∴3= x+５.∴ｘ=－２.即点D(-２，3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M （－1,y ），又∵直线ｙ= ｘ+５经过M 点，∴y =－１＋5,y =4.即M(-1，4).∴设抛物线的解析式为2(1)4y a x =++． ∵点C （0,3）在抛物线上,∴ａ=-1．即抛物线的解析式为223y x x =--+.…………3分 （２)作BP ⊥AC 于点P,ＭＮ⊥AB 于点N.由(1）中抛物线223y x x =--+可得 点A(-3,0)，B(1，０)，∴ＡB=4，AO ＝C Ｏ=３，A Ｃ＝32． ∴∠PAB ＝４5°.∵∠ABP=45°，∴P Ａ=PB=22.∴P Ｃ=A Ｃ－PA ＝2.在Ｒｔ△BPC 中，tan ∠BCP=PBPC =2．在Rt △ＡN Ｍ中,∵M （-1,４），∴MN=4.∴ＡＮ=2.ｔan ∠NAM ＝MN AN ＝2.∴∠B ＣP=∠N ＡＭ.即∠ACB ＝∠M ＡB.后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角(圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单,因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的,尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路2、如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=，与y 轴交于点C ,且OA OC OB 3==．(Ｉ)求抛物线的解析式；（II)探究坐标轴上是否存在点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出P 点坐标,若不存在,请说明理由；（III)直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点.若α=∠DBC ,βαβ-=∠求,CBE 的值.思路点拨：(ＩI)问题的关键是直角，已知的是ＡC 边,那么A Ｃ边可能为直角边,可能为斜边,当AC 为斜边的时,可知Ｐ点是已ＡＣ为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A 、C 重合，明显只有Ｏ点；当ＡC 为直角边时，又有两种情况，即Ａ、C 分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是Ａ或者C 为直角顶点，总有一个锐角等于∠OCA(或Rt △ＰA Ｃ和Rt △OA Ｃ相似），利用这点就可以求出OP 的长度了（ＩII ）从题目的已知条件看，除了∠ABC ＝4５°外没有知道其他角的度数,那么这两个角要么全是特殊角（３０°，45°，60°，９０°），在这种情况下,他们的差才有可能不是特殊的角,很明显，这两个角不是特殊角,那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下）,就是他们的差是特殊角，再联系到∠ＡBC ＝45°，可知，这两个角的差就是45°,那么我们需要证明的就是∠ABD ＝∠CBE,再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明△B ＣＥ是一个直角三角形且与△B ＡD 相似解:（I ）()3,032--+=点轴交与抛物线C y bx ax y ,且OA OC OB 3==.())0,3(,0,1B A -∴.代入32-+=bx ax y ,得 {{12030339=-==--=-+∴a b b a b a322--=∴x x y(ＩI)①当190,PAC ∠=︒时可证AO P 1∆∽ACO ∆ 31tan tan 11=∠=∠∆∴ACO AO P AO P Rt 中，.)31,0(1P ∴②同理： 如图当)0,9(9022P CA P 时，︒=∠③当)0,0(9033P A CP 时，︒=∠综上，坐标轴上存在三个点P ,使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形，分别是)31,0(1P )0,9(2P ，)0,0(3P ．（III)()1,0,131D x y 得由+-=.()4,1322---=E x x y ，得顶点由. ∴52,2,23===BE CE BC ．为直角三角形BCE BE ∆∴=+,CE BC 222.31tan ==∴CB CE β. 又31tan ==∠∆∴OB OD DBO DOB Rt 中．β∠=∠∴DBO . ︒=∠=∠-∠=∠-∠45OBC DBO αβα.