渗流力学课件第三章1

2
ln
re r
re

rw
re
r
2
rw
2
d ln
re r
)]
P
2
2
re rw
[ 2
r r
2 e
2 w
2
Pe
Pe Pwf ln re rw
(
rw
2
2
ln
re rw

1 4
(re rw ))]
2 2
rw
由于：rw re 所以：re r re ,
2 2 w 2
2
re
2
＊降阶法求解
＊直接积分法
1 d r dr
(r
dP dr
)0
积分 再积分
r
dP dr
c1
P c1 ln r c2 ①
c1 Pe Pwf ln re rw
代入边界条件得：
Pe c1 ln re c2 ② ②-③
Pwf c1 ln rw c2 ③
P Pe
②-①或①-③并代 入边界条件 c1
2012-10-23 HX-CHENG 2
单相液体稳定渗流理论
◆单相流动：只有一种液体的流动叫单相流动。 多相流动：有两种或两种以上液体同时流动，叫两相或
多相流动。
◆稳定渗流：渗流的运动要素 P、 v 等只是空间坐标的函 数，与时间 t 无关。 不稳定渗流：渗流的运动要素不仅是空间坐标的函数， 也是时间的函数。即：
v o
力为：
x
。
KBh
x
♂解析式、渗流场图
4. 单向渗流的渗流场图（水动力场图）
◆ 渗流场图：由一组等压线和
y
一组流线按一定规则构成的图形。
◆等压线：渗流场中压力相同
等压线 流线
点的连线。
owk.baidu.com
◆等压面：渗流场中压力相同
L 单向渗流渗流场图
x
的空间点组成的面。 ⊙规则：各相邻两条等压线间 的压差值相等；各相邻两条流线间 通过的流量相等。
q1 q2 q
渗透率突变的圆形地层
可求出产量 q 为：
q 2K 2 h( Pe Pwf )
(
K2 K1
ln
r1 rw
ln
re r1
)
方法Ⅱ：由达西定律微分形式积分求。
dr 2rh rw r r1 区间内压力分布规律为：
v K dP q
分离变量积分得：
K1 K2
P f1 ( x, y, z, t ) v f 2 ( x, y, z, t )
刚性水压驱动；
忽略油水性质的差别。
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
▲典型解：指三种简化的典型渗流方式下的解。 单向流 渗 流 方 式
平面径向流 球面径向流
2012-10-23
HX-CHENG
5
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
t
r r
h
q
(r r )
2 0 2
质点扫过的孔隙体积 q
对单向流：
t
A
q
x
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
三、球面径向渗流
▲数学模型
2rw
2 dP r dr
d P dr
2
2

0
Pwf
re
Pe
P
r rw
Pwf
球面径向渗流模型
P
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r re
Pe
A re
2
在井网中确定油井泄油 面积方法示意图
A ——泄油面积
→由此得供给半径：re
A
有时可取井距之半：
re a

4. 平均地层压力
◆平均地层压力：假想边界封闭，油井关井，整个地层中
的压力达到平衡后，这时地层中任一点的压力称为平均地层压 力 P 。平均地层压力反映了整个地层的能量大小，是进行 油田动态分析的一个重要参数。
HX-CHENG 23
▲压力分布： P Pe
Pe Pwf rw re
1
(r 1
1
re )
1
▲产量公式： q
2K ( Pe Pwf )
(rw re )
1
1
▲研究空间一点： q
4K ( Pe Pwf )
(rw re )
1
1
例3-2 在一水平均质等厚圆形地层中心有一口完善井，地层边缘有充 足的液源供给，地层由单相不可压缩液体饱和且按达西定律渗流。已知：
rw
( Pe
Pe Pwf ln re rw
ln
re r
)rdr
P
2 re r
2 2 w
( Pe rdr
rw
re
Pe Pwf ln re rw
( r

2
re
r ln
re r
dr )
rw
P
2 re r
2 2 w
[
r r
2 e
2 w
2
Pe
Pe Pwf ln re rw
§3.1 单相液体稳定渗流微分方程典型解
二、平面径向渗流
1. 数学模型
d P dr
2 2
re
0
h

1 dP r dr
2rw
Pe
Pwf

K
Pe
P
r rw
Pwf （井底处）
P
r re
Pe （供给边界）
HX-CHENG
平面径向渗流模型
11
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2. 求解数学模型
基本渗流微分方 程变形为：
Pe Pwf ln re rw
ln
re r
P Pwf
Pe Pwf ln re rw
ln
r rw
平面径向流 压力分布 公式
Pe Pwf 1 压力梯度： re r dr r ln rw dP c1
K Pe Pwf 1 渗流速度： v re r dr ln rw K dP
ln
r rw
3. 结果分析
P
●压力分布公式表
明：压力与坐标 r 呈对 数关系，从整个地层看
Pe
，地层各点压力分布是
此对数曲线绕井轴旋转 构成的曲面，此曲面形 似漏斗，习惯称为“压 降漏斗”。
P
Pwf
o
re r 平面径向流压力分布曲线
r
●
dP
dr r 度大，压力梯度大，能量损耗也越大；
●平面径向流的渗流场图，
,v
1
表明在井底附近，渗流截面积减小，渗流速
等压线
可以直观地反映出平面径向流的
流线
渗流规律：越靠近井壁，等压线
和流线越密集，渗流速度和压力 梯度也越大。 平面径向流渗流场图
任意常数
等压线：一组与井轴同心的同心圆。 r C1
流线：以井为中心的径向线。
C2
例3-1 圆形均质等厚地层中为单相液体稳定渗流，中心 一口井井半径 0.1 米，供给半径 10000 米，试计算从 rw re 供给边缘到距井1000、100、10、1米处的能量（压力）损耗 百分数。 Pe Pwf re ln 解： 由压力分布公式 P Pe 得：
Pe P Pe Pwf ln ln re r re rw
ln
re
r
rw
则计算结果如表所示：
r (米）
Pe P Pe Pwf
0.1 1
1 0.8
10 0.6
100 0.4
1000 0.2
10000 0
从1米至0.1米处的压力损耗与从一万米至一千米处的压 力损耗相等，同为20﹪，说明能量损耗主要集中在井底附近 。
r
re
Pwf r 1
Pe

积分：
P
dp
Pwf
2h
q
q
1
r
rw
Kr
r rw
dr
P 1
P Pwf
r1 r re 区间内压力分布规律为：
2K1h
re
ln
渗透率突变的圆形地层
积分： P P e

Pe
dp
P
2h r Kr
q
1
q 2K 2 h
dr
q 2h
P c1 x c2
c1 Pe PBi L
c2 Pe
积分常数为：
PBi c1 L c2
P Pe Pe PBi L Pe PBi L

c2 Pe
x ( L x)
或：
P PBi
单向渗流压力 分布公式
渗流速度： v
K dP
K Pe PBi
ln
（2）渗流速度和压力梯度计算结果如下表：
r(m）
渗流速度(cm / s）
0.1 0.3
100 0.00003
10000 0.0000003
压力梯度( MPa / m）
0.87
0.00087
0.0000087
例3-3 在刚性水压驱动下单相均质液体向井作平面径向流，地层模型 如图所示，渗透率分区发生突变，求产量公式和压力分布曲线的表达式。
dx

L
流量：
q Av
KBh ( Pe PBi )
L
3. 结果分析
●压力沿 x 方向线性分布，压
力梯度为常数，说明单位长度上的 能量损耗为定值；
●单向稳定渗流时，流速 v
P Pe
PBi
o x L 单向渗流压力分布曲线
dP dx
和流量 q 与位置坐标 x 无关，为
常数；
●流过 [0, x] 渗流 段的渗流阻
平面径向流 产量公式 （裘比公式）
q 2Kh( Pe Pwf ) re rw
产量公式： q Av 2rh v
Pe Pwf ln re rw q 2Kh
ln