（二)线段最值问题引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短，无论是两点之间选段最短还是垂线段最短,它们的本质就是要线段首尾相接,或者说线段要有公共端点，如果我们公共端点，我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决;有关线段最大值的问题,学过的有三角形三边之间的关系,两边之差小于第三边,我们可以利用这个来求第三边的最大值,还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值3、抛物线()20y ax bx c a =++≠交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为直线x = －1，B(1,0），C(0,-3).⑴ 求二次函数()20y ax bx c a =++≠的解析式； ⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使点Ｐ到A 、Ｃ两点距离之差最大？若存在，求出点Ｐ坐标;若不存在,请说明理由．思路点拨：点Ｐ到Ａ、C 两点距离之差最大,即求|PA －PC|的最大值，因Ｐ点在对称轴上,有ＰＡ＝PB ，也就是求|P Ｂ－ＰC ｜，到了这儿，易知当P 点是BC 所在直线与对称轴的交点，易知最大值就是线段BC 的长。
具体解题过程略4、研究发现,二次函数2ax y =(0≠a )图象上任何一点到定点(0,a 41)和到定直线ay 41-=的距离相等.我们把定点（0,a 41)叫做抛物线2ax y =的焦点,定直线ay 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.（１)写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程； （2）等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上，Ｏ为坐标原点, 求等边三角形的边长；(３）M 为抛物线241x y =上的一个动点，F 为抛物线241x y =的焦点，P （1,3） 为定点，求ＭP+MF 的最小值.思路点拨：（2）因△OA Ｂ是等边三角形，易知A Ｂ平行于Ｘ轴,且∠AOB ＝６0°，知ＯA 、OB 于y 轴的夹角等于30°，利用这点容易求出三角形的边长(3)由题目可知M Ｆ的长度等于M 点到直线y=－１的距离，那么MP ＋MF 就是P 点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和,易知最小值就是过P 点做y ＝-1的垂线段的长 解：(1）焦点坐标为（0，1), 准线方程是1-=y ;(２)设等边ΔOAB 的边长为ｘ,则ＡD=x 21,OD ＝x 23. 故Ａ点的坐标为(x 21，x 23）. 把A 点坐标代入函数241x y =,得 2)21(4123x x ⋅=, 解得0=x (舍去),或38=x .∴ 等边三角形的边长为38.（3)如图，过M 作准线1-=y 的垂线，垂足为N,则MN=MF.过P 作准线1-=y 的垂线PQ ，垂足为Q ，当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时，M Ｐ+MF 最小，最小值为PQ=4. 5、思路点拨:（2）要求ＡE 和AM 的长,对于求线段的长度我们学过的是勾股定理,相似三角形和简单三角函数,从题目可知ＯＡ和ＯE 的长以及Ｅ点到x 轴的距离,我们作EG ⊥x 轴，垂足为G ，那么容易求出O Ｇ的长，从而求出AE 的长；要求ＡＭ的长,先做OK ⊥A Ｅ,垂足为Ｋ,要求AM 的长，首先我们利用已知的OA 的长和∠EAO 的函数值来求出A Ｋ和OK 的长，利用OK 的长和三角形OM Ｎ是等边三角形求出ＭK 和ＮＫ的长，ＡM 的长也就知道了 （３)这个是著名的费马点的问题,第2问给了我们提示,我们可以猜想当P 点在什么位置时，PA+PB+PO 才能取最小值，P 点应该在线段AE 上,至于具体的位置我们还不知道,我们就在线段AE 上任取一点P ，把ＰA 、PB 、ＰO 连起来，要取最小值，那么这三条线段应该首尾相接，我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是ＡE 所在直线，这时P 点应该和在△OAB 内的M 点重合，PA 的长就是AM 的长，m 的最小值就是AE 的长答案详见前段时间发过的《从近近几年北京中考模拟及中考压轴题谈起》额外讲解一个与二次函数无关的有关线段最值的问题6、2０09年中考第2５题如图,在平面直角坐标系xO ｙ中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－６,０)，B （６，０)，C (0，４3），延长A Ｃ到点D ,使AC CD 21=,过D 点作DE ∥A Ｂ交B Ｃ的延长线于点E ．(１)求Ｄ点的坐标;(2)作C 点关于直线ＤＥ的对称点Ｆ,分别连结DF 、E Ｆ,若过B 点的直线y =kx +b 将四边形CD ＦE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;(3)设G 为y 轴上一点,点P 从直线ｙ=ｋx +b 与y 轴的交点出发,先沿ｙ轴到达G 点,再沿GA 到达Ａ点．