又由产量公式变形：
q 2Kh
代入压力分布公式得：
q 2Kh
P Pe
ln
re r
或
P Pwf
re 10000, rw 0.1, Pe 10MPa, Pwf 9MPa, K 0.5m2 , 3mPa s, h 10m。 试求： （1）井产量；（2）离井轴线0.1、
100、10000米处的渗流速度和压力梯度值。
解： （1）由产量公式得：
q 2Kh( Pe Pwf ) re rw 2 0.5 10 100 (10 9) 10 3 898.15(cm / s ) 10000 3 ln 3 77.6(m / d ) 0.1
PdA P
A
re
dr
2
其中：
A (re rw )
2
Pwf
P r
Pe
dA 2rdr
P Pe Pe Pwf ln re rw ln re r
A、dA
面积加权平均示意图
P
2 Pr dr
rw 2 (r 2 rw )
e
re
P
2 re r
2 2 w

re
解： 方法Ⅰ：由稳定流连续性关系求。
rw r r1 区间内压力分布规律为： re q1 r P Pwf ln K1 2K1h rw Pwf r 1 r1 r re 区间内压力分布规律为： K 2 P 1 re q2 P Pe ln 2K 2 h r
Pe
r
由稳定流连续性关系：
★等间距的水平线和 垂线构成的均匀网格
y C1
任意常数
x C2
渗流场图描述渗流规律：直观、生动、具体。
●渗流场图中，流线给出了流体质点的运动轨迹，描述了
流体流向和流速分布规律；
●等压线形象地描绘了能量损耗规律和压力分布规律； ●同一渗流场中，流线密的地方流速大，等压线密的地方
压力变化急剧（压力梯度大）。
★降低原油粘度 可提高产量，如热力采油等；
★供给半径 re 和油井半径 rw 均在对数内，其变化对产量
q 影响较小。
②实际应用时，产量公式中各物理量可如下确定：
★ Pwf 可以实测； ★ P 用目前地层压力代替； e
2a
L A
★
re 一般根据实际井网形状
确定，如图所示则： →泄油面积： A 2aL →将 A 换算成等值的圆面积：
0
上式简化整理得：
1 Pe Pwf P Pe re 2 ln rw
对单向流：
P
Pe PBi 2
5. 液体质点移动规律 在现场实际中，有时需要了解液体质点从甲地运移到乙地 需要的时间。
由渗流速度：
v u dr dt q 2rh
o
r0
M
分离变量积分 (0, r0 ) (t , r ) ：
一、单向渗流（平面单向流）
1. 数学模型
d P dx
2 2
供给边界
Pe
0
K
排液道
PBi
h
B
P
x 0
P （供给边界） e
（排液道） PBi
L
P
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xL
单向渗流模型
A Bh x
HX-CHENG
6
2. 求解数学模型
渗流微分 方程积分 代入边界条件
dP dx
c1
再分离变 量积分
● 产量公式可写为： q
Pe Pwf Ru
ln
re rw
其中Ru
2Kh
为平面
径向流渗流阻力。
①要增加产量，可采用增大生产压差 Pe Pwf 或减小渗流 阻力 Ru 的方法即：
★提高地层压力 P （通常难于做到）或降低井底压力Pwf ， e
放大压差；
★改善地层渗透率可提高产量，如油井压裂、酸化等；
油气层渗流力学
第三章 单相液体稳定渗流理论
主要内容
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 §3.7 §3.8 单相液体稳定渗流微分方程典型解 井的不完善性对渗流的影响 油井的稳定试井 井间干扰现象和势的叠加 势叠加原理的典型应用 考虑边界效应的镜像反映法 等值渗流阻力法 复变函数理论在平面渗流问题中的 应用 §3.9 平面渗流场的保角变换求解方法
ln
ln
re r
产量为：

(
Pe
dp
Pwf
[
r1
1 K1r
rw
dr
re
1 K2r
dr ]
r1
积分： q
2K 2 h( Pe Pwf ) K2 K1 ln r1 rw re r1 )