若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定Ｇ点的位置，使Ｐ点按照上述要求到达A 点所用的时间最短. (要求:简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）思路点拨：(３）首先要把速度转化成路程，也就是线段的长度,直线与y 轴的交点假设为M ，则OM=63,设Ｐ点在y 轴上的速度为2ｖ,那么在GA 上的速度为v ，Ｐ点到达A 点所用的时间为,要使时间最短,也就是求AG+GM/２的最小值，那么我们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和，因为∠BMO=30°，GM/２也就是G 点到ＢM 的距离，我们作GK ⊥BM,垂足为K ，问题转化成求GA+ＧM 的最小值,易知，A 、G 、Ｍ必须共线且垂直B Ｍ，所以G 点就是过A 点作B Ｍ的垂线与y 轴的交点解:(1）∵A (-6,0)，Ｃ(0，43),∴O Ａ=6，ＯC =43.设DE 与y 轴交于点M.由DE ∥AB 可得△DMC ∽△A ＯC ．又AC CD 21=，21===∴CA CD CO CM OA MD . ∴ＣＭ=23,ＭＤ=３．同理可得EM =3.∴OM ＝63．∴D 点的坐标为(3，63)．(２）由(1)可得点Ｍ的坐标为（０，６3).由DE∥AB,EＭ＝ＭD,可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线．∴点Ｃ关于直线DE的对称点F在ｙ轴上.∴EＤ与CF互相垂直平分.∴ＣD=DF＝FＥ=ＥC．∴四边形CDFE为菱形，且点M为其对称中心．作直线BM.设BＭ与CＤ、EF分别交于点Ｓ、点T．可证△FTM≌△CSM．∴FＴ＝ＣS.∵ＦE＝CD，∴ＴE=ＳD．∵ＥC=DF，∴TE＋EC＋CS+SＴ＝SD+ＤF+FT+TS．∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形.由点B(6，0)，点M（０，６3)在直线ｙ=kx＋b上,可得直线BM的解析式为y＝－3x＋63．第25题答图(３)确定Ｇ点位置的方法：过Ａ点作AH⊥BM于点H,则AＨ与ｙ轴的交点为所求的Ｇ点．由OＢ=6，OＭ＝６3，可得∠OBM=6０°.∴∠BAH=30°．在Rt△OＡＧ中，OＧ＝AO·taｎ∠BAＨ=23．∴G点的坐标为(0，23).(或Ｇ点的位置为线段OＣ的中点)（三）平移对称旋转问题引子:平移问题以前讲过了，现在重点将对称旋转问题我们知道(a，b）关于ｘ轴对称的点的坐标为（a，－b），关于ｙ轴对称的点的坐标为(-a，b）,关于原点对称的点的坐标为（-a，－b）,关于直线x=m的对称点为(2ｍ-a，b)，关于直线ｙ=ｎ的对称点为(ａ，２ｎ－b),关于点（m，n）的对称点为(２m-a,2n－b）任意两点（x１,y1)和（x2,y2)的中点为对于抛物线关于x轴、y轴、ｘ=ａ、ｙ＝b的对称抛物线，应该都会了吧,现在重点讲解抛物线关于某点(m，n）的对称抛物线解析式(其他平移、关于直线对称都可以用这个方法解决),为了方便，选取抛物线的顶点式来证明例：对于一个抛物线y=ａ(x－h)２+ｋ（a≠0）来说，坐标为（x,y)的所有点都在他的图像上，关于(ｍ，ｎ）的对称点为(2m－ｘ,2n－ｙ)，那么坐标为(2m－x,2n-y）都在抛物线关于(m,n）对称的抛物线上，我们把（2m-x,2n－y）代入y=a（x-h）2+k（a≠0)就可以得到它关于(m，n）对称的抛物线的解析式为2n－ｙ＝ａ（２m-x-h）２＋k,变形为y=－a(x－2m+h）2+2ｎ-k现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确首先y=a（ｘ-h)2＋k（a≠0)和它关于点（m，n）的对称的抛物线的开口大小是一样的,所以二次项系数的绝对值是相同的，由于关于点对称，开口方向是相反的，故二次项系数互为相反数;其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于（m，n)对称的,原抛物线的顶点为(ｈ，k)，它关于(m，n）的对称点的坐标为(2m－h，2ｎ-k),那么对称抛物线的解析式可以写成y=－ａ（ｘ-2m+ｈ)2+2n-k，和利用上述方法所得结果一致７、已知抛物线Ｃ1：ｙ=ａx2-2amｘ+am2＋2m+１(a＞0,m>1)的顶点为Ａ，抛物线C2的对称轴是ｙ轴，顶点为B,且抛物线C1和C2关于P(1，3)成中心对称（1）用含ｍ的代数式表示抛物线Ｃ1的顶点坐标（2）求m的值和抛物线C2的解析式（3）设抛物线C2与x正半轴的交点是Ｃ，当△ABC为等腰三角形时,求a的值思路点拨:（1)很多人一看到求抛物线的顶点，习惯使用顶点的坐标公式来求，如果你熟悉因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的，那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐标，y=a（ｘ-m)2+2m＋1,故顶点坐标为（m,２m+1)（2）C1和Ｃ2关于点对称，利用上述方法容易求出Ｃ2的解析式和顶点坐标，易知m=2详解过程略。